Κατά τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας και ΛύκειοΟι μαθητές μελέτησαν το θέμα «Κλάσματα». Ωστόσο, αυτή η έννοια είναι πολύ ευρύτερη από αυτή που δίνεται στη μαθησιακή διαδικασία. Σήμερα, η έννοια του κλάσματος συναντάται αρκετά συχνά και δεν μπορούν όλοι να υπολογίσουν οποιαδήποτε έκφραση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας κλάσματα.

Τι είναι ένα κλάσμα;

Έτσι συνέβη ιστορικά ότι κλασματικοί αριθμοίπροέκυψε από την ανάγκη μέτρησης. Όπως δείχνει η πρακτική, υπάρχουν συχνά παραδείγματα προσδιορισμού του μήκους ενός τμήματος και του όγκου ενός ορθογώνιου ορθογωνίου.

Αρχικά, οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της μετοχής. Για παράδειγμα, αν χωρίσετε ένα καρπούζι σε 8 μέρη, τότε κάθε άτομο θα πάρει το ένα όγδοο του καρπουζιού. Αυτό το ένα μέρος των οκτώ ονομάζεται μετοχή.

Μια μετοχή ίση με το ½ οποιασδήποτε αξίας ονομάζεται μισή. ⅓ - τρίτο; ¼ - ένα τέταρτο. Οι εγγραφές της μορφής 5/8, 4/5, 2/4 ονομάζονται συνηθισμένα κλάσματα. Ένα κοινό κλάσμα χωρίζεται σε αριθμητή και παρονομαστή. Ανάμεσά τους βρίσκεται η ράβδος κλάσματος ή η μπάρα κλάσματος. Η κλασματική γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί είτε ως οριζόντια είτε ως πλάγια γραμμή. Στην περίπτωση αυτή, υποδηλώνει το σύμβολο της διαίρεσης.

Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται η ποσότητα ή το αντικείμενο. και ο αριθμητής είναι πόσες ίδιες μετοχές λαμβάνονται. Ο αριθμητής γράφεται πάνω από τη γραμμή του κλάσματος, ο παρονομαστής γράφεται κάτω από αυτήν.

Είναι πιο βολικό να εμφανίζονται συνηθισμένα κλάσματα σε μια ακτίνα συντεταγμένων. Εάν ένα μεμονωμένο τμήμα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη, κάθε τμήμα χαρακτηρίζεται με λατινικό γράμμα, τότε το αποτέλεσμα μπορεί να είναι ένα εξαιρετικό οπτικό βοήθημα. Άρα, το σημείο Α δείχνει ένα μερίδιο ίσο με το 1/4 ολόκληρου του τμήματος μονάδας και το σημείο Β σημειώνει τα 2/8 ενός δεδομένου τμήματος.

Τύποι κλασμάτων

Τα κλάσματα μπορεί να είναι απλοί, δεκαδικοί και μικτές. Επιπλέον, τα κλάσματα μπορούν να χωριστούν σε σωστά και ακατάλληλα. Αυτή η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη για συνηθισμένα κλάσματα.

Σωστό κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του. Κατά συνέπεια, ακατάλληλο κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του. Ο δεύτερος τύπος γράφεται συνήθως ως μικτός αριθμός. Αυτή η έκφραση αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, 1½. Το 1 είναι ένα ακέραιο μέρος, το ½ είναι ένα κλασματικό μέρος. Ωστόσο, εάν πρέπει να πραγματοποιήσετε κάποιους χειρισμούς με την έκφραση (διαίρεση ή πολλαπλασιασμός κλασμάτων, μείωση ή μετατροπή τους), ο μεικτός αριθμός μετατρέπεται σε ακατάλληλο κλάσμα.

Μια σωστή κλασματική έκφραση είναι πάντα μικρότερη από ένα και μια λανθασμένη είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 1.

Ως προς αυτήν την έκφραση, εννοούμε μια εγγραφή στην οποία αναπαρίσταται οποιοσδήποτε αριθμός, ο παρονομαστής της κλασματικής έκφρασης του οποίου μπορεί να εκφραστεί ως ένα με πολλά μηδενικά. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε το ακέραιο μέρος σε δεκαδικό συμβολισμό θα είναι ίσο με μηδέν.

Να καταγράψει δεκαδικός, πρέπει πρώτα να γράψετε ολόκληρο το μέρος, να το διαχωρίσετε από το κλασματικό μέρος χρησιμοποιώντας κόμμα και στη συνέχεια να σημειώσετε την κλασματική έκφραση. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μετά την υποδιαστολή ο αριθμητής πρέπει να περιέχει τον ίδιο αριθμό ψηφιακών χαρακτήρων όπως υπάρχουν μηδενικά στον παρονομαστή.

Παράδειγμα. Εκφράστε το κλάσμα 7 21 / 1000 με δεκαδικό συμβολισμό.

Αλγόριθμος για τη μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό και αντίστροφα

Είναι λάθος να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση σε ένα πρόβλημα, επομένως πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό:

• διαιρέστε τον αριθμητή με τον υπάρχοντα παρονομαστή.
• V συγκεκριμένο παράδειγμαατελές πηλίκο - ολόκληρο;
• και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους, με τον παρονομαστή να παραμένει αμετάβλητος.

Παράδειγμα. Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό: 47 / 5.

Λύση. 47: 5. Το μερικό πηλίκο είναι 9, το υπόλοιπο = 2. Άρα, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Μερικές φορές χρειάζεται να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα. Στη συνέχεια, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:

• το ακέραιο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή της κλασματικής έκφρασης.
• το προϊόν που προκύπτει προστίθεται στον αριθμητή.
• το αποτέλεσμα γράφεται στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.

Παράδειγμα. Παρουσιάστε τον αριθμό σε μικτή μορφή ως ακατάλληλο κλάσμα: 9 8 / 10.

Λύση. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 είναι ο αριθμητής.

Απάντηση: 98 / 10.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Διάφορες αλγεβρικές πράξεις μπορούν να εκτελεστούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Για να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές δεν διαφέρει από τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων με ίδιοι παρονομαστές.

Συμβαίνει ότι μετά την εύρεση του αποτελέσματος πρέπει να μειώσετε το κλάσμα. ΣΕ επιτακτικόςπρέπει να απλοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο την έκφραση που προκύπτει. Φυσικά, δεν μπορεί κανείς να πει ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μια απάντηση είναι λάθος, αλλά είναι επίσης δύσκολο να το ονομάσουμε σωστή απάντηση.

Παράδειγμα. Να βρείτε το γινόμενο δύο συνηθισμένων κλασμάτων: ½ και 20/18.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, μετά την εύρεση του προϊόντος, λαμβάνεται ένας αναγόμενος κλασματικός συμβολισμός. Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής σε αυτήν την περίπτωση διαιρούνται με το 4 και το αποτέλεσμα είναι η απάντηση 5 / 9.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων

Το γινόμενο των δεκαδικών κλασμάτων είναι αρκετά διαφορετικό από το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων στην αρχή του. Έτσι, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως εξής:

• δύο δεκαδικά κλάσματα πρέπει να γράφονται το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
• πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους γραπτούς αριθμούς, παρά τα κόμματα, δηλαδή ως φυσικούς αριθμούς.
• μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων μετά την υποδιαστολή σε κάθε αριθμό.
• στο αποτέλεσμα που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να μετρήσετε από τα δεξιά τόσα ψηφιακά σύμβολα όσα περιέχονται στο άθροισμα και στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή και να βάλετε ένα διαχωριστικό σύμβολο.
• αν υπάρχουν λιγότεροι αριθμοί στο γινόμενο, τότε πρέπει να γράψετε τόσα μηδενικά μπροστά τους για να καλύψετε αυτόν τον αριθμό, να βάλετε κόμμα και να προσθέσετε ολόκληρο το μέρος ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το γινόμενο δύο δεκαδικών κλασμάτων: 2,25 και 3,6.

Λύση.

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων

Για να υπολογίσετε το γινόμενο δύο μικτών κλασμάτων, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:

• μετατρέψτε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.
• βρείτε το γινόμενο των αριθμητών.
• βρείτε το γινόμενο των παρονομαστών.
• γράψτε το αποτέλεσμα.
• απλοποιήστε την έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 4½ και 6 2/5.

Πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με ένα κλάσμα (κλάσματα με έναν αριθμό)

Εκτός από την εύρεση του γινόμενου δύο κλασμάτων και μικτών αριθμών, υπάρχουν εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε με ένα κλάσμα.

Έτσι, για να βρείτε το γινόμενο ενός δεκαδικού κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού, χρειάζεστε:

• γράψτε τον αριθμό κάτω από το κλάσμα έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα πάνω από το άλλο.
• βρείτε το προϊόν παρά το κόμμα.
• στο αποτέλεσμα που προκύπτει, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος χρησιμοποιώντας κόμμα, μετρώντας από τα δεξιά τον αριθμό των ψηφίων που βρίσκονται μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κοινό κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να βρείτε το γινόμενο του αριθμητή και του φυσικού παράγοντα. Εάν η απάντηση παράγει ένα κλάσμα που μπορεί να μειωθεί, θα πρέπει να μετατραπεί.

Παράδειγμα. Υπολογίστε το γινόμενο των 5/8 και 12.

Λύση. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Απάντηση: 7 1 / 2.

Όπως μπορείτε να δείτε από το προηγούμενο παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να μειωθεί το αποτέλεσμα που προέκυψε και να μετατραπεί η εσφαλμένη κλασματική έκφραση σε μικτό αριθμό.

Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων αφορά επίσης την εύρεση του γινομένου ενός αριθμού σε μικτή μορφή και ενός φυσικού παράγοντα. Για να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε ολόκληρο το μέρος του μικτού παράγοντα με τον αριθμό, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με την ίδια τιμή και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Εάν είναι απαραίτητο, πρέπει να απλοποιήσετε όσο το δυνατόν περισσότερο το αποτέλεσμα που προκύπτει.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 9 5 / 6 και 9.

Λύση. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Απάντηση: 88 1 / 2.

Πολλαπλασιασμός με συντελεστές 10, 100, 1000 ή 0,1. 0,01; 0,001

Προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο επόμενος κανόνας. Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με το 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στον παράγοντα μετά το ένα.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο 0,065 και 1000.

Λύση. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Απάντηση: 65.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 3,9 και 1000.

Λύση. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Απάντηση: 3900.

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό και 0,1. 0,01; 0,001; 0,0001, κ.λπ., θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα στο προϊόν που προκύπτει προς τα αριστερά κατά τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες όσα μηδενικά είναι πριν από το ένα. Εάν χρειάζεται, γράφεται αρκετός αριθμός μηδενικών πριν από τον φυσικό αριθμό.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο των 56 και 0,01.

Λύση. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Απάντηση: 0,56.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 4 και 0,001.

Λύση. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Απάντηση: 0,004.

Έτσι, η εύρεση του γινομένου διαφορετικών κλασμάτων δεν θα πρέπει να προκαλεί δυσκολίες, εκτός ίσως από τον υπολογισμό του αποτελέσματος. σε αυτήν την περίπτωση, απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αριθμομηχανή.

§ 87. Πρόσθεση κλασμάτων.

Η πρόσθεση κλασμάτων έχει πολλές ομοιότητες με την πρόσθεση ακέραιων αριθμών. Η πρόσθεση κλασμάτων είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι πολλοί δεδομένοι αριθμοί (όροι) συνδυάζονται σε έναν αριθμό (άθροισμα), που περιέχει όλες τις μονάδες και τα κλάσματα των μονάδων των όρων.

Θα εξετάσουμε διαδοχικά τρεις περιπτώσεις:

1. Πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

1. Πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 1/5 + 2/5.

Ας πάρουμε το τμήμα AB (Εικ. 17), το πάρουμε ως ένα και το διαιρέσουμε σε 5 ίσα μέρη, τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με το 1/5 του τμήματος AB και μέρος του ίδιου τμήματος CD θα είναι ίσο με 2/5 ΑΒ.

Από το σχέδιο είναι σαφές ότι αν πάρουμε το τμήμα AD, θα είναι ίσο με 3/5 AB. αλλά το τμήμα AD είναι ακριβώς το άθροισμα των τμημάτων AC και CD. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους και το άθροισμα που προκύπτει, βλέπουμε ότι ο αριθμητής του αθροίσματος προέκυψε προσθέτοντας τους αριθμητές των όρων και ο παρονομαστής παρέμεινε αμετάβλητος.

Από αυτό παίρνουμε τον ακόλουθο κανόνα: Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Ας προσθέσουμε τα κλάσματα: 3 / 4 + 3 / 8 Πρώτα πρέπει να μειωθούν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6/8 + 3/8 δεν μπόρεσε να γραφτεί. το γράψαμε εδώ για σαφήνεια.

Έτσι, για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να επισημάνετε τον κοινό παρονομαστή.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα (θα γράψουμε πρόσθετους παράγοντες πάνω από τα αντίστοιχα κλάσματα):

3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

Ας προσθέσουμε τους αριθμούς: 2 3/8 + 3 5/6.

Ας φέρουμε πρώτα τα κλασματικά μέρη των αριθμών μας σε έναν κοινό παρονομαστή και ας τα ξαναγράψουμε:

Τώρα προσθέτουμε διαδοχικά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη:

§ 88. Αφαίρεση κλασμάτων.

Η αφαίρεση των κλασμάτων ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η αφαίρεση ακέραιων αριθμών. Αυτή είναι μια ενέργεια με τη βοήθεια της οποίας, δεδομένου του αθροίσματος δύο όρων και ενός από αυτούς, βρίσκουμε έναν άλλο όρο. Ας εξετάσουμε τρεις διαδοχικές περιπτώσεις:

1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

13 / 15 - 4 / 15

Ας πάρουμε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 18), το πάρουμε ως μονάδα και το χωρίσουμε σε 15 ίσα μέρη. τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα αντιπροσωπεύει το 1/15 του AB και το μέρος AD του ίδιου τμήματος θα αντιστοιχεί στο 13/15 AB. Ας αφήσουμε στην άκρη ένα άλλο τμήμα ED ίσο με 4/15 AB.

Πρέπει να αφαιρέσουμε το κλάσμα 4/15 από το 13/15. Στο σχέδιο, αυτό σημαίνει ότι το τμήμα ED πρέπει να αφαιρεθεί από το τμήμα AD. Ως αποτέλεσμα, θα παραμείνει το τμήμα ΑΕ, το οποίο είναι τα 9/15 του τμήματος ΑΒ. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

Το παράδειγμα που κάναμε δείχνει ότι ο αριθμητής της διαφοράς προέκυψε αφαιρώντας τους αριθμητές, αλλά ο παρονομαστής παρέμεινε ο ίδιος.

Επομένως, για να αφαιρέσετε κλάσματα με όμοιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δευτερεύοντος από τον αριθμητή του minuend και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Παράδειγμα. 3/4 - 5/8

Αρχικά, ας μειώσουμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Το ενδιάμεσο 6 / 8 - 5 / 8 είναι γραμμένο εδώ για λόγους σαφήνειας, αλλά μπορεί να παραλειφθεί αργότερα.

Έτσι, για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, θα πρέπει πρώτα να το μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια να αφαιρέσετε τον αριθμητή του minuend από τον αριθμητή του minuend και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά τους.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

Παράδειγμα. 10 3/4 - 7 2/3.

Ας μειώσουμε τα κλασματικά μέρη του minuend και του subtrahend στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Αφαιρέσαμε ένα σύνολο από ένα σύνολο και ένα κλάσμα από ένα κλάσμα. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που το κλασματικό μέρος του subtrahend είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του minuend. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από ολόκληρο το μέρος του minuend, να τη χωρίσετε σε εκείνα τα μέρη στα οποία εκφράζεται το κλασματικό μέρος και να την προσθέσετε στο κλασματικό μέρος του minuend. Και τότε η αφαίρεση θα γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:

§ 89. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.

Κατά τη μελέτη του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες ερωτήσεις:

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.
3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.
4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.
7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού. Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.

Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με έναν ακέραιο. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος (πολλαπλασιαστής) με έναν ακέραιο (παράγοντα) σημαίνει να δημιουργηθεί ένα άθροισμα πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.

Αυτό σημαίνει ότι εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε το 1/9 επί 7, τότε μπορεί να γίνει ως εξής:

Λάβαμε εύκολα το αποτέλεσμα, αφού η ενέργεια περιορίστηκε στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Ως εκ τούτου,

Η εξέταση αυτής της ενέργειας δείχνει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό ισοδυναμεί με την αύξηση αυτού του κλάσματος τόσες φορές όσες υπάρχουν μονάδες στον ακέραιο αριθμό. Και αφού η αύξηση ενός κλάσματος επιτυγχάνεται είτε αυξάνοντας τον αριθμητή του

είτε με μείωση του παρονομαστή του , τότε μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με έναν ακέραιο είτε να διαιρέσουμε τον παρονομαστή με αυτόν, αν είναι δυνατή μια τέτοια διαίρεση.

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο αριθμό και αφήνετε τον παρονομαστή ίδιο ή, αν είναι δυνατόν, διαιρείτε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον αριθμητή αμετάβλητο.

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε ή να υπολογίσετε μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των προβλημάτων και άλλων είναι ότι δίνουν τον αριθμό ορισμένων αντικειμένων ή μονάδων μέτρησης και πρέπει να βρείτε ένα μέρος αυτού του αριθμού, το οποίο υποδεικνύεται επίσης εδώ με ένα συγκεκριμένο κλάσμα. Για να διευκολυνθεί η κατανόηση, θα δώσουμε πρώτα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και στη συνέχεια θα εισαγάγουμε μια μέθοδο για την επίλυσή τους.

Εργασία 1.Είχα 60 ρούβλια. Ξόδεψα το 1/3 αυτών των χρημάτων για την αγορά βιβλίων. Πόσο κόστισαν τα βιβλία;

Εργασία 2.Το τρένο πρέπει να διανύσει απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β ίση με 300 km. Έχει ήδη διανύσει τα 2/3 αυτής της απόστασης. Πόσα χιλιόμετρα είναι αυτό;

Εργασία 3.Στο χωριό υπάρχουν 400 σπίτια, τα 3/4 από τούβλα, τα υπόλοιπα ξύλινα. Πόσα σπίτια από τούβλα υπάρχουν συνολικά;

Αυτά είναι μερικά από τα πολλά προβλήματα που αντιμετωπίζουμε για να βρούμε ένα μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Συνήθως ονομάζονται προβλήματα για την εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.

Λύση στο πρόβλημα 1.Από 60 τρίψτε. Ξόδεψα το 1/3 σε βιβλία. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε το κόστος των βιβλίων πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό 60 με το 3:

Επίλυση προβλήματος 2.Το θέμα του προβλήματος είναι ότι πρέπει να βρείτε τα 2/3 των 300 km. Ας υπολογίσουμε πρώτα το 1/3 του 300. Αυτό επιτυγχάνεται με διαίρεση 300 km με 3:

300: 3 = 100 (αυτό είναι το 1/3 των 300).

Για να βρείτε τα δύο τρίτα του 300, πρέπει να διπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε με το 2:

100 x 2 = 200 (δηλαδή τα 2/3 των 300).

Επίλυση προβλήματος 3.Εδώ πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των σπιτιών από τούβλα που αποτελούν τα 3/4 των 400. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 των 400,

400: 4 = 100 (αυτό είναι το 1/4 των 400).

Για να υπολογίσουμε τρία τέταρτα του 400, το πηλίκο που προκύπτει πρέπει να τριπλασιαστεί, δηλαδή να πολλαπλασιαστεί επί 3:

100 x 3 = 300 (δηλαδή τα 3/4 των 400).

Με βάση τη λύση σε αυτά τα προβλήματα, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο κανόνα:

Για να βρείτε την τιμή ενός κλάσματος από έναν δεδομένο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει με τον αριθμητή του.

3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.

Νωρίτερα (§ 26) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων θα πρέπει να νοείται ως η πρόσθεση πανομοιότυπων όρων (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Σε αυτή την παράγραφο (σημείο 1) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο σημαίνει την εύρεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων ίσου με αυτό το κλάσμα.

Και στις δύο περιπτώσεις, ο πολλαπλασιασμός συνίστατο στην εύρεση του αθροίσματος των πανομοιότυπων όρων.

Τώρα προχωράμε στον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Εδώ θα συναντήσουμε, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμό: 9 2 / 3. Είναι σαφές ότι ο προηγούμενος ορισμός του πολλαπλασιασμού δεν ισχύει για αυτήν την περίπτωση. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τέτοιο πολλαπλασιασμό προσθέτοντας ίσους αριθμούς.

Εξαιτίας αυτού, θα πρέπει να δώσουμε έναν νέο ορισμό του πολλαπλασιασμού, δηλαδή, με άλλα λόγια, να απαντήσουμε στο ερώτημα τι πρέπει να γίνει κατανοητό από τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, πώς θα πρέπει να γίνει κατανοητή αυτή η ενέργεια.

Η έννοια του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα είναι ξεκάθαρη από τον ακόλουθο ορισμό: πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) με ένα κλάσμα (πολλαπλασιαστής) σημαίνει την εύρεση αυτού του κλάσματος του πολλαπλασιαστή.

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 9 με 2/3 σημαίνει ότι βρίσκουμε τα 2/3 των εννέα μονάδων. ΣΕ προηγούμενη παράγραφοΤέτοια προβλήματα επιλύθηκαν. οπότε είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι θα καταλήξουμε με 6.

Τώρα όμως τίθεται ένα ενδιαφέρον και σημαντικό ερώτημα: γιατί είναι τέτοια διάφορες δράσειςΠώς είναι η εύρεση του αθροίσματος ίσων αριθμών και η εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού που ονομάζεται με την ίδια λέξη «πολλαπλασιασμός» στην αριθμητική;

Αυτό συμβαίνει επειδή η προηγούμενη ενέργεια (επανάληψη ενός αριθμού με όρους πολλές φορές) και η νέα ενέργεια (εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού) δίνουν απαντήσεις σε ομοιογενείς ερωτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι προχωράμε εδώ από το σκεπτικό ότι ομοιογενείς ερωτήσεις ή εργασίες επιλύονται με την ίδια ενέργεια.

Για να το κατανοήσετε αυτό, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν 4 μέτρα τέτοιου υφάσματος;

Αυτό το πρόβλημα επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (4), δηλαδή 50 x 4 = 200 (ρούβλια).

Ας πάρουμε το ίδιο πρόβλημα, αλλά σε αυτό η ποσότητα του υφάσματος θα εκφραστεί ως κλάσμα: «1 μέτρο υφάσματος κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν τα 3/4 m τέτοιου υφάσματος;»

Αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να λυθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (3/4).

Μπορείτε να αλλάξετε τους αριθμούς σε αυτό αρκετές φορές, χωρίς να αλλάξετε την έννοια του προβλήματος, για παράδειγμα, πάρτε 9/10 m ή 2 3/10 m, κ.λπ.

Δεδομένου ότι αυτά τα προβλήματα έχουν το ίδιο περιεχόμενο και διαφέρουν μόνο σε αριθμούς, ονομάζουμε τις ενέργειες που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους ίδια λέξη - πολλαπλασιασμός.

Πώς πολλαπλασιάζεις έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε τους αριθμούς που συναντήθηκαν στο τελευταίο πρόβλημα:

Σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να βρούμε τα 3/4 του 50. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 του 50 και μετά το 3/4.

Το 1/4 του 50 είναι 50/4.

Τα 3/4 του αριθμού 50 είναι .

Ως εκ τούτου.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα: 12 5 / 8 =?

Το 1/8 του αριθμού 12 είναι 12/8,

Τα 5/8 του αριθμού 12 είναι .

Ως εκ τούτου,

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο αριθμό με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος ως παρονομαστή.

Ας γράψουμε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38

Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι πριν εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να κάνετε (αν είναι δυνατόν) μειώσεις, Για παράδειγμα:

4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα, δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να βρείτε το κλάσμα που βρίσκεται στον παράγοντα από το πρώτο κλάσμα (ο πολλαπλασιαστής).

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 3/4 με το 1/2 (μισό) σημαίνει ότι βρίσκουμε το μισό του 3/4.

Πώς πολλαπλασιάζεις ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: 3/4 πολλαπλασιασμένο επί 5/7. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τα 5/7 των 3/4. Ας βρούμε πρώτα το 1/7 του 3/4 και μετά το 5/7

Το 1/7 του αριθμού 3/4 θα εκφράζεται ως εξής:

Οι αριθμοί 5/7 3/4 θα εκφραστούν ως εξής:

Ετσι,

Ένα άλλο παράδειγμα: 5/8 πολλαπλασιασμένο επί 4/9.

Το 1/9 της 5/8 είναι ,

Τα 4/9 του αριθμού 5/8 είναι .

Ετσι,

Από αυτά τα παραδείγματα μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο γινόμενο παρονομαστή του γινομένου.

Αυτός είναι ο κανόνας σε γενική εικόναμπορεί να γραφτεί ως εξής:

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι απαραίτητο να γίνουν (αν είναι δυνατόν) μειώσεις. Ας δούμε παραδείγματα:

5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.Δεδομένου ότι οι μικτοί αριθμοί μπορούν εύκολα να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα, αυτή η περίσταση χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι σε περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιαστής ή ο πολλαπλασιαστής ή και οι δύο συντελεστές εκφράζονται ως μικτοί αριθμοί, αντικαθίστανται από ακατάλληλα κλάσματα. Ας πολλαπλασιάσουμε, για παράδειγμα, μεικτούς αριθμούς: 2 1/2 και 3 1/5. Ας μετατρέψουμε καθένα από αυτά σε ένα ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:

Κανόνας.Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να τους πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων με τα κλάσματα.

Σημείωση.Εάν ένας από τους παράγοντες είναι ακέραιος, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τον νόμο κατανομής ως εξής:

6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.Όταν λύνουμε προβλήματα και εκτελούμε διάφορους πρακτικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε όλα τα είδη κλασμάτων. Αλλά πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι πολλές ποσότητες επιτρέπουν όχι οποιεσδήποτε, αλλά φυσικές διαιρέσεις γι 'αυτούς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε το ένα εκατοστό (1/100) του ρουβλίου, θα είναι καπίκια, τα δύο εκατοστά είναι 2 καπίκια, τα τρία εκατοστά είναι 3 καπίκια. Μπορείτε να πάρετε το 1/10 του ρουβλίου, θα είναι "10 καπίκια, ή ένα κομμάτι δέκα καπίκων. Μπορείτε να πάρετε το ένα τέταρτο του ρουβλίου, δηλαδή 25 καπίκια, μισό ρούβλι, δηλ. 50 καπίκια (πενήντα καπίκια). Αλλά πρακτικά δεν το παίρνουν, για παράδειγμα, τα 2/7 του ρούβλι επειδή το ρούβλι δεν χωρίζεται σε έβδομα.

Η μονάδα βάρους, δηλαδή το κιλό, επιτρέπει πρωτίστως τις δεκαδικές διαιρέσεις, για παράδειγμα 1/10 kg ή 100 g. Και τέτοια κλάσματα ενός κιλού όπως 1/6, 1/11, 1/13 δεν είναι κοινά.

Γενικά, τα (μετρικά) μέτρα μας είναι δεκαδικά και επιτρέπουν δεκαδικές διαιρέσεις.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμο και βολικό σε μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων να χρησιμοποιείται η ίδια (ομοιόμορφη) μέθοδος υποδιαίρεσης ποσοτήτων. Η πολυετής πείρα έχει δείξει ότι μια τόσο δικαιολογημένη διαίρεση είναι η «εκατοστή». Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με τους πιο διαφορετικούς τομείς της ανθρώπινης πρακτικής.

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12/100 της προηγούμενης τιμής.

Παράδειγμα. Η προηγούμενη τιμή του βιβλίου ήταν 10 ρούβλια. Μειώθηκε κατά 1 ρούβλι. 20 καπίκια

2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν στους καταθέτες τα 2/100 του ποσού που κατατέθηκε για αποταμίευση κατά τη διάρκεια του έτους.

Παράδειγμα. 500 ρούβλια κατατίθενται στο ταμείο, το εισόδημα από αυτό το ποσό για το έτος είναι 10 ρούβλια.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5/100 του συνόλου των μαθητών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στο σχολείο φοιτούσαν μόνο 1.200 μαθητές, εκ των οποίων οι 60 αποφοίτησαν.

Το εκατοστό μέρος ενός αριθμού ονομάζεται ποσοστό.

Η λέξη «τοις εκατό» είναι δανεισμένη από τα λατινικά και η ρίζα της «cent» σημαίνει εκατό. Μαζί με την πρόθεση (pro centum), αυτή η λέξη σημαίνει "για εκατό". Το νόημα μιας τέτοιας έκφρασης προκύπτει από το γεγονός ότι αρχικά στο αρχαία Ρώμητόκοι ήταν τα χρήματα που πλήρωνε ο οφειλέτης στον δανειστή «για κάθε εκατό». Η λέξη "cent" ακούγεται με τόσο γνωστές λέξεις: centner (εκατό κιλά), εκατοστό (ας πούμε εκατοστό).

Για παράδειγμα, αντί να πούμε ότι τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το 1/100 όλων των προϊόντων που παρήγαγε ήταν ελαττωματικά, θα πούμε το εξής: τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το ένα τοις εκατό των ελαττωμάτων. Αντί να πούμε: το εργοστάσιο παρήγαγε 4/100 περισσότερα προϊόντα από το καθορισμένο σχέδιο, θα πούμε: το εργοστάσιο υπερέβη το σχέδιο κατά 4 τοις εκατό.

Τα παραπάνω παραδείγματα μπορούν να εκφραστούν διαφορετικά:

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12 τοις εκατό της προηγούμενης τιμής.

2. Τα ταμιευτήρια πληρώνουν στους καταθέτες 2 τοις εκατό ετησίως επί του ποσού που κατατίθεται σε ταμιευτήριο.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5 τοις εκατό όλων των μαθητών του σχολείου.

Για να συντομεύσετε το γράμμα, είναι συνηθισμένο να γράφετε το σύμβολο % αντί της λέξης "ποσοστό".

Ωστόσο, πρέπει να θυμάστε ότι στους υπολογισμούς το σύμβολο % συνήθως δεν γράφεται· μπορεί να γραφτεί στη δήλωση προβλήματος και στο τελικό αποτέλεσμα. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα με παρονομαστή 100 αντί για έναν ακέραιο αριθμό με αυτό το σύμβολο.

Πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο εικονίδιο με ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

Αντίθετα, πρέπει να συνηθίσετε να γράφετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο σύμβολο αντί για ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού.

Εργασία 1.Το σχολείο έλαβε 200 κυβικά μέτρα. m καυσόξυλα, με τα καυσόξυλα σημύδας να αντιπροσωπεύουν το 30%. Πόσα καυσόξυλα σημύδας υπήρχαν;

Το νόημα αυτού του προβλήματος είναι ότι τα καυσόξυλα σημύδας αποτελούσαν μόνο μέρος των καυσόξυλων που παραδόθηκαν στο σχολείο και αυτό το μέρος εκφράζεται στο κλάσμα 30/100. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε καθήκον να βρούμε ένα κλάσμα ενός αριθμού. Για να το λύσουμε, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 200 με το 30/100 (τα προβλήματα εύρεσης του κλάσματος ενός αριθμού λύνονται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με το κλάσμα.).

Αυτό σημαίνει ότι το 30% των 200 ισούται με 60.

Το κλάσμα 30/100 που συναντάται σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί κατά 10. Θα ήταν δυνατό να γίνει αυτή η μείωση από την αρχή. η λύση του προβλήματος δεν θα είχε αλλάξει.

Εργασία 2.Στην κατασκήνωση βρίσκονταν 300 παιδιά διαφόρων ηλικιών. Τα παιδιά 11 ετών αποτελούσαν το 21%, τα παιδιά 12 ετών το 61% και τέλος τα παιδιά 13 ετών το 18%. Πόσα παιδιά κάθε ηλικίας υπήρχαν στην κατασκήνωση;

Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να εκτελέσετε τρεις υπολογισμούς, δηλαδή να βρείτε διαδοχικά τον αριθμό των παιδιών ηλικίας 11 ετών, μετά 12 ετών και τέλος 13 ετών.

Αυτό σημαίνει ότι εδώ θα χρειαστεί να βρείτε το κλάσμα του αριθμού τρεις φορές. Ας το κάνουμε:

1) Πόσα παιδιά 11 ετών ήταν εκεί;

2) Πόσα παιδιά 12 ετών ήταν εκεί;

3) Πόσα παιδιά 13 ετών ήταν εκεί;

Μετά την επίλυση του προβλήματος, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν. Το άθροισμά τους πρέπει να είναι 300:

63 + 183 + 54 = 300

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι το άθροισμα των ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος είναι 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Αυτό υποδηλώνει ότι συνολικός αριθμόςτα παιδιά στην κατασκήνωση θεωρήθηκαν ως 100%.

3 η η και η ώρα 3.Ο εργαζόμενος λάμβανε 1.200 ρούβλια το μήνα. Από αυτό ξόδεψε το 65% σε τρόφιμα, το 6% σε διαμερίσματα και θέρμανση, το 4% σε φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο, 10% σε πολιτιστικές ανάγκες και 15% εξοικονόμησε. Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για τις ανάγκες που αναφέρονται στην εργασία;

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα πρέπει να βρείτε το κλάσμα του 1.200 5 φορές. Ας το κάνουμε αυτό.

1) Πόσα χρήματα ξοδεύτηκαν για φαγητό; Το πρόβλημα λέει ότι αυτή η δαπάνη είναι το 65% των συνολικών κερδών, δηλαδή 65/100 του αριθμού 1.200. Ας κάνουμε τον υπολογισμό:

2) Πόσα χρήματα πλήρωσες για ένα διαμέρισμα με θέρμανση; Συλλογίζοντας παρόμοια με την προηγούμενη, καταλήγουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:

3) Πόσα χρήματα πληρώσατε για φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο;

4) Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για πολιτιστικές ανάγκες;

5) Πόσα χρήματα εξοικονόμησε ο εργάτης;

Για να ελέγξετε, είναι χρήσιμο να αθροίσετε τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτές τις 5 ερωτήσεις. Το ποσό πρέπει να είναι 1.200 ρούβλια. Όλα τα κέρδη λαμβάνονται ως 100%, το οποίο είναι εύκολο να ελεγχθεί αθροίζοντας τους αριθμούς ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.

Επιλύσαμε τρία προβλήματα. Παρά το γεγονός ότι αυτά τα προβλήματα αντιμετώπιζαν διαφορετικά πράγματα (παράδοση καυσόξυλων για το σχολείο, αριθμός παιδιών διαφορετικών ηλικιών, έξοδα του εργάτη), λύθηκαν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συνέβη επειδή σε όλα τα προβλήματα ήταν απαραίτητο να βρούμε αρκετά τοις εκατό των δεδομένων αριθμών.

§ 90. Διαίρεση κλασμάτων.

Καθώς μελετάμε τη διαίρεση των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.
2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό
3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.
4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.
7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.

Όπως αναφέρθηκε στο τμήμα των ακεραίων, διαίρεση είναι η ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι, δεδομένου του γινόμενου δύο παραγόντων (μέρισμα) και ενός από αυτούς τους παράγοντες (διαιρέτης), βρίσκεται ένας άλλος παράγοντας.

Εξετάσαμε τη διαίρεση ενός ακέραιου με έναν ακέραιο στην ενότητα για τους ακέραιους αριθμούς. Συναντήσαμε δύο περιπτώσεις διαίρεσης εκεί: διαίρεση χωρίς υπόλοιπο ή «εν όλω» (150: 10 = 15) και διαίρεση με υπόλοιπο (100: 9 = 11 και 1 υπόλοιπο). Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι στο πεδίο των ακεραίων η ακριβής διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατή, γιατί το μέρισμα δεν είναι πάντα το γινόμενο του διαιρέτη με τον ακέραιο. Αφού εισαγάγουμε τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε πιθανή οποιαδήποτε περίπτωση διαίρεσης ακεραίων (αποκλείεται μόνο η διαίρεση με το μηδέν).

Για παράδειγμα, η διαίρεση του 7 με το 12 σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού του οποίου το γινόμενο με το 12 θα ήταν ίσο με 7. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το κλάσμα 7 / 12 επειδή 7 / 12 12 = 7. Ένα άλλο παράδειγμα: 14: 25 = 14 / 25, επειδή 14 / 25 25 = 14.

Έτσι, για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να δημιουργήσετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το μέρισμα και ο παρονομαστής ίσος με τον διαιρέτη.

2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό.

Διαιρέστε το κλάσμα 6 / 7 με 3. Σύμφωνα με τον ορισμό της διαίρεσης που δόθηκε παραπάνω, έχουμε εδώ το γινόμενο (6 / 7) και έναν από τους παράγοντες (3). Απαιτείται να βρεθεί ένας δεύτερος παράγοντας που, όταν πολλαπλασιαζόταν με το 3, θα έδινε στο δεδομένο γινόμενο 6/7. Προφανώς, θα πρέπει να είναι τρεις φορές μικρότερο από αυτό το προϊόν. Αυτό σημαίνει ότι η εργασία που τέθηκε μπροστά μας ήταν να μειώσουμε το κλάσμα 6/7 κατά 3 φορές.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η αναγωγή ενός κλάσματος μπορεί να γίνει είτε μειώνοντας τον αριθμητή του είτε αυξάνοντας τον παρονομαστή του. Επομένως, μπορείτε να γράψετε:

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής 6 διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμητής πρέπει να μειωθεί κατά 3 φορές.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα: 5 / 8 διαιρούμενο με 2. Εδώ ο αριθμητής 5 δεν διαιρείται με το 2, πράγμα που σημαίνει ότι ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό:

Με βάση αυτό, μπορεί να γίνει ένας κανόνας: Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον ακέραιο αριθμό.(αν είναι δυνατόν), αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή ή πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον ίδιο αριθμητή.

3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.

Ας είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε το 5 με το 1/2, δηλαδή να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 1/2, θα δώσει το γινόμενο 5. Προφανώς, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 5, αφού το 1/2 είναι σωστό κλάσμα , και κατά τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού το γινόμενο ενός σωστού κλάσματος πρέπει να είναι μικρότερο από το γινόμενο που πολλαπλασιάζεται. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, ας γράψουμε τις ενέργειές μας ως εξής: 5: 1 / 2 = Χ , που σημαίνει x 1 / 2 = 5.

Πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό Χ , το οποίο, αν πολλαπλασιαζόταν με το 1/2, θα έδινε 5. Εφόσον πολλαπλασιάζοντας έναν ορισμένο αριθμό με το 1/2 σημαίνει βρίσκοντας το 1/2 αυτού του αριθμού, τότε, επομένως, το 1/2 του αγνώστου αριθμού Χ ισούται με 5 και ακέραιος αριθμός Χ διπλάσια, δηλαδή 5 2 = 10.

Άρα 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Ας ελέγξουμε:

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε το 6 με τα 2/3. Ας προσπαθήσουμε πρώτα να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το σχέδιο (Εικ. 19).

Εικ.19

Ας σχεδιάσουμε ένα τμήμα ΑΒ ίσο με 6 μονάδες και διαιρούμε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Σε κάθε μονάδα, τα τρία τρίτα (3/3) ολόκληρου του τμήματος ΑΒ είναι 6 φορές μεγαλύτερα, δηλ. ε. 18/3. Χρησιμοποιώντας μικρές αγκύλες, συνδέουμε τα 18 προκύπτοντα τμήματα των 2. Θα υπάρχουν μόνο 9 τμήματα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 2/3 περιέχεται σε 6 μονάδες 9 φορές, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα 2/3 είναι 9 φορές μικρότερο από 6 ολόκληρες μονάδες. Ως εκ τούτου,

Πώς να πάρετε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς σχέδιο χρησιμοποιώντας μόνο υπολογισμούς; Ας σκεφτούμε ως εξής: πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με τα 2/3, δηλαδή πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση πόσες φορές το 2/3 περιέχεται στο 6. Ας μάθουμε πρώτα: πόσες φορές το 1/3 περιέχεται στο 6; Σε μια ολόκληρη μονάδα υπάρχουν 3 τρίτα, και σε 6 μονάδες υπάρχουν 6 φορές περισσότερα, δηλαδή 18 τρίτα. για να βρούμε αυτόν τον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 6 με το 3. Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 περιέχεται σε μονάδες b 18 φορές, και το 2/3 περιέχεται σε μονάδες b όχι 18 φορές, αλλά το μισό φορές, δηλαδή 18: 2 = 9 Επομένως, όταν διαιρούμε το 6 με τα 2/3 έχουμε συμπληρώσει τις ακόλουθες ενέργειες:

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον ακέραιο αριθμό με τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος και, κάνοντας αυτό το γινόμενο αριθμητή, να τον διαιρέσετε με τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38. Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος ελήφθη εκεί.

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 3/4 με το 3/8. Τι θα σημαίνει ο αριθμός που προκύπτει από τη διαίρεση; Θα απαντήσει στο ερώτημα πόσες φορές το κλάσμα 3/8 περιέχεται στο κλάσμα 3/4. Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 20).

Ας πάρουμε ένα τμήμα ΑΒ, το πάρουμε ως ένα, το χωρίσουμε σε 4 ίσα μέρη και σημαδέψουμε 3 τέτοια μέρη. Το τμήμα AC θα είναι ίσο με τα 3/4 του τμήματος AB. Ας διαιρέσουμε τώρα καθένα από τα τέσσερα αρχικά τμήματα στο μισό, τότε το τμήμα ΑΒ θα χωριστεί σε 8 ίσα μέρη και κάθε τέτοιο τμήμα θα είναι ίσο με το 1/8 του τμήματος ΑΒ. Ας συνδέσουμε 3 τέτοια τμήματα με τόξα, τότε κάθε ένα από τα τμήματα AD και DC θα είναι ίσο με τα 3/8 του τμήματος AB. Το σχέδιο δείχνει ότι ένα τμήμα ίσο με 3/8 περιέχεται σε ένα τμήμα ίσο με 3/4 ακριβώς 2 φορές. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 15/16 με το 3/32:

Μπορούμε να συλλογιστούμε ως εξής: πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 3/32, θα δώσει γινόμενο ίσο με 15/16. Ας γράψουμε τους υπολογισμούς ως εξής:

15 / 16: 3 / 32 = Χ

3 / 32 Χ = 15 / 16

3/32 άγνωστος αριθμός Χ είναι 15/16

1/32 άγνωστου αριθμού Χ είναι ,

32 / 32 αριθμοί Χ μακιγιάζ .

Ως εκ τούτου,

Έτσι, για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή, και το δεύτερο ο παρονομαστής.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

5. Διαίρεση μικτών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση μεικτών αριθμών, πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε ακατάλληλα κλάσματα καιστη συνέχεια διαιρέστε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τους κανόνες για τη διαίρεση των κλασματικών αριθμών. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ας μετατρέψουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:

Τώρα ας χωρίσουμε:

Έτσι, για να διαιρέσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων.

6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.

Μεταξύ των διαφόρων προβλημάτων κλασμάτων, μερικές φορές υπάρχουν και εκείνα στα οποία δίνεται η τιμή κάποιου κλάσματος ενός άγνωστου αριθμού και πρέπει να βρείτε αυτόν τον αριθμό. Αυτός ο τύπος προβλήματος θα είναι το αντίστροφο του προβλήματος της εύρεσης του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού. εκεί δόθηκε ένας αριθμός και απαιτήθηκε να βρεθεί κάποιο κλάσμα αυτού του αριθμού, εδώ δόθηκε ένα κλάσμα ενός αριθμού και έπρεπε να βρεθεί αυτός ο ίδιος ο αριθμός. Αυτή η ιδέα θα γίνει ακόμη πιο ξεκάθαρη αν στραφούμε στην επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος.

Εργασία 1.Την πρώτη μέρα οι υαλοπίνακες τζάμιασαν 50 παράθυρα, δηλαδή το 1/3 όλων των παραθύρων του χτισμένου σπιτιού. Πόσα παράθυρα υπάρχουν σε αυτό το σπίτι;

Λύση.Το πρόβλημα λέει ότι 50 τζάμια αποτελούν το 1/3 όλων των παραθύρων του σπιτιού, που σημαίνει ότι υπάρχουν 3 φορές περισσότερα παράθυρα συνολικά, δηλ.

Το σπίτι είχε 150 παράθυρα.

Εργασία 2.Το κατάστημα πούλησε 1.500 κιλά αλεύρι, δηλαδή τα 3/8 του συνολικού αποθέματος αλευριού που είχε το κατάστημα. Ποια ήταν η αρχική προσφορά του μαγαζιού σε αλεύρι;

Λύση.Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι τα 1.500 κιλά αλεύρι που πωλούνται αποτελούν τα 3/8 του συνολικού αποθέματος. Αυτό σημαίνει ότι το 1/8 αυτού του αποθεματικού θα είναι 3 φορές λιγότερο, δηλαδή για να το υπολογίσετε πρέπει να μειώσετε το 1500 κατά 3 φορές:

1.500: 3 = 500 (αυτό είναι το 1/8 του αποθεματικού).

Προφανώς, ολόκληρη η προσφορά θα είναι 8 φορές μεγαλύτερη. Ως εκ τούτου,

500 8 = 4.000 (κιλά).

Το αρχικό απόθεμα αλευριού στο κατάστημα ήταν 4.000 κιλά.

Από την εξέταση αυτού του προβλήματος, μπορεί να προκύψει ο ακόλουθος κανόνας.

Για να βρείτε έναν αριθμό από μια δεδομένη τιμή του κλάσματός του, αρκεί να διαιρέσετε αυτή την τιμή με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος.

Επιλύσαμε δύο προβλήματα σχετικά με την εύρεση ενός αριθμού με βάση το κλάσμα του. Τέτοια προβλήματα, όπως φαίνεται ξεκάθαρα από το τελευταίο, λύνονται με δύο ενέργειες: διαίρεση (όταν βρεθεί ένα μέρος) και πολλαπλασιασμός (όταν βρεθεί ο ακέραιος αριθμός).

Ωστόσο, αφού μάθουμε τη διαίρεση των κλασμάτων, τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να λυθούν με μία ενέργεια, δηλαδή: διαίρεση με κλάσμα.

Για παράδειγμα, η τελευταία εργασία μπορεί να λυθεί με μια ενέργεια ως εξής:

Στο μέλλον, θα λύσουμε προβλήματα εύρεσης ενός αριθμού από το κλάσμα του με μία ενέργεια - διαίρεση.

7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Σε αυτά τα προβλήματα θα χρειαστεί να βρείτε έναν αριθμό που γνωρίζει μερικά τοις εκατό αυτού του αριθμού.

Εργασία 1.Στις αρχές αυτού του έτους έλαβα 60 ρούβλια από το ταμιευτήριο. εισόδημα από το ποσό που έβαλα σε αποταμιεύσεις πριν από ένα χρόνο. Πόσα χρήματα έχω βάλει στο ταμιευτήριο; (Τα ταμεία δίνουν στους καταθέτες απόδοση 2% ετησίως.)

Το θέμα του προβλήματος είναι ότι έβαλα ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό σε ένα ταμιευτήριο και έμεινα εκεί για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο, έλαβα 60 ρούβλια από αυτήν. εισόδημα, που είναι τα 2/100 των χρημάτων που κατέθεσα. Πόσα χρήματα έβαλα;

Κατά συνέπεια, γνωρίζοντας μέρος αυτών των χρημάτων, που εκφράζεται με δύο τρόπους (σε ρούβλια και κλάσματα), πρέπει να βρούμε ολόκληρο το, άγνωστο ακόμη, ποσό. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο πρόβλημα εύρεσης ενός αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του. Τα παρακάτω προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:

Αυτό σημαίνει ότι κατατέθηκαν 3.000 ρούβλια στο ταμιευτήριο.

Εργασία 2.Οι ψαράδες εκπλήρωσαν το μηνιαίο πρόγραμμα κατά 64% σε δύο εβδομάδες, συγκομίζοντας 512 τόνους ψαριών. Ποιο ήταν το σχέδιο τους;

Από τις συνθήκες του προβλήματος γίνεται γνωστό ότι οι ψαράδες ολοκλήρωσαν μέρος του σχεδίου. Το τμήμα αυτό ισούται με 512 τόνους, που είναι το 64% του σχεδίου. Δεν γνωρίζουμε πόσοι τόνοι ψαριών πρέπει να προετοιμαστούν σύμφωνα με το σχέδιο. Η εύρεση αυτού του αριθμού θα είναι η λύση στο πρόβλημα.

Τέτοια προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:

Αυτό σημαίνει ότι σύμφωνα με το σχέδιο πρέπει να προετοιμαστούν 800 τόνοι ψαριών.

Εργασία 3.Το τρένο πήγε από τη Ρίγα στη Μόσχα. Όταν πέρασε το 276ο χιλιόμετρο, ένας από τους επιβάτες ρώτησε έναν διερχόμενο αγωγό πόσο από το ταξίδι είχαν ήδη διανύσει. Σε αυτό ο μαέστρος απάντησε: «Έχουμε ήδη καλύψει το 30% ολόκληρου του ταξιδιού». Ποια είναι η απόσταση Μόσχα - Ρίγα;

Από τις προβληματικές συνθήκες είναι σαφές ότι το 30% της διαδρομής από τη Ρίγα στη Μόσχα είναι 276 χλμ. Πρέπει να βρούμε ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων, δηλ., για αυτό το μέρος, βρείτε το σύνολο:

§ 91. Αριθμοί αμοιβαίοι. Αντικατάσταση διαίρεσης με πολλαπλασιασμό.

Ας πάρουμε το κλάσμα 2/3 και αντικαταστήσουμε τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή, παίρνουμε 3/2. Πήραμε το αντίστροφο αυτού του κλάσματος.

Για να λάβετε ένα κλάσμα που είναι το αντίστροφο ενός δεδομένου κλάσματος, πρέπει να βάλετε τον αριθμητή του στη θέση του παρονομαστή και τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πάρουμε το αντίστροφο οποιουδήποτε κλάσματος. Για παράδειγμα:

3/4, αντίστροφη 4/3; 5/6, αντίστροφη 6/5

Δύο κλάσματα που έχουν την ιδιότητα ότι ο αριθμητής του πρώτου είναι ο παρονομαστής του δεύτερου και ο παρονομαστής του πρώτου είναι ο αριθμητής του δεύτερου, λέγονται αμοιβαία αντίστροφα.

Ας σκεφτούμε τώρα ποιο κλάσμα θα είναι το αντίστροφο του 1/2. Προφανώς, θα είναι 2 / 1, ή απλώς 2. Αναζητώντας το αντίστροφο κλάσμα του δεδομένου, πήραμε έναν ακέραιο. Και αυτή η περίπτωση δεν είναι μεμονωμένη. Αντίθετα, για όλα τα κλάσματα με αριθμητή 1 (ένα), τα αντίστροφα θα είναι ακέραιοι, για παράδειγμα:

1/3, αντίστροφη 3; 1/5, αντίστροφη 5

Εφόσον στην εύρεση των αμοιβαίων κλασμάτων συναντήσαμε και ακέραιους αριθμούς, στη συνέχεια δεν θα μιλήσουμε για αμοιβαία κλάσματα, αλλά για αμοιβαίοι αριθμοίΧ.

Ας μάθουμε πώς να γράψουμε το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού. Για τα κλάσματα, αυτό μπορεί να λυθεί απλά: πρέπει να βάλετε τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε το αντίστροφο ενός ακέραιου, αφού οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να έχει παρονομαστή 1. Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του 7 θα είναι 1/7, επειδή 7 = 7/1. για τον αριθμό 10 το αντίστροφο θα είναι 1/10, αφού 10 = 10/1

Αυτή η ιδέα μπορεί να εκφραστεί διαφορετικά: το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού προκύπτει με διαίρεση του ενός με έναν δεδομένο αριθμό. Αυτή η δήλωση ισχύει όχι μόνο για ακέραιους αριθμούς, αλλά και για κλάσματα. Στην πραγματικότητα, αν χρειαστεί να γράψουμε το αντίστροφο του κλάσματος 5/9, τότε μπορούμε να πάρουμε το 1 και να το διαιρέσουμε με το 5/9, δηλ.

Τώρα ας επισημάνουμε ένα πράγμα ιδιοκτησίααμοιβαίοι αριθμοί, που θα μας φανούν χρήσιμοι: το γινόμενο των αντίστροφων αριθμών είναι ίσο με ένα.Πράγματι:

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε να βρούμε αμοιβαίους αριθμούς με τον ακόλουθο τρόπο. Ας πούμε ότι πρέπει να βρούμε το αντίστροφο του 8.

Ας το χαρακτηρίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 8 Χ = 1, επομένως Χ = 1/8. Ας βρούμε έναν άλλο αριθμό που είναι αντίστροφος του 7/12 και ας τον συμβολίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 7/12 Χ = 1, επομένως Χ = 1: 7 / 12 ή Χ = 12 / 7 .

Εισαγάγαμε εδώ την έννοια των αμοιβαίων αριθμών προκειμένου να συμπληρώσουμε ελαφρώς τις πληροφορίες σχετικά με τη διαίρεση των κλασμάτων.

Όταν διαιρέσουμε τον αριθμό 6 με τα 3/5, κάνουμε τα εξής:

Παρακαλώ πληρώστε Ιδιαίτερη προσοχήστην έκφραση και σύγκρινε με τη δεδομένη: .

Εάν πάρουμε την έκφραση χωριστά, χωρίς σύνδεση με την προηγούμενη, τότε είναι αδύνατο να λύσουμε το ερώτημα από πού προήλθε: από τη διαίρεση του 6 με 3/5 ή από τον πολλαπλασιασμό του 6 με το 5/3. Και στις δύο περιπτώσεις συμβαίνει το ίδιο. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι η διαίρεση ενός αριθμού με έναν άλλο μπορεί να αντικατασταθεί πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Τα παραδείγματα που δίνουμε παρακάτω επιβεβαιώνουν πλήρως αυτό το συμπέρασμα.

Για να πολλαπλασιάσετε σωστά ένα κλάσμα με ένα κλάσμα ή ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να γνωρίζετε απλούς κανόνες. Τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς αυτούς τους κανόνες.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κλάσμα.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των αριθμητών και το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και επίσης πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ φορές 3)(7 \ φορές 3) = \frac(4)(7)\\\)

Το κλάσμα \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) μειώθηκε κατά 3.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό.

Αρχικά, ας θυμηθούμε τον κανόνα, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον κανόνα κατά τον πολλαπλασιασμό.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) μετατράπηκε σε μικτό κλάσμα.

Με άλλα λόγια, Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή.Παράδειγμα:

\(\frac(2)(5) \φορές 3 = \frac(2 \χρόνες 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Για να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα, πρέπει πρώτα να αναπαραστήσετε κάθε μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα πολλαπλασιασμού. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή.

Παράδειγμα:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \χρόνες 23) (4 \ φορές 6) = \frac(3 \ φορές \χρώμα (κόκκινο) (3) \ φορές 23) (4 \ φορές 2 \ φορές \χρώμα(κόκκινο) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Πολλαπλασιασμός αντίστροφων κλασμάτων και αριθμών.

Το κλάσμα \(\bf \frac(a)(b)\) είναι το αντίστροφο του κλάσματος \(\bf \frac(b)(a)\), με την προϋπόθεση a≠0,b≠0.
Τα κλάσματα \(\bf \frac(a)(b)\) και \(\bf \frac(b)(a)\) ονομάζονται αμοιβαία κλάσματα. Το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Παράδειγμα:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Σχετικές ερωτήσεις:
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;
Απάντηση: Το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων είναι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμητή με έναν αριθμητή, ενός παρονομαστή με έναν παρονομαστή. Για να πάρετε το γινόμενο μικτών κλασμάτων, πρέπει να τα μετατρέψετε σε ακατάλληλο κλάσμα και να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες.

Πώς να πολλαπλασιάσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: δεν έχει σημασία αν είναι τα ίδια ή διαφορετικούς παρονομαστέςΓια τα κλάσματα, ο πολλαπλασιασμός γίνεται σύμφωνα με τον κανόνα εύρεσης του γινόμενου του αριθμητή με τον αριθμητή, του παρονομαστή με τον παρονομαστή.

Πώς να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα;
Απάντηση: πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να βρείτε το γινόμενο χρησιμοποιώντας τους κανόνες πολλαπλασιασμού.

Πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα;
Απάντηση: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή, αλλά αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο.

Παράδειγμα #1:
Υπολογίστε το γινόμενο: α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Λύση:
α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( κόκκινο) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Παράδειγμα #2:
Υπολογίστε τα γινόμενα ενός αριθμού και ενός κλάσματος: α) \(3 \times \frac(17)(23)\) β) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Λύση:
α) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
β) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \φορές 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Παράδειγμα #3:
Γράψτε το αντίστροφο του κλάσματος \(\frac(1)(3)\);
Απάντηση: \(\frac(3)(1) = 3\)

Παράδειγμα #4:
Υπολογίστε το γινόμενο δύο αμοιβαία αντίστροφων κλασμάτων: α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Λύση:
α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Παράδειγμα #5:
Τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να είναι:
α) ταυτόχρονα με σωστά κλάσματα·
β) ταυτόχρονα ακατάλληλα κλάσματα.
γ) ταυτόχρονα φυσικοί αριθμοί;

Λύση:
α) για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση, ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι σωστό, το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac(3)(2)\) - ένα ακατάλληλο κλάσμα. Απάντηση: όχι.

β) σε όλες σχεδόν τις απαριθμήσεις κλασμάτων αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, αλλά υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί που πληρούν την προϋπόθεση να είναι ταυτόχρονα ακατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, το ακατάλληλο κλάσμα είναι \(\frac(3)(3)\), το αντίστροφο κλάσμα του είναι ίσο με \(\frac(3)(3)\). Παίρνουμε δύο ακατάλληλα κλάσματα. Απάντηση: όχι πάντα υπό ορισμένες συνθήκες όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι.

γ) Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε, για παράδειγμα, 1, 2, 3, …. Αν πάρουμε τον αριθμό \(3 = \frac(3)(1)\), τότε το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι \(\frac(1)(3)\). Το κλάσμα \(\frac(1)(3)\) δεν είναι φυσικός αριθμός. Αν περάσουμε από όλους τους αριθμούς, το αντίστροφο του αριθμού είναι πάντα κλάσμα, εκτός από το 1. Αν πάρουμε τον αριθμό 1, τότε το αμοιβαίο κλάσμα του θα είναι \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Ο αριθμός 1 είναι ένας φυσικός αριθμός. Απάντηση: μπορούν ταυτόχρονα να είναι φυσικοί αριθμοί μόνο σε μία περίπτωση, αν αυτός είναι ο αριθμός 1.

Παράδειγμα #6:
Να γίνει το γινόμενο των μικτών κλασμάτων: α) \(4 \πλάσιο 2\frac(4)(5)\) β) \(1\frac(1)(4) \χρόνια 3\frac(2)(7)\ )

Λύση:
α) \(4 \φορές 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
β) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Παράδειγμα #7:
Μπορούν δύο αντίστροφοι να είναι μικτοί αριθμοί ταυτόχρονα;

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα μικτό κλάσμα \(1\frac(1)(2)\), να βρούμε το αντίστροφο κλάσμα του, για να το κάνουμε αυτό το μετατρέπουμε σε ακατάλληλο κλάσμα \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac(2)(3)\) . Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι ένα σωστό κλάσμα. Απάντηση: Δύο κλάσματα που είναι αμοιβαία αντίστροφα δεν μπορούν να είναι μικτές αριθμοί ταυτόχρονα.

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε πολλαπλασιάζοντας μεικτούς αριθμούς. Αρχικά, θα περιγράψουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών και θα εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του κανόνα κατά την επίλυση παραδειγμάτων. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τον πολλαπλασιασμό ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού. Τέλος, θα μάθουμε πώς να πολλαπλασιάζουμε έναν μικτό αριθμό και κοινό κλάσμα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμώνμπορεί να αναχθεί στον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μετατρέψετε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα.

Ας το γράψουμε κανόνας πολλαπλασιασμού μικτών αριθμών:

• Πρώτον, οι μικτοί αριθμοί που πολλαπλασιάζονται πρέπει να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα.
• Δεύτερον, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων με τα κλάσματα.

Ας δούμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα κατά τον πολλαπλασιασμό ενός μικτού αριθμού με έναν μικτό αριθμό.

Εκτελέστε πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών και .

Αρχικά, ας αναπαραστήσουμε τους μικτούς αριθμούς που πολλαπλασιάζονται ως ακατάλληλα κλάσματα: Και . Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών με τον πολλαπλασιασμό συνηθισμένων κλασμάτων: . Εφαρμόζοντας τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, παίρνουμε . Το κλάσμα που προκύπτει είναι μη αναγώγιμο (βλ. αναγώγιμα και μη αναγώγιμα κλάσματα), αλλά είναι ακατάλληλο (βλ. σωστά και ακατάλληλα κλάσματα), επομένως, για να λάβουμε την τελική απάντηση, μένει να απομονώσουμε ολόκληρο το τμήμα από το ακατάλληλο κλάσμα: .

Ας γράψουμε ολόκληρη τη λύση σε μια γραμμή: .

.

Για να ενισχύσετε τις δεξιότητες του πολλαπλασιασμού μικτών αριθμών, σκεφτείτε να λύσετε ένα άλλο παράδειγμα.

Κάντε τον πολλαπλασιασμό.

Αστείοι αριθμοί και είναι ίσοι με τα κλάσματα 13/5 και 10/9, αντίστοιχα. Επειτα . Σε αυτό το στάδιο, είναι καιρός να θυμηθούμε τη μείωση ενός κλάσματος: αντικαταστήστε όλους τους αριθμούς του κλάσματος με τις αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες και εκτελέστε μια αναγωγή πανομοιότυπων παραγόντων.

Πολλαπλασιάζοντας έναν μικτό και έναν φυσικό αριθμό

Μετά την αντικατάσταση ενός μικτού αριθμού με ένα ακατάλληλο κλάσμα, πολλαπλασιάζοντας έναν μικτό και έναν φυσικό αριθμόοδηγεί στον πολλαπλασιασμό ενός συνηθισμένου κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού.

Πολλαπλασιάστε έναν μικτό αριθμό και τον φυσικό αριθμό 45.

Ένας μεικτός αριθμός είναι ίσος με ένα κλάσμα, λοιπόν . Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στο κλάσμα που προκύπτει με τις αποσυνθέσεις τους σε πρώτους συντελεστές, ας κάνουμε μια αναγωγή και μετά επιλέγουμε ολόκληρο το τμήμα: .

.

Ο πολλαπλασιασμός ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού μερικές φορές πραγματοποιείται εύκολα χρησιμοποιώντας την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση. Στην περίπτωση αυτή, το γινόμενο ενός μικτού αριθμού και ενός φυσικού αριθμού είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων του ακέραιου μέρους με τον δεδομένο φυσικό αριθμό και του κλασματικού μέρους με τον δεδομένο φυσικό αριθμό, δηλαδή .

Υπολογίστε το γινόμενο.

Ας αντικαταστήσουμε τον μικτό αριθμό με το άθροισμα των ακέραιων και κλασματικών μερών, μετά από το οποίο εφαρμόζουμε την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: .

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών και κλασμάτωνΕίναι πιο βολικό να τον αναγάγετε στον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων αναπαριστάνοντας τον μικτό αριθμό που πολλαπλασιάζεται ως ακατάλληλο κλάσμα.

Πολλαπλασιάστε τον μικτό αριθμό με το κοινό κλάσμα 4/15.

Αντικαθιστώντας τον μικτό αριθμό με ένα κλάσμα, παίρνουμε .

www.cleverstudents.ru

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

§ 140. Ορισμοί. 1) Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο πολλαπλασιασμός ακεραίων, δηλαδή: πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό (πολλαπλασιαστή) με έναν ακέραιο (παράγοντα) σημαίνει να συνθέσετε ένα άθροισμα πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.

Άρα πολλαπλασιάζοντας με το 5 σημαίνει ότι βρίσκουμε το άθροισμα:
2) Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού (πολλαπλασιαστής) με ένα κλάσμα (συντελεστής) σημαίνει εύρεση αυτού του κλάσματος του πολλαπλασιαστή.

Έτσι, θα ονομάσουμε τώρα πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα την εύρεση ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού, τον οποίο εξετάσαμε πριν.

3) Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό (πολλαπλασιαστή) με έναν μικτό αριθμό (συντελεστή) σημαίνει να πολλαπλασιάσουμε τον πολλαπλασιαστή πρώτα με τον ακέραιο αριθμό του πολλαπλασιαστή, μετά με το κλάσμα του πολλαπλασιαστή και να προσθέσουμε τα αποτελέσματα αυτών των δύο πολλαπλασιασμών μαζί.

Για παράδειγμα:

Ο αριθμός που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό σε όλες αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται δουλειά, δηλαδή το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό ακεραίων.

Από αυτούς τους ορισμούς είναι σαφές ότι ο πολλαπλασιασμός των κλασματικών αριθμών είναι μια ενέργεια που είναι πάντα δυνατή και πάντα μονοσήμαντη.

§ 141. Η σκοπιμότητα των ορισμών αυτών.Για να κατανοήσουμε τη σκοπιμότητα εισαγωγής των δύο τελευταίων ορισμών του πολλαπλασιασμού στην αριθμητική, ας πάρουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

Εργο. Ένα τρένο, που κινείται ομοιόμορφα, καλύπτει 40 km την ώρα. πώς να μάθετε πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει αυτό το τρένο σε έναν δεδομένο αριθμό ωρών;

Αν παραμείναμε σε αυτόν τον έναν ορισμό του πολλαπλασιασμού, ο οποίος υποδεικνύεται με ακέραια αριθμητική (προσθήκη ίσων όρων), τότε το πρόβλημά μας θα είχε τρεις διάφορες λύσεις, και συγκεκριμένα:

Εάν ο δεδομένος αριθμός ωρών είναι ακέραιος (για παράδειγμα, 5 ώρες), τότε για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει να πολλαπλασιάσετε 40 km με αυτόν τον αριθμό ωρών.

Εάν ένας δεδομένος αριθμός ωρών εκφράζεται ως κλάσμα (για παράδειγμα, μια ώρα), τότε θα πρέπει να βρείτε την τιμή αυτού του κλάσματος από 40 km.

Τέλος, αν αναμειχθεί ο δεδομένος αριθμός ωρών (για παράδειγμα, ώρες), τότε τα 40 km θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τον ακέραιο που περιέχεται στον μικτό αριθμό και στο αποτέλεσμα προσθέστε ένα άλλο κλάσμα 40 km, το οποίο βρίσκεται στο μικτό αριθμός.

Οι ορισμοί που δώσαμε μας επιτρέπουν να δώσουμε μια γενική απάντηση σε όλες αυτές τις πιθανές περιπτώσεις:

πρέπει να πολλαπλασιάσετε 40 km με έναν δεδομένο αριθμό ωρών, όποια κι αν είναι αυτή.

Έτσι, εάν το πρόβλημα παρουσιάζεται σε γενική μορφή ως εξής:

Ένα τρένο, κινούμενο ομοιόμορφα, καλύπτει v km σε μια ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει το τρένο σε t ώρες;

τότε, ανεξάρτητα από το ποιοι είναι οι αριθμοί v και t, μπορούμε να δώσουμε μία απάντηση: ο επιθυμητός αριθμός εκφράζεται με τον τύπο v · t.

Σημείωση. Η εύρεση κάποιου κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού, σύμφωνα με τον ορισμό μας, σημαίνει το ίδιο πράγμα με τον πολλαπλασιασμό ενός δεδομένου αριθμού με αυτό το κλάσμα. Επομένως, για παράδειγμα, η εύρεση του 5% (δηλαδή των πεντακοσίων) ενός δεδομένου αριθμού σημαίνει το ίδιο πράγμα με τον πολλαπλασιασμό ενός δεδομένου αριθμού με ή με ; Η εύρεση του 125% ενός δεδομένου αριθμού σημαίνει το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό αυτού του αριθμού με ή με κ.λπ.

§ 142. Σημείωση για το πότε αυξάνεται και πότε μειώνεται από τον πολλαπλασιασμό.

Ο πολλαπλασιασμός με ένα σωστό κλάσμα μειώνει τον αριθμό και ο πολλαπλασιασμός με ένα ακατάλληλο κλάσμα αυξάνει τον αριθμό εάν αυτό το ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα και παραμένει αμετάβλητο εάν είναι ίσο με ένα.
Σχόλιο. Κατά τον πολλαπλασιασμό κλασματικών αριθμών, καθώς και ακεραίων, το γινόμενο λαμβάνεται ίσο με μηδέν εάν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν, οπότε .

§ 143. Παραγωγή κανόνων πολλαπλασιασμού.

1) Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό. Έστω ένα κλάσμα πολλαπλασιασμένο με 5. Αυτό σημαίνει αυξημένο κατά 5 φορές. Για να αυξήσετε ένα κλάσμα κατά 5 φορές, αρκεί να αυξήσετε τον αριθμητή του ή να μειώσετε τον παρονομαστή του κατά 5 φορές (§ 127).

Να γιατί:
Κανόνας 1. Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο αριθμό, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο. Αντίθετα, μπορείτε επίσης να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με τον δεδομένο ακέραιο αριθμό (αν είναι δυνατόν) και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

Σχόλιο. Το γινόμενο ενός κλάσματος και του παρονομαστή του είναι ίσο με τον αριθμητή του.

Ετσι:
Κανόνας 2. Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο αριθμό με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος ως παρονομαστή.
Κανόνας 3. Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο παρονομαστή του γινομένου.

Σχόλιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί στον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν ακέραιο και ενός ακέραιου με ένα κλάσμα, αν θεωρήσουμε μόνο τον ακέραιο ως κλάσμα με παρονομαστή το ένα. Ετσι:

Έτσι, οι τρεις κανόνες που περιγράφονται τώρα περιέχονται σε έναν, ο οποίος γενικά μπορεί να εκφραστεί ως εξής:
4) Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.

Κανόνας 4ος. Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων. Για παράδειγμα:
§ 144. Αναγωγή κατά τον πολλαπλασιασμό. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, εάν είναι δυνατόν, είναι απαραίτητο να γίνει μια προκαταρκτική μείωση, όπως φαίνεται από τα ακόλουθα παραδείγματα:

Μια τέτοια μείωση μπορεί να γίνει επειδή η τιμή ενός κλάσματος δεν θα αλλάξει εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό φορές.

§ 145. Αλλαγή προϊόντος με μεταβαλλόμενους παράγοντες.Όταν αλλάζουν οι παράγοντες, το γινόμενο των κλασματικών αριθμών θα αλλάξει ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως το γινόμενο των ακεραίων (§ 53), δηλαδή: εάν αυξήσετε (ή μειώσετε) οποιονδήποτε παράγοντα πολλές φορές, τότε το γινόμενο θα αυξηθεί (ή θα μειωθεί) κατά το ίδιο ποσό.

Έτσι, αν στο παράδειγμα:
για να πολλαπλασιάσετε πολλά κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές τους μεταξύ τους και τους παρονομαστές μεταξύ τους και να κάνετε το πρώτο γινόμενο τον αριθμητή και το δεύτερο τον παρονομαστή του γινομένου.

Σχόλιο. Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε τέτοια προϊόντα στα οποία ορισμένοι από τους συντελεστές του αριθμού είναι ακέραιοι ή μικτοί, αν θεωρήσουμε τον ακέραιο ως κλάσμα με παρονομαστή το ένα και μετατρέπουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα. Για παράδειγμα:
§ 147. Βασικές ιδιότητες πολλαπλασιασμού.Αυτές οι ιδιότητες πολλαπλασιασμού που υποδείξαμε για τους ακέραιους αριθμούς (§ 56, 57, 59) ισχύουν και για τον πολλαπλασιασμό των κλασματικών αριθμών. Ας υποδείξουμε αυτές τις ιδιότητες.

1) Το προϊόν δεν αλλάζει όταν αλλάζουν οι παράγοντες.

Για παράδειγμα:

Πράγματι, σύμφωνα με τον κανόνα της προηγούμενης παραγράφου, το πρώτο γινόμενο είναι ίσο με το κλάσμα και το δεύτερο ίσο με το κλάσμα. Αλλά αυτά τα κλάσματα είναι τα ίδια, επειδή οι όροι τους διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των ακεραίων παραγόντων και το γινόμενο των ακεραίων δεν αλλάζει όταν αλλάζουν οι θέσεις των παραγόντων.

2) Το προϊόν δεν θα αλλάξει εάν οποιαδήποτε ομάδα παραγόντων αντικατασταθεί από το προϊόν τους.

Για παράδειγμα:

Τα αποτελέσματα είναι τα ίδια.

Από αυτή την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού μπορεί να εξαχθεί το ακόλουθο συμπέρασμα:

για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα γινόμενο, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με τον πρώτο παράγοντα, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό που προκύπτει με το δεύτερο κ.λπ.

Για παράδειγμα:
3) Κατανεμητικός νόμος πολλαπλασιασμού (σε σχέση με την πρόσθεση). Για να πολλαπλασιάσετε ένα άθροισμα με έναν αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ξεχωριστά με αυτόν τον αριθμό και να προσθέσετε τα αποτελέσματα.

Αυτός ο νόμος εξηγήθηκε από εμάς (§ 59) όπως εφαρμόζεται στους ακέραιους αριθμούς. Παραμένει αληθές χωρίς καμία αλλαγή για τους κλασματικούς αριθμούς.

Ας δείξουμε, μάλιστα, ότι η ισότητα

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση) παραμένει αληθινός ακόμα και όταν τα γράμματα αντιπροσωπεύουν κλασματικούς αριθμούς. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις.

1) Ας υποθέσουμε πρώτα ότι ο παράγοντας m είναι ακέραιος, για παράδειγμα m = 3 (a, b, c – οποιοιδήποτε αριθμοί). Σύμφωνα με τον ορισμό του πολλαπλασιασμού με έναν ακέραιο, μπορούμε να γράψουμε (περιοριζόμαστε σε τρεις όρους για απλότητα):

(α + β + γ) * 3 = (α + β + γ) + (α + β + γ) + (α + β + γ).

Με βάση τον συνειρμικό νόμο της πρόσθεσης, μπορούμε να παραλείψουμε όλες τις παρενθέσεις στη δεξιά πλευρά. Εφαρμόζοντας τον μεταθετικό νόμο της πρόσθεσης, και μετά πάλι τον συνειρμικό νόμο, μπορούμε προφανώς να ξαναγράψουμε τη δεξιά πλευρά ως εξής:

(α + α + α) + (β + β + β) + (γ + γ + γ).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Αυτό σημαίνει ότι ο διανεμητικός νόμος επιβεβαιώνεται σε αυτή την περίπτωση.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (βλ. μάθημα «Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων»). Το πιο δύσκολο μέρος αυτών των ενεργειών ήταν να φέρουν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.

Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Καλα ΝΕΑείναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμη πιο απλές από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, ας δούμε απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διαχωρισμένο ακέραιο μέρος.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο κλάσμα.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται στον πολλαπλασιασμό. Για να «αναποδογυρίσετε» ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, σε όλο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα αναγώγιμο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - αυτό, φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν μετά από όλες τις μειώσεις το κλάσμα αποδειχθεί λανθασμένο, θα πρέπει να τονιστεί ολόκληρο το τμήμα. Αλλά αυτό που σίγουρα δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρωμένες μεθόδους, μεγαλύτερους παράγοντες και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Εξ ορισμού έχουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ολόκληρα μέρη και αρνητικά κλάσματα

Εάν τα κλάσματα περιέχουν ένα ακέραιο μέρος, πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.

Εάν υπάρχει ένα μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τον πολλαπλασιασμό ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

1. Συν με πλην δινει πλην?
2. Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.

Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες υπήρχαν μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν ήταν απαραίτητο να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα έργο, μπορούν να γενικευτούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:

1. Διαγράφουμε τα αρνητικά ανά δύο μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε ακραίες περιπτώσεις, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό για το οποίο δεν υπήρχε σύντροφος.
2. Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Εάν το τελευταίο μείον δεν διαγραφεί επειδή δεν υπήρχε ζεύγος για αυτό, το βγάζουμε εκτός των ορίων πολλαπλασιασμού. Το αποτέλεσμα είναι ένα αρνητικό κλάσμα.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Μετατρέπουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά αφαιρούμε τα πλην από τον πολλαπλασιασμό. Πολλαπλασιάζουμε ό,τι απομένει σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:

Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που εμφανίζεται μπροστά από ένα κλάσμα με τονισμένο ολόκληρο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο σε ολόκληρο το τμήμα του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).

Προσοχή επίσης στους αρνητικούς αριθμούς: όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε παρένθεση. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει όλος ο συμβολισμός πιο ακριβής.

Μείωση κλασμάτων εν κινήσει

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πράξη που απαιτεί πολύ κόπο. Οι αριθμοί εδώ αποδεικνύονται αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε το πρόβλημα, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε περαιτέρω το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Εξ ορισμού έχουμε:

Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι απομένει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Σημείωση: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Στη θέση τους παραμένουν ενότητες που, γενικά, δεν χρειάζεται να γραφτούν. Στο δεύτερο παράδειγμα, δεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί πλήρης μείωση, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.

Ωστόσο, μην χρησιμοποιείτε ποτέ αυτή την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:

Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!

Το σφάλμα παρουσιάζεται επειδή κατά την πρόσθεση, ο αριθμητής ενός κλάσματος παράγει ένα άθροισμα, όχι ένα γινόμενο αριθμών. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, αφού σε αυτήν την ιδιότητα μιλάμε γιασυγκεκριμένα για τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Απλώς δεν υπάρχουν άλλοι λόγοι για τη μείωση των κλασμάτων, έτσι σωστή λύσηη προηγούμενη εργασία μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν και τόσο όμορφη. Σε γενικές γραμμές, να είστε προσεκτικοί.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.

Για να πολλαπλασιάσετε σωστά ένα κλάσμα με ένα κλάσμα ή ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να γνωρίζετε απλούς κανόνες. Τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς αυτούς τους κανόνες.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κλάσμα.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των αριθμητών και το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και επίσης πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό.

Αρχικά, ας θυμηθούμε τον κανόνα, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα \(\bf n = \frac \) .

Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον κανόνα κατά τον πολλαπλασιασμό.

Το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) μετατράπηκε σε μικτό κλάσμα.

Με άλλα λόγια, Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή.Παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Για να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα, πρέπει πρώτα να αναπαραστήσετε κάθε μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα πολλαπλασιασμού. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός αντίστροφων κλασμάτων και αριθμών.

Σχετικές ερωτήσεις:
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;
Απάντηση: Το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων είναι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμητή με έναν αριθμητή, ενός παρονομαστή με έναν παρονομαστή. Για να πάρετε το γινόμενο μικτών κλασμάτων, πρέπει να τα μετατρέψετε σε ακατάλληλο κλάσμα και να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες.

Πώς να πολλαπλασιάσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: δεν έχει σημασία αν τα κλάσματα έχουν ίδιους ή διαφορετικούς παρονομαστές, ο πολλαπλασιασμός γίνεται σύμφωνα με τον κανόνα εύρεσης του γινομένου ενός αριθμητή με αριθμητή, ενός παρονομαστή με έναν παρονομαστή.

Πώς να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα;
Απάντηση: πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να βρείτε το γινόμενο χρησιμοποιώντας τους κανόνες πολλαπλασιασμού.

Πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα;
Απάντηση: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή, αλλά αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο.

Παράδειγμα #1:
Υπολογίστε το γινόμενο: α) \(\frac \times \frac \) β) \(\frac \times \frac \)

Παράδειγμα #2:
Υπολογίστε τα γινόμενα ενός αριθμού και ενός κλάσματος: α) \(3 \φορές \frac \) β) \(\frac \times 11\)

Παράδειγμα #3:
Γράψτε το αντίστροφο του κλάσματος \(\frac \);
Απάντηση: \(\frac = 3\)

Παράδειγμα #4:
Υπολογίστε το γινόμενο δύο αμοιβαία αντίστροφων κλασμάτων: α) \(\frac \times \frac \)

Παράδειγμα #5:
Τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να είναι:
α) ταυτόχρονα με σωστά κλάσματα·
β) ταυτόχρονα ακατάλληλα κλάσματα.
γ) ταυτόχρονα φυσικοί αριθμοί;

Λύση:
α) για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση, ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Το κλάσμα \(\frac \) είναι σωστό, το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac \) - ένα ακατάλληλο κλάσμα. Απάντηση: όχι.

β) σε όλες σχεδόν τις απαριθμήσεις κλασμάτων αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, αλλά υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί που πληρούν την προϋπόθεση να είναι ταυτόχρονα ακατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, ένα ακατάλληλο κλάσμα είναι \(\frac \) , το αντίστροφο κλάσμα του είναι ίσο με \(\frac \). Παίρνουμε δύο ακατάλληλα κλάσματα. Απάντηση: όχι πάντα υπό ορισμένες συνθήκες όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι.

γ) Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε, για παράδειγμα, 1, 2, 3, …. Αν πάρουμε τον αριθμό \(3 = \frac \), τότε το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι \(\frac \). Το κλάσμα \(\frac \) δεν είναι φυσικός αριθμός. Αν περάσουμε από όλους τους αριθμούς, το αντίστροφο του αριθμού είναι πάντα κλάσμα, εκτός από το 1. Αν πάρουμε τον αριθμό 1, τότε το αμοιβαίο κλάσμα του θα είναι \(\frac = \frac = 1\). Ο αριθμός 1 είναι ένας φυσικός αριθμός. Απάντηση: μπορούν ταυτόχρονα να είναι φυσικοί αριθμοί μόνο σε μία περίπτωση, αν αυτός είναι ο αριθμός 1.

Παράδειγμα #6:
Να κάνετε το γινόμενο των μικτών κλασμάτων: α) \(4 \ φορές 2\frac \) β) \(1\frac \ φορές 3\frac \)

Λύση:
α) \(4 \ φορές 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
β) \(1\frac \ φορές 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Παράδειγμα #7:
Μπορούν δύο αντίστροφοι να είναι μικτοί αριθμοί ταυτόχρονα;

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα μικτό κλάσμα \(1\frac \), να βρούμε το αντίστροφο κλάσμα του, για να το κάνουμε αυτό το μετατρέπουμε σε ακατάλληλο κλάσμα \(1\frac = \frac \) . Το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac \) . Το κλάσμα \(\frac\) είναι ένα σωστό κλάσμα. Απάντηση: Δύο κλάσματα που είναι αμοιβαία αντίστροφα δεν μπορούν να είναι μικτές αριθμοί ταυτόχρονα.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικού με φυσικό αριθμό

Παρουσίαση για το μάθημα

Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Αν ενδιαφέρεσαι αυτή η δουλειά, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

• Με διασκεδαστικό τρόπο, εισαγάγετε στους μαθητές τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, με μια μονάδα αξίας θέσης και τον κανόνα για την έκφραση ενός δεκαδικού κλάσματος ως ποσοστό. Αναπτύξτε την ικανότητα εφαρμογής της αποκτηθείσας γνώσης κατά την επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.
• Ανάπτυξη και ενεργοποίηση λογική σκέψημαθητές, ικανότητα αναγνώρισης προτύπων και γενίκευσής τους, ενδυνάμωση της μνήμης, ικανότητα συνεργασίας, παροχής βοήθειας, αξιολόγησης της δουλειάς τους και του άλλου.
• Καλλιεργήστε το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, τη δραστηριότητα, την κινητικότητα και τις επικοινωνιακές δεξιότητες.

Εξοπλισμός: διαδραστικός πίνακας, αφίσα με cyphergram, αφίσες με δηλώσεις μαθηματικών.

1. Οργάνωση χρόνου.
2. Προφορική αριθμητική – γενίκευση προηγουμένως μελετημένης ύλης, προετοιμασία για μελέτη νέου υλικού.
3. Επεξήγηση νέου υλικού.
4. Εργασία για το σπίτι.
5. Μαθηματική φυσική αγωγή.
6. Γενίκευση και συστηματοποίηση της αποκτηθείσας γνώσης με παιχνιδιάρικο τρόπο με χρήση υπολογιστή.
7. Βαθμολόγηση.

2. Παιδιά, σήμερα το μάθημά μας θα είναι κάπως ασυνήθιστο, γιατί δεν θα το διδάξω μόνος μου, αλλά με τον φίλο μου. Και ο φίλος μου είναι επίσης ασυνήθιστος, θα τον δείτε τώρα. (Ένας υπολογιστής κινουμένων σχεδίων εμφανίζεται στην οθόνη.) Ο φίλος μου έχει όνομα και μπορεί να μιλήσει. Πώς σε λένε φίλε; Ο Komposha απαντά: «Με λένε Komposha». Είστε έτοιμοι να με βοηθήσετε σήμερα; ΝΑΙ! Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε το μάθημα.

Σήμερα έλαβα ένα κρυπτογραφημένο cyphergram, παιδιά, το οποίο πρέπει να λύσουμε και να αποκρυπτογραφήσουμε μαζί. (Στον πίνακα είναι αναρτημένη αφίσα με προφορικό υπολογισμό για πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, με αποτέλεσμα τα παιδιά να λαμβάνουν τον παρακάτω κωδικό 523914687. )

Το Komposha βοηθά στην αποκρυπτογράφηση του ληφθέντος κώδικα. Το αποτέλεσμα της αποκωδικοποίησης είναι η λέξη ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ. Ο πολλαπλασιασμός είναι λέξη-κλειδίθέματα του σημερινού μαθήματος. Το θέμα του μαθήματος εμφανίζεται στην οθόνη: "Πολλαπλασιάζοντας ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό"

Παιδιά ξέρουμε να πολλαπλασιαζόμαστε φυσικούς αριθμούς. Σήμερα θα δούμε τον πολλαπλασιασμό δεκαδικοί αριθμοίσε φυσικό αριθμό. Ο πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα όρων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με αυτό το δεκαδικό κλάσμα και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με αυτόν τον φυσικό αριθμό. Για παράδειγμα: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Άρα, 5,21 ·3 = 15,63. Παρουσιάζοντας το 5,21 ως κοινό κλάσμα σε έναν φυσικό αριθμό, παίρνουμε

Και σε αυτή την περίπτωση έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα: 15,63. Τώρα, αγνοώντας το κόμμα, αντί για τον αριθμό 5,21, πάρτε τον αριθμό 521 και πολλαπλασιάστε τον με αυτόν τον φυσικό αριθμό. Εδώ πρέπει να θυμόμαστε ότι σε έναν από τους παράγοντες το κόμμα έχει μετακινηθεί δύο θέσεις προς τα δεξιά. Πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς 5, 21 και 3, παίρνουμε γινόμενο ίσο με 15,63. Τώρα σε αυτό το παράδειγμα μετακινούμε το κόμμα στα αριστερά δύο θέσεις. Έτσι, κατά πόσες φορές αυξήθηκε ένας από τους παράγοντες, κατά πόσες φορές μειώθηκε το προϊόν. Με βάση τις ομοιότητες αυτών των μεθόδων, θα βγάλουμε ένα συμπέρασμα.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει:
1) χωρίς να δίνετε προσοχή στο κόμμα, πολλαπλασιάστε τους φυσικούς αριθμούς.
2) στο γινόμενο που προκύπτει, διαχωρίστε τόσα ψηφία από τα δεξιά με κόμμα όσα υπάρχουν στο δεκαδικό κλάσμα.

Στην οθόνη εμφανίζονται τα ακόλουθα παραδείγματα, τα οποία αναλύουμε μαζί με την Komposha και τα παιδιά: 5,21 ·3 = 15,63 και 7,624 ·15 = 114,34. Στη συνέχεια δείχνω τον πολλαπλασιασμό με έναν στρογγυλό αριθμό 12,6 · 50 = 630. Στη συνέχεια, προχωράω στον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με μια μονάδα αξίας θέσης. Δείχνω τα ακόλουθα παραδείγματα: 7.423 · 100 = 742.3 και 5.2 · 1000 = 5200. Έτσι, εισάγω τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με μια ψηφιακή μονάδα:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με τις ψηφιακές μονάδες 10, 100, 1000, κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή σε αυτό το κλάσμα προς τα δεξιά κατά τόσες θέσεις όσα μηδενικά υπάρχουν στην ψηφιακή μονάδα.

Ολοκληρώνω την εξήγησή μου εκφράζοντας το δεκαδικό κλάσμα ως ποσοστό. Εισάγω τον κανόνα:

Για να εκφράσετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως ποσοστό, πρέπει να το πολλαπλασιάσετε επί 100 και να προσθέσετε το σύμβολο %.

Θα δώσω ένα παράδειγμα σε έναν υπολογιστή: 0,5 100 = 50 ή 0,5 = 50%.

4. Στο τέλος της εξήγησης δίνω στα παιδιά εργασία για το σπίτι, το οποίο εμφανίζεται επίσης στην οθόνη του υπολογιστή: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Για να ξεκουραστούν λίγο τα παιδιά, κάνουμε μαθηματική φυσική αγωγή μαζί με τον Komposha για να εμπεδώσουμε το θέμα. Όλοι σηκώνονται όρθιοι, δείχνουν τα λυμένα παραδείγματα στην τάξη και πρέπει να απαντήσουν αν το παράδειγμα λύθηκε σωστά ή λάθος. Αν το παράδειγμα λυθεί σωστά, τότε σηκώνουν τα χέρια τους πάνω από το κεφάλι τους και χτυπούν τις παλάμες τους. Εάν το παράδειγμα δεν λυθεί σωστά, τα παιδιά τεντώνουν τα χέρια τους στα πλάγια και τεντώνουν τα δάχτυλά τους.

6. Και τώρα ξεκουράστηκες λίγο, μπορείς να λύσεις τις εργασίες. Ανοίξτε το σχολικό σας βιβλίο στη σελίδα 205, № 1029. Σε αυτήν την εργασία πρέπει να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

Οι εργασίες εμφανίζονται στον υπολογιστή. Καθώς επιλύονται, εμφανίζεται μια εικόνα με την εικόνα ενός σκάφους που επιπλέει μακριά όταν συναρμολογηθεί πλήρως.

Με την επίλυση αυτής της εργασίας σε έναν υπολογιστή, ο πύραυλος σταδιακά διπλώνει· μετά την επίλυση του τελευταίου παραδείγματος, ο πύραυλος πετά μακριά. Ο δάσκαλος δίνει λίγες πληροφορίες στους μαθητές: «Κάθε χρόνο από το έδαφος του Καζακστάν, από το κοσμοδρόμιο του Μπαϊκονούρ, απογειώνονται στα αστέρια διαστημόπλοια. Το Καζακστάν κατασκευάζει το νέο του κοσμοδρόμιο Baiterek κοντά στο Baikonur.

Πόσο μακριά θα διανύσει ένα επιβατικό αυτοκίνητο σε 4 ώρες εάν η ταχύτητα του επιβατικού αυτοκινήτου είναι 74,8 km/h.

Δωροεπιταγή Δεν ξέρετε τι να δώσετε στους σημαντικούς σας άλλους, φίλους, υπαλλήλους, συγγενείς; Επωφεληθείτε από την ειδική προσφορά μας: «Δωροεπιταγή για το Blue Sedge Country Hotel». Το πιστοποιητικό δίνει […]

Αντικατάσταση μετρητή αερίου: κανόνες κόστους και αντικατάστασης, διάρκεια ζωής, λίστα εγγράφων Κάθε ιδιοκτήτης ακινήτου ενδιαφέρεται για την υψηλή ποιότητα απόδοσης ενός μετρητή αερίου. Εάν δεν το αντικαταστήσετε εγκαίρως, τότε [...]

Επιδόματα παιδιού στο Κρασνοντάρ και στην Επικράτεια του Κρασνοντάρ το 2018 Ο πληθυσμός του θερμού (σε σύγκριση με πολλές άλλες περιοχές της Ρωσίας) Κουμπάν αυξάνεται συνεχώς λόγω της μετανάστευσης και της αύξησης του ποσοστού γεννήσεων. Ωστόσο, οι αρχές του θέματος […]

Σύνταξη αναπηρίας στρατιωτικού προσωπικού το 2018 Η στρατιωτική θητεία είναι μια δραστηριότητα που χαρακτηρίζεται από ιδιαίτερο κίνδυνο για την υγεία. Διότι στη νομοθεσία Ρωσική Ομοσπονδίαυπό την προϋπόθεση Ειδικές καταστάσειςσυντήρηση ατόμων με αναπηρία, [...]

Παιδικά επιδόματα στη Σαμάρα και στην περιοχή Σαμάρα το 2018 Τα επιδόματα για ανηλίκους στην περιοχή της Σαμάρας προορίζονται για πολίτες που ανατρέφουν παιδιά προσχολικής ηλικίας και μαθητές. Κατά την κατανομή κεφαλαίων, όχι μόνο [...]

Παροχή συντάξεων για τους κατοίκους του Κρασνοντάρ και της Επικράτειας του Κρασνοντάρ το 2018 Τα άτομα με αναπηρία που αναγνωρίζονται ως τέτοια από το νόμο λαμβάνουν οικονομική στήριξη από το κράτος. Αίτηση για κονδύλια του προϋπολογισμού [...]

Παροχή συνταξιοδότησης για κατοίκους του Τσελιάμπινσκ και της περιοχής Τσελιάμπινσκ το 2018 Στην ηλικία που καθορίζεται από το νόμο, οι πολίτες λαμβάνουν το δικαίωμα συνταξιοδοτικής παροχής. Μπορεί να είναι διαφορετικό και οι όροι του ραντεβού ποικίλλουν. Π.χ, […]

Επιδόματα παιδιού στην περιοχή της Μόσχας το 2018 Η κοινωνική πολιτική της περιοχής της Μόσχας στοχεύει στον εντοπισμό οικογενειών που χρειάζονται πρόσθετη υποστήριξη από το ταμείο. Μέτρα ομοσπονδιακής στήριξης για οικογένειες με παιδιά το 2018 […]

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Ως υπενθύμιση, για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:

Για παράδειγμα:

Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν τον χρειάζεται εδώ...

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αντιστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:

Για παράδειγμα:

Αν συναντήσετε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με ακέραιους και κλάσματα, είναι εντάξει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με ένα στον παρονομαστή - και προχωράμε! Για παράδειγμα:

Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:

Πώς μπορώ να κάνω αυτό το κλάσμα να φαίνεται αξιοπρεπές; Ναι, πολύ απλό! Χρησιμοποιήστε διαίρεση δύο σημείων:

Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά είναι εύκολο να κάνεις ένα λάθος σε ένα κλάσμα τριών ορόφων. Σημειώστε για παράδειγμα:

Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):

Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):

Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!

Τι καθορίζει τη σειρά διαίρεσης; Είτε με αγκύλες, είτε (όπως εδώ) με το μήκος οριζόντιων γραμμών. Αναπτύξτε το μάτι σας. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:

μετά διαιρέστε και πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!

Και μια άλλη πολύ απλή και σημαντική τεχνική. Σε δράσεις με πτυχία, θα σας είναι τόσο χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε το ένα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:

Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και αυτό συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανάποδα.

Αυτό είναι για πράξεις με κλάσματα. Το θέμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Σημείωση πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!

Πρακτικές συμβουλές:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Αυτά δεν είναι γενικά λόγια, ούτε καλές ευχές! Αυτό είναι επιτακτική ανάγκη! Κάνετε όλους τους υπολογισμούς για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους ως μια ολοκληρωμένη εργασία, εστιασμένη και ξεκάθαρη. Είναι καλύτερα να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές στο προσχέδιό σας παρά να ανακατεύεστε όταν κάνετε νοητικούς υπολογισμούς.

2. Σε παραδείγματα με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα - μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να σταματήσουν.

4. Μειώνουμε τις πολυεπίπεδες κλασματικές εκφράσεις σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (ακολουθούμε τη σειρά διαίρεσης!).

5. Διαιρέστε μια μονάδα με ένα κλάσμα στο κεφάλι σας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.

Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει οπωσδήποτε να ολοκληρώσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά για αυτό το θέμα και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα μπορέσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα...

Θυμηθείτε - η σωστή απάντηση είναι που έλαβε από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.

Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται ήδη για προετοιμασία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Λύνουμε το παράδειγμα, το ελέγχουμε, λύνουμε το επόμενο. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από την πρώτη έως την τελευταία. Αλλά μόνο Επειτακοιτάξτε τις απαντήσεις.

Υπολογίζω:

Εχεις αποφασίσει?

Αναζητούμε απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα επίτηδες άτακτα, μακριά από πειρασμούς, ας πούμε... Ιδού, οι απαντήσεις, γραμμένες με άνω τελείες.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πάνε καλά, χαίρομαι για σένα! Οι βασικοί υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι...

Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά αυτό διαλυτός Προβλήματα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.