Διαστήματα εμπιστοσύνης.

Υπολογισμός διάστημα εμπιστοσύνηςβασίζεται στο μέσο σφάλμα της αντίστοιχης παραμέτρου. Διάστημα εμπιστοσύνης δείχνει μέσα σε ποια όρια με πιθανότητα (1-α) βρίσκεται η πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου. Εδώ το a είναι το επίπεδο σημαντικότητας, το (1-a) ονομάζεται επίσης πιθανότητα εμπιστοσύνης.

Στο πρώτο κεφάλαιο δείξαμε ότι, για παράδειγμα, για τον αριθμητικό μέσο όρο, ο πραγματικός μέσος όρος πληθυσμού σε περίπου 95% των περιπτώσεων βρίσκεται εντός 2 τυπικών σφαλμάτων από τον μέσο όρο. Έτσι, τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τον μέσο όρο θα διαχωρίζονται από τον μέσο όρο του δείγματος κατά το διπλάσιο του μέσου σφάλματος του μέσου όρου, δηλ. πολλαπλασιάζουμε το μέσο σφάλμα του μέσου όρου με έναν συγκεκριμένο συντελεστή ανάλογα με το επίπεδο εμπιστοσύνης. Για το μέσο όρο και τη διαφορά των μέσων όρων λαμβάνεται ο συντελεστής Student (κρίσιμη τιμή του τεστ Student), για το μερίδιο και η διαφορά μεριδίων η κρίσιμη τιμή του κριτηρίου z. Το γινόμενο του συντελεστή και του μέσου σφάλματος μπορεί να ονομαστεί μέγιστο σφάλμα μιας δεδομένης παραμέτρου, δηλ. το μέγιστο που μπορούμε να αποκτήσουμε κατά την αξιολόγηση.

Διάστημα εμπιστοσύνης για αριθμητικός μέσος όρος : .

Εδώ είναι το δείγμα μέσου όρου.

Μέσο σφάλμα του αριθμητικού μέσου όρου.

s –τυπική απόκλιση δείγματος.

n

f = n-1 (Συντελεστής μαθητή).

Διάστημα εμπιστοσύνης για διαφορές αριθμητικών μέσων :

Εδώ είναι η διαφορά μεταξύ των μέσων δειγμάτων.

- μέσο σφάλμα της διαφοράς μεταξύ αριθμητικών μέσων.

s 1 , s 2 -δείγμα τυπικών αποκλίσεων.

n1, n2

Η κρίσιμη τιμή της δοκιμασίας του Μαθητή για ένα δεδομένο επίπεδο σημασίας α και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας f=n 1 +n 2-2 (Συντελεστής μαθητή).

Διάστημα εμπιστοσύνης για μερίδια :

.

Εδώ d είναι το κλάσμα δείγματος.

– μέσο κλασματικό σφάλμα.

n– μέγεθος δείγματος (μέγεθος ομάδας).

Διάστημα εμπιστοσύνης για διαφορά μετοχών :

Εδώ είναι η διαφορά στα μερίδια δείγματος.

– μέσο σφάλμα της διαφοράς μεταξύ αριθμητικών μέσων.

n1, n2– όγκοι δειγμάτων (αριθμός ομάδων).

Η κρίσιμη τιμή του κριτηρίου z σε δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας a ( , , ).

Υπολογίζοντας τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ των δεικτών, καταρχάς βλέπουμε άμεσα τις πιθανές τιμές του αποτελέσματος και όχι μόνο την σημειακή του εκτίμηση. Δεύτερον, μπορούμε να βγάλουμε ένα συμπέρασμα σχετικά με την αποδοχή ή την απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης και, τρίτον, μπορούμε να βγάλουμε ένα συμπέρασμα σχετικά με τη δύναμη του τεστ.

Κατά τη δοκιμή υποθέσεων χρησιμοποιώντας διαστήματα εμπιστοσύνης, πρέπει να τηρείτε επόμενος κανόνας:

Εάν το 100(1-a) τοις εκατό διάστημα εμπιστοσύνης της διαφοράς των μέσων δεν περιέχει μηδέν, τότε οι διαφορές είναι στατιστικά σημαντικές σε επίπεδο σημαντικότητας α. Αντίθετα, αν αυτό το διάστημα περιέχει μηδέν, τότε οι διαφορές δεν είναι στατιστικά σημαντικές.

Πράγματι, εάν αυτό το διάστημα περιέχει μηδέν, σημαίνει ότι ο δείκτης που συγκρίνεται μπορεί να είναι είτε μεγαλύτερος είτε μικρότερος σε μία από τις ομάδες σε σύγκριση με την άλλη, δηλ. οι παρατηρούμενες διαφορές οφείλονται στην τύχη.

Η ισχύς της δοκιμής μπορεί να κριθεί από τη θέση του μηδέν εντός του διαστήματος εμπιστοσύνης. Εάν το μηδέν είναι κοντά στο κατώτερο ή το ανώτερο όριο του διαστήματος, τότε είναι πιθανό ότι με μεγαλύτερο αριθμό ομάδων που συγκρίνονται, οι διαφορές θα έφταναν σε στατιστική σημασία. Εάν το μηδέν είναι κοντά στο μέσο του διαστήματος, τότε σημαίνει ότι τόσο η αύξηση όσο και η μείωση του δείκτη στην πειραματική ομάδα είναι εξίσου πιθανές και, πιθανώς, δεν υπάρχουν πραγματικά διαφορές.

Παραδείγματα:

Για να συγκρίνετε τη χειρουργική θνησιμότητα κατά τη χρήση δύο διαφορετικών τύπων αναισθησίας: 61 άτομα χειρουργήθηκαν με τον πρώτο τύπο αναισθησίας, 8 πέθαναν, με τον δεύτερο τύπο – 67 άτομα, 10 πέθαναν.

d 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Η διαφορά στη θνησιμότητα των μεθόδων σύγκρισης θα είναι στην περιοχή (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) ή (-0,14; 0,104) με πιθανότητα 100(1-a) = 95%. Το διάστημα περιέχει μηδέν, δηλ. υπόθεση για την ίδια θνησιμότητα σε δύο ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙΗ αναισθησία δεν μπορεί να απορριφθεί.

Έτσι, το ποσοστό θνησιμότητας μπορεί και θα μειωθεί στο 14% και θα αυξηθεί στο 10,4% με πιθανότητα 95%, δηλ. Το μηδέν βρίσκεται περίπου στο μέσο του διαστήματος, επομένως μπορεί να υποστηριχθεί ότι, πιθανότατα, αυτές οι δύο μέθοδοι πραγματικά δεν διαφέρουν ως προς τη θνησιμότητα.

Στο παράδειγμα που συζητήθηκε προηγουμένως, ο μέσος χρόνος πίεσης κατά τη διάρκεια της δοκιμής tapping συγκρίθηκε σε τέσσερις ομάδες μαθητών που διέφεραν στις βαθμολογίες των εξετάσεων. Ας υπολογίσουμε τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το μέσο χρόνο πίεσης για μαθητές που πέτυχαν τις εξετάσεις με βαθμούς 2 και 5 και το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ αυτών των μέσων.

Οι συντελεστές Student's βρίσκονται χρησιμοποιώντας τους πίνακες κατανομής Student (βλ. παράρτημα): για την πρώτη ομάδα: = t(0,05;48) = 2,011; για τη δεύτερη ομάδα: = t(0,05;61) = 2.000. Έτσι, διαστήματα εμπιστοσύνης για την πρώτη ομάδα: = (162,19-2,011*2,18; 162,19+2,011*2,18) = (157,8; 166,6), για τη δεύτερη ομάδα (156,55- 2,000*1,88; 156,200*) 160,3). Έτσι, για όσους πέρασαν την εξέταση με 2, ο μέσος χρόνος πίεσης κυμαίνεται από 157,8 ms έως 166,6 ms με πιθανότητα 95%, για όσους πέτυχαν την εξέταση με 5 – από 152,8 ms έως 160,3 ms με πιθανότητα 95% .

Μπορείτε επίσης να ελέγξετε τη μηδενική υπόθεση χρησιμοποιώντας διαστήματα εμπιστοσύνης για μέσα, και όχι μόνο για τη διαφορά στα μέσα. Για παράδειγμα, όπως στην περίπτωσή μας, εάν τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τα μέσα αλληλοεπικαλύπτονται, τότε η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί. Για να απορριφθεί μια υπόθεση σε επιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας, τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης δεν πρέπει να επικαλύπτονται.

Ας βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά του μέσου χρόνου πίεσης στις ομάδες που πέτυχαν τις εξετάσεις με βαθμούς 2 και 5. Διαφορά μέσου όρου: 162,19 – 156,55 = 5,64. Συντελεστής μαθητή: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Οι τυπικές αποκλίσεις ομάδας θα είναι ίσες με: ; . Υπολογίζουμε το μέσο σφάλμα της διαφοράς μεταξύ των μέσων: . Διάστημα εμπιστοσύνης: =(5,64-1,982*2,87; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044; 11,33).

Έτσι, η διαφορά στο μέσο χρόνο πίεσης στις ομάδες που πέρασαν τις εξετάσεις με 2 και 5 θα κυμαίνεται από -0,044 ms έως 11,33 ms. Αυτό το διάστημα περιλαμβάνει το μηδέν, δηλ. Ο μέσος χρόνος πίεσης για όσους πέρασαν καλά τις εξετάσεις μπορεί είτε να αυξηθεί είτε να μειωθεί σε σύγκριση με εκείνους που πέρασαν τις εξετάσεις μη ικανοποιητικά, δηλ. η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί. Αλλά το μηδέν είναι πολύ κοντά στο κατώτερο όριο και ο χρόνος πίεσης είναι πολύ πιο πιθανό να μειωθεί για όσους πέρασαν καλά. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι εξακολουθούν να υπάρχουν διαφορές στο μέσο χρόνο πίεσης μεταξύ εκείνων που πέρασαν το 2 και το 5, απλώς δεν μπορέσαμε να τις εντοπίσουμε δεδομένης της αλλαγής στο μέσο χρόνο, την κατανομή του μέσου χρόνου και τα μεγέθη του δείγματος.

Η ισχύς ενός τεστ είναι η πιθανότητα απόρριψης μιας λανθασμένης μηδενικής υπόθεσης, δηλ. βρείτε διαφορές εκεί που υπάρχουν στην πραγματικότητα.

Η ισχύς της δοκιμής προσδιορίζεται με βάση το επίπεδο σημαντικότητας, το μέγεθος των διαφορών μεταξύ των ομάδων, την εξάπλωση των τιμών σε ομάδες και το μέγεθος των δειγμάτων.

Για τη δοκιμή t Student και την ανάλυση διακύμανσης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαγράμματα ευαισθησίας.

Η ισχύς του κριτηρίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προκαταρκτικό προσδιορισμό του απαιτούμενου αριθμού ομάδων.

Το διάστημα εμπιστοσύνης δείχνει μέσα σε ποια όρια βρίσκεται η πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου με μια δεδομένη πιθανότητα.

Χρησιμοποιώντας διαστήματα εμπιστοσύνης, μπορείτε να δοκιμάσετε στατιστικές υποθέσεις και να βγάλετε συμπεράσματα σχετικά με την ευαισθησία των κριτηρίων.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.

Glanz S. – Κεφάλαιο 6,7.

Rebrova O.Yu. – σ.112-114, σ.171-173, σ.234-238.

Sidorenko E.V. – σελ.32-33.

Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο μαθητών.

1. Ποια είναι η ισχύς του κριτηρίου;

2. Σε ποιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να αξιολογηθεί η ισχύς των κριτηρίων;

3. Μέθοδοι υπολογισμού ισχύος.

6. Πώς να ελέγξετε μια στατιστική υπόθεση χρησιμοποιώντας ένα διάστημα εμπιστοσύνης;

7. Τι μπορεί να ειπωθεί για την ισχύ του κριτηρίου κατά τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης;

Καθήκοντα.

Στις προηγούμενες υποενότητες εξετάσαμε το ζήτημα της εκτίμησης μιας άγνωστης παραμέτρου ΕΝΑένας αριθμός. Αυτό ονομάζεται εκτίμηση «σημείου». Σε μια σειρά εργασιών, δεν χρειάζεται μόνο να βρείτε την παράμετρο ΕΝΑκατάλληλη αριθμητική τιμή, αλλά και για την αξιολόγηση της ακρίβειας και της αξιοπιστίας της. Πρέπει να γνωρίζετε σε ποια σφάλματα μπορεί να οδηγήσει η αντικατάσταση μιας παραμέτρου ΕΝΑσημειακή του εκτίμηση ΕΝΑκαι με ποιο βαθμό εμπιστοσύνης μπορούμε να περιμένουμε ότι αυτά τα σφάλματα δεν θα υπερβούν τα γνωστά όρια;

Προβλήματα αυτού του είδους είναι ιδιαίτερα σχετικά με έναν μικρό αριθμό παρατηρήσεων, όταν η σημειακή εκτίμηση και στοείναι σε μεγάλο βαθμό τυχαία και η κατά προσέγγιση αντικατάσταση του a από το a μπορεί να οδηγήσει σε σοβαρά σφάλματα.

Για να δώσετε μια ιδέα για την ακρίβεια και την αξιοπιστία της εκτίμησης ΕΝΑ,

V μαθηματικές στατιστικέςΧρησιμοποιούν τα λεγόμενα διαστήματα εμπιστοσύνης και πιθανότητες εμπιστοσύνης.

Αφήστε για την παράμετρο ΕΝΑαμερόληπτη εκτίμηση που προκύπτει από την εμπειρία ΕΝΑ.Θέλουμε να εκτιμήσουμε το πιθανό σφάλμα σε αυτή την περίπτωση. Ας αντιστοιχίσουμε κάποια αρκετά μεγάλη πιθανότητα p (για παράδειγμα, p = 0,9, 0,95 ή 0,99) έτσι ώστε ένα γεγονός με πιθανότητα p να μπορεί να θεωρηθεί πρακτικά αξιόπιστο και να βρούμε μια τιμή s για την οποία

Τότε το εύρος είναι πρακτικά πιθανές τιμέςσφάλμα που παρουσιάζεται κατά την αντικατάσταση ΕΝΑεπί ΕΝΑ, θα είναι ± s; μεγάλο από απόλυτη τιμήτα σφάλματα θα εμφανίζονται μόνο με μικρή πιθανότητα a = 1 - p. Ας ξαναγράψουμε το (14.3.1) ως εξής:

Ισότητα (14.3.2) σημαίνει ότι με πιθανότητα p η άγνωστη τιμή της παραμέτρου ΕΝΑεμπίπτει στο διάστημα

Είναι απαραίτητο να σημειώσουμε μια περίσταση. Προηγουμένως, έχουμε επανειλημμένα εξετάσει την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να πέσει σε ένα δεδομένο μη τυχαίο διάστημα. Εδώ η κατάσταση είναι διαφορετική: το μέγεθος ΕΝΑδεν είναι τυχαίο, αλλά το διάστημα / p είναι τυχαίο. Η θέση του στον άξονα x είναι τυχαία, καθορίζεται από το κέντρο του ΕΝΑ; Γενικά, το μήκος του διαστήματος 2s είναι επίσης τυχαίο, αφού η τιμή του s υπολογίζεται, κατά κανόνα, από πειραματικά δεδομένα. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, θα ήταν καλύτερο να ερμηνεύσουμε την τιμή p όχι ως την πιθανότητα να «χτυπήσουμε» το σημείο ΕΝΑστο διάστημα / p, και ως η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο διάστημα / p θα καλύψει το σημείο ΕΝΑ(Εικ. 14.3.1).

Ρύζι. 14.3.1

Η πιθανότητα p ονομάζεται συνήθως πιθανότητα εμπιστοσύνης, και διάστημα / p - διάστημα εμπιστοσύνης.Όρια διαστημάτων Αν. a x =a- s και a 2 = a +και καλούνται όρια εμπιστοσύνης.

Ας δώσουμε μια άλλη ερμηνεία στην έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης: μπορεί να θεωρηθεί ως ένα διάστημα τιμών παραμέτρων ΕΝΑ,συμβατό με πειραματικά δεδομένα και δεν έρχεται σε αντίθεση με αυτά. Πράγματι, εάν συμφωνήσουμε να θεωρήσουμε ένα γεγονός με πιθανότητα a = 1-p πρακτικά αδύνατο, τότε αυτές οι τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες α - α> s πρέπει να αναγνωρίζονται ως αντικρουόμενα πειραματικά δεδομένα και εκείνα για τα οποία |a - ΕΝΑ a t na 2 .

Αφήστε για την παράμετρο ΕΝΑυπάρχει μια αμερόληπτη εκτίμηση ΕΝΑ.Αν γνωρίζαμε τον νόμο κατανομής της ποσότητας ΕΝΑ, το έργο της εύρεσης ενός διαστήματος εμπιστοσύνης θα ήταν πολύ απλό: θα αρκούσε να βρείτε μια τιμή s για την οποία

Η δυσκολία είναι ότι ο νόμος της κατανομής των εκτιμήσεων ΕΝΑεξαρτάται από τον νόμο κατανομής της ποσότητας Χκαι, επομένως, στις άγνωστες παραμέτρους του (ιδίως στην ίδια την παράμετρο ΕΝΑ).

Για να ξεπεράσετε αυτή τη δυσκολία, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη κατά προσέγγιση τεχνική: αντικαταστήστε τις άγνωστες παραμέτρους στην έκφραση για το s με τις σημειακές εκτιμήσεις τους. Με σχετικά μεγάλο αριθμό πειραμάτων Π(περίπου 20...30) αυτή η τεχνική συνήθως δίνει αποτελέσματα που είναι ικανοποιητικά όσον αφορά την ακρίβεια.

Ως παράδειγμα, εξετάστε το πρόβλημα ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία.

Αφήστε το να παραχθεί Π Χ,των οποίων τα χαρακτηριστικά είναι η μαθηματική προσδοκία Τκαι διακύμανση ρε- άγνωστο. Λήφθηκαν οι ακόλουθες εκτιμήσεις για αυτές τις παραμέτρους:

Απαιτείται να κατασκευαστεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης / p που αντιστοιχεί στην πιθανότητα εμπιστοσύνης p για τη μαθηματική προσδοκία Τποσότητες Χ.

Κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η ποσότητα Ταντιπροσωπεύει το άθροισμα Πανεξάρτητες πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές Xhκαι σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, για ένα αρκετά μεγάλο Πο νόμος κατανομής του είναι κοντά στο κανονικό. Στην πράξη, ακόμη και με έναν σχετικά μικρό αριθμό όρων (περίπου 10...20), ο νόμος κατανομής του αθροίσματος μπορεί να θεωρηθεί περίπου κανονικός. Θα υποθέσουμε ότι η τιμή Τκατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο. Τα χαρακτηριστικά αυτού του νόμου - μαθηματική προσδοκία και διακύμανση - είναι ίσα, αντίστοιχα ΤΚαι

(βλ. κεφάλαιο 13 υποενότητα 13.3). Ας υποθέσουμε ότι η τιμή ρεγνωρίζουμε και θα βρούμε μια τιμή Ep για την οποία

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (6.3.5) του κεφαλαίου 6, εκφράζουμε την πιθανότητα στην αριστερή πλευρά του (14.3.5) μέσω της συνάρτησης κανονικής κατανομής

όπου είναι η τυπική απόκλιση της εκτίμησης Τ.

Από την εξ.

βρείτε την τιμή του Sp:

όπου arg Ф* (х) είναι η αντίστροφη συνάρτηση του Φ* (Χ),εκείνοι. μια τέτοια τιμή του ορίσματος για το οποίο η συνάρτηση κανονικής κατανομής είναι ίση με Χ.

Διασπορά ΡΕ,μέσω του οποίου εκφράζεται η ποσότητα ΕΝΑ 1P, δεν γνωρίζουμε ακριβώς? ως κατά προσέγγιση τιμή του, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εκτίμηση ρε(14.3.4) και βάλτε περίπου:

Έτσι, το πρόβλημα της κατασκευής ενός διαστήματος εμπιστοσύνης έχει περίπου λυθεί, το οποίο ισούται με:

όπου το gp προσδιορίζεται από τον τύπο (14.3.7).

Για να αποφευχθεί η αντίστροφη παρεμβολή στους πίνακες της συνάρτησης Ф* (l) κατά τον υπολογισμό του s p, είναι βολικό να συντάσσεται ένας ειδικός πίνακας (Πίνακας 14.3.1), ο οποίος δίνει τις τιμές της ποσότητας

ανάλογα με το r. Η τιμή (p καθορίζει για τον κανονικό νόμο τον αριθμό των τυπικών αποκλίσεων που πρέπει να αποτυπωθούν δεξιά και αριστερά από το κέντρο διασποράς έτσι ώστε η πιθανότητα να εισέλθει στην προκύπτουσα περιοχή είναι ίση με p.

Χρησιμοποιώντας την τιμή 7 p, το διάστημα εμπιστοσύνης εκφράζεται ως:

Πίνακας 14.3.1

Παράδειγμα 1. Διεξήχθησαν 20 πειράματα στην ποσότητα Χ;τα αποτελέσματα φαίνονται στον πίνακα. 14.3.2.

Πίνακας 14.3.2

Απαιτείται να βρεθεί μια εκτίμηση για τη μαθηματική προσδοκία της ποσότητας Χκαι να κατασκευάσετε ένα διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί στην πιθανότητα εμπιστοσύνης p = 0,8.

Λύση.Εχουμε:

Επιλέγοντας l: = 10 ως σημείο αναφοράς, χρησιμοποιώντας τον τρίτο τύπο (14.2.14) βρίσκουμε την αμερόληπτη εκτίμηση ρε :

Σύμφωνα με τον πίνακα 14.3.1 βρίσκουμε

Όρια εμπιστοσύνης:

Διάστημα εμπιστοσύνης:

Τιμές παραμέτρων Τ,που βρίσκονται σε αυτό το διάστημα είναι συμβατά με τα πειραματικά δεδομένα που δίνονται στον πίνακα. 14.3.2.

Ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση μπορεί να κατασκευαστεί με παρόμοιο τρόπο.

Αφήστε το να παραχθεί Πανεξάρτητα πειράματα σε τυχαία μεταβλητή Χμε άγνωστες παραμέτρους τόσο για το Α όσο και για τη διασπορά ρελήφθηκε μια αμερόληπτη εκτίμηση:

Απαιτείται να κατασκευαστεί κατά προσέγγιση ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση.

Από τον τύπο (14.3.11) είναι σαφές ότι η ποσότητα ρεαντιπροσωπεύει

ποσό Πτυχαίες μεταβλητές της φόρμας . Αυτές οι αξίες δεν είναι

ανεξάρτητο, αφού οποιοδήποτε από αυτά περιλαμβάνει την ποσότητα Τ,εξαρτάται από όλους τους άλλους. Ωστόσο, μπορεί να αποδειχθεί ότι με την αύξηση Πο νόμος κατανομής του αθροίσματος τους προσεγγίζει επίσης το κανονικό. Σχεδόν στο Π= 20...30 μπορεί ήδη να θεωρηθεί φυσιολογικό.

Ας υποθέσουμε ότι είναι έτσι, και ας βρούμε τα χαρακτηριστικά αυτού του νόμου: μαθηματική προσδοκία και διασπορά. Από την αξιολόγηση ρε- αμερόληπτο, λοιπόν Μ[Δ] = Δ.

Υπολογισμός διακύμανσης Δ Δσχετίζεται με σχετικά σύνθετους υπολογισμούς, επομένως παρουσιάζουμε την έκφρασή του χωρίς παράγωγο:

όπου q 4 είναι η τέταρτη κεντρική ροπή του μεγέθους Χ.

Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν την έκφραση, πρέπει να αντικαταστήσετε τις τιμές \u003d 4 και ρε(τουλάχιστον οι κοντινοί). Αντί ρεμπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αξιολόγησή του ΡΕ.Κατ 'αρχήν, η τέταρτη κεντρική στιγμή μπορεί επίσης να αντικατασταθεί από μια εκτίμηση, για παράδειγμα, μια τιμή της φόρμας:

αλλά μια τέτοια αντικατάσταση θα δώσει εξαιρετικά χαμηλή ακρίβεια, αφού γενικά, με περιορισμένο αριθμό πειραμάτων, οι ροπές υψηλής τάξης προσδιορίζονται με μεγάλα σφάλματα. Ωστόσο, στην πράξη συμβαίνει συχνά ότι ο τύπος του νόμου διανομής ποσότητας Χγνωστό εκ των προτέρων: μόνο οι παράμετροί του είναι άγνωστες. Στη συνέχεια, μπορείτε να προσπαθήσετε να εκφράσετε μ 4 έως ΡΕ.

Ας πάρουμε την πιο συνηθισμένη περίπτωση, όταν η τιμή Χκατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο. Τότε η τέταρτη κεντρική ροπή του εκφράζεται με όρους διασποράς (βλ. Κεφάλαιο 6, υποενότητα 6.2).

και ο τύπος (14.3.12) δίνει ή

Αντικατάσταση του αγνώστου στην (14.3.14) ρετην εκτίμησή του ρε, παίρνουμε: από πού

Η στιγμή μ 4 μπορεί να εκφραστεί μέσω ρεεπίσης σε ορισμένες άλλες περιπτώσεις, όταν η κατανομή της αξίας Χδεν είναι φυσιολογικό, αλλά η εμφάνισή του είναι γνωστή. Για παράδειγμα, για το νόμο της ομοιόμορφης πυκνότητας (βλ. Κεφάλαιο 5) έχουμε:

όπου (a, P) είναι το διάστημα στο οποίο προσδιορίζεται ο νόμος.

Ως εκ τούτου,

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (14.3.12) παίρνουμε: που βρίσκουμε περίπου

Σε περιπτώσεις όπου ο τύπος του νόμου διανομής για την ποσότητα 26 είναι άγνωστος, όταν γίνεται μια κατά προσέγγιση εκτίμηση της τιμής α/) εξακολουθεί να συνιστάται η χρήση του τύπου (14.3.16), εκτός εάν υπάρχουν ειδικοί λόγοι να πιστεύουμε ότι αυτός ο νόμος είναι πολύ διαφορετικό από το κανονικό (έχει αισθητή θετική ή αρνητική κύρτωση) .

Εάν η κατά προσέγγιση τιμή a/) λαμβάνεται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση με τον ίδιο τρόπο όπως το δημιουργήσαμε για τη μαθηματική προσδοκία:

όπου η τιμή ανάλογα με τη δεδομένη πιθανότητα p βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα. 14.3.1.

Παράδειγμα 2. Βρείτε περίπου 80% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής Χυπό τις συνθήκες του παραδείγματος 1, εάν είναι γνωστό ότι η τιμή Χδιανέμονται σύμφωνα με νόμο κοντά στο κανονικό.

Λύση.Η τιμή παραμένει η ίδια όπως στον πίνακα. 14.3.1:

Σύμφωνα με τον τύπο (14.3.16)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (14.3.18) βρίσκουμε το διάστημα εμπιστοσύνης:

Το αντίστοιχο εύρος τιμών τυπικής απόκλισης: (0,21; 0,29).

14.4. Ακριβείς μέθοδοι για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με έναν κανονικό νόμο

Στην προηγούμενη υποενότητα, εξετάσαμε κατά προσέγγιση μεθόδους για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για μαθηματικές προσδοκίες και διακύμανση. Εδώ θα δώσουμε μια ιδέα για τις ακριβείς μεθόδους επίλυσης του ίδιου προβλήματος. Τονίζουμε ότι για την ακριβή εύρεση των διαστημάτων εμπιστοσύνης είναι απολύτως απαραίτητο να γνωρίζουμε εκ των προτέρων τη μορφή του νόμου κατανομής της ποσότητας Χ,ενώ για την εφαρμογή κατά προσέγγιση μεθόδων αυτό δεν είναι απαραίτητο.

Η ιδέα των ακριβών μεθόδων για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης καταλήγει στα εξής. Οποιοδήποτε διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκεται από μια συνθήκη που εκφράζει την πιθανότητα εκπλήρωσης ορισμένων ανισοτήτων, οι οποίες περιλαμβάνουν την εκτίμηση που μας ενδιαφέρει ΕΝΑ.Νόμος της κατανομής της αποτίμησης ΕΝΑ V γενική περίπτωσηεξαρτάται από παραμέτρους άγνωστης ποσότητας Χ.Ωστόσο, μερικές φορές είναι δυνατό να περάσει σε ανισότητες από μια τυχαία μεταβλητή ΕΝΑσε κάποια άλλη συνάρτηση παρατηρούμενων τιμών X p X 2, ..., Χ σελ.ο νόμος κατανομής του οποίου δεν εξαρτάται από άγνωστες παραμέτρους, αλλά εξαρτάται μόνο από τον αριθμό των πειραμάτων και από τον τύπο του νόμου κατανομής της ποσότητας Χ.Αυτού του είδους οι τυχαίες μεταβλητές παίζουν σημαντικό ρόλο στις μαθηματικές στατιστικές. έχουν μελετηθεί λεπτομερέστερα για την περίπτωση κανονικής κατανομής της ποσότητας Χ.

Για παράδειγμα, έχει αποδειχθεί ότι με κανονική κατανομή της τιμής Χτυχαία τιμή

υπακούει στο λεγόμενο Νόμος διανομής φοιτητώνΜε Π- 1 βαθμός ελευθερίας η πυκνότητα αυτού του νόμου έχει τη μορφή

όπου G(x) είναι η γνωστή συνάρτηση γάμμα:

Έχει επίσης αποδειχθεί ότι η τυχαία μεταβλητή

έχει "%2 κατανομή" με Π- 1 βαθμός ελευθερίας (βλ. Κεφάλαιο 7), η πυκνότητα του οποίου εκφράζεται με τον τύπο

Χωρίς να σταθούμε στις παραγώγους των κατανομών (14.4.2) και (14.4.4), θα δείξουμε πώς μπορούν να εφαρμοστούν κατά την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για παραμέτρους ty D.

Αφήστε το να παραχθεί Πανεξάρτητα πειράματα σε μια τυχαία μεταβλητή Χ,κανονικά κατανεμημένο με άγνωστες παραμέτρους ΠΡΟΣ ΤΗΝ.Για αυτές τις παραμέτρους ελήφθησαν εκτιμήσεις

Απαιτείται η κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης και για τις δύο παραμέτρους που αντιστοιχούν στην πιθανότητα εμπιστοσύνης p.

Ας κατασκευάσουμε πρώτα ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία. Είναι φυσικό να λαμβάνεται αυτό το διάστημα συμμετρικό σε σχέση με Τ; έστω το s p συμβολίζει το μισό μήκος του διαστήματος. Η τιμή s p πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη

Ας προσπαθήσουμε να κινηθούμε στην αριστερή πλευρά της ισότητας (14.4.5) από την τυχαία μεταβλητή Τσε μια τυχαία μεταβλητή Τ,κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Φοιτητή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της ανισότητας |m-w?|

με θετική τιμή: ή, χρησιμοποιώντας σημειογραφία (14.4.1),

Ας βρούμε έναν αριθμό / p έτσι ώστε η τιμή / p να μπορεί να βρεθεί από τη συνθήκη

Από τον τύπο (14.4.2) είναι σαφές ότι η (1) είναι άρτια συνάρτηση, επομένως η (14.4.8) δίνει

Η ισότητα (14.4.9) καθορίζει την τιμή / p ανάλογα με το p. Εάν έχετε στη διάθεσή σας πίνακα με ακέραιες τιμές

τότε η τιμή του /p μπορεί να βρεθεί με αντίστροφη παρεμβολή στον πίνακα. Ωστόσο, είναι πιο βολικό να συντάξετε έναν πίνακα τιμών /p εκ των προτέρων. Ένας τέτοιος πίνακας δίνεται στο Παράρτημα (Πίνακας 5). Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές ανάλογα με το επίπεδο εμπιστοσύνης p και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας Π- 1. Έχοντας καθορίσει / p από τον πίνακα. 5 και υποθέτοντας

θα βρούμε το μισό πλάτος του διαστήματος εμπιστοσύνης / p και το ίδιο το διάστημα

Παράδειγμα 1. Πραγματοποιήθηκαν 5 ανεξάρτητα πειράματα σε μια τυχαία μεταβλητή Χ,κανονικά κατανεμημένο με άγνωστες παραμέτρους Τκαι περίπου. Τα αποτελέσματα των πειραμάτων δίνονται στον πίνακα. 14.4.1.

Πίνακας 14.4.1

Βρείτε βαθμολογία Τγια τη μαθηματική προσδοκία και κατασκευάστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% / p για αυτήν (δηλαδή, το διάστημα που αντιστοιχεί στην πιθανότητα εμπιστοσύνης p = 0,9).

Λύση.Εχουμε:

Σύμφωνα με τον πίνακα 5 της αίτησης για Π - 1 = 4 και p = 0,9 βρίσκουμε που

Το διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι

Παράδειγμα 2. Για τις συνθήκες του παραδείγματος 1 της υποενότητας 14.3, υποθέτοντας την τιμή Χκανονικά κατανεμημένο, βρείτε το ακριβές διάστημα εμπιστοσύνης.

Λύση.Σύμφωνα με τον πίνακα 5 του παραρτήματος βρίσκουμε το πότε Π - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; από εδώ

Συγκρίνοντας με τη λύση του παραδείγματος 1 της υποενότητας 14.3 (e p = 0,072), είμαστε πεπεισμένοι ότι η απόκλιση είναι πολύ ασήμαντη. Εάν διατηρήσουμε την ακρίβεια στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, τότε τα διαστήματα εμπιστοσύνης που βρέθηκαν με τις ακριβείς και κατά προσέγγιση μεθόδους συμπίπτουν:

Ας προχωρήσουμε στην κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη διακύμανση. Εξετάστε τον αμερόληπτο εκτιμητή διασποράς

και εκφράστε την τυχαία μεταβλητή ρεμέσω του μεγέθους V(14.4.3), με κατανομή x 2 (14.4.4):

Γνωρίζοντας το νόμο της κατανομής της ποσότητας V,μπορείτε να βρείτε το διάστημα /(1) στο οποίο εμπίπτει με δεδομένη πιθανότητα p.

Νόμος της διανομής kn_x(v)το μέγεθος I 7 έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 14.4.1.

Ρύζι. 14.4.1

Τίθεται το ερώτημα: πώς να επιλέξετε το διάστημα / p; Αν ο νόμος της κατανομής του μεγέθους Vήταν συμμετρικό (όπως κανονικός νόμοςή κατανομή μαθητή), θα ήταν φυσικό να ληφθεί το διάστημα /p συμμετρικό σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία. Σε αυτή την περίπτωση ο νόμος k p_x (v)ασύμμετρη. Ας συμφωνήσουμε να επιλέξουμε το διάστημα /p έτσι ώστε η πιθανότητα να είναι η τιμή Vπέρα από το διάστημα δεξιά και αριστερά (σκιασμένες περιοχές στο Σχ. 14.4.1) ήταν ίδιες και ίσες

Για να δημιουργήσουμε ένα διάστημα /p με αυτήν την ιδιότητα, χρησιμοποιούμε τον πίνακα. 4 εφαρμογές: περιέχει αριθμούς y)τέτοια που

για την αξία V,έχοντας x 2 -κατανομή με r βαθμούς ελευθερίας. Στην περίπτωσή μας r = n- 1. Ας φτιάξουμε r = n- 1 και βρείτε στην αντίστοιχη σειρά του πίνακα. 4 δύο έννοιες x 2 -το ένα αντιστοιχεί σε πιθανότητα το άλλο - πιθανότητα Ας τα υποδηλώσουμε

αξίες στις 2Και xl;Το διάστημα έχει y 2,με το αριστερό σου, και y~δεξί άκρο.

Τώρα ας βρούμε από το διάστημα / p το επιθυμητό διάστημα εμπιστοσύνης /|, για τη διασπορά με τα όρια D, και D2,που καλύπτει το σημείο ρεμε πιθανότητα p:

Ας κατασκευάσουμε ένα διάστημα / (, = (?> ь А) που καλύπτει το σημείο ρεεάν και μόνο εάν η αξία Vεμπίπτει στο διάστημα /r. Ας δείξουμε ότι το διάστημα

ικανοποιεί αυτή την προϋπόθεση. Πράγματι, οι ανισότητες ισοδυναμούν με ανισότητες

και αυτές οι ανισότητες ικανοποιούνται με πιθανότητα p. Έτσι, το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση έχει βρεθεί και εκφράζεται με τον τύπο (14.4.13).

Παράδειγμα 3. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση υπό τις συνθήκες του παραδείγματος 2 της υποενότητας 14.3, εάν είναι γνωστό ότι η τιμή Χδιανέμονται κανονικά.

Λύση.Εχουμε . Σύμφωνα με τον πίνακα 4 του παραρτήματος

βρίσκουμε στο r = n - 1 = 19

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (14.4.13) βρίσκουμε το διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση

Το αντίστοιχο διάστημα για την τυπική απόκλιση είναι (0,21; 0,32). Αυτό το διάστημα υπερβαίνει ελαφρώς μόνο το διάστημα (0,21, 0,29) που λήφθηκε στο παράδειγμα 2 της υποενότητας 14.3 χρησιμοποιώντας την κατά προσέγγιση μέθοδο.

• Το Σχήμα 14.3.1 θεωρεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης συμμετρικό ως προς το α. Γενικά, όπως θα δούμε στη συνέχεια, αυτό δεν είναι απαραίτητο.

Από αυτό το άρθρο θα μάθετε:

Τι συνέβη διάστημα εμπιστοσύνης?

Ποιο ειναι το νοημα Κανόνες 3 σίγμα?

Πώς μπορείτε να εφαρμόσετε αυτή τη γνώση στην πράξη;

Σήμερα, λόγω της υπερπληθώρας πληροφοριών που σχετίζονται με μια μεγάλη ποικιλία προϊόντων, κατευθύνσεις πωλήσεων, υπαλλήλους, τομείς δραστηριότητας κ.λπ. μπορεί να είναι δύσκολο να επισημάνουμε το κύριο πράγμα, το οποίο, πρώτα απ' όλα, αξίζει να προσέξουμε και να καταβάλουμε προσπάθειες για να το διαχειριστούμε. Ορισμός διάστημα εμπιστοσύνηςκαι ανάλυση των πραγματικών αξιών που ξεπερνούν τα όριά της - μια τεχνική που θα σας βοηθήσει να επισημάνετε καταστάσεις, επηρεάζοντας τις μεταβαλλόμενες τάσεις.Θα μπορέσετε να αναπτύξετε θετικούς παράγοντες και να μειώσετε την επιρροή αρνητικών. Αυτή η τεχνολογία χρησιμοποιείται σε πολλές γνωστές παγκόσμιες εταιρείες.

Υπάρχουν τα λεγόμενα " ειδοποιήσεις", οι οποίες ενημερώσει τους διαχειριστέςότι η επόμενη τιμή είναι προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση ξεπέρασε διάστημα εμπιστοσύνης. Τι σημαίνει αυτό? Αυτό είναι ένα μήνυμα ότι έχει συμβεί κάποιο ασυνήθιστο γεγονός, το οποίο μπορεί να αλλάξει την υπάρχουσα τάση προς αυτή την κατεύθυνση. Αυτό είναι ένα σήμασε αυτό για να το καταλάβωστην κατάσταση και να κατανοήσουν τι την επηρέασε.

Για παράδειγμα, εξετάστε διάφορες καταστάσεις. Υπολογίσαμε την πρόβλεψη πωλήσεων με όρια πρόβλεψης για 100 προϊόντα για το 2011 ανά μήνα και τις πραγματικές πωλήσεις τον Μάρτιο:

1. Με " Ηλιέλαιο» διέρρευσε το ανώτατο όριο της πρόβλεψης και δεν έπεσε στο διάστημα εμπιστοσύνης.
2. Για την «Ξηρή μαγιά» ξεπεράσαμε το κατώτερο όριο της πρόβλεψης.
3. Με " Πλιγούρι βρώμης«Έσπασε το ανώτατο όριο.

Για άλλα προϊόντα, οι πραγματικές πωλήσεις ήταν εντός των προβλεπόμενων ορίων. Εκείνοι. οι πωλήσεις τους ήταν εντός των προσδοκιών. Έτσι, εντοπίσαμε 3 προϊόντα που ξεπέρασαν τα σύνορα και αρχίσαμε να καταλαβαίνουμε τι τα επηρέασε να ξεπεράσουν τα σύνορα:

1. Με το «Ηλιέλαιο» μπήκαμε σε ένα νέο δίκτυο συναλλαγών, που μας έδωσε επιπλέον όγκο πωλήσεων, που μας οδήγησε να ξεπεράσουμε το ανώτατο όριο. Για αυτό το προϊόν, αξίζει να επανυπολογιστεί η πρόβλεψη μέχρι το τέλος του έτους, λαμβάνοντας υπόψη την πρόβλεψη πωλήσεων για αυτό το δίκτυο.
2. Για τη «Ξηρά Μαγιά», το αυτοκίνητο κόλλησε στο τελωνείο και υπήρξε έλλειψη εντός 5 ημερών, γεγονός που επηρέασε την πτώση των πωλήσεων και ξεπέρασε το κατώτατο όριο. Ίσως αξίζει τον κόπο να καταλάβετε τι το προκάλεσε και να προσπαθήσετε να μην επαναλάβετε αυτήν την κατάσταση.
3. Μια εκδήλωση προώθησης πωλήσεων ξεκίνησε για το Oatmeal Porridge, η οποία έδωσε σημαντική αύξηση στις πωλήσεις και οδήγησε την εταιρεία να προχωρήσει πέρα ​​από την πρόβλεψη.

Εντοπίσαμε 3 παράγοντες που επηρέασαν την υπέρβαση των ορίων πρόβλεψης. Μπορεί να υπάρχουν πολύ περισσότερα από αυτά στη ζωή. Για να αυξηθεί η ακρίβεια της πρόβλεψης και του προγραμματισμού, παράγοντες που οδηγούν στο γεγονός ότι οι πραγματικές πωλήσεις μπορεί να υπερβαίνουν την πρόβλεψη, αξίζει να τονίσουμε και να δημιουργήσουμε προβλέψεις και σχέδια ξεχωριστά. Και, στη συνέχεια, εξετάστε τον αντίκτυπό τους στην κύρια πρόβλεψη πωλήσεων. Μπορείτε επίσης να αξιολογείτε τακτικά τον αντίκτυπο αυτών των παραγόντων και να αλλάζετε την κατάσταση προς το καλύτερο. μειώνοντας την επιρροή αρνητικών και αυξάνοντας την επιρροή θετικών παραγόντων.

Με ένα διάστημα εμπιστοσύνης μπορούμε:

1. Επιλέξτε οδηγίες, που αξίζει να προσέξουμε, γιατί έχουν συμβεί γεγονότα προς αυτές τις κατευθύνσεις που μπορεί να επηρεάσουν αλλαγή στην τάση.
2. Προσδιορίστε παράγοντες, που επηρεάζουν πραγματικά την αλλαγή της κατάστασης.
3. Αποδέχομαι ενημερωμένη απόφαση(για παράδειγμα, σχετικά με τις αγορές, τον προγραμματισμό κ.λπ.).

Τώρα ας δούμε τι είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης και πώς να το υπολογίσετε στο Excel χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Τι είναι το διάστημα εμπιστοσύνης;

Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι τα όρια πρόβλεψης (άνω και κάτω), εντός των οποίων με δεδομένη πιθανότητα (σίγμα)θα εμφανιστούν οι πραγματικές τιμές.

Εκείνοι. Υπολογίζουμε την πρόβλεψη - αυτή είναι η κύρια κατευθυντήρια γραμμή μας, αλλά κατανοούμε ότι οι πραγματικές τιμές είναι απίθανο να είναι 100% ίσες με την πρόβλεψή μας. Και τίθεται το ερώτημα, μέσα σε ποια όριαοι πραγματικές τιμές μπορεί να πέσουν, αν συνεχιστεί η τρέχουσα τάση? Και αυτή η ερώτηση θα μας βοηθήσει να απαντήσουμε υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης, δηλ. - άνω και κάτω όρια πρόβλεψης.

Τι είναι ένα δεδομένο σίγμα πιθανότητας;

Κατά τον υπολογισμόδιάστημα εμπιστοσύνης μπορούμε ορίστε την πιθανότητα χτυπήματαπραγματικές αξίες εντός των προβλεπόμενων ορίων πρόβλεψης. Πως να το κάνεις? Για να γίνει αυτό, ορίζουμε την τιμή του σίγμα και, εάν το σίγμα είναι ίσο με:

3 σίγμα- τότε, η πιθανότητα η επόμενη πραγματική τιμή να πέσει στο διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι 99,7%, ή 300 προς 1, ή υπάρχει πιθανότητα 0,3% να υπερβεί τα όρια.

2 σίγμα- τότε, η πιθανότητα η επόμενη τιμή να εμπίπτει εντός των ορίων είναι ≈ 95,5%, δηλ. οι πιθανότητες είναι περίπου 20 προς 1 ή υπάρχει 4,5% πιθανότητα να υπερβείτε τη θάλασσα.

1 σίγμα- τότε η πιθανότητα είναι ≈ 68,3%, δηλ. οι πιθανότητες είναι περίπου 2 προς 1 ή υπάρχει 31,7% πιθανότητα η επόμενη τιμή να πέσει εκτός του διαστήματος εμπιστοσύνης.

Διατυπώσαμε Κανόνας 3 σίγμα,που λέει ότι πιθανότητα χτυπήματοςμια άλλη τυχαία τιμή στο διάστημα εμπιστοσύνηςμε δεδομένη τιμή τρία σίγμα είναι 99,7%.

Ο μεγάλος Ρώσος μαθηματικός Chebyshev απέδειξε το θεώρημα ότι υπάρχει 10% πιθανότητα να υπερβούμε τα όρια πρόβλεψης με δεδομένη τιμή τριών σίγμα. Εκείνοι. η πιθανότητα να εμπίπτει στο διάστημα εμπιστοσύνης 3-σίγμα θα είναι τουλάχιστον 90%, ενώ μια προσπάθεια υπολογισμού της πρόβλεψης και των ορίων της «με τα μάτια» είναι γεμάτη με πολύ πιο σημαντικά σφάλματα.

Πώς να υπολογίσετε μόνοι σας ένα διάστημα εμπιστοσύνης στο Excel;

Ας δούμε τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης στο Excel (δηλαδή, τα άνω και κάτω όρια της πρόβλεψης) χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. Έχουμε χρονοσειρά - πωλήσεις ανά μήνα για 5 χρόνια. Βλέπε συνημμένο αρχείο.

Για τον υπολογισμό των ορίων πρόβλεψης υπολογίζουμε:

1. Πρόβλεψη πωλήσεων().
2. Sigma - τυπική απόκλισημοντέλα πρόβλεψης από πραγματικές τιμές.
3. Τρία σίγμα.
4. Διάστημα εμπιστοσύνης.

1. Πρόβλεψη πωλήσεων.

=(RC[-14] (δεδομένα χρονολογικής σειράς)- RC[-1] (τιμή μοντέλου))^2(τετράγωνο)

3. Για κάθε μήνα, ας συνοψίσουμε τις τιμές απόκλισης από το στάδιο 8 Sum((Xi-Ximod)^2), δηλ. Ας συνοψίσουμε τον Ιανουάριο, τον Φεβρουάριο... για κάθε χρόνο.

Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο =SUMIF()

SUMIF(πίνακας με αριθμούς περιόδου εντός του κύκλου (για μήνες από 1 έως 12), σύνδεσμος προς τον αριθμό περιόδου στον κύκλο, σύνδεσμος σε πίνακα με τετράγωνα της διαφοράς μεταξύ των δεδομένων πηγής και των τιμών περιόδου)

4. Υπολογίστε την τυπική απόκλιση για κάθε περίοδο του κύκλου από το 1 έως το 12 (στάδιο 10 στο συνημμένο αρχείο).

Για να γίνει αυτό, εξάγουμε τη ρίζα από την τιμή που υπολογίστηκε στο στάδιο 9 και διαιρούμε με τον αριθμό των περιόδων σε αυτόν τον κύκλο μείον 1 = SQRT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους στο Excel =ROOT(R8 (σύνδεσμος προς (Sum(Xi-Ximod)^2)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (σύνδεσμος σε πίνακα με αριθμούς κύκλου); Ο8 (σύνδεσμος με έναν συγκεκριμένο αριθμό κύκλου που μετράμε στον πίνακα))-1))

Χρησιμοποιώντας τον τύπο Excel = COUNTIFμετράμε τον αριθμό ν

Έχοντας υπολογίσει την τυπική απόκλιση των πραγματικών δεδομένων από το μοντέλο πρόβλεψης, λάβαμε την τιμή σίγμα για κάθε μήνα - στάδιο 10 στο συνημμένο αρχείο.

3. Ας υπολογίσουμε 3 σίγμα.

Στο στάδιο 11 ορίσαμε τον αριθμό των σίγμα - στο παράδειγμά μας "3" (στάδιο 11 στο συνημμένο αρχείο):

Επίσης βολικό για εξάσκηση τιμών σίγμα:

1,64 σίγμα - 10% πιθανότητα υπέρβασης του ορίου (1 πιθανότητα στις 10).

1,96 σίγμα - 5% πιθανότητα να υπερβείτε τα όρια (1 ευκαιρία στις 20).

2,6 σίγμα - 1% πιθανότητα υπέρβασης ορίων (1 πιθανότητα στις 100).

5) Υπολογισμός τριών σίγμα, για αυτό πολλαπλασιάζουμε τις τιμές «σίγμα» για κάθε μήνα με το «3».

3. Προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης.

1. Ανώτατο όριο πρόβλεψης- πρόβλεψη πωλήσεων λαμβάνοντας υπόψη την ανάπτυξη και την εποχικότητα + (συν) 3 σίγμα.
2. Κατώτερο όριο πρόβλεψης- πρόβλεψη πωλήσεων λαμβάνοντας υπόψη την ανάπτυξη και την εποχικότητα – (μείον) 3 σίγμα.

Για τη διευκόλυνση του υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης για μεγάλο χρονικό διάστημα (βλ. συνημμένο αρχείο), θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Excel =Y8+VLOOKUP(W8,$U$8:$V$19,2,0), Οπου

Υ8- πρόβλεψη πωλήσεων;

Ε8- τον αριθμό του μήνα για τον οποίο θα πάρουμε την τιμή 3-σίγμα.

Εκείνοι. Ανώτατο όριο πρόβλεψης= "πρόβλεψη πωλήσεων" + "3 σίγμα" (στο παράδειγμα, VLOOKUP (αριθμός μήνα, πίνακας με 3 τιμές σίγμα, στήλη από την οποία εξάγουμε την τιμή σίγμα ίση με τον αριθμό μήνα στην αντίστοιχη σειρά, 0)).

Κατώτερο όριο πρόβλεψης= «πρόβλεψη πωλήσεων» μείον «3 σίγμα».

Έτσι, υπολογίσαμε το διάστημα εμπιστοσύνης στο Excel.

Τώρα έχουμε μια πρόβλεψη και ένα εύρος με όρια εντός των οποίων οι πραγματικές τιμές θα πέσουν με μια δεδομένη πιθανότητα σίγμα.

Σε αυτό το άρθρο εξετάσαμε τι είναι το σίγμα και κανόνας των τριών sigma, πώς να προσδιορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης και γιατί μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν την τεχνική στην πράξη.

Σας ευχόμαστε ακριβείς προβλέψεις και επιτυχία!

Πως Το Forecast4AC PRO μπορεί να σας βοηθήσεικατά τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης?:

Το Forecast4AC PRO θα υπολογίσει αυτόματα τα άνω ή τα κάτω όρια της πρόβλεψης για περισσότερες από 1000 χρονοσειρές ταυτόχρονα.

Η ικανότητα ανάλυσης των ορίων της πρόβλεψης σε σύγκριση με την πρόβλεψη, την τάση και τις πραγματικές πωλήσεις στο γράφημα με ένα πάτημα πλήκτρων.

Στο πρόγραμμα Forcast4AC PRO είναι δυνατή η ρύθμιση της τιμής sigma από 1 έως 3.

Ελα μαζί μας!

Κατεβάστε δωρεάν εφαρμογέςγια προβλέψεις και επιχειρηματική ανάλυση:

• Novo Forecast Lite- αυτόματο υπολογισμός πρόβλεψης V Προέχω.
• 4αναλυτικά - Ανάλυση ABC-XYZκαι ανάλυση εκπομπών Προέχω.
• Qlik SenseΕπιφάνεια εργασίας και QlikViewPersonal Edition - Συστήματα BI για ανάλυση και οπτικοποίηση δεδομένων.

Δοκιμάστε τις δυνατότητες των λύσεων επί πληρωμή:

• Novo Forecast PRO- πρόβλεψη στο Excel για μεγάλα σύνολα δεδομένων.

Στόχος– διδάσκουν στους μαθητές αλγόριθμους για τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης των στατιστικών παραμέτρων.

Κατά την στατιστική επεξεργασία δεδομένων, ο υπολογισμένος αριθμητικός μέσος όρος, ο συντελεστής διακύμανσης, ο συντελεστής συσχέτισης, τα κριτήρια διαφοράς και άλλες σημειακές στατιστικές θα πρέπει να λαμβάνουν ποσοτικά όρια εμπιστοσύνης, τα οποία υποδεικνύουν πιθανές διακυμάνσεις του δείκτη σε μικρότερες και μεγαλύτερες κατευθύνσεις εντός του διαστήματος εμπιστοσύνης.

Παράδειγμα 3.1 . Η κατανομή του ασβεστίου στον ορό του αίματος των πιθήκων, όπως καθορίστηκε προηγουμένως, χαρακτηρίζεται από τους ακόλουθους δείκτες δείγματος: = 11,94 mg%; = 0,127 mg%; n= 100. Απαιτείται να καθοριστεί το διάστημα εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο ( ) με πιθανότητα εμπιστοσύνης Π = 0,95.

Ο γενικός μέσος όρος εντοπίζεται με μια ορισμένη πιθανότητα στο διάστημα:

, Οπου – δείγμα αριθμητικού μέσου όρου· t– Τεστ μαθητή· – σφάλμα του αριθμητικού μέσου όρου.

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα «Τιμές δοκιμής t του μαθητή» βρίσκουμε την τιμή με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,95 και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας κ= 100-1 = 99. Είναι ίσο με 1,982. Μαζί με τις τιμές του αριθμητικού μέσου όρου και του στατιστικού σφάλματος, το αντικαθιστούμε στον τύπο:

ή 11,69
12,19

Έτσι, με πιθανότητα 95%, μπορούμε να πούμε ότι ο γενικός μέσος όρος αυτής της κανονικής κατανομής είναι μεταξύ 11,69 και 12,19 mg%.

Παράδειγμα 3.2 . Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική διακύμανση ( ) κατανομή του ασβεστίου στο αίμα των πιθήκων, εάν είναι γνωστό ότι
= 1,60, στο n = 100.

Για να λύσετε το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:

Οπου – στατιστικό σφάλμα διασποράς.

Βρίσκουμε το σφάλμα διακύμανσης δειγματοληψίας χρησιμοποιώντας τον τύπο:
. Είναι ίσο με 0,11. Εννοια t- κριτήριο με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,95 και αριθμό βαθμών ελευθερίας κ= 100–1 = 99 είναι γνωστό από το προηγούμενο παράδειγμα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο και πάρουμε:

ή 1,38
1,82

Ακριβέστερα, το διάστημα εμπιστοσύνης της γενικής διακύμανσης μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας (chi-square) - Τεστ Pearson. Τα κρίσιμα σημεία για αυτό το κριτήριο δίνονται σε ειδικό πίνακα. Όταν χρησιμοποιείτε το κριτήριο Για την κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης, χρησιμοποιείται ένα επίπεδο σημαντικότητας δύο όψεων. Για το κατώτερο όριο, το επίπεδο σημαντικότητας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο
, για την κορυφή -
. Για παράδειγμα, για το επίπεδο εμπιστοσύνης = 0,99= 0,010,= 0,990. Αντίστοιχα, σύμφωνα με τον πίνακα κατανομής των κρίσιμων τιμών , με υπολογισμένα επίπεδα εμπιστοσύνης και αριθμό βαθμών ελευθερίας κ= 100 – 1= 99, βρείτε τις τιμές
Και
. Παίρνουμε
ισούται με 135,80 και
ισούται με 70,06.

Για να βρείτε όρια εμπιστοσύνης για τη γενική διακύμανση χρησιμοποιώντας Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους: για το κάτω όριο
, για το άνω όριο
. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν για τα δεδομένα του προβλήματος σε τύπους:
= 1,17;
= 2,26. Έτσι, με πιθανότητα εμπιστοσύνης Π= 0,99 ή 99% γενική διακύμανση θα βρίσκεται στην περιοχή από 1,17 έως 2,26 mg% συμπεριλαμβανομένων.

Παράδειγμα 3.3 . Μεταξύ 1000 σπόρων σιταριού από την παρτίδα που παραλήφθηκε στο ασανσέρ, βρέθηκαν 120 σπόροι μολυσμένοι με ερυσιβώτιο. Είναι απαραίτητο να καθοριστούν τα πιθανά όρια της γενικής αναλογίας μολυσμένων σπόρων σε μια δεδομένη παρτίδα σίτου.

Συνιστάται να προσδιορίσετε τα όρια εμπιστοσύνης για τη γενική μετοχή για όλες τις πιθανές αξίες της χρησιμοποιώντας τον τύπο:

,

Οπου n – αριθμός παρατηρήσεων· Μ– απόλυτο μέγεθος μιας από τις ομάδες. t– κανονικοποιημένη απόκλιση.

Η αναλογία δείγματος των μολυσμένων σπόρων είναι
ή 12%. Με πιθανότητα σιγουριάς R= 95% κανονικοποιημένη απόκλιση ( t-Δοκιμασία μαθητή στο κ =
)t = 1,960.

Αντικαθιστούμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

Επομένως τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι ίσα με = 0,122–0,041 = 0,081 ή 8,1%. = 0,122 + 0,041 = 0,163, ή 16,3%.

Έτσι, με πιθανότητα εμπιστοσύνης 95% μπορούμε να πούμε ότι η γενική αναλογία των μολυσμένων σπόρων είναι μεταξύ 8,1 και 16,3%.

Παράδειγμα 3.4 . Ο συντελεστής διακύμανσης που χαρακτηρίζει τη διακύμανση του ασβεστίου (mg%) στον ορό αίματος των πιθήκων ήταν ίσος με 10,6%. Το μέγεθος του δείγματος n= 100. Είναι απαραίτητο να καθοριστούν τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική παράμετρο Βιογραφικό.

Όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης για τον γενικό συντελεστή διακύμανσης Βιογραφικό καθορίζονται από τους παρακάτω τύπους:

Και
, Οπου κ ενδιάμεση τιμή που υπολογίζεται με τον τύπο
.

Γνωρίζοντας ότι με σιγουριά πιθανότητα R= 95% κανονικοποιημένη απόκλιση (Δοκιμή μαθητή στο κ =
)t = 1,960, ας υπολογίσουμε πρώτα την τιμή ΠΡΟΣ ΤΗΝ:

.

ή 9,3%

ή 12,3%

Έτσι, ο γενικός συντελεστής διακύμανσης με επίπεδο εμπιστοσύνης 95% κυμαίνεται από 9,3 έως 12,3%. Με επαναλαμβανόμενα δείγματα, ο συντελεστής διακύμανσης δεν θα υπερβαίνει το 12,3% και δεν θα είναι κάτω από 9,3% σε 95 περιπτώσεις από τις 100.

Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο:

Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

1. Το μέσο ποσοστό λίπους στο γάλα κατά τη διάρκεια της γαλουχίας των διασταυρούμενων αγελάδων Kholmogory ήταν ως εξής: 3,4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. Καθορίστε διαστήματα εμπιστοσύνης για το γενικό μέσο όρο στο επίπεδο εμπιστοσύνης 95% (20 μονάδες).

2. Σε 400 υβριδικά φυτά σίκαλης, τα πρώτα άνθη εμφανίστηκαν κατά μέσο όρο 70,5 ημέρες μετά τη σπορά. Η τυπική απόκλιση ήταν 6,9 ημέρες. Προσδιορίστε το σφάλμα του μέσου όρου και των διαστημάτων εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση στο επίπεδο σημαντικότητας W= 0,05 και W= 0,01 (25 βαθμοί).

3. Κατά τη μελέτη του μήκους των φύλλων 502 δειγμάτων φράουλας κήπου, ελήφθησαν τα ακόλουθα δεδομένα: = 7,86 cm; σ = 1,32 cm, =± 0,06 εκ. Προσδιορίστε τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο αριθμητικό πληθυσμό με επίπεδα σημαντικότητας 0,01. 0,02; 0,05. (25 βαθμοί).

4. Σε μια μελέτη 150 ενηλίκων ανδρών, το μέσο ύψος ήταν 167 cm, και σ = 6 εκ. Ποια είναι τα όρια του γενικού μέσου όρου και της γενικής διασποράς με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,99 και 0,95; (25 βαθμοί).

5. Η κατανομή του ασβεστίου στον ορό του αίματος των πιθήκων χαρακτηρίζεται από τους ακόλουθους επιλεκτικούς δείκτες: = 11,94 mg%, σ = 1,27, n = 100. Κατασκευάστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τον γενικό μέσο όρο αυτής της κατανομής. Υπολογίστε τον συντελεστή διακύμανσης (25 μονάδες).

6. Μελετήθηκε η συνολική περιεκτικότητα σε άζωτο στο πλάσμα του αίματος αλμπίνο αρουραίων σε ηλικία 37 ετών και 180 ημερών. Τα αποτελέσματα εκφράζονται σε γραμμάρια ανά 100 cm 3 πλάσματος. Στην ηλικία των 37 ημερών, 9 αρουραίοι είχαν: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. Στην ηλικία των 180 ημερών, 8 αρουραίοι είχαν: 1,20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1,07; 1.13; 1.12. Ορίστε διαστήματα εμπιστοσύνης για τη διαφορά σε επίπεδο εμπιστοσύνης 0,95 (50 βαθμοί).

7. Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική διακύμανση της κατανομής του ασβεστίου (mg%) στον ορό αίματος των πιθήκων, εάν για αυτήν την κατανομή το μέγεθος του δείγματος είναι n = 100, στατιστικό σφάλμα της διακύμανσης του δείγματος μικρό σ 2 = 1,60 (40 βαθμοί).

8. Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική διακύμανση της κατανομής 40 σταχυώνων σίτου κατά μήκος (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 βαθμοί).

9. Το κάπνισμα θεωρείται ο κύριος παράγοντας προδιάθεσης για αποφρακτικές πνευμονοπάθειες. Το παθητικό κάπνισμα δεν θεωρείται τέτοιος παράγοντας. Οι επιστήμονες αμφισβήτησαν την αβλαβή του παθητικού καπνίσματος και εξέτασαν τη βατότητα των αεραγωγών μη καπνιστών, παθητικών και ενεργών καπνιστών. Για να χαρακτηρίσουμε την κατάσταση της αναπνευστικής οδού, λάβαμε έναν από τους δείκτες της λειτουργίας εξωτερικής αναπνοής - τον μέγιστο ογκομετρικό ρυθμό ροής της μέσης εκπνοής. Η μείωση αυτού του δείκτη είναι σημάδι απόφραξης των αεραγωγών. Τα δεδομένα της έρευνας φαίνονται στον πίνακα.

	Αριθμός ατόμων που εξετάστηκαν	Μέγιστος ρυθμός ροής μέσης εκπνοής, l/s
			Τυπική απόκλιση
Μη καπνιστές
εργασία σε χώρο μη καπνιστών
δουλεύοντας σε ένα καπνιστό δωμάτιο
Κάπνισμα
οι καπνιστές όχι μεγάλος αριθμόςτσιγάρα
μέσος αριθμός καπνιστών
καπνίζουν μεγάλο αριθμό τσιγάρων

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα, βρείτε διαστήματα εμπιστοσύνης 95% για τον συνολικό μέσο όρο και τη συνολική διακύμανση για κάθε ομάδα. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ των ομάδων; Παρουσιάστε τα αποτελέσματα γραφικά (25 βαθμοί).

10. Προσδιορίστε τα όρια των διαστημάτων εμπιστοσύνης 95% και 99% για τη γενική διακύμανση του αριθμού των χοιριδίων σε 64 θηράματα, εάν το στατιστικό σφάλμα της διακύμανσης του δείγματος μικρό σ 2 = 8,25 (30 βαθμοί).

11. Είναι γνωστό ότι το μέσο βάρος των κουνελιών είναι 2,1 κιλά. Προσδιορίστε τα όρια των διαστημάτων εμπιστοσύνης 95% και 99% για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση στο n= 30, σ = 0,56 κιλά (25 βαθμοί).

12. Η περιεκτικότητα σε κόκκους του στάχυ μετρήθηκε για 100 στάχυα ( Χ), μήκος αυτιού ( Υ) και τη μάζα των σιτηρών στο στάχυ ( Ζ). Βρείτε διαστήματα εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση στο Π 1 = 0,95, Π 2 = 0,99, Π 3 = 0,999 αν = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 βαθμοί).

13. Σε 100 τυχαία επιλεγμένα στάχυα χειμερινού σίτου μετρήθηκε ο αριθμός των σταχυών. Ο πληθυσμός του δείγματος χαρακτηρίστηκε από τους ακόλουθους δείκτες: = 15 στάχυα και σ = 2,28 τεμ. Προσδιορίστε με ποια ακρίβεια λήφθηκε το μέσο αποτέλεσμα ( ) και κατασκευάστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση σε επίπεδα σημαντικότητας 95% και 99% (30 μονάδες).

14. Αριθμός νευρώσεων σε κελύφη απολιθωμάτων μαλακίων Ορθαμπονίτες καλλίγραμμα:

Είναι γνωστό ότι n = 19, σ = 4,25. Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη γενική διακύμανση σε επίπεδο σημαντικότητας W = 0,01 (25 βαθμοί).

15. Για τον προσδιορισμό της απόδοσης γάλακτος σε μια εμπορική γαλακτοκομική φάρμα, προσδιορίστηκε η παραγωγικότητα 15 αγελάδων καθημερινά. Σύμφωνα με στοιχεία για το έτος, κάθε αγελάδα έδινε κατά μέσο όρο την ακόλουθη ποσότητα γάλακτος την ημέρα (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; τριάντα; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Κατασκευάστε διαστήματα εμπιστοσύνης για τη γενική διακύμανση και τον αριθμητικό μέσο όρο. Μπορούμε να περιμένουμε ότι η μέση ετήσια απόδοση γάλακτος ανά αγελάδα θα είναι 10.000 λίτρα; (50 βαθμοί).

16. Για τον προσδιορισμό της μέσης απόδοσης σιταριού για την αγροτική επιχείρηση, πραγματοποιήθηκε κούρεμα σε δοκιμαστικά αγροτεμάχια 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 και 2 εκταρίων. Η παραγωγικότητα (c/ha) από τα αγροτεμάχια ήταν 39,4. 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39.3; 41,6; 33; 42; 29 αντίστοιχα. Κατασκευάστε διαστήματα εμπιστοσύνης για τη γενική διακύμανση και τον αριθμητικό μέσο όρο. Μπορούμε να περιμένουμε ότι η μέση γεωργική απόδοση θα είναι 42 c/ha; (50 βαθμοί).

Διάστημα εμπιστοσύνης

Διάστημα εμπιστοσύνης- ένας όρος που χρησιμοποιείται στις μαθηματικές στατιστικές για την εκτίμηση διαστήματος (σε αντίθεση με σημειακή) των στατιστικών παραμέτρων, η οποία είναι προτιμότερη όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό. Ένα διάστημα εμπιστοσύνης είναι αυτό που καλύπτει μια άγνωστη παράμετρο με δεδομένη αξιοπιστία.

Η μέθοδος των διαστημάτων εμπιστοσύνης αναπτύχθηκε από τον Αμερικανό στατιστικολόγο Jerzy Neumann, με βάση τις ιδέες του Άγγλου στατιστικολόγου Ronald Fisher.

Ορισμός

Διάστημα εμπιστοσύνης της παραμέτρου θ τυχαία κατανομή μεταβλητών Χμε επίπεδο εμπιστοσύνης 100 Π%, που δημιουργήθηκε από το δείγμα ( Χ 1 ,…,Χ n), ονομάζεται διάστημα με όρια ( Χ 1 ,…,Χν) και ( Χ 1 ,…,Χ n), οι οποίες είναι πραγματοποιήσεις τυχαίων μεταβλητών μεγάλο(Χ 1 ,…,Χιδ) και U(Χ 1 ,…,Χιδ), έτσι ώστε

.

Τα οριακά σημεία του διαστήματος εμπιστοσύνης ονομάζονται όρια εμπιστοσύνης.

Μια ερμηνεία του διαστήματος εμπιστοσύνης που βασίζεται στη διαίσθηση θα ήταν: αν Πείναι μεγάλο (ας πούμε 0,95 ή 0,99), τότε το διάστημα εμπιστοσύνης περιέχει σχεδόν σίγουρα την πραγματική τιμή θ .

Μια άλλη ερμηνεία της έννοιας του διαστήματος εμπιστοσύνης: μπορεί να θεωρηθεί ως ένα διάστημα τιμών παραμέτρων θ συμβατό με πειραματικά δεδομένα και δεν έρχεται σε αντίθεση με αυτά.

Παραδείγματα

• Διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία ενός κανονικού δείγματος.
• Διάστημα εμπιστοσύνης για κανονική διακύμανση δείγματος.

Μπεϋζιανό διάστημα εμπιστοσύνης

Στις στατιστικές Bayes, υπάρχει ένας παρόμοιος αλλά διαφορετικός σε ορισμένες βασικές λεπτομέρειες ορισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης. Εδώ, η ίδια η εκτιμώμενη παράμετρος θεωρείται μια τυχαία μεταβλητή με κάποια δεδομένη προηγούμενη κατανομή (στην απλούστερη περίπτωση, ομοιόμορφη) και το δείγμα είναι σταθερό (στην κλασική στατιστική όλα είναι ακριβώς το αντίθετο). Ένα Bayesian διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα που καλύπτει την τιμή της παραμέτρου με την οπίσθια πιθανότητα:

.

Γενικά, τα κλασικά και τα διαστήματα εμπιστοσύνης Bayes είναι διαφορετικά. Στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία, το διάστημα εμπιστοσύνης Bayes ονομάζεται συνήθως ο όρος αξιόπιστο διάστημακαι το κλασικό - διάστημα εμπιστοσύνης.

Σημειώσεις

Πηγές

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

• Παιδιά (ταινία)
• Αποικος

Δείτε τι είναι το "Διάστημα εμπιστοσύνης" σε άλλα λεξικά:

Διάστημα εμπιστοσύνης- ένα διάστημα που υπολογίζεται από δεδομένα δείγματος, το οποίο με δεδομένη πιθανότητα (εμπιστοσύνη) καλύπτει την άγνωστη πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου κατανομής. Πηγή: GOST 20522 96: Εδάφη. Μέθοδοι στατιστικής επεξεργασίας αποτελεσμάτων... Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης

διάστημα εμπιστοσύνης- για μια κλιμακωτή παράμετρο του πληθυσμού, αυτό είναι ένα τμήμα που πιθανότατα περιέχει αυτήν την παράμετρο. Αυτή η φράση δεν έχει νόημα χωρίς περαιτέρω επεξεργασία. Εφόσον τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης υπολογίζονται από το δείγμα, είναι φυσικό να... ... Λεξικό Κοινωνιολογικής Στατιστικής

ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ- μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων που διαφέρει από τη σημειακή εκτίμηση. Έστω το δείγμα x1, . . ., xn από μια κατανομή με πυκνότητα πιθανότητας f(x, α) και a*=a*(x1, . . ., xn) εκτίμηση της πυκνότητας πιθανότητας α, g(a*, α). Ψάχνετε για…… Γεωλογική εγκυκλοπαίδεια

ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ- (διάστημα εμπιστοσύνης) Ένα διάστημα στο οποίο η αξιοπιστία της τιμής της παραμέτρου για τον πληθυσμό που λαμβάνεται με βάση μια δειγματοληπτική έρευνα έχει έναν ορισμένο βαθμό πιθανότητας, για παράδειγμα 95%, που οφείλεται στο ίδιο το δείγμα. Πλάτος…… Οικονομικό λεξικό

διάστημα εμπιστοσύνης- είναι το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η πραγματική τιμή της καθορισμένης ποσότητας με δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης. Γενική χημεία: σχολικό βιβλίο / A. V. Zholnin ... Χημικοί όροι

Διάστημα εμπιστοσύνης CI- Διάστημα εμπιστοσύνης, CI * διάστημα δεδομένων, CI * διάστημα διαστήματος εμπιστοσύνης της χαρακτηριστικής τιμής, υπολογισμένο για k.l. παράμετρος κατανομής (για παράδειγμα, η μέση τιμή ενός χαρακτηριστικού) σε όλο το δείγμα και με συγκεκριμένη πιθανότητα (για παράδειγμα, 95% για 95% ... Γενεσιολογία. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ- μια έννοια που προκύπτει κατά την εκτίμηση μιας στατιστικής παραμέτρου. κατανομή ανά διάστημα τιμών. Δ. και. για την παράμετρο q, που αντιστοιχεί σε αυτόν τον συντελεστή. Η εμπιστοσύνη P είναι ίση με ένα τέτοιο διάστημα (q1, q2) που για οποιαδήποτε κατανομή πιθανότητας ανισότητας... ... Φυσική εγκυκλοπαίδεια

διάστημα εμπιστοσύνης- - Θέματα τηλεπικοινωνιών, βασικές έννοιες EN διάστημα εμπιστοσύνης ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

διάστημα εμπιστοσύνης- Πασικλειό μεσοδιάστημα statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. ατιτικμενύς: αγγλ. διάστημα εμπιστοσύνης vok. Vertrauensbereich, m rus…… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

διάστημα εμπιστοσύνης- Πασικλιωτικό μεσοδιάστημα statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. ατιτικμενύς: αγγλ. διάστημα εμπιστοσύνης rus. περιοχή εμπιστοσύνης? διάστημα εμπιστοσύνης... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas