Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία. Γωνία μεταξύ δύο γραμμών. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προσδιορισμός του σημείου τομής δύο ευθειών

1. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(Χ - Χ 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1), που ονομάζεται κέντρο της δέσμης.

2. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) και σι(Χ 2 , y 2) γράφεται ως εξής:

Η κλίση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

3. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών ΕΝΑΚαι σιείναι η γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί η πρώτη ευθεία ΕΝΑγύρω από το σημείο τομής αυτών των γραμμών αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με τη δεύτερη γραμμή σι. Αν δίδονται δύο ευθείες με εξισώσεις κλίσης

y = κ 1 Χ + σι 1 ,

Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο K(x 0; y 0) και είναι παράλληλη προς την ευθεία y = kx + a βρίσκεται με τον τύπο:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Όπου k είναι η κλίση της ευθείας.

Εναλλακτική φόρμουλα:
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1 ; y 1) και είναι παράλληλη προς την ευθεία Ax+By+C=0 αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Κ( ;) παράλληλη προς την ευθεία y = x + .

Παράδειγμα #1. Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (-2.1) και ταυτόχρονα:
α) παράλληλη προς την ευθεία 2x+3y -7 = 0;
β) κάθετη στην ευθεία 2x+3y -7 = 0.
Λύση . Ας αναπαραστήσουμε την εξίσωση κλίσης ως y = kx + a . Για να γίνει αυτό, θα μεταφέρουμε όλες τις τιμές εκτός από το y στη δεξιά πλευρά: 3y = -2x + 7 . Στη συνέχεια διαιρούμε τη δεξιά πλευρά με τον συντελεστή 3 . Παίρνουμε: y = -2/3x + 7/3
Να βρείτε την εξίσωση ΝΚ που διέρχεται από το σημείο Κ(-2;1) παράλληλο στην ευθεία y = -2 / 3 x + 7 / 3
Αντικαθιστώντας x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 παίρνουμε:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ή
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ή 3y + 2x +1 = 0

Παράδειγμα #2. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας παράλληλης στην ευθεία 2x + 5y = 0 και σχηματίζοντας μαζί με τους άξονες συντεταγμένων ένα τρίγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι 5.
Λύση . Δεδομένου ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας είναι 2x + 5y + C = 0. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, όπου a και b είναι τα σκέλη του. Βρείτε τα σημεία τομής της επιθυμητής ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων:
;
.
Άρα, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Αντικαταστήστε στον τύπο για την περιοχή: . Παίρνουμε δύο λύσεις: 2x + 5y + 10 = 0 και 2x + 5y - 10 = 0 .

Παράδειγμα #3. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2; 5) και την παράλληλη ευθεία 5x-7y-4=0 .
Λύση. Αυτή η ευθεία μπορεί να αναπαρασταθεί με την εξίσωση y = 5/7 x – 4/7 (εδώ a = 5/7). Η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής είναι y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), δηλ. 7(y-5)=5(x+2) ή 5x-7y+45=0.

Παράδειγμα #4. Λύνοντας το παράδειγμα 3 (A=5, B=-7) χρησιμοποιώντας τον τύπο (2), βρίσκουμε 5(x+2)-7(y-5)=0.

Παράδειγμα αριθμός 5. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2;5) και μιας παράλληλης ευθείας 7x+10=0.
Λύση. Εδώ Α=7, Β=0. Ο τύπος (2) δίνει 7(x+2)=0, δηλ. x+2=0. Ο τύπος (1) δεν είναι εφαρμόσιμος, καθώς αυτή η εξίσωση δεν μπορεί να λυθεί ως προς το y (αυτή η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα y).

Γενική εξίσωση ευθείας:

Ειδικές περιπτώσεις της γενικής εξίσωσης ευθείας:

κι αν ντο= 0, η εξίσωση (2) θα έχει τη μορφή

Τσεκούρι + Με = 0,

και η ευθεία που ορίζεται από αυτή την εξίσωση διέρχεται από την αρχή, αφού οι συντεταγμένες της αρχής Χ = 0, y= 0 ικανοποιεί αυτή την εξίσωση.

β) Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας (2) σι= 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή

Τσεκούρι + ΑΠΟ= 0 ή .

Η εξίσωση δεν περιέχει μεταβλητή y, και η ευθεία που ορίζεται από αυτή την εξίσωση είναι παράλληλη προς τον άξονα Oy.

γ) Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας (2) ΕΝΑ= 0, τότε αυτή η εξίσωση παίρνει τη μορφή

Με + ΑΠΟ= 0, ή ;

η εξίσωση δεν περιέχει μεταβλητή Χ, και η ευθεία που ορίζεται από αυτό είναι παράλληλη προς τον άξονα Βόδι.

Θα πρέπει να θυμόμαστε: εάν μια ευθεία γραμμή είναι παράλληλη με οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων, τότε η εξίσωσή της δεν περιέχει έναν όρο που περιέχει μια συντεταγμένη με το ίδιο όνομα με αυτόν τον άξονα.

δ) Πότε ντο= 0 και ΕΝΑ= 0 Η εξίσωση (2) παίρνει τη μορφή Με= 0, ή y = 0.

Αυτή είναι η εξίσωση του άξονα Βόδι.

ε) Πότε ντο= 0 και σι= 0 η εξίσωση (2) μπορεί να γραφτεί στη μορφή Τσεκούρι= 0 ή Χ = 0.

Αυτή είναι η εξίσωση του άξονα Oy.

Αμοιβαία διάταξη ευθειών σε ένα επίπεδο. Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο. Κατάσταση παράλληλων ευθειών. Η συνθήκη της καθετότητας των γραμμών.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Τα διανύσματα S 1 και S 2 ονομάζονται οδηγοί για τις ευθείες τους.

Η γωνία μεταξύ των γραμμών l 1 και l 2 προσδιορίζεται από τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.
Θεώρημα 1:γωνία cos μεταξύ l 1 και l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d

Θεώρημα 2:Για να είναι ίσες 2 γραμμές, είναι απαραίτητο και αρκετό:

Θεώρημα 3:ώστε 2 ευθείες να είναι κάθετες είναι απαραίτητο και επαρκές:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Γενική εξίσωση του επιπέδου και οι ειδικές περιπτώσεις του. Εξίσωση επιπέδου σε τμήματα.

Γενική εξίσωση επιπέδου:

Ax + By + Cz + D = 0

Ειδικές περιπτώσεις:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - το επίπεδο διέρχεται από την αρχή

2. С=0 Ax+By+D = 0 – επίπεδο || ουγκιά

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – επίπεδο || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – επίπεδο || ΒΟΔΙ

5. A=0 και D=0 By+Cz = 0 - το επίπεδο διέρχεται από OX

6. B=0 και D=0 Ax+Cz = 0 - το επίπεδο διέρχεται από την ΟΥ

7. C=0 και D=0 Ax+By = 0 - το επίπεδο διέρχεται από το ΟΖ

Αμοιβαία διάταξη επιπέδων και ευθειών στο διάστημα:

1. Η γωνία μεταξύ των γραμμών στο διάστημα είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Η γωνία μεταξύ των επιπέδων προσδιορίζεται μέσω της γωνίας μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων τους.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ ευθείας και επιπέδου μπορεί να βρεθεί μέσω της αμαρτίας της γωνίας μεταξύ του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας και του κανονικού διανύσματος του επιπέδου.

4. 2 γραμμές || στο διάστημα όταν τους || διανυσματικοί οδηγοί

5. 2 αεροπλάνα || όταν || κανονικά διανύσματα

6. Παρομοίως εισάγονται οι έννοιες της καθετότητας ευθειών και επιπέδων.

Ερώτηση #14

Διάφοροι τύποι εξίσωσης ευθείας γραμμής σε επίπεδο (η εξίσωση ευθείας γραμμής σε τμήματα, με κλίση κ.λπ.)

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα:
Ας υποθέσουμε ότι στη γενική εξίσωση μιας ευθείας:

1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - η ευθεία διέρχεται από την αρχή.

2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d

3. σε \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d

4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0

5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0

Η εξίσωση ευθείας με κλίση:

Οποιαδήποτε ευθεία δεν είναι ίση με τον άξονα y (B όχι = 0) μπορεί να γραφεί παρακάτω. μορφή:

k = tgα α είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και της θετικά κατευθυνόμενης ευθείας ΟΧ

β - σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα του ΛΣ

Έγγραφο:

Ax+By+C = 0

Wu \u003d -Ax-C |: Β

Εξίσωση ευθείας σε δύο σημεία:

Ερώτηση #16

Το πεπερασμένο όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και για x→∞

Όριο τέλους στο σημείο x 0:

Ο αριθμός A ονομάζεται όριο της συνάρτησης y \u003d f (x) για x → x 0, αν για οποιοδήποτε E > 0 υπάρχει b > 0 τέτοιο ώστε για x ≠ x 0, ικανοποιώντας την ανισότητα |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Το όριο συμβολίζεται: = Α

Όριο τερματισμού στο σημείο +∞:

Ο αριθμός Α ονομάζεται όριο της συνάρτησης y = f(x) για το x → + ∞ , αν για οποιοδήποτε E > 0 υπάρχει C > 0 τέτοιο ώστε για x > C η ανισότητα |f(x) - A|< Е

Το όριο συμβολίζεται: = Α

Όριο λήξης στο σημείο -∞:

Ο αριθμός Α ονομάζεται όριο της συνάρτησης y = f(x) για x→-∞,εάν για οποιοδήποτε Ε< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Αυτό το άρθρο συνεχίζει το θέμα της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο: θεωρήστε έναν τέτοιο τύπο εξίσωσης ως τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Ας ορίσουμε ένα θεώρημα και ας δώσουμε την απόδειξή του. Ας μάθουμε τι είναι μια ημιτελής γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής και πώς να κάνουμε μεταβάσεις από μια γενική εξίσωση σε άλλους τύπους εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής. Θα εμπεδώσουμε όλη τη θεωρία με εικονογραφήσεις και επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Έστω ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y στο επίπεδο.

Θεώρημα 1

Οποιαδήποτε εξίσωση πρώτου βαθμού, που έχει τη μορφή A x + B y + C \u003d 0, όπου οι A, B, C είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί (το A και το B δεν ισούνται ταυτόχρονα με μηδέν) ορίζει μια ευθεία γραμμή στο ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο. Με τη σειρά του, οποιαδήποτε γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο καθορίζεται από μια εξίσωση που έχει τη μορφή A x + B y + C = 0 για ένα συγκεκριμένο σύνολο τιμών A, B, C.

Απόδειξη

Αυτό το θεώρημα αποτελείται από δύο σημεία, θα αποδείξουμε το καθένα από αυτά.

1. Ας αποδείξουμε ότι η εξίσωση A x + B y + C = 0 ορίζει μια ευθεία στο επίπεδο.

Έστω κάποιο σημείο M 0 (x 0 , y 0) του οποίου οι συντεταγμένες αντιστοιχούν στην εξίσωση A x + B y + C = 0 . Έτσι: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Αφαιρέστε από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων A x + B y + C \u003d 0 την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, παίρνουμε μια νέα εξίσωση που μοιάζει με A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Ισοδυναμεί με A x + B y + C = 0 .

Η προκύπτουσα εξίσωση A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την καθετότητα των διανυσμάτων n → = (A, B) και M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Έτσι, το σύνολο των σημείων M (x, y) ορίζει σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μια ευθεία γραμμή κάθετη στη διεύθυνση του διανύσματος n → = (A, B) . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είναι έτσι, αλλά τότε τα διανύσματα n → = (A, B) και M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) δεν θα είναι κάθετα και η ισότητα A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 δεν θα ήταν αληθές.

Επομένως, η εξίσωση A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 ορίζει μια συγκεκριμένη γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και επομένως την ισοδύναμη εξίσωση A x + B y + C \u003d 0 ορίζει την ίδια γραμμή. Έτσι αποδείξαμε το πρώτο μέρος του θεωρήματος.

1. Ας αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε ευθεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση του πρώτου βαθμού A x + B y + C = 0 .

Ας ορίσουμε μια ευθεία γραμμή a σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. σημείο M 0 (x 0 , y 0) από το οποίο διέρχεται αυτή η ευθεία, καθώς και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας n → = (A , B) .

Έστω να υπάρχει και κάποιο σημείο M (x , y) - ένα κινητή σημείο της ευθείας. Σε αυτήν την περίπτωση, τα διανύσματα n → = (A , B) και M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) είναι κάθετα μεταξύ τους και το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι μηδέν:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , να ορίσουμε C: C = - A x 0 - B y 0 και τελικά να πάρουμε την εξίσωση A x + B y + C = 0 .

Έτσι, έχουμε αποδείξει το δεύτερο μέρος του θεωρήματος, και έχουμε αποδείξει ολόκληρο το θεώρημα ως σύνολο.

Ορισμός 1

Μια εξίσωση που μοιάζει A x + B y + C = 0 - Αυτό γενική εξίσωση ευθείας γραμμήςσε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένωνO x y .

Με βάση το αποδεδειγμένο θεώρημα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μια ευθεία γραμμή που δίνεται σε ένα επίπεδο σε ένα σταθερό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και η γενική της εξίσωση είναι άρρηκτα συνδεδεμένες. Με άλλα λόγια, η αρχική γραμμή αντιστοιχεί στη γενική της εξίσωση. η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής αντιστοιχεί σε μια δεδομένη ευθεία.

Από την απόδειξη του θεωρήματος προκύπτει επίσης ότι οι συντελεστές A και B για τις μεταβλητές x και y είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας, το οποίο δίνεται από τη γενική εξίσωση της ευθείας A x + B y + C = 0.

Εξετάστε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα της γενικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής.

Έστω η εξίσωση 2 x + 3 y - 2 = 0, που αντιστοιχεί σε μια ευθεία σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Το κανονικό διάνυσμα αυτής της γραμμής είναι το διάνυσμα n → = (2 , 3) ​​. Σχεδιάστε μια δεδομένη ευθεία γραμμή στο σχέδιο.

Μπορεί επίσης να υποστηριχθεί το εξής: η ευθεία που βλέπουμε στο σχέδιο καθορίζεται από τη γενική εξίσωση 2 x + 3 y - 2 = 0, αφού οι συντεταγμένες όλων των σημείων μιας δεδομένης ευθείας αντιστοιχούν σε αυτήν την εξίσωση.

Μπορούμε να πάρουμε την εξίσωση λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της γενικής εξίσωσης ευθείας γραμμής με έναν μη μηδενικό αριθμό λ. Η προκύπτουσα εξίσωση είναι ισοδύναμη με την αρχική γενική εξίσωση, επομένως, θα περιγράφει την ίδια γραμμή στο επίπεδο.

Ορισμός 2

Πλήρης γενική εξίσωση ευθείας- μια τέτοια γενική εξίσωση της γραμμής A x + B y + C \u003d 0, στην οποία οι αριθμοί A, B, C δεν είναι μηδενικοί. Διαφορετικά, η εξίσωση είναι ατελής.

Ας αναλύσουμε όλες τις παραλλαγές της ημιτελούς γενικής εξίσωσης της ευθείας.

1. Όταν A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, η γενική εξίσωση γίνεται B y + C \u003d 0. Μια τέτοια ημιτελής γενική εξίσωση ορίζει μια ευθεία γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y που είναι παράλληλη στον άξονα O x, αφού για οποιαδήποτε πραγματική τιμή του x, η μεταβλητή y θα λάβει την τιμή - Γ Β . Με άλλα λόγια, η γενική εξίσωση της ευθείας A x + B y + C \u003d 0, όταν A \u003d 0, B ≠ 0, ορίζει τον τόπο των σημείων (x, y) των οποίων οι συντεταγμένες είναι ίσες με τον ίδιο αριθμό - Γ Β .
2. Εάν A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, η γενική εξίσωση γίνεται y \u003d 0. Μια τέτοια ημιτελής εξίσωση ορίζει τον άξονα x O x .
3. Όταν A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, παίρνουμε μια ημιτελή γενική εξίσωση A x + C \u003d 0, ορίζοντας μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y.
4. Έστω A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, τότε η ημιτελής γενική εξίσωση θα πάρει τη μορφή x \u003d 0 και αυτή είναι η εξίσωση της γραμμής συντεταγμένων O y.
5. Τέλος, όταν A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, η ημιτελής γενική εξίσωση παίρνει τη μορφή A x + B y \u003d 0. Και αυτή η εξίσωση περιγράφει μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή. Πράγματι, το ζεύγος των αριθμών (0 , 0) αντιστοιχεί στην ισότητα A x + B y = 0 , αφού A · 0 + B · 0 = 0 .

Ας απεικονίσουμε γραφικά όλους τους παραπάνω τύπους της ημιτελούς γενικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής.

Παράδειγμα 1

Είναι γνωστό ότι η δεδομένη ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα y και διέρχεται από το σημείο 2 7 , - 11 . Είναι απαραίτητο να γράψετε τη γενική εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας.

Λύση

Μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα y δίνεται από μια εξίσωση της μορφής A x + C \u003d 0, στην οποία A ≠ 0. Η συνθήκη προσδιορίζει επίσης τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία και οι συντεταγμένες αυτού του σημείου αντιστοιχούν στις συνθήκες της ημιτελούς γενικής εξίσωσης A x + C = 0 , δηλ. η ισότητα είναι σωστή:

A 2 7 + C = 0

Είναι δυνατό να προσδιοριστεί το C από αυτό δίνοντας στο A κάποια μη μηδενική τιμή, για παράδειγμα, A = 7 . Σε αυτήν την περίπτωση, παίρνουμε: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Γνωρίζουμε και τους δύο συντελεστές A και C, τους αντικαθιστούμε στην εξίσωση A x + C = 0 και παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση της ευθείας: 7 x - 2 = 0

Απάντηση: 7 x - 2 = 0

Παράδειγμα 2

Το σχέδιο δείχνει μια ευθεία γραμμή, είναι απαραίτητο να γράψετε την εξίσωσή της.

Λύση

Το δεδομένο σχέδιο μας επιτρέπει να πάρουμε εύκολα τα αρχικά δεδομένα για την επίλυση του προβλήματος. Βλέπουμε στο σχέδιο ότι η δεδομένη ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα Ox και διέρχεται από το σημείο (0 , 3).

Η ευθεία γραμμή, η οποία είναι παράλληλη προς την τετμημένη, προσδιορίζεται από την ημιτελή γενική εξίσωση B y + С = 0. Βρείτε τις τιμές των B και C. Οι συντεταγμένες του σημείου (0, 3), αφού μια δεδομένη ευθεία διέρχεται από αυτό, θα ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας B y + С = 0, τότε ισχύει η ισότητα: В · 3 + С = 0. Ας ορίσουμε το Β σε κάποια τιμή διαφορετική από το μηδέν. Ας πούμε B \u003d 1, σε αυτήν την περίπτωση, από την ισότητα B · 3 + C \u003d 0 μπορούμε να βρούμε C: C \u003d - 3. Χρησιμοποιώντας τις γνωστές τιμές των B και C, λαμβάνουμε την απαιτούμενη εξίσωση της ευθείας: y - 3 = 0.

Απάντηση: y - 3 = 0 .

Γενική εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο του επιπέδου

Έστω η δεδομένη ευθεία να διέλθει από το σημείο M 0 (x 0, y 0), τότε οι συντεταγμένες της αντιστοιχούν στη γενική εξίσωση της ευθείας, δηλ. η ισότητα είναι αληθής: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Αφαιρέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της γενικής πλήρους εξίσωσης της ευθείας. Παίρνουμε: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την αρχική γενική, διέρχεται από το σημείο M 0 (x 0, y 0) και έχει ένα κανονικό διάνυσμα n → \u003d (A, B) .

Το αποτέλεσμα που λάβαμε καθιστά δυνατή τη σύνταξη της γενικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής για γνωστές συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας γραμμής και τις συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου αυτής της ευθείας.

Παράδειγμα 3

Δίνεται ένα σημείο M 0 (- 3, 4) από το οποίο διέρχεται η ευθεία και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας n → = (1 , - 2) . Είναι απαραίτητο να γράψετε την εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας.

Λύση

Οι αρχικές συνθήκες μας επιτρέπουν να λάβουμε τα απαραίτητα δεδομένα για τη σύνταξη της εξίσωσης: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Επειτα:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Το πρόβλημα θα μπορούσε να είχε λυθεί διαφορετικά. Η γενική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή A x + B y + C = 0 . Το δεδομένο κανονικό διάνυσμα σάς επιτρέπει να λάβετε τις τιμές των συντελεστών A και B, στη συνέχεια:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ας βρούμε τώρα την τιμή του C, χρησιμοποιώντας το σημείο M 0 (- 3, 4) που δίνεται από την συνθήκη του προβλήματος, από την οποία διέρχεται η ευθεία. Οι συντεταγμένες αυτού του σημείου αντιστοιχούν στην εξίσωση x - 2 · y + C = 0 , δηλ. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Άρα C = 11. Η απαιτούμενη ευθύγραμμη εξίσωση έχει τη μορφή: x - 2 · y + 11 = 0 .

Απάντηση: x - 2 y + 11 = 0 .

Παράδειγμα 4

Δίνεται μια ευθεία 2 3 x - y - 1 2 = 0 και ένα σημείο M 0 που βρίσκεται σε αυτήν την ευθεία. Μόνο η τετμημένη αυτού του σημείου είναι γνωστή και είναι ίση με - 3. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τεταγμένη του δεδομένου σημείου.

Λύση

Ας ορίσουμε τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του σημείου M 0 ως x 0 και y 0 . Τα αρχικά δεδομένα υποδεικνύουν ότι x 0 \u003d - 3. Εφόσον το σημείο ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του αντιστοιχούν στη γενική εξίσωση αυτής της ευθείας. Τότε θα ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Ορίστε y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Απάντηση: - 5 2

Μετάβαση από τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε άλλους τύπους εξισώσεων ευθείας γραμμής και αντίστροφα

Όπως γνωρίζουμε, υπάρχουν αρκετοί τύποι της εξίσωσης της ίδιας ευθείας στο επίπεδο. Η επιλογή του τύπου της εξίσωσης εξαρτάται από τις συνθήκες του προβλήματος. είναι δυνατόν να επιλέξετε αυτό που είναι πιο βολικό για τη λύση του. Εδώ είναι πολύ χρήσιμη η ικανότητα μετατροπής μιας εξίσωσης ενός είδους σε μια εξίσωση άλλου είδους.

Αρχικά, θεωρήστε τη μετάβαση από τη γενική εξίσωση της μορφής A x + B y + C = 0 στην κανονική εξίσωση x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Αν A ≠ 0, τότε μεταφέρουμε τον όρο B y στη δεξιά πλευρά της γενικής εξίσωσης. Στην αριστερή πλευρά, βγάζουμε το Α από αγκύλες. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: A x + C A = - B y .

Αυτή η ισότητα μπορεί να γραφτεί ως αναλογία: x + C A - B = y A .

Εάν B ≠ 0, αφήνουμε μόνο τον όρο A x στην αριστερή πλευρά της γενικής εξίσωσης, μεταφέρουμε τους άλλους στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε: A x \u003d - B y - C. Βγάζουμε - B από αγκύλες, στη συνέχεια: A x \u003d - B y + C B.

Ας ξαναγράψουμε την ισότητα ως αναλογία: x - B = y + C B A .

Φυσικά, δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τους τύπους που προκύπτουν. Αρκεί να γνωρίζουμε τον αλγόριθμο των ενεργειών κατά τη μετάβαση από τη γενική εξίσωση στην κανονική.

Παράδειγμα 5

Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας 3 y - 4 = 0. Πρέπει να μετατραπεί σε κανονική εξίσωση.

Λύση

Γράφουμε την αρχική εξίσωση ως 3 y - 4 = 0 . Στη συνέχεια, ενεργούμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο: ο όρος 0 x παραμένει στην αριστερή πλευρά. και στη δεξιά πλευρά βγάζουμε - 3 από αγκύλες. παίρνουμε: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Ας γράψουμε την ισότητα που προκύπτει ως αναλογία: x - 3 = y - 4 3 0 . Έτσι, έχουμε μια εξίσωση της κανονικής μορφής.

Απάντηση: x - 3 = y - 4 3 0.

Για να μετατραπεί η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε παραμετρικές, πραγματοποιείται πρώτα η μετάβαση στην κανονική μορφή και στη συνέχεια η μετάβαση από την κανονική εξίσωση της ευθείας σε παραμετρικές εξισώσεις.

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση 2 x - 5 y - 1 = 0 . Γράψτε τις παραμετρικές εξισώσεις αυτής της γραμμής.

Λύση

Ας κάνουμε τη μετάβαση από τη γενική εξίσωση στην κανονική:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Τώρα ας πάρουμε και τα δύο μέρη της κανονικής εξίσωσης που προκύπτει ίσα με λ, τότε:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Απάντηση:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Η γενική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε ευθύγραμμη εξίσωση με κλίση y = k x + b, αλλά μόνο όταν B ≠ 0. Για τη μετάβαση στην αριστερή πλευρά, αφήνουμε τον όρο B y , τα υπόλοιπα μεταφέρονται στα δεξιά. Παίρνουμε: B y = - A x - C . Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας που προκύπτει με το B , το οποίο είναι διαφορετικό από το μηδέν: y = - A B x - C B .

Παράδειγμα 7

Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας: 2 x + 7 y = 0 . Πρέπει να μετατρέψετε αυτήν την εξίσωση σε εξίσωση κλίσης.

Λύση

Ας εκτελέσουμε τις απαραίτητες ενέργειες σύμφωνα με τον αλγόριθμο:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Απάντηση: y = - 2 7 x .

Από τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αρκεί απλώς να ληφθεί μια εξίσωση σε τμήματα της μορφής x a + y b \u003d 1. Για να κάνουμε μια τέτοια μετάβαση, μεταφέρουμε τον αριθμό C στη δεξιά πλευρά της ισότητας, διαιρούμε και τα δύο μέρη της ισότητας που προκύπτει με - С και, τέλος, μεταφέρουμε τους συντελεστές για τις μεταβλητές x και y στους παρονομαστές:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Παράδειγμα 8

Είναι απαραίτητο να μετατραπεί η γενική εξίσωση της ευθείας x - 7 y + 1 2 = 0 στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα.

Λύση

Ας μετακινηθούμε 1 2 στη δεξιά πλευρά: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Διαιρέστε με -1/2 και τις δύο πλευρές της εξίσωσης: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Απάντηση: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Γενικά, η αντίστροφη μετάβαση είναι επίσης εύκολη: από άλλους τύπους εξισώσεων στη γενική.

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα και η εξίσωση με μια κλίση μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε γενική συλλέγοντας απλώς όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Η κανονική εξίσωση μετατρέπεται στη γενική σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Για να περάσετε από το παραμετρικό, πραγματοποιείται πρώτα η μετάβαση στο κανονικό και στη συνέχεια στο γενικό:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Παράδειγμα 9

Δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας x = - 1 + 2 · λ y = 4. Είναι απαραίτητο να γράψετε τη γενική εξίσωση αυτής της γραμμής.

Λύση

Ας κάνουμε τη μετάβαση από τις παραμετρικές εξισώσεις στις κανονικές:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Ας περάσουμε από το κανονικό στο γενικό:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Απάντηση: y - 4 = 0

Παράδειγμα 10

Δίνεται η εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα x 3 + y 1 2 = 1. Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η μετάβαση στη γενική μορφή της εξίσωσης.

Λύση:

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στην απαιτούμενη μορφή:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Απάντηση: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Σχεδιασμός γενικής εξίσωσης ευθείας γραμμής

Πιο πάνω είπαμε ότι η γενική εξίσωση μπορεί να γραφτεί με γνωστές συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος και τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία. Μια τέτοια ευθεία ορίζεται από την εξίσωση A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Στο ίδιο σημείο αναλύσαμε το αντίστοιχο παράδειγμα.

Ας δούμε τώρα πιο σύνθετα παραδείγματα στα οποία, πρώτα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος.

Παράδειγμα 11

Δίνεται ευθεία παράλληλη προς την ευθεία 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Επίσης γνωστό είναι το σημείο M 0 (4 , 1) από το οποίο διέρχεται η δεδομένη ευθεία. Είναι απαραίτητο να γράψετε την εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας.

Λύση

Οι αρχικές συνθήκες μας λένε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε, ως το κανονικό διάνυσμα της ευθείας της οποίας πρέπει να γραφεί η εξίσωση, παίρνουμε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Τώρα γνωρίζουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα για να συνθέσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Απάντηση: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Παράδειγμα 12

Η δεδομένη ευθεία διέρχεται από την αρχή που είναι κάθετη στην ευθεία x - 2 3 = y + 4 5 . Είναι απαραίτητο να γράψουμε τη γενική εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας.

Λύση

Το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης ευθείας θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας x - 2 3 = y + 4 5 .

Τότε n → = (3 , 5) . Η ευθεία διέρχεται από την αρχή, δηλ. μέσω του σημείου Ο (0, 0) . Ας συνθέσουμε τη γενική εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Απάντηση: 3 x + 5 y = 0 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Μάθημα από τη σειρά "Γεωμετρικοί Αλγόριθμοι"

Γεια σου αγαπητέ αναγνώστη!

Σήμερα θα αρχίσουμε να μαθαίνουμε αλγόριθμους που σχετίζονται με τη γεωμετρία. Γεγονός είναι ότι υπάρχουν πολλά προβλήματα Ολυμπιάδας στην επιστήμη των υπολογιστών που σχετίζονται με την υπολογιστική γεωμετρία και η επίλυση τέτοιων προβλημάτων συχνά προκαλεί δυσκολίες.

Σε μερικά μαθήματα, θα εξετάσουμε μια σειρά από στοιχειώδη υποπροβλήματα στα οποία βασίζεται η λύση των περισσότερων προβλημάτων της υπολογιστικής γεωμετρίας.

Σε αυτό το μάθημα, θα γράψουμε ένα πρόγραμμα για βρίσκοντας την εξίσωση μιας ευθείαςπερνώντας μέσα από το δεδομένο δύο τελείες. Για να λύσουμε γεωμετρικά προβλήματα, χρειαζόμαστε κάποιες γνώσεις υπολογιστικής γεωμετρίας. Θα αφιερώσουμε μέρος του μαθήματος στη γνωριμία τους.

Πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία

Η υπολογιστική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της επιστήμης των υπολογιστών που μελετά αλγόριθμους για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.

Τα αρχικά δεδομένα για τέτοια προβλήματα μπορεί να είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, ένα σύνολο τμημάτων, ένα πολύγωνο (που δίνονται, για παράδειγμα, από μια λίστα των κορυφών του κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού) κ.λπ.

Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι είτε μια απάντηση σε κάποια ερώτηση (όπως αν ένα σημείο ανήκει σε ένα τμήμα, αν τέμνονται δύο τμήματα, ...), είτε κάποιο γεωμετρικό αντικείμενο (για παράδειγμα, το μικρότερο κυρτό πολύγωνο που συνδέει δεδομένα σημεία, το εμβαδόν του ένα πολύγωνο κ.λπ.) .

Θα εξετάσουμε προβλήματα υπολογιστικής γεωμετρίας μόνο στο επίπεδο και μόνο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Διανύσματα και συντεταγμένες

Για την εφαρμογή των μεθόδων υπολογιστικής γεωμετρίας, είναι απαραίτητο να μεταφραστούν οι γεωμετρικές εικόνες στη γλώσσα των αριθμών. Υποθέτουμε ότι δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, στο οποίο η φορά περιστροφής αριστερόστροφα ονομάζεται θετική.

Τώρα τα γεωμετρικά αντικείμενα λαμβάνουν μια αναλυτική έκφραση. Έτσι, για να ορίσετε ένα σημείο, αρκεί να καθορίσετε τις συντεταγμένες του: ένα ζεύγος αριθμών (x; y). Ένα τμήμα μπορεί να καθοριστεί προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες των άκρων του, μια ευθεία μπορεί να καθοριστεί καθορίζοντας τις συντεταγμένες ενός ζεύγους σημείων του.

Αλλά το κύριο εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων θα είναι τα διανύσματα. Επιτρέψτε μου, λοιπόν, να σας υπενθυμίσω κάποιες πληροφορίες για αυτούς.

Ενότητα ΑΒ, που έχει ένα σημείο ΑΛΛΑθεωρείται η αρχή (σημείο εφαρμογής) και το σημείο ΣΕ- το τέλος ονομάζεται διάνυσμα ΑΒκαι συμβολίζεται με είτε , είτε με έντονους πεζούς χαρακτήρες, για παράδειγμα αλλά .

Για να δηλώσουμε το μήκος ενός διανύσματος (δηλαδή το μήκος του αντίστοιχου τμήματος), θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο της ενότητας (για παράδειγμα, ).

Ένα αυθαίρετο διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες ίσες με τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων του τέλους και της αρχής του:

,

τελείες εδώ ΕΝΑΚαι σι έχουν συντεταγμένες αντίστοιχα.

Για τους υπολογισμούς, θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια προσανατολισμένη γωνία, δηλαδή μια γωνία που λαμβάνει υπόψη τη σχετική θέση των διανυσμάτων.

Προσανατολισμένη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ένα Και σι θετικό εάν η περιστροφή είναι μακριά από το διάνυσμα ένα στο διάνυσμα σι γίνεται προς τη θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα) και αρνητική στην άλλη περίπτωση. Βλέπε εικ.1α, εικ.1β. Λέγεται επίσης ότι ένα ζεύγος διανυσμάτων ένα Και σι θετικά (αρνητικά) προσανατολισμένο.

Έτσι, η τιμή της προσανατολισμένης γωνίας εξαρτάται από τη σειρά απαρίθμησης των διανυσμάτων και μπορεί να λάβει τιμές στο διάστημα.

Πολλά προβλήματα υπολογιστικής γεωμετρίας χρησιμοποιούν την έννοια των διανυσματικών (λοξής ή ψευδοκλιμακωτής) γινομένων των διανυσμάτων.

Το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b είναι το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

.

Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες:

Η έκφραση στα δεξιά είναι μια προσδιοριστική δεύτερης τάξης:

Σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αναλυτική γεωμετρία, αυτός είναι βαθμωτός.

Το πρόσημο του διασταυρούμενου γινομένου καθορίζει τη θέση των διανυσμάτων μεταξύ τους:

ένα Και σι θετικά προσανατολισμένο.

Αν η τιμή είναι , τότε το ζεύγος των διανυσμάτων ένα Και σι αρνητικά προσανατολισμένο.

Το διασταυρούμενο γινόμενο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν εάν και μόνο εάν είναι συγγραμμικά ( ). Αυτό σημαίνει ότι βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες.

Ας εξετάσουμε μερικές απλές εργασίες που είναι απαραίτητες για την επίλυση πιο περίπλοκων.

Ας ορίσουμε την εξίσωση μιας ευθείας με τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία που δίνεται από τις συντεταγμένες τους.

Έστω δύο μη συμπίπτοντα σημεία στην ευθεία: με συντεταγμένες (x1;y1) και με συντεταγμένες (x2; y2). Αντίστοιχα, το διάνυσμα με την αρχή στο σημείο και το τέλος στο σημείο έχει συντεταγμένες (x2-x1, y2-y1). Αν το P(x, y) είναι ένα αυθαίρετο σημείο στην ευθεία μας, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι (x-x1, y - y1).

Με τη βοήθεια του διασταυρούμενου γινόμενου, η συνθήκη για τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων και μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εκείνοι. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ξαναγράφουμε την τελευταία εξίσωση ως εξής:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Άρα, η ευθεία μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση της μορφής (1).

Εργασία 1. Δίνονται οι συντεταγμένες δύο σημείων. Βρείτε την αναπαράστασή του με τη μορφή ax + by + c = 0.

Σε αυτό το μάθημα, γνωρίσαμε κάποιες πληροφορίες από την υπολογιστική γεωμετρία. Λύσαμε το πρόβλημα εύρεσης της εξίσωσης της ευθείας με τις συντεταγμένες δύο σημείων.

Στο επόμενο μάθημα, θα γράψουμε ένα πρόγραμμα για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών που δίνουν οι εξισώσεις μας.