Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω της. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει εκατό βήματα, η χελώνα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ’ άπειρον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Αριστοτέλης, Διογένης, Καντ, Χέγκελ, Χίλμπερτ... Όλοι θεωρούσαν την απορία του Ζήνωνα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ...οι συζητήσεις συνεχίζονται μέχρι σήμερα· η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων... συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις. κανένα από αυτά δεν έγινε μια γενικά αποδεκτή λύση στο πρόβλημα..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει σε τι συνίσταται η εξαπάτηση.
Από μαθηματική άποψη, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την ποσότητα στο . Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για μόνιμες. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, λόγω της αδράνειας της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στην αμοιβαία τιμή. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να ξεπεράσει τη χελώνα.
Αν γυρίσουμε τη συνηθισμένη μας λογική, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προλάβει τη χελώνα απείρως γρήγορα».
Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες μονάδες. Στη γλώσσα του Ζήνωνα μοιάζει με αυτό:
Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.
Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ακαταμάχητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.
Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.
Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή ένα ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιορίσετε αν ένα αυτοκίνητο κινείται, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από ένα αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημεία του χώρου σε μια χρονική στιγμή, αλλά από αυτές δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει ). Αυτό που θέλω να επισημάνω Ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.
Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018
Οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται πολύ καλά στη Wikipedia. Ας δούμε.
Όπως μπορείτε να δείτε, "δεν μπορούν να υπάρχουν δύο πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο", αλλά εάν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία σε ένα σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται "πολυσύνολο". Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ μια τέτοια παράλογη λογική. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, που δεν έχουν νοημοσύνη από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί λειτουργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.
Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα ενώ δοκίμαζαν τη γέφυρα. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.
Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «να με νου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον, «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τις συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Εφαρμόσιμος μαθηματική θεωρίασετ στους ίδιους τους μαθηματικούς.
Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και βγάζουμε μισθούς. Έρχεται λοιπόν σε εμάς ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια, παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο του μισθού» του. Ας εξηγήσουμε στον μαθηματικό ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι ένα σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με ένα σύνολο με πανομοιότυπα στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.
Πρώτα απ 'όλα, θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: "Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άλλους, αλλά όχι σε μένα!" Τότε θα αρχίσουν να μας καθησυχάζουν ότι τα χαρτονομίσματα της ίδιας ονομαστικής αξίας έχουν διαφορετικούς αριθμούς λογαριασμών, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν τα ίδια στοιχεία. Εντάξει, ας μετρήσουμε τους μισθούς σε νομίσματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται μανιωδώς τη φυσική: σε διαφορετικά νομίσματα υπάρχει διαφορετικές ποσότητεςβρωμιά, κρυσταλλική δομή και ατομική διάταξη κάθε νομίσματος είναι μοναδική...
Και τώρα έχω τα περισσότερα ενδιαφέρον Ρωτήστε: πού βρίσκεται η γραμμή πέρα από την οποία τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και αντίστροφα; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη δεν είναι καν κοντά στο να ψεύδεται εδώ.
Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Οι περιοχές των πεδίων είναι οι ίδιες - που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν δούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι και σύνολο και πολυσύνολο. Ποιο είναι σωστό? Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-αιχμηρός βγάζει έναν άσσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσύνολο. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.
Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».
Κυριακή 18 Μαρτίου 2018
Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά γι' αυτό είναι σαμάνοι, για να μάθουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.
Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Άλλωστε οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα, με τη βοήθεια του οποίου γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών η εργασία ακούγεται ως εξής: «Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό». Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν εύκολα.
Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και λοιπόν, ας έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.
1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι καναμε? Μετατρέψαμε τον αριθμό σε σύμβολο γραφικού αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
2. Κόβουμε μια εικόνα που προκύπτει σε πολλές εικόνες που περιέχουν μεμονωμένους αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.
3. Μετατρέψτε μεμονωμένα γραφικά σύμβολα σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.
4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα αυτό είναι μαθηματικά.
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» που διδάσκονται από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.
Από μαθηματική άποψη, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε έναν αριθμό. Έτσι, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. ΜΕ ένας μεγάλος αριθμός 12345 Δεν θέλω να κοροϊδέψω το κεφάλι μου, ας δούμε τον αριθμό 26 από το άρθρο για το . Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα κάτω από ένα μικροσκόπιο· το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.
Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι το ίδιο σαν να προσδιορίζατε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά, θα είχατε εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα.
Το μηδέν φαίνεται το ίδιο σε όλα τα συστήματα αριθμών και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι. Ερώτηση για μαθηματικούς: πώς ορίζεται κάτι που δεν είναι αριθμός στα μαθηματικά; Τι, για τους μαθηματικούς δεν υπάρχει τίποτα εκτός από αριθμούς; Μπορώ να το επιτρέψω για σαμάνους, αλλά όχι για επιστήμονες. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.
Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα συστήματα αριθμών είναι μονάδες μέτρησης για αριθμούς. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματααφού τα συγκρίνεις, σημαίνει ότι δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.
Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής πράξης δεν εξαρτάται από το μέγεθος του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.
Ω! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νέα γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της άφιλης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψή τους στον ουρανό! Φωτοστέφανο στην κορυφή και βέλος επάνω. Ποια άλλη τουαλέτα;
Θηλυκό... Το φωτοστέφανο από πάνω και το βέλος κάτω είναι αρσενικό.
Εάν ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,
Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:
Προσωπικά, προσπαθώ να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (μια σύνθεση πολλών εικόνων: ένα σύμβολο μείον, ο αριθμός τέσσερα, ένας προσδιορισμός μοιρών). Και δεν νομίζω ότι αυτό το κορίτσι είναι ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα ισχυρό στερεότυπο για την αντίληψη γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.
Το 1Α δεν είναι «μείον τέσσερις μοίρες» ή «ένα α». Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" σε δεκαεξαδικό συμβολισμό. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα έναν αριθμό και ένα γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.
Η κύρια λειτουργία των παρενθέσεων είναι η αλλαγή της σειράς των ενεργειών κατά τον υπολογισμό τιμών. Για παράδειγμα, στην αριθμητική παράσταση \(5·3+7\) θα υπολογιστεί πρώτα ο πολλαπλασιασμός και μετά η πρόσθεση: \(5·3+7 =15+7=22\). Αλλά στην έκφραση \(5·(3+7)\) θα υπολογιστεί πρώτα η πρόσθεση σε αγκύλες και μόνο μετά ο πολλαπλασιασμός: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Παράδειγμα.
Αναπτύξτε την αγκύλη: \(-(4m+3)\).
Λύση
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Παράδειγμα.
Ανοίξτε την αγκύλη και δώστε παρόμοιους όρους \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Λύση
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Παράδειγμα.
Αναπτύξτε τις αγκύλες \(5(3-x)\).
Λύση
: Στην αγκύλη έχουμε \(3\) και \(-x\), και πριν από την αγκύλη υπάρχει ένα πέντε. Αυτό σημαίνει ότι κάθε μέλος της αγκύλης πολλαπλασιάζεται με \(5\) - σας το υπενθυμίζω Το σύμβολο πολλαπλασιασμού μεταξύ ενός αριθμού και μιας παρένθεσης δεν γράφεται στα μαθηματικά για να μειωθεί το μέγεθος των καταχωρήσεων.
Παράδειγμα.
Αναπτύξτε τις αγκύλες \(-2(-3x+5)\).
Λύση
: Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, τα \(-3x\) και \(5\) στην παρένθεση πολλαπλασιάζονται με \(-2\).
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την παράσταση: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Λύση
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Μένει να εξετάσουμε την τελευταία κατάσταση.
Κατά τον πολλαπλασιασμό μιας αγκύλης με μια αγκύλη, κάθε όρος της πρώτης αγκύλης πολλαπλασιάζεται με κάθε όρο της δεύτερης:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Παράδειγμα.
Αναπτύξτε τις αγκύλες \((2-x)(3x-1)\).
Λύση
: Έχουμε ένα προϊόν αγκύλων και μπορεί να επεκταθεί αμέσως χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Αλλά για να μην μπερδευτούμε, ας τα κάνουμε όλα βήμα-βήμα.
Βήμα 1. Αφαιρέστε την πρώτη αγκύλη - πολλαπλασιάστε κάθε όρο της με τη δεύτερη αγκύλη:
Βήμα 2. Αναπτύξτε τα γινόμενα των παρενθέσεων και τον παράγοντα όπως περιγράφεται παραπάνω:
- Καταρχάς...
Μετά το δεύτερο.
Βήμα 3. Τώρα πολλαπλασιάζουμε και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:
Δεν είναι απαραίτητο να περιγράψουμε όλους τους μετασχηματισμούς με τόση λεπτομέρεια· μπορείτε να τις πολλαπλασιάσετε αμέσως. Αλλά αν μόλις μαθαίνετε πώς να ανοίγετε παρενθέσεις, γράψτε λεπτομερώς, θα υπάρχουν λιγότερες πιθανότητες να κάνετε λάθη.
Σημείωση για ολόκληρη την ενότητα.Στην πραγματικότητα, δεν χρειάζεται να θυμάστε και τους τέσσερις κανόνες, χρειάζεται μόνο να θυμάστε έναν, αυτόν: \(c(a-b)=ca-cb\) . Γιατί; Διότι αν αντικαταστήσετε ένα αντί του c, θα έχετε τον κανόνα \((a-b)=a-b\) . Και αν αντικαταστήσουμε μείον ένα, παίρνουμε τον κανόνα \(-(a-b)=-a+b\) . Λοιπόν, αν αντικαταστήσετε μια άλλη αγκύλη αντί για c, μπορείτε να πάρετε τον τελευταίο κανόνα.
Παρένθεση μέσα σε παρένθεση
Μερικές φορές στην πράξη υπάρχουν προβλήματα με τα στηρίγματα που είναι φωλιασμένα μέσα σε άλλα στηρίγματα. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας τέτοιας εργασίας: απλοποιήστε την έκφραση \(7x+2(5-(3x+y))\).
Για την επιτυχή επίλυση τέτοιων εργασιών, χρειάζεστε:
- κατανοήστε προσεκτικά την ένθεση των παρενθέσεων - ποια είναι σε ποια;
- ανοίξτε τις αγκύλες διαδοχικά, ξεκινώντας, για παράδειγμα, από την πιο εσωτερική.
Είναι σημαντικό όταν ανοίγετε ένα από τα στηρίγματα μην αγγίζετε την υπόλοιπη έκφραση, απλά το ξαναγράφω ως έχει.
Ας δούμε την εργασία που γράφτηκε παραπάνω ως παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους \(7x+2(5-(3x+y))\).
Λύση:
Παράδειγμα.
Ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Λύση
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Εδώ υπάρχει τριπλή ένθεση παρενθέσεων. Ας ξεκινήσουμε με το πιο εσωτερικό (τονισμένο με πράσινο χρώμα). Υπάρχει ένα πλεονέκτημα μπροστά από το στήριγμα, έτσι απλά βγαίνει. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Τώρα πρέπει να ανοίξετε το δεύτερο στήριγμα, το ενδιάμεσο. Αλλά πριν από αυτό, θα απλοποιήσουμε την έκφραση των όρων που μοιάζουν με φάντασμα σε αυτή τη δεύτερη αγκύλη. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Τώρα ανοίγουμε τη δεύτερη αγκύλη (τονισμένη με μπλε χρώμα). Πριν η αγκύλη είναι ένας παράγοντας - επομένως κάθε όρος στην αγκύλη πολλαπλασιάζεται με αυτόν. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Και ανοίξτε την τελευταία αγκύλη. Υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από το στήριγμα, επομένως όλα τα σημάδια αντιστρέφονται. |
||
Η επέκταση της παρένθεσης είναι μια βασική δεξιότητα στα μαθηματικά. Χωρίς αυτή τη δεξιότητα, είναι αδύνατο να έχετε βαθμό πάνω από Γ στην 8η και στην 9η τάξη. Επομένως, σας συνιστώ να κατανοήσετε καλά αυτό το θέμα.
Τώρα θα προχωρήσουμε στο άνοιγμα παρενθέσεων σε παραστάσεις στις οποίες η έκφραση σε παρενθέσεις πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό ή μια παράσταση. Ας διατυπώσουμε έναν κανόνα για το άνοιγμα των παρενθέσεων πριν από το σύμβολο μείον: οι παρενθέσεις μαζί με το σύμβολο μείον παραλείπονται και τα πρόσημα όλων των όρων στις παρενθέσεις αντικαθίστανται με τα αντίθετα.
Ένας τύπος μετασχηματισμού έκφρασης είναι η επέκταση των παρενθέσεων. Αριθμητικές, κυριολεκτικές και μεταβλητές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας παρενθέσεις, οι οποίες μπορούν να υποδεικνύουν τη σειρά των ενεργειών, να περιέχουν αρνητικό αριθμό κ.λπ. Ας υποθέσουμε ότι στις παραστάσεις που περιγράφονται παραπάνω, αντί για αριθμούς και μεταβλητές, μπορούν να υπάρχουν οποιεσδήποτε εκφράσεις.
Και ας προσέξουμε ένα ακόμη σημείο σχετικά με τις ιδιαιτερότητες της σύνταξης μιας λύσης όταν ανοίγουμε αγκύλες. Στην προηγούμενη παράγραφο, ασχοληθήκαμε με αυτό που λέγεται ανοιγόμενη παρένθεση. Για να γίνει αυτό, υπάρχουν κανόνες για το άνοιγμα αγκύλων, τους οποίους θα εξετάσουμε τώρα. Αυτός ο κανόνας υπαγορεύεται από το γεγονός ότι οι θετικοί αριθμοί γράφονται συνήθως χωρίς παρένθεση· σε αυτήν την περίπτωση, οι παρενθέσεις δεν είναι απαραίτητες. Η παράσταση (−3,7)−(−2)+4+(−9) μπορεί να γραφεί χωρίς παρένθεση ως −3,7+2+4−9.
Τέλος, το τρίτο μέρος του κανόνα οφείλεται απλώς στις ιδιαιτερότητες της γραφής αρνητικών αριθμών στα αριστερά στην έκφραση (που αναφέραμε στην ενότητα για αγκύλες για τη γραφή αρνητικών αριθμών). Ενδέχεται να συναντήσετε εκφράσεις που αποτελούνται από έναν αριθμό, σύμβολα μείον και πολλά ζεύγη παρενθέσεων. Εάν ανοίξετε τις αγκύλες, μετακινώντας από το εσωτερικό στο εξωτερικό, τότε η λύση θα είναι η εξής: −(−((−(−(5)))=−(−((−5)))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5.
Πώς να ανοίξετε παρενθέσεις;
Ακολουθεί μια εξήγηση: −(−2 x) είναι +2 x, και αφού αυτή η παράσταση έρχεται πρώτη, το +2 x μπορεί να γραφτεί ως 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x και −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Το πρώτο μέρος του γραπτού κανόνα για το άνοιγμα παρενθέσεων προκύπτει απευθείας από τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των αρνητικών αριθμών. Το δεύτερο μέρος του είναι συνέπεια του κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των αριθμών με διαφορετικά σημάδια. Ας περάσουμε σε παραδείγματα ανοίγματος παρενθέσεων σε γινόμενα και πηλίκα δύο αριθμών με διαφορετικά πρόσημα.
Εναρκτήρια αγκύλες: κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.
Ο παραπάνω κανόνας λαμβάνει υπόψη ολόκληρη την αλυσίδα αυτών των ενεργειών και επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία ανοίγματος των στηρίξεων. Ο ίδιος κανόνας σάς επιτρέπει να ανοίγετε παρενθέσεις σε παραστάσεις που είναι προϊόντα και μερικές παραστάσεις με πρόσημο μείον που δεν είναι αθροίσματα και διαφορές.
Ας δούμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα. Ας δώσουμε τον αντίστοιχο κανόνα. Παραπάνω έχουμε ήδη συναντήσει εκφράσεις της μορφής −(a) και −(−a), οι οποίες χωρίς παρένθεση γράφονται ως −a και a, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, −(3)=3, και. Αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις του αναφερόμενου κανόνα. Τώρα ας δούμε παραδείγματα ανοίγματος παρενθέσεων όταν περιέχουν αθροίσματα ή διαφορές. Ας δείξουμε παραδείγματα χρήσης αυτού του κανόνα. Ας υποδηλώσουμε την παράσταση (b1+b2) ως b, μετά την οποία χρησιμοποιούμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού της αγκύλης με την παράσταση της προηγούμενης παραγράφου, έχουμε (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Επαγωγικά, αυτή η δήλωση μπορεί να επεκταθεί σε έναν αυθαίρετο αριθμό όρων σε κάθε παρένθεση. Απομένει να ανοίξετε τις αγκύλες στην έκφραση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους κανόνες από προηγούμενες παραγράφους, ως αποτέλεσμα παίρνουμε 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.
Ο κανόνας στα μαθηματικά είναι το άνοιγμα παρενθέσεων αν υπάρχουν (+) και (-) μπροστά από τις αγκύλες.
Αυτή η έκφραση είναι το γινόμενο τριών παραγόντων (2+4), 3 και (5+7·8). Θα πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες διαδοχικά. Τώρα χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό μιας αγκύλης με έναν αριθμό, έχουμε ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Οι βαθμοί, οι βάσεις των οποίων είναι ορισμένες εκφράσεις γραμμένες σε αγκύλες, με φυσικούς εκθέτες μπορούν να θεωρηθούν ως το γινόμενο πολλών αγκύλων.
Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε την έκφραση (a+b+c)2. Αρχικά, το γράφουμε ως γινόμενο δύο αγκύλων (a+b+c)·(a+b+c), τώρα πολλαπλασιάζουμε μια αγκύλα με μια αγκύλη, παίρνουμε a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.
Θα πούμε επίσης ότι για να αυξήσουμε τα αθροίσματα και τις διαφορές δύο αριθμών σε μια φυσική δύναμη, είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα. Για παράδειγμα, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Δεν είναι λιγότερο βολικό να αντικαταστήσετε πρώτα τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον αντίστοιχο κανόνα για το άνοιγμα παρενθέσεων σε ένα γινόμενο.
Απομένει να κατανοήσουμε τη σειρά ανοίγματος των παρενθέσεων χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Ας πάρουμε την παράσταση (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Αντικαθιστούμε αυτά τα αποτελέσματα στην αρχική έκφραση: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Το μόνο που μένει είναι να ολοκληρώσουμε το άνοιγμα των αγκύλων, με αποτέλεσμα να έχουμε −5+3·2:4+6·7. Αυτό σημαίνει ότι όταν μετακινούμαστε από την αριστερή πλευρά της ισότητας προς τα δεξιά, έγινε το άνοιγμα των παρενθέσεων.
Σημειώστε ότι και στα τρία παραδείγματα αφαιρέσαμε απλώς τις παρενθέσεις. Πρώτα, προσθέστε το 445 στο 889. Αυτή η ενέργεια μπορεί να εκτελεστεί διανοητικά, αλλά δεν είναι πολύ εύκολη. Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας δούμε ότι η αλλαγμένη διαδικασία θα απλοποιήσει σημαντικά τους υπολογισμούς.
Πώς να επεκτείνετε τις παρενθέσεις σε άλλο βαθμό
Εικονογραφικό παράδειγμα και κανόνα. Ας δούμε ένα παράδειγμα: . Μπορείτε να βρείτε την τιμή μιας παράστασης προσθέτοντας 2 και 5 και μετά λαμβάνοντας τον αριθμό που προκύπτει με το αντίθετο πρόσημο. Ο κανόνας δεν αλλάζει εάν δεν υπάρχουν δύο, αλλά τρεις ή περισσότεροι όροι σε παρενθέσεις. Σχόλιο. Τα σημάδια αντιστρέφονται μόνο μπροστά από τους όρους. Για να ανοίξουμε τις αγκύλες, σε αυτή την περίπτωση πρέπει να θυμόμαστε την ιδιότητα διανομής.
Για απλούς αριθμούς σε αγκύλες
Το λάθος σου δεν είναι στα ζώδια, αλλά στον λάθος χειρισμό των κλασμάτων; Στην Στ' τάξη μάθαμε για τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς. Πώς θα λύσουμε παραδείγματα και εξισώσεις;
Πόσο είναι σε αγκύλες; Τι μπορείτε να πείτε για αυτές τις εκφράσεις; Φυσικά, το αποτέλεσμα του πρώτου και του δεύτερου παραδείγματος είναι το ίδιο, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να βάλουμε ένα πρόσημο ίσου μεταξύ τους: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Τι κάναμε με τις παρενθέσεις;
Επίδειξη της διαφάνειας 6 με κανόνες για το άνοιγμα αγκύλων. Έτσι, οι κανόνες για το άνοιγμα παρενθέσεων θα μας βοηθήσουν να λύσουμε παραδείγματα και να απλοποιήσουμε εκφράσεις. Στη συνέχεια, οι μαθητές καλούνται να εργαστούν σε ζευγάρια: πρέπει να χρησιμοποιήσουν βέλη για να συνδέσουν την έκφραση που περιέχει αγκύλες με την αντίστοιχη έκφραση χωρίς αγκύλες.
Διαφάνεια 11 Μόλις στο Sunny City, η Znayka και ο Dunno μάλωσαν για το ποιος από αυτούς έλυσε σωστά την εξίσωση. Στη συνέχεια, οι μαθητές λύνουν την εξίσωση μόνοι τους χρησιμοποιώντας τους κανόνες για το άνοιγμα αγκύλων. Επίλυση εξισώσεων» Στόχοι μαθήματος: εκπαιδευτικός (ενίσχυση γνώσεων με θέμα: «Άνοιγμα αγκύλων.
Θέμα μαθήματος: «Ανοίγοντας παρένθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο από τις πρώτες αγκύλες με κάθε όρο από τις δεύτερες αγκύλες και στη συνέχεια να προσθέσετε τα αποτελέσματα. Αρχικά, λαμβάνονται οι δύο πρώτοι παράγοντες, περικλείονται σε ένα ακόμη παρένθεση και μέσα σε αυτές τις αγκύλες ανοίγουν οι παρενθέσεις σύμφωνα με έναν από τους ήδη γνωστούς κανόνες.
rawalan.freezeet.ru
Εναρκτήριες αγκύλες: κανόνες και παραδείγματα (βαθμός 7)
Η κύρια λειτουργία των παρενθέσεων είναι η αλλαγή της σειράς των ενεργειών κατά τον υπολογισμό τιμών αριθμητικές εκφράσεις . Για παράδειγμα, στην αριθμητική παράσταση \(5·3+7\) θα υπολογιστεί πρώτα ο πολλαπλασιασμός και μετά η πρόσθεση: \(5·3+7 =15+7=22\). Αλλά στην έκφραση \(5·(3+7)\) θα υπολογιστεί πρώτα η πρόσθεση σε αγκύλες και μόνο μετά ο πολλαπλασιασμός: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Ωστόσο, αν έχουμε να κάνουμε με αλγεβρική παράστασηπου περιέχει μεταβλητός- για παράδειγμα, ως εξής: \(2(x-3)\) - τότε είναι αδύνατο να υπολογίσετε την τιμή στην αγκύλα, η μεταβλητή βρίσκεται στο δρόμο. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, οι αγκύλες «ανοίγουν» χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους κανόνες.
Κανόνες ανοίγματος παρενθέσεων
Εάν υπάρχει ένα σύμβολο συν μπροστά από το στήριγμα, τότε το στήριγμα απλώς αφαιρείται, η έκφραση σε αυτό παραμένει αμετάβλητη. Με άλλα λόγια:
Εδώ είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ότι στα μαθηματικά, για να συντομεύσετε τους συμβολισμούς, συνηθίζεται να μην γράφετε το σύμβολο συν εάν εμφανίζεται πρώτο στην έκφραση. Για παράδειγμα, αν προσθέσουμε δύο θετικούς αριθμούς, για παράδειγμα, επτά και τρία, τότε δεν γράφουμε \(+7+3\), αλλά απλώς \(7+3\), παρά το γεγονός ότι το επτά είναι επίσης θετικός αριθμός . Ομοίως, αν δείτε, για παράδειγμα, την έκφραση \((5+x)\) - να το ξέρετε πριν από την αγκύλη υπάρχει ένα συν, το οποίο δεν γράφεται.
Παράδειγμα
. Ανοίξτε την αγκύλη και δώστε παρόμοιους όρους: \((x-11)+(2+3x)\).
Λύση
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Εάν υπάρχει σύμβολο μείον μπροστά από την αγκύλη, τότε όταν αφαιρείται η αγκύλη, κάθε όρος της έκφρασης μέσα σε αυτό αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο:
Εδώ είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ότι ενώ το a ήταν στην αγκύλη, υπήρχε ένα σύμβολο συν (απλώς δεν το έγραψαν) και μετά την αφαίρεση του βραχίονα, αυτό το συν άλλαξε σε μείον.
Παράδειγμα
: Απλοποιήστε την έκφραση \(2x-(-7+x)\).
Λύση
: μέσα στην αγκύλη υπάρχουν δύο όροι: \(-7\) και \(x\), και πριν από την αγκύλη υπάρχει ένα μείον. Αυτό σημαίνει ότι τα σημάδια θα αλλάξουν - και τα επτά θα είναι πλέον συν, και το x τώρα θα είναι μείον. Ανοίξτε το στήριγμα και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους .
Παράδειγμα.
Ανοίξτε την αγκύλη και δώστε παρόμοιους όρους \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Λύση
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Εάν υπάρχει ένας παράγοντας μπροστά από την αγκύλη, τότε κάθε μέλος της αγκύλης πολλαπλασιάζεται με αυτόν, δηλαδή:
Παράδειγμα.
Αναπτύξτε τις αγκύλες \(5(3-x)\).
Λύση
: Στην αγκύλη έχουμε \(3\) και \(-x\), και πριν από την αγκύλη υπάρχει ένα πέντε. Αυτό σημαίνει ότι κάθε μέλος της αγκύλης πολλαπλασιάζεται με \(5\) - σας το υπενθυμίζω Το σύμβολο πολλαπλασιασμού μεταξύ ενός αριθμού και μιας παρένθεσης δεν γράφεται στα μαθηματικά για να μειωθεί το μέγεθος των καταχωρήσεων.
Παράδειγμα.
Αναπτύξτε τις αγκύλες \(-2(-3x+5)\).
Λύση
: Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, τα \(-3x\) και \(5\) στην παρένθεση πολλαπλασιάζονται με \(-2\).
Μένει να εξετάσουμε την τελευταία κατάσταση.
Κατά τον πολλαπλασιασμό μιας αγκύλης με μια αγκύλη, κάθε όρος της πρώτης αγκύλης πολλαπλασιάζεται με κάθε όρο της δεύτερης:
Παράδειγμα.
Αναπτύξτε τις αγκύλες \((2-x)(3x-1)\).
Λύση
: Έχουμε ένα προϊόν αγκύλων και μπορεί να επεκταθεί αμέσως χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Αλλά για να μην μπερδευτούμε, ας τα κάνουμε όλα βήμα-βήμα.
Βήμα 1. Αφαιρέστε την πρώτη αγκύλη και πολλαπλασιάστε κάθε μέλος με τη δεύτερη αγκύλη:
Βήμα 2. Αναπτύξτε τα γινόμενα των παρενθέσεων και τον παράγοντα όπως περιγράφεται παραπάνω:
- Καταρχάς...
Βήμα 3. Τώρα πολλαπλασιάζουμε και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:
Δεν είναι απαραίτητο να περιγράψουμε όλους τους μετασχηματισμούς με τόση λεπτομέρεια· μπορείτε να τις πολλαπλασιάσετε αμέσως. Αλλά αν μόλις μαθαίνετε πώς να ανοίγετε παρενθέσεις, γράψτε λεπτομερώς, θα υπάρχουν λιγότερες πιθανότητες να κάνετε λάθη.
Σημείωση για ολόκληρη την ενότητα.Στην πραγματικότητα, δεν χρειάζεται να θυμάστε και τους τέσσερις κανόνες, χρειάζεται μόνο να θυμάστε έναν, αυτόν: \(c(a-b)=ca-cb\) . Γιατί; Διότι αν αντικαταστήσετε ένα αντί του c, θα έχετε τον κανόνα \((a-b)=a-b\) . Και αν αντικαταστήσουμε μείον ένα, παίρνουμε τον κανόνα \(-(a-b)=-a+b\) . Λοιπόν, αν αντικαταστήσετε μια άλλη αγκύλη αντί για c, μπορείτε να πάρετε τον τελευταίο κανόνα.
Παρένθεση μέσα σε παρένθεση
Μερικές φορές στην πράξη υπάρχουν προβλήματα με τα στηρίγματα που είναι φωλιασμένα μέσα σε άλλα στηρίγματα. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας τέτοιας εργασίας: απλοποιήστε την έκφραση \(7x+2(5-(3x+y))\).
Για την επιτυχή επίλυση τέτοιων εργασιών, χρειάζεστε:
- κατανοήστε προσεκτικά την ένθεση των παρενθέσεων - ποια είναι σε ποια;
— ανοίξτε τις αγκύλες διαδοχικά, ξεκινώντας, για παράδειγμα, από την πιο εσωτερική.
Είναι σημαντικό όταν ανοίγετε ένα από τα στηρίγματα μην αγγίζετε την υπόλοιπη έκφραση, απλά το ξαναγράφω ως έχει.
Ας δούμε την εργασία που γράφτηκε παραπάνω ως παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους \(7x+2(5-(3x+y))\).
Λύση:
Ας ξεκινήσουμε την εργασία ανοίγοντας το εσωτερικό στήριγμα (αυτό που βρίσκεται μέσα). Επεκτείνοντάς το, έχουμε να κάνουμε μόνο με αυτό που σχετίζεται άμεσα με αυτό - αυτό είναι το ίδιο το στήριγμα και το μείον μπροστά του (επισημαίνεται με πράσινο χρώμα). Ξαναγράφουμε όλα τα άλλα (όχι τονισμένα) με τον ίδιο τρόπο.
Επίλυση μαθηματικών προβλημάτων στο Διαδίκτυο
Ηλεκτρονική αριθμομηχανή.
Απλοποίηση πολυωνύμου.
Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων.
Με αυτό το μαθηματικό πρόγραμμα μπορείτε να απλοποιήσετε ένα πολυώνυμο.
Ενώ εκτελείται το πρόγραμμα:
- πολλαπλασιάζει πολυώνυμα
— αθροίζει μονώνυμα (δίνει παρόμοια)
- ανοίγει παρένθεση
- ανεβάζει ένα πολυώνυμο σε δύναμη
Το πρόγραμμα πολυωνυμικής απλοποίησης όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά δίνει λεπτομερής λύσημε εξηγήσεις, δηλ. εμφανίζει τη διαδικασία λύσης, ώστε να μπορείτε να ελέγξετε τις γνώσεις σας στα μαθηματικά ή/και στην άλγεβρα.
Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για τους μαθητές σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςκατά την προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε όσο πιο γρήγορα γίνεται; εργασία για το σπίτιστα μαθηματικά ή στην άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.
Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων.
Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Περιμένετε ένα δευτερόλεπτο.
Λίγη θεωρία.
Προϊόν ενός μονοωνύμου και ενός πολυωνύμου. Η έννοια του πολυωνύμου
Ανάμεσα στις διάφορες εκφράσεις που εξετάζονται στην άλγεβρα, τα αθροίσματα των μονωνύμων κατέχουν σημαντική θέση. Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων εκφράσεων:
Το άθροισμα των μονοωνύμων ονομάζεται πολυώνυμο. Οι όροι σε ένα πολυώνυμο ονομάζονται όροι του πολυωνύμου. Τα μονώνυμα ταξινομούνται επίσης ως πολυώνυμα, θεωρώντας ότι ένα μονώνυμο είναι ένα πολυώνυμο που αποτελείται από ένα μέλος.
Ας αναπαραστήσουμε όλους τους όρους με τη μορφή μονοωνύμων της τυπικής μορφής:
Ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους στο πολυώνυμο που προκύπτει:
Το αποτέλεσμα είναι ένα πολυώνυμο, όλοι οι όροι του οποίου είναι μονώνυμα της τυπικής μορφής και μεταξύ τους δεν υπάρχουν όμοιοι. Τέτοια πολυώνυμα ονομάζονται πολυώνυμα τυπικής μορφής.
Πίσω βαθμός πολυωνύμουτυποποιημένης μορφής λαμβάνουν την υψηλότερη από τις εξουσίες των μελών της. Έτσι, ένα διώνυμο έχει τον τρίτο βαθμό και ένα τριώνυμο έχει τον δεύτερο.
Συνήθως, οι όροι πολυωνύμων τυπικής μορφής που περιέχουν μία μεταβλητή είναι διατεταγμένοι σε φθίνουσα σειρά εκθετών. Για παράδειγμα:
Το άθροισμα πολλών πολυωνύμων μπορεί να μετατραπεί (απλοποιηθεί) σε πολυώνυμο τυπικής μορφής.
Μερικές φορές οι όροι ενός πολυωνύμου χρειάζεται να χωριστούν σε ομάδες, περικλείοντας κάθε ομάδα σε παρένθεση. Δεδομένου ότι το κλείσιμο των παρενθέσεων είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός των ανοιγόμενων παρενθέσεων, είναι εύκολο να διατυπωθεί κανόνες για το άνοιγμα αγκύλων:
Εάν τοποθετηθεί ένα σύμβολο «+» πριν από τις αγκύλες, τότε οι όροι που περικλείονται σε αγκύλες γράφονται με τα ίδια πρόσημα.
Εάν τοποθετηθεί ένα σύμβολο «-» πριν από τις αγκύλες, τότε οι όροι που περικλείονται στις αγκύλες γράφονται με αντίθετα σημάδια.
Μετασχηματισμός (απλούστευση) του γινομένου ενός μονοωνύμου και ενός πολυωνύμου
Χρησιμοποιώντας την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορείτε να μετατρέψετε (απλοποιήσετε) το γινόμενο ενός μονωνύμου και ενός πολυωνύμου σε πολυώνυμο. Για παράδειγμα:
Το γινόμενο ενός μονοωνύμου και ενός πολυωνύμου είναι πανομοιότυπα ίσο με το άθροισμα των γινομένων αυτού του μονωνύμου και καθενός από τους όρους του πολυωνύμου.
Αυτό το αποτέλεσμα συνήθως διατυπώνεται κατά κανόνα.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα μονώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το μονώνυμο με κάθε έναν από τους όρους του πολυωνύμου.
Έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει αυτόν τον κανόνα αρκετές φορές για να πολλαπλασιάσουμε με ένα άθροισμα.
Προϊόν πολυωνύμων. Μετασχηματισμός (απλούστευση) του γινομένου δύο πολυωνύμων
Γενικά, το γινόμενο δύο πολυωνύμων είναι πανομοιότυπα ίσο με το άθροισμα του γινομένου κάθε όρου ενός πολυωνύμου και κάθε όρου του άλλου.
Συνήθως χρησιμοποιείται ο ακόλουθος κανόνας.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου και να προσθέσετε τα γινόμενα που προκύπτουν.
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Αθροιστικά τετράγωνα, διαφορές και διαφορά τετραγώνων
Πρέπει να αντιμετωπίζετε ορισμένες εκφράσεις σε αλγεβρικούς μετασχηματισμούς πιο συχνά από άλλες. Ίσως οι πιο συνηθισμένες εκφράσεις είναι το u, δηλαδή το τετράγωνο του αθροίσματος, το τετράγωνο της διαφοράς και η διαφορά των τετραγώνων. Παρατηρήσατε ότι τα ονόματα αυτών των εκφράσεων φαίνεται να είναι ελλιπή, για παράδειγμα, αυτό δεν είναι, φυσικά, μόνο το τετράγωνο του αθροίσματος, αλλά το τετράγωνο του αθροίσματος των a και b. Ωστόσο, το τετράγωνο του αθροίσματος των α και β δεν εμφανίζεται πολύ συχνά· κατά κανόνα, αντί για τα γράμματα α και β, περιέχει διάφορες, μερικές φορές αρκετά περίπλοκες, εκφράσεις.
Οι εκφράσεις μπορούν εύκολα να μετατραπούν (απλοποιηθούν) σε πολυώνυμα της τυπικής μορφής· στην πραγματικότητα, έχετε ήδη αντιμετωπίσει μια τέτοια εργασία κατά τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων:
Είναι χρήσιμο να θυμάστε τις ταυτότητες που προκύπτουν και να τις εφαρμόσετε χωρίς ενδιάμεσους υπολογισμούς. Οι σύντομες λεκτικές διατυπώσεις βοηθούν σε αυτό.
- το τετράγωνο του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων και του διπλού γινόμενου.
— το τετράγωνο της διαφοράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων χωρίς το διπλό γινόμενο.
- η διαφορά των τετραγώνων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς και του αθροίσματος.
Αυτές οι τρεις ταυτότητες επιτρέπουν σε κάποιον να αντικαταστήσει τα αριστερά του μέρη με τα δεξιά σε μετασχηματισμούς και αντίστροφα - τα δεξιά με τα αριστερά. Το πιο δύσκολο είναι να δεις τις αντίστοιχες εκφράσεις και να καταλάβεις πώς αντικαθίστανται σε αυτές οι μεταβλητές a και b. Ας δούμε πολλά παραδείγματα χρήσης συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
Βιβλία (διδακτικά βιβλία) Περιλήψεις Ενιαίας Κρατικής Εξετάσεων και Δοκιμές OGE Διαδικτυακά παιχνίδια, παζλ Κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων Ορθογραφικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας Λεξικό νεανικής αργκό Κατάλογος ρωσικών σχολείων Κατάλογος ιδρυμάτων δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Ρωσίας Κατάλογος ρωσικών πανεπιστημίων Λίστα προβλημάτων Εύρεση GCD και LCM Απλοποίηση πολυωνύμου (πολλαπλασιάζοντας πολυώνυμα) Διαίρεση σε ένα πολυώνυμο με στήλη Υπολογισμός αριθμητικών κλασμάτων Επίλυση προβλημάτων με ποσοστά Μιγαδικοί αριθμοί: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο του συστήματος του 2 γραμμικές εξισώσειςμε δύο μεταβλητές Λύση τετραγωνική εξίσωσηΑπομόνωση του τετραγώνου διωνύμου και παραγοντοποίηση τετραγωνικού τριωνύμου Επίλυση ανισώσεων Επίλυση συστημάτων ανισώσεων Αποτύπωση γραφικής παράστασης τετραγωνικής συνάρτησης Γραφική παράσταση κλασματικής-γραμμικής συνάρτησης Επίλυση αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων Επίλυση τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικές εξισώσειςΥπολογισμός ορίων, παράγωγος, εφαπτομένη Ολοκληρωμένο, αντιπαράγωγος Επίλυση τριγώνων Υπολογισμός ενεργειών με διανύσματα Υπολογισμός ενεργειών με ευθείες και επίπεδα Εμβαδόν γεωμετρικά σχήματαΠερίμετρος γεωμετρικών σχημάτων Όγκος γεωμετρικών σωμάτων Έκταση επιφάνειας γεωμετρικών σωμάτων
Κατασκευαστής Κυκλοφοριακών Καταστάσεων
Καιρός - νέα - ωροσκόπια
www.mathsolution.ru
Διευρυνόμενες παρενθέσεις
Συνεχίζουμε να μελετάμε τα βασικά της άλγεβρας. Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε πώς να επεκτείνουμε τις παρενθέσεις σε εκφράσεις. Η επέκταση των παρενθέσεων σημαίνει την αφαίρεση των παρενθέσεων από μια έκφραση.
Για να ανοίξετε παρενθέσεις, πρέπει να απομνημονεύσετε μόνο δύο κανόνες. Με τακτική εξάσκηση, μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες με κλειστα ματια, και αυτοί οι κανόνες που έπρεπε να απομνημονευθούν μπορούν να ξεχαστούν με ασφάλεια.
Ο πρώτος κανόνας για το άνοιγμα παρενθέσεων
Σκεφτείτε την ακόλουθη έκφραση:
Η αξία αυτής της έκφρασης είναι 2 . Ας ανοίξουμε τις παρενθέσεις σε αυτή την έκφραση. Η επέκταση των παρενθέσεων σημαίνει να απαλλαγούμε από αυτές χωρίς να επηρεάσουμε το νόημα της έκφρασης. Δηλαδή, αφού απαλλαγούμε από τις παρενθέσεις, η αξία της έκφρασης 8+(−9+3) θα πρέπει ακόμα να είναι ίσο με δύο.
Ο πρώτος κανόνας για το άνοιγμα παρενθέσεων είναι ο εξής:
Όταν ανοίγετε στηρίγματα, εάν υπάρχει ένα συν μπροστά από τα στηρίγματα, τότε αυτό το συν παραλείπεται μαζί με τα στηρίγματα.
Έτσι, το βλέπουμε στην έκφραση 8+(−9+3) Υπάρχει ένα σύμβολο συν πριν από τις παρενθέσεις. Αυτό το συν πρέπει να παραλειφθεί μαζί με τις παρενθέσεις. Με άλλα λόγια, οι αγκύλες θα εξαφανιστούν μαζί με το συν που στάθηκε μπροστά τους. Και αυτό που ήταν μέσα σε αγκύλες θα γραφτεί χωρίς αλλαγές:
8−9+3 . Αυτή η έκφραση είναι ίση με 2 , όπως και η προηγούμενη έκφραση με αγκύλες, ήταν ίσο με 2 .
8+(−9+3) Και 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Παράδειγμα 2.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 3 + (−1 − 4)
Υπάρχει ένα συν μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι αυτό το συν παραλείπεται μαζί με τις αγκύλες. Ό,τι ήταν εντός παρενθέσεων θα παραμείνει αμετάβλητο:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Παράδειγμα 3.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 2 + (−1)
ΣΕ σε αυτό το παράδειγμαΤο άνοιγμα των παρενθέσεων έγινε ένα είδος αντίστροφης πράξης αντικατάστασης της αφαίρεσης με πρόσθεση. Τι σημαίνει?
Στην έκφραση 2−1 γίνεται αφαίρεση, αλλά μπορεί να αντικατασταθεί από πρόσθεση. Τότε παίρνουμε την έκφραση 2+(−1) . Αν όμως στην έκφραση 2+(−1) Ανοίξτε τις αγκύλες, θα πάρετε το πρωτότυπο 2−1 .
Επομένως, ο πρώτος κανόνας για το άνοιγμα παρενθέσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απλοποίηση εκφράσεων μετά από ορισμένους μετασχηματισμούς. Δηλαδή, απαλλάξτε το από αγκύλες και κάντε το πιο απλό.
Για παράδειγμα, ας απλοποιήσουμε την έκφραση 2a+a−5b+b .
Για να απλοποιηθεί αυτή η έκφραση, μπορούν να δοθούν παρόμοιοι όροι. Ας θυμηθούμε ότι για να μειώσετε παρόμοιους όρους, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές παρόμοιων όρων και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με το μέρος του κοινού γράμματος:
Πήρε έκφραση 3a+(−4b). Ας αφαιρέσουμε τις παρενθέσεις σε αυτήν την έκφραση. Υπάρχει ένα συν μπροστά από τις αγκύλες, επομένως χρησιμοποιούμε τον πρώτο κανόνα για το άνοιγμα των αγκύλων, δηλαδή παραλείπουμε τις αγκύλες μαζί με το συν που έρχεται πριν από αυτές τις αγκύλες:
Η έκφραση λοιπόν 2a+a−5b+bαπλοποιεί να 3a−4b .
Έχοντας ανοίξει κάποιες αγκύλες, μπορεί να συναντήσετε άλλες στην πορεία. Εφαρμόζουμε σε αυτούς τους ίδιους κανόνες με τους πρώτους. Για παράδειγμα, ας επεκτείνουμε τις παρενθέσεις στην ακόλουθη έκφραση:
Υπάρχουν δύο σημεία όπου πρέπει να ανοίξετε τις παρενθέσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, ισχύει ο πρώτος κανόνας ανοίγματος παρενθέσεων, δηλαδή η παράλειψη των παρενθέσεων μαζί με το σύμβολο συν που προηγείται αυτών των παρενθέσεων:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Παράδειγμα 3.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 6+(−3)+(−2)
Και στα δύο σημεία όπου υπάρχουν παρενθέσεις, προηγείται συν. Και εδώ ισχύει ο πρώτος κανόνας ανοίγματος παρενθέσεων:
Μερικές φορές ο πρώτος όρος στην παρένθεση γράφεται χωρίς πρόσημο. Για παράδειγμα, στην έκφραση 1+(2+3−4) πρώτος όρος σε παρένθεση 2 γραμμένο χωρίς σημάδι. Γεννιέται το ερώτημα, τι πρόσημο θα εμφανίζεται μπροστά από τα δύο αφού παραλειφθούν οι αγκύλες και το συν μπροστά από τις αγκύλες; Η απάντηση υποδηλώνεται από μόνη της - θα υπάρχει ένα συν μπροστά από τα δύο.
Στην πραγματικότητα, ακόμη και μέσα σε παρένθεση υπάρχει ένα συν μπροστά από τα δύο, αλλά δεν το βλέπουμε γιατί δεν είναι γραμμένο. Έχουμε ήδη πει ότι η πλήρης σημειογραφία των θετικών αριθμών μοιάζει +1, +2, +3. Σύμφωνα όμως με την παράδοση, τα συν δεν καταγράφονται, γι' αυτό και βλέπουμε τα θετικά νούμερα που μας είναι γνωστά 1, 2, 3 .
Επομένως, για να επεκτείνετε τις παρενθέσεις στην έκφραση 1+(2+3−4) , ως συνήθως, πρέπει να παραλείψετε τις αγκύλες μαζί με το σύμβολο συν μπροστά από αυτές τις αγκύλες, αλλά γράψτε τον πρώτο όρο που ήταν στις αγκύλες με το σύμβολο συν:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Παράδειγμα 4.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση −5 + (2 − 3)
Υπάρχει ένα συν μπροστά από τις αγκύλες, επομένως εφαρμόζουμε τον πρώτο κανόνα για το άνοιγμα των αγκύλων, δηλαδή, παραλείπουμε τις αγκύλες μαζί με το συν που έρχεται πριν από αυτές τις αγκύλες. Αλλά ο πρώτος όρος, τον οποίο γράφουμε σε παρένθεση με πρόσημο συν:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Παράδειγμα 5.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση (−5)
Υπάρχει ένα συν μπροστά από την παρένθεση, αλλά δεν γράφεται γιατί δεν υπήρχαν άλλοι αριθμοί ή εκφράσεις πριν από αυτό. Το καθήκον μας είναι να αφαιρέσουμε τις παρενθέσεις εφαρμόζοντας τον πρώτο κανόνα ανοίγματος παρενθέσεων, δηλαδή, να παραλείψουμε τις παρενθέσεις μαζί με αυτό το συν (ακόμα και αν είναι αόρατο)
Παράδειγμα 6.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 2a + (−6a + b)
Υπάρχει ένα συν μπροστά από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι αυτό το συν παραλείπεται μαζί με τις αγκύλες. Ό,τι ήταν μέσα σε αγκύλες θα γραφεί αμετάβλητο:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Παράδειγμα 7.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Υπάρχουν δύο μέρη σε αυτήν την έκφραση όπου πρέπει να επεκτείνετε τις παρενθέσεις. Και στις δύο ενότητες υπάρχει ένα συν πριν από τις αγκύλες, που σημαίνει ότι αυτό το συν παραλείπεται μαζί με τις αγκύλες. Ό,τι ήταν μέσα σε αγκύλες θα γραφεί αμετάβλητο:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Ο δεύτερος κανόνας για το άνοιγμα παρενθέσεων
Ας δούμε τώρα τον δεύτερο κανόνα για το άνοιγμα παρενθέσεων. Χρησιμοποιείται όταν υπάρχει ένα μείον πριν από την παρένθεση.
Εάν υπάρχει ένα μείον πριν από τις αγκύλες, τότε αυτό το μείον παραλείπεται μαζί με τις αγκύλες, αλλά οι όροι που βρίσκονταν στις αγκύλες αλλάζουν το πρόσημά τους στο αντίθετο.
Για παράδειγμα, ας επεκτείνουμε τις παρενθέσεις στην παρακάτω έκφραση
Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα μείον πριν από τις αγκύλες. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εφαρμόσετε τον δεύτερο κανόνα επέκτασης, δηλαδή να παραλείψετε τις αγκύλες μαζί με το σύμβολο μείον μπροστά από αυτές τις αγκύλες. Σε αυτήν την περίπτωση, οι όροι που βρίσκονταν σε αγκύλες θα αλλάξουν το πρόσημά τους στο αντίθετο:
Πήραμε έκφραση χωρίς παρένθεση 5+2+3 . Αυτή η έκφραση είναι ίση με 10, όπως και η προηγούμενη έκφραση με αγκύλες ήταν ίση με 10.
Έτσι, ανάμεσα στις εκφράσεις 5−(−2−3) Και 5+2+3 μπορείτε να βάλετε ένα σύμβολο ίσου, αφού είναι ίσα με την ίδια τιμή:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Παράδειγμα 2.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 6 − (−2 − 5)
Υπάρχει ένα μείον πριν από τις αγκύλες, επομένως εφαρμόζουμε τον δεύτερο κανόνα για το άνοιγμα των αγκύλων, δηλαδή, παραλείπουμε τις αγκύλες μαζί με το μείον που έρχεται πριν από αυτές τις αγκύλες. Σε αυτήν την περίπτωση, γράφουμε τους όρους που βρίσκονταν σε αγκύλες με αντίθετα πρόσημα:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Παράδειγμα 3.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 2 − (7 + 3)
Υπάρχει ένα μείον πριν από τις αγκύλες, επομένως εφαρμόζουμε τον δεύτερο κανόνα για το άνοιγμα των αγκύλων:
Παράδειγμα 4.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση −(−3 + 4)
Παράδειγμα 5.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Υπάρχουν δύο σημεία όπου πρέπει να ανοίξετε τις παρενθέσεις. Στην πρώτη περίπτωση, πρέπει να εφαρμόσετε τον δεύτερο κανόνα για το άνοιγμα παρενθέσεων και όταν πρόκειται για την έκφραση +(−9−2) πρέπει να εφαρμόσετε τον πρώτο κανόνα:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Παράδειγμα 6.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση −(−a − 1)
Παράδειγμα 7.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση −(4a + 3)
Παράδειγμα 8.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση ένα − (4b + 3) + 15
Παράδειγμα 9.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση 2α + (3b − b) − (3c + 5)
Υπάρχουν δύο σημεία όπου πρέπει να ανοίξετε τις παρενθέσεις. Στην πρώτη περίπτωση, πρέπει να εφαρμόσετε τον πρώτο κανόνα για το άνοιγμα παρενθέσεων και όταν πρόκειται για την έκφραση −(3c+5)πρέπει να εφαρμόσετε τον δεύτερο κανόνα:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Παράδειγμα 10.Αναπτύξτε τις παρενθέσεις στην έκφραση −α − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Υπάρχουν τρία σημεία όπου πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες. Πρώτα πρέπει να εφαρμόσετε τον δεύτερο κανόνα για το άνοιγμα παρενθέσεων, μετά τον πρώτο και μετά πάλι τον δεύτερο:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Μηχανισμός ανοίγματος βραχίονα
Οι κανόνες για το άνοιγμα των παρενθέσεων που εξετάσαμε τώρα βασίζονται στον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού:
στην πραγματικότητα ανοίγοντας παρενθέσειςείναι η διαδικασία όπου ο κοινός παράγοντας πολλαπλασιάζεται με κάθε όρο σε παρένθεση. Ως αποτέλεσμα αυτού του πολλαπλασιασμού, οι αγκύλες εξαφανίζονται. Για παράδειγμα, ας επεκτείνουμε τις παρενθέσεις στην έκφραση 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Επομένως, εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με μια παράσταση σε αγκύλες (ή να πολλαπλασιάσετε μια παράσταση σε αγκύλες με έναν αριθμό), πρέπει να πείτε ας ανοίξουμε τις αγκύλες.
Πώς όμως σχετίζεται ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού με τους κανόνες ανοίγματος παρενθέσεων που εξετάσαμε νωρίτερα;
Γεγονός είναι ότι πριν από κάθε παρένθεση υπάρχει ένας κοινός παράγοντας. Στο παράδειγμα 3×(4+5)ο κοινός παράγοντας είναι 3 . Και στο παράδειγμα α(β+γ)ο κοινός παράγοντας είναι μια μεταβλητή ένα.
Εάν δεν υπάρχουν αριθμοί ή μεταβλητές πριν από τις παρενθέσεις, τότε ο κοινός παράγοντας είναι 1 ή −1 , ανάλογα με το τι σημάδι βρίσκεται μπροστά από τις αγκύλες. Αν υπάρχει ένα συν μπροστά από τις παρενθέσεις, τότε ο κοινός παράγοντας είναι 1 . Εάν υπάρχει ένα μείον πριν από την παρένθεση, τότε ο κοινός παράγοντας είναι −1 .
Για παράδειγμα, ας επεκτείνουμε τις παρενθέσεις στην έκφραση −(3b−1). Υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, επομένως πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον δεύτερο κανόνα για το άνοιγμα των αγκύλων, δηλαδή να παραλείψετε τις αγκύλες μαζί με το σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες. Και γράψτε την έκφραση που ήταν μέσα σε αγκύλες με αντίθετα σημάδια:
Επεκτείναμε τις αγκύλες χρησιμοποιώντας τον κανόνα για επέκταση αγκύλων. Αλλά αυτές οι ίδιες αγκύλες μπορούν να ανοίξουν χρησιμοποιώντας τον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού. Για να το κάνετε αυτό, πρώτα γράψτε πριν από τις αγκύλες τον κοινό παράγοντα 1, ο οποίος δεν καταγράφηκε:
Το σύμβολο μείον που προηγουμένως βρισκόταν πριν από τις αγκύλες αναφερόταν σε αυτή τη μονάδα. Τώρα μπορείτε να ανοίξετε τις αγκύλες χρησιμοποιώντας τον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού. Για το σκοπό αυτό ο κοινός παράγοντας −1 πρέπει να πολλαπλασιάσετε με κάθε όρο σε αγκύλες και να προσθέσετε τα αποτελέσματα.
Για ευκολία, αντικαθιστούμε τη διαφορά στις παρενθέσεις με το ποσό:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Όπως και την προηγούμενη φορά που λάβαμε την έκφραση −3b+1. Όλοι θα συμφωνήσουν ότι αυτή τη φορά αφιερώθηκε περισσότερος χρόνος για την επίλυση ενός τόσο απλού παραδείγματος. Επομένως, είναι πιο συνετό να χρησιμοποιείτε έτοιμους κανόνες για το άνοιγμα αγκύλων, τους οποίους συζητήσαμε σε αυτό το μάθημα:
Αλλά δεν βλάπτει να γνωρίζουμε πώς λειτουργούν αυτοί οι κανόνες.
Σε αυτό το μάθημα μάθαμε μια άλλη πανομοιότυπη μεταμόρφωση. Μαζί με το άνοιγμα των αγκύλων, την τοποθέτηση του γενικού εκτός παρενθέσεων και την προσθήκη παρόμοιων όρων, μπορείτε να επεκτείνετε ελαφρώς το εύρος των προβλημάτων που πρέπει να λυθούν. Για παράδειγμα:
Εδώ πρέπει να εκτελέσετε δύο ενέργειες - πρώτα ανοίξτε τις αγκύλες και, στη συνέχεια, φέρτε παρόμοιους όρους. Λοιπόν, με τη σειρά:
1) Ανοίξτε τις αγκύλες:
2) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:
Στην έκφραση που προκύπτει −10b+(−1)μπορείτε να επεκτείνετε τις αγκύλες:
Παράδειγμα 2.Ανοίξτε τις παρενθέσεις και προσθέστε παρόμοιους όρους στην παρακάτω έκφραση:
1) Ας ανοίξουμε τις αγκύλες:
2) Ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους.Αυτή τη φορά, για να εξοικονομήσουμε χρόνο και χώρο, δεν θα γράψουμε πώς πολλαπλασιάζονται οι συντελεστές με το μέρος του κοινού γράμματος
Παράδειγμα 3.Απλοποιήστε μια έκφραση 8μ+3μκαι βρείτε την αξία του σε m=−4
1) Αρχικά, ας απλοποιήσουμε την έκφραση. Για απλοποίηση της έκφρασης 8μ+3μ, μπορείτε να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα σε αυτό Μεκτός παρενθέσεων:
2) Βρείτε την τιμή της έκφρασης m(8+3)στο m=−4. Για να γίνει αυτό, στην έκφραση m(8+3)αντί για μεταβλητή Μαντικαταστήστε τον αριθμό −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε λεπτομερώς τους βασικούς κανόνες τέτοιων σημαντικό θέμαμάθημα μαθηματικών, όπως ανοίγοντας παρενθέσεις. Πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες ανοίγματος παρενθέσεων για να λύσετε σωστά τις εξισώσεις στις οποίες χρησιμοποιούνται.
Πώς να ανοίξετε σωστά τις παρενθέσεις κατά την προσθήκη
Αναπτύξτε τις αγκύλες που προηγούνται από το σύμβολο "+".
Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση, γιατί αν υπάρχει πρόσθετη πινακίδα μπροστά από τις αγκύλες, τα σημάδια στο εσωτερικό τους δεν αλλάζουν όταν ανοίγουν οι αγκύλες. Παράδειγμα:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Πώς να επεκτείνετε τις παρενθέσεις πριν από το σύμβολο "-".
Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να ξαναγράψετε όλους τους όρους χωρίς αγκύλες, αλλά ταυτόχρονα να αλλάξετε όλα τα σημάδια μέσα τους στα αντίθετα. Τα πρόσημα αλλάζουν μόνο για όρους από εκείνες τις αγκύλες που προηγήθηκαν το σύμβολο «-». Παράδειγμα:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Πώς να ανοίξετε παρενθέσεις κατά τον πολλαπλασιασμό
Πριν από τις αγκύλες υπάρχει ένας πολλαπλασιαστής αριθμός
Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο με έναν παράγοντα και να ανοίξετε τις αγκύλες χωρίς να αλλάξετε τα σημάδια. Εάν ο πολλαπλασιαστής έχει πρόσημο «-», τότε κατά τον πολλαπλασιασμό τα πρόσημα των όρων αντιστρέφονται. Παράδειγμα:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Πώς να ανοίξετε δύο παρενθέσεις με ένα σύμβολο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους
Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο από τις πρώτες αγκύλες με κάθε όρο από τις δεύτερες αγκύλες και στη συνέχεια να προσθέσετε τα αποτελέσματα. Παράδειγμα:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Πώς να ανοίξετε παρενθέσεις σε ένα τετράγωνο
Εάν το άθροισμα ή η διαφορά δύο όρων είναι τετράγωνο, οι αγκύλες πρέπει να ανοίξουν σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Σε περίπτωση μείον εντός των παρενθέσεων, ο τύπος δεν αλλάζει. Παράδειγμα:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Πώς να επεκτείνετε τις παρενθέσεις σε άλλο βαθμό
Εάν το άθροισμα ή η διαφορά των όρων αυξηθεί, για παράδειγμα, στην 3η ή 4η δύναμη, τότε απλά πρέπει να σπάσετε την ισχύ του βραχίονα σε "τετράγωνα". Προστίθενται οι δυνάμεις πανομοιότυπων παραγόντων και κατά τη διαίρεση αφαιρείται η δύναμη του διαιρέτη από τη δύναμη του μερίσματος. Παράδειγμα:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Πώς να ανοίξετε 3 αγκύλες
Υπάρχουν εξισώσεις στις οποίες πολλαπλασιάζονται 3 παρενθέσεις ταυτόχρονα. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσετε τους όρους των δύο πρώτων παρενθέσεων μαζί και, στη συνέχεια, να πολλαπλασιάσετε το άθροισμα αυτού του πολλαπλασιασμού με τους όρους της τρίτης αγκύλης. Παράδειγμα:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Αυτοί οι κανόνες για το άνοιγμα παρενθέσεων ισχύουν εξίσου για την επίλυση τόσο γραμμικών όσο και τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Συνεχίζω τη σειρά μεθοδολογικών άρθρων με θέμα τη διδασκαλία. Ήρθε η ώρα να δούμε τα χαρακτηριστικά ατομική δουλειά Καθηγητής μαθηματικών για μαθητές της 7ης τάξης. Με μεγάλη μου χαρά θα μοιραστώ τις σκέψεις μου για τις μορφές παρουσίασης ενός από τα τα πιο σημαντικά θέματαΜάθημα άλγεβρας στην 7η τάξη - «ανοιγμα παρενθέσεις». Για να μην προσπαθήσουμε να καταλάβουμε την απεραντοσύνη, ας σταματήσουμε στο αρχικό της στάδιο και ας αναλύσουμε τη μέθοδο του δασκάλου να εργάζεται με τον πολλαπλασιασμό ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο. Πως δάσκαλος μαθηματικώνλειτουργεί σε δύσκολες καταστάσεις, Οταν αδύναμος μαθητήςδεν αντιλαμβάνεται κλασικό σχήμαεξηγήσεις; Ποιες εργασίες πρέπει να προετοιμαστούν για έναν δυνατό μαθητή της έβδομης δημοτικού; Ας εξετάσουμε αυτά και άλλα ερωτήματα.
Φαίνεται, τι είναι τόσο περίπλοκο σε αυτό; «Οι αγκύλες είναι τόσο εύκολες όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών», θα πει κάθε άριστος μαθητής. «Υπάρχει ένας νόμος κατανομής και ιδιότητες των δυνάμεων για εργασία με μονώνυμα, ένας γενικός αλγόριθμος για οποιονδήποτε αριθμό όρων. Πολλαπλασιάστε το καθένα με το καθένα και φέρτε παρόμοια.» Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο απλά όταν εργάζεστε με καθυστερήσεις. Παρά τις προσπάθειες του καθηγητή μαθηματικών, οι μαθητές καταφέρνουν να κάνουν λάθη μόνοι τους. διαφορετικών διαμετρημάτωνακόμα και στις πιο απλές μεταμορφώσεις. Η φύση των σφαλμάτων είναι εντυπωσιακή στην ποικιλομορφία της: από μικρές παραλείψεις γραμμάτων και πινακίδων έως σοβαρά αδιέξοδα «λάθη στάσης».
Τι εμποδίζει έναν μαθητή να ολοκληρώσει σωστά τους μετασχηματισμούς; Γιατί είναι δυνατή η παρεξήγηση;
Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός μεμονωμένων προβλημάτων και ένα από τα κύρια εμπόδια για την αφομοίωση και την ενοποίηση του υλικού είναι η δυσκολία στην έγκαιρη και γρήγορη εναλλαγή της προσοχής, η δυσκολία επεξεργασίας μεγάλου όγκου πληροφοριών. Μπορεί σε κάποιους να φαίνεται παράξενο ότι μιλάω για μεγάλο τόμο, αλλά ένας αδύναμος μαθητής της 7ης τάξης μπορεί να μην έχει αρκετές πηγές μνήμης και προσοχής ακόμη και για τέσσερις περιόδους. Συντελεστές, μεταβλητές, μοίρες (δείκτες) παρεμβαίνουν. Ο μαθητής μπερδεύει τη σειρά των πράξεων, ξεχνά ποια μονοώνυμα έχουν ήδη πολλαπλασιαστεί και ποια παρέμειναν ανέπαφα, δεν θυμάται πώς πολλαπλασιάζονται κ.λπ.
Αριθμητική Προσέγγιση για Καθηγητή Μαθηματικών
Φυσικά, πρέπει να ξεκινήσετε με μια εξήγηση της λογικής πίσω από την κατασκευή του ίδιου του αλγορίθμου. Πως να το κάνεις? Πρέπει να θέσουμε ένα πρόβλημα: πώς να αλλάξουμε τη σειρά των ενεργειών σε μια έκφραση 
για να μην αλλαξει το αποτελεσμα? Δίνω αρκετά συχνά παραδείγματα που εξηγούν πώς λειτουργούν ορισμένοι κανόνες χρησιμοποιώντας συγκεκριμένους αριθμούς. Και μόνο τότε τα αντικαθιστώ με γράμματα. Η τεχνική για τη χρήση της αριθμητικής προσέγγισης θα περιγραφεί παρακάτω.
Προβλήματα κινήτρων.
Στην αρχή ενός μαθήματος, είναι δύσκολο για έναν καθηγητή μαθηματικών να συγκεντρώσει έναν μαθητή εάν δεν κατανοεί τη συνάφεια αυτού που μελετάται. Μέσα στο αναλυτικό πρόγραμμα για τις τάξεις 6-7, είναι δύσκολο να βρεθούν παραδείγματα χρήσης του κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων. Θα τονίσω την ανάγκη μάθησης αλλάξτε τη σειρά των ενεργειών στις εκφράσειςΟ μαθητής πρέπει να γνωρίζει ότι αυτό βοηθά στην επίλυση προβλημάτων από την εμπειρία στην προσθήκη παρόμοιων όρων. Έπρεπε να τα προσθέσει όταν έλυνε εξισώσεις. Για παράδειγμα, στο 2x+5x+13=34 χρησιμοποιεί αυτό το 2x+5x=7x. Ένας δάσκαλος μαθηματικών πρέπει απλώς να εστιάσει την προσοχή του μαθητή σε αυτό.
Οι καθηγητές μαθηματικών αναφέρονται συχνά στην τεχνική του ανοίγματος παρενθέσεων ως κανόνας «συντριβάνι»..
Αυτή η εικόνα θυμάται καλά και πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμοποιηθεί. Πώς όμως αποδεικνύεται αυτός ο κανόνας; Ας θυμηθούμε την κλασική μορφή, η οποία χρησιμοποιεί προφανείς μετασχηματισμούς ταυτότητας:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Είναι δύσκολο για έναν καθηγητή μαθηματικών να σχολιάσει οτιδήποτε εδώ. Τα γράμματα μιλούν από μόνα τους. Και ένας δυνατός μαθητής της 7ης τάξης δεν χρειάζεται λεπτομερείς εξηγήσεις. Ωστόσο, τι να κάνουμε με τους αδύναμους, που δεν βλέπουν κανένα περιεχόμενο σε αυτό το «κυριολεκτικό μπέρδεμα»;
Το κύριο πρόβλημα που παρεμβαίνει στην αντίληψη της κλασικής μαθηματικής αιτιολόγησης του «συντριβανιού» είναι η ασυνήθιστη μορφή γραφής του πρώτου παράγοντα. Ούτε στην 5η τάξη ούτε στην 6η τάξη ο μαθητής έπρεπε να σύρει την πρώτη αγκύλη σε κάθε εξάμηνο της δεύτερης. Τα παιδιά ασχολήθηκαν μόνο με αριθμούς (συντελεστές), που βρίσκονται πιο συχνά στα αριστερά των παρενθέσεων, για παράδειγμα:
Μέχρι το τέλος της 6ης τάξης, ο μαθητής έχει σχηματίσει μια οπτική εικόνα ενός αντικειμένου - έναν ορισμένο συνδυασμό σημείων (δράσεων) που σχετίζονται με αγκύλες. Και οποιαδήποτε απόκλιση από τη συνηθισμένη άποψη προς κάτι νέο μπορεί να αποπροσανατολίσει έναν μαθητή της έβδομης δημοτικού. Είναι η οπτική εικόνα του ζεύγους «αριθμός + αγκύλη» που χρησιμοποιεί ο καθηγητής μαθηματικών όταν εξηγεί.
Μπορεί να προσφερθεί η ακόλουθη εξήγηση. Ο δάσκαλος εξηγεί: «Αν υπήρχε κάποιος αριθμός μπροστά από την αγκύλη, για παράδειγμα 5, τότε θα μπορούσαμε αλλάξτε τη διαδικασίασε αυτή την έκφραση; Σίγουρα. Τότε ας το κάνουμε 
. Σκεφτείτε αν το αποτέλεσμά του θα αλλάξει αν αντί για τον αριθμό 5 βάλουμε το άθροισμα 2+3 μέσα σε αγκύλες; Οποιοσδήποτε μαθητής θα πει στον δάσκαλο: «Τι διαφορά έχει το πώς γράφεις: 5 ή 2+3». Εκπληκτικός. Θα λάβετε μια ηχογράφηση. Ο δάσκαλος των μαθηματικών κάνει ένα μικρό διάλειμμα ώστε ο μαθητής να θυμάται οπτικά την εικόνα-εικόνα του αντικειμένου. Στη συνέχεια εφιστά την προσοχή του στο γεγονός ότι η αγκύλη, όπως και ο αριθμός, «διανεμήθηκε» ή «πηδούσε» σε κάθε όρο. Τι σημαίνει αυτό? Αυτό σημαίνει ότι αυτή η λειτουργία μπορεί να γίνει όχι μόνο με αριθμό, αλλά και με παρένθεση. Πήραμε δύο ζεύγη παραγόντων και . Οι περισσότεροι μαθητές τα αντιμετωπίζουν εύκολα μόνοι τους και γράφουν το αποτέλεσμα στον δάσκαλο. Είναι σημαντικό να συγκρίνετε τα ζεύγη που προκύπτουν με τα περιεχόμενα των παρενθέσεων 2+3 και 6+4 και θα καταστεί σαφές πώς ανοίγουν.
Εάν είναι απαραίτητο, μετά το παράδειγμα με τους αριθμούς, ο καθηγητής μαθηματικών πραγματοποιεί μια απόδειξη επιστολών. Αποδεικνύεται ότι είναι ένα cakewalk στα ίδια μέρη του προηγούμενου αλγορίθμου.
Διαμόρφωση της ικανότητας ανοίγματος αγκύλων
Ο σχηματισμός της ικανότητας πολλαπλασιασμού παρενθέσεων είναι ένα από τα τα πιο σημαντικά στάδιαεργασία ενός καθηγητή μαθηματικών με ένα θέμα. Και ακόμη πιο σημαντικό από το στάδιο της εξήγησης της λογικής του κανόνα «συντριβάνι». Γιατί; Το σκεπτικό των αλλαγών θα ξεχαστεί την επόμενη κιόλας μέρα, αλλά η δεξιοτεχνία, αν διαμορφωθεί και εμπεδωθεί εγκαίρως, θα παραμείνει. Οι μαθητές εκτελούν την πράξη μηχανικά, σαν να ανασύρουν έναν πίνακα πολλαπλασιασμού από τη μνήμη. Αυτό είναι που πρέπει να επιτευχθεί. Γιατί; Αν κάθε φορά που ένας μαθητής ανοίγει παρένθεση θυμάται γιατί ανοίγει έτσι και όχι αλλιώς, θα ξεχάσει το πρόβλημα που λύνει. Γι' αυτό ο καθηγητής μαθηματικών αφιερώνει τον υπόλοιπο χρόνο του μαθήματος στη μετατροπή της κατανόησης σε απομνημόνευση κατά λέξη. Αυτή η στρατηγική χρησιμοποιείται συχνά σε άλλα θέματα.
Πώς μπορεί ένας δάσκαλος να αναπτύξει την ικανότητα να ανοίγει παρενθέσεις σε έναν μαθητή; Για να γίνει αυτό, ένας μαθητής της 7ης τάξης πρέπει να ολοκληρώσει έναν αριθμό ασκήσεων σε επαρκείς ποσότητες για να ενοποιηθούν. Αυτό εγείρει ένα άλλο πρόβλημα. Ένας αδύναμος μαθητής της έβδομης δημοτικού δεν μπορεί να αντιμετωπίσει τον αυξημένο αριθμό μετασχηματισμών. Ακόμα και μικρά. Και τα λάθη πέφτουν το ένα μετά το άλλο. Τι πρέπει να κάνει ένας καθηγητής μαθηματικών; Πρώτον, συνιστάται να σχεδιάσετε βέλη από κάθε όρο σε κάθε έναν. Εάν ένας μαθητής είναι πολύ αδύναμος και δεν είναι σε θέση να μεταβεί γρήγορα από ένα είδος εργασίας σε άλλο, ή χάνει τη συγκέντρωση του όταν ακολουθεί απλές εντολές από τον δάσκαλο, τότε ο ίδιος ο καθηγητής μαθηματικών σχεδιάζει αυτά τα βέλη. Και όχι όλα ταυτόχρονα. Αρχικά, ο δάσκαλος συνδέει τον πρώτο όρο στην αριστερή παρένθεση με κάθε όρο στη δεξιά παρένθεση και τους ζητά να εκτελέσουν τον αντίστοιχο πολλαπλασιασμό. Μόνο μετά από αυτό τα βέλη κατευθύνονται από τον δεύτερο όρο στην ίδια δεξιά αγκύλη. Με άλλα λόγια, ο δάσκαλος χωρίζει τη διαδικασία σε δύο στάδια. Είναι καλύτερα να διατηρείτε μια μικρή χρονική παύση (5-7 δευτερόλεπτα) μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης λειτουργίας.
1) Ένα σύνολο βελών πρέπει να σχεδιάζεται πάνω από τις εκφράσεις και το άλλο κάτω από αυτές.
2) Είναι σημαντικό να παραλείπετε τουλάχιστον μεταξύ των γραμμών δυο κελιά. Διαφορετικά, η εγγραφή θα είναι πολύ πυκνή και τα βέλη όχι μόνο θα ανέβουν στην προηγούμενη γραμμή, αλλά θα αναμειχθούν και με τα βέλη από την επόμενη άσκηση.
3) Στην περίπτωση πολλαπλασιασμού αγκύλων στη μορφή 3 επί 2, τα βέλη σχεδιάζονται από τη μικρή αγκύλη στη μεγάλη. Διαφορετικά, δεν θα υπάρχουν δύο, αλλά τρία από αυτά τα «συντριβάνια». Η υλοποίηση του τρίτου είναι αισθητά πιο περίπλοκη λόγω της έλλειψης ελεύθερου χώρου για τα βέλη.
4) Τα βέλη δείχνουν πάντα από το ίδιο σημείο. Ένας από τους μαθητές μου συνέχισε να προσπαθούσε να τους βάλει δίπλα-δίπλα και κατέληξε στο εξής:
Αυτή η ρύθμιση δεν επιτρέπει την επιλογή και την καταγραφή του τρέχοντος όρου με τον οποίο συνεργάζεται ο μαθητής σε κάθε στάδιο.
Δάχτυλο του δασκάλου
4) Για να κρατήσει την προσοχή σε ένα ξεχωριστό ζεύγος πολλαπλασιασμένων όρων, ο καθηγητής μαθηματικών βάζει δύο δάχτυλα πάνω τους. Αυτό πρέπει να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε να μην εμποδίζεται η προβολή του μαθητή. Για τους πιο απρόσεκτους μαθητές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο «παλμού». Ο καθηγητής μαθηματικών μετακινεί το πρώτο του δάχτυλο στην αρχή του βέλους (σε έναν από τους όρους) και το διορθώνει και με το δεύτερο «χτυπά» στο τέλος του (στο δεύτερο όρο). Το Ripple βοηθά στην εστίαση της προσοχής στον όρο με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ο μαθητής. Αφού ολοκληρωθεί ο πρώτος πολλαπλασιασμός με τη δεξιά παρένθεση, ο καθηγητής μαθηματικών λέει: «Τώρα δουλεύουμε με τον άλλο όρο». Ο δάσκαλος μετακινεί το "σταθερό δάχτυλο" προς αυτό και περνά το "παλμικό" δάχτυλο πάνω από τους όρους από την άλλη αγκύλη. Ο παλμός λειτουργεί σαν ένα «φλας» σε ένα αυτοκίνητο και σας επιτρέπει να εστιάσετε την προσοχή ενός απουσιάζοντος μαθητή στην επέμβαση που κάνει. Εάν το παιδί γράφει μικρά, τότε χρησιμοποιούνται δύο μολύβια αντί για δάχτυλα.
Βελτιστοποίηση επανάληψης
Όπως όταν μελετάτε οποιοδήποτε άλλο θέμα σε ένα μάθημα άλγεβρας, ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων μπορεί και πρέπει να ενσωματωθεί με υλικό που καλύφθηκε προηγουμένως. Για να γίνει αυτό, ο καθηγητής μαθηματικών χρησιμοποιεί ειδικές εργασίες γέφυρας που σας επιτρέπουν να βρείτε την εφαρμογή αυτού που μελετάτε σε διάφορα μαθηματικά αντικείμενα. Δεν συνδέουν μόνο θέματα σε ένα ενιαίο σύνολο, αλλά οργανώνουν επίσης πολύ αποτελεσματικά την επανάληψη ολόκληρου του μαθήματος των μαθηματικών. Και όσο περισσότερες γέφυρες χτίζει ο δάσκαλος, τόσο το καλύτερο.
Παραδοσιακά, τα σχολικά βιβλία άλγεβρας της 7ης τάξης ενσωματώνουν παρενθέσεις με την επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Στο τέλος της λίστας των αριθμών υπάρχουν πάντα εργασίες της ακόλουθης σειράς: λύστε την εξίσωση. Όταν ανοίγετε τις αγκύλες, τα τετράγωνα μειώνονται και η εξίσωση λύνεται εύκολα χρησιμοποιώντας εργαλεία της 7ης τάξης. Ωστόσο, για κάποιο λόγο, οι συγγραφείς των σχολικών βιβλίων ξεχνούν εύκολα την κατασκευή ενός γραφήματος μιας γραμμικής συνάρτησης. Προκειμένου να διορθωθεί αυτή η έλλειψη, θα συμβούλευα τους καθηγητές μαθηματικών να συμπεριλάβουν παρενθέσεις στις αναλυτικές εκφράσεις γραμμικές συναρτήσεις, Για παράδειγμα . Σε τέτοιες ασκήσεις, ο μαθητής όχι μόνο εκπαιδεύει τις δεξιότητες πραγματοποίησης πανομοιότυπων μετασχηματισμών, αλλά και επαναλαμβάνει γραφήματα. Μπορείτε να ζητήσετε να βρείτε το σημείο τομής δύο «τεράτων», να προσδιορίσετε τη σχετική θέση των γραμμών, να βρείτε τα σημεία τομής τους με τους άξονες κ.λπ.
Kolpakov A.N. Δάσκαλος μαθηματικών στο Στρόγκινο. Μόσχα