§ 87. Πρόσθεση κλασμάτων.

Η πρόσθεση κλασμάτων έχει πολλές ομοιότητες με την πρόσθεση ακέραιων αριθμών. Η πρόσθεση κλασμάτων είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι πολλοί δεδομένοι αριθμοί (όροι) συνδυάζονται σε έναν αριθμό (άθροισμα), που περιέχει όλες τις μονάδες και τα κλάσματα των μονάδων των όρων.

Θα εξετάσουμε διαδοχικά τρεις περιπτώσεις:

1. Προσθήκη κλασμάτων με ίδιοι παρονομαστές.
2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

1. Πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 1/5 + 2/5.

Ας πάρουμε το τμήμα AB (Εικ. 17), το πάρουμε ως ένα και το διαιρέσουμε σε 5 ίσα μέρη, τότε το μέρος AC αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με το 1/5 του τμήματος ΑΒ και μέρος του ίδιου τμήματος CD θα είναι ίσο με 2/5 ΑΒ.

Από το σχέδιο είναι σαφές ότι αν πάρουμε το τμήμα AD, θα είναι ίσο με 3/5 AB. αλλά το τμήμα AD είναι ακριβώς το άθροισμα των τμημάτων AC και CD. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους και το άθροισμα που προκύπτει, βλέπουμε ότι ο αριθμητής του αθροίσματος προέκυψε προσθέτοντας τους αριθμητές των όρων και ο παρονομαστής παρέμεινε αμετάβλητος.

Από εδώ παίρνουμε επόμενος κανόνας: Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Ας προσθέσουμε τα κλάσματα: 3 / 4 + 3 / 8 Πρώτα πρέπει να μειωθούν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6/8 + 3/8 δεν μπόρεσε να γραφτεί. το γράψαμε εδώ για σαφήνεια.

Έτσι, για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να επισημάνετε τον κοινό παρονομαστή.

Ας δούμε ένα παράδειγμα (θα γράψουμε πρόσθετους παράγοντες πάνω από τα αντίστοιχα κλάσματα):

3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

Ας προσθέσουμε τους αριθμούς: 2 3/8 + 3 5/6.

Ας φέρουμε πρώτα τα κλασματικά μέρη των αριθμών μας σε έναν κοινό παρονομαστή και ας τα ξαναγράψουμε:

Τώρα προσθέτουμε διαδοχικά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη:

§ 88. Αφαίρεση κλασμάτων.

Η αφαίρεση των κλασμάτων ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η αφαίρεση ακέραιων αριθμών. Αυτή είναι μια ενέργεια με τη βοήθεια της οποίας, δεδομένου του αθροίσματος δύο όρων και ενός από αυτούς, βρίσκουμε έναν άλλο όρο. Ας εξετάσουμε τρεις διαδοχικές περιπτώσεις:

1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

13 / 15 - 4 / 15

Ας πάρουμε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 18), το πάρουμε ως μονάδα και το χωρίσουμε σε 15 ίσα μέρη. τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα αντιπροσωπεύει το 1/15 του AB και το μέρος AD του ίδιου τμήματος θα αντιστοιχεί στο 13/15 AB. Ας αφήσουμε στην άκρη ένα άλλο τμήμα ED ίσο με 4/15 AB.

Πρέπει να αφαιρέσουμε το κλάσμα 4/15 από το 13/15. Στο σχέδιο, αυτό σημαίνει ότι το τμήμα ED πρέπει να αφαιρεθεί από το τμήμα AD. Ως αποτέλεσμα, θα παραμείνει το τμήμα ΑΕ, το οποίο είναι τα 9/15 του τμήματος ΑΒ. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

Το παράδειγμα που κάναμε δείχνει ότι ο αριθμητής της διαφοράς προέκυψε αφαιρώντας τους αριθμητές, αλλά ο παρονομαστής παρέμεινε ο ίδιος.

Επομένως, για να αφαιρέσετε κλάσματα με όμοιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δευτερεύοντος από τον αριθμητή του minuend και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Παράδειγμα. 3/4 - 5/8

Αρχικά, ας μειώσουμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Το ενδιάμεσο 6 / 8 - 5 / 8 είναι γραμμένο εδώ για λόγους σαφήνειας, αλλά μπορεί να παραλειφθεί αργότερα.

Έτσι, για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, θα πρέπει πρώτα να το μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια να αφαιρέσετε τον αριθμητή του minuend από τον αριθμητή του minuend και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά τους.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

Παράδειγμα. 10 3/4 - 7 2/3.

Ας μειώσουμε τα κλασματικά μέρη του minuend και του subtrahend στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Αφαιρέσαμε ένα σύνολο από ένα σύνολο και ένα κλάσμα από ένα κλάσμα. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που το κλασματικό μέρος του subtrahend είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του minuend. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από ολόκληρο το μέρος του minuend, να τη χωρίσετε σε εκείνα τα μέρη στα οποία εκφράζεται το κλασματικό μέρος και να την προσθέσετε στο κλασματικό μέρος του minuend. Και τότε η αφαίρεση θα γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:

§ 89. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.

Κατά τη μελέτη του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες ερωτήσεις:

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.
3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.
4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.
7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού. Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.

Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με έναν ακέραιο. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος (πολλαπλασιαστής) με έναν ακέραιο (παράγοντα) σημαίνει να δημιουργηθεί ένα άθροισμα πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.

Αυτό σημαίνει ότι εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε το 1/9 επί 7, τότε μπορεί να γίνει ως εξής:

Λάβαμε εύκολα το αποτέλεσμα, αφού η ενέργεια περιορίστηκε στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Ως εκ τούτου,

Η εξέταση αυτής της ενέργειας δείχνει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό ισοδυναμεί με αύξηση αυτού του κλάσματος κατά τόσες φορές όσο ο αριθμός των μονάδων που περιέχονται στον ακέραιο αριθμό. Και αφού η αύξηση ενός κλάσματος επιτυγχάνεται είτε αυξάνοντας τον αριθμητή του

είτε με μείωση του παρονομαστή του , τότε μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με έναν ακέραιο είτε να διαιρέσουμε τον παρονομαστή με αυτόν, αν είναι δυνατή μια τέτοια διαίρεση.

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο αριθμό και αφήνετε τον παρονομαστή ίδιο ή, αν είναι δυνατόν, διαιρείτε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον αριθμητή αμετάβλητο.

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε ή να υπολογίσετε μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των προβλημάτων και άλλων είναι ότι δίνουν τον αριθμό ορισμένων αντικειμένων ή μονάδων μέτρησης και πρέπει να βρείτε ένα μέρος αυτού του αριθμού, το οποίο υποδεικνύεται επίσης εδώ με ένα συγκεκριμένο κλάσμα. Για να διευκολυνθεί η κατανόηση, θα δώσουμε πρώτα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και στη συνέχεια θα εισαγάγουμε μια μέθοδο για την επίλυσή τους.

Εργασία 1.Είχα 60 ρούβλια. Ξόδεψα το 1/3 αυτών των χρημάτων για την αγορά βιβλίων. Πόσο κόστισαν τα βιβλία;

Εργασία 2.Το τρένο πρέπει να διανύσει απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β ίση με 300 km. Έχει ήδη διανύσει τα 2/3 αυτής της απόστασης. Πόσα χιλιόμετρα είναι αυτό;

Εργασία 3.Στο χωριό υπάρχουν 400 σπίτια, τα 3/4 από τούβλα, τα υπόλοιπα ξύλινα. Πόσα σπίτια από τούβλα υπάρχουν συνολικά;

Αυτά είναι μερικά από τα πολλά προβλήματα που αντιμετωπίζουμε για να βρούμε ένα μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Συνήθως ονομάζονται προβλήματα για την εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.

Λύση στο πρόβλημα 1.Από 60 τρίψτε. Ξόδεψα το 1/3 σε βιβλία. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε το κόστος των βιβλίων πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό 60 με το 3:

Επίλυση προβλήματος 2.Το θέμα του προβλήματος είναι ότι πρέπει να βρείτε τα 2/3 των 300 km. Ας υπολογίσουμε πρώτα το 1/3 του 300. Αυτό επιτυγχάνεται με διαίρεση 300 km με 3:

300: 3 = 100 (αυτό είναι το 1/3 των 300).

Για να βρείτε τα δύο τρίτα του 300, πρέπει να διπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε με το 2:

100 x 2 = 200 (δηλαδή τα 2/3 των 300).

Επίλυση προβλήματος 3.Εδώ πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των σπιτιών από τούβλα που αποτελούν τα 3/4 των 400. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 των 400,

400: 4 = 100 (αυτό είναι το 1/4 των 400).

Για να υπολογίσουμε τρία τέταρτα του 400, το πηλίκο που προκύπτει πρέπει να τριπλασιαστεί, δηλαδή να πολλαπλασιαστεί επί 3:

100 x 3 = 300 (δηλαδή τα 3/4 των 400).

Με βάση τη λύση σε αυτά τα προβλήματα, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο κανόνα:

Για να βρείτε την τιμή ενός κλάσματος από έναν δεδομένο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει με τον αριθμητή του.

3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.

Νωρίτερα (§ 26) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων θα πρέπει να νοείται ως η πρόσθεση πανομοιότυπων όρων (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Σε αυτή την παράγραφο (σημείο 1) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο σημαίνει την εύρεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων ίσου με αυτό το κλάσμα.

Και στις δύο περιπτώσεις, ο πολλαπλασιασμός συνίστατο στην εύρεση του αθροίσματος των πανομοιότυπων όρων.

Τώρα προχωράμε στον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Εδώ θα συναντήσουμε, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμό: 9 2 / 3. Είναι σαφές ότι ο προηγούμενος ορισμός του πολλαπλασιασμού δεν ισχύει για αυτήν την περίπτωση. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τέτοιο πολλαπλασιασμό προσθέτοντας ίσους αριθμούς.

Εξαιτίας αυτού, θα πρέπει να δώσουμε έναν νέο ορισμό του πολλαπλασιασμού, δηλαδή, με άλλα λόγια, να απαντήσουμε στο ερώτημα τι πρέπει να γίνει κατανοητό από τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, πώς θα πρέπει να γίνει κατανοητή αυτή η ενέργεια.

Η έννοια του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα είναι ξεκάθαρη από τον ακόλουθο ορισμό: πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) με ένα κλάσμα (πολλαπλασιαστής) σημαίνει την εύρεση αυτού του κλάσματος του πολλαπλασιαστή.

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 9 με 2/3 σημαίνει ότι βρίσκουμε τα 2/3 των εννέα μονάδων. ΣΕ προηγούμενη παράγραφοΤέτοια προβλήματα επιλύθηκαν. οπότε είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι θα καταλήξουμε με 6.

Τώρα όμως τίθεται ένα ενδιαφέρον και σημαντικό ερώτημα: γιατί είναι τέτοια διάφορες δράσειςΠώς είναι η εύρεση του αθροίσματος ίσων αριθμών και η εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού που ονομάζεται με την ίδια λέξη «πολλαπλασιασμός» στην αριθμητική;

Αυτό συμβαίνει επειδή η προηγούμενη ενέργεια (επανάληψη ενός αριθμού με όρους πολλές φορές) και η νέα ενέργεια (εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού) δίνουν απαντήσεις σε ομοιογενείς ερωτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι προχωράμε εδώ από το σκεπτικό ότι ομοιογενείς ερωτήσεις ή εργασίες επιλύονται με την ίδια ενέργεια.

Για να το κατανοήσετε αυτό, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν 4 μέτρα τέτοιου υφάσματος;

Αυτό το πρόβλημα επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (4), δηλαδή 50 x 4 = 200 (ρούβλια).

Ας πάρουμε το ίδιο πρόβλημα, αλλά σε αυτό η ποσότητα του υφάσματος θα εκφραστεί ως κλάσμα: «1 μέτρο υφάσματος κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν τα 3/4 m τέτοιου υφάσματος;»

Αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να λυθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (3/4).

Μπορείτε να αλλάξετε τους αριθμούς σε αυτό αρκετές φορές, χωρίς να αλλάξετε την έννοια του προβλήματος, για παράδειγμα, πάρτε 9/10 m ή 2 3/10 m, κ.λπ.

Δεδομένου ότι αυτά τα προβλήματα έχουν το ίδιο περιεχόμενο και διαφέρουν μόνο σε αριθμούς, ονομάζουμε τις ενέργειες που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους ίδια λέξη - πολλαπλασιασμός.

Πώς πολλαπλασιάζεις έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε τους αριθμούς που συναντήθηκαν στο τελευταίο πρόβλημα:

Σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να βρούμε τα 3/4 του 50. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 του 50 και μετά το 3/4.

Το 1/4 του 50 είναι 50/4.

Τα 3/4 του αριθμού 50 είναι .

Ως εκ τούτου.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα: 12 5 / 8 =?

Το 1/8 του αριθμού 12 είναι 12/8,

Τα 5/8 του αριθμού 12 είναι .

Ως εκ τούτου,

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο αριθμό με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος ως παρονομαστή.

Ας γράψουμε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38

Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι πριν εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να κάνετε (αν είναι δυνατόν) μειώσεις, Για παράδειγμα:

4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα, δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να βρείτε το κλάσμα που βρίσκεται στον παράγοντα από το πρώτο κλάσμα (ο πολλαπλασιαστής).

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 3/4 με το 1/2 (μισό) σημαίνει ότι βρίσκουμε το μισό του 3/4.

Πώς πολλαπλασιάζεις ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: 3/4 πολλαπλασιασμένο επί 5/7. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τα 5/7 των 3/4. Ας βρούμε πρώτα το 1/7 του 3/4 και μετά το 5/7

Το 1/7 του αριθμού 3/4 θα εκφράζεται ως εξής:

Οι αριθμοί 5/7 3/4 θα εκφραστούν ως εξής:

Ετσι,

Ένα άλλο παράδειγμα: 5/8 πολλαπλασιασμένο επί 4/9.

Το 1/9 της 5/8 είναι ,

Τα 4/9 του αριθμού 5/8 είναι .

Ετσι,

Από αυτά τα παραδείγματα μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο γινόμενο παρονομαστή του γινομένου.

Αυτός είναι ο κανόνας σε γενική εικόναμπορεί να γραφτεί ως εξής:

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι απαραίτητο να γίνουν (αν είναι δυνατόν) μειώσεις. Ας δούμε παραδείγματα:

5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.Δεδομένου ότι οι μικτοί αριθμοί μπορούν εύκολα να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα, αυτή η περίσταση χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι σε περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιαστής ή ο πολλαπλασιαστής ή και οι δύο συντελεστές εκφράζονται ως μικτοί αριθμοί, αντικαθίστανται από ακατάλληλα κλάσματα. Ας πολλαπλασιάσουμε, για παράδειγμα, μεικτούς αριθμούς: 2 1/2 και 3 1/5. Ας μετατρέψουμε το καθένα από αυτά ακατάλληλο κλάσμακαι στη συνέχεια θα πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:

Κανόνας.Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να τους πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων με τα κλάσματα.

Σημείωση.Εάν ένας από τους παράγοντες είναι ακέραιος, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τον νόμο κατανομής ως εξής:

6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.Όταν λύνουμε προβλήματα και εκτελούμε διάφορους πρακτικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε όλα τα είδη κλασμάτων. Αλλά πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι πολλές ποσότητες επιτρέπουν όχι οποιεσδήποτε, αλλά φυσικές διαιρέσεις γι 'αυτούς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε το ένα εκατοστό (1/100) του ρουβλίου, θα είναι καπίκια, τα δύο εκατοστά είναι 2 καπίκια, τα τρία εκατοστά είναι 3 καπίκια. Μπορείτε να πάρετε το 1/10 του ρουβλίου, θα είναι "10 καπίκια, ή ένα κομμάτι δέκα καπίκων. Μπορείτε να πάρετε το ένα τέταρτο του ρουβλίου, δηλαδή 25 καπίκια, μισό ρούβλι, δηλ. 50 καπίκια (πενήντα καπίκια). Αλλά πρακτικά δεν το παίρνουν, για παράδειγμα, τα 2/7 του ρούβλι επειδή το ρούβλι δεν χωρίζεται σε έβδομα.

Η μονάδα βάρους, δηλαδή το κιλό, επιτρέπει πρωτίστως τις δεκαδικές διαιρέσεις, για παράδειγμα 1/10 kg ή 100 g. Και τέτοια κλάσματα ενός κιλού όπως 1/6, 1/11, 1/13 δεν είναι κοινά.

Γενικά, τα (μετρικά) μέτρα μας είναι δεκαδικά και επιτρέπουν δεκαδικές διαιρέσεις.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμο και βολικό σε μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων να χρησιμοποιείται η ίδια (ομοιόμορφη) μέθοδος υποδιαίρεσης ποσοτήτων. Η πολυετής πείρα έχει δείξει ότι μια τόσο δικαιολογημένη διαίρεση είναι η «εκατοστή». Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με τους πιο διαφορετικούς τομείς της ανθρώπινης πρακτικής.

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12/100 της προηγούμενης τιμής.

Παράδειγμα. Η προηγούμενη τιμή του βιβλίου ήταν 10 ρούβλια. Μειώθηκε κατά 1 ρούβλι. 20 καπίκια

2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν στους καταθέτες τα 2/100 του ποσού που κατατέθηκε για αποταμίευση κατά τη διάρκεια του έτους.

Παράδειγμα. 500 ρούβλια κατατίθενται στο ταμείο, το εισόδημα από αυτό το ποσό για το έτος είναι 10 ρούβλια.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5/100 του συνόλου των μαθητών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στο σχολείο φοιτούσαν μόνο 1.200 μαθητές, εκ των οποίων οι 60 αποφοίτησαν.

Το εκατοστό μέρος ενός αριθμού ονομάζεται ποσοστό.

Η λέξη «τοις εκατό» είναι δανεισμένη από τα λατινικά και η ρίζα της «cent» σημαίνει εκατό. Μαζί με την πρόθεση (pro centum), αυτή η λέξη σημαίνει "για εκατό". Το νόημα μιας τέτοιας έκφρασης προκύπτει από το γεγονός ότι αρχικά στο αρχαία Ρώμητόκοι ήταν τα χρήματα που πλήρωνε ο οφειλέτης στον δανειστή «για κάθε εκατό». Η λέξη "cent" ακούγεται με τόσο γνωστές λέξεις: centner (εκατό κιλά), εκατοστό (ας πούμε εκατοστό).

Για παράδειγμα, αντί να πούμε ότι τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το 1/100 όλων των προϊόντων που παρήγαγε ήταν ελαττωματικά, θα πούμε το εξής: τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το ένα τοις εκατό των ελαττωμάτων. Αντί να πούμε: το εργοστάσιο παρήγαγε 4/100 περισσότερα προϊόντα από το καθορισμένο σχέδιο, θα πούμε: το εργοστάσιο υπερέβη το σχέδιο κατά 4 τοις εκατό.

Τα παραπάνω παραδείγματα μπορούν να εκφραστούν διαφορετικά:

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12 τοις εκατό της προηγούμενης τιμής.

2. Τα ταμιευτήρια πληρώνουν στους καταθέτες 2 τοις εκατό ετησίως επί του ποσού που κατατίθεται σε ταμιευτήριο.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5 τοις εκατό όλων των μαθητών του σχολείου.

Για να συντομεύσετε το γράμμα, είναι συνηθισμένο να γράφετε το σύμβολο % αντί της λέξης "ποσοστό".

Ωστόσο, πρέπει να θυμάστε ότι στους υπολογισμούς το σύμβολο % συνήθως δεν γράφεται· μπορεί να γραφτεί στη δήλωση προβλήματος και στο τελικό αποτέλεσμα. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα με παρονομαστή 100 αντί για έναν ακέραιο αριθμό με αυτό το σύμβολο.

Πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο εικονίδιο με ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

Αντίθετα, πρέπει να συνηθίσετε να γράφετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο σύμβολο αντί για ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού.

Εργασία 1.Το σχολείο έλαβε 200 κυβικά μέτρα. m καυσόξυλα, με τα καυσόξυλα σημύδας να αντιπροσωπεύουν το 30%. Πόσα καυσόξυλα σημύδας υπήρχαν;

Το νόημα αυτού του προβλήματος είναι ότι τα καυσόξυλα σημύδας αποτελούσαν μόνο μέρος των καυσόξυλων που παραδόθηκαν στο σχολείο και αυτό το μέρος εκφράζεται στο κλάσμα 30/100. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε καθήκον να βρούμε ένα κλάσμα ενός αριθμού. Για να το λύσουμε, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 200 με το 30/100 (τα προβλήματα εύρεσης του κλάσματος ενός αριθμού λύνονται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με το κλάσμα.).

Αυτό σημαίνει ότι το 30% των 200 ισούται με 60.

Το κλάσμα 30/100 που συναντάται σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί κατά 10. Θα ήταν δυνατό να γίνει αυτή η μείωση από την αρχή. η λύση του προβλήματος δεν θα είχε αλλάξει.

Εργασία 2.Στην κατασκήνωση βρίσκονταν 300 παιδιά διαφόρων ηλικιών. Τα παιδιά 11 ετών αποτελούσαν το 21%, τα παιδιά 12 ετών το 61% και τέλος τα παιδιά 13 ετών το 18%. Πόσα παιδιά κάθε ηλικίας υπήρχαν στην κατασκήνωση;

Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να εκτελέσετε τρεις υπολογισμούς, δηλαδή να βρείτε διαδοχικά τον αριθμό των παιδιών ηλικίας 11 ετών, μετά 12 ετών και τέλος 13 ετών.

Αυτό σημαίνει ότι εδώ θα χρειαστεί να βρείτε το κλάσμα του αριθμού τρεις φορές. Ας το κάνουμε:

1) Πόσα παιδιά 11 ετών ήταν εκεί;

2) Πόσα παιδιά 12 ετών ήταν εκεί;

3) Πόσα παιδιά 13 ετών ήταν εκεί;

Μετά την επίλυση του προβλήματος, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν. Το άθροισμά τους πρέπει να είναι 300:

63 + 183 + 54 = 300

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι το άθροισμα των ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος είναι 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Αυτό υποδηλώνει ότι συνολικός αριθμόςτα παιδιά στην κατασκήνωση θεωρήθηκαν ως 100%.

3 η η και η ώρα 3.Ο εργαζόμενος λάμβανε 1.200 ρούβλια το μήνα. Από αυτό ξόδεψε το 65% σε τρόφιμα, το 6% σε διαμερίσματα και θέρμανση, το 4% σε φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο, 10% σε πολιτιστικές ανάγκες και 15% εξοικονόμησε. Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για τις ανάγκες που αναφέρονται στο πρόβλημα;

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα πρέπει να βρείτε το κλάσμα του 1.200 5 φορές. Ας το κάνουμε αυτό.

1) Πόσα χρήματα ξοδεύτηκαν για φαγητό; Το πρόβλημα λέει ότι αυτή η δαπάνη είναι το 65% των συνολικών κερδών, δηλαδή 65/100 του αριθμού 1.200. Ας κάνουμε τον υπολογισμό:

2) Πόσα χρήματα πλήρωσες για ένα διαμέρισμα με θέρμανση; Συλλογίζοντας παρόμοια με την προηγούμενη, καταλήγουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:

3) Πόσα χρήματα πληρώσατε για φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο;

4) Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για πολιτιστικές ανάγκες;

5) Πόσα χρήματα εξοικονόμησε ο εργάτης;

Για να ελέγξετε, είναι χρήσιμο να αθροίσετε τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτές τις 5 ερωτήσεις. Το ποσό πρέπει να είναι 1.200 ρούβλια. Όλα τα κέρδη λαμβάνονται ως 100%, το οποίο είναι εύκολο να ελεγχθεί αθροίζοντας τους αριθμούς ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.

Επιλύσαμε τρία προβλήματα. Παρά το γεγονός ότι αυτά τα προβλήματα αντιμετώπιζαν διαφορετικά πράγματα (παράδοση καυσόξυλων για το σχολείο, αριθμός παιδιών διαφορετικών ηλικιών, έξοδα του εργάτη), λύθηκαν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συνέβη επειδή σε όλα τα προβλήματα ήταν απαραίτητο να βρούμε αρκετά τοις εκατό των δεδομένων αριθμών.

§ 90. Διαίρεση κλασμάτων.

Καθώς μελετάμε τη διαίρεση των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.
2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό
3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.
4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.
7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.

Όπως αναφέρθηκε στο τμήμα των ακεραίων, διαίρεση είναι η ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι, δεδομένου του γινόμενου δύο παραγόντων (μέρισμα) και ενός από αυτούς τους παράγοντες (διαιρέτης), βρίσκεται ένας άλλος παράγοντας.

Εξετάσαμε τη διαίρεση ενός ακέραιου με έναν ακέραιο στην ενότητα για τους ακέραιους αριθμούς. Συναντήσαμε δύο περιπτώσεις διαίρεσης εκεί: διαίρεση χωρίς υπόλοιπο ή «εν όλω» (150: 10 = 15) και διαίρεση με υπόλοιπο (100: 9 = 11 και 1 υπόλοιπο). Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι στο πεδίο των ακεραίων η ακριβής διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατή, γιατί το μέρισμα δεν είναι πάντα το γινόμενο του διαιρέτη με τον ακέραιο. Αφού εισαγάγουμε τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε πιθανή οποιαδήποτε περίπτωση διαίρεσης ακεραίων (αποκλείεται μόνο η διαίρεση με το μηδέν).

Για παράδειγμα, η διαίρεση του 7 με το 12 σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού του οποίου το γινόμενο με το 12 θα ήταν ίσο με 7. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το κλάσμα 7 / 12 επειδή 7 / 12 12 = 7. Ένα άλλο παράδειγμα: 14: 25 = 14 / 25, επειδή 14 / 25 25 = 14.

Έτσι, για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να δημιουργήσετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το μέρισμα και ο παρονομαστής ίσος με τον διαιρέτη.

2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό.

Διαιρέστε το κλάσμα 6 / 7 με 3. Σύμφωνα με τον ορισμό της διαίρεσης που δόθηκε παραπάνω, έχουμε εδώ το γινόμενο (6 / 7) και έναν από τους παράγοντες (3). απαιτείται να βρεθεί ένας δεύτερος παράγοντας που, πολλαπλασιαζόμενος με το 3, θα έδινε στο δεδομένο γινόμενο 6/7. Προφανώς, θα πρέπει να είναι τρεις φορές μικρότερο από αυτό το προϊόν. Αυτό σημαίνει ότι το καθήκον που τέθηκε μπροστά μας ήταν να μειώσουμε το κλάσμα 6/7 κατά 3 φορές.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η αναγωγή ενός κλάσματος μπορεί να γίνει είτε μειώνοντας τον αριθμητή του είτε αυξάνοντας τον παρονομαστή του. Επομένως, μπορείτε να γράψετε:

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής 6 διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμητής πρέπει να μειωθεί κατά 3 φορές.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα: 5 / 8 διαιρούμενο με 2. Εδώ ο αριθμητής 5 δεν διαιρείται με το 2, πράγμα που σημαίνει ότι ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό:

Με βάση αυτό, μπορεί να γίνει ένας κανόνας: Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον ακέραιο αριθμό.(αν είναι δυνατόν), αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή ή πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον ίδιο αριθμητή.

3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.

Ας είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε το 5 με το 1/2, δηλ. να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 1/2, θα δώσει το γινόμενο 5. Προφανώς, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το 5, αφού το 1/2 είναι σωστό κλάσμα , και κατά τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού το γινόμενο ενός σωστού κλάσματος πρέπει να είναι μικρότερο από το γινόμενο που πολλαπλασιάζεται. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, ας γράψουμε τις ενέργειές μας ως εξής: 5: 1 / 2 = Χ , που σημαίνει x 1 / 2 = 5.

Πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό Χ , το οποίο, αν πολλαπλασιαζόταν με το 1/2, θα έδινε 5. Εφόσον πολλαπλασιάζοντας έναν ορισμένο αριθμό με το 1/2 σημαίνει βρίσκοντας το 1/2 αυτού του αριθμού, τότε, επομένως, το 1/2 του αγνώστου αριθμού Χ ισούται με 5 και ακέραιος αριθμός Χ διπλάσια, δηλαδή 5 2 = 10.

Άρα 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Ας ελέγξουμε:

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε το 6 με τα 2/3. Ας προσπαθήσουμε πρώτα να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το σχέδιο (Εικ. 19).

Εικ.19

Ας σχεδιάσουμε ένα τμήμα ΑΒ ίσο με 6 μονάδες και διαιρούμε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Σε κάθε μονάδα, τα τρία τρίτα (3/3) ολόκληρου του τμήματος ΑΒ είναι 6 φορές μεγαλύτερα, δηλ. ε. 18/3. Χρησιμοποιώντας μικρές αγκύλες, συνδέουμε τα 18 προκύπτοντα τμήματα των 2. Θα υπάρχουν μόνο 9 τμήματα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 2/3 περιέχεται σε 6 μονάδες 9 φορές, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα 2/3 είναι 9 φορές μικρότερο από 6 ολόκληρες μονάδες. Ως εκ τούτου,

Πώς να πάρετε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς σχέδιο χρησιμοποιώντας μόνο υπολογισμούς; Ας σκεφτούμε ως εξής: πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με τα 2/3, δηλαδή πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση πόσες φορές το 2/3 περιέχεται στο 6. Ας μάθουμε πρώτα: πόσες φορές το 1/3 περιέχεται στο 6; Σε μια ολόκληρη μονάδα υπάρχουν 3 τρίτα, και σε 6 μονάδες υπάρχουν 6 φορές περισσότερα, δηλαδή 18 τρίτα. για να βρούμε αυτόν τον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 6 με το 3. Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 περιέχεται σε μονάδες b 18 φορές, και το 2/3 περιέχεται σε μονάδες b όχι 18 φορές, αλλά το μισό φορές, δηλαδή 18: 2 = 9 Επομένως, όταν διαιρούμε το 6 με τα 2/3 έχουμε συμπληρώσει τις ακόλουθες ενέργειες:

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον ακέραιο αριθμό με τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος και, κάνοντας αυτό το γινόμενο αριθμητή, να τον διαιρέσετε με τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38. Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος ελήφθη εκεί.

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 3/4 με το 3/8. Τι θα σημαίνει ο αριθμός που προκύπτει από τη διαίρεση; Θα απαντήσει στο ερώτημα πόσες φορές το κλάσμα 3/8 περιέχεται στο κλάσμα 3/4. Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 20).

Ας πάρουμε ένα τμήμα ΑΒ, το πάρουμε ως ένα, το χωρίσουμε σε 4 ίσα μέρη και σημαδέψουμε 3 τέτοια μέρη. Το τμήμα AC θα είναι ίσο με τα 3/4 του τμήματος AB. Ας διαιρέσουμε τώρα καθένα από τα τέσσερα αρχικά τμήματα στο μισό, τότε το τμήμα ΑΒ θα χωριστεί σε 8 ίσα μέρη και κάθε τέτοιο τμήμα θα είναι ίσο με το 1/8 του τμήματος ΑΒ. Ας συνδέσουμε 3 τέτοια τμήματα με τόξα, τότε κάθε ένα από τα τμήματα AD και DC θα είναι ίσο με τα 3/8 του τμήματος AB. Το σχέδιο δείχνει ότι ένα τμήμα ίσο με 3/8 περιέχεται σε ένα τμήμα ίσο με 3/4 ακριβώς 2 φορές. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 15/16 με το 3/32:

Μπορούμε να συλλογιστούμε ως εξής: πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 3/32, θα δώσει γινόμενο ίσο με 15/16. Ας γράψουμε τους υπολογισμούς ως εξής:

15 / 16: 3 / 32 = Χ

3 / 32 Χ = 15 / 16

3/32 άγνωστος αριθμός Χ είναι 15/16

1/32 άγνωστου αριθμού Χ είναι ,

32 / 32 αριθμοί Χ μακιγιάζ .

Ως εκ τούτου,

Έτσι, για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή, και το δεύτερο ο παρονομαστής.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

5. Διαίρεση μικτών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση μικτών αριθμών, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τους κανόνες διαίρεσης κλασματικοί αριθμοί. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ας μετατρέψουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:

Τώρα ας χωρίσουμε:

Έτσι, για να διαιρέσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων.

6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.

Μεταξύ των διαφόρων προβλημάτων κλασμάτων, μερικές φορές υπάρχουν και εκείνα στα οποία δίνεται η τιμή κάποιου κλάσματος ενός άγνωστου αριθμού και πρέπει να βρείτε αυτόν τον αριθμό. Αυτός ο τύπος προβλήματος θα είναι το αντίστροφο του προβλήματος της εύρεσης του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού. εκεί δόθηκε ένας αριθμός και απαιτήθηκε να βρεθεί κάποιο κλάσμα αυτού του αριθμού, εδώ δόθηκε ένα κλάσμα ενός αριθμού και έπρεπε να βρεθεί αυτός ο ίδιος ο αριθμός. Αυτή η ιδέα θα γίνει ακόμη πιο ξεκάθαρη αν στραφούμε στην επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος.

Εργασία 1.Την πρώτη μέρα οι υαλοπίνακες τζάμιασαν 50 παράθυρα, δηλαδή το 1/3 όλων των παραθύρων του χτισμένου σπιτιού. Πόσα παράθυρα υπάρχουν σε αυτό το σπίτι;

Λύση.Το πρόβλημα λέει ότι 50 τζάμια αποτελούν το 1/3 όλων των παραθύρων του σπιτιού, που σημαίνει ότι υπάρχουν 3 φορές περισσότερα παράθυρα συνολικά, δηλ.

Το σπίτι είχε 150 παράθυρα.

Εργασία 2.Το κατάστημα πούλησε 1.500 κιλά αλεύρι, δηλαδή τα 3/8 του συνολικού αποθέματος αλευριού που είχε το κατάστημα. Ποια ήταν η αρχική προσφορά του μαγαζιού σε αλεύρι;

Λύση.Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι τα 1.500 κιλά αλεύρι που πωλούνται αποτελούν τα 3/8 του συνολικού αποθέματος. Αυτό σημαίνει ότι το 1/8 αυτού του αποθεματικού θα είναι 3 φορές λιγότερο, δηλαδή για να το υπολογίσετε πρέπει να μειώσετε το 1500 κατά 3 φορές:

1.500: 3 = 500 (αυτό είναι το 1/8 του αποθεματικού).

Προφανώς, ολόκληρη η προσφορά θα είναι 8 φορές μεγαλύτερη. Ως εκ τούτου,

500 8 = 4.000 (κιλά).

Το αρχικό απόθεμα αλευριού στο κατάστημα ήταν 4.000 κιλά.

Από την εξέταση αυτού του προβλήματος, μπορεί να προκύψει ο ακόλουθος κανόνας.

Για να βρείτε έναν αριθμό από μια δεδομένη τιμή του κλάσματός του, αρκεί να διαιρέσετε αυτή την τιμή με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος.

Επιλύσαμε δύο προβλήματα σχετικά με την εύρεση ενός αριθμού με βάση το κλάσμα του. Τέτοια προβλήματα, όπως φαίνεται ξεκάθαρα από το τελευταίο, λύνονται με δύο ενέργειες: διαίρεση (όταν βρεθεί ένα μέρος) και πολλαπλασιασμός (όταν βρεθεί ο ακέραιος αριθμός).

Ωστόσο, αφού μάθουμε τη διαίρεση των κλασμάτων, τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να λυθούν με μία ενέργεια, δηλαδή: διαίρεση με κλάσμα.

Για παράδειγμα, η τελευταία εργασία μπορεί να λυθεί με μια ενέργεια ως εξής:

Στο μέλλον, θα λύσουμε προβλήματα εύρεσης ενός αριθμού από το κλάσμα του με μία ενέργεια - διαίρεση.

7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Σε αυτά τα προβλήματα θα χρειαστεί να βρείτε έναν αριθμό που γνωρίζει μερικά τοις εκατό αυτού του αριθμού.

Εργασία 1.Στις αρχές αυτού του έτους έλαβα 60 ρούβλια από το ταμιευτήριο. εισόδημα από το ποσό που έβαλα σε αποταμιεύσεις πριν από ένα χρόνο. Πόσα χρήματα έχω βάλει στο ταμιευτήριο; (Τα ταμεία δίνουν στους καταθέτες απόδοση 2% ετησίως.)

Το θέμα του προβλήματος είναι ότι έβαλα ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό σε ένα ταμιευτήριο και έμεινα εκεί για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο, έλαβα 60 ρούβλια από αυτήν. εισόδημα, που είναι τα 2/100 των χρημάτων που κατέθεσα. Πόσα χρήματα έβαλα;

Κατά συνέπεια, γνωρίζοντας μέρος αυτών των χρημάτων, που εκφράζεται με δύο τρόπους (σε ρούβλια και κλάσματα), πρέπει να βρούμε ολόκληρο το, άγνωστο ακόμη, ποσό. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο πρόβλημα εύρεσης ενός αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του. Τα παρακάτω προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:

Αυτό σημαίνει ότι κατατέθηκαν 3.000 ρούβλια στο ταμιευτήριο.

Εργασία 2.Οι ψαράδες εκπλήρωσαν το μηνιαίο πρόγραμμα κατά 64% σε δύο εβδομάδες, συγκομίζοντας 512 τόνους ψαριών. Ποιο ήταν το σχέδιό τους;

Από τις συνθήκες του προβλήματος γίνεται γνωστό ότι οι ψαράδες ολοκλήρωσαν μέρος του σχεδίου. Το τμήμα αυτό ισούται με 512 τόνους, που είναι το 64% του σχεδίου. Δεν γνωρίζουμε πόσοι τόνοι ψαριών πρέπει να προετοιμαστούν σύμφωνα με το σχέδιο. Η εύρεση αυτού του αριθμού θα είναι η λύση στο πρόβλημα.

Τέτοια προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:

Αυτό σημαίνει ότι σύμφωνα με το σχέδιο πρέπει να προετοιμαστούν 800 τόνοι ψαριών.

Εργασία 3.Το τρένο πήγε από τη Ρίγα στη Μόσχα. Όταν πέρασε το 276ο χιλιόμετρο, ένας από τους επιβάτες ρώτησε έναν διερχόμενο αγωγό πόσο από το ταξίδι είχαν ήδη διανύσει. Σε αυτό ο μαέστρος απάντησε: «Έχουμε ήδη καλύψει το 30% ολόκληρου του ταξιδιού». Ποια είναι η απόσταση Μόσχα - Ρίγα;

Από τις προβληματικές συνθήκες είναι σαφές ότι το 30% της διαδρομής από τη Ρίγα στη Μόσχα είναι 276 χλμ. Πρέπει να βρούμε ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων, δηλ., για αυτό το μέρος, βρείτε το σύνολο:

§ 91. Αριθμοί αμοιβαίοι. Αντικατάσταση διαίρεσης με πολλαπλασιασμό.

Ας πάρουμε το κλάσμα 2/3 και αντικαταστήσουμε τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή, παίρνουμε 3/2. Πήραμε το αντίστροφο αυτού του κλάσματος.

Για να λάβετε ένα κλάσμα που είναι το αντίστροφο ενός δεδομένου κλάσματος, πρέπει να βάλετε τον αριθμητή του στη θέση του παρονομαστή και τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πάρουμε το αντίστροφο οποιουδήποτε κλάσματος. Για παράδειγμα:

3/4, αντίστροφη 4/3; 5/6, αντίστροφη 6/5

Δύο κλάσματα που έχουν την ιδιότητα ότι ο αριθμητής του πρώτου είναι ο παρονομαστής του δεύτερου και ο παρονομαστής του πρώτου είναι ο αριθμητής του δεύτερου, λέγονται αμοιβαία αντίστροφα.

Ας σκεφτούμε τώρα ποιο κλάσμα θα είναι το αντίστροφο του 1/2. Προφανώς, θα είναι 2 / 1, ή απλώς 2. Αναζητώντας το αντίστροφο κλάσμα του δεδομένου, πήραμε έναν ακέραιο. Και αυτή η περίπτωση δεν είναι μεμονωμένη. Αντίθετα, για όλα τα κλάσματα με αριθμητή 1 (ένα), οι αντίστροφοι θα είναι ακέραιοι, για παράδειγμα:

1/3, αντίστροφη 3; 1/5, αντίστροφη 5

Εφόσον στην εύρεση των αμοιβαίων κλασμάτων συναντήσαμε και ακέραιους αριθμούς, στη συνέχεια δεν θα μιλήσουμε για αμοιβαία κλάσματα, αλλά για αμοιβαίοι αριθμοί.

Ας μάθουμε πώς να γράψουμε το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού. Για τα κλάσματα, αυτό μπορεί να λυθεί απλά: πρέπει να βάλετε τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε το αντίστροφο ενός ακέραιου, αφού οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να έχει παρονομαστή 1. Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του 7 θα είναι 1/7, επειδή 7 = 7/1. για τον αριθμό 10 το αντίστροφο θα είναι 1/10, αφού 10 = 10/1

Αυτή η ιδέα μπορεί να εκφραστεί διαφορετικά: το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού προκύπτει με διαίρεση του ενός με έναν δεδομένο αριθμό. Αυτή η δήλωση ισχύει όχι μόνο για ακέραιους αριθμούς, αλλά και για κλάσματα. Στην πραγματικότητα, αν χρειαστεί να γράψουμε το αντίστροφο του κλάσματος 5/9, τότε μπορούμε να πάρουμε το 1 και να το διαιρέσουμε με το 5/9, δηλ.

Τώρα ας επισημάνουμε ένα πράγμα ιδιοκτησίααμοιβαίοι αριθμοί, που θα μας φανούν χρήσιμοι: το γινόμενο των αντίστροφων αριθμών είναι ίσο με ένα.Πράγματι:

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε να βρούμε αμοιβαίους αριθμούς με τον ακόλουθο τρόπο. Ας πούμε ότι πρέπει να βρούμε το αντίστροφο του 8.

Ας το χαρακτηρίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 8 Χ = 1, επομένως Χ = 1/8. Ας βρούμε έναν άλλο αριθμό που είναι αντίστροφος του 7/12 και ας τον συμβολίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 7/12 Χ = 1, επομένως Χ = 1: 7 / 12 ή Χ = 12 / 7 .

Εισαγάγαμε εδώ την έννοια των αμοιβαίων αριθμών προκειμένου να συμπληρώσουμε ελαφρώς τις πληροφορίες σχετικά με τη διαίρεση των κλασμάτων.

Όταν διαιρέσουμε τον αριθμό 6 με τα 3/5, κάνουμε τα εξής:

Παρακαλώ πληρώστε Ιδιαίτερη προσοχήστην έκφραση και σύγκρινε με τη δεδομένη: .

Εάν πάρουμε την έκφραση χωριστά, χωρίς σύνδεση με την προηγούμενη, τότε είναι αδύνατο να λύσουμε το ερώτημα από πού προήλθε: από τη διαίρεση του 6 με 3/5 ή από τον πολλαπλασιασμό του 6 με το 5/3. Και στις δύο περιπτώσεις συμβαίνει το ίδιο. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι η διαίρεση ενός αριθμού με έναν άλλο μπορεί να αντικατασταθεί πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Τα παραδείγματα που δίνουμε παρακάτω επιβεβαιώνουν πλήρως αυτό το συμπέρασμα.

Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (βλ. μάθημα «Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων»). Το πιο δύσκολο μέρος αυτών των ενεργειών ήταν να φέρουν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.

Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Καλα ΝΕΑείναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμη πιο απλές από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, ας δούμε απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διαχωρισμένο ακέραιο μέρος.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο κλάσμα.

Ονομασία:

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται στον πολλαπλασιασμό. Για να «αναποδογυρίσετε» ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, σε όλο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα αναγώγιμο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - αυτό, φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν μετά από όλες τις μειώσεις το κλάσμα αποδειχθεί λανθασμένο, θα πρέπει να τονιστεί ολόκληρο το τμήμα. Αλλά αυτό που σίγουρα δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρωμένες μεθόδους, μεγαλύτερους παράγοντες και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Εξ ορισμού έχουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ολόκληρα μέρη και αρνητικά κλάσματα

Εάν τα κλάσματα περιέχουν ένα ακέραιο μέρος, πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.

Εάν υπάρχει ένα μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τον πολλαπλασιασμό ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

  1. Συν με πλην δινει πλην?
  2. Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.

Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες υπήρχαν μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν ήταν απαραίτητο να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα έργο, μπορούν να γενικευτούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:

  1. Διαγράφουμε τα αρνητικά ανά δύο μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε ακραίες περιπτώσεις, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό για το οποίο δεν υπήρχε σύντροφος.
  2. Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Εάν το τελευταίο μείον δεν διαγραφεί επειδή δεν υπήρχε ζεύγος για αυτό, το βγάζουμε εκτός των ορίων πολλαπλασιασμού. Το αποτέλεσμα είναι ένα αρνητικό κλάσμα.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Μετατρέπουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά αφαιρούμε τα πλην από τον πολλαπλασιασμό. Πολλαπλασιάζουμε ό,τι απομένει σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:

Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που εμφανίζεται μπροστά από ένα κλάσμα με τονισμένο ολόκληρο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο σε ολόκληρο το τμήμα του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).

Προσοχή επίσης στους αρνητικούς αριθμούς: όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε παρένθεση. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει όλος ο συμβολισμός πιο ακριβής.

Μείωση κλασμάτων εν κινήσει

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πράξη που απαιτεί πολύ κόπο. Οι αριθμοί εδώ αποδεικνύονται αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε το πρόβλημα, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε περαιτέρω το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Εξ ορισμού έχουμε:

Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι απομένει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Σημείωση: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Στη θέση τους παραμένουν ενότητες που, γενικά, δεν χρειάζεται να γραφτούν. Στο δεύτερο παράδειγμα, δεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί πλήρης μείωση, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.

Ωστόσο, μην χρησιμοποιείτε ποτέ αυτή την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:

Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!

Το σφάλμα παρουσιάζεται επειδή κατά την πρόσθεση, ο αριθμητής ενός κλάσματος παράγει ένα άθροισμα, όχι ένα γινόμενο αριθμών. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, αφού σε αυτήν την ιδιότητα μιλάμε γιασυγκεκριμένα για τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Απλώς δεν υπάρχουν άλλοι λόγοι για τη μείωση των κλασμάτων, έτσι σωστή λύσηη προηγούμενη εργασία μοιάζει με αυτό:

Σωστή λύση:

Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν και τόσο όμορφη. Γενικά, να είστε προσεκτικοί.

Για να λύσετε διάφορα προβλήματα από μαθήματα μαθηματικών και φυσικής, πρέπει να διαιρέσετε κλάσματα. Είναι πολύ εύκολο να το κάνεις αν ξέρεις ορισμένους κανόνεςεκτελέστε αυτή τη μαθηματική πράξη.

Πριν προχωρήσουμε στη διατύπωση του κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων, ας θυμηθούμε μερικούς μαθηματικούς όρους:

  1. Το πάνω μέρος του κλάσματος ονομάζεται αριθμητής και το κάτω μέρος ονομάζεται παρονομαστής.
  2. Κατά τη διαίρεση, οι αριθμοί καλούνται ως εξής: μέρισμα: διαιρέτης = πηλίκο

Πώς να διαιρέσετε τα κλάσματα: απλά κλάσματα

Για να διαιρέσετε δύο απλά κλάσματα, πολλαπλασιάστε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη. Αυτό το κλάσμα ονομάζεται επίσης ανεστραμμένο επειδή προκύπτει με εναλλαγή αριθμητή και παρονομαστή. Για παράδειγμα:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Πώς να διαιρέσετε τα κλάσματα: μικτά κλάσματα

Αν πρέπει να διαιρέσουμε μικτά κλάσματα, τότε όλα εδώ είναι επίσης αρκετά απλά και ξεκάθαρα. Αρχικά, μετατρέπουμε το μικτό κλάσμα σε κανονικό ακατάλληλο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή ενός τέτοιου κλάσματος με έναν ακέραιο και προσθέστε τον αριθμητή στο γινόμενο που προκύπτει. Ως αποτέλεσμα, έχουμε έναν νέο αριθμητή μικτό κλάσμα, και ο παρονομαστής του θα παραμείνει αμετάβλητος. Περαιτέρω, η διαίρεση των κλασμάτων θα πραγματοποιηθεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως η διαίρεση των απλών κλασμάτων. Για παράδειγμα:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Πώς να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Για να διαιρεθεί απλό κλάσμασε έναν αριθμό, ο τελευταίος πρέπει να γράφεται ως κλάσμα (ακανόνιστος). Αυτό είναι πολύ εύκολο να γίνει: αυτός ο αριθμός γράφεται στη θέση του αριθμητή και ο παρονομαστής ενός τέτοιου κλάσματος είναι ίσος με ένα. Η περαιτέρω διαίρεση πραγματοποιείται με τον συνήθη τρόπο. Ας το δούμε αυτό με ένα παράδειγμα:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά

Συχνά ένας ενήλικας δυσκολεύεται να διαιρέσει έναν ακέραιο αριθμό ή ένα δεκαδικό κλάσμα με ένα δεκαδικό κλάσμα χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής.

Έτσι για να γίνει η διαίρεση δεκαδικά, απλά πρέπει να διαγράψετε το κόμμα στον διαιρέτη και να σταματήσετε να δίνετε προσοχή σε αυτό. Στο μέρισμα, το κόμμα πρέπει να μετακινηθεί προς τα δεξιά ακριβώς τόσες θέσεις όσες ήταν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη, προσθέτοντας μηδενικά εάν χρειάζεται. Και μετά εκτελούν τη συνήθη διαίρεση με έναν ακέραιο. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.

Τ τύπος μαθήματος: ONZ (ανακάλυψη νέας γνώσης - χρησιμοποιώντας την τεχνολογία της μεθόδου διδασκαλίας βάσει δραστηριοτήτων).

Βασικοί στόχοι:

  1. Να αντλήσετε τεχνικές για τη διαίρεση των κλασμάτων με φυσικός αριθμός;
  2. Αναπτύξτε την ικανότητα να διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό.
  3. Επαναλάβετε και ενισχύστε τη διαίρεση των κλασμάτων.
  4. Εκπαιδεύστε την ικανότητα μείωσης κλασμάτων, ανάλυσης και επίλυσης προβλημάτων.

Υλικό επίδειξης εξοπλισμού:

1. Εργασίες ενημέρωσης γνώσεων:

Συγκρίνετε εκφράσεις:

Αναφορά:

2. Δοκιμαστική (ατομική) εργασία.

1. Εκτελέστε διαίρεση:

2. Εκτελέστε διαίρεση χωρίς να εκτελέσετε ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών: .

Πρότυπα:

  • Όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αλλά να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

  • Εάν ο αριθμητής διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό, τότε όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με αυτόν τον αριθμό, μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

I. Κίνητρο (αυτοδιάθεση) για να εκπαιδευτικές δραστηριότητες.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Οργανώστε την ενημέρωση των απαιτήσεων για τον μαθητή όσον αφορά τις εκπαιδευτικές δραστηριότητες («πρέπει»).
  2. Οργανώστε τις δραστηριότητες των μαθητών για τη δημιουργία θεματικών πλαισίων («μπορώ»).
  3. Δημιουργήστε συνθήκες ώστε ο μαθητής να αναπτύξει μια εσωτερική ανάγκη για ένταξη σε εκπαιδευτικές δραστηριότητες («θέλω»).

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο Ι.

Γειά σου! Χαίρομαι που σας βλέπω όλους στο μάθημα των μαθηματικών. Ελπίζω να είναι αμοιβαίο.

Παιδιά, τι νέες γνώσεις αποκτήσατε στο τελευταίο μάθημα; (Διαιρέστε τα κλάσματα).

Σωστά. Τι σας βοηθά να κάνετε τη διαίρεση των κλασμάτων; (Κανόνας, ιδιότητες).

Πού χρειαζόμαστε αυτή τη γνώση; (Σε παραδείγματα, εξισώσεις, προβλήματα).

Μπράβο! Τα πήγατε καλά στις εργασίες στο τελευταίο μάθημα. Θέλετε να ανακαλύψετε μόνοι σας νέες γνώσεις σήμερα; (Ναί).

Τότε - πάμε! Και το σύνθημα του μαθήματος θα είναι η δήλωση "Δεν μπορείς να μάθεις μαθηματικά βλέποντας τον γείτονά σου να τα κάνει!"

II. Ενημέρωση γνώσεων και επίλυση μεμονωμένων δυσκολιών σε μια δοκιμαστική ενέργεια.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Οργανώστε την ενημέρωση των μαθησιακών μεθόδων δράσης επαρκείς για την οικοδόμηση νέας γνώσης. Καταγράψτε αυτές τις μεθόδους προφορικά (στον λόγο) και συμβολικά (τυπικό) και γενικεύστε τις.
  2. Οργανώστε την πραγματοποίηση νοητικών λειτουργιών και γνωστικών διαδικασιών επαρκών για την κατασκευή νέας γνώσης.
  3. κίνητρο για μια δοκιμαστική ενέργεια και την ανεξάρτητη εφαρμογή και αιτιολόγησή της.
  4. Παρουσιάστε μια μεμονωμένη εργασία για μια δοκιμαστική ενέργεια και αναλύστε την προκειμένου να εντοπίσετε νέο εκπαιδευτικό περιεχόμενο.
  5. Οργανώστε τη στερέωση του εκπαιδευτικού στόχου και του θέματος του μαθήματος.
  6. Οργανώστε την υλοποίηση μιας δοκιμαστικής ενέργειας και διορθώστε τη δυσκολία.
  7. Οργανώστε μια ανάλυση των απαντήσεων που ελήφθησαν και καταγράψτε μεμονωμένες δυσκολίες στην εκτέλεση μιας δοκιμαστικής ενέργειας ή στην αιτιολόγησή της.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο II.

Μπροστά, με χρήση tablet (ατομικοί πίνακες).

1. Συγκρίνετε εκφράσεις:

(Αυτές οι εκφράσεις είναι ίσες)

Τι ενδιαφέροντα πράγματα προσέξατε; (Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του μερίσματος, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του διαιρέτη σε κάθε παράσταση αυξάνονται κατά τον ίδιο αριθμό φορές. Έτσι, τα μερίσματα και οι διαιρέτες στις εκφράσεις παριστάνονται με κλάσματα που είναι ίσα μεταξύ τους).

Βρείτε το νόημα της έκφρασης και γράψτε το στο tablet σας. (2)

Πώς μπορώ να γράψω αυτόν τον αριθμό ως κλάσμα;

Πώς εκτελέσατε τη δράση της διαίρεσης; (Τα παιδιά προφέρουν τον κανόνα, ο δάσκαλος αναρτά σύμβολα γραμμάτων στον πίνακα)

2. Υπολογίστε και καταγράψτε μόνο τα αποτελέσματα:

3. Προσθέστε τα αποτελέσματα και γράψτε την απάντηση. (2)

Ποιο είναι το όνομα του αριθμού που λήφθηκε στην εργασία 3; (Φυσικός)

Πιστεύετε ότι μπορείτε να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ναι, θα προσπαθήσουμε)

Δοκιμάστε αυτό.

4. Ατομική (δοκιμαστική) εργασία.

Εκτέλεση διαίρεσης: (μόνο για παράδειγμα)

Ποιον κανόνα χρησιμοποιήσατε για να διαιρέσετε; (Σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των κλασμάτων με τα κλάσματα)

Τώρα διαιρέστε το κλάσμα με φυσικό αριθμό μεγαλύτερο από με απλό τρόπο, χωρίς να πραγματοποιηθεί ολόκληρη η αλυσίδα υπολογισμών: (παράδειγμα β). Θα σου δώσω 3 δευτερόλεπτα για αυτό.

Ποιος δεν μπόρεσε να ολοκληρώσει την εργασία σε 3 δευτερόλεπτα;

Ποιος το έκανε? (δεν υπάρχουν τέτοια)

Γιατί; (Δεν ξέρουμε τον τρόπο)

Τι πήρες? (Δυσκολία)

Τι πιστεύετε ότι θα κάνουμε στην τάξη; (Διαιρέστε τα κλάσματα με φυσικούς αριθμούς)

Σωστά, ανοίξτε τα τετράδιά σας και σημειώστε το θέμα του μαθήματος: «Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό».

Γιατί αυτό το θέμα ακούγεται νέο όταν ξέρετε ήδη πώς να διαιρείτε τα κλάσματα; (Χρειάζομαι έναν νέο τρόπο)

Σωστά. Σήμερα θα καθιερώσουμε μια τεχνική που απλοποιεί τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

III. Προσδιορισμός της τοποθεσίας και της αιτίας του προβλήματος.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Οργανώστε την αποκατάσταση των ολοκληρωμένων εργασιών και καταγράψτε (λεκτικά και συμβολικά) το μέρος - βήμα, λειτουργία - όπου προέκυψε η δυσκολία.
  2. Οργανώστε τη συσχέτιση των ενεργειών των μαθητών με τη μέθοδο (αλγόριθμο) που χρησιμοποιείται και την καθήλωση στην εξωτερική ομιλία της αιτίας της δυσκολίας - των συγκεκριμένων γνώσεων, δεξιοτήτων ή ικανοτήτων που λείπουν για την επίλυση του αρχικού προβλήματος αυτού του τύπου.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο III.

Ποια εργασία έπρεπε να ολοκληρώσετε; (Διαιρέστε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χωρίς να περάσετε από ολόκληρη την αλυσίδα των υπολογισμών)

Τι σας δυσκόλεψε; (Δεν μπορούσα να αποφασίσω για για λίγογρήγορος τρόπος)

Τι στόχο βάζουμε στον εαυτό μας στο μάθημα; (Εύρημα γρήγορος τρόποςδιαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό)

Τι θα σε βοηθήσει; (Ήδη γνωστός κανόναςδιαίρεση κλασμάτων)

IV. Χτίζοντας ένα έργο για την έξοδο από ένα πρόβλημα.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Αποσαφήνιση του στόχου του έργου.
  2. Επιλογή μεθόδου (διευκρίνιση).
  3. Προσδιορισμός μέσων (αλγόριθμος);
  4. Χτίζοντας ένα σχέδιο για την επίτευξη του στόχου.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο IV.

Ας επιστρέψουμε στην δοκιμαστική εργασία. Είπατε ότι μοιράσατε σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων; (Ναί)

Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε τον φυσικό αριθμό με ένα κλάσμα; (Ναί)

Ποιο βήμα (ή βήματα) πιστεύετε ότι μπορεί να παραλειφθεί;

(Η αλυσίδα της λύσης είναι ανοιχτή στον πίνακα:

Αναλύστε και βγάλτε συμπέρασμα. (Βήμα 1)

Εάν δεν υπάρχει απάντηση, τότε σας οδηγούμε σε ερωτήσεις:

Πού πήγε ο φυσικός διαιρέτης; (Στον παρονομαστή)

Έχει αλλάξει ο αριθμητής; (Οχι)

Ποιο βήμα λοιπόν μπορείτε να «παραλείψετε»; (Βήμα 1)

Σχέδιο δράσης:

  • Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
  • Δεν αλλάζουμε τον αριθμητή.
  • Παίρνουμε ένα νέο κλάσμα.

V. Υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Οργάνωση επικοινωνιακής αλληλεπίδρασης για την υλοποίηση του κατασκευασμένου έργου με στόχο την απόκτηση της γνώσης που λείπει.
  2. Οργανώστε την καταγραφή της κατασκευασμένης μεθόδου δράσης στην ομιλία και τα σημάδια (χρησιμοποιώντας ένα πρότυπο).
  3. Οργανώστε τη λύση στο αρχικό πρόβλημα και καταγράψτε πώς να ξεπεράσετε τη δυσκολία.
  4. Οργάνωσε διευκρίνιση γενικόςνέα γνώση.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο V.

Τώρα εκτελέστε γρήγορα τη δοκιμαστική θήκη με νέο τρόπο.

Τώρα μπορέσατε να ολοκληρώσετε γρήγορα την εργασία; (Ναί)

Εξηγήστε πώς το κάνατε αυτό; (Τα παιδιά μιλούν)

Αυτό σημαίνει ότι έχουμε αποκτήσει νέα γνώση: τον κανόνα για τη διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Μπράβο! Πείτε το ανά δύο.

Στη συνέχεια ένας μαθητής μιλάει στην τάξη. Διορθώνουμε τον κανόνα-αλγόριθμο προφορικά και με τη μορφή προτύπου στον πίνακα.

Τώρα εισάγετε τους χαρακτηρισμούς των γραμμάτων και σημειώστε τον τύπο για τον κανόνα μας.

Ο μαθητής γράφει στον πίνακα, λέγοντας τον κανόνα: όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αλλά να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

(Όλοι γράφουν τον τύπο στο τετράδιό τους).

Τώρα αναλύστε ξανά την αλυσίδα επίλυσης της δοκιμαστικής εργασίας, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στην απάντηση. Τι έκανες; (Ο αριθμητής του κλάσματος 15 διαιρέθηκε (μειώθηκε) με τον αριθμό 3)

Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; (Φυσικό, διαιρέτης)

Πώς αλλιώς μπορείτε λοιπόν να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό; (Ελέγξτε: εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με αυτόν τον φυσικό αριθμό, τότε μπορείτε να διαιρέσετε τον αριθμητή με αυτόν τον αριθμό, να γράψετε το αποτέλεσμα στον αριθμητή του νέου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο)

Καταγράψτε αυτή τη μέθοδο ως τύπο. (Ο μαθητής γράφει τον κανόνα στον πίνακα ενώ τον προφέρει. Όλοι γράφουν τον τύπο στο τετράδιό τους.)

Ας επιστρέψουμε στην πρώτη μέθοδο. Μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε εάν a:n? (Ναι, αυτός είναι ο γενικός τρόπος)

Και πότε είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο; (Όταν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό χωρίς υπόλοιπο)

VI. Πρωτογενής εμπέδωση με προφορά στον εξωτερικό λόγο.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Οργανώστε την αφομοίωση των παιδιών μιας νέας μεθόδου δράσης κατά την επίλυση τυπικών προβλημάτων με την προφορά τους στην εξωτερική ομιλία (μετωπικά, σε ζευγάρια ή ομάδες).

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VI.

Υπολογίστε με νέο τρόπο:

  • Αρ. 363 (α; δ) - εκτελείται στο ταμπλό, εκφωνώντας τον κανόνα.
  • Νο. 363 (ε; στ) - σε ζεύγη με έλεγχο σύμφωνα με το δείγμα.

VII. Ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο σύμφωνα με το πρότυπο.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Οργανώστε την ανεξάρτητη ολοκλήρωση εργασιών από τους μαθητές για έναν νέο τρόπο δράσης.
  2. Οργανώστε τον αυτοέλεγχο με βάση τη σύγκριση με το πρότυπο.
  3. Με βάση τα αποτελέσματα της ανεξάρτητης εργασίας, οργανώστε έναν προβληματισμό σχετικά με την αφομοίωση μιας νέας μεθόδου δράσης.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VII.

Υπολογίστε με νέο τρόπο:

  • Νο. 363 (β; γ)

Οι μαθητές ελέγχουν το πρότυπο και σημειώνουν την ορθότητα της εκτέλεσης. Τα αίτια των σφαλμάτων αναλύονται και τα λάθη διορθώνονται.

Ο δάσκαλος ρωτά όσους μαθητές έκαναν λάθη, ποιος είναι ο λόγος;

Σε αυτό το στάδιο, είναι σημαντικό κάθε μαθητής να ελέγχει ανεξάρτητα την εργασία του.

VIII. Ένταξη στο σύστημα γνώσης και επανάληψη.

Σκοπός της σκηνής:

  1. Οργανώστε τον προσδιορισμό των ορίων εφαρμογής της νέας γνώσης.
  2. Οργανώστε την επανάληψη του εκπαιδευτικού περιεχομένου που είναι απαραίτητο για τη διασφάλιση ουσιαστικής συνέχειας.

Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο VIII.

  • Οργανώστε την καταγραφή των ανεπίλυτων δυσκολιών στο μάθημα ως κατεύθυνση για μελλοντικές εκπαιδευτικές δραστηριότητες.
  • Οργανώστε μια συζήτηση και καταγραφή των εργασιών για το σπίτι.

    • Οργάνωση της εκπαιδευτικής διαδικασίας στο στάδιο ΙΧ.

    1. Διάλογος:

    Παιδιά, τι νέα γνώση ανακαλύψατε σήμερα; (Έμαθα πώς να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό με απλό τρόπο)

    Διατυπώστε μια γενική μέθοδο. (Λένε)

    Με ποιον τρόπο και σε ποιες περιπτώσεις μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε; (Λένε)

    Ποιο είναι το πλεονέκτημα της νέας μεθόδου;

    Πετύχαμε το στόχο του μαθήματός μας; (Ναί)

    Ποιες γνώσεις χρησιμοποιήσατε για να πετύχετε τον στόχο σας; (Λένε)

    Σου πήγαν όλα;

    Ποιες ήταν οι δυσκολίες;

    2. Εργασία για το σπίτι: ρήτρα 3.2.4. Νο. 365 (1, η, ο, ρ); Νο. 370.

    3. Δάσκαλος:Χαίρομαι που όλοι ήταν ενεργοί σήμερα και κατάφεραν να βρουν μια διέξοδο από τη δυσκολία. Και το πιο σημαντικό, δεν ήταν γείτονες όταν άνοιξαν ένα νέο και το ίδρυσαν. Ευχαριστώ για το μάθημα παιδιά!

    Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

    Προσοχή!
    Υπάρχουν επιπλέον
    υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
    Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
    Και για όσους «πολύ…»)

    Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Ως υπενθύμιση, για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:

    Για παράδειγμα:

    Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν τον χρειάζεται εδώ...

    Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αντιστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:

    Για παράδειγμα:

    Αν συναντήσετε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με ακέραιους και κλάσματα, είναι εντάξει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με ένα στον παρονομαστή - και προχωράμε! Για παράδειγμα:

    Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:

    Πώς μπορώ να κάνω αυτό το κλάσμα να φαίνεται αξιοπρεπές; Ναι, πολύ απλό! Χρησιμοποιήστε διαίρεση δύο σημείων:

    Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά είναι εύκολο να κάνεις ένα λάθος σε ένα κλάσμα τριών ορόφων. Σημειώστε για παράδειγμα:

    Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):

    Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):

    Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!

    Τι καθορίζει τη σειρά διαίρεσης; Είτε με αγκύλες, είτε (όπως εδώ) με το μήκος οριζόντιων γραμμών. Αναπτύξτε το μάτι σας. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:

    μετά διαιρέστε και πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!

    Και μια άλλη πολύ απλή και σημαντική τεχνική. Σε δράσεις με πτυχία, θα σας είναι τόσο χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε το ένα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:

    Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και αυτό συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανάποδα.

    Αυτό είναι για πράξεις με κλάσματα. Το θέμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Σημείωση πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!

    Πρακτικές συμβουλές:

    1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Αυτά δεν είναι γενικά λόγια, δεν είναι καλές ευχές! Αυτό είναι επιτακτική ανάγκη! Κάνετε όλους τους υπολογισμούς για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους ως μια ολοκληρωμένη εργασία, εστιασμένη και ξεκάθαρη. Είναι καλύτερα να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές στο προσχέδιό σας παρά να ανακατεύεστε όταν κάνετε νοητικούς υπολογισμούς.

    2. Σε παραδείγματα με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα - μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.

    3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να σταματήσουν.

    4. Μειώνουμε τις πολυεπίπεδες κλασματικές εκφράσεις σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (ακολουθούμε τη σειρά διαίρεσης!).

    5. Διαιρέστε μια μονάδα με ένα κλάσμα στο κεφάλι σας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.

    Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει οπωσδήποτε να ολοκληρώσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά για αυτό το θέμα και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα μπορέσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα...

    Θυμηθείτε - η σωστή απάντηση είναι που έλαβε από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.

    Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται ήδη για προετοιμασία για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους. Λύνουμε το παράδειγμα, το ελέγχουμε, λύνουμε το επόμενο. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από την πρώτη έως την τελευταία. Αλλά μόνο Επειτακοιτάξτε τις απαντήσεις.

    Υπολογίζω:

    Εχεις αποφασίσει?

    Αναζητούμε απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα επίτηδες άτακτα, μακριά από πειρασμούς, ας πούμε... Ιδού, οι απαντήσεις, γραμμένες με άνω τελείες.

    0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

    Τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πάνε καλά, χαίρομαι για σένα! Οι βασικοί υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι...

    Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά αυτό διαλυτός Προβλήματα.

    Αν σας αρέσει αυτό το site...

    Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

    Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

    Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.