Οι μεγαλύτεροι μαθητές και οι μαθητές των μαθηματικών θα απαντήσουν πιθανώς σε αυτήν την ερώτηση με ευκολία. Αλλά για όσους απέχουν πολύ από αυτό το επάγγελμα, θα είναι πιο δύσκολο. Τι είναι αλήθεια;

Ουσία και προσδιορισμός

Οι ρητές αριθμοί είναι εκείνοι που μπορούν να παρασταθούν ως ένα συνηθισμένο κλάσμα. Το θετικό, το αρνητικό και το μηδέν περιλαμβάνονται επίσης σε αυτό το σύνολο. Ο αριθμητής του κλάσματος πρέπει να είναι ακέραιος και ο παρονομαστής πρέπει να είναι

Αυτό το σύνολο στα μαθηματικά συμβολίζεται ως Q και ονομάζεται «πεδίο ρητών αριθμών». Περιλαμβάνει όλους τους ακέραιους και τους φυσικούς αριθμούς, που συμβολίζονται αντίστοιχα ως Z και N. Το ίδιο το σύνολο Q περιλαμβάνεται στο σύνολο R. Είναι αυτό το γράμμα που δηλώνει το λεγόμενο πραγματικό ή

Εκτέλεση

Όπως ήδη αναφέρθηκε, οι ρητικοί αριθμοί είναι ένα σύνολο που περιλαμβάνει όλες τις ακέραιες και κλασματικές τιμές. Μπορούν να παρουσιαστούν σε διαφορετικές μορφές. Πρώτον, με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος: 5/7, 1/5, 11/15, κλπ. Φυσικά, οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν επίσης να γραφτούν με παρόμοια μορφή: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 κλπ. Δεύτερον, άλλος τύπος αναπαράστασης είναι δεκαδικόςμε πεπερασμένο κλασματικό μέρος: 0,01, -15,001006, κ.λπ. Αυτή είναι ίσως μια από τις πιο κοινές μορφές.

Αλλά υπάρχει και ένα τρίτο - ένα περιοδικό κλάσμα. Αυτός ο τύπος δεν είναι πολύ κοινός, αλλά εξακολουθεί να χρησιμοποιείται. Για παράδειγμα, το κλάσμα 10/3 μπορεί να γραφτεί ως 3,33333... ή 3,(3). Εν διαφορετικές απόψειςθα θεωρηθούν παρόμοιοι αριθμοί. Τα κλάσματα που είναι ίσα μεταξύ τους θα ονομάζονται επίσης ίδια, για παράδειγμα 3/5 και 6/10. Φαίνεται ότι έχει καταστεί σαφές τι είναι οι ορθολογικοί αριθμοί. Γιατί όμως χρησιμοποιείται αυτός ο όρος για να αναφερθούν σε αυτούς;

προέλευση του ονόματος

Η λέξη "ορθολογικό" στη σύγχρονη ρωσική γλώσσα στο γενική περίπτωσηέχει λίγο διαφορετικό νόημα. Μοιάζει περισσότερο με «λογικό», «σκεπτόμενο». Αλλά οι μαθηματικοί όροι είναι κοντά ΚυριολεκτικάΑυτό Στα λατινικά, το "ratio" είναι "αναλογία", "κλάσμα" ή "διαίρεση". Έτσι, το όνομα αποτυπώνει την ουσία του τι είναι οι ρητικοί αριθμοί. Ωστόσο, η δεύτερη έννοια

όχι μακριά από την αλήθεια.

Δράσεις μαζί τους

Όταν λύνουμε μαθηματικά προβλήματα, συναντάμε συνεχώς ρητούς αριθμούς χωρίς να το γνωρίζουμε οι ίδιοι. Και είναι κοντά ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Όλα αυτά προκύπτουν είτε από τον ορισμό ενός συνόλου είτε από ενέργειες.

Πρώτον, οι ορθολογικοί αριθμοί έχουν την ιδιότητα σχέσης τάξης. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχει μόνο μία σχέση μεταξύ δύο αριθμών - είτε είναι ίσοι μεταξύ τους, είτε ο ένας είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από τον άλλο. Αυτό είναι:

ή a = b ;ή α > β,ή ένα< b.

Επιπλέον, η μεταβατικότητα της σχέσης προκύπτει και από αυτή την ιδιότητα. Αν δηλαδή έναπερισσότερο σι, σιπερισσότερο ντο, Οτι έναπερισσότερο ντο. Στη μαθηματική γλώσσα μοιάζει με αυτό:

(α > β) ^ (β > γ) => (α > γ).

Δεύτερον, υπάρχουν αριθμητικές πράξεις με ρητούς αριθμούς, δηλαδή πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση και, φυσικά, πολλαπλασιασμό. Ταυτόχρονα, στη διαδικασία των μετασχηματισμών, μπορούν επίσης να εντοπιστούν μια σειρά από ιδιότητες.

• a + b = b + a (αλλαγή θέσεων όρων, ανταλλαγή).
• 0 + a = a + 0 ;
• (α + β) + γ = α + (β + γ) (συνειρμότητα);
• a + (-a) = 0;
• αβ = βα;
• (ab)c = a(bc) (διανομή);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (στην περίπτωση αυτή το a δεν είναι ίσο με 0).
• (a + b)c = ac + ab;
• (α > β) ^ (γ > 0) => (ac > bc).

Οταν μιλάμε γιασχετικά με τους συνηθισμένους αριθμούς, όχι τους ακέραιους, οι πράξεις με αυτούς μπορεί να προκαλέσουν ορισμένες δυσκολίες. Έτσι, η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι δυνατές μόνο εάν οι παρονομαστές είναι ίσοι. Εάν αρχικά είναι διαφορετικά, θα πρέπει να βρείτε το κοινό πολλαπλασιάζοντας ολόκληρο το κλάσμα με ορισμένους αριθμούς. Η σύγκριση είναι επίσης πιο συχνά δυνατή μόνο εάν πληρούται αυτή η προϋπόθεση.

Διαίρεση και πολλαπλασιασμός συνηθισμένα κλάσματαπαράγονται σύμφωνα με επαρκείς απλούς κανόνες. Η αναγωγή σε κοινό παρονομαστή δεν είναι απαραίτητη. Οι αριθμητές και οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται χωριστά και κατά τη διαδικασία εκτέλεσης της ενέργειας, εάν είναι δυνατόν, το κλάσμα θα πρέπει να μειωθεί και να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο.

Όσον αφορά τη διαίρεση, αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με την πρώτη με μια μικρή διαφορά. Για το δεύτερο κλάσμα θα πρέπει να βρείτε το αντίστροφο, δηλαδή

"Γύρισέ το. Έτσι, ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον παρονομαστή του δεύτερου και αντίστροφα.

Τέλος, μια άλλη ιδιότητα που είναι εγγενής στους ρητούς αριθμούς ονομάζεται αξίωμα του Αρχιμήδη. Συχνά στη βιβλιογραφία απαντάται και το όνομα «αρχή». Ισχύει για ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά όχι παντού. Έτσι, αυτή η αρχή δεν ισχύει για ορισμένα σύνολα ορθολογικών συναρτήσεων. Ουσιαστικά, αυτό το αξίωμα σημαίνει ότι δεδομένης της ύπαρξης δύο μεγεθών a και b, μπορείτε πάντα να πάρετε αρκετό a για να υπερβείτε το b.

Περιοχή εφαρμογής

Έτσι, για όσους έχουν μάθει ή θυμούνται τι είναι οι ορθολογικοί αριθμοί, γίνεται σαφές ότι χρησιμοποιούνται παντού: στη λογιστική, την οικονομία, τη στατιστική, τη φυσική, τη χημεία και άλλες επιστήμες. Φυσικά έχουν θέση και στα μαθηματικά. Μη γνωρίζοντας πάντα ότι έχουμε να κάνουμε μαζί τους, χρησιμοποιούμε συνεχώς ρητούς αριθμούς. Ακόμα μικρά παιδιά, μαθαίνουν να μετρούν αντικείμενα, κόβουν ένα μήλο σε κομμάτια ή εκτελούν άλλα απλά βήματα, συναντήστε τους. Μας περικυκλώνουν κυριολεκτικά. Και όμως, δεν αρκούν για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων· συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα ως παράδειγμα, μπορεί κανείς να κατανοήσει την ανάγκη εισαγωγής της έννοιας

Ρητοί αριθμοί

Κατάλυμα

1. Τάξη. έναΚαι σιυπάρχει ένας κανόνας που επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει μοναδικά μία και μόνο μία από τις τρεις σχέσεις μεταξύ τους:< », « >"ή " = ". Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας παραγγελίαςκαι διατυπώνεται ως εξής: δύο μη αρνητικοί αριθμοί και σχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο ακέραιους και ; δύο μη θετικοί αριθμοί έναΚαι σισχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο μη αρνητικούς αριθμούς και ; αν ξαφνικά έναμη αρνητικό, αλλά σι- αρνητικό, λοιπόν ένα > σι. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Προσθήκη κλασμάτων

2. Λειτουργία προσθήκης.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας άθροισης ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται ποσόαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού ονομάζεται άθροιση. Ο κανόνας άθροισης έχει επόμενη προβολή: .
3. Λειτουργία πολλαπλασιασμού.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας πολλαπλασιασμού, το οποίο τους εκχωρεί κάποιο λογικό αριθμό ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται δουλειάαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και ονομάζεται επίσης η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού πολλαπλασιασμός. Ο κανόνας πολλαπλασιασμού μοιάζει με αυτό: .
4. Μεταβατικότητα της σχέσης τάξης.Για οποιοδήποτε τριπλό ρητών αριθμών ένα , σιΚαι ντοΑν έναπιο λιγο σιΚαι σιπιο λιγο ντο, Οτι έναπιο λιγο ντο, κι αν έναισοδυναμεί σιΚαι σιισοδυναμεί ντο, Οτι έναισοδυναμεί ντο. 6435">Μεταλλαξιμότητα της πρόσθεσης. Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών όρων δεν αλλάζει το άθροισμα.
5. Συνειρμικότητα προσθήκης.Η σειρά με την οποία προστίθενται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
6. Παρουσία μηδέν.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 0 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν προστίθεται.
7. Η παρουσία αντίθετων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίθετο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν προστεθεί σε δίνει το 0.
8. Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού.Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν.
9. Συσχετισμός πολλαπλασιασμού.Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
10. Διαθεσιμότητα μονάδας.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 1 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν πολλαπλασιάζεται.
11. Παρουσία αντίστροφων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίστροφο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με δίνει 1.
12. Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.Η πράξη πολλαπλασιασμού συντονίζεται με την πράξη πρόσθεσης μέσω του νόμου κατανομής:
13. Σύνδεση της σχέσης παραγγελίας με τη λειτουργία της προσθήκης.Ο ίδιος ρητός αριθμός μπορεί να προστεθεί στην αριστερή και δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Αξίωμα του Αρχιμήδη.Όποιος κι αν είναι ο ρητός αριθμός ένα, μπορείτε να πάρετε τόσες πολλές μονάδες ώστε το άθροισμά τους να υπερβαίνει ένα. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Πρόσθετες ιδιότητες

Όλες οι άλλες ιδιότητες που είναι εγγενείς σε ορθολογικούς αριθμούς δεν διακρίνονται ως βασικές, επειδή, γενικά μιλώντας, δεν βασίζονται πλέον απευθείας στις ιδιότητες των ακεραίων, αλλά μπορούν να αποδειχθούν με βάση τις δεδομένες βασικές ιδιότητες ή απευθείας από τον ορισμό κάποιου μαθηματικού αντικειμένου . Τέτοιος πρόσθετες ιδιότητεςτόσα πολλά. Είναι λογικό να αναφέρουμε μόνο μερικά από αυτά εδώ.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Μετρησιμότητα ενός συνόλου

Αρίθμηση ρητών αριθμών

Για να υπολογίσετε τον αριθμό των ορθολογικών αριθμών, πρέπει να βρείτε την πληθώρα του συνόλου τους. Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι το σύνολο των ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να δώσουμε έναν αλγόριθμο που απαριθμεί ρητούς αριθμούς, δηλαδή καθιερώνει μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων ορθολογικών και φυσικών αριθμών.

Ο απλούστερος από αυτούς τους αλγόριθμους μοιάζει με αυτό. Ένας ατελείωτος πίνακας συνηθισμένων κλασμάτων συντάσσεται, σε καθένα Εγώ-η γραμμή σε κάθε ιη στήλη της οποίας βρίσκεται το κλάσμα. Για λόγους βεβαιότητας, θεωρείται ότι οι σειρές και οι στήλες αυτού του πίνακα αριθμούνται ξεκινώντας από το ένα. Τα κελιά του πίνακα συμβολίζονται με , όπου Εγώ- τον αριθμό της γραμμής του πίνακα στην οποία βρίσκεται το κελί και ι- αριθμός στήλης.

Ο πίνακας που προκύπτει διασχίζεται χρησιμοποιώντας ένα «φίδι» σύμφωνα με τον ακόλουθο επίσημο αλγόριθμο.

Αυτοί οι κανόνες αναζητούνται από πάνω προς τα κάτω και η επόμενη θέση επιλέγεται με βάση την πρώτη αντιστοίχιση.

Στη διαδικασία μιας τέτοιας διέλευσης, κάθε νέος ρητός αριθμός συνδέεται με έναν άλλο φυσικό αριθμό. Δηλαδή, το κλάσμα 1/1 αποδίδεται στον αριθμό 1, το κλάσμα 2/1 στον αριθμό 2 κλπ. Σημειωτέον ότι αριθμούνται μόνο τα μη αναγώγιμα κλάσματα. Ένα τυπικό σημάδι μη αναγώγιμης είναι ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος είναι ίσος με ένα.

Ακολουθώντας αυτόν τον αλγόριθμο, μπορούμε να απαριθμήσουμε όλους τους θετικούς ρητικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των θετικών ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Είναι εύκολο να καθιερωθεί μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων θετικών και αρνητικών ρητών αριθμών, απλώς αναθέτοντας σε κάθε ρητό αριθμό το αντίθετό του. Οτι. Το σύνολο των αρνητικών ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο. Η ένωσή τους είναι επίσης μετρήσιμη από την ιδιότητα των αριθμήσιμων συνόλων. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο ως η ένωση ενός αριθμήσιμου συνόλου με ένα πεπερασμένο.

Η δήλωση σχετικά με τη μετρητότητα του συνόλου των ρητών αριθμών μπορεί να προκαλέσει κάποια σύγχυση, αφού με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι είναι πολύ πιο εκτεταμένο από το σύνολο των φυσικών αριθμών. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι έτσι και υπάρχουν αρκετοί φυσικοί αριθμοί για να απαριθμήσουμε όλους τους ορθολογικούς.

Έλλειψη ορθολογικών αριθμών

Η υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου δεν μπορεί να εκφραστεί με κανένα ρητό αριθμό

Ρητοί αριθμοί της μορφής 1 / nασύλληπτος nμπορούν να μετρηθούν αυθαίρετα μικρές ποσότητες. Αυτό το γεγονός δημιουργεί την παραπλανητική εντύπωση ότι οι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση οποιωνδήποτε γεωμετρικών αποστάσεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια.

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Ι. Κούσνιρ. Εγχειρίδιο μαθηματικών για μαθητές. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων και τη γενική τοπολογία. - Μ.: κεφάλαιο. εκδ. φυσική και μαθηματικά αναμμένο. εκδ. "Επιστήμη", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Εισαγωγή στη θεωρία των αλγεβρικών συστημάτων

Συνδέσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Το θέμα των ρητών αριθμών είναι αρκετά εκτεταμένο. Μπορείς να μιλάς για αυτό ατελείωτα και να γράφεις ολόκληρα έργα, κάθε φορά να εκπλήσσεσαι από νέα χαρακτηριστικά.

Για να αποφύγουμε λάθη στο μέλλον, σε αυτό το μάθημα θα εμβαθύνουμε λίγο στο θέμα των ορθολογικών αριθμών, θα συγκεντρώσουμε τις απαραίτητες πληροφορίες από αυτό και θα προχωρήσουμε.

Περιεχόμενο μαθήματος

Τι είναι ρητός αριθμός

Ρητός αριθμόςείναι ένας αριθμός που μπορεί να παρασταθεί ως κλάσμα, όπου ένα-αυτός είναι ο αριθμητής του κλάσματος, σιείναι ο παρονομαστής του κλάσματος. Εξάλλου σιδεν πρέπει να είναι μηδέν γιατί δεν επιτρέπεται η διαίρεση με το μηδέν.

Οι ορθολογικοί αριθμοί περιλαμβάνουν τις ακόλουθες κατηγορίες αριθμών:

• ακέραιοι αριθμοί (για παράδειγμα −2, −1, 0 1, 2, κ.λπ.)

• δεκαδικά κλάσματα (για παράδειγμα 0,2, κ.λπ.)

• άπειρα περιοδικά κλάσματα (για παράδειγμα 0, (3), κ.λπ.)

Κάθε αριθμός αυτής της κατηγορίας μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα.

Παράδειγμα 1.Ο ακέραιος αριθμός 2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 2 δεν ισχύει μόνο για ακέραιους, αλλά και για ορθολογικούς.

Παράδειγμα 2.Ένας μεικτός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό το κλάσμα προκύπτει μετατρέποντας τον μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα

Που σημαίνει μικτός αριθμόςαναφέρεται σε ρητούς αριθμούς.

Παράδειγμα 3.Το δεκαδικό 0,2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό το κλάσμα προέκυψε μετατρέποντας το δεκαδικό κλάσμα 0,2 σε κοινό κλάσμα. Εάν δυσκολεύεστε σε αυτό το σημείο, επαναλάβετε το θέμα.

Εφόσον το δεκαδικό κλάσμα 0,2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, σημαίνει ότι ανήκει και σε ρητούς αριθμούς.

Παράδειγμα 4.Το άπειρο περιοδικό κλάσμα 0, (3) μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτό το κλάσμα προκύπτει μετατρέποντας ένα καθαρό περιοδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα. Εάν δυσκολεύεστε σε αυτό το σημείο, επαναλάβετε το θέμα.

Εφόσον το άπειρο περιοδικό κλάσμα 0, (3) μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, σημαίνει ότι ανήκει και σε ρητούς αριθμούς.

Στο μέλλον, όλο και περισσότερο θα καλούμε όλους τους αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα με μία φράση - ρητοί αριθμοί.

Ρητοί αριθμοί στη γραμμή συντεταγμένων

Κοιτάξαμε τη γραμμή συντεταγμένων όταν μελετήσαμε τους αρνητικούς αριθμούς. Θυμηθείτε ότι αυτή είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία βρίσκονται πολλά σημεία. Ως εξής:

Αυτό το σχήμα δείχνει ένα μικρό θραύσμα της γραμμής συντεταγμένων από -5 έως 5.

Η σήμανση ακεραίων της μορφής 2, 0, −3 στη γραμμή συντεταγμένων δεν είναι δύσκολη.

Τα πράγματα είναι πολύ πιο ενδιαφέροντα με άλλους αριθμούς: με συνηθισμένα κλάσματα, μικτούς αριθμούς, δεκαδικούς κ.λπ. Αυτοί οι αριθμοί βρίσκονται μεταξύ των ακεραίων και υπάρχουν άπειροι από αυτούς τους αριθμούς.

Για παράδειγμα, ας σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη γραμμή συντεταγμένων. Αυτός ο αριθμός βρίσκεται ακριβώς μεταξύ μηδέν και ενός

Ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε γιατί το κλάσμα βρίσκεται ξαφνικά μεταξύ μηδέν και ενός.

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μεταξύ των ακεραίων βρίσκονται άλλοι αριθμοί - συνηθισμένα κλάσματα, δεκαδικοί, μικτοί αριθμοί κ.λπ. Για παράδειγμα, αν αυξήσετε ένα τμήμα της γραμμής συντεταγμένων από 0 σε 1, μπορείτε να δείτε την παρακάτω εικόνα

Μπορεί να φανεί ότι μεταξύ των ακέραιων αριθμών 0 και 1 υπάρχουν άλλοι ορθολογικοί αριθμοί, οι οποίοι είναι γνωστά δεκαδικά κλάσματα. Εδώ μπορείτε να δείτε το κλάσμα μας, το οποίο βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 0,5. Μια προσεκτική εξέταση αυτού του σχήματος δίνει μια απάντηση στο ερώτημα γιατί το κλάσμα βρίσκεται ακριβώς εκεί.

Κλάσμα σημαίνει διαίρεση 1 με 2. Και αν διαιρέσουμε το 1 με το 2, θα έχουμε 0,5

Το δεκαδικό κλάσμα 0,5 μπορεί να μεταμφιεστεί ως άλλα κλάσματα. Από τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, γνωρίζουμε ότι αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει.

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με οποιονδήποτε αριθμό, για παράδειγμα με τον αριθμό 4, τότε παίρνουμε ένα νέο κλάσμα και αυτό το κλάσμα είναι επίσης ίσο με 0,5

Αυτό σημαίνει ότι στη γραμμή συντεταγμένων το κλάσμα μπορεί να τοποθετηθεί στο ίδιο σημείο όπου βρισκόταν το κλάσμα

Παράδειγμα 2.Ας προσπαθήσουμε να σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη συντεταγμένη. Αυτός ο αριθμός βρίσκεται ακριβώς μεταξύ των αριθμών 1 και 2

Η τιμή του κλάσματος είναι 1,5

Αν αυξήσουμε το τμήμα της γραμμής συντεταγμένων από 1 σε 2, θα δούμε την παρακάτω εικόνα:

Μπορεί να φανεί ότι μεταξύ των ακέραιων αριθμών 1 και 2 υπάρχουν άλλοι ορθολογικοί αριθμοί, οι οποίοι είναι γνωστά δεκαδικά κλάσματα. Εδώ μπορείτε να δείτε το κλάσμα μας, το οποίο βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 1,5.

Μεγεθύναμε ορισμένα τμήματα στη γραμμή συντεταγμένων για να δούμε τους υπόλοιπους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτό το τμήμα. Ως αποτέλεσμα, ανακαλύψαμε δεκαδικά κλάσματα που είχαν ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή.

Αλλά αυτοί δεν ήταν οι μόνοι αριθμοί που βρίσκονταν σε αυτά τα τμήματα. Υπάρχουν άπειροι αριθμοί που βρίσκονται στη γραμμή συντεταγμένων.

Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι ανάμεσα σε δεκαδικά κλάσματα που έχουν ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή, υπάρχουν άλλα δεκαδικά κλάσματα που έχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή. Με άλλα λόγια, εκατοστά ενός τμήματος.

Για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να δούμε τους αριθμούς που βρίσκονται ανάμεσα στα δεκαδικά κλάσματα 0,1 και 0,2

Ενα άλλο παράδειγμα. Τα δεκαδικά κλάσματα που έχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή και βρίσκονται μεταξύ του μηδενός και του ρητού αριθμού 0,1 μοιάζουν με αυτό:

Παράδειγμα 3.Ας σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη γραμμή συντεταγμένων. Αυτός ο ρητός αριθμός θα είναι πολύ κοντά στο μηδέν

Η τιμή του κλάσματος είναι 0,02

Αν αυξήσουμε το τμήμα από το 0 στο 0,1, θα δούμε ακριβώς πού βρίσκεται ο ρητός αριθμός

Φαίνεται ότι ο ρητός μας αριθμός βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 0,02.

Παράδειγμα 4.Ας σημειώσουμε τον ρητό αριθμό 0 στη γραμμή συντεταγμένων, (3)

Ο ρητός αριθμός 0, (3) είναι ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα. Το κλασματικό του μέρος δεν τελειώνει ποτέ, είναι άπειρο

Και επειδή ο αριθμός 0,(3) έχει ένα άπειρο κλασματικό μέρος, αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να βρούμε την ακριβή θέση στη γραμμή συντεταγμένων όπου βρίσκεται αυτός ο αριθμός. Μπορούμε μόνο να υποδείξουμε αυτό το μέρος κατά προσέγγιση.

Ο ορθολογικός αριθμός 0,33333... θα βρίσκεται πολύ κοντά στο κοινό δεκαδικό κλάσμα 0,3

Αυτό το σχήμα δεν δείχνει την ακριβή θέση του αριθμού 0,(3). Αυτό είναι απλώς μια απεικόνιση για να δείξει πόσο κοντά μπορεί να είναι το περιοδικό κλάσμα 0.(3) στο κανονικό δεκαδικό κλάσμα 0.3.

Παράδειγμα 5.Ας σημειώσουμε έναν ρητό αριθμό στη γραμμή συντεταγμένων. Αυτός ο λογικός αριθμός θα βρίσκεται στη μέση μεταξύ των αριθμών 2 και 3

Αυτό είναι 2 (δύο ακέραιοι) και (ένα δευτερόλεπτο). Ένα κλάσμα ονομάζεται επίσης "μισό". Επομένως, σημειώσαμε δύο ολόκληρα τμήματα και ένα άλλο μισό τμήμα στη γραμμή συντεταγμένων.

Αν μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα, παίρνουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα. Αυτό το κλάσμα στη γραμμή συντεταγμένων θα βρίσκεται στην ίδια θέση με το κλάσμα

Η τιμή του κλάσματος είναι 2,5

Αν αυξήσουμε το τμήμα της γραμμής συντεταγμένων από 2 σε 3, θα δούμε την παρακάτω εικόνα:

Μπορεί να φανεί ότι ο ρητός μας αριθμός βρίσκεται στην ίδια θέση με το δεκαδικό κλάσμα 2,5

Μείον πριν από ρητό αριθμό

Στο προηγούμενο μάθημα, που ονομάστηκε, μάθαμε πώς να διαιρούμε ακέραιους αριθμούς. Τόσο οι θετικοί όσο και οι αρνητικοί αριθμοί θα μπορούσαν να λειτουργήσουν ως μέρισμα και διαιρέτης.

Ας εξετάσουμε την απλούστερη έκφραση

(−6) : 2 = −3

Σε αυτήν την έκφραση, το μέρισμα (−6) είναι αρνητικός αριθμός.

Τώρα σκεφτείτε τη δεύτερη έκφραση

6: (−2) = −3

Εδώ ο διαιρέτης (−2) είναι ήδη αρνητικός αριθμός. Αλλά και στις δύο περιπτώσεις παίρνουμε την ίδια απάντηση -3.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι οποιαδήποτε διαίρεση μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα, μπορούμε επίσης να γράψουμε τα παραδείγματα που αναφέρθηκαν παραπάνω ως κλάσμα:

Και επειδή και στις δύο περιπτώσεις η τιμή του κλάσματος είναι η ίδια, το μείον είτε στον αριθμητή είτε στον παρονομαστή μπορεί να γίνει κοινό τοποθετώντας το μπροστά από το κλάσμα

Επομένως, μπορείτε να βάλετε ένα σύμβολο ίσου μεταξύ των εκφράσεων και και επειδή φέρουν το ίδιο νόημα

Στο μέλλον, όταν εργαζόμαστε με κλάσματα, αν συναντήσουμε μείον στον αριθμητή ή στον παρονομαστή, θα κάνουμε αυτό το μείον κοινό τοποθετώντας το μπροστά από το κλάσμα.

Αντίθετοι ρητοί αριθμοί

Όπως ένας ακέραιος, ένας ρητός αριθμός έχει τον αντίθετο αριθμό του.

Για παράδειγμα, για έναν ρητό αριθμό, ο αντίθετος αριθμός είναι . Βρίσκεται στη γραμμή συντεταγμένων συμμετρικά προς τη θέση σε σχέση με την αρχή των συντεταγμένων. Με άλλα λόγια, και οι δύο αυτοί αριθμοί έχουν ίση απόσταση από την προέλευση

Μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα

Γνωρίζουμε ότι για να μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και να το προσθέσουμε στον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος, αλλά ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε έναν μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα

Πολλαπλασιάζουμε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και προσθέτουμε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους:

Ας υπολογίσουμε αυτή την έκφραση:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Ο αριθμός 5 που προκύπτει θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος, αλλά ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος:

Αυτή η διαδικασία είναι γραμμένη πλήρως ως εξής:

Για να επιστρέψετε τον αρχικό μικτό αριθμό, αρκεί να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος στο κλάσμα

Αλλά αυτή η μέθοδος μετατροπής ενός μικτού αριθμού σε ένα ακατάλληλο κλάσμα ισχύει μόνο εάν ο μεικτός αριθμός είναι θετικός. Για αρνητικό αριθμό αυτή τη μέθοδοδεν θα λειτουργήσει.

Ας εξετάσουμε το κλάσμα. Ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα αυτού του κλάσματος. Παίρνουμε

Για να επιστρέψετε το αρχικό κλάσμα, πρέπει να μετατρέψετε τον μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα. Αλλά αν χρησιμοποιήσουμε τον παλιό κανόνα, δηλαδή, πολλαπλασιάσουμε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και προσθέσουμε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους στον αριθμό που προκύπτει, έχουμε την ακόλουθη αντίφαση:

Λάβαμε ένα κλάσμα, αλλά θα έπρεπε να είχαμε λάβει ένα κλάσμα.

Συμπεραίνουμε ότι ο μικτός αριθμός μετατράπηκε σε ακατάλληλο κλάσμα εσφαλμένα

Για να μετατρέψετε σωστά έναν αρνητικό μικτό αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε ολόκληρο το μέρος με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρώαριθμητής του κλασματικού μέρους. Σε αυτή την περίπτωση, όλα θα μπουν στη θέση τους

Ένας αρνητικός μεικτός αριθμός είναι το αντίθετο ενός μικτού αριθμού. Εάν ένας θετικός μεικτός αριθμός βρίσκεται στη δεξιά πλευρά και μοιάζει με αυτό

Ρητοί αριθμοί

Κατάλυμα

1. Τάξη. έναΚαι σιυπάρχει ένας κανόνας που επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει μοναδικά μία και μόνο μία από τις τρεις σχέσεις μεταξύ τους:< », « >"ή " = ". Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας παραγγελίαςκαι διατυπώνεται ως εξής: δύο μη αρνητικοί αριθμοί και σχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο ακέραιους και ; δύο μη θετικοί αριθμοί έναΚαι σισχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο μη αρνητικούς αριθμούς και ; αν ξαφνικά έναμη αρνητικό, αλλά σι- αρνητικό, λοιπόν ένα > σι. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Προσθήκη κλασμάτων

2. Λειτουργία προσθήκης.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας άθροισης ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται ποσόαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού ονομάζεται άθροιση. Ο κανόνας άθροισης έχει την ακόλουθη μορφή: .
3. Λειτουργία πολλαπλασιασμού.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας πολλαπλασιασμού, το οποίο τους εκχωρεί κάποιο λογικό αριθμό ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται δουλειάαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και ονομάζεται επίσης η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού πολλαπλασιασμός. Ο κανόνας πολλαπλασιασμού μοιάζει με αυτό: .
4. Μεταβατικότητα της σχέσης τάξης.Για οποιοδήποτε τριπλό ρητών αριθμών ένα , σιΚαι ντοΑν έναπιο λιγο σιΚαι σιπιο λιγο ντο, Οτι έναπιο λιγο ντο, κι αν έναισοδυναμεί σιΚαι σιισοδυναμεί ντο, Οτι έναισοδυναμεί ντο. 6435">Μεταλλαξιμότητα της πρόσθεσης. Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών όρων δεν αλλάζει το άθροισμα.
5. Συνειρμικότητα προσθήκης.Η σειρά με την οποία προστίθενται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
6. Παρουσία μηδέν.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 0 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν προστίθεται.
7. Η παρουσία αντίθετων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίθετο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν προστεθεί σε δίνει το 0.
8. Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού.Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν.
9. Συσχετισμός πολλαπλασιασμού.Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
10. Διαθεσιμότητα μονάδας.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 1 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν πολλαπλασιάζεται.
11. Παρουσία αντίστροφων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίστροφο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με δίνει 1.
12. Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.Η πράξη πολλαπλασιασμού συντονίζεται με την πράξη πρόσθεσης μέσω του νόμου κατανομής:
13. Σύνδεση της σχέσης παραγγελίας με τη λειτουργία της προσθήκης.Ο ίδιος ρητός αριθμός μπορεί να προστεθεί στην αριστερή και δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Αξίωμα του Αρχιμήδη.Όποιος κι αν είναι ο ρητός αριθμός ένα, μπορείτε να πάρετε τόσες πολλές μονάδες ώστε το άθροισμά τους να υπερβαίνει ένα. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Πρόσθετες ιδιότητες

Όλες οι άλλες ιδιότητες που είναι εγγενείς σε ορθολογικούς αριθμούς δεν διακρίνονται ως βασικές, επειδή, γενικά μιλώντας, δεν βασίζονται πλέον απευθείας στις ιδιότητες των ακεραίων, αλλά μπορούν να αποδειχθούν με βάση τις δεδομένες βασικές ιδιότητες ή απευθείας από τον ορισμό κάποιου μαθηματικού αντικειμένου . Υπάρχουν πολλές τέτοιες πρόσθετες ιδιότητες. Είναι λογικό να αναφέρουμε μόνο μερικά από αυτά εδώ.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Μετρησιμότητα ενός συνόλου

Αρίθμηση ρητών αριθμών

Για να υπολογίσετε τον αριθμό των ορθολογικών αριθμών, πρέπει να βρείτε την πληθώρα του συνόλου τους. Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι το σύνολο των ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να δώσουμε έναν αλγόριθμο που απαριθμεί ρητούς αριθμούς, δηλαδή καθιερώνει μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων ορθολογικών και φυσικών αριθμών.

Ο απλούστερος από αυτούς τους αλγόριθμους μοιάζει με αυτό. Ένας ατελείωτος πίνακας συνηθισμένων κλασμάτων συντάσσεται, σε καθένα Εγώ-η γραμμή σε κάθε ιη στήλη της οποίας βρίσκεται το κλάσμα. Για λόγους βεβαιότητας, θεωρείται ότι οι σειρές και οι στήλες αυτού του πίνακα αριθμούνται ξεκινώντας από το ένα. Τα κελιά του πίνακα συμβολίζονται με , όπου Εγώ- τον αριθμό της γραμμής του πίνακα στην οποία βρίσκεται το κελί και ι- αριθμός στήλης.

Ο πίνακας που προκύπτει διασχίζεται χρησιμοποιώντας ένα «φίδι» σύμφωνα με τον ακόλουθο επίσημο αλγόριθμο.

Αυτοί οι κανόνες αναζητούνται από πάνω προς τα κάτω και η επόμενη θέση επιλέγεται με βάση την πρώτη αντιστοίχιση.

Στη διαδικασία μιας τέτοιας διέλευσης, κάθε νέος ρητός αριθμός συνδέεται με έναν άλλο φυσικό αριθμό. Δηλαδή, το κλάσμα 1/1 αποδίδεται στον αριθμό 1, το κλάσμα 2/1 στον αριθμό 2 κλπ. Σημειωτέον ότι αριθμούνται μόνο τα μη αναγώγιμα κλάσματα. Ένα τυπικό σημάδι μη αναγώγιμης είναι ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος είναι ίσος με ένα.

Ακολουθώντας αυτόν τον αλγόριθμο, μπορούμε να απαριθμήσουμε όλους τους θετικούς ρητικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των θετικών ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Είναι εύκολο να καθιερωθεί μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων θετικών και αρνητικών ρητών αριθμών, απλώς αναθέτοντας σε κάθε ρητό αριθμό το αντίθετό του. Οτι. Το σύνολο των αρνητικών ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο. Η ένωσή τους είναι επίσης μετρήσιμη από την ιδιότητα των αριθμήσιμων συνόλων. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο ως η ένωση ενός αριθμήσιμου συνόλου με ένα πεπερασμένο.

Η δήλωση σχετικά με τη μετρητότητα του συνόλου των ρητών αριθμών μπορεί να προκαλέσει κάποια σύγχυση, αφού με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι είναι πολύ πιο εκτεταμένο από το σύνολο των φυσικών αριθμών. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι έτσι και υπάρχουν αρκετοί φυσικοί αριθμοί για να απαριθμήσουμε όλους τους ορθολογικούς.

Έλλειψη ορθολογικών αριθμών

Η υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου δεν μπορεί να εκφραστεί με κανένα ρητό αριθμό

Ρητοί αριθμοί της μορφής 1 / nασύλληπτος nμπορούν να μετρηθούν αυθαίρετα μικρές ποσότητες. Αυτό το γεγονός δημιουργεί την παραπλανητική εντύπωση ότι οι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση οποιωνδήποτε γεωμετρικών αποστάσεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια.

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Ι. Κούσνιρ. Εγχειρίδιο μαθηματικών για μαθητές. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων και τη γενική τοπολογία. - Μ.: κεφάλαιο. εκδ. φυσική και μαθηματικά αναμμένο. εκδ. "Επιστήμη", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Εισαγωγή στη θεωρία των αλγεβρικών συστημάτων

Συνδέσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

) είναι αριθμοί με θετικό ή αρνητικό πρόσημο (ακέραιοι και κλάσματα) και μηδέν. Μια πιο ακριβής έννοια των ρητών αριθμών ακούγεται ως εξής:

Ρητός αριθμός- ένας αριθμός που αναπαρίσταται ως κοινό κλάσμα m/n, όπου ο αριθμητής Μείναι ακέραιοι και ο παρονομαστής n — ακέραιοι αριθμοί, για παράδειγμα 2/3.

Τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματα ΔΕΝ περιλαμβάνονται στο σύνολο των ρητών αριθμών.

α/β, Οπου ένα∈ Ζ (έναανήκει σε ακέραιους), σι∈ Ν (σιανήκει σε φυσικούς αριθμούς).

Χρήση ρητών αριθμών στην πραγματική ζωή.

ΣΕ πραγματική ζωήτο σύνολο των ρητών αριθμών χρησιμοποιείται για να μετρήσει τα μέρη ορισμένων ακέραιων διαιρετών αντικειμένων, Για παράδειγμα, κέικ ή άλλα τρόφιμα που κόβονται σε κομμάτια πριν καταναλωθούν ή για χονδρική εκτίμηση των χωρικών σχέσεων εκτεταμένων αντικειμένων.

Ιδιότητες ρητών αριθμών.

Βασικές ιδιότητες ρητών αριθμών.

1. Τάξη έναΚαι σιυπάρχει ένας κανόνας που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε ξεκάθαρα 1 και μόνο μία από τις 3 σχέσεις μεταξύ τους:<», «>" ή "=". Αυτός ο κανόνας είναι - κανόνας παραγγελίαςκαι διατυπώστε το ως εξής:

• 2 θετικοί αριθμοί a=m a /n αΚαι b=m b /n βσχετίζονται με την ίδια σχέση με 2 ακέραιους μ α⋅ ν βΚαι μ β⋅ ν α;
• 2 αρνητικοί αριθμοί έναΚαι σισχετίζονται με τον ίδιο λόγο με 2 θετικούς αριθμούς |β|Και |α|;
• Οταν έναθετικό και σι- αρνητικό, λοιπόν α>β.

∀ α, β∈ Q(α ∨ α>β∨ α=β)

2. Λειτουργία προσθήκης. Για όλους τους ρητούς αριθμούς έναΚαι σιΥπάρχει κανόνας άθροισης, που τους αποδίδει έναν ορισμένο ρητό αριθμό ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντο- Αυτό άθροισμααριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται ως (α+β) άθροιση.

Κανόνας άθροισηςμοιάζει με αυτό:

μ α/n a + m β/n b =(m a⋅ n b + m β⋅ ν α)/(ν α⋅ ν β).

∀ α, β∈ Q∃ !(α+β)∈ Q

3. Λειτουργία πολλαπλασιασμού. Για όλους τους ρητούς αριθμούς έναΚαι σιΥπάρχει κανόνας πολλαπλασιασμού, τα συσχετίζει με έναν ορισμένο ρητό αριθμό ντο. Ο αριθμός c ονομάζεται δουλειάαριθμοί έναΚαι σικαι δηλώνουν (α⋅β), και καλείται η διαδικασία εύρεσης αυτού του αριθμού πολλαπλασιασμός.

Κανόνας πολλαπλασιασμούμοιάζει με αυτό: μ α ν α⋅ m b n b =m a⋅ μ β ν α⋅ ν β.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Μεταβατικότητα της σχέσης τάξης.Για τρεις ρητούς αριθμούς ένα, σιΚαι ντοΑν έναπιο λιγο σιΚαι σιπιο λιγο ντο, Οτι έναπιο λιγο ντο, κι αν έναισοδυναμεί σιΚαι σιισοδυναμεί ντο, Οτι έναισοδυναμεί ντο.

∀ αλφάβητο∈ Q(α ∧ σι ⇒ ένα ∧ (α = β∧ β = γ⇒ α = γ)

5. Ανταλλαγή της πρόσθεσης. Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών όρων δεν αλλάζει το άθροισμα.

∀ α, β∈ Q a+b=b+a

6. Συνειρμότητα προσθήκης. Η σειρά με την οποία προστίθενται 3 ρητοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.

∀ αλφάβητο∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Παρουσία μηδέν. Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 0, διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν προστίθεται.

∃ 0 ∈ Q∀ ένα∈ Q a+0=a

8. Παρουσία αντίθετων αριθμών. Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίθετο ρητό αριθμό και όταν προστεθούν, το αποτέλεσμα είναι 0.

∀ ένα∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού. Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν.

∀ α, β∈ Q α⋅ b=b⋅ ένα

10. Συσχετισμός πολλαπλασιασμού. Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται 3 ρητοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.

∀ αλφάβητο∈ Q(α⋅ σι)⋅ c=a⋅ (σι⋅ ντο)

11. Διαθεσιμότητα μονάδας. Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 1, διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό στη διαδικασία του πολλαπλασιασμού.

∃ 1 ∈ Q∀ ένα∈ Q α⋅ 1=α

12. Διαθεσιμότητα αμοιβαίοι αριθμοί . Κάθε ρητός αριθμός εκτός από το μηδέν έχει έναν αντίστροφο ρητό αριθμό, πολλαπλασιάζοντας με τον οποίο παίρνουμε 1 .

∀ ένα∈ Q∃ a−1∈ Q α⋅ a−1=1

13. Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση. Η πράξη πολλαπλασιασμού σχετίζεται με την πρόσθεση χρησιμοποιώντας τον κατανεμητικό νόμο:

∀ αλφάβητο∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ γ+β⋅ ντο

14. Σχέση μεταξύ της σχέσης παραγγελίας και της πράξης πρόσθεσης. Ο ίδιος ρητός αριθμός προστίθεται στην αριστερή και δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας.

∀ αλφάβητο∈ Q α ⇒ α+γ

15. Σχέση μεταξύ της σχέσης τάξης και της πράξης πολλαπλασιασμού. Η αριστερή και η δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη αρνητικό ρητό αριθμό.

∀ αλφάβητο∈ Q c>0∧ ένα ⇒ ένα⋅ ντο ⋅ ντο

16. Αξίωμα του Αρχιμήδη. Όποιος κι αν είναι ο ρητός αριθμός ένα, είναι εύκολο να ληφθούν τόσες πολλές μονάδες ώστε το άθροισμά τους να είναι μεγαλύτερο ένα.