Ας υπάρχει τετράγωνη μήτραΑ μεγέθους n x n.
Ορισμός.Η ορίζουσα είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των πιθανών γινομένων στοιχείων, που λαμβάνονται ένα από κάθε στήλη και κάθε γραμμή του πίνακα Α. Εάν σε κάθε τέτοιο γινόμενο (όρος της ορίζουσας) οι παράγοντες είναι διατεταγμένοι με τη σειρά των στηλών (δηλαδή, οι δεύτεροι δείκτες των στοιχείων a ij στο γινόμενο είναι διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά), τότε με το πρόσημο (+) αυτοί λαμβάνονται προϊόντα των οποίων η μετάθεση των πρώτων δεικτών είναι άρτια και με πρόσημο (-) – αυτά για τα οποία είναι περιττή.
.
Εδώ είναι ο αριθμός των αντιστροφών στη μετάθεση των δεικτών i 1, i 2, …, i n.

Μέθοδοι εύρεσης καθοριστικών παραγόντων

1. Προσδιοριστής μιας μήτρας ανά γραμμή και επέκταση στήλης μέσω δευτερευόντων.
2. Καθοριστής με μέθοδο αναγωγής σε τριγωνική μορφή (μέθοδος Gauss)

Ιδιότητα προσδιοριστικών παραγόντων

1. Όταν ένας πίνακας μεταφέρεται, ο προσδιοριστής του δεν αλλάζει.
2. Εάν ανταλλάξετε δύο σειρές ή δύο στήλες μιας ορίζουσας, η ορίζουσα θα αλλάξει πρόσημο και απόλυτη τιμήΔεν θα αλλάξει.
3. Έστω C = AB όπου τα Α και Β είναι τετράγωνοι πίνακες. Τότε detC = detA ∙ detB.
4. Μια ορίζουσα με δύο ίδιες γραμμές ή δύο ίδιες στήλες είναι ίση με 0. Εάν όλα τα στοιχεία μιας συγκεκριμένης γραμμής ή στήλης είναι ίσα με μηδέν, τότε η ίδια η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.
5. Μια ορίζουσα με δύο αναλογικές σειρές ή στήλες είναι 0.
6. Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων. Η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο.
7. Αν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (στήλης) πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η ορίζουσα θα πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό.
8. Εάν κάθε στοιχείο μιας ορισμένης σειράς (στήλης) μιας ορίζουσας παρουσιάζεται ως άθροισμα δύο όρων, τότε η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα δύο οριζόντων, στις οποίες όλες οι σειρές (στήλες) εκτός από αυτήν είναι ίδιες, και σε αυτή η σειρά (στήλη) η πρώτη ορίζουσα είναι η πρώτη και στη δεύτερη - οι δεύτεροι όροι.
9. Θεώρημα Jacobi: Αν στα στοιχεία μιας ορισμένης στήλης της ορίζουσας προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης στήλης, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο παράγοντα λ, τότε η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει.

Έτσι, η ορίζουσα του πίνακα παραμένει αμετάβλητη εάν:

• Μεταφορά μήτρας?
• προσθέστε σε οποιαδήποτε συμβολοσειρά μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με οποιονδήποτε αριθμό.

Ασκηση 1. Υπολογίστε την ορίζουσα επεκτείνοντάς την ανά γραμμή ή στήλη.
Λύση :xml :xls
Παράδειγμα 1 :xml :xls

Εργασία 2. Υπολογίστε την ορίζουσα με δύο τρόπους: α) χρησιμοποιώντας τον κανόνα «τρίγωνα». β) επέκταση κατά μήκος μιας γραμμής.

Λύση.
α) Οι όροι που περιλαμβάνονται στο αρνητικό πρόσημο κατασκευάζονται με τον ίδιο τρόπο ως προς την πλευρική διαγώνιο.

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

=

= 2 0 0 - 2 4 2 - (-1) 2 0 + (-1) 1 2 + (-2) 2 4 - (-2) 1 0 = -34
β) Γράφουμε τον πίνακα με τη μορφή:

Α=

2 2 1 -1 0 4 -2 2 0

Κύριος καθοριστικός παράγοντας:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34

Εργασία 3. Υποδείξτε τι ισούται με την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα Α τέταρτης τάξης εάν η κατάταξή του r(A)=1.
Απάντηση: det(A) = 0.

Διάλεξη 2.προκριματικά

Ορίζοντες δεύτερης τάξης

Ορίζοντες τρίτης τάξης

Αλγεβρικά συμπληρώματα και δευτερεύοντα

Επέκταση της ορίζουσας ανά γραμμή ή στήλη

Ιδιότητες καθοριστικών παραγόντων

αντίστροφη μήτρα

Ιδιότητες αντίστροφου πίνακα

1. Ορίζουσες δεύτερης τάξης

Εισάγεται η έννοια της ορίζουσας μόνο για τετράγωνο πίνακα.

Καθοριστικόςείναι ένας αριθμός που υπολογίζεται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Καθοριστική σειράείναι η σειρά του τετραγωνικού πίνακα. Εάν χρησιμοποιήθηκαν στρογγυλές αγκύλες για τον καθορισμό πινάκων, τότε στη θεωρία των προσδιοριστικών χρησιμοποιούνται ευθείες αγκύλες.

Ας συσχετίσουμε κάθε τετράγωνο πίνακα με έναν συγκεκριμένο αριθμό, τον οποίο θα καλέσουμε ορίζουσα του πίνακα,και να υποδείξετε τον κανόνα για τον υπολογισμό του. Ονομασίες :

.

Παράδειγμα 1.
.

2. Ορίζοντες τρίτης τάξης

Κάθε προϊόν δεν περιέχει αριθμούς από μία στήλη ή μία σειρά.

Ας δώσουμε ένα διάγραμμα για την απομνημόνευση της σειράς λήψης όρων στην ορίζουσα.

Το γινόμενο των αριθμών σε μια διαγώνιο λαμβάνεται με το σύμβολο "+" (αυτή είναι η κύρια διαγώνιος του πίνακα), και από την άλλη - με το αντίθετο πρόσημο.

Παράδειγμα 2.

3. Αλγεβρικά συμπληρώματα και δευτερεύοντα

Για τον υπολογισμό ορίζουσες τάξης μεγαλύτερης από τρεις, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι υπολογισμού.

Παράδειγμα 3.Ανήλικος
καθοριστικός Υπάρχει.

.

Είναι χρήσιμο να το θυμάστε αυτό
Και
.

Παράδειγμα 4.Στο παράδειγμα 3, η αλγεβρική πρόσθεση

4. Επέκταση της ορίζουσας σε γραμμή ή στήλη

Υπολογισμός της ορίζουσας Η σειρά μπορεί να αναχθεί στον υπολογισμό των καθοριστικών παραγόντων της σειράς
χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους.

Αυτός ο αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των γινομένων στοιχείαόποιος ουγραμμές επάνω τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

Παράδειγμα 5. Υπολογίστε την ορίζουσα τρίτης τάξης
επέκταση κατά μήκος της πρώτης σειράς.

Λύση

Αυτός ο αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιουδήποτε η στήλη στα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

Ανεξάρτητα από τη μέθοδο αποσύνθεσης, λαμβάνεται πάντα η ίδια απάντηση.

5. Ιδιότητες οριζόντιων παραγόντων

1. Κατά τη μεταφορά ενός τετραγωνικού πίνακα ο προσδιοριστικός του δεν αλλάζει:
.

Συμπέρασμα.Οι ιδιότητες των προσδιοριστικών παραγόντων που διατυπώνονται για γραμμές ισχύουν επίσης για στήλες.

2. Κατά την αναδιάταξη δύο χορδών (στήλες) η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο. Για παράδειγμα,
.

3. Η ορίζουσα είναι μηδέν , Αν:

α) έχει μηδενική σειρά (στήλη)
;

β) έχει αναλογικές (πανομοιότυπες) σειρές (στήλες)
.

4. Κοινός παράγοντας στη σειρά (στήλη) μπορεί να αφαιρεθεί ως καθοριστικό σημάδι. Για παράδειγμα,
.

5. Η ορίζουσα δεν αλλάζει , αν προσθέσετε (αφαιρέσετε) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς στα στοιχεία μιας σειράς, πολλαπλασιαζόμενα με οποιοδήποτε αριθμό.

Για παράδειγμα,
.

6. Αν στην ορίζουσα κάθε το στοιχείο της γραμμής είναι το άθροισμα δύο όρους, τότε αυτή η ορίζουσα είναι ίση με το άθροισμα δύο ορίζουσες:

.

7. Ορίζουσα του γινομένου δύο τετραγωνικών πινάκων ίδιας τάξης ισούται με το γινόμενο των οριζόντιων αυτών πινάκων:

.

8. Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα τριγωνική εμφάνιση ίσο με το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο:

.

6. Αντίστροφος πίνακας

Αντί για τη λειτουργία διαίρεσης πίνακα, εισάγεται η έννοια αντίστροφη μήτρα.

Συμβολίζεται με αντίστροφο πίνακα
, αυτό είναι .

Η αναλογία με τους αριθμούς είναι προφανής: για τον αριθμό 2, ο αριθμός ½ είναι το αντίστροφο, αφού
. Γι' αυτό συμβολίζεται ο πίνακας αντίστροφος του Α
.

Θεώρημα «Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη αντίστροφη μήτρα». Για τετράγωνο πίνακα είχε αντίστροφη μήτρα
, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι η ορίζουσα του πίνακα δεν ήταν ίσο με μηδέν.

Κανόνας για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

0) Ας δούμε αν ο πίνακας είναι τετράγωνος. Αν όχι, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει. αν είναι τετράγωνο, τότε πηγαίνετε στο βήμα 1.

1) Υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα
: αν δεν είναι μηδέν, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας:
; αν ισούται με μηδέν, τότε δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας.

2) Για κάθε στοιχείο μήτρας υπολογίζουμε το αλγεβρικό του συμπλήρωμα .

3) Συνθέτουμε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών, τον οποίο στη συνέχεια μεταφέρουμε:
.

4) Κάθε στοιχείο του πίνακα
διαιρέστε με την ορίζουσα :
Λαμβάνουμε τον αντίστροφο πίνακα αυτού.

7. Εύρεση του αντίστροφου πίνακα για πίνακες δεύτερης τάξης

Παράδειγμα 6.Δίνεται μια μήτρα
. Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.

Λύση.

Εξέταση.Ας βεβαιωθούμε ότι ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται πραγματικά. Ας βρούμε το γινόμενο των πινάκων Και
.

8. Ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα

1.
,

όπου το Α και το Β είναι μη μοναδικοί τετράγωνοι πίνακες ίδιας τάξης.

2.
.

3.
.

4.
.

Ερωτήσεις ελέγχου

Τι είναι ο προσδιοριστής δεύτερης τάξης;

Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα τρίτης τάξης;

Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα 3ης τάξης χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου;

Τι είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα ενός στοιχείου μιας ορίζουσας; Δώστε παραδείγματα για ορίζουσες 2ης και 3ης τάξης.

Γράψτε επεκτάσεις της ορίζουσας τρίτης τάξης σε στοιχεία μιας αυθαίρετης γραμμής και μιας αυθαίρετης στήλης.

a i, j

Καθοριστικές

det(2A )= det(2E ) detA = 0 2 0 (− 2)= 23 (− 2)= − 16 . 0 0 2

(δ) Ομοίως,

det(− 3A )= det(− 3E ) detA = (− 3)3 (− 2)= 54.

(ε) Πρώτα βρίσκουμε τον πίνακα (A − 2E) και μετά την ορίζουσα του:

− 1 5

A − 2 E=

−1

−3

det(A − 2E )= 0 (− 1) (− 3)= 0 .

2.4. Υπολογισμός οριζόντων

Εδώ θα δούμε δύο μεθόδους για τον υπολογισμό των οριζόντων. Η ουσία ενός από αυτά είναι η αποσύνθεση της ορίζουσας σε στοιχεία μιας γραμμής ή στήλης, ως αποτέλεσμα της οποίας η αρχική ορίζουσα της νης τάξης εκφράζεται μέσω n ορίζουσες κατώτερης τάξης. Μια άλλη μέθοδος βασίζεται στις ιδιότητες των προσδιοριστικών παραγόντων και σχετίζεται με τη μετατροπή της ορίζουσας σε μια απλούστερη μορφή. Ο συνδυασμός των δύο μεθόδων δίνει τα περισσότερα αποτελεσματικός τρόποςυπολογισμός καθοριστικών παραγόντων.

2.4.1. Αποσύνθεση της ορίζουσας σε στοιχεία γραμμής ή στήλης

Ας εισαγάγουμε πρώτα μερικές έννοιες που είναι σημαντικές για την επόμενη παρουσίαση.

Θεωρήστε έναν τετράγωνο πίνακα nης τάξης. Ας επιλέξουμε το i,j-ο στοιχείο αυτού του πίνακα και ας διαγράψουμε την i-η σειρά και την j-η στήλη. Σαν άποτέλεσμα

παίρνουμε έναν πίνακα (n – 1) ης τάξης, η ορίζουσα του οποίου ονομάζεται ελάσσονα του στοιχείου a i, j και συμβολίζεται με το σύμβολο M i, j.

Καθοριστικές

Αλγεβρικό συμπλήρωμαΤα A i, j του elementa i, j καθορίζονται από τον τύπο

A i, j= (− 1) i + j M i, j.

Είναι εύκολο να δούμε ότι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου i, jο συμπίπτει με το ελάσσονα αυτού του στοιχείου, εάν το άθροισμα των δεικτών που αριθμούν τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου είναι άρτιος αριθμός. Για περιττές τιμές i+j, το αλγεβρικό συμπλήρωμα διαφέρει από το δευτερεύον μόνο ως προς το πρόσημο.

Θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία μιας συμβολοσειράς.

Η ορίζουσα του πίνακα Α ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της σειράς και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους:

det A = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n =

= ∑ a i, jA i, j j= 1

Απόδειξη: Εξ ορισμού, η ορίζουσα του πίνακα Α είναι το άθροισμα

det A =	∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,k i K a n ,k n (− 1) P ( k 1 , k 2 , K , k n )
	(k 1 ,k 2 ,K k i ,K k n )

σύμφωνα με όλες τις πιθανές μεταθέσεις των ευρετηρίων που αριθμούν τις στήλες. Ας επιλέξουμε κάποια συμβολοσειρά τυχαία, για παράδειγμα, με

αριθμός i. Ένα από τα στοιχεία αυτής της γραμμής αναπαρίσταται σε κάθε προϊόν 1, k 1 a 2, k 2 K a i, k i K a n, k n. Επομένως, οι όροι του αθροίσματος (*)

μπορεί να ανασυγκροτηθεί συνδυάζοντας στην πρώτη ομάδα εκείνων που περιέχουν το στοιχείο a i ,1 ως κοινό παράγοντα, στη δεύτερη ομάδα - μέλη

Με άλλα λόγια, η έκφραση (*) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός στοιχείων a i, j (j = 1,2, L,n),

Καθοριστικές

		∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,j K a n ,k n (− 1) P ( k 1 , k 2 , K , k n ) =
det A = ∑
j = 1( k1 , k2 , K j, K kn )
		∑ a 1, k1 a 2, k2 K a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 a n, kn (− 1) P ( k 1 , k 2 , K , k n ) =
= ∑ a i , j
j = 1		(k 1 ,k 2 ,K j ,K k n )
= ∑ a i ,j A i ,j = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n ,
j = 1
	∑ a 1, k1 a 2, k2 L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K a n, kn (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , j , k i + 1 , L , k n ) .
A i, j=
(k 1 ,L ,k i − 1 ,k i = j ,k i + 1 ,L ,k n )
Ας το δείξουμε		Το A i, j αντιπροσωπεύει την αλγεβρική	πρόσθεση
στοιχείο a i, j.
Θεωρήστε την ισοτιμία της μετάθεσης (k 1, L, k i − 1, j, k i + 1, L, k n).
Πρώτα,	απαιτεί i –1 μεταθέσεις του στοιχείου j με		γειτονικός

στοιχεία για να ληφθεί η μετάθεση ( j , k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) .

Δεύτερον, στην προκύπτουσα μετάθεση, το στοιχείο j σχηματίζει αντιστροφές j –1 με άλλα στοιχεία.

Ως εκ τούτου,

(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,j ,k i + 1 ,L ,k n )= (− 1) i − 1+ j − 1(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,k i + 1 ,L ,k n )=

= (− 1) i+ j(− 1) P(k1 , L , ki − 1 , ki + 1 , L , kn )

∑ L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) = M i, j( k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n )

αντιπροσωπεύει το ελάσσονα του στοιχείου a i, j.

Έτσι, A i, j = (− 1) i + j M i, j, όπως απαιτείται να αποδειχθεί.

Εφόσον det A = det A T , τότε ισχύει και το εξής

Θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία μιας στήλης.

Η ορίζουσα του πίνακα Α ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της στήλης και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους:

det A = a 1,j A 1,j + a 2,j A 2,j +K+ a n ,j A n ,j

= ∑ a i, jA i, j

i = 1

Καθοριστικές

Θεωρήματα για την επέκταση της ορίζουσας έχουν σπουδαίοςστη θεωρητική έρευνα. Διαπιστώνουν ότι το πρόβλημα του υπολογισμού της ορίζουσας της νης τάξης μειώνεται στο πρόβλημα του υπολογισμού των n οριζόντων της (n–1) ης τάξης.

Παραδείγματα:

1) Υπολογίστε την ορίζουσα ενός αυθαίρετου πίνακα A = ||a ij || τρίτος

σειρά επέκτασης σε στοιχεία

(i) πρώτη γραμμή·

(ii) δεύτερη στήλη.

Λύση:

−α

det A =

A 11(a 22a 33− a 23a 32) − a 12(a 21a 33− a 23a 31) + a 13(a 21a 32− a 22a 31)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31,

−α

det A =

= −a

= − a 12(a 12a 33− a 23a 31) + a 22(a 11a 33− a 13a 31) − a 32(a 11a 23− a 13a 21)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31.

Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται με διάφορες μεθόδους είναι πανομοιότυπα.

Υπολογίστε ορίζουσα

−5

στοιχειακή αποσύνθεση

−3

(i) πρώτη γραμμή,

(ii) δεύτερη στήλη.

Λύση:

Η επέκταση της ορίζουσας στα στοιχεία της πρώτης σειράς δίνει

−5

− (− 5)

−3

−3

− 3 7

2 4 5 + 5 1 5+ 3(7+ 12)= 122.

(ii) Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει κατά την επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία της δεύτερης στήλης:

Καθοριστικές

	−5
			= −(−5)					−7
−3				−3			− 3 5

5(5 + 0)+ 4 (10+ 9)− 7(0− 3)= 122.

2.4.2. Υπολογισμός οριζόντων με τη στοιχειώδη μέθοδο

μεταμορφώσεις

Με τον όρο στοιχειώδεις μετασχηματισμοί εννοούμε τις ακόλουθες πράξεις.

Λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα των γραμμών και των στηλών της ορίζουσας, παρόμοιες πράξεις ισχύουν πλήρως για τις στήλες.

Η ιδέα της μεθόδου είναι να μειωθεί η ορίζουσα σε τριγωνική μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών και στηλών, γεγονός που λύνει το πρόβλημα του υπολογισμού της.

Μπορείτε να το κάνετε λίγο διαφορετικά: χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, αποκτήστε μια γραμμή (ή στήλη) που περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο και, στη συνέχεια, επεκτείνετε την προκύπτουσα ορίζουσα στα στοιχεία αυτής της σειράς (στήλη). Αυτή η διαδικασία μειώνει τη σειρά της ορίζουσας κατά μία μονάδα.

Παραδείγματα.

−4

−3

Υπολογίστε το det A, μειώνοντας τον πίνακα σε

1) Έστω A =

r 2+ 3 r 3

−3

↔r 3

→r 3

−8

−5

Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του:

det A = − 1 8 9= − 72 . 2) Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα

			−2
				−1

Λύση: Αρχικά, μετασχηματίζουμε την πρώτη σειρά χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις πράξεις στις στήλες, προσπαθώντας να πάρουμε τον μέγιστο δυνατό αριθμό μηδενικών σε αυτήν. Για το σκοπό αυτό, αφαιρέστε από τη δεύτερη στήλη την πέμπτη στήλη, πολλαπλασιασμένη προηγουμένως με 5, και προσθέστε διπλά τη δεύτερη στήλη στην τρίτη στήλη:

− 2 0

c → c− 5 s

−1

→γ 2

2 από 1

− 14

−1

det A =

− 35

− 15

Τώρα ας επεκτείνουμε την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης γραμμής:

det A =		− 14		−1
		− 35
		− 15

Η δεύτερη σειρά είναι ένας αριθμός ίσος με τη διαφορά μεταξύ του γινόμενου των αριθμών που σχηματίζουν την κύρια διαγώνιο και του γινόμενου των αριθμών στη δευτερεύουσα διαγώνιο· μπορείτε να βρείτε τον ακόλουθο συμβολισμό για την ορίζουσα: ; ; ; detA(καθοριστικός).

.

Παράδειγμα:
.

Καθοριστής πίνακα τρίτης τάξηςείναι ένας αριθμός ή μια μαθηματική έκφραση που υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα

Ο απλούστερος τρόπος για να υπολογίσετε την ορίζουσα τρίτης τάξης είναι να προσθέσετε τις δύο πρώτες γραμμές κάτω από την ορίζουσα.

Στον πίνακα αριθμών που προκύπτει, πολλαπλασιάζονται τα στοιχεία που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο και στις διαγώνιες παράλληλες προς την κύρια, το πρόσημο του αποτελέσματος του προϊόντος δεν αλλάζει. Το επόμενο στάδιο των υπολογισμών είναι ένας παρόμοιος πολλαπλασιασμός στοιχείων που βρίσκονται στην πλευρική διαγώνιο και εκείνων που είναι παράλληλες σε αυτήν. Τα σημάδια των αποτελεσμάτων του προϊόντος αντιστρέφονται. Στη συνέχεια αθροίζουμε τους έξι όρους που προκύπτουν.

Παράδειγμα:

Αποσύνθεση μιας ορίζουσας σε στοιχεία μιας συγκεκριμένης σειράς (στήλης).

Ανήλικος M ijστοιχείο και ijτετράγωνη μήτρα ΕΝΑείναι μια ορίζουσα που αποτελείται από στοιχεία μήτρας ΕΝΑ, που απομένει μετά τη διαγραφή Εγώ-ω γραμμές και ιη στήλη.

Για παράδειγμα, μικρό σε στοιχείο ένα 21πίνακες τρίτης τάξης
θα υπάρχει καθοριστικός παράγοντας
.

Θα πούμε ότι το στοιχείο και ijκαταλαμβάνει άρτια θέση αν i+j(το άθροισμα των αριθμών της γραμμής και της στήλης στη διασταύρωση των οποίων βρίσκεται αυτό το στοιχείο) - Ζυγός αριθμός, περίεργο μέρος αν i+j- περιττός αριθμός.

Αλγεβρικό συμπλήρωμα Ένα ijστοιχείο και ijτετράγωνη μήτρα ΕΝΑπου ονομάζεται έκφραση (ή την τιμή του αντίστοιχου δευτερεύοντος, που λαμβάνεται με το πρόσημο «+» εάν το στοιχείο του πίνακα καταλαμβάνει μια άρτια θέση και με το σύμβολο «-» εάν το στοιχείο καταλαμβάνει μια περιττή θέση).

Παράδειγμα:

ένα 23= 4;

- αλγεβρικό συμπλήρωμα στοιχείου ένα 22= 1.

Θεώρημα Laplace. Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων μιας συγκεκριμένης σειράς (στήλης) και των αντίστοιχων αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους.

Ας το εξηγήσουμε με το παράδειγμα μιας ορίζουσας τρίτης τάξης. Μπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα τρίτης τάξης επεκτείνοντας στην πρώτη σειρά ως εξής:

Ομοίως, μπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα τρίτης τάξης επεκτείνοντας σε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη. Είναι βολικό να επεκτείνετε την ορίζουσα κατά μήκος της γραμμής (ή της στήλης) που περιέχει περισσότερα μηδενικά.

Παράδειγμα:

Έτσι, ο υπολογισμός της ορίζουσας 3ης τάξης μειώνεται στον υπολογισμό των 3 οριζόντων δεύτερης τάξης. ΣΕ γενική περίπτωσημπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα n-η σειρά, μειώνοντάς την στον υπολογισμό nκαθοριστικοί παράγοντες ( n-1)-η σειρά

Σχόλιο.Δεν υπάρχει απλούς τρόπουςγια τον υπολογισμό οριζόντων υψηλότερης τάξης, παρόμοιες με τις μεθόδους υπολογισμού οριζόντων 2ης και 3ης τάξης. Επομένως, για τον υπολογισμό οριζόντων άνω της τρίτης τάξης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο η μέθοδος επέκτασης.

Παράδειγμα. Υπολογίστε την ορίζουσα τέταρτης τάξης.

Ας επεκτείνουμε την ορίζουσα στα στοιχεία της τρίτης σειράς

Ιδιότητες προσδιοριστικών παραγόντων:

1. Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει αν οι σειρές της αντικατασταθούν από στήλες και αντίστροφα.

2. Κατά την αναδιάταξη δύο γειτονικών σειρών (στήλες), η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο στην αντίθετη.

3. Μια ορίζουσα με δύο ίδιες σειρές (στήλες) ισούται με 0.

4. Ο κοινός παράγοντας όλων των στοιχείων μιας ορισμένης σειράς (στήλης) της ορίζουσας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της ορίζουσας.

5. Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει εάν τα αντίστοιχα στοιχεία οποιασδήποτε άλλης στήλης (σειράς) προστεθούν στα στοιχεία μιας από τις στήλες (γραμμές) της, πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο αριθμό.

Για ορίζοντες της τέταρτης και υψηλότερης τάξης, χρησιμοποιούνται συνήθως μέθοδοι υπολογισμού άλλες από τη χρήση έτοιμων τύπων όπως και για τον υπολογισμό των οριζόντων δεύτερης και τρίτης τάξης. Μία από τις μεθόδους για τον υπολογισμό των οριζόντων υψηλότερων τάξεων είναι η χρήση μιας απόρροιας του θεωρήματος του Laplace (το ίδιο το θεώρημα μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, στο βιβλίο του A.G. Kurosh "Course of Higher Algebra"). Αυτό το συμπέρασμα μας επιτρέπει να επεκτείνουμε την ορίζουσα σε στοιχεία μιας συγκεκριμένης γραμμής ή στήλης. Σε αυτή την περίπτωση, ο υπολογισμός της ορίζουσας της νης τάξης ανάγεται στον υπολογισμό των n οριζόντιων της τάξης (n-1). Γι' αυτό ένας τέτοιος μετασχηματισμός ονομάζεται αναγωγή της τάξης της ορίζουσας. Για παράδειγμα, ο υπολογισμός της ορίζουσας τέταρτης τάξης καταλήγει στην εύρεση τεσσάρων προσδιοριστικών τρίτης τάξης.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας νης τάξης, δηλ. $A=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end(array) \right)$. Η ορίζουσα αυτού του πίνακα μπορεί να υπολογιστεί επεκτείνοντάς τον ανά γραμμή ή στήλη.

Ας διορθώσουμε μια γραμμή που ο αριθμός της είναι $i$. Στη συνέχεια, η ορίζουσα του πίνακα $A_(n\times n)$ μπορεί να επεκταθεί στην επιλεγμένη i-η σειρά χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή(εξίσωση) \Δέλτα A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(εξίσωση)

Το $A_(ij)$ υποδηλώνει το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου $a_(ij)$. Για λεπτομερείς πληροφορίεςΣας συνιστώ να δείτε το θέμα Αλγεβρικά συμπληρώματα και δευτερεύοντα σχετικά με αυτήν την έννοια. Ο συμβολισμός $a_(ij)$ υποδηλώνει το στοιχείο του πίνακα ή της ορίζουσας που βρίσκεται στη διασταύρωση i-η γραμμή jη στήλη. Για περισσότερα πλήρεις πληροφορίεςΜπορείτε να δείτε το θέμα Matrix. Τύποι πινάκων. Βασικοί όροι.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το άθροισμα $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Ποια φράση μπορεί να περιγράψει την καταχώριση $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$; Μπορούμε να πούμε αυτό: αυτό είναι το άθροισμα ενός τετραγώνου, δύο τετραγώνων, τριών τετραγώνων, τεσσάρων τετραγώνων και πέντε τετραγώνων. Ή μπορούμε να το πούμε πιο συνοπτικά: αυτό είναι το άθροισμα των τετραγώνων των ακεραίων από το 1 έως το 5. Για να εκφράσουμε το άθροισμα πιο συνοπτικά, μπορούμε να το γράψουμε χρησιμοποιώντας το γράμμα $\sum$ (αυτό είναι το ελληνικό γράμμα "σίγμα") .

Αντί για $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Το γράμμα $i$ ονομάζεται αθροιστικό δείκτη, και οι αριθμοί 1 (αρχική τιμή $i$) και 5 (τελική τιμή $i$) καλούνται κατώτερα και ανώτερα αθροιστικά όριααντίστοιχα.

Ας αποκρυπτογραφήσουμε αναλυτικά την καταχώρηση $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2$. Αν $i=1$, τότε $i^2=1^2$, οπότε ο πρώτος όρος αυτού του αθροίσματος θα είναι ο αριθμός $1^2$:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+\ldots $$

Ο επόμενος ακέραιος μετά το ένα είναι δύο, οπότε αντικαθιστώντας το $i=2$, παίρνουμε: $i^2=2^2$. Το ποσό πλέον θα είναι:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+\ldots $$

Μετά από δύο, ο επόμενος αριθμός είναι τρεις, οπότε αντικαθιστώντας το $i=3$ θα έχουμε: $i^2=3^2$. Και το άθροισμα θα μοιάζει με αυτό:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$

Απομένουν μόνο δύο αριθμοί για αντικατάσταση: 4 και 5. Αν αντικαταστήσετε το $i=4$, τότε το $i^2=4^2$ και αν αντικαταστήσετε το $i=5$, τότε το $i^2=5 ^2$. Οι τιμές $i$ έχουν φτάσει στο ανώτερο όριο άθροισης, επομένως ο όρος $5^2$ θα είναι ο τελευταίος. Λοιπόν, το τελικό ποσό είναι τώρα:

$$ \sum\limits_(i=1)^(5)i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$

Αυτό το ποσό μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας απλώς τους αριθμούς: $\sum\limits_(i=1)^(5)i^2=55$.

Για εξάσκηση, δοκιμάστε να γράψετε και να υπολογίσετε το ακόλουθο άθροισμα: $\sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)$. Ο δείκτης άθροισης εδώ είναι το γράμμα $k$, το κατώτερο όριο άθροισης είναι 3 και το ανώτερο όριο άθροισης είναι 8.

$$ \sum\limits_(k=3)^(8)(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$

Ένα ανάλογο του τύπου (1) υπάρχει επίσης για στήλες. Ο τύπος για την επέκταση της ορίζουσας στη στήλη j έχει ως εξής:

\αρχή(εξίσωση) \Δέλτα A=\άθροισμα\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(εξίσωση)

Οι κανόνες που εκφράζονται από τους τύπους (1) και (2) μπορούν να διατυπωθούν ως εξής: η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων μιας συγκεκριμένης γραμμής ή στήλης από τα αλγεβρικά συμπληρώματα αυτών των στοιχείων. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε την ορίζουσα τέταρτης τάξης, γραμμένη σε γενική μορφή:

$$\Delta=\αριστερά| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) & a_(14) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) & a_(24) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) & a_(34) \\ a_(41) & a_(42) & a_(43) & a_(44) \\ \end(πίνακας) \right| $$

Ας επιλέξουμε μια αυθαίρετη στήλη σε αυτήν την ορίζουσα. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τον αριθμό στήλης 4. Ας γράψουμε τον τύπο για την αποσύνθεση της ορίζουσας στην επιλεγμένη τέταρτη στήλη:

Ομοίως, επιλέγοντας, για παράδειγμα, την τρίτη γραμμή, λαμβάνουμε μια αποσύνθεση για αυτήν τη γραμμή:

Παράδειγμα Νο. 1

Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right)$ χρησιμοποιώντας επέκταση στην πρώτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη.

Πρέπει να υπολογίσουμε την ορίζουσα τρίτης τάξης $\Delta A=\left| \begin(array) (cccc) 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end(array) \right|$. Για να το επεκτείνετε κατά μήκος της πρώτης γραμμής, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο. Ας γράψουμε αυτήν την επέκταση σε γενική μορφή:

$$ \Δέλτα A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13). $$

Για τον πίνακα μας $a_(11)=5$, $a_(12)=-4$, $a_(13)=3$. Για να υπολογίσουμε τις αλγεβρικές προσθήκες $A_(11)$, $A_(12)$, $A_(13)$, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Νο. 1 από το θέμα στο . Άρα, τα απαιτούμενα αλγεβρικά συμπληρώματα είναι:

\begin(στοίχιση) & A_(11)=(-1)^2\cdot \αριστερά| \begin(array) (cc) 2 & -1 \\ 0 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_(12)=( -1)^3\cdot \αριστερά| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_( 13)=(-1)^4\cdot \αριστερά| \begin(array) (cc) 7 & 2 \\ 9 & 0 \end(array) \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end (ευθυγραμμισμένο)

Πώς βρήκαμε αλγεβρικά συμπληρώματα; εμφάνιση απόκρυψη

Αντικαθιστώντας όλες τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:

$$ \Δέλτα A= a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)=5\cdot(8)+(-4) \cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$

Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε μειώσει τη διαδικασία εύρεσης της ορίζουσας τρίτης τάξης στον υπολογισμό των τιμών τριών οριζόντων δεύτερης τάξης. Με άλλα λόγια, έχουμε χαμηλώσει τη σειρά της αρχικής ορίζουσας.

Συνήθως σε τέτοια απλές περιπτώσειςδεν περιγράφουν τη λύση λεπτομερώς, βρίσκοντας χωριστά τα αλγεβρικά συμπληρώματα και μόνο στη συνέχεια αντικαθιστώντας τα στον τύπο για τον υπολογισμό της ορίζουσας. Τις περισσότερες φορές απλώς συνεχίζουν την ηχογράφηση γενικός τύπος, - μέχρι να ληφθεί απάντηση. Έτσι θα τακτοποιήσουμε την ορίζουσα στη δεύτερη στήλη.

Λοιπόν, ας αρχίσουμε να επεκτείνουμε την ορίζουσα στη δεύτερη στήλη. Δεν θα κάνουμε βοηθητικούς υπολογισμούς, απλώς θα συνεχίσουμε τον τύπο μέχρι να λάβουμε την απάντηση. Σημειώστε ότι στη δεύτερη στήλη ένα στοιχείο είναι ίσο με μηδέν, δηλ. $a_(32)=0$. Αυτό υποδηλώνει ότι ο όρος $a_(32)\cdot A_(32)=0\cdot A_(23)=0$. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για επέκταση στη δεύτερη στήλη, παίρνουμε:

$$ \Δέλτα A= a_(12)\cdot A_(12)+a_(22)\cdot A_(22)+a_(32)\cdot A_(32)=-4\cdot (-1)\cdot \ αριστερά| \begin(array) (cc) 7 & -1 \\ 9 & 4 \end(array) \right|+2\cdot \left| \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$

Η απάντηση έχει ληφθεί. Φυσικά, το αποτέλεσμα της επέκτασης στη δεύτερη στήλη συνέπεσε με το αποτέλεσμα της επέκτασης στην πρώτη σειρά, αφού επεκτείναμε την ίδια ορίζουσα. Παρατηρήστε ότι όταν επεκταθήκαμε στη δεύτερη στήλη, κάναμε λιγότερους υπολογισμούς επειδή ένα στοιχείο της δεύτερης στήλης ήταν μηδέν. Με βάση αυτές τις εκτιμήσεις, προσπαθούν για την αποσύνθεση να επιλέξουν τη στήλη ή τη γραμμή που περιέχει περισσότερα μηδενικά.

Απάντηση: $\Delta A=134$.

Παράδειγμα Νο. 2

Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$ χρησιμοποιώντας επέκταση στην επιλεγμένη γραμμή ή στήλη.

Για την αποσύνθεση, είναι πιο κερδοφόρο να επιλέξετε τη γραμμή ή τη στήλη που περιέχει τα περισσότερα μηδενικά. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι λογικό να επεκταθεί κατά μήκος της τρίτης γραμμής, καθώς περιέχει δύο στοιχεία ίσα με το μηδέν. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, γράφουμε την επέκταση της ορίζουσας κατά μήκος της τρίτης γραμμής:

$$ \Δέλτα A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34). $$

Επειδή $a_(31)=-5$, $a_(32)=0$, $a_(33)=-4$, $a_(34)=0$, τότε ο τύπος που γράφτηκε παραπάνω θα είναι:

$$ \Δέλτα A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33). $$

Ας στραφούμε στο αλγεβρικές προσθήκες$A_(31)$ και $A_(33)$. Για να τα υπολογίσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Νο. 2 από το θέμα που είναι αφιερωμένο στους ορίζοντες της δεύτερης και τρίτης τάξης (στην ίδια ενότητα υπάρχουν λεπτομερή παραδείγματα εφαρμογής αυτού του τύπου).

\begin(στοίχιση) & A_(31)=(-1)^4\cdot \αριστερά| \begin(array) (cccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=10;\\ & A_(33)=( -1)^6\cdot \αριστερά| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-34. \end (ευθυγραμμισμένο)

Αντικαθιστώντας τα ληφθέντα δεδομένα στον τύπο για την ορίζουσα, θα έχουμε:

$$ \Δέλτα A= -5 \cdot A_(31)-4\cdot A_(33)=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$

Κατ 'αρχήν, ολόκληρη η λύση μπορεί να γραφτεί σε μία γραμμή. Εάν παραλείψετε όλες τις επεξηγήσεις και τους ενδιάμεσους υπολογισμούς, τότε η λύση θα γραφτεί ως εξής:

$$ \Δέλτα A= a_(31)\cdot A_(31)+a_(32)\cdot A_(32)+a_(33)\cdot A_(33)+a_(34)\cdot A_(34)= \\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \αριστερά| \begin(array) (cccc) 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \αριστερά| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=-5\cdot 10-4\cdot ( -34)=86. $$

Απάντηση: $\Delta A=86$.