Η διαίρεση των φυσικών αριθμών σε πρώτους και σύνθετους αριθμούς αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα. Και αν ακολουθείτε τον Πυθαγόρα, τότε το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να χωριστεί σε τρεις κατηγορίες: (1) - ένα σύνολο που αποτελείται από έναν αριθμό - ένα. (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – σύνολο πρώτων αριθμών. (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – ένα σύνολο σύνθετων αριθμών.

Το δεύτερο σετ κρύβει πολλά διαφορετικά μυστήρια. Αλλά πρώτα, ας καταλάβουμε τι είναι ένας πρώτος αριθμός. Ανοίξτε το "Μαθηματικά εγκυκλοπαιδικό λεξικό"(Yu. V. Prokhorov, εκδοτικός οίκος " Σοβιετική εγκυκλοπαίδεια", 1988) και διάβασε:

"Ένας πρώτος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από ένα, ο οποίος δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του και έναν: 2,3,5,7,11,13,

Η έννοια του πρώτου αριθμού είναι θεμελιώδης στη μελέτη της διαιρετότητας των φυσικών αριθμών. Δηλαδή, το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δηλώνει ότι κάθε θετικός ακέραιος εκτός από 1 μπορεί να αποσυντεθεί μοναδικά σε γινόμενο πρώτων αριθμών (η σειρά των παραγόντων δεν λαμβάνεται υπόψη). Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί (αυτή η πρόταση, που ονομάζεται θεώρημα του Ευκλείδη, ήταν γνωστή στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς· η απόδειξή της βρίσκεται στο βιβλίο 9 των Στοιχείων του Ευκλείδη). Ο P. Dirichlet (1837) διαπίστωσε ότι στην αριθμητική πρόοδο a + bx για x = 1. Το ,2,c με συμπρωτικούς ακέραιους αριθμούς a και b περιέχει επίσης άπειρους πρώτους αριθμούς.

Η εύρεση πρώτων αριθμών από το 1 έως το x, είναι γνωστό από τον 3ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Μέθοδος κόσκινου Ερατοσθένη. Η εξέταση της ακολουθίας (*) των πρώτων αριθμών από το 1 έως το x δείχνει ότι όσο αυξάνεται το x γίνεται, κατά μέσο όρο, πιο σπάνιο. Υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλα τμήματα μιας σειράς φυσικών αριθμών, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχει ούτε ένας πρώτος αριθμός (Θεώρημα 4). Ταυτόχρονα, υπάρχουν τέτοιοι πρώτοι αριθμοί, η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι ίση με 2 (τα λεγόμενα δίδυμα). Είναι ακόμη άγνωστο (1987) αν το σύνολο τέτοιων διδύμων είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Οι πίνακες των πρώτων αριθμών εντός των πρώτων 11 εκατομμυρίων φυσικών αριθμών δείχνουν την παρουσία πολύ μεγάλων διδύμων (για παράδειγμα, 10.006.427 και 10.006.429).

Η εύρεση της κατανομής των πρώτων αριθμών στη φυσική σειρά αριθμών είναι ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα στη θεωρία αριθμών. Διατυπώνεται ως η μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς μιας συνάρτησης που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνει έναν θετικό αριθμό x. Από το θεώρημα του Ευκλείδη είναι σαφές ότι όταν. Ο L. Euler εισήγαγε τη συνάρτηση ζήτα το 1737.

Απέδειξε επίσης ότι όταν

Όπου η άθροιση πραγματοποιείται σε όλους τους φυσικούς αριθμούς και το γινόμενο λαμβάνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς. Αυτή η ταυτότητα και οι γενικεύσεις της παίζουν θεμελιώδη ρόλο στη θεωρία κατανομής των πρώτων αριθμών. Με βάση αυτό, ο L. Euler απέδειξε ότι η σειρά και το γινόμενο ως προς τον πρώτο p αποκλίνουν. Επιπλέον, ο L. Euler διαπίστωσε ότι υπάρχουν «πολλοί» πρώτοι αριθμοί, επειδή

Και ταυτόχρονα, σχεδόν όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι σύνθετοι, αφού στο.

και, για οποιοδήποτε (δηλαδή, αυτό που αναπτύσσεται ως συνάρτηση). Χρονολογικά, το επόμενο σημαντικό αποτέλεσμα που βελτιώνει το θεώρημα του Chebyshev είναι το λεγόμενο. ο ασυμπτωτικός νόμος της κατανομής των πρώτων αριθμών (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), ο οποίος έλεγε ότι το όριο της αναλογίας προς είναι ίσο με 1. Στη συνέχεια, σημαντικές προσπάθειες μαθηματικών κατευθύνθηκαν να διευκρινίσουν την ασυμπτωτική νόμος κατανομής πρώτων αριθμών. Τα ερωτήματα της κατανομής των πρώτων αριθμών μελετώνται χρησιμοποιώντας τόσο στοιχειώδεις μεθόδους όσο και μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης».

Εδώ είναι λογικό να παρέχουμε μια απόδειξη ορισμένων από τα θεωρήματα που δίνονται στο άρθρο.

Λήμμα 1. Αν gcd(a, b)=1, τότε υπάρχουν ακέραιοι x, y τέτοιοι ώστε.

Απόδειξη. Έστω a και b σχετικά πρώτοι αριθμοί. Θεωρήστε το σύνολο J όλων των φυσικών αριθμών z, που μπορούν να αναπαρασταθούν στη μορφή, και επιλέξτε σε αυτό μικρότερος αριθμόςρε.

Ας αποδείξουμε ότι το a διαιρείται με το d. Διαιρέστε το a με το d με το υπόλοιπο: και έστω. Αφού λοιπόν έχει τη μορφή,

Το βλέπουμε αυτό.

Εφόσον υποθέσαμε ότι το d είναι ο μικρότερος αριθμός στο J, παίρνουμε μια αντίφαση. Αυτό σημαίνει ότι το α διαιρείται με το d.

Ας αποδείξουμε με τον ίδιο τρόπο ότι το b διαιρείται με το d. Άρα d=1. Το λήμμα είναι αποδεδειγμένο.

Θεώρημα 1. Αν οι αριθμοί a και b είναι συμπρώτοι και το γινόμενο bx διαιρείται με το a, τότε το x διαιρείται με το a.

Απόδειξη 1. Πρέπει να αποδείξουμε ότι ο ax διαιρείται με το b και το gcd(a,b)=1, τότε το x διαιρείται με το b.

Με το Λήμμα 1, υπάρχουν x, y τέτοια ώστε. Τότε προφανώς διαιρείται με το b.

Απόδειξη 2. Θεωρήστε το σύνολο J όλων των φυσικών αριθμών z έτσι ώστε το zc να διαιρείται με το b. Έστω d ο μικρότερος αριθμός στο J. Είναι εύκολο να το δούμε αυτό. Παρόμοια με την απόδειξη του Λήμματος 1, αποδεικνύεται ότι το a διαιρείται με το d και το b διαιρείται με το d

Λήμμα 2. Αν οι αριθμοί q,p1,p2,pn είναι πρώτοι και το γινόμενο διαιρείται με το q, τότε ένας από τους αριθμούς pi είναι ίσος με q.

Απόδειξη. Πρώτα απ 'όλα, σημειώστε ότι εάν ένας πρώτος αριθμός p διαιρείται με το q, τότε p=q. Αυτό ακολουθεί αμέσως τη δήλωση του λήμματος για n=1. Για n=2 προκύπτει απευθείας από το Θεώρημα 1: αν το p1p2 διαιρείται με έναν πρώτο αριθμό q και, τότε το p2 διαιρείται με το q(δηλ.).

Θα αποδείξουμε το λήμμα για n=3 ως εξής. Έστω το p1 p2 p3 διαιρούμενο με το q. Αν p3 =q, τότε όλα αποδεικνύονται. Αν, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 1, το p1 p2 διαιρείται με το q. Έτσι, μειώσαμε την περίπτωση n=3 στην ήδη εξεταζόμενη περίπτωση n=2.

Με τον ίδιο τρόπο, από n=3 μπορούμε να πάμε στο n=4, μετά στο n=5, και γενικά, αν υποθέσουμε ότι η πρόταση n=k του λήμματος είναι αποδεδειγμένη, μπορούμε εύκολα να το αποδείξουμε για n=k+ 1. Αυτό μας πείθει ότι το λήμμα ισχύει για όλα τα ν.

Θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Καθε φυσικός αριθμόςαποσυντίθεται σε πρώτους παράγοντες με μοναδικό τρόπο.

Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο αποσυνθέσεις του αριθμού α σε πρώτους παράγοντες:

Αφού η δεξιά πλευρά διαιρείται με το q1, τότε αριστερή πλευράΟι ισότητες πρέπει να διαιρούνται με q1. Σύμφωνα με το Λήμμα 2, ένας από τους αριθμούς είναι ίσος με q1. Ας ακυρώσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας κατά q1.

Ας κάνουμε τον ίδιο συλλογισμό για το q2, μετά για το q3, για το qi. Στο τέλος, όλοι οι παράγοντες στα δεξιά θα ακυρωθούν και θα παραμείνει 1. Φυσικά, στα αριστερά δεν θα μείνει τίποτα εκτός από έναν. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι οι δύο επεκτάσεις και μπορούν να διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των παραγόντων. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Το θεώρημα του Ευκλείδη. Η σειρά των πρώτων αριθμών είναι άπειρη.

Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι η σειρά των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένη και συμβολίζουμε τον τελευταίο πρώτο αριθμό με το γράμμα Ν. Ας συνθέσουμε το γινόμενο

Ας προσθέσουμε 1 σε αυτό. Παίρνουμε:

Αυτός ο αριθμός, ως ακέραιος, πρέπει να περιέχει τουλάχιστον έναν πρώτο παράγοντα, δηλαδή να διαιρείται με τουλάχιστον έναν πρώτο αριθμό. Αλλά όλοι οι πρώτοι αριθμοί, κατά την υπόθεση, δεν υπερβαίνουν το Ν, και ο αριθμός Μ+1 δεν διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με κανέναν από τους πρώτους αριθμούς μικρότερο ή ίσο με Ν - κάθε φορά που το υπόλοιπο είναι 1. Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Θεώρημα 4. Οι τομές σύνθετων αριθμών μεταξύ πρώτων μπορούν να έχουν οποιοδήποτε μήκος. Θα αποδείξουμε τώρα ότι η σειρά αποτελείται από n διαδοχικούς σύνθετους αριθμούς.

Αυτοί οι αριθμοί έρχονται απευθείας ο ένας μετά τον άλλο στη φυσική σειρά, αφού κάθε επόμενος είναι 1 περισσότερος από τον προηγούμενο. Μένει να αποδείξουμε ότι είναι όλα σύνθετα.

Πρώτος αριθμός

Ζυγός, αφού και οι δύο όροι του περιέχουν συντελεστή 2. Και κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι σύνθετος.

Ο δεύτερος αριθμός αποτελείται από δύο όρους, καθένας από τους οποίους είναι πολλαπλάσιο του 3. Αυτό σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός είναι σύνθετος.

Με τον ίδιο τρόπο, διαπιστώνουμε ότι ο επόμενος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4, κ.λπ. Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός στη σειρά μας περιέχει έναν παράγοντα διαφορετικό από τη μονάδα και τον εαυτό του. είναι επομένως σύνθετο. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Έχοντας μελετήσει τις αποδείξεις των θεωρημάτων, συνεχίζουμε την εξέταση του άρθρου. Το κείμενό του ανέφερε τη μέθοδο κόσκινου του Ερατοσθένη ως τρόπο εύρεσης πρώτων αριθμών. Ας διαβάσουμε για αυτήν τη μέθοδο από το ίδιο λεξικό:

«Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι μια μέθοδος που αναπτύχθηκε από τον Ερατοσθένη που σας επιτρέπει να τα ξεχωρίζετε σύνθετους αριθμούςαπό τη φυσική περιοχή. Η ουσία του κόσκινου του Ερατοσθένη είναι η εξής. Η μονάδα είναι διαγραμμένη. Ο αριθμός δύο είναι πρώτος. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 διαγράφονται. Αριθμός 3 – ο πρώτος μη διαγραμμένος αριθμός θα είναι πρώτος. Στη συνέχεια, διαγράφονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 3. Ο αριθμός 5 - ο επόμενος μη διαγραμμένος αριθμός - θα είναι πρώτος. Συνεχίζοντας παρόμοιους υπολογισμούς, μπορείτε να βρείτε ένα αυθαίρετα μεγάλο τμήμα μιας ακολουθίας πρώτων αριθμών. Το κόσκινο του Ερατοσθένη ως θεωρητική μέθοδος για τη μελέτη της θεωρίας αριθμών αναπτύχθηκε από τον V. Brun (1919).

Εδώ μεγαλύτερος αριθμός, το οποίο είναι επί του παρόντος γνωστό ότι είναι απλό:

Αυτός ο αριθμός έχει περίπου επτακόσια δεκαδικά ψηφία. Οι υπολογισμοί με τους οποίους διαπιστώθηκε ότι αυτός ο αριθμός είναι πρώτος πραγματοποιήθηκαν σε σύγχρονους υπολογιστές.

«Η συνάρτηση ζήτα Riemann, -συνάρτηση, είναι μια αναλυτική συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής, για σ>1 που καθορίζεται απόλυτα και ομοιόμορφα από μια συγκλίνουσα σειρά Dirichlet:

Για σ>1, ισχύει η αναπαράσταση με τη μορφή του γινόμενου Euler:

(2) όπου το p διατρέχει όλους τους πρώτους αριθμούς.

Η ταυτότητα της σειράς (1) και του προϊόντος (2) είναι μία από τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα. Μας επιτρέπει να αποκτήσουμε διάφορες σχέσεις που συνδέουν τη συνάρτηση ζήτα με τις πιο σημαντικές συναρτήσεις θεωρίας αριθμών. Επομένως, η συνάρτηση ζήτα παίζει μεγάλο ρόλο στη θεωρία αριθμών.

Η συνάρτηση zeta εισήχθη ως συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής από τον L. Euler (1737, δημοσίευση 1744), ο οποίος υπέδειξε τη θέση της στο γινόμενο (2). Στη συνέχεια, η συνάρτηση ζήτα εξετάστηκε από τον P. Dirichlet και ιδιαίτερα με επιτυχία από τον P. L. Chebyshev σε σχέση με τη μελέτη του νόμου της κατανομής των πρώτων αριθμών. Ωστόσο, οι πιο βαθιές ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα ανακαλύφθηκαν μετά το έργο του B. Riemann, ο οποίος για πρώτη φορά το 1859 θεώρησε τη συνάρτηση ζήτα ως συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής· εισήγαγε επίσης το όνομα «συνάρτηση ζήτα» και το χαρακτηρισμός """.

Όμως τίθεται το ερώτημα: τι πρακτική χρήσηυπάρχει για όλη αυτή την εργασία για τους πρώτους αριθμούς; Πράγματι, δεν υπάρχει σχεδόν καμία χρήση για αυτούς, αλλά υπάρχει ένας τομέας όπου οι πρώτοι αριθμοί και οι ιδιότητές τους χρησιμοποιούνται μέχρι σήμερα. Αυτή είναι η κρυπτογραφία. Εδώ οι πρώτοι αριθμοί χρησιμοποιούνται σε συστήματα κρυπτογράφησης χωρίς μεταφορά κλειδιών.

Δυστυχώς, αυτό είναι το μόνο που είναι γνωστό για τους πρώτους αριθμούς. Απομένουν πολλά μυστήρια ακόμα. Για παράδειγμα, δεν είναι γνωστό εάν το σύνολο των πρώτων αριθμών που αναπαρίστανται ως δύο τετράγωνα είναι άπειρο.

«ΔΥΣΚΟΛΟΙ ΠΡΩΤΑΙ».

Αποφάσισα να κάνω μια μικρή έρευνα για να βρω απαντήσεις σε μερικές ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Πρώτα απ 'όλα, μεταγλωττίζω ένα πρόγραμμα που παράγει όλους τους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς μικρότερους από 1.000.000.000. Επιπλέον, μεταγλωττίζω ένα πρόγραμμα που καθορίζει αν ο εισαγόμενος αριθμός είναι πρώτος. Για να μελετήσω τα προβλήματα των πρώτων αριθμών, κατασκεύασα ένα γράφημα που δείχνει την εξάρτηση της τιμής ενός πρώτου αριθμού από τον τακτικό αριθμό. Ως περαιτέρω ερευνητικό σχέδιο, αποφάσισα να χρησιμοποιήσω το άρθρο των I. S. Zeltser και B. A. Kordemsky «Ενδιαφέροντα κοπάδια πρώτων αριθμών αριθμούς." Οι συγγραφείς προσδιόρισαν τα ακόλουθα ερευνητικά μονοπάτια:

1. 168 θέσεις στους πρώτους χίλιους φυσικούς αριθμούς καταλαμβάνονται από πρώτους αριθμούς. Από αυτούς, 16 αριθμοί είναι παλινδρομικοί - ο καθένας είναι ίσος με το αντίστροφό του: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 9299,

Υπάρχουν μόνο 1061 τετραψήφιοι πρώτοι αριθμοί και κανένας από αυτούς δεν είναι παλινδρομικός.

Υπάρχουν πολλοί πενταψήφιοι πρώτοι παλινδρομικοί αριθμοί. Περιλαμβάνουν τέτοιες ομορφιές: 13331, 15551, 16661, 19991. Αναμφίβολα, υπάρχουν κοπάδια αυτού του τύπου: ,. Αλλά πόσα δείγματα υπάρχουν σε κάθε τέτοιο κοπάδι;

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Μπορεί να φανεί ότι το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών διαιρείται με το 3, επομένως αυτοί οι ίδιοι οι αριθμοί διαιρούνται επίσης με το 3.

Όσον αφορά τους αριθμούς της φόρμας, μεταξύ αυτών οι πρώτοι αριθμοί είναι 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Στις πρώτες χιλιάδες αριθμούς υπάρχουν πέντε «κουαρτέτα» που αποτελούνται από διαδοχικούς πρώτους αριθμούς, τα τελευταία ψηφία των οποίων σχηματίζουν την ακολουθία 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Πόσα τέτοια κουαρτέτα υπάρχουν μεταξύ των n-ψήφιων πρώτων για το n›3;

Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα που έγραψα, βρέθηκε ένα κουαρτέτο που έχασαν οι συγγραφείς: (479, 467, 463, 461) και κουαρτέτα για n = 4, 5, 6. Για n = 4, υπάρχουν 11 κουαρτέτα

3. Ένα σμήνος εννέα πρώτων αριθμών: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 είναι ελκυστικό όχι μόνο επειδή αντιπροσωπεύει μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά 210, αλλά και επειδή μπορεί να χωρέσει στο εννέα κελιά έτσι ώστε να σχηματίζεται ένα μαγικό τετράγωνο με σταθερά ίση με τη διαφορά δύο πρώτων αριθμών: 3119 – 2:

Ο επόμενος, δέκατος όρος της υπό εξέταση προόδου, το 2089, είναι επίσης πρώτος αριθμός. Εάν αφαιρέσετε τον αριθμό 199 από το κοπάδι, αλλά συμπεριλάβετε το 2089, τότε ακόμη και σε αυτήν τη σύνθεση το κοπάδι μπορεί να σχηματίσει ένα μαγικό τετράγωνο - ένα θέμα για αναζήτηση.

Πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχουν και άλλα μαγικά τετράγωνα που αποτελούνται από πρώτους αριθμούς:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Η προτεινόμενη πλατεία έχει ενδιαφέρον γιατί

1. Είναι ένα μαγικό τετράγωνο 7x7.

2. Περιέχει ένα μαγικό τετράγωνο 5x5.

3. Το μαγικό τετράγωνο 5x5 περιέχει ένα μαγικό τετράγωνο 3x3.

4. Όλα αυτά τα τετράγωνα έχουν έναν κοινό κεντρικό αριθμό - 3407.

5. Και οι 49 αριθμοί που περιλαμβάνονται σε ένα τετράγωνο 7x7 τελειώνουν με τον αριθμό 7.

6. Και οι 49 αριθμοί που περιλαμβάνονται σε ένα τετράγωνο 7x7 είναι πρώτοι αριθμοί.

7. Καθένας από τους 49 αριθμούς που περιλαμβάνονται σε ένα τετράγωνο 7x7 μπορεί να αναπαρασταθεί ως 30n + 17.

Τα προγράμματα που χρησιμοποιήθηκαν γράφτηκαν από εμένα στη γλώσσα προγραμματισμού Dev-C++ και παρέχω τα κείμενά τους στο παράρτημα (βλ. αρχεία με κατάληξη . srr). Εκτός από όλα τα παραπάνω, έγραψα ένα πρόγραμμα που αποσυνθέτει διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς σε πρώτους συντελεστές (βλ. Διαιρέτες 1. срр) και ένα πρόγραμμα που αποσυνθέτει μόνο τον εισαγόμενο αριθμό σε πρώτους παράγοντες (βλ. Διαιρέτες 2. срр). Επειδή αυτά τα προγράμματα καταλαμβάνουν πολύ χώρο σε μεταγλωττισμένη μορφή, δίνονται μόνο τα κείμενά τους. Ωστόσο, ο καθένας μπορεί να τα μεταγλωττίσει εάν έχει το σωστό πρόγραμμα.

ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΩΝ ΠΟΥ ΕΜΠΛΕΚΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

(περίπου 330 π.Χ. – περ. 272 ​​π.Χ.)

Ελάχιστες αξιόπιστες πληροφορίες έχουν διατηρηθεί για τη ζωή του πιο διάσημου μαθηματικού της Αρχαιότητας. Πιστεύεται ότι σπούδασε στην Αθήνα, γεγονός που εξηγεί τη λαμπρή μαεστρία του στη γεωμετρία, που αναπτύχθηκε από τη σχολή του Πλάτωνα. Ωστόσο, προφανώς, δεν ήταν εξοικειωμένος με τα έργα του Αριστοτέλη. Δίδαξε στην Αλεξάνδρεια, όπου κέρδισε υψηλούς επαίνους παιδαγωγική δραστηριότηταεπί Πτολεμαίου Α' Σωτήρος. Υπάρχει ένας θρύλος ότι αυτός ο βασιλιάς ζήτησε να ανακαλύψει έναν τρόπο για να επιτύχει γρήγορη επιτυχία στα μαθηματικά, στον οποίο ο Ευκλείδης απάντησε ότι δεν υπάρχει βασιλικοί τρόποι(Παρόμοια ιστορία, όμως, διηγείται και για τον Μένχεμ, που φέρεται να ρωτήθηκε για το ίδιο πράγμα από τον Μέγα Αλέξανδρο). Η παράδοση έχει διατηρήσει τη μνήμη του Ευκλείδη ως καλοπροαίρετου και σεμνού ανθρώπου. Ο Ευκλείδης είναι συγγραφέας πραγματειών για διάφορα θέματα, αλλά το όνομά του συνδέεται κυρίως με μια από τις πραγματείες που ονομάζεται Στοιχεία. Πρόκειται για μια συλλογή έργων μαθηματικών που εργάστηκαν πριν από αυτόν (το πιο γνωστό από αυτά ήταν ο Ιπποκράτης της Κω), τα αποτελέσματα των οποίων έφερε στην τελειότητα χάρη στην ικανότητά του να γενικεύει και τη σκληρή δουλειά του.

EULER LEONARD

(Βασιλεία, Ελβετία 1707 – Αγία Πετρούπολη, 1783)

Μαθηματικός, μηχανικός και φυσικός. Γεννήθηκε στην οικογένεια ενός φτωχού πάστορα, του Paul Euler. Έλαβε την εκπαίδευσή του πρώτα από τον πατέρα του και το 1720–24 στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας, όπου παρακολούθησε διαλέξεις για τα μαθηματικά από τον I. Bernoulli.

Στα τέλη του 1726, ο Όιλερ προσκλήθηκε στην Ακαδημία Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης και τον Μάιο του 1727 έφτασε στην Αγία Πετρούπολη. Στη νεοσύστατη ακαδημία, ο Όιλερ βρήκε ευνοϊκές συνθήκες για επιστημονική δραστηριότητα, που του επέτρεψε να αρχίσει αμέσως να σπουδάζει μαθηματικά και μηχανική. Κατά τη διάρκεια των 14 ετών της πρώτης περιόδου της Αγίας Πετρούπολης της ζωής του, ο Euler ετοίμασε περίπου 80 έργα προς δημοσίευση και δημοσίευσε πάνω από 50. Στην Αγία Πετρούπολη, μελέτησε τη ρωσική γλώσσα.

Ο Euler συμμετείχε σε πολλούς τομείς δραστηριότητας της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης. Έκανε διάλεξη σε φοιτητές ακαδημαϊκό πανεπιστήμιο, συμμετείχε σε διάφορες τεχνικές εξετάσεις, εργάστηκε στη σύνταξη χαρτών της Ρωσίας και έγραψε το δημοσίως διαθέσιμο "Manual to Arithmetic" (1738–40). Με ειδικές οδηγίες από την Ακαδημία, ο Euler ετοίμασε για δημοσίευση το «Nautical Science» (1749), ένα θεμελιώδες έργο για τη θεωρία της ναυπηγικής και της ναυσιπλοΐας.

Το 1741, ο Όιλερ αποδέχτηκε την πρόταση του Πρώσου βασιλιά Φρειδερίκου Β' να μετακομίσει στο Βερολίνο, όπου επρόκειτο να πραγματοποιηθεί η αναδιοργάνωση της Ακαδημίας Επιστημών. Στην Ακαδημία Επιστημών του Βερολίνου, ο Euler ανέλαβε τη θέση του διευθυντή της τάξης των μαθηματικών και μέλος του διοικητικού συμβουλίου και μετά το θάνατο του πρώτου προέδρου της P. Maupertuis, για αρκετά χρόνια (από το 1759) ηγήθηκε ουσιαστικά της ακαδημίας. Στα 25 χρόνια της ζωής του στο Βερολίνο, ετοίμασε περίπου 300 έργα, μεταξύ των οποίων και μια σειρά από μεγάλες μονογραφίες.

Όσο ζούσε στο Βερολίνο, ο Όιλερ δεν σταμάτησε να εργάζεται εντατικά για την Ακαδημία Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, διατηρώντας τον τίτλο του επίτιμου μέλους της. Διεξήγαγε εκτενή επιστημονική και επιστημονική-οργανωτική αλληλογραφία, ειδικότερα αλληλογραφούσε με τον Μ. Λομονόσοφ, τον οποίο εκτιμούσε ιδιαίτερα. Ο Euler επιμελήθηκε το μαθηματικό τμήμα του ρωσικού ακαδημαϊκού επιστημονικού σώματος, όπου κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου δημοσίευσε σχεδόν τόσα άρθρα όσα και στα «Απομνημονεύματα» της Ακαδημίας Επιστημών του Βερολίνου. Συμμετείχε ενεργά στην εκπαίδευση Ρώσων μαθηματικών. Οι μελλοντικοί ακαδημαϊκοί S. Kotelnikov, S. Rumovsky και M. Sofronov στάλθηκαν στο Βερολίνο για να σπουδάσουν υπό την ηγεσία του. Ο Euler παρείχε μεγάλη βοήθεια στην Ακαδημία Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης, αγοράζοντας επιστημονική βιβλιογραφία και εξοπλισμό για αυτήν, διαπραγματεύοντας υποψηφίους για θέσεις στην ακαδημία κ.λπ.

17 Ιουλίου (28), 1766 Ο Όιλερ και η οικογένειά του επέστρεψαν στην Αγία Πετρούπολη. Παρά το προχωρημένο του ηλικία και τη σχεδόν πλήρη τύφλωση που τον βρήκε, εργάστηκε παραγωγικά μέχρι το τέλος της ζωής του. Στα 17 χρόνια της δεύτερης παραμονής του στην Αγία Πετρούπολη, ετοίμασε περίπου 400 έργα, μεταξύ των οποίων αρκετά μεγάλα βιβλία. Ο Euler συνέχισε να συμμετέχει στο οργανωτικό έργο της ακαδημίας. Το 1776, ήταν ένας από τους ειδικούς στο έργο μιας μονότοξης γέφυρας στον Νέβα, που πρότεινε ο I. Kulibin, και από ολόκληρη την επιτροπή, ήταν ο μόνος που υποστήριξε ευρέως το έργο.

Τα πλεονεκτήματα του Euler ως μεγάλου επιστήμονα και διοργανωτή επιστημονική έρευναέλαβε υψηλούς επαίνους κατά τη διάρκεια της ζωής του. Εκτός από τις ακαδημίες της Αγίας Πετρούπολης και του Βερολίνου, ήταν μέλος των μεγαλύτερων επιστημονικών ιδρυμάτων: της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού, της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου και άλλων.

Μία από τις χαρακτηριστικές πτυχές της δουλειάς του Euler είναι η εξαιρετική παραγωγικότητά του. Μόνο κατά τη διάρκεια της ζωής του εκδόθηκαν περίπου 550 βιβλία και άρθρα του (ο κατάλογος των έργων του Euler περιέχει περίπου 850 τίτλους). Το 1909, η Ελβετική Εταιρεία Φυσικών Επιστημών άρχισε να δημοσιεύει τα πλήρη έργα του Euler, τα οποία ολοκληρώθηκαν το 1975. αποτελείται από 72 τόμους. Η κολοσσιαία επιστημονική αλληλογραφία του Euler (περίπου 3.000 επιστολές) παρουσιάζει επίσης μεγάλο ενδιαφέρον· μέχρι στιγμής έχει δημοσιευθεί μόνο εν μέρει.

Το φάσμα των δραστηριοτήτων του Euler ήταν ασυνήθιστα ευρύ, κάλυπτε όλα τα τμήματα των σύγχρονων μαθηματικών και μηχανικής, τη θεωρία της ελαστικότητας, τη μαθηματική φυσική, την οπτική, τη θεωρία της μουσικής, τη θεωρία μηχανών, τη βαλλιστική, την επιστήμη της θάλασσας, την ασφάλιση κ.λπ. Περίπου τα 3/5 των έργων του Euler σχετίζονται στα μαθηματικά, τα υπόλοιπα 2/5 κυρίως στις εφαρμογές τους. Ο επιστήμονας συστηματοποίησε τα αποτελέσματά του και τα αποτελέσματα που προέκυψαν από άλλους σε μια σειρά από κλασικές μονογραφίες, γραμμένες με εκπληκτική σαφήνεια και εφοδιασμένες με πολύτιμα παραδείγματα. Αυτά είναι, για παράδειγμα, «Mechanics, or the Science of Motion, Presented Analytically» (1736), «Introduction to Analysis» (1748), «Differential Calculus» (1755), «Theory of Rigid Body Motion» (1765), «Universal Arithmetic» (1768–69), που πέρασε από περίπου 30 εκδόσεις σε 6 γλώσσες, «Integral Calculus» (1768–94) κ.λπ. Τον 18ο αιώνα. , και εν μέρει τον 19ο αιώνα. Τα δημόσια διαθέσιμα «Επιστολές για διάφορα φυσικά και φιλοσοφικά θέματα, γραμμένα σε κάποια Γερμανίδα πριγκίπισσα», έγινε εξαιρετικά δημοφιλής. (1768–74), το οποίο πέρασε από πάνω από 40 εκδόσεις σε 10 γλώσσες. Το μεγαλύτερο μέρος του περιεχομένου των μονογραφιών του Euler συμπεριλήφθηκε στη συνέχεια σε εκπαιδευτικά εγχειρίδια για την τριτοβάθμια εκπαίδευση και εν μέρει Λύκειο. Είναι αδύνατο να απαριθμήσουμε όλα τα θεωρήματα, τις μεθόδους και τους τύπους του Euler που χρησιμοποιούνται ακόμη, από τα οποία μόνο λίγα εμφανίζονται στη βιβλιογραφία με το όνομά του [για παράδειγμα, μέθοδος διακεκομμένης γραμμής του Euler, αντικαταστάσεις του Euler, σταθερά Euler, εξισώσεις Euler, τύποι του Euler, Συνάρτηση Euler, αριθμοί Euler, τύπος Euler - Maclaurin, τύποι Euler–Fourier, χαρακτηριστικό Euler, ολοκληρώματα Euler, γωνίες Euler].

Στη Μηχανική, ο Euler σκιαγράφησε αρχικά τη δυναμική ενός σημείου χρησιμοποιώντας μαθηματική ανάλυση: την ελεύθερη κίνηση ενός σημείου υπό την επίδραση διαφόρων δυνάμεων τόσο στο κενό όσο και σε ένα μέσο με αντίσταση. κίνηση ενός σημείου κατά μήκος μιας δεδομένης γραμμής ή επιφάνειας· κίνηση υπό την επίδραση κεντρικών δυνάμεων. Το 1744 διατύπωσε για πρώτη φορά σωστά μηχανική αρχή ελάχιστη δράσηκαι έδειξε τις πρώτες του εφαρμογές. Στη Θεωρία της κίνησης του άκαμπτου σώματος, ο Euler ανέπτυξε την κινηματική και τη δυναμική ενός άκαμπτου σώματος και έδωσε τις εξισώσεις για την περιστροφή του γύρω από ένα σταθερό σημείο, θέτοντας τα θεμέλια για τη θεωρία των γυροσκοπίων. Στη θεωρία του για το πλοίο, ο Euler έκανε πολύτιμες συνεισφορές στη θεωρία της σταθερότητας. Οι ανακαλύψεις του Euler ήταν σημαντικές στην ουράνια μηχανική (για παράδειγμα, στη θεωρία της κίνησης της Σελήνης), στη μηχανική συνεχούς (οι βασικές εξισώσεις κίνησης ενός ιδανικού ρευστού στη μορφή του Euler και στις λεγόμενες μεταβλητές Lagrange, ταλαντώσεις αερίων σε σωλήνες , και τα λοιπά.). Στην οπτική, ο Euler έδωσε (1747) τον τύπο για έναν αμφίκυρτο φακό και πρότεινε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του δείκτη διάθλασης ενός μέσου. Ο Euler προσκολλήθηκε στην κυματική θεωρία του φωτός. Αυτό το πίστευε διαφορετικά χρώματααντιστοιχούν σε διαφορετικά μήκη κύματος φωτός. Ο Euler πρότεινε τρόπους για την εξάλειψη των χρωματικών εκτροπών των φακών και έδωσε μεθόδους για τον υπολογισμό των οπτικών στοιχείων ενός μικροσκοπίου. Ο Euler αφιέρωσε μια εκτενή σειρά εργασιών, που ξεκίνησε το 1748, στη μαθηματική φυσική: προβλήματα δόνησης μιας χορδής, μιας πλάκας, μιας μεμβράνης κ.λπ. Όλες αυτές οι μελέτες υποκίνησαν την ανάπτυξη της θεωρίας διαφορικές εξισώσεις, κατά προσέγγιση μέθοδοι ανάλυσης, spec. συναρτήσεις, διαφορική γεωμετρία κ.λπ. Πολλές από τις μαθηματικές ανακαλύψεις του Euler περιέχονται σε αυτά τα έργα.

Το κύριο έργο του Euler ως μαθηματικού ήταν η ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης. Έθεσε τα θεμέλια αρκετών μαθηματικών κλάδων, που ήταν μόνο στη στοιχειώδη μορφή τους ή απουσίαζαν εντελώς από τον λογισμό των απειροελάχιστων από τον I. Newton, τον G. Leibniz και τους αδελφούς Bernoulli. Έτσι, ο Euler ήταν ο πρώτος που εισήγαγε συναρτήσεις μιγαδικού ορίσματος και ερεύνησε τις ιδιότητες των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής (εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις). συγκεκριμένα, έβγαλε τύπους σύνδεσης τριγωνομετρικές συναρτήσειςμε επιδεικτικά. Η εργασία του Euler προς αυτή την κατεύθυνση έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής.

Ο Euler ήταν ο δημιουργός του λογισμού των παραλλαγών, που παρουσιάστηκε στην εργασία «Μέθοδος εύρεσης καμπυλών γραμμών που έχουν τις ιδιότητες ενός μέγιστου ή του ελάχιστου. "(1744). Η μέθοδος με την οποία ο Euler το 1744 εξήγαγε την απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο μιας συνάρτησης - η εξίσωση Euler - ήταν το πρωτότυπο των άμεσων μεθόδων του λογισμού των παραλλαγών του 20ού αιώνα. Ο Euler δημιούργησε τη θεωρία των συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων ως ανεξάρτητη επιστήμη και έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Εδώ έκανε έναν τεράστιο αριθμό ανακαλύψεων: την κλασική μέθοδο επίλυσης γραμμικές εξισώσειςΜε σταθερούς συντελεστές, μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών, αποσαφήνιση των βασικών ιδιοτήτων της εξίσωσης Riccati, ολοκλήρωση γραμμικών εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές με χρήση άπειρων σειρών, κριτήρια για ειδικές λύσεις, το δόγμα του συντελεστή ολοκλήρωσης, διάφορες κατά προσέγγιση μέθοδοι και μια σειρά τεχνικών επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ο Euler συγκέντρωσε ένα σημαντικό μέρος αυτών των αποτελεσμάτων στον «Integral Calculus» του.

Ο Euler εμπλούτισε επίσης τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό με τη στενή έννοιαλέξεις (για παράδειγμα, το δόγμα των αλλαγών των μεταβλητών, το θεώρημα για τις ομοιογενείς συναρτήσεις, η έννοια διπλό ολοκλήρωμακαι υπολογισμός πολλών ειδικών ολοκληρωμάτων). Στον «Διαφορικό Λογισμό», ο Έιλερ εξέφρασε και υποστήριξε με παραδείγματα την πίστη του στη σκοπιμότητα χρήσης αποκλίνων σειρών και πρότεινε μεθόδους για γενικευμένη άθροιση σειρών, προβλέποντας τις ιδέες της σύγχρονης αυστηρής θεωρίας των αποκλίνων σειρών, που δημιουργήθηκε στο τέλος του 19ου και 20ος αιώνας. Επιπλέον, ο Euler έλαβε πολλά συγκεκριμένα αποτελέσματα στη θεωρία σειρών. Ανακάλυψε το λεγόμενο. ο τύπος άθροισης Euler–Maclaurin, πρότεινε τον μετασχηματισμό σειράς που φέρει το όνομά του, καθόρισε τα αθροίσματα ενός τεράστιου αριθμού σειρών και εισήγαγε σημαντικούς νέους τύπους σειρών στα μαθηματικά (για παράδειγμα, τριγωνομετρικές σειρές). Αυτό περιλαμβάνει επίσης την έρευνα του Euler για τη θεωρία των συνεχιζόμενων κλασμάτων και άλλων άπειρων διεργασιών.

Ο Euler είναι ο ιδρυτής της θεωρίας των ειδικών συναρτήσεων. Ήταν ο πρώτος που θεώρησε το ημίτονο και το συνημίτονο ως συναρτήσεις και όχι ως τμήματα σε κύκλο. Πήρε σχεδόν όλες τις κλασικές επεκτάσεις των στοιχειωδών συναρτήσεων σε άπειρες σειρές και προϊόντα. Τα έργα του δημιούργησαν τη θεωρία της συνάρτησης γ. Μελέτησε τις ιδιότητες των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, τις υπερβολικές και κυλινδρικές συναρτήσεις, τη συνάρτηση ζ, ορισμένες θ-συναρτήσεις, τον ολοκληρωτικό λογάριθμο και σημαντικές κατηγορίες ειδικών πολυωνύμων.

Σύμφωνα με τον P. Chebyshev, ο Euler έθεσε τα θεμέλια για όλες τις έρευνες που αποτελούν το γενικό μέρος της θεωρίας αριθμών. Έτσι, ο Euler απέδειξε μια σειρά από δηλώσεις του P. Fermat (για παράδειγμα, το μικρό θεώρημα του Fermat), ανέπτυξε τα θεμέλια της θεωρίας των υπολειμμάτων ισχύος και τη θεωρία των τετραγωνικών μορφών, ανακάλυψε (αλλά δεν απέδειξε) τον νόμο της τετραγωνικής αμοιβαιότητας, και μελέτησε μια σειρά προβλημάτων στη Διοφαντινή ανάλυση. Στα έργα του για τη διαίρεση των αριθμών σε όρους και για τη θεωρία των πρώτων αριθμών, ο Euler ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε μεθόδους ανάλυσης, και έτσι έγινε ο δημιουργός της αναλυτικής θεωρίας των αριθμών. Συγκεκριμένα, εισήγαγε τη συνάρτηση ζ και απέδειξε το λεγόμενο. Η ταυτότητα του Euler που συνδέει τους πρώτους αριθμούς με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Ο Euler έκανε επίσης μεγάλα επιτεύγματα σε άλλους τομείς των μαθηματικών. Στην άλγεβρα, έγραψε έργα για την επίλυση εξισώσεων υψηλότερου βαθμού σε ρίζες και για εξισώσεις με δύο αγνώστους, καθώς και τα λεγόμενα. Η ταυτότητα τεσσάρων τετραγώνων του Euler. Ο Euler έκανε σημαντική πρόοδο αναλυτική γεωμετρία, ειδικά το δόγμα των επιφανειών δεύτερης τάξης. Στη διαφορική γεωμετρία μελέτησε λεπτομερώς τις ιδιότητες των γεωδαισιακών γραμμών και ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε φυσικές εξισώσειςκαμπύλες, και το πιο σημαντικό, έθεσαν τα θεμέλια της θεωρίας των επιφανειών. Εισήγαγε την έννοια των κύριων κατευθύνσεων σε ένα σημείο σε μια επιφάνεια, απέδειξε την ορθογωνία τους, εξήγαγε μια φόρμουλα για την καμπυλότητα οποιασδήποτε κανονικής διατομής, ξεκίνησε τη μελέτη των αναπτυσσόμενων επιφανειών κ.λπ. σε ένα έργο που δημοσιεύτηκε μετά θάνατον (1862), πρόβλεψε εν μέρει την έρευνα του K. Gauss για την εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών. Ο Euler ασχολήθηκε επίσης με ορισμένα ζητήματα τοπολογίας και απέδειξε, για παράδειγμα, ένα σημαντικό θεώρημα για τα κυρτά πολύεδρα. Ο μαθηματικός Euler συχνά χαρακτηρίζεται ως ένας λαμπρός «υπολογιστής». Πράγματι, ήταν ένας αξεπέραστος δεξιοτέχνης των τυπικών υπολογισμών και των μετασχηματισμών· στα έργα του, πολλοί μαθηματικοί τύποι και συμβολισμοί έλαβαν μοντέρνα εμφάνιση(για παράδειγμα, του ανήκει η σημειογραφία για το e και το π). Ωστόσο, ο Euler εισήγαγε επίσης μια σειρά από βαθιές ιδέες στην επιστήμη, οι οποίες είναι πλέον αυστηρά τεκμηριωμένες και χρησιμεύουν ως παράδειγμα του βάθους της διείσδυσης στο αντικείμενο της έρευνας.

Σύμφωνα με τον P. Laplace, ο Euler ήταν ο δάσκαλος των μαθηματικών του δεύτερου μισό του XVIII V.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, νυν Γερμανία, 1805 - Göttingen, ό.π., 1859)

Σπούδασε στο Παρίσι και διατήρησε φιλικές σχέσεις με εξαιρετικούς μαθηματικούς, ιδιαίτερα με τον Φουριέ. Κατά την παραλαβή επιστημονικό πτυχίοήταν καθηγητής στα πανεπιστήμια του Μπρεσλάου (1826 - 1828), του Βερολίνου (1828 - 1855) και του Γκέτινγκεν, όπου έγινε επικεφαλής του τμήματος μαθηματικών μετά τον θάνατο του επιστήμονα Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Η πιο σημαντική συνεισφορά του στην επιστήμη αφορά τη θεωρία αριθμών, κυρίως τη μελέτη των σειρών. Αυτό του επέτρεψε να αναπτύξει τη θεωρία των σειρών που πρότεινε ο Fourier. Δημιούργησε τη δική του εκδοχή της απόδειξης του θεωρήματος του Φερμά, χρησιμοποίησε αναλυτικές συναρτήσεις για την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων και εισήγαγε κριτήρια σύγκλισης για σειρές. Στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης, βελτίωσε τον ορισμό και την έννοια της συνάρτησης, στο πεδίο θεωρητική μηχανικήεπικεντρώθηκε στη μελέτη της σταθερότητας των συστημάτων και στην έννοια του Newton για το δυναμικό.

ΤΣΕΜΠΙΣΕΦ ΠΑΦΝΟΥΤΙ ΛΒΟΒΙΤΣ

Ρώσος μαθηματικός, ιδρυτής της επιστημονικής σχολής της Αγίας Πετρούπολης, ακαδημαϊκός της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης (1856). Τα έργα του Chebyshev έθεσαν τα θεμέλια για την ανάπτυξη πολλών νέων κλάδων των μαθηματικών.

Τα πιο πολυάριθμα έργα του Chebyshev ήταν στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης. Συγκεκριμένα, του αφιερώθηκε μια διατριβή για το δικαίωμα να δίνει διαλέξεις, στην οποία ο Chebyshev διερεύνησε την ενσωμάτωση ορισμένων παράλογων εκφράσεων σε αλγεβρικές συναρτήσεις και λογάριθμους. Ο Chebyshev αφιέρωσε επίσης μια σειρά από άλλα έργα στην ενοποίηση των αλγεβρικών συναρτήσεων. Σε ένα από αυτά (1853) προέκυψε ένα πολύ γνωστό θεώρημα σχετικά με τις προϋποθέσεις για την ολοκλήρωση σε στοιχειώδεις λειτουργίεςδιαφορικό διώνυμο. Ένας σημαντικός τομέας έρευνας για μαθηματική ανάλυσηαποτελούν το έργο του για την κατασκευή γενική θεωρίαορθογώνια πολυώνυμα. Ο λόγος για τη δημιουργία του ήταν η παραβολική παρεμβολή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωνα. Η έρευνα του Chebyshev για το πρόβλημα των ροπών και των τύπων τετραγωνισμού βρίσκεται δίπλα σε αυτόν τον ίδιο κύκλο ιδεών. Με σκοπό τη μείωση των υπολογισμών, ο Chebyshev πρότεινε (1873) να εξεταστούν τύποι τετραγωνισμού με ίσους συντελεστές (κατά προσέγγιση ολοκλήρωση). Η έρευνα σχετικά με τους τύπους τετραγωνισμού και τη θεωρία της παρεμβολής συνδέονταν στενά με τα καθήκοντα που τέθηκαν στον Chebyshev στο τμήμα πυροβολικού της στρατιωτικής επιστημονικής επιτροπής.

Στη θεωρία πιθανοτήτων, ο Chebyshev πιστώνεται ότι εισήγαγε συστηματικά τυχαίες μεταβλητέςκαι η δημιουργία μιας νέας τεχνικής για την απόδειξη οριακών θεωρημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων - η λεγόμενη. μέθοδος στιγμών (1845, 1846, 1867, 1887). Έχουν αποδείξει μεγάλοι αριθμοίο νόμος σε πολύ γενική μορφή. Επιπλέον, η απόδειξή του είναι εντυπωσιακή για την απλότητα και τη στοιχειότητά της. Μελέτη των συνθηκών για τη σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής αθροισμάτων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών σε κανονικός νόμοςΟ Chebyshev δεν το ολοκλήρωσε πλήρως. Ωστόσο, μέσω κάποιας προσθήκης στις μεθόδους του Chebyshev, ο A. A. Markov κατάφερε να το κάνει αυτό. Χωρίς αυστηρά συμπεράσματα, ο Chebyshev περιέγραψε επίσης τη δυνατότητα αποσαφήνισης αυτού του οριακού θεωρήματος με τη μορφή ασυμπτωτικών επεκτάσεων της συνάρτησης κατανομής του αθροίσματος ανεξάρτητων όρων σε δυνάμεις n21/2, όπου n είναι ο αριθμός των όρων. Τα έργα του Chebyshev για τη θεωρία πιθανοτήτων ανέρχονται σε σημαντικό στάδιοστην ανάπτυξή του? Επιπλέον, αποτέλεσαν τη βάση πάνω στην οποία αναπτύχθηκε η ρωσική σχολή της θεωρίας πιθανοτήτων, αποτελούμενη αρχικά από άμεσους μαθητές του Chebyshev.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Κάτω Σαξονία, 1826 - Selaska, κοντά στην Intra, Ιταλία 66)

Γερμανός μαθηματικός. Το 1846 μπήκε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν: άκουσε διαλέξεις του Κ. Γκάους, πολλές από τις ιδέες του οποίου αναπτύχθηκαν αργότερα από τον ίδιο. Το 1847–49 παρακολούθησε διαλέξεις στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. το 1849 επέστρεψε στο Γκέτινγκεν, όπου ήρθε κοντά με τον συνεργάτη του Γκάους, τον φυσικό W. Weber, ο οποίος του προκάλεσε ένα βαθύ ενδιαφέρον για ζητήματα μαθηματικών επιστημών.

Το 1851 υπερασπίστηκε τη διδακτορική του διατριβή «Βασικές αρχές της γενικής θεωρίας των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής». Από το 1854, privatedozent, από το 1857, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Göttingen.

Το έργο του Riemann είχε μεγάλη επιρροή στην ανάπτυξη των μαθηματικών 2η μισό του 19ου αιώνα V. και τον 20ο αιώνα. Στη διδακτορική του διατριβή, ο Riemann έθεσε τα θεμέλια για τη γεωμετρική κατεύθυνση της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων. εισήγαγε τις λεγόμενες επιφάνειες Riemann, οι οποίες είναι σημαντικές για τη μελέτη συναρτήσεων πολλαπλών τιμών, ανέπτυξε τη θεωρία των σύμμορφων αντιστοιχίσεων και, σε σχέση με αυτό, έδωσε τις βασικές ιδέες της τοπολογίας, μελέτησε τις συνθήκες για την ύπαρξη αναλυτικών συναρτήσεων εντός τομέων διάφοροι τύποι(η λεγόμενη αρχή Dirichlet) κ.λπ. Οι μέθοδοι που ανέπτυξε ο Riemann χρησιμοποιήθηκαν ευρέως στα περαιτέρω έργα του σχετικά με τη θεωρία των αλγεβρικών συναρτήσεων και ολοκληρωμάτων, στην αναλυτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων (ιδίως, εξισώσεις που ορίζουν υπεργεωμετρικές συναρτήσεις), αναλυτική θεωρία αριθμών (για παράδειγμα, ο Riemann έδειξε τη σύνδεση μεταξύ της κατανομής των πρώτων αριθμών και των ιδιοτήτων της συνάρτησης ζ, ιδιαίτερα με την κατανομή των μηδενικών της στη σύνθετη περιοχή - η λεγόμενη υπόθεση Riemann, η εγκυρότητα της οποίας δεν έχει ακόμη αποδειχθεί) κ.λπ.

Σε μια σειρά έργων, ο Riemann μελέτησε τη δυνατότητα αποσύνθεσης των συναρτήσεων σε τριγωνομετρικές σειρές και, σε σχέση με αυτό, προσδιόρισε τις απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για την ολοκλήρωση με την έννοια του Riemann, κάτι που ήταν σημαντικό για τη θεωρία των συνόλων και των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής. Ο Riemann πρότεινε επίσης μεθόδους για την ολοκλήρωση μερικών διαφορικών εξισώσεων (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τα λεγόμενα αναλλοίωτα Riemann και τη συνάρτηση Riemann).

Στη διάσημη διάλεξή του το 1854 «On the Hypotheses Who Underlie Geometry» (1867), ο Riemann έδωσε μια γενική ιδέα του μαθηματικού χώρου (κατά τα λόγια του, «πολλαπλών»), συμπεριλαμβανομένων των λειτουργικών και τοπολογικών χώρων. Εδώ θεώρησε τη γεωμετρία με ευρεία έννοια ως τη μελέτη συνεχών n-διάστατων πολλαπλών, δηλαδή συλλογών οποιωνδήποτε ομοιογενών αντικειμένων και, γενικεύοντας τα αποτελέσματα του Gauss για την εσωτερική γεωμετρία μιας επιφάνειας, έδωσε γενική έννοιαγραμμικό στοιχείο (διαφορικό της απόστασης μεταξύ των σημείων της πολλαπλής), καθορίζοντας έτσι τους λεγόμενους χώρους Finsler. Ο Riemann εξέτασε λεπτομερέστερα τους λεγόμενους Riemann χώρους, γενικεύοντας τους χώρους της Ευκλείδειας, του Lobachevsky και της Riemannian ελλειπτικής γεωμετρίας, που χαρακτηρίζονται από έναν ειδικό τύπο γραμμικού στοιχείου, και ανέπτυξε το δόγμα της καμπυλότητάς τους. Συζητώντας την εφαρμογή των ιδεών του στο φυσικό χώρο, ο Riemann έθεσε το ερώτημα των «αιτιών των μετρικών ιδιοτήτων» του, σαν να προέβλεψε τι έγινε στη γενική θεωρία της σχετικότητας.

Οι ιδέες και οι μέθοδοι που πρότεινε ο Riemann άνοιξαν νέους δρόμους στην ανάπτυξη των μαθηματικών και βρήκαν εφαρμογή στη μηχανική και τη γενική θεωρία της σχετικότητας. Ο επιστήμονας πέθανε το 1866 από φυματίωση.

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί, εκτός από έναν, χωρίζονται σε πρώτους και σύνθετους. Πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός που έχει μόνο δύο διαιρέτες: έναν και τον εαυτό του. Όλα τα άλλα ονομάζονται σύνθετα. Οι ιδιότητες των πρώτων αριθμών μελετώνται από ειδικό κλάδο των μαθηματικών - τη θεωρία αριθμών. Στη θεωρία δακτυλίων, οι πρώτοι αριθμοί σχετίζονται με μη αναγώγιμα στοιχεία.

Εδώ είναι μια ακολουθία πρώτων αριθμών που ξεκινούν από τα 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... κ.λπ.

Σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, κάθε φυσικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος του ενός μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Ταυτόχρονα, αυτό είναι ο μόνος τρόποςαναπαραστάσεις φυσικών αριθμών μέχρι τη σειρά των παραγόντων. Με βάση αυτό, μπορούμε να πούμε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι τα στοιχειώδη μέρη των φυσικών αριθμών.

Αυτή η αναπαράσταση ενός φυσικού αριθμού ονομάζεται αποσύνθεση ενός φυσικού αριθμού σε πρώτους αριθμούς ή παραγοντοποίηση ενός αριθμού.

Ένα από τα αρχαιότερα και αποτελεσματικούς τρόπουςΟ υπολογισμός των πρώτων αριθμών είναι το «κόσκινο του Εραστοφαίνου».

Η πρακτική έχει δείξει ότι μετά τον υπολογισμό των πρώτων αριθμών χρησιμοποιώντας το κόσκινο του Erastophenes, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε αν ο δεδομένος αριθμός είναι πρώτος. Για το σκοπό αυτό έχουν αναπτυχθεί ειδικά τεστ, τα λεγόμενα τεστ απλότητας. Ο αλγόριθμος αυτών των δοκιμών είναι πιθανολογικός. Χρησιμοποιούνται συχνότερα στην κρυπτογραφία.

Παρεμπιπτόντως, για ορισμένες κατηγορίες αριθμών υπάρχουν εξειδικευμένα αποτελεσματικά τεστ πρωταρχικότητας. Για παράδειγμα, για να ελεγχθεί η πρωταρχικότητα των αριθμών Mersenne, χρησιμοποιείται η δοκιμή Luc-Lehmer και για να ελεγχθεί η πρωταρχικότητα των αριθμών Fermat, η δοκιμή Pepin.

Όλοι γνωρίζουμε ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί. Δικαίως τίθεται το ερώτημα: πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν τότε; Υπάρχει επίσης ένας άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών. Η πιο αρχαία απόδειξη αυτής της πρότασης είναι η απόδειξη του Ευκλείδη, η οποία εκτίθεται στα Στοιχεία. Η απόδειξη του Ευκλείδη μοιάζει με αυτό:

Ας φανταστούμε ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένος. Ας τα πολλαπλασιάσουμε και ας προσθέσουμε ένα. Ο αριθμός που προκύπτει δεν μπορεί να διαιρεθεί με κανένα από το πεπερασμένο σύνολο των πρώτων αριθμών, γιατί το υπόλοιπο της διαίρεσης με οποιονδήποτε από αυτούς δίνει ένα. Έτσι, ο αριθμός πρέπει να διαιρείται με κάποιον πρώτο αριθμό που δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο.

Το θεώρημα κατανομής πρώτων αριθμών δηλώνει ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών μικρότεροι από n, που συμβολίζονται με π(n), αυξάνεται ως n / ln(n).

Μετά από χιλιάδες χρόνια μελέτης των πρώτων αριθμών, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι ο 243112609 − 1. Αυτός ο αριθμός έχει 12.978.189 δεκαδικά ψηφία και είναι ο πρώτος αριθμός Mersenne (M43112609). Αυτή η ανακάλυψη έγινε στις 23 Αυγούστου 2008 στη Μαθηματική Σχολή του Πανεπιστημίου uCLA ως μέρος της κατανεμημένης αναζήτησης για το έργο GIMPS πρώτων αριθμών Mersenne.

Σπίτι διακριτικό χαρακτηριστικόΟι αριθμοί Mersenne είναι η παρουσία ενός εξαιρετικά αποτελεσματικού τεστ πρωταρχικότητας Luc-Lemaire. Με τη βοήθειά του, οι πρώτοι του Mersenne είναι, για μεγάλο χρονικό διάστημα, οι μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι.

Ωστόσο, μέχρι σήμερα, πολλές ερωτήσεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς δεν έχουν λάβει ακριβείς απαντήσεις. Στο 5ο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών, ο Edmund Landau διατύπωσε τα κύρια προβλήματα στον τομέα των πρώτων αριθμών:

Το πρόβλημα του Goldbach ή το πρώτο πρόβλημα του Landau είναι ότι είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ή να διαψευσθεί ότι κάθε Ζυγός αριθμός, μεγαλύτερο από δύο, μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δύο πρώτων και κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος από 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα τριών πρώτων.
Το δεύτερο πρόβλημα του Landau απαιτεί την εύρεση μιας απάντησης στο ερώτημα: είναι άπειρο το σύνολο των «πρώτων διδύμων» -πρώτων αριθμών των οποίων η διαφορά είναι 2;
Η εικασία του Legendre ή το τρίτο πρόβλημα του Landau είναι: είναι αλήθεια ότι μεταξύ n2 και (n + 1)2 υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθμός;
Το τέταρτο πρόβλημα του Landau: είναι άπειρο το σύνολο των πρώτων αριθμών της μορφής n2 + 1;
Εκτός από τα παραπάνω προβλήματα, υπάρχει το πρόβλημα του προσδιορισμού του άπειρου αριθμού πρώτων αριθμών σε πολλές ακέραιες ακολουθίες όπως ο αριθμός Fibonacci, ο αριθμός Fermat κ.λπ.

πρώτοι αριθμοίαντιπροσωπεύουν ένα από τα πιο ενδιαφέροντα μαθηματικά φαινόμενα, που έχει προσελκύσει την προσοχή των επιστημόνων και των απλών πολιτών για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια. Παρά το γεγονός ότι τώρα ζούμε στην εποχή των υπολογιστών και των πιο σύγχρονων προγραμμάτων πληροφοριών, πολλοί γρίφοι πρώτων αριθμών δεν έχουν ακόμη λυθεί· υπάρχουν ακόμη και κάποιοι που οι επιστήμονες δεν ξέρουν πώς να προσεγγίσουν.

Οι πρώτοι αριθμοί είναι, όπως είναι γνωστό από την πορεία της στοιχειώδους αριθμητικής, εκείνοι που διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο μόνο με τον έναν και τον εαυτό τους. Παρεμπιπτόντως, εάν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται, εκτός από αυτούς που αναφέρονται παραπάνω, με οποιονδήποτε άλλο αριθμό, τότε ονομάζεται σύνθετος. Ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα δηλώνει ότι οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως μοναδικό δυνατό γινόμενο πρώτων αριθμών.

Μερικά ενδιαφέροντα γεγονότα. Πρώτον, η μονάδα είναι μοναδική υπό την έννοια ότι, στην πραγματικότητα, δεν ανήκει ούτε σε πρώτους ούτε σε σύνθετους αριθμούς. Ταυτόχρονα, στην επιστημονική κοινότητα εξακολουθεί να συνηθίζεται να κατατάσσεται συγκεκριμένα στην πρώτη ομάδα, αφού τυπικά ικανοποιεί πλήρως τις απαιτήσεις της.

Δεύτερον, ο μόνος ζυγός αριθμός που συμπιέζεται στην ομάδα «πρώτων αριθμών» είναι, φυσικά, δύο. Οποιοσδήποτε άλλος ζυγός αριθμός απλά δεν μπορεί να φτάσει εδώ, αφού εξ ορισμού, εκτός από τον εαυτό του και το ένα, διαιρείται και με το δύο.

Οι πρώτοι αριθμοί, η λίστα των οποίων, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μπορεί να ξεκινά με έναν, αντιπροσωπεύουν μια άπειρη σειρά, τόσο άπειρη όσο η σειρά των φυσικών αριθμών. Με βάση το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι οι πρώτοι αριθμοί δεν διακόπτονται ποτέ και δεν τελειώνουν ποτέ, γιατί διαφορετικά η σειρά των φυσικών αριθμών αναπόφευκτα θα διακόπτονταν.

Οι πρώτοι αριθμοί δεν εμφανίζονται τυχαία στη φυσική σειρά, όπως μπορεί να φαίνονται με την πρώτη ματιά. Έχοντας τα αναλύσει προσεκτικά, μπορείτε να παρατηρήσετε αμέσως πολλά χαρακτηριστικά, τα πιο ενδιαφέροντα από τα οποία σχετίζονται με τους λεγόμενους «δίδυμους» αριθμούς. Λέγονται έτσι γιατί κατά κάποιον ακατανόητο τρόπο κατέληξαν το ένα δίπλα στο άλλο, χωριζόμενοι μόνο από έναν άρτιο οριοθέτη (πέντε και επτά, δεκαεπτά και δεκαεννέα).

Αν τους κοιτάξετε προσεκτικά, θα παρατηρήσετε ότι το άθροισμα αυτών των αριθμών είναι πάντα πολλαπλάσιο του τρία. Επιπλέον, όταν διαιρούμε το αριστερό ένα προς τρία, το υπόλοιπο παραμένει πάντα δύο και το δεξί παραμένει πάντα ένα. Επιπλέον, η ίδια η κατανομή αυτών των αριθμών κατά μήκος της φυσικής σειράς μπορεί να προβλεφθεί αν φανταστούμε ολόκληρη αυτή τη σειρά με τη μορφή ταλαντωτικών ημιτονίων, τα κύρια σημεία των οποίων σχηματίζονται όταν οι αριθμοί διαιρούνται με το τρία και το δύο.

Οι πρώτοι αριθμοί δεν αποτελούν μόνο αντικείμενο προσεκτικής εξέτασης από τους μαθηματικούς σε όλο τον κόσμο, αλλά έχουν χρησιμοποιηθεί από καιρό με επιτυχία στη συλλογή διαφόρων σειρών αριθμών, η οποία αποτελεί τη βάση, μεταξύ άλλων, για την κρυπτογραφία. Πρέπει να αναγνωριστεί ότι ένας τεράστιος αριθμός μυστηρίων που σχετίζονται με αυτά τα υπέροχα στοιχεία περιμένουν ακόμη να λυθούν· πολλά ερωτήματα δεν έχουν μόνο φιλοσοφική, αλλά και πρακτική σημασία.

Πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και το ένα.

Οι υπόλοιποι αριθμοί ονομάζονται σύνθετοι αριθμοί.

Πρώτοι φυσικοί αριθμοί

Αλλά δεν είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί πρώτοι αριθμοί.

Πρώτοι φυσικοί αριθμοί είναι μόνο αυτοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και με το ένα.

Παραδείγματα πρώτων αριθμών:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Πρώτοι Ακέραιοι

Από αυτό προκύπτει ότι μόνο οι φυσικοί αριθμοί είναι πρώτοι αριθμοί.

Αυτό σημαίνει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι αναγκαστικά φυσικοί αριθμοί.

Αλλά όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης ακέραιοι.

Έτσι, όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι ακέραιοι.

Παραδείγματα πρώτων αριθμών:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Ακόμη και πρώτοι αριθμοί

Υπάρχει μόνο ένας ζυγός πρώτος αριθμός - ο αριθμός δύο.

Όλοι οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Γιατί ένας ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από δύο δεν μπορεί να είναι πρώτος αριθμός;

Επειδή, όμως, οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του δύο θα διαιρείται από μόνος του, όχι με το ένα και με το δύο, δηλαδή ένας τέτοιος αριθμός θα έχει πάντα τρεις διαιρέτες, και ενδεχομένως και περισσότερους.

Η απάντηση του Ilya είναι σωστή, αλλά όχι πολύ λεπτομερής. Τον 18ο αιώνα, παρεμπιπτόντως, το ένα θεωρούνταν ακόμα πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα, σπουδαίοι μαθηματικοί όπως ο Euler και ο Goldbach. Ο Goldbach είναι ο συγγραφέας ενός από τα επτά προβλήματα της χιλιετίας - της υπόθεσης Goldbach. Η αρχική διατύπωση δηλώνει ότι κάθε ζυγός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Επιπλέον, αρχικά το 1 λήφθηκε υπόψη ως πρώτος αριθμός και βλέπουμε αυτό: 2 = 1+1. Αυτό μικρότερο παράδειγμα, ικανοποιώντας την αρχική διατύπωση της υπόθεσης. Αργότερα διορθώθηκε και η διατύπωση απέκτησε μια σύγχρονη μορφή: «κάθε ζυγός αριθμός, που ξεκινά από το 4, μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών».

Ας θυμηθούμε τον ορισμό. Ένας πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός p που έχει μόνο 2 διαφορετικούς φυσικούς διαιρέτες: τον ίδιο τον p και 1. Συμπέρασμα από τον ορισμό: ένας πρώτος αριθμός p έχει μόνο έναν πρώτο διαιρέτη - τον ίδιο τον p.

Τώρα ας υποθέσουμε ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός. Εξ ορισμού, ένας πρώτος αριθμός έχει μόνο έναν πρώτο διαιρέτη - τον εαυτό του. Τότε αποδεικνύεται ότι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός μεγαλύτερος από 1 διαιρείται με πρώτο αριθμό διαφορετικό από αυτόν (με 1). Αλλά δύο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί δεν μπορούν να διαιρεθούν μεταξύ τους, γιατί διαφορετικά δεν είναι πρώτοι αριθμοί, αλλά σύνθετοι, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό. Με αυτήν την προσέγγιση, αποδεικνύεται ότι υπάρχει μόνο 1 πρώτος αριθμός - η ίδια η μονάδα. Αλλά αυτό είναι παράλογο. Επομένως, το 1 δεν είναι πρώτος αριθμός.

Το 1, καθώς και το 0, σχηματίζουν μια άλλη κατηγορία αριθμών - την κλάση των ουδέτερων στοιχείων σε σχέση με τις πράξεις ν-αρίου σε κάποιο υποσύνολο του αλγεβρικού πεδίου. Επιπλέον, όσον αφορά τη λειτουργία της πρόσθεσης, το 1 είναι επίσης ένα στοιχείο παραγωγής για τον δακτύλιο των ακεραίων.

Με αυτή την εξέταση, δεν είναι δύσκολο να ανακαλύψουμε ανάλογα πρώτων αριθμών σε άλλες αλγεβρικές δομές. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια πολλαπλασιαστική ομάδα που σχηματίζεται από δυνάμεις του 2, ξεκινώντας από το 1: 2, 4, 8, 16, ... κ.λπ. Το 2 λειτουργεί ως διαμορφωτικό στοιχείο εδώ. Ένας πρώτος αριθμός σε αυτήν την ομάδα είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος από το μικρότερο στοιχείο και διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και το μικρότερο στοιχείο. Στην ομάδα μας, μόνο 4 έχουν τέτοιες ιδιότητες. Αυτό ήταν. Δεν υπάρχουν άλλοι πρώτοι αριθμοί στην ομάδα μας.

Εάν το 2 ήταν επίσης πρώτος αριθμός στην ομάδα μας, τότε δείτε την πρώτη παράγραφο - και πάλι θα αποδεικνυόταν ότι μόνο το 2 είναι πρώτος αριθμός.