Οι αξίες που προκύπτουν από την εμπειρία περιέχουν αναπόφευκτα σφάλματα για μια μεγάλη ποικιλία λόγων. Μεταξύ αυτών, θα πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ συστηματικών και τυχαίων σφαλμάτων. Τα συστηματικά σφάλματα προκαλούνται από λόγους που δρουν με πολύ συγκεκριμένο τρόπο και μπορούν πάντα να εξαλειφθούν ή να ληφθούν υπόψη με μεγάλη ακρίβεια. Τα τυχαία σφάλματα προκαλούνται από έναν πολύ μεγάλο αριθμό μεμονωμένων αιτιών που δεν μπορούν να υπολογιστούν με ακρίβεια και ενεργούν με διαφορετικούς τρόπους σε κάθε μεμονωμένη μέτρηση. Αυτά τα σφάλματα δεν μπορούν να αποκλειστούν εντελώς. μπορούν να ληφθούν υπόψη μόνο κατά μέσο όρο, για τον οποίο είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τους νόμους που διέπουν τα τυχαία σφάλματα.
Θα συμβολίσουμε τη μετρούμενη ποσότητα με Α, και τυχαίο σφάλμακατά τη μέτρηση του x. Εφόσον το σφάλμα x μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή, είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή, η οποία χαρακτηρίζεται πλήρως από τον νόμο κατανομής της.
Η απλούστερη και ακριβέστερα αντικατοπτρική πραγματικότητα (στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων) είναι το λεγόμενο κανονικός νόμος κατανομής σφαλμάτων:
Αυτός ο νόμος κατανομής μπορεί να ληφθεί από διάφορες θεωρητικές προϋποθέσεις, ιδίως από την απαίτηση ότι η πιο πιθανή τιμή μιας άγνωστης ποσότητας για την οποία μια σειρά τιμών με τον ίδιο βαθμό ακρίβειας λαμβάνεται με άμεση μέτρηση είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του αυτές τις αξίες. Η ποσότητα 2 ονομάζεται διασποράαυτού του κανονικού νόμου.
Μέση τιμή
Προσδιορισμός διασποράς από πειραματικά δεδομένα. Εάν για οποιαδήποτε τιμή A, n τιμές a i λαμβάνονται με απευθείας μέτρηση με τον ίδιο βαθμό ακρίβειας και εάν τα σφάλματα της τιμής A υπόκεινται στον νόμο κανονικής κατανομής, τότε η πιο πιθανή τιμή του A θα είναι μέση τιμή:
α - αριθμητικός μέσος όρος,
a i - μετρούμενη τιμή στο i-ο βήμα.
Απόκλιση της παρατηρούμενης τιμής (για κάθε παρατήρηση) a i της τιμής Α από αριθμητικός μέσος όρος: α ι - α.
Για να προσδιορίσετε τη διακύμανση του νόμου της κανονικής κατανομής σφαλμάτων σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήστε τον τύπο:
2 - διασπορά,
α - αριθμητικός μέσος όρος,
n - αριθμός μετρήσεων παραμέτρων,
Τυπική απόκλιση
Τυπική απόκλισηδείχνει την απόλυτη απόκλιση των μετρούμενων τιμών από αριθμητικός μέσος όρος. Σύμφωνα με τον τύπο για το μέτρο της ακρίβειας ενός γραμμικού συνδυασμού μέσο τετραγωνικό σφάλμαΟ αριθμητικός μέσος όρος καθορίζεται από τον τύπο:
, Οπου
α - αριθμητικός μέσος όρος,
n - αριθμός μετρήσεων παραμέτρων,
a i - μετρούμενη τιμή στο i-ο βήμα.
Ο συντελεστής διακύμανσης
Ο συντελεστής διακύμανσηςχαρακτηρίζει το σχετικό μέτρο απόκλισης των μετρούμενων τιμών από αριθμητικός μέσος όρος:
, Οπου
V - συντελεστής διακύμανσης,
- τυπική απόκλιση,
α - αριθμητικός μέσος όρος.
Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή συντελεστής διακύμανσης, τόσο μεγαλύτερη είναι η σχετικά μεγαλύτερη διασπορά και μικρότερη ομοιομορφία των τιμών που μελετήθηκαν. Αν ο συντελεστής διακύμανσηςλιγότερο από 10%, τότε μεταβλητότητα σειρά παραλλαγήςθεωρείται ασήμαντο, από 10% έως 20% θεωρείται μεσαίο, περισσότερο από 20% και λιγότερο από 33% θεωρείται σημαντικό και εάν ο συντελεστής διακύμανσηςυπερβαίνει το 33%, αυτό υποδηλώνει την ετερογένεια των πληροφοριών και την ανάγκη αποκλεισμού των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.
Μέση γραμμική απόκλιση
Ένας από τους δείκτες του εύρους και της έντασης της διακύμανσης είναι μέση γραμμική απόκλιση(μέση μονάδα απόκλισης) από τον αριθμητικό μέσο όρο. Μέση γραμμική απόκλισηυπολογίζεται με τον τύπο:
, Οπου
_
α - μέση γραμμική απόκλιση,
α - αριθμητικός μέσος όρος,
n - αριθμός μετρήσεων παραμέτρων,
a i - μετρούμενη τιμή στο i-ο βήμα.
Για να ελεγχθεί η συμμόρφωση των μελετημένων τιμών με τον νόμο της κανονικής κατανομής, χρησιμοποιείται η σχέση δείκτης ασυμμετρίαςστο λάθος και τη στάση του δείκτης κύρτωσηςστο λάθος του.
Ένδειξη ασυμμετρίας
Ένδειξη ασυμμετρίαςΤο (A) και το σφάλμα του (m a) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:
, Οπου
Α - δείκτης ασυμμετρίας,
- τυπική απόκλιση,
α - αριθμητικός μέσος όρος,
n - αριθμός μετρήσεων παραμέτρων,
a i - μετρούμενη τιμή στο i-ο βήμα.
Δείκτης κύρωσης
Δείκτης κύρωσηςΤο (E) και το σφάλμα του (m e) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:
, Οπου
Για τον υπολογισμό του απλού γεωμετρικού μέσου όρου χρησιμοποιείται ο τύπος:
Γεωμετρικά σταθμισμένα
Για τον προσδιορισμό του σταθμισμένου γεωμετρικού μέσου όρου, χρησιμοποιείται ο τύπος:
Οι μέσες διαμέτρους των τροχών, των σωλήνων και οι μέσες πλευρές των τετραγώνων προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας το μέσο τετράγωνο.
Οι τιμές ρίζας μέσου τετραγώνου χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό ορισμένων δεικτών, για παράδειγμα, του συντελεστή διακύμανσης, ο οποίος χαρακτηρίζει τον ρυθμό παραγωγής. Εδώ η τυπική απόκλιση από την προγραμματισμένη παραγωγή παραγωγής για μια ορισμένη περίοδο προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
Αυτές οι τιμές χαρακτηρίζουν με ακρίβεια τη μεταβολή των οικονομικών δεικτών σε σύγκριση με τη βασική τους αξία, λαμβανόμενη στη μέση τιμή της.
Τετραγωνικό απλό
Το μέσο τετράγωνο της ρίζας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Τετραγωνικό σταθμισμένο
Το σταθμισμένο μέσο τετράγωνο είναι ίσο με:
22. Οι απόλυτοι δείκτες διακύμανσης περιλαμβάνουν:
εύρος παραλλαγής
μέση γραμμική απόκλιση
διασπορά
τυπική απόκλιση
Εύρος διακύμανσης (r)
Εύρος παραλλαγών- είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του χαρακτηριστικού
Δείχνει τα όρια εντός των οποίων αλλάζει η τιμή ενός χαρακτηριστικού στον πληθυσμό που μελετάται.
Η εργασιακή εμπειρία των πέντε υποψηφίων σε προηγούμενη εργασία είναι: 2,3,4,7 και 9 έτη. Λύση: εύρος διακύμανσης = 9 - 2 = 7 χρόνια.
Για μια γενικευμένη περιγραφή των διαφορών στις τιμές των χαρακτηριστικών, οι μέσοι δείκτες διακύμανσης υπολογίζονται με βάση τη συνεκτίμηση των αποκλίσεων από τον αριθμητικό μέσο όρο. Η διαφορά λαμβάνεται ως απόκλιση από τον μέσο όρο.
Σε αυτήν την περίπτωση, για να αποφευχθεί το άθροισμα των αποκλίσεων των παραλλαγών ενός χαρακτηριστικού από το μέσο όρο να μετατραπεί στο μηδέν (μηδενική ιδιότητα του μέσου όρου), πρέπει είτε να αγνοήσουμε τα σημάδια της απόκλισης, δηλαδή να λάβουμε αυτό το modulo αθροίσματος, ή τετράγωνο των τιμών απόκλισης
Μέση γραμμική και τετράγωνη απόκλιση
Μέση γραμμική απόκλισηείναι ο αριθμητικός μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον μέσο όρο.
Η μέση γραμμική απόκλιση είναι απλή:
Η εργασιακή εμπειρία των πέντε υποψηφίων σε προηγούμενη εργασία είναι: 2,3,4,7 και 9 έτη.
Στο παράδειγμά μας: χρόνια?
Απάντηση: 2,4 χρόνια.
Μέση σταθμισμένη γραμμική απόκλισηισχύει για ομαδοποιημένα δεδομένα:
Λόγω της συμβατικής της σύμβασης, η μέση γραμμική απόκλιση χρησιμοποιείται στην πράξη σχετικά σπάνια (ιδίως για τον χαρακτηρισμό της εκπλήρωσης των συμβατικών υποχρεώσεων σχετικά με την ομοιομορφία παράδοσης· στην ανάλυση της ποιότητας του προϊόντος, λαμβάνοντας υπόψη τα τεχνολογικά χαρακτηριστικά της παραγωγής).
Τυπική απόκλιση
Το πιο τέλειο χαρακτηριστικό της παραλλαγής είναι η μέση τετραγωνική απόκλιση, η οποία ονομάζεται τυπική (ή τυπική απόκλιση). Τυπική απόκλιση() ισούται με την τετραγωνική ρίζα της μέσης τετραγωνικής απόκλισης των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού αριθμητικού μέσου όρου:
Η τυπική απόκλιση είναι απλή:
Η σταθμισμένη τυπική απόκλιση εφαρμόζεται σε ομαδοποιημένα δεδομένα:
Μεταξύ του μέσου τετραγώνου της ρίζας και των μέσων γραμμικών αποκλίσεων υπό κανονικές συνθήκες κατανομής λαμβάνει χώρα η ακόλουθη αναλογία: ~ 1,25.
Η τυπική απόκλιση, που είναι το κύριο απόλυτο μέτρο διακύμανσης, χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των τιμών τεταγμένων μιας καμπύλης κανονικής κατανομής, σε υπολογισμούς που σχετίζονται με την οργάνωση της παρατήρησης του δείγματος και τον καθορισμό της ακρίβειας των χαρακτηριστικών του δείγματος, καθώς και για την αξιολόγηση της όρια διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού σε έναν ομοιογενή πληθυσμό.
Προσδοκία και διακύμανση
Ας μετρήσουμε μια τυχαία μεταβλητή Νφορές, για παράδειγμα, μετράμε την ταχύτητα του ανέμου δέκα φορές και θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή. Πώς σχετίζεται η μέση τιμή με τη συνάρτηση κατανομής;
Ας ρίξουμε τα ζάρια ένας μεγάλος αριθμός απόμια φορά. Ο αριθμός των πόντων που θα εμφανίζονται στα ζάρια με κάθε ρίψη είναι μια τυχαία μεταβλητή και μπορεί να πάρει οποιαδήποτε φυσική τιμή από 1 έως 6. Ο αριθμητικός μέσος όρος των πόντων που έπεσαν για όλες τις ρίψεις ζαριών είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή, αλλά για μεγάλες Ντείνει σε έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό - μαθηματική προσδοκία Μ x. Σε αυτήν την περίπτωση Μ x = 3,5.
Πώς πήρατε αυτήν την τιμή; Αφήνω μέσα Νδοκιμές, μια φορά παίρνεις 1 βαθμό, μια φορά παίρνεις 2 βαθμούς κ.ο.κ. Τότε πότε Ν→ ∞ αριθμός αποτελεσμάτων στα οποία σημειώθηκε ένα σημείο, Ομοίως, Ως εκ τούτου
Μοντέλο 4.5. Ζάρια
Ας υποθέσουμε τώρα ότι γνωρίζουμε τον νόμο διανομής τυχαία μεταβλητή Χ, δηλαδή γνωρίζουμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει αξίες Χ 1 , Χ 2 , ..., x kμε πιθανότητες Π 1 , Π 2 , ..., σελ κ.
Αναμενόμενη αξία Μ xτυχαία μεταβλητή Χισούται με:
Απάντηση. 2,8.
Η μαθηματική προσδοκία δεν είναι πάντα μια λογική εκτίμηση κάποιας τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, για να υπολογίσουμε τον μέσο όρο μισθοίΕίναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται η έννοια της διάμεσης τιμής, δηλαδή μια τέτοια τιμή ώστε ο αριθμός των ατόμων που λαμβάνουν μισθό χαμηλότερο από το διάμεσο και μεγαλύτερο να συμπίπτουν.
ΔιάμεσοςΗ τυχαία μεταβλητή ονομάζεται αριθμός ΧΤο 1/2 είναι τέτοιο που Π (Χ < Χ 1/2) = 1/2.
Με άλλα λόγια, η πιθανότητα Π 1 ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα είναι μικρότερο Χ 1/2, και πιθανότητα Π 2 ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα είναι μεγαλύτερη ΧΤο 1/2 είναι ίδιο και ίσο με 1/2. Η διάμεσος δεν καθορίζεται μοναδικά για όλες τις διανομές.
Ας επιστρέψουμε στην τυχαία μεταβλητή Χ, που μπορεί να πάρει αξίες Χ 1 , Χ 2 , ..., x kμε πιθανότητες Π 1 , Π 2 , ..., σελ κ.
Διαφοράτυχαία μεταβλητή Χείναι η μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από αυτήν μαθηματική προσδοκία:
Παράδειγμα 2
Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος, υπολογίστε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Χ.
Απάντηση. 0,16, 0,4.
Μοντέλο 4.6. Πυροβολισμός σε στόχο
Παράδειγμα 3
Βρείτε την κατανομή πιθανότητας του αριθμού των πόντων που εμφανίζονται στα ζάρια κατά την πρώτη ρίψη, τη διάμεσο, τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και τυπική απόκλιση.
Οποιαδήποτε άκρη είναι εξίσου πιθανό να πέσει έξω, επομένως η κατανομή θα μοιάζει με αυτό:
Τυπική απόκλιση Μπορεί να φανεί ότι η απόκλιση της τιμής από τη μέση τιμή είναι πολύ μεγάλη.
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
- Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους:
Παράδειγμα 4
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος και του γινόμενου των σημείων που ρίχτηκαν σε δύο ζάρια.
Στο παράδειγμα 3 βρήκαμε ότι για έναν κύβο Μ (Χ) = 3,5. Έτσι για δύο κύβους
Ιδιότητες διασποράς:
- Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων:
Dx + y = Dx + Dy.
Αφήστε για Νκυλά στα ζάρια που έριξαν yσημεία. Επειτα
Αυτό το αποτέλεσμα ισχύει όχι μόνο για τα ζάρια. Σε πολλές περιπτώσεις, καθορίζει την ακρίβεια της μέτρησης της μαθηματικής προσδοκίας εμπειρικά. Μπορεί να φανεί ότι με αυξανόμενο αριθμό μετρήσεων Νη εξάπλωση των τιμών γύρω από τον μέσο όρο, δηλαδή την τυπική απόκλιση, μειώνεται αναλογικά
Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής σχετίζεται με τη μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου αυτής της τυχαίας μεταβλητής με την ακόλουθη σχέση:
Ας βρούμε τις μαθηματικές προσδοκίες και των δύο πλευρών αυτής της ισότητας. Α-προπατορικό,
Η μαθηματική προσδοκία της δεξιάς πλευράς της ισότητας, σύμφωνα με την ιδιότητα των μαθηματικών προσδοκιών, είναι ίση με
Τυπική απόκλιση
Τυπική απόκλισηίση με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
Κατά τον προσδιορισμό της τυπικής απόκλισης για έναν αρκετά μεγάλο όγκο του πληθυσμού που μελετάται (n > 30), χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι:
Σχετική πληροφορία.
X i -τυχαίες (τρέχουσες) μεταβλητές.
Χ– η μέση τιμή των τυχαίων μεταβλητών για το δείγμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ετσι, διακύμανση είναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων . Δηλαδή, πρώτα υπολογίζεται η μέση τιμή και μετά λαμβάνεται η διαφορά μεταξύ κάθε αρχικής και μέσης τιμής είναι στο τετράγωνο , προστίθεται και στη συνέχεια διαιρείται με τον αριθμό των τιμών στον πληθυσμό.
Η διαφορά μεταξύ μιας μεμονωμένης τιμής και του μέσου όρου αντανακλά το μέτρο της απόκλισης. Τετραγωνίζεται έτσι ώστε όλες οι αποκλίσεις να γίνονται αποκλειστικά θετικοί αριθμοί και να αποφεύγεται η αμοιβαία καταστροφή των θετικών και αρνητικών αποκλίσεων κατά την άθροισή τους. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τις αποκλίσεις στο τετράγωνο, υπολογίζουμε απλώς τον αριθμητικό μέσο όρο.
Η απάντηση στη μαγική λέξη «διασπορά» βρίσκεται σε αυτές τις τρεις μόνο λέξεις: μέσος όρος - τετράγωνο - αποκλίσεις.
Τυπική απόκλιση (MSD)
Εξαγωγή από τη διακύμανση Τετραγωνική ρίζα, παίρνουμε το λεγόμενο " τυπική απόκλιση".Υπάρχουν ονόματα "τυπική απόκλιση" ή "σίγμα" (από το όνομα του ελληνικού γράμματος σ .). Μέση φόρμουλα τετραγωνική απόκλισηέχει τη μορφή:
Ετσι, Η διασπορά είναι σίγμα στο τετράγωνο ή είναι η τυπική απόκλιση στο τετράγωνο.
Η τυπική απόκλιση, προφανώς, χαρακτηρίζει επίσης το μέτρο της διασποράς δεδομένων, αλλά τώρα (σε αντίθεση με τη διασπορά) μπορεί να συγκριθεί με τα αρχικά δεδομένα, αφού έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης (αυτό είναι σαφές από τον τύπο υπολογισμού). Το εύρος διακύμανσης είναι η διαφορά μεταξύ των ακραίων τιμών. Η τυπική απόκλιση, ως μέτρο αβεβαιότητας, εμπλέκεται επίσης σε πολλούς στατιστικούς υπολογισμούς. Με τη βοήθειά του, προσδιορίζεται ο βαθμός ακρίβειας διαφόρων εκτιμήσεων και προβλέψεων. Εάν η διακύμανση είναι πολύ μεγάλη, τότε η τυπική απόκλιση θα είναι επίσης μεγάλη, και επομένως η πρόβλεψη θα είναι ανακριβής, η οποία θα εκφράζεται, για παράδειγμα, σε πολύ μεγάλα διαστήματα εμπιστοσύνης.
Επομένως, σε μεθόδους επεξεργασίας στατιστικών δεδομένων σε εκτιμήσεις ακινήτων, ανάλογα με την απαιτούμενη ακρίβεια της εργασίας, χρησιμοποιείται ο κανόνας δύο ή τριών σίγμα.
Για να συγκρίνουμε τον κανόνα δύο σίγμα και τον κανόνα των τριών σίγμα, χρησιμοποιούμε τον τύπο του Laplace:
F - F ,
όπου Ф(x) είναι η συνάρτηση Laplace.
Ελάχιστη τιμή
β = μέγιστη τιμή
s = τιμή σίγμα (τυπική απόκλιση)
α = μέσος όρος
Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιείται ιδιωτική θέαΟ τύπος του Laplace όταν τα όρια α και β των τιμών της τυχαίας μεταβλητής X απέχουν ίσα από το κέντρο της κατανομής a = M(X) με μια ορισμένη τιμή d: a = a-d, b = a+d.  Ή   (1) Ο τύπος (1) καθορίζει την πιθανότητα μιας δεδομένης απόκλισης d μιας τυχαίας μεταβλητής X c κανονικός νόμοςκατανομή από τη μαθηματική του προσδοκία Μ(Χ) = α. Αν στον τύπο (1) πάρουμε διαδοχικά d = 2s και d = 3s, λαμβάνουμε: (2), (3). |
Κανόνας δύο σίγμα
Μπορεί να είναι σχεδόν αξιόπιστο (με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,954) ότι όλες οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χ με νόμο κανονικής κατανομής αποκλίνουν από τη μαθηματική της προσδοκία M(X) = a κατά ένα ποσό όχι μεγαλύτερο από 2 s (δύο τυπικές αποκλίσεις ). Η πιθανότητα εμπιστοσύνης (Pd) είναι η πιθανότητα γεγονότων που είναι συμβατικά αποδεκτά ως αξιόπιστα (η πιθανότητα τους είναι κοντά στο 1).
Ας δείξουμε γεωμετρικά τον κανόνα δύο σίγμα. Στο Σχ. Το σχήμα 6 δείχνει μια καμπύλη Gauss με κέντρο διανομής a. Η περιοχή που οριοθετείται από ολόκληρη την καμπύλη και τον άξονα Ox είναι 1 (100%) και η περιοχή καμπύλο τραπεζοειδέςμεταξύ των τετμημάτων a–2s και a+2s, σύμφωνα με τον κανόνα δύο σίγμα, ισούται με 0,954 (95,4% της συνολικής επιφάνειας). Το εμβαδόν των σκιασμένων περιοχών είναι 1-0,954 = 0,046 (»5% της συνολικής επιφάνειας). Αυτές οι περιοχές ονομάζονται κρίσιμη περιοχή της τυχαίας μεταβλητής. Οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής που εμπίπτουν στην κρίσιμη περιοχή είναι απίθανες και στην πράξη γίνονται αποδεκτές συμβατικά ως αδύνατες.
Η πιθανότητα αδύνατων υπό όρους τιμών ονομάζεται επίπεδο σημαντικότητας μιας τυχαίας μεταβλητής. Το επίπεδο σημαντικότητας σχετίζεται με την πιθανότητα εμπιστοσύνης με τον τύπο:
όπου q είναι το επίπεδο σημαντικότητας εκφρασμένο ως ποσοστό.
Κανόνας τριών σίγμα
Κατά την επίλυση ζητημάτων που απαιτούν μεγαλύτερη αξιοπιστία, όταν η πιθανότητα εμπιστοσύνης (Pd) λαμβάνεται ίση με 0,997 (ακριβέστερα, 0,9973), αντί για τον κανόνα δύο σίγμα, σύμφωνα με τον τύπο (3), χρησιμοποιείται ο κανόνας τρία σίγμα
Σύμφωνα με κανόνας τριών σίγμαστο πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,9973 η κρίσιμη περιοχή θα είναι η περιοχή των τιμών των χαρακτηριστικών εκτός του διαστήματος (a-3s, a+3s). Το επίπεδο σημαντικότητας είναι 0,27%.
Με άλλα λόγια, η πιθανότητα ότι απόλυτη τιμήΟι αποκλίσεις θα υπερβαίνουν το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης, πολύ μικρές, δηλαδή ίσες με 0,0027 = 1-0,9973. Αυτό σημαίνει ότι μόνο το 0,27% των περιπτώσεων θα συμβεί αυτό. Τέτοια γεγονότα, με βάση την αρχή της αδυναμίας απίθανων γεγονότων, μπορούν να θεωρηθούν πρακτικά αδύνατα. Εκείνοι. η δειγματοληψία είναι εξαιρετικά ακριβής.
Αυτή είναι η ουσία του κανόνα των τριών σίγμα:
Εάν μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται κανονικά, τότε η απόλυτη τιμή της απόκλισής της από τη μαθηματική προσδοκία δεν υπερβαίνει το τριπλάσιο της τυπικής απόκλισης (MSD).
Στην πράξη, ο κανόνας των τριών σιγμάτων εφαρμόζεται ως εξής: εάν η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής που μελετάται είναι άγνωστη, αλλά πληρούται η προϋπόθεση που καθορίζεται στον παραπάνω κανόνα, τότε υπάρχει λόγος να υποθέσουμε ότι η μεταβλητή που μελετάται είναι κανονικά κατανεμημένη ; διαφορετικά δεν διανέμεται κανονικά.
Το επίπεδο σημαντικότητας λαμβάνεται ανάλογα με τον επιτρεπόμενο βαθμό κινδύνου και την εργασία που εκτελείται. Για την αποτίμηση της ακίνητης περιουσίας, συνήθως υιοθετείται ένα λιγότερο ακριβές δείγμα, σύμφωνα με τον κανόνα δύο σίγμα.
Τυπική απόκλιση(συνώνυμα: τυπική απόκλιση, τυπική απόκλιση, τετραγωνική απόκλιση; σχετικοί όροι: τυπική απόκλιση, τυπική εξάπλωση) - στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, ο πιο συνηθισμένος δείκτης της διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής σε σχέση με τις μαθηματικές προσδοκίες της. Με περιορισμένους πίνακες δειγμάτων τιμών, αντί για τη μαθηματική προσδοκία, χρησιμοποιείται ο αριθμητικός μέσος όρος του συνόλου των δειγμάτων.
Εγκυκλοπαιδικό YouTube
-
1 / 5
Η τυπική απόκλιση μετριέται σε μονάδες μέτρησης της ίδιας της τυχαίας μεταβλητής και χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό του τυπικού σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου, κατά την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης, κατά τον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, κατά τη μέτρηση της γραμμικής σχέσης μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής.
Τυπική απόκλιση:
s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac (n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac (1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)- Σημείωση: Πολύ συχνά υπάρχουν αποκλίσεις στα ονόματα των MSD (Root Mean Square Deviation) και STD (Τυπική απόκλιση) με τους τύπους τους. Για παράδειγμα, στη μονάδα numPy της γλώσσας προγραμματισμού Python, η συνάρτηση std() περιγράφεται ως "τυπική απόκλιση", ενώ ο τύπος αντικατοπτρίζει την τυπική απόκλιση (διαίρεση με τη ρίζα του δείγματος). Στο Excel, η συνάρτηση STANDARDEVAL() είναι διαφορετική (διαίρεση με τη ρίζα του n-1).
Τυπική απόκλιση(εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής Χσε σχέση με τη μαθηματική του προσδοκία που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσής του) s (\displaystyle s):
σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right) ^(2))))Οπου σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))- διασπορά x i (\displaystyle x_(i)) - Εγώτο στοιχείο της επιλογής. n (\displaystyle n)- το μέγεθος του δείγματος; - αριθμητικός μέσος όρος του δείγματος:
x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n)).)Πρέπει να σημειωθεί ότι και οι δύο εκτιμήσεις είναι μεροληπτικές. ΣΕ γενική περίπτωσηΕίναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια αμερόληπτη εκτίμηση. Ωστόσο, η εκτίμηση που βασίζεται στην εκτίμηση της αμερόληπτης διακύμανσης είναι συνεπής.
Σύμφωνα με το GOST R 8.736-2011, η τυπική απόκλιση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον δεύτερο τύπο αυτής της ενότητας. Ελέγξτε τα αποτελέσματα.
Κανόνας τριών σίγμα
Κανόνας τριών σίγμα (3 σ (\displaystyle 3\sigma )) - σχεδόν όλες οι τιμές μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκονται στο διάστημα (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). Πιο αυστηρά - με περίπου πιθανότητα 0,9973, η τιμή μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκεται στο καθορισμένο διάστημα (με την προϋπόθεση ότι η τιμή x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))αληθές, και δεν ελήφθη ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας του δείγματος).
Αν η αληθινή τιμή x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))είναι άγνωστο, τότε δεν πρέπει να το χρησιμοποιήσετε σ (\displaystyle \sigma ), ΕΝΑ μικρό. Ετσι, κανόνας των τριώνΤο σίγμα μετατρέπεται στον κανόνα των τριών μικρό .
Ερμηνεία της τιμής τυπικής απόκλισης
Μια μεγαλύτερη τιμή τυπικής απόκλισης δείχνει μεγαλύτερη κατανομή τιμών στο παρουσιαζόμενο σύνολο με τη μέση τιμή του συνόλου. μια μικρότερη τιμή, κατά συνέπεια, δείχνει ότι οι τιμές στο σύνολο ομαδοποιούνται γύρω από τη μέση τιμή.
Για παράδειγμα, έχουμε τρία σύνολα αριθμών: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) και (6, 6, 8, 8). Και τα τρία σύνολα έχουν μέσες τιμές ίσες με 7 και τυπικές αποκλίσεις, αντίστοιχα, ίσες με 7, 5 και 1. Το τελευταίο σύνολο έχει μια μικρή τυπική απόκλιση, καθώς οι τιμές στο σύνολο ομαδοποιούνται γύρω από τη μέση τιμή. το πρώτο σετ έχει τα περισσότερα μεγάλης σημασίαςτυπική απόκλιση - οι τιμές εντός του συνόλου αποκλίνουν πολύ από τη μέση τιμή.
Με μια γενική έννοια, η τυπική απόκλιση μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρο αβεβαιότητας. Για παράδειγμα, στη φυσική, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του σφάλματος μιας σειράς διαδοχικών μετρήσεων κάποιας ποσότητας. Αυτή η τιμή είναι πολύ σημαντική για τον προσδιορισμό της αληθοφάνειας του υπό μελέτη φαινομένου σε σύγκριση με την τιμή που προβλέπεται από τη θεωρία: εάν η μέση τιμή των μετρήσεων διαφέρει πολύ από τις τιμές που προβλέπονται από τη θεωρία (μεγάλη τυπική απόκλιση), τότε οι λαμβανόμενες τιμές ή η μέθοδος απόκτησής τους θα πρέπει να επανελεγχθούν. ταυτίζεται με τον κίνδυνο χαρτοφυλακίου.
Κλίμα
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο πόλεις με την ίδια μέση μέγιστη ημερήσια θερμοκρασία, αλλά η μία βρίσκεται στην ακτή και η άλλη στην πεδιάδα. Είναι γνωστό ότι οι πόλεις που βρίσκονται στην ακτή έχουν πολλές διαφορετικές μέγιστες θερμοκρασίες κατά τη διάρκεια της ημέρας που είναι χαμηλότερες από τις πόλεις που βρίσκονται στην ενδοχώρα. Επομένως, η τυπική απόκλιση των μέγιστων ημερήσιων θερμοκρασιών για μια παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από ό,τι για μια δεύτερη πόλη, παρά το γεγονός ότι η μέση τιμή τους είναι η ίδια, πράγμα που στην πράξη σημαίνει ότι η πιθανότητα Μέγιστη θερμοκρασίαΟ αέρας κάθε συγκεκριμένης ημέρας του έτους θα διαφέρει πιο έντονα από τη μέση τιμή, υψηλότερη για μια πόλη που βρίσκεται εντός της ηπείρου.
Αθλημα
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν αρκετές ποδοσφαιρικές ομάδες που αξιολογούνται σύμφωνα με ορισμένες παραμέτρους, για παράδειγμα, τον αριθμό των γκολ που σημειώθηκαν και δέχθηκαν, τις ευκαιρίες για γκολ κ.λπ. Το πιο πιθανό είναι ότι η καλύτερη ομάδα αυτού του ομίλου θα έχει καλύτερες αξίεςσύμφωνα με περισσότερες παραμέτρους. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση της ομάδας για κάθε μία από τις παραμέτρους που παρουσιάζονται, τόσο πιο προβλέψιμο είναι το αποτέλεσμα της ομάδας· τέτοιες ομάδες είναι ισορροπημένες. Από την άλλη, η ομάδα με μεγάλη αξίαΗ τυπική απόκλιση είναι δύσκολο να προβλεφθεί το αποτέλεσμα, το οποίο με τη σειρά του εξηγείται από την ανισορροπία, για παράδειγμα, ισχυρή άμυνα, αλλά με αδύναμη επίθεση.
Η χρήση της τυπικής απόκλισης των παραμέτρων της ομάδας καθιστά δυνατή, στον ένα ή τον άλλο βαθμό, την πρόβλεψη του αποτελέσματος ενός αγώνα μεταξύ δύο ομάδων, αξιολογώντας τα δυνατά σημεία και αδύναμες πλευρέςεντολές, και επομένως οι επιλεγμένες μέθοδοι αγώνα.