Έχει πολλές χρήσεις καθώς επιτρέπει την κατά προσέγγιση αναπαράσταση δεδομένη λειτουργίαάλλα είναι πιο απλά. Το LSM μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην επεξεργασία των παρατηρήσεων και χρησιμοποιείται ενεργά για την εκτίμηση ορισμένων ποσοτήτων με βάση τα αποτελέσματα των μετρήσεων άλλων που περιέχουν τυχαία σφάλματα. Σε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να πραγματοποιείτε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωναστο Excel.

Δήλωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο δείκτες X και Y. Επιπλέον, το Y εξαρτάται από το X. Επειδή το OLS μας ενδιαφέρει από την άποψη της ανάλυσης παλινδρόμησης (στο Excel οι μέθοδοί του υλοποιούνται χρησιμοποιώντας ενσωματωμένες συναρτήσεις), θα πρέπει να προχωρήσουμε αμέσως στην εξέταση ενός συγκεκριμένο πρόβλημα.

Έτσι, έστω Χ είναι ο χώρος λιανικής ενός παντοπωλείου, μετρημένος σε τετραγωνικά μέτρα, και το Y είναι ο ετήσιος κύκλος εργασιών, που προσδιορίζεται σε εκατομμύρια ρούβλια.

Απαιτείται να γίνει πρόβλεψη για το τι τζίρο (Υ) θα έχει το κατάστημα αν έχει αυτόν ή τον άλλο χώρο λιανικής. Προφανώς, η συνάρτηση Y = f (X) αυξάνεται, αφού η υπεραγορά πουλάει περισσότερα αγαθά από το περίπτερο.

Λίγα λόγια για την ορθότητα των αρχικών δεδομένων που χρησιμοποιούνται για την πρόβλεψη

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα που έχει κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας δεδομένα για n καταστήματα.

Σύμφωνα με τις μαθηματικές στατιστικές, τα αποτελέσματα θα είναι λίγο πολύ σωστά εάν εξεταστούν δεδομένα για τουλάχιστον 5-6 αντικείμενα. Επιπλέον, δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν «ανώμαλα» αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, μια ελίτ μικρή μπουτίκ μπορεί να έχει τζίρο πολλαπλάσιο από τον τζίρο μεγάλων λιανικής πώλησηςΤάξη «Masmarket».

Η ουσία της μεθόδου

Τα δεδομένα του πίνακα μπορούν να απεικονιστούν σε ένα καρτεσιανό επίπεδο με τη μορφή σημείων M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). Τώρα η λύση του προβλήματος θα περιοριστεί στην επιλογή μιας προσεγγιστικής συνάρτησης y = f (x), η οποία έχει μια γραφική παράσταση που περνά όσο το δυνατόν πιο κοντά στα σημεία M 1, M 2, .. M n.

Φυσικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα πολυώνυμο υψηλού βαθμού, αλλά αυτή η επιλογή δεν είναι μόνο δύσκολη στην εφαρμογή, αλλά και απλά λανθασμένη, καθώς δεν θα αντικατοπτρίζει την κύρια τάση που πρέπει να εντοπιστεί. Η πιο λογική λύση είναι να αναζητήσουμε την ευθεία γραμμή y = ax + b, η οποία προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα, ή ακριβέστερα, τους συντελεστές a και b.

Αξιολόγηση ακρίβειας

Με οποιαδήποτε προσέγγιση, η αξιολόγηση της ακρίβειάς του έχει ιδιαίτερη σημασία. Ας συμβολίσουμε με e i τη διαφορά (απόκλιση) μεταξύ των λειτουργικών και πειραματικών τιμών για το σημείο x i, δηλαδή e i = y i - f (x i).

Προφανώς, για να αξιολογήσετε την ακρίβεια της προσέγγισης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το άθροισμα των αποκλίσεων, δηλαδή, όταν επιλέγετε μια ευθεία γραμμή για μια κατά προσέγγιση αναπαράσταση της εξάρτησης του X από το Y, πρέπει να προτιμάτε αυτή με τη μικρότερη τιμή το άθροισμα e i σε όλα τα υπό εξέταση σημεία. Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο απλά, αφού μαζί με τις θετικές αποκλίσεις θα υπάρχουν και αρνητικές.

Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μονάδες απόκλισης ή τα τετράγωνά τους. Η τελευταία μέθοδος είναι η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη. Χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της ανάλυσης παλινδρόμησης (που εφαρμόζεται στο Excel χρησιμοποιώντας δύο ενσωματωμένες συναρτήσεις) και έχει αποδείξει εδώ και καιρό την αποτελεσματικότητά του.

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου

Το Excel, όπως γνωρίζετε, έχει μια ενσωματωμένη λειτουργία AutoSum που σας επιτρέπει να υπολογίζετε τις τιμές όλων των τιμών που βρίσκονται στην επιλεγμένη περιοχή. Έτσι, τίποτα δεν θα μας εμποδίσει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

Σε μαθηματική σημειογραφία, αυτό μοιάζει με:

Δεδομένου ότι αρχικά ελήφθη η απόφαση να γίνει προσέγγιση χρησιμοποιώντας μια ευθεία γραμμή, έχουμε:

Έτσι, το έργο της εύρεσης της ευθείας γραμμής που περιγράφει καλύτερα τη συγκεκριμένη εξάρτηση των μεγεθών X και Y καταλήγει στον υπολογισμό του ελάχιστου συνάρτησης δύο μεταβλητών:

Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξισώσετε τις μερικές παραγώγους σε σχέση με τις νέες μεταβλητές a και b με μηδέν και να λύσετε ένα πρωτόγονο σύστημα που αποτελείται από δύο εξισώσεις με 2 άγνωστα της μορφής:

Μετά από μερικούς απλούς μετασχηματισμούς, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης με το 2 και του χειρισμού των αθροισμάτων, έχουμε:

Λύνοντάς το, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, παίρνουμε ένα ακίνητο σημείο με ορισμένους συντελεστές a * και b *. Αυτό είναι το ελάχιστο, δηλαδή για την πρόβλεψη του τζίρου που θα έχει το κατάστημα ορισμένη περιοχή, η ευθεία γραμμή y = a * x + b * θα κάνει, που είναι το μοντέλο παλινδρόμησης για το εν λόγω παράδειγμα. Φυσικά, δεν θα σας επιτρέψει να βρείτε το ακριβές αποτέλεσμα, αλλά θα σας βοηθήσει να πάρετε μια ιδέα για το εάν η αγορά μιας συγκεκριμένης περιοχής με πίστωση καταστήματος θα αποδώσει.

Πώς να εφαρμόσετε τα ελάχιστα τετράγωνα στο Excel

Το Excel έχει μια συνάρτηση για τον υπολογισμό τιμών με χρήση ελαχίστων τετραγώνων. Έχει την ακόλουθη μορφή: «TREND» (γνωστές τιμές Y, γνωστές τιμές X, νέες τιμές X, σταθερά). Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του OLS στο Excel στον πίνακά μας.

Για να το κάνετε αυτό, εισαγάγετε το σύμβολο "=" στο κελί στο οποίο θα πρέπει να εμφανίζεται το αποτέλεσμα του υπολογισμού με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στο Excel και επιλέξτε τη συνάρτηση "TREND". Στο παράθυρο που ανοίγει, συμπληρώστε τα κατάλληλα πεδία, επισημαίνοντας:

• εύρος γνωστών τιμών για το Y (σε αυτήν την περίπτωση, δεδομένα για τον εμπορικό κύκλο εργασιών).
• εύρος x 1 , …x n , δηλαδή το μέγεθος του χώρου λιανικής.
• Τόσο γνωστές όσο και άγνωστες τιμές του x, για τις οποίες πρέπει να μάθετε το μέγεθος του κύκλου εργασιών (για πληροφορίες σχετικά με τη θέση τους στο φύλλο εργασίας, δείτε παρακάτω).

Επιπλέον, ο τύπος περιέχει τη λογική μεταβλητή "Const". Εάν εισαγάγετε 1 στο αντίστοιχο πεδίο, αυτό θα σημαίνει ότι πρέπει να κάνετε τους υπολογισμούς, υποθέτοντας ότι b = 0.

Εάν πρέπει να μάθετε την πρόβλεψη για περισσότερες από μία τιμές x, τότε αφού εισαγάγετε τον τύπο δεν πρέπει να πατήσετε "Enter", αλλά πρέπει να πληκτρολογήσετε τον συνδυασμό "Shift" + "Control" + "Enter" στο πληκτρολόγιο.

Κάποια χαρακτηριστικά

Ανάλυση παλινδρόμησηςμπορεί να είναι προσβάσιμο ακόμη και σε ανδρείκελα. Ο τύπος του Excel για την πρόβλεψη της τιμής μιας σειράς άγνωστων μεταβλητών—TREND—μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμη και από εκείνους που δεν έχουν ακούσει ποτέ για ελάχιστα τετράγωνα. Αρκεί μόνο να γνωρίζουμε μερικά από τα χαρακτηριστικά της δουλειάς του. Συγκεκριμένα:

• Εάν τακτοποιήσετε το εύρος των γνωστών τιμών της μεταβλητής y σε μία γραμμή ή στήλη, τότε κάθε σειρά (στήλη) με γνωστές αξίεςΤο x θα αντιμετωπίζεται από το πρόγραμμα ως ξεχωριστή μεταβλητή.
• Εάν το παράθυρο TREND δεν υποδεικνύει εύρος με γνωστό x, τότε εάν η συνάρτηση χρησιμοποιείται σε Πρόγραμμα Excelθα τον αντιμετωπίσει ως έναν πίνακα που αποτελείται από ακέραιους, ο αριθμός των οποίων αντιστοιχεί στο εύρος με τις δεδομένες τιμές της μεταβλητής y.
• Για να εξάγετε έναν πίνακα "προβλεπόμενων" τιμών, η έκφραση για τον υπολογισμό της τάσης πρέπει να εισαχθεί ως τύπος πίνακα.
• Εάν δεν καθορίζονται νέες τιμές του x, τότε η συνάρτηση TREND τις θεωρεί ίσες με τις γνωστές. Εάν δεν καθορίζονται, τότε ο πίνακας 1 λαμβάνεται ως όρισμα. 2; 3; 4;…, το οποίο είναι ανάλογο με το εύρος με τις ήδη καθορισμένες παραμέτρους y.
• Το εύρος που περιέχει τις νέες τιμές x πρέπει να έχει τις ίδιες ή περισσότερες σειρές ή στήλες με το εύρος που περιέχει τις δεδομένες τιμές y. Με άλλα λόγια, πρέπει να είναι ανάλογο με τις ανεξάρτητες μεταβλητές.
• Ένας πίνακας με γνωστές τιμές x μπορεί να περιέχει πολλές μεταβλητές. Ωστόσο, εάν μιλάμε γιαπερίπου μόνο ένα, τότε απαιτείται οι περιοχές με δεδομένες τιμές x και y να είναι ανάλογες. Στην περίπτωση πολλών μεταβλητών, είναι απαραίτητο το εύρος με τις δεδομένες τιμές y να χωράει σε μία στήλη ή μία γραμμή.

Λειτουργία ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ

Υλοποιήθηκε χρησιμοποιώντας πολλές λειτουργίες. Ένα από αυτά ονομάζεται "ΠΡΟΒΛΕΨΗ". Είναι παρόμοιο με το "TREND", δηλαδή δίνει το αποτέλεσμα των υπολογισμών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ωστόσο, μόνο για ένα Χ, για το οποίο η τιμή του Υ είναι άγνωστη.

Τώρα γνωρίζετε τύπους στο Excel για ανδρείκελα που σας επιτρέπουν να προβλέψετε τη μελλοντική τιμή ενός συγκεκριμένου δείκτη σύμφωνα με μια γραμμική τάση.

Το καθήκον είναι να βρεθούν οι γραμμικοί συντελεστές εξάρτησης στους οποίους η συνάρτηση δύο μεταβλητών ΕΝΑΚαι σιπαίρνει τη μικρότερη τιμή. Δοσμένο δηλαδή ΕΝΑΚαι σιτο άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των πειραματικών δεδομένων από την ευθεία που βρέθηκε θα είναι το μικρότερο. Αυτό είναι το όλο νόημα της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Έτσι, η επίλυση του παραδείγματος καταλήγει στην εύρεση του άκρου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Εξαγωγή τύπων εύρεσης συντελεστών.Καταρτίζεται και λύνεται ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. Εύρεση των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης κατά μεταβλητές ΕΝΑΚαι σι, εξισώνουμε αυτές τις παραγώγους με μηδέν.

Επιλύουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο (για παράδειγμα, τη μέθοδο αντικατάστασης ή τη μέθοδο Cramer) και λαμβάνουμε τύπους για την εύρεση των συντελεστών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Δεδομένος ΕΝΑΚαι σιλειτουργία παίρνει τη μικρότερη τιμή.

Αυτή είναι η όλη μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Τύπος για την εύρεση της παραμέτρου έναπεριέχει τα αθροίσματα , , και την παράμετρο n- ποσότητα πειραματικών δεδομένων. Συνιστούμε τον υπολογισμό των τιμών αυτών των ποσών χωριστά. Συντελεστής σιβρέθηκε μετά τον υπολογισμό ένα.

Ο κύριος τομέας εφαρμογής τέτοιων πολυωνύμων είναι η επεξεργασία πειραματικών δεδομένων (κατασκευή εμπειρικών τύπων). Το γεγονός είναι ότι ένα πολυώνυμο παρεμβολής που κατασκευάζεται από τιμές συναρτήσεων που λαμβάνονται μέσω του πειράματος θα επηρεαστεί έντονα από τον «πειραματικό θόρυβο», επιπλέον, κατά την παρεμβολή, οι κόμβοι παρεμβολής δεν μπορούν να επαναληφθούν, δηλ. Τα αποτελέσματα επαναλαμβανόμενων πειραμάτων υπό τις ίδιες συνθήκες δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Το ριζικό μέσο τετράγωνο πολυώνυμο εξομαλύνει τον θόρυβο και σας επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα πολλαπλών πειραμάτων.

Αριθμητική ολοκλήρωση και διαφοροποίηση. Παράδειγμα.

Αριθμητική ολοκλήρωση– υπολογισμός της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος (συνήθως κατά προσέγγιση). Η αριθμητική ολοκλήρωση νοείται ως ένα σύνολο αριθμητικών μεθόδων για την εύρεση της τιμής ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος.

Αριθμητική διαφοροποίηση– ένα σύνολο μεθόδων για τον υπολογισμό της τιμής της παραγώγου μιας διακριτά καθορισμένης συνάρτησης.

Ενσωμάτωση

Διατύπωση του προβλήματος.Δήλωση μαθηματικού προβλήματος: πρέπει να βρείτε την τιμή οριστικό ολοκλήρωμα

όπου τα a, b είναι πεπερασμένα, η f(x) είναι συνεχής στο [a, b].

Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, συμβαίνει συχνά το ολοκλήρωμα να μην είναι βολικό ή αδύνατο να ληφθεί αναλυτικά: μπορεί να μην εκφράζεται σε στοιχειώδεις λειτουργίες, το ολοκλήρωμα μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα κ.λπ. Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιούνται μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης. Οι μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης χρησιμοποιούν την αντικατάσταση του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς με ένα πεπερασμένο άθροισμα εμβαδών απλούστερων γεωμετρικά σχήματα, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Με αυτή την έννοια, μιλούν για τη χρήση τύπων τετραγωνισμού.

Οι περισσότερες μέθοδοι χρησιμοποιούν μια αναπαράσταση του ολοκληρώματος ως πεπερασμένο άθροισμα (τύπος τετραγωνισμού):

Οι τύποι τετραγωνισμού βασίζονται στην ιδέα της αντικατάστασης του γραφήματος της ολοκλήρωσης στο τμήμα ολοκλήρωσης με συναρτήσεις περισσότερων απλός τύπος, το οποίο μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί αναλυτικά και έτσι να υπολογιστεί εύκολα. Το έργο της κατασκευής τύπων τετραγωνισμού υλοποιείται πιο εύκολα για πολυωνυμικά μαθηματικά μοντέλα.

Τρεις ομάδες μεθόδων μπορούν να διακριθούν:

1. Μέθοδος με διαίρεση του τμήματος ολοκλήρωσης σε ίσα διαστήματα. Η κατανομή σε διαστήματα γίνεται εκ των προτέρων, συνήθως τα διαστήματα επιλέγονται ίσα (για να είναι ευκολότερος ο υπολογισμός της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων). Υπολογίστε τα εμβαδά και αθροίστε τα (ορθογώνιο, τραπεζοειδές, μέθοδοι Simpson).

2. Μέθοδοι κατάτμησης του τμήματος ολοκλήρωσης με χρήση ειδικών σημείων (μέθοδος Gauss).

3. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση τυχαίων αριθμών (μέθοδος Monte Carlo).

Μέθοδος ορθογωνίου.Αφήστε τη συνάρτηση (σχήμα) να πρέπει να ενσωματωθεί αριθμητικά στο τμήμα . Διαιρέστε το τμήμα με Ν ίσα διαστήματα. Η περιοχή καθενός από τα N καμπύλα τραπεζοειδή μπορεί να αντικατασταθεί από την περιοχή ενός ορθογωνίου.

Το πλάτος όλων των ορθογωνίων είναι το ίδιο και ισούται με:

Για να επιλέξετε το ύψος των ορθογωνίων, μπορείτε να επιλέξετε την τιμή της συνάρτησης στο αριστερό περίγραμμα. Σε αυτή την περίπτωση, το ύψος του πρώτου ορθογωνίου θα είναι f(a), του δεύτερου - f(x 1),..., N-f(N-1).

Αν πάρουμε την τιμή της συνάρτησης στο δεξί περίγραμμα για να επιλέξουμε το ύψος του ορθογωνίου, τότε σε αυτήν την περίπτωση το ύψος του πρώτου ορθογωνίου θα είναι f(x 1), του δεύτερου - f(x 2), ... , Ν - f(x N).

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτή την περίπτωση ένας από τους τύπους δίνει μια προσέγγιση στο ολοκλήρωμα με μια περίσσεια και ο δεύτερος με μια ανεπάρκεια. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος - να χρησιμοποιήσετε την τιμή της συνάρτησης στη μέση του τμήματος ολοκλήρωσης για προσέγγιση:

Εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος της μεθόδου ορθογωνίου (μέση)

Εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος των μεθόδων αριστερού και δεξιού ορθογωνίου.

Παράδειγμα.Υπολογίστε για ολόκληρο το διάστημα και διαιρώντας το διάστημα σε τέσσερις ενότητες

Λύση.Ο αναλυτικός υπολογισμός αυτού του ολοκληρώματος δίνει I=arctg(1)–arctg(0)=0,7853981634. Στην περίπτωσή μας:

1)h = 1; xo = 0; x1 = 1;

2) h = 0,25 (1/4); x0 = 0; x1 = 0,25; x2 = 0,5; x3 = 0,75; x4 = 1;

Ας υπολογίσουμε με τη μέθοδο του αριστερού ορθογωνίου:

Ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ορθογωνίου:

Ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μέσου ορθογωνίου:

Τραπεζοειδής μέθοδος.Η χρήση ενός πολυωνύμου πρώτου βαθμού (μια ευθεία γραμμή που διασχίζεται από δύο σημεία) για την παρεμβολή έχει ως αποτέλεσμα τον τραπεζοειδή τύπο. Τα άκρα του τμήματος ολοκλήρωσης λαμβάνονται ως κόμβοι παρεμβολής. Έτσι, το καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές αντικαθίσταται από ένα συνηθισμένο τραπεζοειδές, το εμβαδόν του οποίου μπορεί να βρεθεί ως το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους

Στην περίπτωση των τμημάτων ολοκλήρωσης Ν για όλους τους κόμβους, με εξαίρεση τα ακραία σημεία του τμήματος, η τιμή της συνάρτησης θα συμπεριληφθεί στο συνολικό άθροισμα δύο φορές (καθώς τα γειτονικά τραπεζοειδή έχουν μια κοινή πλευρά)

Ο τραπεζοειδής τύπος μπορεί να ληφθεί λαμβάνοντας το μισό άθροισμα των τύπων των ορθογωνίων κατά μήκος της δεξιάς και της αριστερής ακμής του τμήματος:

Έλεγχος της σταθερότητας του διαλύματος.Κατά κανόνα, τόσο μικρότερο είναι το μήκος κάθε διαστήματος, δηλ. πως μεγαλύτερο αριθμόΑυτά τα διαστήματα, τόσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ της κατά προσέγγιση και της ακριβούς τιμής του ολοκληρώματος. Αυτό ισχύει για τις περισσότερες λειτουργίες. Στην τραπεζοειδή μέθοδο, το σφάλμα στον υπολογισμό του ολοκληρώματος ϭ είναι περίπου ανάλογο με το τετράγωνο του βήματος ολοκλήρωσης (ϭ ~ h 2). διαιρέστε το τμήμα σε διαστήματα N 0 και βρείτε το άθροισμα των εμβαδών του τραπεζοειδούς. Στη συνέχεια, πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό των διαστημάτων N 1, να υπολογίσετε ξανά το άθροισμα του τραπεζοειδούς και να συγκρίνετε την τιμή που προκύπτει με το προηγούμενο αποτέλεσμα. Αυτό θα πρέπει να επαναληφθεί μέχρι το (N i) μέχρι να επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια του αποτελέσματος (κριτήριο σύγκλισης).

Για τις μεθόδους ορθογωνίου και τραπεζοειδούς, συνήθως σε κάθε βήμα επανάληψης ο αριθμός των διαστημάτων αυξάνεται κατά 2 φορές (N i +1 = 2N i).

Κριτήριο σύγκλισης:

Το κύριο πλεονέκτημα του τραπεζοειδούς κανόνα είναι η απλότητά του. Ωστόσο, εάν απαιτείται υψηλή ακρίβεια κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, η χρήση αυτής της μεθόδου ενδέχεται να απαιτεί πάρα πολλά μεγάλη ποσότηταεπαναλήψεις.

Απόλυτο λάθος της τραπεζοειδούς μεθόδουεκτιμάται ως
.

Παράδειγμα.Υπολογίστε ένα περίπου ορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο.

α) Διαίρεση του τμήματος ολοκλήρωσης σε 3 μέρη.
β) Διαίρεση του τμήματος ολοκλήρωσης σε 5 μέρη.

Λύση:
α) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, το τμήμα ολοκλήρωσης πρέπει να χωριστεί σε 3 μέρη, δηλαδή.
Ας υπολογίσουμε το μήκος κάθε τμήματος διαμερίσματος: .

Ετσι, γενικός τύποςτο τραπεζοειδές μειώνεται σε ένα ευχάριστο μέγεθος:

Τελικά:

Να σας υπενθυμίσω ότι η τιμή που προκύπτει είναι μια κατά προσέγγιση τιμή της περιοχής.

β) Ας χωρίσουμε το τμήμα ολοκλήρωσης σε 5 ίσα μέρη, δηλαδή. Αυξάνοντας τον αριθμό των τμημάτων, αυξάνουμε την ακρίβεια των υπολογισμών.

Αν , τότε ο τραπεζοειδής τύπος παίρνει την ακόλουθη μορφή:

Ας βρούμε το βήμα κατάτμησης:
, δηλαδή το μήκος κάθε ενδιάμεσου τμήματος είναι 0,6.

Κατά την ολοκλήρωση της εργασίας, είναι βολικό να επισημοποιήσετε όλους τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας έναν πίνακα υπολογισμών:

Στην πρώτη γραμμή γράφουμε "counter"

Σαν άποτέλεσμα:

Λοιπόν, υπάρχει πραγματικά μια διευκρίνιση και μάλιστα σοβαρή!
Αν για 3 τμήματα διαμερισμάτων, τότε για 5 τμήματα. Εάν πάρετε ένα ακόμη μεγαλύτερο τμήμα => θα είναι ακόμα πιο ακριβές.

Η φόρμουλα του Simpson.Ο τραπεζοειδής τύπος δίνει ένα αποτέλεσμα που εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το μέγεθος του βήματος h, το οποίο επηρεάζει την ακρίβεια του υπολογισμού ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος, ειδικά σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση είναι μη μονότονη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η ακρίβεια των υπολογισμών θα αυξηθεί εάν, αντί για ευθύγραμμα τμήματα που αντικαθιστούν τα καμπυλόγραμμα τμήματα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x), χρησιμοποιήσουμε, για παράδειγμα, θραύσματα παραβολών που δίνονται μέσω τριών γειτονικών σημείων του γραφήματος. Αυτή η γεωμετρική ερμηνεία αποτελεί τη βάση της μεθόδου του Simpson για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος. Ολόκληρο το διάστημα ολοκλήρωση α,βΝ τμήματα διαιρούνται, το μήκος του τμήματος θα είναι επίσης ίσο με h=(b-a)/N.

Ο τύπος του Simpson μοιάζει με:

υπολειπόμενος όρος

Καθώς το μήκος των τμημάτων αυξάνεται, η ακρίβεια του τύπου μειώνεται, επομένως για να αυξηθεί η ακρίβεια, χρησιμοποιείται ο σύνθετος τύπος του Simpson. Ολόκληρο το διάστημα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε Ζυγός αριθμόςπανομοιότυπα τμήματα N, το μήκος του τμήματος θα είναι επίσης ίσο με h=(b-a)/N. Ο σύνθετος τύπος του Simpson είναι:

Στον τύπο, οι εκφράσεις σε αγκύλες αντιπροσωπεύουν τα αθροίσματα των τιμών του ολοκληρώματος στα άκρα των περιττών και ζυγών εσωτερικών τμημάτων, αντίστοιχα.

Το υπόλοιπο του τύπου του Simpson είναι ανάλογο με την τέταρτη δύναμη του βήματος:

Παράδειγμα:Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Simpson, υπολογίστε το ολοκλήρωμα. (Ακριβής λύση - 0,2)

Μέθοδος Gauss

Γκαουσιανός τύπος τετραγωνισμού. Η βασική αρχή των τύπων τετραγωνισμού του δεύτερου τύπου είναι ορατή από το σχήμα 1.12: είναι απαραίτητο να τοποθετηθούν τα σημεία με αυτόν τον τρόπο Χ 0 και Χ 1 μέσα στο τμήμα [ ένα;σι], έτσι ώστε το συνολικό εμβαδόν των "τριγώνων" να είναι ίσο με το εμβαδόν του "τμήματος". Όταν χρησιμοποιείται ο τύπος Gauss, το αρχικό τμήμα [ ένα;σιΤο ] ανάγεται στο τμήμα [-1;1] αντικαθιστώντας τη μεταβλητή Χεπί

0.5∙(σι– ένα)∙t+ 0.5∙(σι + ένα).

Επειτα , Οπου .

Μια τέτοια αντικατάσταση είναι δυνατή εάν έναΚαι σιείναι πεπερασμένα και η συνάρτηση φά(Χ) είναι συνεχής στις [ ένα;σι]. τύπος Gauss στο nσημεία x i, Εγώ=0,1,..,n-1 μέσα στο τμήμα [ ένα;σι]:

, (1.27)

Οπου t iΚαι A iγια διάφορα nδίνονται σε βιβλία αναφοράς. Για παράδειγμα, όταν n=2 ΕΝΑ 0 =ΕΝΑ 1 =1; στο n=3: t 0 =t 2 "0,775, t 1 =0, ΕΝΑ 0 =Α 2 "0,555, ΕΝΑ 1 "0,889.

Γκαουσιανός τύπος τετραγωνισμού

που λαμβάνεται με συνάρτηση βάρους ίση με μονάδα p(x)= 1 και κόμβοι x i, που είναι οι ρίζες των πολυωνύμων Legendre

Πιθανότητα A iεύκολο να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τύπους

Εγώ=0,1,2,...n.

Οι τιμές των κόμβων και των συντελεστών για n=2,3,4,5 δίνονται στον πίνακα

Σειρά	Κόμβοι	Πιθανότητα
n=2	x 1=0 x 0 =-x 2=0.7745966692	Α'1=8/9 Α 0 = Α 2=5/9
n=3	x 2 =-x 1=0.3399810436 x 3 =-x 0=0.8611363116	Α 1 = Α 2=0.6521451549 Α 0 = Α 3=0.6521451549
n=4	Χ 2 = 0 Χ 3 = -Χ 1 = 0.5384693101 Χ 4 =-Χ 0 =0.9061798459	ΕΝΑ 0 =0.568888899 ΕΝΑ 3 =ΕΝΑ 1 =0.4786286705 ΕΝΑ 0 =ΕΝΑ 4 =0.2869268851
n=5	Χ 5 = -Χ 0 =0.9324695142 Χ 4 = -Χ 1 =0.6612093865 Χ 3 = -Χ 2 =0.2386191861	ΕΝΑ 5 =Α 0 =0.1713244924 ΕΝΑ 4 =Α 1 =0.3607615730 ΕΝΑ 3 =Α 2 =0.4679139346

Παράδειγμα.Υπολογίστε την τιμή χρησιμοποιώντας τον τύπο Gauss για n=2:

Ακριβής αξία: .

Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο του Gauss δεν περιλαμβάνει διπλασιασμό του αριθμού των μικροτμημάτων, αλλά αύξηση του αριθμού των τεταγμένων κατά 1 και σύγκριση των λαμβανόμενων τιμών του ολοκληρώματος. Το πλεονέκτημα του τύπου Gauss είναι η υψηλή ακρίβειά του με σχετικά μικρό αριθμό τεταγμένων. Μειονεκτήματα: άβολο για χειροκίνητους υπολογισμούς. είναι απαραίτητο να αποθηκεύσετε τις τιμές στη μνήμη του υπολογιστή t i, A iγια διάφορα n.

Το σφάλμα του τύπου Gaussian τετράγωνο στο τμήμα θα είναι Για τον υπόλοιπο όρο ο τύπος θα είναι και ο συντελεστής α Νμειώνεται γρήγορα με την ανάπτυξη Ν. Εδώ

Οι τύποι Gauss παρέχουν υψηλή ακρίβεια ακόμη και με μικρό αριθμό κόμβων (από 4 έως 10 Σε αυτή την περίπτωση, σε πρακτικούς υπολογισμούς ο αριθμός των κόμβων κυμαίνεται από αρκετές εκατοντάδες έως αρκετές χιλιάδες). Σημειώστε επίσης ότι τα βάρη των τεταρτημορίων Gauss είναι πάντα θετικά, γεγονός που εξασφαλίζει τη σταθερότητα του αλγορίθμου για τον υπολογισμό των αθροισμάτων

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.Κατά την επίλυση προβλημάτων, είναι συχνά απαραίτητο να βρεθεί η παράγωγος μια ορισμένη σειράαπό τη συνάρτηση f(x), που δίνεται σε πίνακα. Επιπλέον, μερικές φορές, λόγω της πολυπλοκότητας της αναλυτικής έκφρασης της συνάρτησης f(x), η άμεση διαφοροποίησή της είναι πολύ δύσκολη, καθώς και κατά την αριθμητική επίλυση διαφορικές εξισώσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρησιμοποιείται αριθμητική διαφοροποίηση.

Μετά την ευθυγράμμιση παίρνουμε τη συνάρτηση τον παρακάτω τύπο: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Μπορούμε να προσεγγίσουμε αυτά τα δεδομένα χρησιμοποιώντας τη γραμμική σχέση y = a x + b υπολογίζοντας τις αντίστοιχες παραμέτρους. Για να γίνει αυτό, θα χρειαστεί να εφαρμόσουμε τη λεγόμενη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Θα χρειαστεί επίσης να κάνετε ένα σχέδιο για να ελέγξετε ποια γραμμή θα ευθυγραμμίσει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τι ακριβώς είναι το OLS (μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων)

Το κύριο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε τέτοιους συντελεστές γραμμικής εξάρτησης στους οποίους η τιμή της συνάρτησης δύο μεταβλητών F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 θα είναι η μικρότερο. Με άλλα λόγια, για ορισμένες τιμές των a και b, το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των παρουσιαζόμενων δεδομένων από την προκύπτουσα ευθεία θα έχει μια ελάχιστη τιμή. Αυτή είναι η έννοια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε για να λύσουμε το παράδειγμα είναι να βρούμε το άκρο της συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Πώς να εξάγετε τύπους για τον υπολογισμό των συντελεστών

Για να εξαγάγετε τύπους για τον υπολογισμό των συντελεστών, πρέπει να δημιουργήσετε και να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους της παράστασης F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ως προς τα a και b και τις εξισώνουμε με 0.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n b = ∑ i = ∑ i = ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Για να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιεσδήποτε μεθόδους, για παράδειγμα, την αντικατάσταση ή τη μέθοδο του Cramer. Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να έχουμε τύπους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των συντελεστών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 1 n

Έχουμε υπολογίσει τις τιμές των μεταβλητών στις οποίες η συνάρτηση
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) Το 2 θα λάβει την ελάχιστη τιμή. Στην τρίτη παράγραφο θα αποδείξουμε γιατί είναι ακριβώς έτσι.

Αυτή είναι η εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων στην πράξη. Ο τύπος του, ο οποίος χρησιμοποιείται για την εύρεση της παραμέτρου a, περιλαμβάνει ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, καθώς και την παράμετρο
n – υποδηλώνει την ποσότητα των πειραματικών δεδομένων. Σας συμβουλεύουμε να υπολογίσετε κάθε ποσό ξεχωριστά. Η τιμή του συντελεστή b υπολογίζεται αμέσως μετά το α.

Ας επιστρέψουμε στο αρχικό παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Εδώ έχουμε n ίσον πέντε. Για να γίνει πιο βολικός ο υπολογισμός των απαιτούμενων ποσών που περιλαμβάνονται στους τύπους συντελεστών, ας συμπληρώσουμε τον πίνακα.

	i=1	i=2	i = 3	i=4	i=5	∑ i = 1 5
x i	0	1	2	4	5	12
y i	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
x i y i	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
x i 2	0	1	4	16	25	46

Λύση

Η τέταρτη σειρά περιλαμβάνει τα δεδομένα που λαμβάνονται πολλαπλασιάζοντας τις τιμές από τη δεύτερη σειρά με τις τιμές της τρίτης για κάθε άτομο i. Η πέμπτη γραμμή περιέχει τα δεδομένα από τη δεύτερη, στο τετράγωνο. Η τελευταία στήλη δείχνει τα αθροίσματα των τιμών των μεμονωμένων σειρών.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να υπολογίσουμε τους συντελεστές a και b που χρειαζόμαστε. Για να γίνει αυτό, ας αντικαταστήσουμε απαιτούμενες τιμέςαπό την τελευταία στήλη και υπολογίστε τα ποσά:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a ∑ i = 3 x ∑ i = 1 n - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

Αποδεικνύεται ότι η απαιτούμενη προσεγγιστική ευθεία θα μοιάζει με y = 0, 165 x + 2, 184. Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε ποια γραμμή θα προσεγγίσει καλύτερα τα δεδομένα - g (x) = x + 1 3 + 1 ή 0, 165 x + 2, 184. Ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Για να υπολογίσουμε το σφάλμα, πρέπει να βρούμε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των δεδομένων από τις ευθείες σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 και σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2, η ελάχιστη τιμή θα αντιστοιχεί σε μια πιο κατάλληλη γραμμή.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0,096

Απάντηση:αφού σ 1< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0,165 x + 2,184.

Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων φαίνεται ξεκάθαρα στη γραφική απεικόνιση. Η κόκκινη γραμμή σημειώνει την ευθεία g (x) = x + 1 3 + 1, η μπλε γραμμή σημειώνει y = 0, 165 x + 2, 184. Τα αρχικά δεδομένα υποδεικνύονται με ροζ κουκκίδες.

Ας εξηγήσουμε γιατί απαιτούνται ακριβώς προσεγγίσεις αυτού του τύπου.

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε εργασίες που απαιτούν εξομάλυνση δεδομένων, καθώς και σε εκείνες όπου τα δεδομένα πρέπει να παρεμβάλλονται ή να προεκταθούν. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα που συζητήθηκε παραπάνω, θα μπορούσε κανείς να βρει την τιμή της παρατηρούμενης ποσότητας y στο x = 3 ή στο x = 6. Έχουμε αφιερώσει ένα ξεχωριστό άρθρο σε τέτοια παραδείγματα.

Απόδειξη της μεθόδου OLS

Για να λάβει η συνάρτηση ελάχιστη τιμή όταν υπολογίζονται τα a και b, είναι απαραίτητο σε ένα δεδομένο σημείο ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής του διαφορικού της συνάρτησης της μορφής F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 είναι θετική οριστική. Ας σας δείξουμε πώς πρέπει να φαίνεται.

Παράδειγμα 2

Έχουμε ένα διαφορικό δεύτερης τάξης της ακόλουθης μορφής:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 β

Λύση

δ 2 F (a ; β) δ a 2 = δ δ F (a ; β) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; β) δ a δ b = δ δ F (a; β) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; β) δ b 2 = δ δ F (a ; β) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + β)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Με άλλα λόγια, μπορούμε να το γράψουμε ως εξής: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

Λάβαμε έναν πίνακα της τετραγωνικής μορφής M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n .

Σε αυτή την περίπτωση οι τιμές μεμονωμένα στοιχείαδεν θα αλλάξει ανάλογα με τα α και β. Είναι θετικός αυτός ο πίνακας ορισμένος; Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας ελέγξουμε αν τα γωνιακά ελάσσονα είναι θετικά.

Υπολογίζουμε τη γωνιακή ελάσσονα πρώτης τάξης: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . Εφόσον τα σημεία x i δεν συμπίπτουν, η ανισότητα είναι αυστηρή. Αυτό θα το έχουμε υπόψη σε περαιτέρω υπολογισμούς.

Υπολογίζουμε το δευτερεύον γωνιακό δευτερεύον:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2

Μετά από αυτό, προχωράμε στην απόδειξη της ανισότητας n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή.

1. Ας ελέγξουμε αν αυτή η ανισότητα ισχύει για ένα αυθαίρετο n. Ας πάρουμε 2 και ας υπολογίσουμε:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Έχουμε λάβει μια σωστή ισότητα (αν οι τιμές x 1 και x 2 δεν συμπίπτουν).

1. Ας κάνουμε την υπόθεση ότι αυτή η ανισότητα θα ισχύει για το n, δηλ. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – αληθές.
2. Τώρα θα αποδείξουμε την εγκυρότητα για n + 1, δηλ. ότι (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, αν n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Υπολογίζουμε:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1 n x i + ∑ i = n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Η έκφραση που περικλείεται σε σγουρά άγκιστρα θα είναι μεγαλύτερη από 0 (με βάση αυτό που υποθέσαμε στο βήμα 2) και οι υπόλοιποι όροι θα είναι μεγαλύτεροι από 0, καθώς είναι όλοι τετράγωνα αριθμών. Έχουμε αποδείξει την ανισότητα.

Απάντηση:τα ευρεθέντα α και β θα ταιριάζουν χαμηλότερη τιμήσυναρτήσεις F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2, που σημαίνει ότι είναι οι επιθυμητές παράμετροι της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (LSM).

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Το οποίο βρίσκει την ευρύτερη εφαρμογή σε διάφορους τομείς της επιστήμης και πρακτικές δραστηριότητες. Αυτό θα μπορούσε να είναι η φυσική, η χημεία, η βιολογία, η οικονομία, η κοινωνιολογία, η ψυχολογία, και ούτω καθεξής, ούτω καθεξής. Με τη θέληση της μοίρας, συχνά πρέπει να ασχοληθώ με την οικονομία, και ως εκ τούτου σήμερα θα κανονίσω για εσάς ένα ταξίδι σε μια καταπληκτική χώρα που ονομάζεται Οικονομετρία=) ...Πώς να μην το θέλεις;! Είναι πολύ καλά εκεί - απλά πρέπει να αποφασίσετε! ...Αλλά αυτό που πιθανώς σίγουρα θέλετε είναι να μάθετε πώς να λύνετε προβλήματα μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Και ιδιαίτερα οι επιμελείς αναγνώστες θα μάθουν να τα λύνουν όχι μόνο με ακρίβεια, αλλά και ΠΟΛΥ ΓΡΗΓΟΡΑ ;-) Αλλά πρώτα γενική δήλωση του προβλήματος+ συνοδευτικό παράδειγμα:

Αφήστε μερικά θεματική ενότηταμελετώνται δείκτες που έχουν ποσοτική έκφραση. Ταυτόχρονα, υπάρχει κάθε λόγος να πιστεύουμε ότι ο δείκτης εξαρτάται από τον δείκτη. Αυτή η υπόθεση μπορεί να είναι είτε επιστημονική υπόθεση είτε να βασίζεται σε στοιχειώδη ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ. Ας αφήσουμε την επιστήμη στην άκρη, ωστόσο, και ας εξερευνήσουμε πιο ορεκτικές περιοχές - συγκεκριμένα, τα παντοπωλεία. Ας χαρακτηρίσουμε με:

– Χώρος λιανικής παντοπωλείου, τ.μ.,
– ετήσιος κύκλος εργασιών ενός παντοπωλείου, εκατομμύρια ρούβλια.

Είναι απολύτως σαφές ότι όσο μεγαλύτερη είναι η περιοχή του καταστήματος, τόσο μεγαλύτερος θα είναι στις περισσότερες περιπτώσεις ο τζίρος του.

Ας υποθέσουμε ότι μετά από παρατηρήσεις/πειράματα/υπολογισμούς/χορούς με ντέφι έχουμε στη διάθεσή μας αριθμητικά δεδομένα:

Με τα παντοπωλεία, νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα: - αυτή είναι η περιοχή του 1ου καταστήματος, - ο ετήσιος τζίρος του, - η περιοχή του 2ου καταστήματος, - ο ετήσιος τζίρος του κ.λπ. Παρεμπιπτόντως, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να έχετε πρόσβαση σε ταξινομημένα υλικά - μια αρκετά ακριβής εκτίμηση του εμπορικού κύκλου εργασιών μπορεί να επιτευχθεί μέσω μαθηματικές στατιστικές. Ωστόσο, ας μην αποσπαζόμαστε, το μάθημα εμπορικής κατασκοπείας είναι ήδη πληρωμένο =)

Τα δεδομένα πίνακα μπορούν επίσης να γραφτούν με τη μορφή σημείων και να απεικονιστούν με τη γνωστή μορφή Καρτεσιανό σύστημα .

Ας απαντήσουμε σε μια σημαντική ερώτηση: Πόσα μόρια χρειάζονται για μια ποιοτική μελέτη;

Οσο μεγαλύτερο τόσο καλύτερα. Το ελάχιστο αποδεκτό σετ αποτελείται από 5-6 πόντους. Επιπλέον, όταν ο όγκος των δεδομένων είναι μικρός, τα «ανώμαλα» αποτελέσματα δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στο δείγμα. Έτσι, για παράδειγμα, ένα μικρό κατάστημα ελίτ μπορεί να κερδίσει τάξεις μεγέθους περισσότερες από «τους συναδέλφους του», παραμορφώνοντας έτσι γενικό μοτίβο, που είναι αυτό που πρέπει να βρείτε!

Για να το θέσω πολύ απλά, πρέπει να επιλέξουμε μια συνάρτηση, πρόγραμμαπου περνά όσο πιο κοντά στα σημεία . Αυτή η συνάρτηση καλείται προσεγγίζοντας (προσέγγιση - προσέγγιση)ή θεωρητική λειτουργία . Σε γενικές γραμμές, ένας προφανής "υποψήφιος" εμφανίζεται αμέσως εδώ - ένα πολυώνυμο υψηλού βαθμού, το γράφημα του οποίου διέρχεται από ΟΛΑ τα σημεία. Αλλά αυτή η επιλογή είναι περίπλοκη και συχνά απλά λανθασμένη. (καθώς το γράφημα θα "κυκλοφορεί" συνεχώς και θα αντικατοπτρίζει ελάχιστα την κύρια τάση).

Έτσι, η συνάρτηση που αναζητείται θα πρέπει να είναι αρκετά απλή και ταυτόχρονα να αντικατοπτρίζει επαρκώς την εξάρτηση. Όπως μπορείτε να μαντέψετε, ονομάζεται μία από τις μεθόδους εύρεσης τέτοιων συναρτήσεων μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Αρχικά, ας δούμε την ουσία του γενική εικόνα. Αφήστε κάποια συνάρτηση να προσεγγίσει τα πειραματικά δεδομένα:


Πώς να αξιολογήσετε την ακρίβεια αυτής της προσέγγισης; Ας υπολογίσουμε επίσης τις διαφορές (αποκλίσεις) μεταξύ των πειραματικών και των λειτουργικών τιμών (μελετούμε το σχέδιο). Η πρώτη σκέψη που έρχεται στο μυαλό είναι να υπολογίσουμε πόσο μεγάλο είναι το άθροισμα, αλλά το πρόβλημα είναι ότι οι διαφορές μπορεί να είναι αρνητικές (Για παράδειγμα, ) και οι αποκλίσεις ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας άθροισης θα αλληλοεξουδετερωθούν. Επομένως, ως εκτίμηση της ακρίβειας της προσέγγισης, ζητά να ληφθεί το άθροισμα ενότητεςαποκλίσεις:

ή κατέρρευσε: (σε περίπτωση που κάποιος δεν ξέρει: – αυτό είναι το εικονίδιο αθροίσματος και – μια βοηθητική μεταβλητή – «μετρητής», που παίρνει τιμές από 1 έως ).

Φέρνοντας τα πειραματικά σημεία πιο κοντά διάφορες λειτουργίες, θα παραλαβουμε διαφορετικές έννοιες, και προφανώς, όπου αυτό το ποσό είναι μικρότερο, αυτή η συνάρτηση είναι πιο ακριβής.

Μια τέτοια μέθοδος υπάρχει και λέγεται μέθοδος ελάχιστου συντελεστή. Ωστόσο, στην πράξη έλαβα πολλά μεγαλύτερη κατανομή μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου, στην οποία οι πιθανές αρνητικές τιμές εξαλείφονται όχι από τη μονάδα, αλλά με τον τετραγωνισμό των αποκλίσεων:

, μετά την οποία οι προσπάθειες στοχεύουν στην επιλογή μιας συνάρτησης τέτοιας ώστε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων ήταν όσο το δυνατόν μικρότερο. Στην πραγματικότητα, από αυτό προέρχεται το όνομα της μεθόδου.

Και τώρα επιστρέφουμε σε κάτι άλλο σημαντικό σημείο: όπως σημειώθηκε παραπάνω, η επιλεγμένη συνάρτηση θα πρέπει να είναι αρκετά απλή - αλλά υπάρχουν και πολλές τέτοιες λειτουργίες: γραμμικός , υπερβολικός, εκθετικός, λογαριθμική, τετραγωνικός και τα λοιπά. Και, φυσικά, εδώ θα ήθελα αμέσως να «μειώσω το πεδίο δραστηριότητας». Ποια κατηγορία συναρτήσεων πρέπει να επιλέξω για έρευνα; Μια πρωτόγονη αλλά αποτελεσματική τεχνική:

– Ο ευκολότερος τρόπος είναι να απεικονίσετε σημεία στο σχέδιο και αναλύστε τη θέση τους. Εάν τείνουν να τρέχουν σε ευθεία γραμμή, τότε θα πρέπει να ψάξετε εξίσωση μιας γραμμής με βέλτιστες τιμές και . Με άλλα λόγια, το καθήκον είναι να βρεθούν ΤΕΤΟΙΟΙ συντελεστές έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων να είναι το μικρότερο.

Εάν τα σημεία βρίσκονται, για παράδειγμα, κατά μήκος υπερβολή, τότε είναι προφανώς σαφές ότι η γραμμική συνάρτηση θα δώσει κακή προσέγγιση. Σε αυτή την περίπτωση, αναζητούμε τους πιο «ευνοϊκούς» συντελεστές για την εξίσωση της υπερβολής – αυτά που δίνουν το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων .

Τώρα σημειώστε ότι και στις δύο περιπτώσεις μιλάμε συναρτήσεις δύο μεταβλητών, των οποίων τα επιχειρήματα είναι αναζητήθηκαν παράμετροι εξάρτησης:

Και ουσιαστικά πρέπει να λύσουμε ένα τυπικό πρόβλημα - να βρούμε ελάχιστη συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Ας θυμηθούμε το παράδειγμά μας: ας υποθέσουμε ότι τα σημεία «καταστήματος» τείνουν να βρίσκονται σε ευθεία γραμμή και υπάρχει κάθε λόγος να πιστεύουμε την παρουσία γραμμική εξάρτησητζίρο από χώρους λιανικής. Ας βρούμε ΤΕΤΟΙΟΥΣ συντελεστές "a" και "be" τέτοιοι ώστε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων ήταν το μικρότερο. Όλα είναι όπως συνήθως - πρώτα Μερικά παράγωγα 1ης τάξης. Σύμφωνα με κανόνας γραμμικότηταςΜπορείτε να διαφοροποιήσετε ακριβώς κάτω από το εικονίδιο άθροισης:

Εάν θέλετε να χρησιμοποιήσετε αυτές τις πληροφορίες για ένα δοκίμιο ή εργασία διάρκειας, θα σας είμαι πολύ ευγνώμων για τον σύνδεσμο στη λίστα των πηγών, θα βρείτε τέτοιους λεπτομερείς υπολογισμούς σε λίγα σημεία:

Ας δημιουργήσουμε ένα τυπικό σύστημα:

Μειώνουμε κάθε εξίσωση κατά "δύο" και, επιπλέον, "διασπάμε" τα αθροίσματα:

Σημείωση : αναλύστε ανεξάρτητα γιατί το «a» και το «be» μπορούν να αφαιρεθούν πέρα ​​από το εικονίδιο αθροίσματος. Παρεμπιπτόντως, τυπικά αυτό μπορεί να γίνει με το άθροισμα

Ας ξαναγράψουμε το σύστημα σε «εφαρμοσμένη» μορφή:

μετά από το οποίο αρχίζει να εμφανίζεται ο αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματός μας:

Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων; Ξέρουμε. Ποσά μπορούμε να το βρούμε; Εύκολα. Ας κάνουμε το πιο απλό σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο αγνώστους(«α» και «είναι»). Λύνουμε το σύστημα, για παράδειγμα, Η μέθοδος του Cramer, με αποτέλεσμα να αποκτήσουμε ένα ακίνητο σημείο. Ελεγχος επαρκής συνθήκη για εξτρέμ, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι σε αυτό το σημείο η συνάρτηση φτάνει ακριβώς ελάχιστο. Ο έλεγχος περιλαμβάνει πρόσθετους υπολογισμούς και ως εκ τούτου θα τον αφήσουμε στο παρασκήνιο (εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να δείτε το πλαίσιο που λείπει). Καταλήγουμε στο τελικό συμπέρασμα:

Λειτουργία ο καλύτερος τρόπος (τουλάχιστον σε σύγκριση με οποιαδήποτε άλλη γραμμική συνάρτηση)φέρνει πιο κοντά τα πειραματικά σημεία . Σε γενικές γραμμές, το γράφημά του περνά όσο το δυνατόν πιο κοντά σε αυτά τα σημεία. Στην παράδοση οικονομετρίακαλείται επίσης η συνάρτηση προσέγγισης που προκύπτει ζευγαρωμένη γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης .

Το πρόβλημα που εξετάζεται έχει μεγάλη πρακτική σημασία. Στο παράδειγμά μας, η εξ. σας επιτρέπει να προβλέψετε τι κύκλο εργασιών ("Igrek")το κατάστημα θα έχει στη μία ή την άλλη αξία του χώρου πώλησης (η μία ή η άλλη σημασία του "x"). Ναι, η πρόβλεψη που προκύπτει θα είναι μόνο μια πρόβλεψη, αλλά σε πολλές περιπτώσεις θα αποδειχθεί αρκετά ακριβής.

Θα αναλύσω μόνο ένα πρόβλημα με "πραγματικούς" αριθμούς, καθώς δεν υπάρχουν δυσκολίες - όλοι οι υπολογισμοί είναι στο επίπεδο σχολικό πρόγραμμα σπουδών 7-8 τάξεις. Στο 95 τοις εκατό των περιπτώσεων, θα σας ζητηθεί να βρείτε μόνο μια γραμμική συνάρτηση, αλλά στο τέλος του άρθρου θα δείξω ότι δεν είναι πιο δύσκολο να βρείτε τις εξισώσεις της βέλτιστης υπερβολής, της εκθετικής και ορισμένων άλλων συναρτήσεων.

Στην πραγματικότητα, το μόνο που μένει είναι να διανείμετε τα καλούδια που υποσχέθηκαν - ώστε να μάθετε να λύνετε τέτοια παραδείγματα όχι μόνο με ακρίβεια, αλλά και γρήγορα. Μελετάμε προσεκτικά το πρότυπο:

Εργο

Ως αποτέλεσμα της μελέτης της σχέσης μεταξύ δύο δεικτών, λάβαμε επόμενα ζευγάριααριθμοί:

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, βρείτε τη γραμμική συνάρτηση που προσεγγίζει καλύτερα την εμπειρική (έμπειρος)δεδομένα. Κάντε ένα σχέδιο στο οποίο θα κατασκευαστούν πειραματικά σημεία και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατά προσέγγιση σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων . Βρείτε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων μεταξύ των εμπειρικών και των θεωρητικών τιμών. Μάθετε αν το χαρακτηριστικό θα ήταν καλύτερο (από την άποψη της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων)φέρνουν πιο κοντά τα πειραματικά σημεία.

Σημειώστε ότι οι έννοιες "x" είναι φυσικές, και αυτό έχει μια χαρακτηριστική σημασία, για την οποία θα μιλήσω λίγο αργότερα. αλλά φυσικά μπορούν να είναι και κλασματικά. Επιπλέον, ανάλογα με το περιεχόμενο μιας συγκεκριμένης εργασίας, τόσο οι τιμές "X" και "παιχνίδι" μπορεί να είναι εντελώς ή εν μέρει αρνητικές. Λοιπόν, μας έχει δοθεί μια «απρόσωπη» εργασία και την ξεκινάμε λύση:

Βρίσκουμε τους συντελεστές της βέλτιστης συνάρτησης ως λύση στο σύστημα:

Για λόγους πιο συμπαγούς εγγραφής, η μεταβλητή «counter» μπορεί να παραλειφθεί, καθώς είναι ήδη σαφές ότι η άθροιση πραγματοποιείται από το 1 έως το .

Υπολογισμός τα απαιτούμενα ποσάΕίναι πιο βολικό να το βάλετε σε μορφή πίνακα:


Οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν σε μικροϋπολογιστή, αλλά είναι πολύ καλύτερο να χρησιμοποιείτε το Excel - τόσο πιο γρήγορα όσο και χωρίς σφάλματα. δείτε ένα σύντομο βίντεο:

Έτσι, παίρνουμε το εξής Σύστημα:

Εδώ μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 3 και αφαιρέστε το 2ο από την 1η εξίσωση όρο προς όρο. Αλλά αυτό είναι τύχη - στην πράξη, τα συστήματα συχνά δεν είναι δώρο, και σε τέτοιες περιπτώσεις εξοικονομεί Η μέθοδος του Cramer:
, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Ας ελέγξουμε. Καταλαβαίνω ότι δεν θέλετε, αλλά γιατί να παραλείψετε σφάλματα όπου δεν μπορείτε να χάσετε; Ας αντικαταστήσουμε τη λύση που βρέθηκε αριστερή πλευράκάθε εξίσωση του συστήματος:

Λαμβάνονται οι δεξιές πλευρές των αντίστοιχων εξισώσεων, που σημαίνει ότι το σύστημα έχει λυθεί σωστά.

Έτσι, η επιθυμητή συνάρτηση προσέγγισης: – από Ολοι γραμμικές συναρτήσεις Είναι αυτή που προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά δεδομένα.

Διαφορετικός ευθεία εξάρτηση του τζίρου του καταστήματος από την περιοχή του, η διαπιστωθείσα εξάρτηση είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ (αρχή «όσο περισσότερα, τόσο λιγότερο»), και το γεγονός αυτό αποκαλύπτεται αμέσως από το αρνητικό κλίση. Λειτουργία μας λέει ότι με αύξηση ενός συγκεκριμένου δείκτη κατά 1 μονάδα, η τιμή του εξαρτημένου δείκτη μειώνεται μέση τιμήκατά 0,65 μονάδες. Όπως λένε, όσο υψηλότερη είναι η τιμή του φαγόπυρου, τόσο λιγότερο πωλείται.

Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης κατά προσέγγιση, βρίσκουμε τις δύο τιμές της:

και εκτελέστε το σχέδιο:


Η κατασκευασμένη ευθεία ονομάζεται γραμμή τάσης (δηλαδή, μια γραμμική γραμμή τάσης, δηλ. in γενική περίπτωσημια τάση δεν είναι απαραίτητα μια ευθεία γραμμή). Όλοι είναι εξοικειωμένοι με την έκφραση «να είσαι στην τάση» και νομίζω ότι αυτός ο όρος δεν χρειάζεται επιπλέον σχόλια.

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων μεταξύ εμπειρικών και θεωρητικών αξιών. Γεωμετρικά, αυτό είναι το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των τμημάτων "βατόμουρου" (δύο από τα οποία είναι τόσο μικρά που δεν φαίνονται καν).

Ας συνοψίσουμε τους υπολογισμούς σε έναν πίνακα:


Και πάλι, μπορούν να γίνουν χειροκίνητα για κάθε περίπτωση, θα δώσω ένα παράδειγμα για το 1ο σημείο:

αλλά είναι πολύ πιο αποτελεσματικό να το κάνουμε με τον ήδη γνωστό τρόπο:

Επαναλαμβάνουμε για άλλη μια φορά: Ποιο είναι το νόημα του αποτελέσματος που προκύπτει;Από όλες τις γραμμικές συναρτήσειςσυνάρτηση y ο δείκτης είναι ο μικρότερος, δηλαδή στην οικογένειά του είναι η καλύτερη προσέγγιση. Και εδώ, παρεμπιπτόντως, το τελευταίο ερώτημα του προβλήματος δεν είναι τυχαίο: τι θα συμβεί αν η προτεινόμενη εκθετική συνάρτηση θα ήταν καλύτερα να φέρουμε τα πειραματικά σημεία πιο κοντά;

Ας βρούμε το αντίστοιχο άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων - για να τις διακρίνω, θα τις χαρακτηρίσω με το γράμμα «έψιλον». Η τεχνική είναι ακριβώς η ίδια:


Και πάλι, για παν ενδεχόμενο, υπολογισμοί για τον 1ο βαθμό:

Στο Excel χρησιμοποιούμε την τυπική συνάρτηση ΛΗΞΗ (η σύνταξη βρίσκεται στη Βοήθεια του Excel).

συμπέρασμα: , που σημαίνει ότι η εκθετική συνάρτηση προσεγγίζει τα πειραματικά σημεία χειρότερα από μια ευθεία γραμμή .

Αλλά εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι το "χειρότερο" είναι δεν σημαίνει ακόμα, τι συμβαίνει. Τώρα έχω φτιάξει ένα γράφημα αυτής της εκθετικής συνάρτησης - και περνάει επίσης κοντά στα σημεία - τόσο πολύ που χωρίς αναλυτική έρευνα είναι δύσκολο να πούμε ποια συνάρτηση είναι πιο ακριβής.

Αυτό ολοκληρώνει τη λύση και επιστρέφω στο ζήτημα των φυσικών αξιών του επιχειρήματος. Σε διάφορες μελέτες, συνήθως οικονομικές ή κοινωνιολογικές, τα φυσικά «Χ» χρησιμοποιούνται για τον αριθμό μηνών, ετών ή άλλων ίσων χρονικών διαστημάτων. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το ακόλουθο πρόβλημα.

3.5. Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου

Η πρώτη εργασία που έθεσε τα θεμέλια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων πραγματοποιήθηκε από τον Legendre το 1805. Στο άρθρο «Νέες μέθοδοι για τον προσδιορισμό των τροχιών των κομητών», έγραψε: «Αφού έχουν χρησιμοποιηθεί πλήρως όλες οι συνθήκες του προβλήματος, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντελεστές έτσι ώστε το μέγεθος των σφαλμάτων τους να είναι το μικρότερο δυνατό. Πλέον με απλό τρόποΓια να επιτευχθεί αυτό είναι μια μέθοδος που συνίσταται στην εύρεση του ελάχιστου αθροίσματος των τετραγώνων σφαλμάτων Επί του παρόντος, η μέθοδος χρησιμοποιείται πολύ ευρέως κατά την προσέγγιση άγνωστων συναρτησιακών εξαρτήσεων που καθορίζονται από πολλά πειραματικά δείγματα, προκειμένου να ληφθεί μια αναλυτική έκφραση που προσεγγίζεται καλύτερα σε πλήρη. - πείραμα κλίμακας.

Ας είναι, με βάση ένα πείραμα, απαραίτητο να καθοριστεί η λειτουργική εξάρτηση της ποσότητας y από x : Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα του πειράματος που λάβαμεnαξίες yγια τις αντίστοιχες τιμές του ορίσματοςΧ. Εάν τα πειραματικά σημεία βρίσκονται στο επίπεδο συντεταγμένων όπως στο σχήμα, τότε, γνωρίζοντας ότι συμβαίνουν σφάλματα κατά τη διάρκεια του πειράματος, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η εξάρτηση είναι γραμμική, δηλ.y= τσεκούρι+ σιΣημειώστε ότι η μέθοδος δεν επιβάλλει περιορισμούς στον τύπο της συνάρτησης, π.χ. μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε λειτουργική εξάρτηση.

Από την πλευρά του πειραματιστή, είναι συχνά πιο φυσικό να θεωρηθεί ότι η ακολουθία δειγματοληψίαςκαθορισμένο εκ των προτέρων, δηλ. είναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή και μετράει - εξαρτημένη μεταβλητή Αυτό είναι ιδιαίτερα σαφές εάν είναι κάτω νοούνται ως στιγμές στο χρόνο, που χρησιμοποιείται ευρέως σε τεχνικές εφαρμογές, αλλά αυτή είναι μόνο μια πολύ κοινή ειδική περίπτωση. Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν ορισμένα δείγματα κατά μέγεθος. Στη συνέχεια, η ανεξάρτητη μεταβλητή θα είναι ο αριθμός του δείγματος, η εξαρτημένη μεταβλητή θα είναι το ατομικό της μέγεθος.

Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων περιγράφεται λεπτομερώς σε πολλές εκπαιδευτικές και επιστημονικές δημοσιεύσεις, ιδίως όσον αφορά την προσέγγιση των συναρτήσεων στην ηλεκτρολογία και τη ραδιομηχανική, καθώς και σε βιβλία για τη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική.

Ας επιστρέψουμε στο σχέδιο. Οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν ότι τα σφάλματα μπορεί να προκύψουν όχι μόνο λόγω ατελών διαδικασιών μέτρησης, αλλά και λόγω ανακρίβειας στον καθορισμό της ανεξάρτητης μεταβλητής με τον επιλεγμένο τύπο συνάρτησης Το μόνο που μένει είναι να επιλέξετε τις παραμέτρους που περιλαμβάνονται σε αυτόέναΚαι σιΕίναι σαφές ότι ο αριθμός των παραμέτρων μπορεί να είναι μεγαλύτερος από δύο, κάτι που είναι τυπικό μόνο για γραμμικές συναρτήσεις Γενικά, θα υποθέσουμε

.(1)

Πρέπει να επιλέξετε πιθανότητεςένα, σι, ντο... ώστε να πληρούται η προϋπόθεση

. (2)

Ας βρούμε τις αξίες ένα, σι, ντο..., στρέφοντας την αριστερή πλευρά του (2) στο ελάχιστο. Για να γίνει αυτό, ορίζουμε ακίνητα σημεία(σημεία στα οποία εξαφανίζεται η πρώτη παράγωγος) διαφοροποιώντας την αριστερή πλευρά του (2) σε σχέση μεένα, σι, ντο:

(3)

κλπ. Το προκύπτον σύστημα εξισώσεων περιέχει τόσες εξισώσεις όσες και άγνωστουςένα, σι, ντο…. Είναι αδύνατο να λυθεί ένα τέτοιο σύστημα σε μια γενική μορφή, επομένως είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε, τουλάχιστον κατά προσέγγιση, έναν συγκεκριμένο τύπο συνάρτησης Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις: γραμμικές και τετραγωνικές συναρτήσεις.

Γραμμική συνάρτηση .

Θεωρήστε το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών πειραματικές τιμέςκαι τιμές συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία:

(4)

Ας επιλέξουμε τις παραμέτρουςέναΚαι σιώστε το ποσό αυτό να έχει τη μικρότερη αξία. Έτσι, η εργασία καταλήγει στην εύρεση των τιμώνέναΚαι σι, στο οποίο η συνάρτηση έχει ελάχιστο, δηλαδή να μελετήσει τη συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητώνέναΚαι σιστο ελάχιστο. Για να γίνει αυτό, διαφοροποιούμε κατάέναΚαι σι:

;

.

Ή

(5)

Αντικαθιστώντας τα πειραματικά δεδομένα και , λαμβάνουμε ένα σύστημα δύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο αγνώστουςέναΚαι σι. Έχοντας λύσει αυτό το σύστημα, μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση .

Ας βεβαιωθούμε ότι για τις τιμές που βρέθηκανέναΚαι σιέχει ένα ελάχιστο. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε και:

, , .

Ως εκ τούτου,

− = ,

>0,

εκείνοι. ικανοποιείται μια επαρκής ελάχιστη συνθήκη για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Τετραγωνική λειτουργία .

Αφήστε το πείραμα να λάβει τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία. Έστω επίσης, με βάση εκ των προτέρων πληροφορίες, η υπόθεση ότι η συνάρτηση είναι τετραγωνική:

.

Πρέπει να βρούμε τους συντελεστέςένα, σιΚαι ντο.Εχουμε

– συνάρτηση τριών μεταβλητώνένα, σι, ντο.

Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα (3) έχει τη μορφή:

Ή:

Έχοντας λύσει αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων, προσδιορίζουμε τους αγνώστουςένα, σι, ντο.

Παράδειγμα.Ας ληφθούν τέσσερις τιμές της επιθυμητής συνάρτησης με βάση το πείραμα y = (x ) με τέσσερις τιμές του ορίσματος, οι οποίες δίνονται στον πίνακα:

2024 nc1.ru. Διαγνωστικά και ασθένειες. Φάρμακα από το Α έως το Ω Επεξεργασία με Live CSS