Σήμερα θα μιλήσουμε για λογαριθμικούς τύπουςκαι θα δώσουμε ενδεικτικά παραδείγματα λύσεων.

Οι ίδιοι υπονοούν μοτίβα λύσεων σύμφωνα με τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Προτού εφαρμόσετε λογαριθμικούς τύπους για επίλυση, ας σας υπενθυμίσουμε όλες τις ιδιότητες:

Τώρα, με βάση αυτούς τους τύπους (ιδιότητες), θα δείξουμε παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων με βάση τύπους.

Λογάριθμοςένας θετικός αριθμός b στη βάση του a (που συμβολίζεται με log a b) είναι ένας εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί το a για να ληφθεί b, με b > 0, a > 0 και 1.

Σύμφωνα με τον ορισμό, log a b = x, που είναι ισοδύναμο με a x = b, επομένως log a a x = x.

Λογάριθμοι, παραδείγματα:

log 2 8 = 3, επειδή 2 3 = 8

log 7 49 = 2, επειδή 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, επειδή 5 -1 = 1/5

Δεκαδικός λογάριθμος- αυτός είναι ένας συνηθισμένος λογάριθμος, του οποίου η βάση είναι 10. Συμβολίζεται ως lg.

log 10 100 = 2, επειδή 10 2 = 100

Φυσικός λογάριθμος- επίσης συνηθισμένος λογάριθμος, λογάριθμος, αλλά με βάση e (e = 2,71828... - άρρητος αριθμός). Συμβολίζεται ως ln.

Συνιστάται να απομνημονεύουμε τους τύπους ή τις ιδιότητες των λογαρίθμων, γιατί θα τους χρειαστούμε αργότερα κατά την επίλυση λογαρίθμων, λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες. Ας δουλέψουμε ξανά κάθε τύπο με παραδείγματα.

  • Βασική λογαριθμική ταυτότητα
    α ημερολόγιο α β = β

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

  • Ο λογάριθμος του πηλίκου είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων
    log a (b/c) = log a b - log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Ιδιότητες της ισχύος ενός λογαριθμικού αριθμού και της βάσης του λογαρίθμου

    Εκθέτης του λογαριθμικού αριθμού log a b m = mlog a b

    Εκθέτης της βάσης του λογαρίθμου log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    αν m = n, παίρνουμε log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Μετάβαση σε νέα βάση
    log a b = log c b/log c a,

    αν c = b, παίρνουμε το log b b = 1

    τότε log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Όπως μπορείτε να δείτε, οι τύποι για τους λογάριθμους δεν είναι τόσο περίπλοκοι όσο φαίνονται. Τώρα, έχοντας εξετάσει παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων, μπορούμε να προχωρήσουμε στις λογαριθμικές εξισώσεις. Θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων με περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο: "". Μην χάσετε!

Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις σχετικά με τη λύση, γράψτε τις στα σχόλια του άρθρου.

Σημείωση: αποφασίσαμε να λάβουμε μια διαφορετική τάξη εκπαίδευσης και να σπουδάσουμε στο εξωτερικό ως επιλογή.

Λογάριθμος του αριθμού b (b > 0) στη βάση του a (a > 0, a ≠ 1)– εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να ληφθεί b.

Ο λογάριθμος βάσης 10 του b μπορεί να γραφτεί ως ημερολόγιο (β), και ο λογάριθμος στη βάση e (φυσικός λογάριθμος) είναι ln(b).

Συχνά χρησιμοποιείται κατά την επίλυση προβλημάτων με λογάριθμους:

Ιδιότητες λογαρίθμων

Υπάρχουν τέσσερις κύριες ιδιότητες των λογαρίθμων.

Έστω a > 0, a ≠ 1, x > 0 και y > 0.

Ιδιότητα 1. Λογάριθμος του προϊόντος

Λογάριθμος του προϊόντοςίσο με το άθροισμα των λογαρίθμων:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Ιδιότητα 2. Λογάριθμος του πηλίκου

Λογάριθμος του πηλίκουίση με τη διαφορά των λογαρίθμων:

log a (x / y) = log a x – log a y

Ιδιότητα 3. Λογάριθμος ισχύος

Λογάριθμος βαθμούίσο με το γινόμενο της ισχύος και του λογάριθμου:

Εάν η βάση του λογάριθμου είναι στη μοίρα, τότε ισχύει ένας άλλος τύπος:

Ιδιότητα 4. Λογάριθμος ρίζας

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να ληφθεί από την ιδιότητα του λογάριθμου μιας δύναμης, καθώς η nη ρίζα της ισχύος είναι ίση με την ισχύ του 1/n:

Τύπος μετατροπής από λογάριθμο σε μια βάση σε λογάριθμο σε άλλη βάση

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται επίσης συχνά κατά την επίλυση διαφόρων εργασιών σε λογάριθμους:

Ειδική περίπτωση:

Σύγκριση λογαρίθμων (ανισότητες)

Ας έχουμε 2 συναρτήσεις f(x) και g(x) σε λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις και μεταξύ τους υπάρχει πρόσημο ανισότητας:

Για να τα συγκρίνετε, πρέπει πρώτα να δείτε τη βάση των λογαρίθμων:

  • Αν a > 0, τότε f(x) > g(x) > 0
  • Αν 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Πώς να λύσετε προβλήματα με λογάριθμους: παραδείγματα

Προβλήματα με λογαρίθμουςπου περιλαμβάνονται στην Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά για την τάξη 11 στην εργασία 5 και την εργασία 7, μπορείτε να βρείτε εργασίες με λύσεις στον ιστότοπό μας στις κατάλληλες ενότητες. Επίσης, εργασίες με λογάριθμους βρίσκονται στην τράπεζα μαθηματικών εργασιών. Μπορείτε να βρείτε όλα τα παραδείγματα κάνοντας αναζήτηση στον ιστότοπο.

Τι είναι ο λογάριθμος

Οι λογάριθμοι θεωρούνταν πάντα ένα δύσκολο θέμα στα σχολικά μαθήματα μαθηματικών. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί του λογάριθμου, αλλά για κάποιο λόγο τα περισσότερα σχολικά βιβλία χρησιμοποιούν τον πιο περίπλοκο και ανεπιτυχή από αυτούς.

Θα ορίσουμε τον λογάριθμο απλά και ξεκάθαρα. Για να γίνει αυτό, ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα:

Άρα, έχουμε δυνάμεις δύο.

Λογάριθμοι - ιδιότητες, τύποι, τρόπος επίλυσης

Εάν πάρετε τον αριθμό από την κάτω γραμμή, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη δύναμη στην οποία θα πρέπει να αυξήσετε δύο για να λάβετε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, για να πάρετε 16, πρέπει να αυξήσετε δύο στην τέταρτη δύναμη. Και για να πάρετε 64, πρέπει να αυξήσετε δύο στην έκτη δύναμη. Αυτό φαίνεται από τον πίνακα.

Και τώρα - στην πραγματικότητα, ο ορισμός του λογάριθμου:

η βάση a του ορίσματος x είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός a για να ληφθεί ο αριθμός x.

Ονομασία: log a x = b, όπου a είναι η βάση, x είναι το όρισμα, b είναι αυτό με το οποίο ισούται πραγματικά ο λογάριθμος.

Για παράδειγμα, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (ο λογάριθμος βάσης 2 του 8 είναι τρεις επειδή 2 3 = 8). Με την ίδια επιτυχία, log 2 64 = 6, αφού 2 6 = 64.

Η πράξη εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού σε μια δεδομένη βάση ονομάζεται. Λοιπόν, ας προσθέσουμε μια νέα γραμμή στον πίνακα μας:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
ημερολόγιο 2 2 = 1 ημερολόγιο 2 4 = 2 ημερολόγιο 2 8 = 3 ημερολόγιο 2 16 = 4 ημερολόγιο 2 32 = 5 ημερολόγιο 2 64 = 6

Δυστυχώς, δεν υπολογίζονται όλοι οι λογάριθμοι τόσο εύκολα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 5. Ο αριθμός 5 δεν βρίσκεται στον πίνακα, αλλά η λογική υπαγορεύει ότι ο λογάριθμος θα βρίσκεται κάπου στο διάστημα. Επειδή 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι: οι αριθμοί μετά την υποδιαστολή μπορούν να γραφτούν επ' άπειρον και δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, είναι καλύτερα να τον αφήσετε έτσι: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση με δύο μεταβλητές (τη βάση και το όρισμα). Στην αρχή, πολλοί άνθρωποι μπερδεύουν πού είναι η βάση και πού είναι το επιχείρημα. Για να αποφύγετε ενοχλητικές παρεξηγήσεις, απλά δείτε την εικόνα:

Μπροστά μας δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον ορισμό του λογάριθμου. Θυμάμαι: ο λογάριθμος είναι δύναμη, στην οποία πρέπει να ενσωματωθεί η βάση για να ληφθεί ένα όρισμα. Είναι η βάση που ανυψώνεται σε δύναμη - επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στην εικόνα. Αποδεικνύεται ότι η βάση είναι πάντα στο κάτω μέρος! Λέω στους μαθητές μου αυτόν τον υπέροχο κανόνα στο πρώτο μάθημα - και δεν δημιουργείται σύγχυση.

Πώς να μετρήσετε τους λογάριθμους

Καταλάβαμε τον ορισμό - το μόνο που μένει είναι να μάθουμε πώς να μετράμε λογάριθμους, δηλ. απαλλαγείτε από το σημάδι "κούτσουρο". Αρχικά, σημειώνουμε ότι δύο σημαντικά στοιχεία προκύπτουν από τον ορισμό:

  1. Το όρισμα και η βάση πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερα από το μηδέν. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό ενός βαθμού από έναν ορθολογικό εκθέτη, στον οποίο ανάγεται ο ορισμός ενός λογάριθμου.
  2. Η βάση πρέπει να είναι διαφορετική από τη μία, αφού η μία σε οποιοδήποτε βαθμό παραμένει μία. Εξαιτίας αυτού, το ερώτημα «σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί κανείς για να πάρει δύο» είναι άνευ σημασίας. Δεν υπάρχει τέτοιο πτυχίο!

Τέτοιοι περιορισμοί ονομάζονται εύρος αποδεκτών τιμών(ODZ). Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό b (την τιμή του λογάριθμου). Για παράδειγμα, ο λογάριθμος μπορεί κάλλιστα να είναι αρνητικός: log 2 0,5 = −1, επειδή 0,5 = 2 −1.

Ωστόσο, τώρα εξετάζουμε μόνο αριθμητικές εκφράσεις, όπου δεν απαιτείται να γνωρίζουμε το VA του λογαρίθμου. Όλοι οι περιορισμοί έχουν ήδη ληφθεί υπόψη από τους συντάκτες των προβλημάτων. Αλλά όταν οι λογαριθμικές εξισώσεις και οι ανισότητες μπουν στο παιχνίδι, οι απαιτήσεις DL θα γίνουν υποχρεωτικές. Άλλωστε, η βάση και το επιχείρημα μπορεί να περιέχουν πολύ ισχυρές κατασκευές που δεν ανταποκρίνονται απαραίτητα στους παραπάνω περιορισμούς.

Τώρα ας δούμε το γενικό σχήμα για τον υπολογισμό των λογαρίθμων. Αποτελείται από τρία βήματα:

  1. Να εκφράσετε τη βάση α και το όρισμα x ως δύναμη με την ελάχιστη δυνατή βάση μεγαλύτερη από το ένα. Στην πορεία, είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά.
  2. Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή b: x = a b ;
  3. Ο αριθμός β που προκύπτει θα είναι η απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Εάν ο λογάριθμος αποδειχθεί παράλογος, αυτό θα είναι ορατό ήδη στο πρώτο βήμα. Η απαίτηση να είναι η βάση μεγαλύτερη από μία είναι πολύ σημαντική: αυτό μειώνει την πιθανότητα λάθους και απλοποιεί σημαντικά τους υπολογισμούς. Το ίδιο με δεκαδικά: αν τα μετατρέψετε αμέσως σε κανονικά, θα υπάρξουν πολύ λιγότερα σφάλματα.

Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό το σχήμα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 5 25

  1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του πέντε: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

    2. Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
    log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

  2. Λάβαμε την απάντηση: 2.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο:

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 4 64

  1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
    log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Λάβαμε την απάντηση: 3.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 16 1

  1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη δύο: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Ας δημιουργήσουμε και λύνουμε την εξίσωση:
    log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Λάβαμε την απάντηση: 0.

Εργο. Υπολογίστε τον λογάριθμο: log 7 14

  1. Ας φανταστούμε τη βάση και το όρισμα ως δύναμη του επτά: 7 = 7 1 ; Το 14 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη του επτά, αφού το 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει ότι ο λογάριθμος δεν μετράει.
  3. Η απάντηση είναι καμία αλλαγή: ημερολόγιο 7 14.

Μια μικρή σημείωση για το τελευταίο παράδειγμα. Πώς μπορείτε να είστε σίγουροι ότι ένας αριθμός δεν είναι ακριβής δύναμη ενός άλλου αριθμού; Είναι πολύ απλό - απλώς συνυπολογίστε το σε πρωταρχικούς παράγοντες. Εάν η επέκταση έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικούς παράγοντες, ο αριθμός δεν είναι ακριβής ισχύς.

Εργο. Μάθετε αν οι αριθμοί είναι ακριβείς δυνάμεις: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ακριβής βαθμός, επειδή υπάρχει μόνο ένας πολλαπλασιαστής.
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - δεν είναι ακριβής δύναμη, αφού υπάρχουν δύο παράγοντες: 3 και 2.
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ακριβής βαθμός.
35 = 7 · 5 - και πάλι δεν είναι ακριβής ισχύς.
14 = 7 · 2 - και πάλι όχι ακριβής βαθμός.

Ας σημειώσουμε επίσης ότι εμείς οι ίδιοι πρώτοι αριθμοίείναι πάντα ακριβείς βαθμοί του εαυτού τους.

Δεκαδικός λογάριθμος

Μερικοί λογάριθμοι είναι τόσο συνηθισμένοι που έχουν ειδικό όνομα και σύμβολο.

του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος στη βάση του 10, δηλ. Η ισχύς στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός 10 για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: lg x.

Για παράδειγμα, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - κ.λπ.

Από εδώ και στο εξής, όταν εμφανίζεται μια φράση όπως «Βρείτε το lg 0.01» σε ένα σχολικό βιβλίο, να ξέρετε ότι δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος. Αυτός είναι ένας δεκαδικός λογάριθμος. Ωστόσο, εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτόν τον συμβολισμό, μπορείτε πάντα να τον ξαναγράψετε:
log x = log 10 x

Ό,τι ισχύει για τους συνηθισμένους λογάριθμους ισχύει και για τους δεκαδικούς λογάριθμους.

Φυσικός λογάριθμος

Υπάρχει ένας άλλος λογάριθμος που έχει τη δική του ονομασία. Κατά κάποιο τρόπο, είναι ακόμη πιο σημαντικό από το δεκαδικό. Είναι περίπουσχετικά με τον φυσικό λογάριθμο.

του ορίσματος x είναι ο λογάριθμος στη βάση του e, δηλ. η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός e για να ληφθεί ο αριθμός x. Ονομασία: ln x.

Πολλοί θα ρωτήσουν: ποιος είναι ο αριθμός e; Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός, είναι ακριβής αξίααδύνατο να βρεθεί και να καταγραφεί. Θα δώσω μόνο τα πρώτα στοιχεία:
e = 2,718281828459…

Δεν θα αναφερθούμε σε λεπτομέρειες σχετικά με το τι είναι αυτός ο αριθμός και γιατί χρειάζεται. Απλώς θυμηθείτε ότι το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου:
ln x = log e x

Έτσι ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - κ.λπ. Από την άλλη πλευρά, το ln 2 είναι ένας παράλογος αριθμός. Γενικά, ο φυσικός λογάριθμος οποιουδήποτε ρητός αριθμόςπαράλογος. Εκτός, φυσικά, από ένα: ln 1 = 0.

Για τους φυσικούς λογάριθμους, ισχύουν όλοι οι κανόνες που ισχύουν για τους συνηθισμένους λογάριθμους.

Δείτε επίσης:

Λογάριθμος. Ιδιότητες του λογαρίθμου (ισχύς του λογαρίθμου).

Πώς να αναπαραστήσετε έναν αριθμό ως λογάριθμο;

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λογάριθμου.

Ένας λογάριθμος είναι ένας εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου.

Έτσι, για να αναπαραστήσετε έναν ορισμένο αριθμό c ως λογάριθμο στη βάση a, πρέπει να βάλετε μια δύναμη με την ίδια βάση με τη βάση του λογαρίθμου κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου και να γράψετε αυτόν τον αριθμό c ως εκθέτη:

Απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως λογάριθμος - θετικός, αρνητικός, ακέραιος, κλασματικός, ορθολογικός, παράλογος:

Για να μην μπερδεύετε το α και το γ κάτω από αγχωτικές συνθήκες ενός τεστ ή μιας εξέτασης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο κανόνα απομνημόνευσης:

ότι είναι κάτω κατεβαίνει, ό,τι είναι πάνω ανεβαίνει.

Για παράδειγμα, πρέπει να αναπαραστήσετε τον αριθμό 2 ως λογάριθμο στη βάση 3.

Έχουμε δύο αριθμούς - 2 και 3. Αυτοί οι αριθμοί είναι η βάση και ο εκθέτης, που θα γράψουμε κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου. Απομένει να καθοριστεί ποιος από αυτούς τους αριθμούς θα πρέπει να γραφτεί, στη βάση του βαθμού και ποιος - επάνω, στον εκθέτη.

Η βάση 3 στη σημειογραφία ενός λογάριθμου βρίσκεται στο κάτω μέρος, πράγμα που σημαίνει ότι όταν αντιπροσωπεύουμε δύο ως λογάριθμο στη βάση 3, θα γράψουμε επίσης το 3 στη βάση.

Το 2 είναι υψηλότερο από το τρία. Και σε σημειογραφία του βαθμού δύο γράφουμε πάνω από τα τρία, δηλαδή ως εκθέτη:

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Λογάριθμοι

Λογάριθμοςθετικός αριθμός σιβασισμένο στο ένα, Οπου a > 0, a ≠ 1, ονομάζεται ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ο αριθμός ένα, Αποκτώ σι.

Ορισμός λογάριθμουμπορεί να γραφτεί εν συντομία ως εξής:

Αυτή η ισότητα ισχύει για b > 0, a > 0, a ≠ 1.Συνήθως λέγεται λογαριθμική ταυτότητα.
Η ενέργεια εύρεσης του λογάριθμου ενός αριθμού ονομάζεται κατά λογάριθμο.

Ιδιότητες λογαρίθμων:

Λογάριθμος του προϊόντος:

Λογάριθμος του πηλίκου:

Αντικατάσταση της λογαριθμικής βάσης:

Λογάριθμος βαθμού:

Λογάριθμος της ρίζας:

Λογάριθμος με βάση ισχύος:





Δεκαδικοί και φυσικοί λογάριθμοι.

Δεκαδικός λογάριθμοςΟι αριθμοί καλούν τον λογάριθμο αυτού του αριθμού στη βάση 10 και γράφουν   lg σι
Φυσικός λογάριθμοςαριθμοί ονομάζονται λογάριθμος αυτού του αριθμού προς τη βάση μι, Οπου μι- ένας παράλογος αριθμός περίπου ίσος με 2,7. Ταυτόχρονα γράφουν ln σι.

Άλλες σημειώσεις για την άλγεβρα και τη γεωμετρία

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: log a x και log a y. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

  1. log a x + log a y = log a (x y);
  2. log a x − log a y = log a (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Σημείωση: κομβική στιγμήΕδώ - πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα «Τι είναι ο λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Μητρώο 6 4 + ημερολόγιο 6 9.

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 2 48 − log 2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 3 135 − log 3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον αριθμό των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο.

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 7 49 6 .

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Εχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log 2 7. Εφόσον το log 2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Ας δοθεί το λογάριθμο log a x. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 5 16 log 2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log 9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση.

Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι το log 25 64 = log 5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

  1. log a a = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
  2. log a 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το 0 = 1 είναι άμεση συνέπειααπό τον ορισμό.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Όλοι γνωρίζουμε τις εξισώσεις δημοτικές τάξεις. Εκεί μάθαμε να λύνουμε και τα πιο απλά παραδείγματα, και πρέπει να παραδεχτούμε ότι βρίσκουν την εφαρμογή τους ακόμα και στα ανώτερα μαθηματικά. Όλα είναι απλά με τις εξισώσεις, συμπεριλαμβανομένων των δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτό το θέμα, σας συνιστούμε να το αναθεωρήσετε.

Μάλλον έχετε ήδη περάσει από λογάριθμους. Ωστόσο, θεωρούμε σημαντικό να πούμε τι είναι για όσους δεν γνωρίζουν ακόμη. Ένας λογάριθμος εξισώνεται με την ισχύ στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός στα δεξιά του λογαρίθμου. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα βάσει του οποίου όλα θα σας ξεκαθαρίσουν.

Αν σηκώσετε το 3 στην τέταρτη δύναμη, παίρνετε 81. Τώρα αντικαταστήστε τους αριθμούς με αναλογία και τελικά θα καταλάβετε πώς λύνονται οι λογάριθμοι. Τώρα το μόνο που μένει είναι να συνδυαστούν οι δύο έννοιες που συζητήθηκαν. Αρχικά, η κατάσταση φαίνεται εξαιρετικά περίπλοκη, αλλά μετά από προσεκτικότερη εξέταση το βάρος μπαίνει στη θέση του. Είμαστε σίγουροι ότι μετά από αυτό το σύντομο άρθρο δεν θα έχετε προβλήματα σε αυτό το μέρος της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Σήμερα υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης τέτοιων δομών. Θα σας πούμε για τις απλούστερες, πιο αποτελεσματικές και πιο εφαρμόσιμες στην περίπτωση των εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να ξεκινά από την αρχή. απλό παράδειγμα. Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις αποτελούνται από μια συνάρτηση και μια μεταβλητή σε αυτήν.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το x βρίσκεται μέσα στο όρισμα. Τα Α και β πρέπει να είναι αριθμοί. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε απλά να εκφράσετε τη συνάρτηση με όρους αριθμού σε δύναμη. Μοιάζει με αυτό.

Φυσικά, η επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση. Το πρόβλημα για τη συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών σε αυτή την περίπτωση είναι ότι δεν καταλαβαίνουν τι προέρχεται από πού. Ως αποτέλεσμα, πρέπει να υπομένετε τα λάθη και να μην πάρετε τους επιθυμητούς βαθμούς. Το πιο προσβλητικό λάθος θα είναι αν μπερδέψετε τα γράμματα. Για να λύσετε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να απομνημονεύσετε αυτόν τον τυπικό σχολικό τύπο, επειδή είναι δύσκολο να τον κατανοήσετε.

Για να το κάνετε πιο εύκολο, μπορείτε να καταφύγετε σε μια άλλη μέθοδο - την κανονική μορφή. Η ιδέα είναι εξαιρετικά απλή. Στρέψτε ξανά την προσοχή σας στο πρόβλημα. Θυμηθείτε ότι το γράμμα a είναι αριθμός, όχι συνάρτηση ή μεταβλητή. Το Α δεν είναι ίσο με ένα και μεγαλύτερο από μηδέν. Δεν υπάρχουν περιορισμοί στο β. Τώρα, από όλους τους τύπους, ας θυμηθούμε έναν. Το Β μπορεί να εκφραστεί ως εξής.

Από αυτό προκύπτει ότι όλες οι αρχικές εξισώσεις με λογάριθμους μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή:

Τώρα μπορούμε να ρίξουμε τους λογάριθμους. Το αποτέλεσμα είναι ένα απλό σχέδιο, το οποίο έχουμε ήδη δει νωρίτερα.

Η ευκολία αυτής της φόρμουλας έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων, και όχι μόνο για τα πιο απλά σχέδια.

Μην ανησυχείτε για το OOF!

Πολλοί έμπειροι μαθηματικοί θα παρατηρήσουν ότι δεν έχουμε δώσει προσοχή στον τομέα του ορισμού. Ο κανόνας συνοψίζεται στο γεγονός ότι το F(x) είναι απαραίτητα μεγαλύτερο από 0. Όχι, δεν παραλείψαμε αυτό το σημείο. Τώρα μιλάμε για ένα άλλο σοβαρό πλεονέκτημα της κανονικής μορφής.

Δεν θα υπάρχουν επιπλέον ρίζες εδώ. Εάν μια μεταβλητή εμφανίζεται μόνο σε ένα μέρος, τότε δεν είναι απαραίτητο το πεδίο εφαρμογής. Γίνεται αυτόματα. Για να επαληθεύσετε αυτήν την κρίση, δοκιμάστε να λύσετε πολλά απλά παραδείγματα.

Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις

Αυτές είναι ήδη πολύπλοκες λογαριθμικές εξισώσεις και η προσέγγιση για την επίλυσή τους πρέπει να είναι ειδική. Εδώ σπάνια είναι δυνατόν να περιοριστούμε στην περιβόητη κανονική μορφή. Ας ξεκινήσουμε το δικό μας αναλυτική ιστορία. Έχουμε την παρακάτω κατασκευή.

Δώστε προσοχή στο κλάσμα. Περιέχει τον λογάριθμο. Αν το δείτε σε μια εργασία, αξίζει να θυμηθείτε ένα ενδιαφέρον κόλπο.

Τι σημαίνει? Κάθε λογάριθμος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το πηλίκο δύο λογαρίθμων με μια βολική βάση. Και αυτή η φόρμουλα έχει ειδική περίπτωση, το οποίο ισχύει με αυτό το παράδειγμα (που σημαίνει αν c=b).

Αυτό ακριβώς είναι το κλάσμα που βλέπουμε στο παράδειγμά μας. Ετσι.

Ουσιαστικά, γυρίσαμε το κλάσμα και πήραμε μια πιο βολική έκφραση. Θυμηθείτε αυτόν τον αλγόριθμο!

Τώρα χρειαζόμαστε ότι η λογαριθμική εξίσωση δεν περιείχε διαφορετικούς λόγους. Ας παραστήσουμε τη βάση ως κλάσμα.

Στα μαθηματικά υπάρχει ένας κανόνας βάσει του οποίου μπορείς να βγάλεις πτυχίο από μια βάση. Τα παρακάτω αποτελέσματα κατασκευής.

Φαίνεται ότι τι μας εμποδίζει να μετατρέψουμε τώρα την έκφρασή μας στην κανονική μορφή και απλώς να τη λύσουμε; Όχι τόσο απλό. Δεν πρέπει να υπάρχουν κλάσματα πριν από τον λογάριθμο. Ας φτιάξουμε αυτή την κατάσταση! Τα κλάσματα επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται ως μοίρες.

Αντίστοιχα.

Εάν οι βάσεις είναι ίδιες, μπορούμε να αφαιρέσουμε τους λογάριθμους και να εξισώσουμε τις ίδιες τις παραστάσεις. Έτσι η κατάσταση θα γίνει πολύ πιο απλή από ό,τι ήταν. Αυτό που θα μείνει είναι μια στοιχειώδης εξίσωση που ο καθένας μας ήξερε να λύνει στην 8η ή και στην 7η δημοτικού. Μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς μόνοι σας.

Λάβαμε τη μόνη αληθινή ρίζα αυτής της λογαριθμικής εξίσωσης. Τα παραδείγματα επίλυσης μιας λογαριθμικής εξίσωσης είναι αρκετά απλά, έτσι δεν είναι; Τώρα θα είστε σε θέση να αντιμετωπίσετε ανεξάρτητα ακόμη και τις πιο σύνθετες εργασίες για την προετοιμασία και τη μετάδοση της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Ποιο είναι το αποτέλεσμα;

Στην περίπτωση οποιωνδήποτε λογαριθμικών εξισώσεων, ξεκινάμε από ένα πολύ σημαντικός κανόνας. Είναι απαραίτητο να ενεργήσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να περιορίσουμε την έκφραση στην απλούστερη δυνατή μορφή. Σε αυτήν την περίπτωση, θα έχετε περισσότερες πιθανότητες όχι μόνο να λύσετε σωστά την εργασία, αλλά και να την κάνετε με τον απλούστερο και πιο λογικό δυνατό τρόπο. Έτσι ακριβώς δουλεύουν πάντα οι μαθηματικοί.

Σας συμβουλεύουμε ανεπιφύλακτα να μην κάνετε αναζήτηση δύσκολα μονοπάτια, ειδικά σε αυτή την περίπτωση. Θυμηθείτε μερικά απλούς κανόνες, που θα σας επιτρέψει να μεταμορφώσετε οποιαδήποτε έκφραση. Για παράδειγμα, μειώστε δύο ή τρεις λογάριθμους στην ίδια βάση ή αντλήστε δύναμη από τη βάση και κερδίστε σε αυτό.

Αξίζει επίσης να θυμηθούμε ότι η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων απαιτεί συνεχή εξάσκηση. Σταδιακά θα προχωρήσετε σε όλο και πιο περίπλοκες δομές και αυτό θα σας οδηγήσει στην επίλυση με σιγουριά όλων των παραλλαγών των προβλημάτων στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Προετοιμαστείτε πολύ νωρίτερα για τις εξετάσεις σας και καλή τύχη!

κύριες ιδιότητες.

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = λογάριθμος (x: y).

πανομοιότυπους λόγους

Log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Δείτε επίσης:


Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.



Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι ίσος με 2,7 και διπλάσιο από το έτος γέννησης του Λέοντος Νικολάεβιτς Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.


Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

2.

3.

4. Οπου .



Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν


Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν




Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = λογάριθμος (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα «Τι είναι ο λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον αριθμό των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Παραδείγματα λογαρίθμων λύσεων.

Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

  1. λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
  2. λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του b για τη βάση του a δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια ισχύ x () στην οποία η ισότητα ικανοποιείται

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις παραπάνω ιδιότητες, αφού όλα σχεδόν τα προβλήματα και τα παραδείγματα που σχετίζονται με τους λογάριθμους επιλύονται με βάση τους. Υπόλοιπο εξωτικές ιδιότητεςμπορεί να προκύψει με μαθηματικό χειρισμό αυτών των τύπων

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό του τύπου για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντάτε αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι ακόμη δέκα, εκθετική ή δύο.
Ο λογάριθμος στη βάση δέκα ονομάζεται συνήθως δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται απλώς με lg(x).

Είναι σαφές από την ηχογράφηση ότι τα βασικά δεν γράφονται στην ηχογράφηση. Για παράδειγμα

Ένας φυσικός λογάριθμος είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ένας εκθέτης (που συμβολίζεται με ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι ίσος με 2,7 και διπλάσιο από το έτος γέννησης του Λέοντος Νικολάεβιτς Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντα Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος για τη βάση δύο συμβολίζεται με

Η παράγωγος του λογάριθμου μιας συνάρτησης είναι ίση με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από τη σχέση

Το δεδομένο υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για να σας βοηθήσω να κατανοήσετε το υλικό, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς λογαρίθμων έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

4. Οπου .

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση απλοποιείται για να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό κανόνων

Εύρεση λογαριθμικών τιμών

Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό, εφαρμόζουμε στον τελευταίο όρο 5 και 13 ιδιότητες

Το βάζουμε σε δίσκο και θρηνούμε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Ας πάρουμε έναν λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψουμε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων της


Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας μας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτάτε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας για άλλη μια όχι λιγότερο σημαντικό θέμα- λογαριθμικές ανισώσεις...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Αλλά επειδή οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

  1. logax + logay = loga(x y);
  2. logax − logay = λογάριθμος (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα «Τι είναι ο λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Επειδή οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον αριθμό των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο.

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογηθεί πόσο βολικές είναι μόνο όταν επιλύονται λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

  1. λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
  2. λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.


Συνεχίζουμε να μελετάμε τους λογάριθμους. Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για υπολογισμός λογαρίθμων, αυτή η διαδικασία ονομάζεται λογάριθμος. Αρχικά θα κατανοήσουμε τον υπολογισμό των λογαρίθμων εξ ορισμού. Στη συνέχεια, ας δούμε πώς βρίσκονται οι τιμές των λογαρίθμων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές τους. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στον υπολογισμό των λογαρίθμων μέσω των αρχικά καθορισμένων τιμών άλλων λογαρίθμων. Τέλος, ας μάθουμε πώς να χρησιμοποιούμε λογαριθμικούς πίνακες. Ολόκληρη η θεωρία παρέχεται με παραδείγματα με λεπτομερείς λύσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός λογαρίθμων εξ ορισμού

Στις πιο απλές περιπτώσεις είναι δυνατό να εκτελεστεί αρκετά γρήγορα και εύκολα βρίσκοντας τον λογάριθμο εξ ορισμού. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο πώς συμβαίνει αυτή η διαδικασία.

Η ουσία του είναι να αντιπροσωπεύει τον αριθμό b με τη μορφή a c, από τον οποίο, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, ο αριθμός c είναι η τιμή του λογαρίθμου. Δηλαδή, εξ ορισμού, η ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων αντιστοιχεί στην εύρεση του λογάριθμου: log a b=log a a c =c.

Έτσι, ο υπολογισμός ενός λογάριθμου εξ ορισμού καταλήγει στην εύρεση ενός αριθμού c τέτοιο ώστε a c = b, και ο ίδιος ο αριθμός c είναι η επιθυμητή τιμή του λογαρίθμου.

Λαμβάνοντας υπόψη τις πληροφορίες στις προηγούμενες παραγράφους, όταν ο αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου δίνεται από μια ορισμένη ισχύ της βάσης του λογαρίθμου, μπορείτε αμέσως να υποδείξετε με τι ισούται ο λογάριθμος - είναι ίσος με τον εκθέτη. Ας δείξουμε λύσεις σε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Βρείτε το log 2 2 −3 και υπολογίστε επίσης τον φυσικό λογάριθμο του αριθμού e 5,3.

Λύση.

Ο ορισμός του λογάριθμου μας επιτρέπει να πούμε αμέσως ότι το log 2 2 −3 =−3. Πράγματι, ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι ίσος με τη βάση 2 προς την ισχύ −3.

Ομοίως, βρίσκουμε τον δεύτερο λογάριθμο: lne 5.3 =5.3.

Απάντηση:

log 2 2 −3 =−3 και lne 5,3 =5,3.

Εάν ο αριθμός b κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου δεν προσδιορίζεται ως δύναμη της βάσης του λογαρίθμου, τότε πρέπει να κοιτάξετε προσεκτικά για να δείτε εάν είναι δυνατόν να καταλήξετε σε μια αναπαράσταση του αριθμού b με τη μορφή a c . Συχνά αυτή η αναπαράσταση είναι αρκετά προφανής, ειδικά όταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι ίσος με τη βάση προς τη δύναμη του 1, ή 2, ή 3, ...

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους λογαρίθμους log 5 25 και .

Λύση.

Είναι εύκολο να δούμε ότι 25=5 2, αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον πρώτο λογάριθμο: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό του δεύτερου λογάριθμου. Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη 7: (δείτε αν χρειάζεται). Ως εκ τούτου, .

Ας ξαναγράψουμε τον τρίτο λογάριθμο μέσα την παρακάτω φόρμα. Τώρα μπορείτε να το δείτε αυτό , από το οποίο συμπεραίνουμε ότι . Επομένως, με τον ορισμό του λογάριθμου .

Εν συντομία, η λύση θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής: .

Απάντηση:

ημερολόγιο 5 25=2, Και .

Όταν κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υπάρχει ένα αρκετά μεγάλο φυσικός αριθμός, τότε δεν θα ήταν κακό να το συνυπολογίσουμε σε πρωταρχικούς παράγοντες. Συχνά βοηθάει να αναπαραστήσουμε έναν τέτοιο αριθμό ως κάποια δύναμη της βάσης του λογαρίθμου, και επομένως να υπολογίσουμε αυτόν τον λογάριθμο εξ ορισμού.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή του λογάριθμου.

Λύση.

Ορισμένες ιδιότητες των λογαρίθμων σας επιτρέπουν να καθορίσετε αμέσως την τιμή των λογαρίθμων. Αυτές οι ιδιότητες περιλαμβάνουν την ιδιότητα του λογαρίθμου μιας μονάδας και την ιδιότητα του λογαρίθμου ενός αριθμού, ίσο με τη βάση: log 1 1=log a a 0 =0 και log a a=log a a 1 =1 . Όταν δηλαδή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου υπάρχει αριθμός 1 ή αριθμός α ίσος με τη βάση του λογαρίθμου, τότε σε αυτές τις περιπτώσεις οι λογάριθμοι είναι ίσοι με 0 και 1, αντίστοιχα.

Παράδειγμα.

Με τι ισούνται οι λογάριθμοι και το log10;

Λύση.

Αφού , τότε από τον ορισμό του λογάριθμου προκύπτει .

Στο δεύτερο παράδειγμα, ο αριθμός 10 κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου συμπίπτει με τη βάση του, άρα ο δεκαδικός λογάριθμος του δέκα είναι ίσος με ένα, δηλαδή lg10=lg10 1 =1.

Απάντηση:

ΚΑΙ lg10=1.

Σημειώστε ότι ο υπολογισμός των λογαρίθμων εξ ορισμού (που συζητήσαμε στο προηγούμενη παράγραφο) υπονοεί τη χρήση του log ισότητας a a p =p, που είναι μια από τις ιδιότητες των λογαρίθμων.

Στην πράξη, όταν ένας αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου και η βάση του λογαρίθμου αναπαρίστανται εύκολα ως δύναμη ενός συγκεκριμένου αριθμού, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιηθεί ο τύπος , που αντιστοιχεί σε μία από τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης ενός λογάριθμου που επεξηγεί τη χρήση αυτού του τύπου.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τον λογάριθμο.

Λύση.

Απάντηση:

.

Οι ιδιότητες των λογαρίθμων που δεν αναφέρονται παραπάνω χρησιμοποιούνται επίσης στους υπολογισμούς, αλλά θα μιλήσουμε για αυτό στις επόμενες παραγράφους.

Εύρεση λογαρίθμων μέσω άλλων γνωστών λογαρίθμων

Οι πληροφορίες σε αυτήν την παράγραφο συνεχίζουν το θέμα της χρήσης των ιδιοτήτων των λογαρίθμων κατά τον υπολογισμό τους. Αλλά εδώ η κύρια διαφορά είναι ότι οι ιδιότητες των λογαρίθμων χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν τον αρχικό λογάριθμο με όρους άλλου λογάριθμου, η τιμή του οποίου είναι γνωστή. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για διευκρίνιση. Ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι το log 2 3≈1.584963, τότε μπορούμε να βρούμε, για παράδειγμα, το log 2 6 κάνοντας έναν μικρό μετασχηματισμό χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογάριθμου: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Στο παραπάνω παράδειγμα, αρκούσε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου ενός προϊόντος. Ωστόσο, πολύ πιο συχνά είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ένα ευρύτερο οπλοστάσιο ιδιοτήτων των λογαρίθμων προκειμένου να υπολογιστεί ο αρχικός λογάριθμος μέσω των δεδομένων.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τον λογάριθμο του 27 στη βάση του 60 αν γνωρίζετε ότι το log 60 2=a και το log 60 5=b.

Λύση.

Πρέπει λοιπόν να βρούμε το αρχείο καταγραφής 60 27 . Είναι εύκολο να δούμε ότι 27 = 3 3 , και ο αρχικός λογάριθμος, λόγω της ιδιότητας του λογάριθμου της ισχύος, μπορεί να ξαναγραφτεί ως 3·log 60 3 .

Τώρα ας δούμε πώς να εκφράσουμε το log 60 3 με όρους γνωστών λογαρίθμων. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός αριθμού ίσου με τη βάση μας επιτρέπει να γράψουμε το ημερολόγιο ισότητας 60 60=1. Από την άλλη πλευρά, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ετσι, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ως εκ τούτου, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Τέλος, υπολογίζουμε τον αρχικό λογάριθμο: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Απάντηση:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ξεχωριστά, αξίζει να αναφερθεί η έννοια του τύπου για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου της μορφής . Σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από λογάριθμους με οποιαδήποτε βάση σε λογάριθμους με συγκεκριμένη βάση, οι τιμές των οποίων είναι γνωστές ή είναι δυνατό να τις βρείτε. Συνήθως, από τον αρχικό λογάριθμο, χρησιμοποιώντας τον τύπο μετάβασης, μετακινούνται σε λογάριθμους σε μία από τις βάσεις 2, e ή 10, αφού για αυτές τις βάσεις υπάρχουν πίνακες λογαρίθμων που επιτρέπουν τον υπολογισμό των τιμών τους με έναν ορισμένο βαθμό ακρίβεια. Στην επόμενη παράγραφο θα δείξουμε πώς γίνεται αυτό.

Πίνακες λογαρίθμων και οι χρήσεις τους

Για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό των λογαριθμικών τιμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν πίνακες λογαρίθμων. Ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος πίνακας λογαρίθμων βάσης 2, πίνακας φυσικών λογαρίθμων και δεκαδικός πίνακας λογαρίθμων. Όταν εργάζεστε σε μετρικό σύστημαΓια τον λογισμό, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα λογαρίθμων με βάση τη βάση δέκα. Με τη βοήθειά του θα μάθουμε να βρίσκουμε τις τιμές των λογαρίθμων.










Ο παρουσιαζόμενος πίνακας σας επιτρέπει να βρείτε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών από 1.000 έως 9.999 (με τρία δεκαδικά ψηφία) με ακρίβεια ενός δέκατου χιλιοστού. Θα αναλύσουμε την αρχή της εύρεσης της τιμής ενός λογαρίθμου χρησιμοποιώντας έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων σε συγκεκριμένο παράδειγμα– είναι πιο ξεκάθαρο έτσι. Ας βρούμε το log1.256.

Στην αριστερή στήλη του πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε τα δύο πρώτα ψηφία του αριθμού 1,256, δηλαδή βρίσκουμε το 1,2 (αυτός ο αριθμός είναι κυκλωμένος με μπλε για ευκρίνεια). Το τρίτο ψηφίο του αριθμού 1.256 (ψηφίο 5) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα αριστερά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός είναι κυκλωμένος με κόκκινο χρώμα). Το τέταρτο ψηφίο του αρχικού αριθμού 1.256 (ψηφίο 6) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα δεξιά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός κυκλώνεται με μια πράσινη γραμμή). Τώρα βρίσκουμε τους αριθμούς στα κελιά του πίνακα λογαρίθμων στη διασταύρωση της επισημασμένης γραμμής και των στηλών (αυτοί οι αριθμοί επισημαίνονται πορτοκάλι). Το άθροισμα των σημειωμένων αριθμών δίνει την επιθυμητή τιμή του δεκαδικού λογάριθμου με ακρίβεια στο τέταρτο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα, να βρούμε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών που έχουν περισσότερα από τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή, καθώς και εκείνων που υπερβαίνουν το εύρος από 1 έως 9,999; Ναι μπορείς. Ας δείξουμε πώς γίνεται αυτό με ένα παράδειγμα.

Ας υπολογίσουμε το lg102.76332. Πρώτα πρέπει να γράψετε αριθμός σε τυπική μορφή: 102.76332=1.0276332·10 2. Μετά από αυτό, η μάντισσα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, έχουμε 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, ενώ ο αρχικός δεκαδικός λογάριθμος είναι περίπου ίσος με τον λογάριθμο του προκύπτοντος αριθμού, δηλαδή παίρνουμε log102.76332≈lg1.028·10 2. Τώρα εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του λογάριθμου: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή του λογαρίθμου lg1.028 από τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ως αποτέλεσμα, ολόκληρη η διαδικασία υπολογισμού του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Συμπερασματικά, αξίζει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιώντας έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων μπορείτε να υπολογίσετε την κατά προσέγγιση τιμή οποιουδήποτε λογαρίθμου. Για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο μετάβασης για να μεταβείτε σε δεκαδικούς λογάριθμους, να βρείτε τις τιμές τους στον πίνακα και να εκτελέσετε τους υπόλοιπους υπολογισμούς.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το αρχείο καταγραφής 2 3 . Σύμφωνα με τον τύπο μετάβασης σε νέα βάση του λογάριθμου, έχουμε . Από τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε log3≈0,4771 και log2≈0,3010. Ετσι, .

Βιβλιογραφία.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης: Σχολικό βιβλίο για τις τάξεις 10 - 11 γενικά Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).