Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των εφαρμογών του ολοκληρωτικού λογισμού. Σε αυτό το μάθημα θα αναλύσουμε το τυπικό και πιο κοινό πρόβλημα - πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Τελικά ψάχνοντας για νόημαστα ανώτερα μαθηματικά - μακάρι να τον βρουν. Ποτέ δεν ξέρεις. Στην πραγματική ζωή, θα πρέπει να προσεγγίσετε ένα οικόπεδο dacha χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις και να βρείτε την περιοχή του χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.
Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει:
1) Κατανοήστε το αόριστο ολοκλήρωμα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Έτσι, τα ανδρείκελα θα πρέπει πρώτα να εξοικειωθούν με το μάθημα Όχι.
2) Να είναι σε θέση να εφαρμόσει τον τύπο Newton-Leibniz και να υπολογίσει οριστικό ολοκλήρωμα. Μπορείτε να δημιουργήσετε ζεστές φιλικές σχέσεις με καθορισμένα ολοκληρώματα στη σελίδα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.
Στην πραγματικότητα, για να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, επομένως οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στην κατασκευή σχεδίων θα είναι μια πολύ πιο πιεστική ερώτηση. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη σας από τα γραφήματα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και, τουλάχιστον, να μπορείτε να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή, παραβολή και υπερβολή. Αυτό μπορεί να γίνει (για πολλούς, είναι απαραίτητο) χρησιμοποιώντας μεθοδολογικό υλικόκαι άρθρα για γεωμετρικούς μετασχηματισμούς γραφημάτων.
Στην πραγματικότητα, όλοι είναι εξοικειωμένοι με το έργο της εύρεσης της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα ορισμένο ολοκλήρωμα από το σχολείο, και δεν θα πάμε πολύ πιο μακριά από σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Αυτό το άρθρο μπορεί να μην υπήρχε καθόλου, αλλά το γεγονός είναι ότι το πρόβλημα εμφανίζεται σε 99 περιπτώσεις στις 100, όταν ένας μαθητής υποφέρει από ένα μισητό σχολείο και κατέχει με ενθουσιασμό ένα μάθημα στα ανώτερα μαθηματικά.
Τα υλικά αυτού του εργαστηρίου παρουσιάζονται απλά, αναλυτικά και με ελάχιστη θεωρία.
Ας ξεκινήσουμε με καμπύλο τραπεζοειδές.
Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να εντοπιστεί όχι λιγότεροάξονας x:
Τότε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με το οριστικό ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία. Στο μάθημα Οριστική Ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων Είπα ότι ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός. Και τώρα ήρθε η ώρα να αναφέρουμε ένα άλλο χρήσιμο γεγονός. Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ.
Δηλαδή, ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να κάνουν ένα σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με εμβαδόναντίστοιχο καμπύλο τραπεζοειδές.
Παράδειγμα 1
Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Πρώτα και η πιο σημαντική στιγμήλύσεις - σχέδιο. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.
Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: πρώτα, είναι καλύτερο να κατασκευάσετε όλες τις ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο τότε – παραβολές, υπερβολές και γραφήματα άλλων συναρτήσεων. Είναι πιο κερδοφόρο να κατασκευάζουμε γραφήματα συναρτήσεων κατά σημείο· η τεχνική της σημειακής κατασκευής μπορεί να βρεθεί στο υλικό αναφοράς Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Εκεί μπορείτε επίσης να βρείτε πολύ χρήσιμο υλικό για το μάθημά μας - πώς να φτιάξετε γρήγορα μια παραβολή.
Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας σχεδιάσουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):
Δεν θα εκκολάψω καμπύλο τραπεζοειδές, είναι προφανές εδώ ποια είναι η περιοχή μιλάμε για. Η λύση συνεχίζεται ως εξής:
Στο τμήμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:
Απάντηση:
Ποιος έχει δυσκολίες με τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz 
, ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο Ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.
Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο "με το μάτι" - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές , και άξονα
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Τι να κάνετε εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα;
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.
Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο: 
Εάν το καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα (ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση: 
Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:
1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα ορισμένο ολοκλήρωμα χωρίς κανένα γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.
2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.
Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .
Λύση: Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:
Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι.
Είναι καλύτερα, αν είναι δυνατόν, να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο.
Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Η τεχνική της σημειακής κατασκευής για διάφορα γραφήματα συζητείται αναλυτικά στη βοήθεια Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.
Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο: 
Επαναλαμβάνω ότι κατά την κατασκευή σημειακών, τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».
Και τώρα ο τύπος εργασίας: Αν σε ένα τμήμα κάποια συνεχής συνάρτηση είναι μεγαλύτερη ή ίση με κάποια συνεχής λειτουργία, τότε η περιοχή του σχήματος που περιορίζεται από τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τις γραμμές , , μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: 
Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτείτε πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, και, χοντρικά, είναι σημαντικό ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ.
Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από
Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:
Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.
Στο τμήμα, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:
Απάντηση:
Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. απλό παράδειγμα Νο. 3) είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου 
. Δεδομένου ότι ο άξονας καθορίζεται από την εξίσωση, και το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται όχι υψηλότερατσεκούρια, λοιπόν 
Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση
Παράδειγμα 5
Παράδειγμα 6
Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .
Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο έγινε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά λόγω απροσεξίας... βρέθηκε η περιοχή της λάθος φιγούρας, έτσι ακριβώς ο ταπεινός υπηρέτης σας έκανε λάθος πολλές φορές. Εδώ πραγματική υπόθεσηαπό τη ζωή:
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .
Λύση: Αρχικά, ας κάνουμε ένα σχέδιο: 
...Ε, το σχέδιο βγήκε χάλια, αλλά όλα δείχνουν να είναι ευανάγνωστα.
Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε (δείτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένη η φιγούρα!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, συχνά προκύπτει ένα «πρόβλημα» που πρέπει να βρείτε την περιοχή μιας φιγούρας που είναι σκιασμένη πράσινος!
Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:
1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα μιας ευθείας γραμμής.
2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει μια γραφική παράσταση μιας υπερβολής.
Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:
Απάντηση:
Ας προχωρήσουμε σε μια άλλη ουσιαστική εργασία.
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,
Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις σε «σχολική» μορφή και ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο: 
Από το σχέδιο είναι ξεκάθαρο ότι το ανώτερο όριο μας είναι «καλό»: .
Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο;! Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι είναι; Μπορεί ? Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι... Ή τη ρίζα. Τι γίνεται αν κατασκευάσαμε λάθος το γράφημα;
Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να αφιερώσετε επιπλέον χρόνο και να ξεκαθαρίσετε αναλυτικά τα όρια της ολοκλήρωσης.
Ας βρούμε τα σημεία τομής μιας ευθείας γραμμής και μιας παραβολής.
Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση: 
,
Πραγματικά, .
Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη, το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε αντικαταστάσεις και σημάδια· οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι απλούστεροι.
Στο τμήμα 
, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο: 
Απάντηση: 
Λοιπόν, για να ολοκληρώσουμε το μάθημα, ας δούμε δύο πιο δύσκολες εργασίες.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, ,
Λύση: Ας απεικονίσουμε αυτό το σχήμα στο σχέδιο. 
Διάολε, ξέχασα να υπογράψω το πρόγραμμα και, συγγνώμη, δεν ήθελα να ξανακάνω την εικόνα. Δεν είναι μέρα ζωγραφικής, με λίγα λόγια, σήμερα είναι η μέρα =)
Για την κατασκευή σημείο προς σημείο πρέπει να ξέρετε εμφάνισηημιτονοειδή (και γενικά είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων), καθώς και κάποιες τιμές ημιτόνου, μπορούν να βρεθούν στον τριγωνομετρικό πίνακα. Σε ορισμένες περιπτώσεις (όπως σε αυτήν την περίπτωση), είναι δυνατή η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης θα πρέπει να εμφανίζονται βασικά σωστά.
Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ολοκλήρωσης εδώ· προκύπτουν απευθείας από την συνθήκη: το "x" αλλάζει από μηδέν σε "pi". Ας πάρουμε μια περαιτέρω απόφαση:
Στο τμήμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:
Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;
Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.
Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.
Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.
Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:
Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.
Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.
Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν ορισμένο κανόνα, το οποίο εφαρμόζεται διαδοχικά απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.
Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.
Αρχίζουμε να εξετάζουμε την πραγματική διαδικασία υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος και να εξοικειωνόμαστε με τη γεωμετρική του σημασία.
Το διπλό ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του επίπεδου σχήματος (η περιοχή ολοκλήρωσης). Αυτή είναι η απλούστερη μορφή διπλού ολοκληρώματος, όταν η συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ίση με μία: .
Ας εξετάσουμε πρώτα το πρόβλημα γενική εικόνα. Τώρα θα εκπλαγείτε πολύ πόσο απλά είναι όλα πραγματικά! Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές. Για λόγους βεβαιότητας, υποθέτουμε ότι στο τμήμα . Το εμβαδόν αυτού του σχήματος είναι αριθμητικά ίσο με:
Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο: 
Ας επιλέξουμε τον πρώτο τρόπο να διασχίσουμε την περιοχή: 
Ετσι: 
Και αμέσως ένα σημαντικό τεχνικό κόλπο: τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν ξεχωριστά. Πρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα και μετά το εξωτερικό ολοκλήρωμα. Αυτή η μέθοδοςΤο προτείνω ανεπιφύλακτα σε αρχάριους στο αντικείμενο.
1) Ας υπολογίσουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα και η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή "y": 
Αόριστο ολοκλήρωμαΕδώ είναι η απλούστερη και στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο συνηθισμένος τύπος Newton-Leibniz, με τη μόνη διαφορά ότι τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις. Πρώτα, αντικαταστήσαμε το ανώτερο όριο με το «y» (αντιπαράγωγη συνάρτηση) και μετά το κάτω όριο
2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο πρέπει να αντικατασταθεί στο εξωτερικό ολοκλήρωμα: 
Μια πιο συμπαγής αναπαράσταση ολόκληρης της λύσης μοιάζει με αυτό:
Ο τύπος που προκύπτει 
είναι ακριβώς ο τύπος εργασίας για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας το «συνηθισμένο» οριστικό ολοκλήρωμα! Δείτε το μάθημα Υπολογισμός περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος, εκεί είναι σε κάθε βήμα!
Δηλαδή, το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού με χρήση διπλού ολοκληρώματος όχι πολύ διαφορετικόαπό το πρόβλημα εύρεσης της περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος! Στην πραγματικότητα, είναι το ίδιο πράγμα!
Κατά συνέπεια, δεν πρέπει να προκύψουν δυσκολίες! Δεν θα εξετάσω πολλά παραδείγματα, αφού στην πραγματικότητα, έχετε αντιμετωπίσει επανειλημμένα αυτό το έργο.
Παράδειγμα 9
Λύση: Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο: 
Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής: 
Εδώ και παραπέρα δεν θα σταθώ στο πώς θα διασχίσω την περιοχή, αφού στην πρώτη παράγραφο δόθηκαν λεπτομερέστατες εξηγήσεις.
Ετσι: 
Όπως έχω ήδη σημειώσει, είναι καλύτερο για τους αρχάριους να υπολογίζουν τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα ξεχωριστά και θα παραμείνω στην ίδια μέθοδο:
1) Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα: 
2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στο πρώτο βήμα αντικαθίσταται στο εξωτερικό ολοκλήρωμα: 
Το σημείο 2 είναι στην πραγματικότητα εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.
Απάντηση:
Αυτό είναι ένα τόσο ανόητο και αφελές έργο.
Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:
Παράδειγμα 10
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες, ,
Ένα κατά προσέγγιση παράδειγμα τελικής λύσης στο τέλος του μαθήματος.
Στα Παραδείγματα 9-10, είναι πολύ πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής· οι περίεργοι αναγνώστες, παρεμπιπτόντως, μπορούν να αλλάξουν τη σειρά διέλευσης και να υπολογίσουν τις περιοχές χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο. Εάν δεν κάνετε λάθος, τότε, φυσικά, θα λάβετε τις ίδιες τιμές περιοχής.
Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, η δεύτερη μέθοδος διέλευσης της περιοχής είναι πιο αποτελεσματική, και στο τέλος της πορείας του νεαρού σπασίκλα, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα για αυτό το θέμα:
Παράδειγμα 11
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,
Λύση: ανυπομονούμε για δύο παραβολές με μια ιδιορρυθμία που βρίσκονται στα πλάγια. Δεν χρειάζεται να χαμογελάτε· παρόμοια πράγματα συμβαίνουν αρκετά συχνά σε πολλαπλά ολοκληρώματα.
Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος για να κάνετε ένα σχέδιο;
Ας φανταστούμε μια παραβολή με τη μορφή δύο συναρτήσεων:
– ο άνω κλάδος και – ο κάτω κλάδος.
Ομοίως, φανταστείτε μια παραβολή με τη μορφή άνω και κάτω 
κλαδια δεντρου.
Στη συνέχεια, η σημειακή γραφική παράσταση κανόνων γραφημάτων, με αποτέλεσμα ένα τόσο παράξενο σχήμα: 
Υπολογίζουμε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο:
Τι θα συμβεί αν επιλέξουμε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής; Πρώτον, αυτή η περιοχή θα πρέπει να χωριστεί σε δύο μέρη. Και δεύτερον, θα παρατηρήσουμε αυτή τη θλιβερή εικόνα: 
. Τα ολοκληρώματα, βέβαια, δεν είναι υπερ-σύνθετου επιπέδου, αλλά... υπάρχει ένα παλιό μαθηματικό ρητό: όσοι είναι κοντά στις ρίζες τους δεν χρειάζονται τεστ.
Επομένως, από την παρανόηση που δίνεται στη συνθήκη, εκφράζουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις: 
Αντίστροφες συναρτήσεις σε σε αυτό το παράδειγμαέχουν το πλεονέκτημα ότι καθορίζουν ολόκληρη την παραβολή ταυτόχρονα χωρίς φύλλα, βελανίδια, κλαδιά και ρίζες.
Σύμφωνα με τη δεύτερη μέθοδο, η διάβαση της περιοχής θα είναι η εξής: 
Ετσι: 
Όπως λένε, νιώστε τη διαφορά.
1) Ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:
Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:
Η ενσωμάτωση στη μεταβλητή "y" δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση· εάν υπήρχε ένα γράμμα "zy", θα ήταν υπέροχο να ενσωματωθεί πάνω από αυτό. Αν και όποιος έχει διαβάσει τη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής δεν αντιμετωπίζει πλέον την παραμικρή αμηχανία με την ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο "Y".
Προσέξτε επίσης το πρώτο βήμα: το ολοκλήρωμα είναι άρτιο και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό περίπου μηδέν. Επομένως, το τμήμα μπορεί να μειωθεί στο μισό και το αποτέλεσμα μπορεί να διπλασιαστεί. Αυτή η τεχνική σχολιάζεται αναλυτικά στο μάθημα. Αποτελεσματικές μέθοδοιυπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος.
Τι να προσθέσω…. Ολα!
Απάντηση:
Για να δοκιμάσετε την τεχνική ολοκλήρωσης, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε . Η απάντηση θα πρέπει να είναι ακριβώς η ίδια.
Παράδειγμα 12
Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διάβασης της περιοχής, η φιγούρα δεν θα χρειάζεται πλέον να χωρίζεται σε δύο, αλλά σε τρία μέρη! Και, κατά συνέπεια, παίρνουμε τρία ζεύγη επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων. Συμβαίνει μερικές φορές.
Το master class έφτασε στο τέλος του και ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο επίπεδο grandmaster - Πώς να υπολογίσετε ένα διπλό ολοκλήρωμα; Παραδείγματα λύσεων. Θα προσπαθήσω να μην είμαι τόσο μανιακός στο δεύτερο άρθρο =)
Σου εύχομαι επιτυχία!
Λύσεις και απαντήσεις:
Παράδειγμα 2:Λύση:
Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:
Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:
Ετσι: 
Ας προχωρήσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις:
Ετσι: 
Απάντηση:
Παράδειγμα 4:Λύση:
Ας προχωρήσουμε στις άμεσες συναρτήσεις:
Ας κάνουμε το σχέδιο:
Ας αλλάξουμε τη σειρά διέλευσης της περιοχής:
Απάντηση:
Στην προηγούμενη ενότητα, αφιερωμένη στην ανάλυση της γεωμετρικής σημασίας ενός ορισμένου ολοκληρώματος, λάβαμε έναν αριθμό τύπων για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη αρνητική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη θετική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ] .
Αυτοί οι τύποι ισχύουν για την επίλυση σχετικά απλών προβλημάτων. Στην πραγματικότητα, συχνά θα πρέπει να δουλέψουμε με πιο σύνθετα στοιχεία. Από αυτή την άποψη, θα αφιερώσουμε αυτήν την ενότητα σε μια ανάλυση αλγορίθμων για τον υπολογισμό του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από συναρτήσεις σε ρητή μορφή, δηλ. όπως y = f(x) ή x = g(y).
ΘεώρημαΈστω οι συναρτήσεις y = f 1 (x) και y = f 2 (x) καθορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [ a ; b ] , και f 1 (x) ≤ f 2 (x) για οποιαδήποτε τιμή x από [ a ; β ] . Τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του σχήματος G, οριοθετημένος από τις ευθείες x = a, x = b, y = f 1 (x) και y = f 2 (x) θα μοιάζει με S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Ένας παρόμοιος τύπος θα ισχύει για την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = c, y = d, x = g 1 (y) και x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Απόδειξη
Ας δούμε τρεις περιπτώσεις για τις οποίες θα ισχύει ο τύπος.
Στην πρώτη περίπτωση, λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα της προσθετικότητας της περιοχής, το άθροισμα των εμβαδών του αρχικού σχήματος G και του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς G 1 είναι ίσο με το εμβαδόν του σχήματος G 2. Αυτό σημαίνει ότι
Επομένως, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Μπορούμε να εκτελέσουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την τρίτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.
Στη δεύτερη περίπτωση, η ισότητα είναι αληθής: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:
Αν και οι δύο συναρτήσεις είναι μη θετικές, παίρνουμε: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση γενική περίπτωση, όταν y = f 1 (x) και y = f 2 (x) τέμνουν τον άξονα O x.
Σημειώνουμε τα σημεία τομής ως x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Αυτά τα σημεία χωρίζουν το τμήμα [a; b ] σε n μέρη x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, όπου α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Ως εκ τούτου,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Μπορούμε να κάνουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την πέμπτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.
Ας δείξουμε τη γενική περίπτωση στο γράφημα.
Ο τύπος S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x μπορεί να θεωρηθεί αποδεδειγμένος.
Τώρα ας προχωρήσουμε στην ανάλυση παραδειγμάτων υπολογισμού του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από τις γραμμές y = f (x) και x = g (y).
Θα ξεκινήσουμε την εξέταση οποιουδήποτε από τα παραδείγματα κατασκευάζοντας ένα γράφημα. Η εικόνα θα μας επιτρέψει να αναπαραστήσουμε πολύπλοκα σχήματα ως ενώσεις απλούστερων σχημάτων. Εάν η κατασκευή γραφημάτων και σχημάτων σε αυτά σας δημιουργεί δυσκολίες, μπορείτε να μελετήσετε την ενότητα για τα βασικά στοιχειώδεις λειτουργίες, γεωμετρικός μετασχηματισμός γραφημάτων συνάρτησης, καθώς και κατασκευή γραφημάτων κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης.
Παράδειγμα 1
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από την παραβολή y = - x 2 + 6 x - 5 και τις ευθείες γραμμές y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Λύση
Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
Στο τμήμα [ 1 ; 4 ] η γραφική παράσταση της παραβολής y = - x 2 + 6 x - 5 βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = - 1 3 x - 1 2. Από αυτή την άποψη, για να λάβουμε την απάντηση χρησιμοποιούμε τον τύπο που λήφθηκε νωρίτερα, καθώς και τη μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Απάντηση: S(G) = 13
Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα.
Παράδειγμα 2
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x + 2, y = x, x = 7.
Λύση
Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε μόνο μία ευθεία που βρίσκεται παράλληλα στον άξονα x. Αυτό είναι x = 7. Αυτό απαιτεί να βρούμε μόνοι μας το δεύτερο όριο ένταξης.
Ας φτιάξουμε ένα γράφημα και ας σχεδιάσουμε πάνω του τις γραμμές που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.
Έχοντας το γράφημα μπροστά στα μάτια μας, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης θα είναι η τετμημένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της ευθείας y = x και της ημιπαραβολής y = x + 2. Για να βρούμε την τετμημένη χρησιμοποιούμε τις ισότητες:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Αποδεικνύεται ότι η τετμημένη του σημείου τομής είναι x = 2.
Εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι στο γενικό παράδειγμαστο σχέδιο, οι ευθείες y = x + 2, y = x τέμνονται στο σημείο (2; 2), επομένως τέτοιοι λεπτομερείς υπολογισμοί μπορεί να φαίνονται περιττοί. Το φέραμε εδώ αναλυτική λύσημόνο επειδή είναι περισσότερα δύσκολες περιπτώσειςη λύση μπορεί να μην είναι τόσο προφανής. Αυτό σημαίνει ότι είναι πάντα καλύτερο να υπολογίζουμε αναλυτικά τις συντεταγμένες της τομής των γραμμών.
Στο διάστημα [ 2 ; 7] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x + 2. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το εμβαδόν:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Απάντηση: S (G) = 59 6
Παράδειγμα 3
Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τα γραφήματα των συναρτήσεων y = 1 x και y = - x 2 + 4 x - 2.
Λύση
Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα.
Ας ορίσουμε τα όρια της ολοκλήρωσης. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραμμών εξισώνοντας τις παραστάσεις 1 x και - x 2 + 4 x - 2. Με την προϋπόθεση ότι το x δεν είναι μηδέν, η ισότητα 1 x = - x 2 + 4 x - 2 γίνεται ισοδύναμη με την εξίσωση τρίτου βαθμού - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 με ακέραιους συντελεστές. Για να ανανεώσετε τη μνήμη σας σχετικά με τον αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, μπορούμε να ανατρέξουμε στην ενότητα «Επίλυση κυβικών εξισώσεων».
Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Διαιρώντας την παράσταση - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 με το διώνυμο x - 1, παίρνουμε: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Μπορούμε να βρούμε τις υπόλοιπες ρίζες από την εξίσωση x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Βρήκαμε το διάστημα x ∈ 1; 3 + 13 2, στο οποίο το σχήμα G περιέχεται πάνω από τη μπλε και κάτω από την κόκκινη γραμμή. Αυτό μας βοηθά να προσδιορίσουμε την περιοχή του σχήματος:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Απάντηση: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Παράδειγμα 4
Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις καμπύλες y = x 3, y = - log 2 x + 1 και τον άξονα της τετμημένης.
Λύση
Ας σχεδιάσουμε όλες τις γραμμές στο γράφημα. Μπορούμε να πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - log 2 x + 1 από τη γραφική παράσταση y = log 2 x αν την τοποθετήσουμε συμμετρικά γύρω από τον άξονα x και την μετακινήσουμε μία μονάδα προς τα πάνω. Η εξίσωση του άξονα x είναι y = 0.
Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής των ευθειών.
Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (0; 0). Αυτό συμβαίνει επειδή x = 0 είναι η μόνη πραγματική ρίζα της εξίσωσης x 3 = 0.
x = 2 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης - log 2 x + 1 = 0, άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = - log 2 x + 1 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (2; 0).
x = 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης x 3 = - log 2 x + 1 . Από αυτή την άποψη, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = - log 2 x + 1 τέμνονται στο σημείο (1; 1). Η τελευταία πρόταση μπορεί να μην είναι προφανής, αλλά η εξίσωση x 3 = - log 2 x + 1 δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες, καθώς η συνάρτηση y = x 3 είναι αυστηρά αύξουσα και η συνάρτηση y = - log 2 x + 1 είναι αυστηρά φθίνουσα.
Η περαιτέρω λύση περιλαμβάνει πολλές επιλογές.
Επιλογή 1
Μπορούμε να φανταστούμε το σχήμα G ως το άθροισμα δύο καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x, το πρώτο από τα οποία βρίσκεται κάτω από τη μέση γραμμή στο τμήμα x ∈ 0. 1, και το δεύτερο είναι κάτω από την κόκκινη γραμμή στο τμήμα x ∈ 1. 2. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή θα είναι ίση με S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Επιλογή Νο. 2
Το σχήμα G μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο σχημάτων, το πρώτο από τα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα x και κάτω από την μπλε γραμμή στο τμήμα x ∈ 0. 2, και το δεύτερο μεταξύ των κόκκινων και μπλε γραμμών στο τμήμα x ∈ 1; 2. Αυτό μας επιτρέπει να βρούμε την περιοχή ως εξής:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Σε αυτή την περίπτωση, για να βρείτε την περιοχή θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο της μορφής S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Στην πραγματικότητα, οι γραμμές που δέσμευαν το σχήμα μπορούν να αναπαρασταθούν ως συναρτήσεις του ορίσματος y.
Ας λύσουμε τις εξισώσεις y = x 3 και - log 2 x + 1 ως προς το x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Παίρνουμε την απαιτούμενη περιοχή:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Απάντηση: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Παράδειγμα 5
Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Λύση
Θα σχεδιάσουμε μια γραμμή στο γράφημα με μια κόκκινη γραμμή, δίνεται από τη συνάρτηση y = x. Σχεδιάζουμε τη γραμμή y = - 1 2 x + 4 με μπλε χρώμα και τη γραμμή y = 2 3 x - 3 με μαύρο.
Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής.
Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Έλεγχος: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 όχι Είναι η λύση της εξίσωσης x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (4; 2) σημείο τομής i y = x και y = - 1 2 x + 4
Ας βρούμε το σημείο τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Έλεγχος: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (9 ; 3) σημείο a s y = x και y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Δεν υπάρχει λύση στην εξίσωση
Ας βρούμε το σημείο τομής των ευθειών y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) σημείο τομής y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3
Μέθοδος Νο. 1
Ας φανταστούμε το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος ως το άθροισμα των εμβαδών των μεμονωμένων σχημάτων.
Τότε το εμβαδόν του σχήματος είναι:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Μέθοδος Νο. 2
Το εμβαδόν του αρχικού σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο άλλων σχημάτων.
Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση της γραμμής σε σχέση με το x και μόνο μετά από αυτό εφαρμόζουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της περιοχής του σχήματος.
y = x ⇒ x = y 2 κόκκινη γραμμή y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 μαύρη γραμμή y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Η περιοχή λοιπόν είναι:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Όπως μπορείτε να δείτε, οι τιμές είναι οι ίδιες.
Απάντηση: S (G) = 11 3
ΑποτελέσματαΓια να βρούμε το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται από δεδομένες γραμμές, πρέπει να κατασκευάσουμε γραμμές σε ένα επίπεδο, να βρούμε τα σημεία τομής τους και να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε την περιοχή. Σε αυτήν την ενότητα, εξετάσαμε τις πιο συνηθισμένες παραλλαγές εργασιών.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμέςΕφαρμογή του ολοκληρώματος στη λύση εφαρμοζόμενων προβλημάτων
Υπολογισμός επιφάνειας
Το οριστικό ολοκλήρωμα μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης f(x) είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη y = f(x), τον άξονα O x και τις ευθείες x = a και x = β. Σύμφωνα με αυτό, ο τύπος εμβαδού γράφεται ως εξής:
Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμού των επιφανειών των επίπεδων ψηφίων.
Εργασία Νο. 1. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Λύση.Ας κατασκευάσουμε ένα σχήμα του οποίου το εμβαδόν θα πρέπει να υπολογίσουμε.
y = x 2 + 1 είναι μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά μία μονάδα σε σχέση με τον άξονα O y (Εικόνα 1).
Εικόνα 1. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 + 1
Εργασία Νο. 2. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 2 – 1, y = 0 στην περιοχή από 0 έως 1.
 |
Λύση.Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή διακλαδώσεων που κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται σε σχέση με τον άξονα O y προς τα κάτω κατά μία μονάδα (Εικόνα 2).
Εικόνα 2. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 – 1
Εργασία Νο. 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές
y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4.
Λύση.Η πρώτη από αυτές τις δύο ευθείες είναι μια παραβολή με τους κλάδους της στραμμένους προς τα κάτω, αφού ο συντελεστής x 2 είναι αρνητικός και η δεύτερη γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή που τέμνει και τους δύο άξονες συντεταγμένων.
Για να κατασκευάσουμε μια παραβολή, βρίσκουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – τετμημένη κορυφή; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 είναι η τεταγμένη του, N(1;9) είναι η κορυφή.
Τώρα ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:
Εξίσωση των δεξιών πλευρών μιας εξίσωσης της οποίας οι αριστερές πλευρές είναι ίσες.
Παίρνουμε 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ή x 2 – 12 = 0, εξ ου και 
.
Άρα, τα σημεία είναι τα σημεία τομής μιας παραβολής και μιας ευθείας γραμμής (Εικόνα 1).
Σχήμα 3 Γραφήματα συναρτήσεων y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4
Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία y = 2x – 4. Διέρχεται από τα σημεία (0;-4), (2;0) στους άξονες συντεταγμένων.
Για να κατασκευάσετε μια παραβολή, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα σημεία τομής της με τον άξονα 0x, δηλαδή τις ρίζες της εξίσωσης 8 + 2x – x 2 = 0 ή x 2 – 2x – 8 = 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, είναι εύκολο για να βρείτε τις ρίζες του: x 1 = 2, x 2 = 4.
Το σχήμα 3 δείχνει ένα σχήμα (παραβολικό τμήμα M 1 N M 2) που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.
Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι να βρεθεί η περιοχή αυτού του σχήματος. Το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο 
.
Σε σχέση με αυτή τη συνθήκη, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα: 
2 Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής
Ο όγκος του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης y = f(x) γύρω από τον άξονα O x υπολογίζεται με τον τύπο:
Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα O y, ο τύπος μοιάζει με:
Εργασία Νο. 4. Προσδιορίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός κυρτού τραπεζίου που οριοθετείται από ευθείες x = 0 x = 3 και καμπύλη y = γύρω από τον άξονα O x.
Λύση.Ας σχεδιάσουμε μια εικόνα (Εικόνα 4).
Εικόνα 4. Γράφημα της συνάρτησης y =
Ο απαιτούμενος όγκος είναι 
Εργασία Νο. 5. Να υπολογίσετε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός καμπυλωμένου τραπεζίου που οριοθετείται από την καμπύλη y = x 2 και ευθείες y = 0 και y = 4 γύρω από τον άξονα O y.
Λύση.Εχουμε:
Επιθεώρηση των ερωτήσεων