Ο Pierre Fermat, διαβάζοντας την «Αριθμητική» του Διόφαντου της Αλεξάνδρειας και αναλογιζόμενος τα προβλήματά της, είχε τη συνήθεια να καταγράφει τα αποτελέσματα των στοχασμών του με τη μορφή σύντομων σχολίων στο περιθώριο του βιβλίου. Ενάντια στο όγδοο πρόβλημα του Διόφαντου στο περιθώριο του βιβλίου, ο Φερμά έγραψε: Αντίθετα, είναι αδύνατο να αποσυντεθεί είτε ένας κύβος σε δύο κύβους, είτε ένας δυαδικός σε δύο διτετράγωνα και, γενικά, καμία ισχύς μεγαλύτερη από ένα τετράγωνο σε δύο δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη. Ανακάλυψα μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη αυτού, αλλά αυτά τα πεδία είναι πολύ στενά για αυτό» / E.T. Bell «Οι Δημιουργοί των Μαθηματικών». Μ., 1979, σ.69/. Φέρνω στην προσοχή σας μια στοιχειώδη απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, την οποία μπορεί να κατανοήσει κάθε μαθητής γυμνασίου που ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά.

Ας συγκρίνουμε το σχόλιο του Φερμά στο πρόβλημα του Διόφαντου με τη σύγχρονη διατύπωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, που έχει τη μορφή εξίσωσης.
« Η εξίσωση

x n + y n = z n(όπου n είναι ακέραιος μεγαλύτερος από δύο)

δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς»

Το σχόλιο βρίσκεται σε λογική σύνδεση με την εργασία, παρόμοια με τη λογική σύνδεση του κατηγορήματος με το υποκείμενο. Αυτό που υποστηρίζει το πρόβλημα του Διόφαντου, αντίθετα, υποστηρίζεται από το σχόλιο του Φερμά.

Το σχόλιο του Fermat μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: αν τετραγωνική εξίσωσημε τρεις αγνώστους έχει άπειρο αριθμό λύσεων στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών, στη συνέχεια, αντίστροφα, μια εξίσωση με τρεις αγνώστους σε δύναμη μεγαλύτερη από το τετράγωνο

Στην εξίσωση της σύνδεσής του με το πρόβλημα του Διόφαντου δεν υπάρχει καν νύξη. Η δήλωσή του απαιτεί απόδειξη, αλλά δεν υπάρχει συνθήκη από την οποία προκύπτει ότι δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Οι επιλογές για την απόδειξη της εξίσωσης που είναι γνωστός μου συνοψίζονται στον ακόλουθο αλγόριθμο.

1. Ως συμπέρασμα λαμβάνεται η εξίσωση του θεωρήματος Fermat, η εγκυρότητα της οποίας επαληθεύεται μέσω της απόδειξης.
2. Αυτή η ίδια εξίσωση ονομάζεται πρωτότυποεξίσωση από την οποία πρέπει να προκύψει η απόδειξή του.

Ως αποτέλεσμα, σχηματίστηκε μια ταυτολογία: Αν μια εξίσωση δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους, τότε δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς«Η απόδειξη της ταυτολογίας είναι προφανώς εσφαλμένη και στερείται οποιουδήποτε νοήματος. Αλλά αποδεικνύεται από την αντίφαση.

• Γίνεται μια υπόθεση που είναι αντίθετη από αυτή που δηλώνει η εξίσωση που πρέπει να αποδειχθεί. Δεν πρέπει να έρχεται σε αντίθεση με την αρχική εξίσωση, αλλά έρχεται. Δεν έχει νόημα να αποδεικνύεται αυτό που είναι αποδεκτό χωρίς απόδειξη και να αποδέχεται χωρίς απόδειξη αυτό που πρέπει να αποδειχθεί.
• Με βάση την αποδεκτή υπόθεση, εκτελούνται απολύτως σωστές μαθηματικές πράξεις και ενέργειες για να αποδειχθεί ότι έρχεται σε αντίθεση με την αρχική εξίσωση και είναι ψευδής.

Επομένως, εδώ και 370 χρόνια, η απόδειξη της εξίσωσης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά παραμένει ένα απραγματοποίητο όνειρο για τους ειδικούς και τους λάτρεις των μαθηματικών.

Πήρα την εξίσωση ως συμπέρασμα του θεωρήματος, και το όγδοο πρόβλημα του Διόφαντου και την εξίσωσή του ως συνθήκη του θεωρήματος.

«Αν η εξίσωση x 2 + y 2 = z 2 (1) έχει άπειρο αριθμό λύσεων στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών, τότε, αντίστροφα, η εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 (2) δεν έχει λύσεις στο σύνολο των θετικών ακεραίων.

Απόδειξη.

ΕΝΑ)Όλοι γνωρίζουν ότι η εξίσωση (1) έχει άπειρο αριθμό λύσεων στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών. Ας αποδείξουμε ότι ούτε μία τριάδα Πυθαγόρειων αριθμών που να είναι λύση της εξίσωσης (1) δεν είναι λύση της εξίσωσης (2).

Με βάση το νόμο της αντιστρεψιμότητας της ισότητας, ανταλλάσσουμε τις πλευρές της εξίσωσης (1). Πυθαγόρειοι αριθμοί (z, x, y) μπορεί να ερμηνευθεί ως μήκη πλευρών ορθογώνιο τρίγωνο, και τετράγωνα (x 2, y 2, z 2) μπορεί να ερμηνευθεί ως η περιοχή των τετραγώνων που χτίζονται στην υποτείνουσα και στα πόδια του.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα εμβαδά των τετραγώνων της εξίσωσης (1) με ένα αυθαίρετο ύψος η :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Η εξίσωση (3) μπορεί να ερμηνευθεί ως η ισότητα του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου με το άθροισμα των όγκων δύο παραλληλεπίπεδων.

Έστω το ύψος τριών παραλληλεπίπεδων h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Ο όγκος του κύβου αποσυντίθεται σε δύο όγκους δύο παραλληλεπίπεδων. Αφήνουμε τον όγκο του κύβου αμετάβλητο και μειώνουμε το ύψος του πρώτου παραλληλεπίπεδου σε Χ και μειώνουμε το ύψος του δεύτερου παραλληλεπίπεδου σε y . Ο όγκος ενός κύβου είναι μεγαλύτερος από το άθροισμα των όγκων δύο κύβων:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Στο σύνολο των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών ( x, y, z ) στο n=3 δεν μπορεί να υπάρξει λύση στην εξίσωση (2). Κατά συνέπεια, στο σύνολο όλων των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών είναι αδύνατο να αποσυντεθεί ένας κύβος σε δύο κύβους.

Έστω στην εξίσωση (3) το ύψος τριών παραλληλεπίπεδων h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου αποσυντίθεται στο άθροισμα των όγκων δύο παραλληλεπίπεδων.
Αφήνουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης (6) αμετάβλητη. Στη δεξιά πλευρά του το ύψος z 2 Μειώστε σε Χ στην πρώτη θητεία και πριν στις 2 στη δεύτερη θητεία.

Η εξίσωση (6) μετατράπηκε σε ανισότητα:

Ο όγκος του παραλληλεπίπεδου διασπάται σε δύο όγκους δύο παραλληλεπίπεδων.

Αφήνουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης (8) αμετάβλητη.
Στη δεξιά πλευρά το ύψος zn-2 Μειώστε σε xn-2 στον πρώτο όρο και να μειώσουν σε y n-2 στη δεύτερη θητεία. Η εξίσωση (8) γίνεται ανισότητα:

z n > x n + y n

(9)

Στο σύνολο των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών δεν μπορεί να υπάρχει μία μόνο λύση στην εξίσωση (2).

Κατά συνέπεια, στο σύνολο όλων των τριπλών Πυθαγόρειων αριθμών για όλους n > 2 Η εξίσωση (2) δεν έχει λύσεις.

Έχει ληφθεί μια «πραγματικά θαυματουργή απόδειξη», αλλά μόνο για τρίδυμα Πυθαγόρειοι αριθμοί. Αυτό είναι έλλειψη αποδεικτικών στοιχείωνκαι ο λόγος της άρνησης του P. Fermat από αυτόν.

ΣΙ)Ας αποδείξουμε ότι η εξίσωση (2) δεν έχει λύσεις στο σύνολο των τριπλών μη Πυθαγόρειων αριθμών, που αντιπροσωπεύει μια οικογένεια ενός αυθαίρετου τριπλού Πυθαγόρειων αριθμών z = 13, x = 12, y = 5 και μια οικογένεια ενός αυθαίρετου τριπλού θετικών ακεραίων z = 21, x = 19, y = 16

Και οι δύο τριπλέτες των αριθμών είναι μέλη των οικογενειών τους:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Ο αριθμός των μελών της οικογένειας (10) και (11) είναι ίσος με το μισό του γινόμενου 13 επί 12 και 21 επί 20, δηλαδή 78 και 210.

Κάθε μέλος της οικογένειας (10) περιέχει z = 13 και μεταβλητές Χ Και στο 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Κάθε μέλος της οικογένειας (11) περιέχει z = 21 και μεταβλητές Χ Και στο , τα οποία λαμβάνουν ακέραιες τιμές 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Οι μεταβλητές μειώνονται διαδοχικά κατά 1 .

Τριπλάσια αριθμών της ακολουθίας (10) και (11) μπορούν να παρασταθούν ως ακολουθία ανισώσεων τρίτου βαθμού:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

και με τη μορφή ανισοτήτων τέταρτου βαθμού:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Η ορθότητα κάθε ανισότητας επαληθεύεται ανεβάζοντας τους αριθμούς στην τρίτη και τέταρτη δύναμη.

Ένας κύβος μεγαλύτερου αριθμού δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο κύβους μικρότερων αριθμών. Είναι είτε μικρότερο είτε μεγαλύτερο από το άθροισμα των κύβων των δύο μικρότερων αριθμών.

Το διτετραγωνικό ενός μεγαλύτερου αριθμού δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο διτετράγωνα μικρότερων αριθμών. Είναι είτε μικρότερο είτε μεγαλύτερο από το άθροισμα των διτετράγωνων μικρότερων αριθμών.

Καθώς ο εκθέτης αυξάνεται, όλες οι ανισότητες, εκτός από την αριστερή ακραία ανισότητα, έχουν την ίδια σημασία:

Όλοι έχουν την ίδια σημασία: η δύναμη του μεγαλύτερου αριθμού είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των δυνάμεων των δύο μικρότερων αριθμών με τον ίδιο εκθέτη:

	13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n	(12)
	21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n	(13)

Ο αριστερός ακραίος όρος των ακολουθιών (12) (13) αντιπροσωπεύει την πιο αδύναμη ανισότητα. Η ορθότητά του καθορίζει την ορθότητα όλων των επόμενων ανισώσεων της ακολουθίας (12) για n > 8 και την ακολουθία (13) στο n > 14 .

Δεν μπορεί να υπάρχει ισότητα μεταξύ τους. Ένα αυθαίρετο τριπλό θετικών ακεραίων (21,19,16) δεν είναι λύση στην εξίσωση (2) του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Εάν ένα αυθαίρετο τριπλό θετικών ακεραίων δεν είναι λύση στην εξίσωση, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις στο σύνολο των θετικών ακεραίων, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

ΜΕ)Ο σχολιασμός του Fermat στο πρόβλημα του Διόφαντου αναφέρει ότι είναι αδύνατο να αποσυντεθεί " γενικά, καμία δύναμη μεγαλύτερη από ένα τετράγωνο, δύο δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη».

Φιλίένας βαθμός μεγαλύτερος από ένα τετράγωνο δεν μπορεί πραγματικά να αποσυντεθεί σε δύο μοίρες με τον ίδιο εκθέτη. Όχι φιλιάένας βαθμός μεγαλύτερος από ένα τετράγωνο μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη.

Οποιαδήποτε αυθαίρετη τριάδα θετικών ακεραίων (z, x, y) μπορεί να ανήκει σε μια οικογένεια, κάθε μέλος της οποίας αποτελείται από έναν σταθερό αριθμό z και δύο νούμερα μικρότερα z . Κάθε μέλος της οικογένειας μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή μιας ανισότητας και όλες οι προκύπτουσες ανισότητες μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή μιας ακολουθίας ανισοτήτων:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n

(14)

Η ακολουθία των ανισώσεων (14) ξεκινά με ανισώσεις των οποίων η αριστερή πλευρά είναι μικρότερη σωστη πλευρα, αλλά καταλήγει σε ανισότητες στις οποίες η δεξιά πλευρά είναι μικρότερη από την αριστερή. Με αυξανόμενο εκθέτη n > 2 ο αριθμός των ανισώσεων στη δεξιά πλευρά της ακολουθίας (14) αυξάνεται. Με τον εκθέτη n = k όλες οι ανισώσεις στην αριστερή πλευρά της ακολουθίας αλλάζουν τη σημασία τους και παίρνουν τη σημασία των ανισώσεων στη δεξιά πλευρά των ανισώσεων της ακολουθίας (14). Ως αποτέλεσμα της αύξησης του εκθέτη όλων των ανισοτήτων, η αριστερή πλευρά αποδεικνύεται μεγαλύτερη από τη δεξιά πλευρά:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k

(15)

Με περαιτέρω αύξηση του εκθέτη n>k καμία από τις ανισότητες δεν αλλάζει το νόημά της και μετατρέπεται σε ισότητα. Σε αυτή τη βάση, μπορεί να υποστηριχθεί ότι κάθε αυθαίρετα επιλεγμένο τριπλό θετικών ακεραίων (z, x, y) στο n > 2 , z > x , z > y

Σε ένα αυθαίρετα επιλεγμένο τριπλό θετικών ακεραίων z μπορεί να είναι ένας αυθαίρετα μεγάλος φυσικός αριθμός. Για όλα φυσικούς αριθμούς, που δεν υπάρχουν πια z , το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αποδεικνύεται.

ΡΕ)Όσο μεγάλος κι αν είναι ο αριθμός z , στη φυσική σειρά αριθμών υπάρχει ένα μεγάλο αλλά πεπερασμένο σύνολο ακεραίων πριν από αυτό, και μετά από αυτό υπάρχει ένα άπειρο σύνολο ακεραίων.

Ας αποδείξουμε ότι ολόκληρο το άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μεγάλο z , σχηματίστε τριάδες αριθμών που δεν είναι λύσεις στην εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, για παράδειγμα, ένα αυθαίρετο τριπλό θετικών ακεραίων (z + 1, x ,y) , όπου z + 1 > x Και z + 1 > y για όλες τις τιμές του εκθέτη n > 2 δεν είναι λύση στην εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά.

Μια τυχαία επιλεγμένη τριάδα θετικών ακεραίων (z + 1, x, y) μπορεί να ανήκει σε μια οικογένεια τριπλών αριθμών, κάθε μέλος της οποίας αποτελείται από έναν σταθερό αριθμό z+1 και δύο αριθμούς Χ Και στο , παίρνοντας διαφορετικές αξίες, μικρότερες z+1 . Τα μέλη της οικογένειας μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή ανισοτήτων στις οποίες η σταθερή αριστερή πλευρά είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από τη δεξιά πλευρά. Οι ανισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν με τη μορφή μιας ακολουθίας ανισώσεων:

Με περαιτέρω αύξηση του εκθέτη n>k στο άπειρο, καμία από τις ανισότητες της ακολουθίας (17) δεν αλλάζει το νόημά της και μετατρέπεται σε ισότητα. Στην ακολουθία (16), η ανισότητα σχηματίστηκε από ένα αυθαίρετα επιλεγμένο τριπλό θετικών ακεραίων (z + 1, x, y) , μπορεί να βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του στη μορφή (z + 1) n > x n + y n ή να είναι στην αριστερή πλευρά του στη φόρμα (z+1)n< x n + y n .

Σε κάθε περίπτωση, ένα τριπλό θετικών ακεραίων (z + 1, x, y) στο n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y στην ακολουθία (16) αντιπροσωπεύει μια ανισότητα και δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει μια ισότητα, δηλαδή, δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει μια λύση στην εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.

Είναι εύκολο και απλό να κατανοήσουμε την προέλευση της ακολουθίας των ανισώσεων ισχύος (16), στην οποία η τελευταία ανισότητα στην αριστερή πλευρά και η πρώτη ανισότητα στη δεξιά πλευρά είναι ανισότητες αντίθετης σημασίας. Αντίθετα, δεν είναι εύκολο και δύσκολο για μαθητές, μαθητές γυμνασίου και λυκείου, να κατανοήσουν πώς σχηματίζεται μια ακολουθία ανισοτήτων (16) από μια ακολουθία ανισοτήτων (17), στην οποία όλες οι ανισότητες έχουν την ίδια σημασία. .

Στην ακολουθία (16), η αύξηση του ακέραιου βαθμού των ανισώσεων κατά 1 μονάδα μετατρέπει την τελευταία ανισότητα στην αριστερή πλευρά στην πρώτη ανισότητα της αντίθετης αίσθησης στη δεξιά πλευρά. Έτσι, ο αριθμός των ανισώσεων στην αριστερή πλευρά της ακολουθίας μειώνεται και ο αριθμός των ανισώσεων στη δεξιά πλευρά αυξάνεται. Μεταξύ της τελευταίας και της πρώτης ανισότητας ισχύος αντίθετης σημασίας στο επιτακτικόςυπάρχει ισότητα δύναμης. Ο βαθμός του δεν μπορεί να είναι ακέραιος, αφού μόνο οι μη ακέραιοι αριθμοί βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Μια ισότητα ισχύος μη ακέραιου βαθμού, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος, δεν μπορεί να θεωρηθεί λύση της εξίσωσης (1).

Αν στην ακολουθία (16) συνεχίσουμε να αυξάνουμε το βαθμό κατά 1 μονάδα, τότε η τελευταία ανισότητα της αριστερής πλευράς της θα μετατραπεί στην πρώτη ανισότητα της αντίθετης σημασίας της δεξιάς πλευράς. Ως αποτέλεσμα, δεν θα υπάρχουν αριστερές ανισότητες αριστερά και θα παραμείνουν μόνο ανισότητες της δεξιάς, οι οποίες θα είναι μια ακολουθία αυξανόμενων ανισοτήτων ισχύος (17). Μια περαιτέρω αύξηση στην ακέραια ισχύ τους κατά 1 μονάδα ενισχύει μόνο τις ανισότητες ισχύος του και αποκλείει κατηγορηματικά την πιθανότητα ισότητας στην ακέραια ισχύ.

Κατά συνέπεια, γενικά, καμία ακέραια δύναμη ενός φυσικού αριθμού (z+1) της ακολουθίας ανισώσεων ισχύος (17) δεν μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο ακέραιες δυνάμεις με τον ίδιο εκθέτη. Επομένως, η εξίσωση (1) δεν έχει λύσεις σε ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Κατά συνέπεια, το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδεικνύεται στο σύνολό του:

• στην ενότητα Α) για όλα τα τρίδυμα (z, x, y) Πυθαγόρειοι αριθμοί (η ανακάλυψη του Fermat είναι πραγματικά μια υπέροχη απόδειξη)
• στην ενότητα Β) για όλα τα μέλη της οικογένειας οποιουδήποτε τριπλού (z, x, y) Πυθαγόρειοι αριθμοί,
• στην ενότητα Γ) για όλες τις τριάδες των αριθμών (z, x, y) , όχι μεγάλους αριθμούς z
• στην ενότητα Δ) για όλες τις τριάδες των αριθμών (z, x, y) φυσική σειρά αριθμών.

Οι αλλαγές έγιναν 09/05/2010

Ποια θεωρήματα μπορούν και δεν μπορούν να αποδειχθούν με αντίφαση;

Το επεξηγηματικό λεξικό μαθηματικών όρων ορίζει μια απόδειξη με αντίφαση ενός θεωρήματος, το αντίθετο ενός αντίστροφου θεωρήματος.

«Η απόδειξη με αντίφαση είναι μια μέθοδος απόδειξης ενός θεωρήματος (πρότασης), που συνίσταται στην απόδειξη όχι του ίδιου του θεωρήματος, αλλά του ισοδύναμου (ισοδύναμου) θεωρήματός του. Η απόδειξη με αντίφαση χρησιμοποιείται όποτε το άμεσο θεώρημα είναι δύσκολο να αποδειχθεί, αλλά το αντίθετο είναι πιο εύκολο να αποδειχθεί. Σε μια απόδειξη με αντίφαση, το συμπέρασμα του θεωρήματος αντικαθίσταται από την άρνησή του και μέσω του συλλογισμού καταλήγει κανείς στην άρνηση των συνθηκών, δηλ. σε μια αντίφαση, στο αντίθετο (το αντίθετο από αυτό που δίνεται· αυτή η αναγωγή στο παράλογο αποδεικνύει το θεώρημα».

Η απόδειξη με αντίφαση χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά. Η απόδειξη με αντίφαση βασίζεται στον νόμο της εξαιρούμενης μέσης, ο οποίος συνίσταται στο γεγονός ότι από δύο προτάσεις (προτάσεις) Α και Α (άρνηση του Α), η μία από αυτές είναι αληθής και η άλλη ψευδής»./Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [κ.λπ.]; επεξεργάστηκε από V. A. Ditkina.- M.: Εκπαίδευση, 1965.- 539 σελ.: ill.-C.112/.

Δεν θα ήταν καλύτερο να δηλώσουμε ανοιχτά ότι η μέθοδος απόδειξης με αντίφαση δεν είναι μαθηματική μέθοδος, αν και χρησιμοποιείται στα μαθηματικά, ότι είναι λογική μέθοδος και ανήκει στη λογική. Είναι αποδεκτό να πούμε ότι η απόδειξη με αντίφαση «χρησιμοποιείται κάθε φορά που ένα άμεσο θεώρημα είναι δύσκολο να αποδειχθεί», ενώ στην πραγματικότητα χρησιμοποιείται όταν και μόνο όταν δεν υπάρχει υποκατάστατο.

Αξίζει ιδιαίτερη προσοχήκαι χαρακτηριστικό της σχέσης των ευθειών και αντίστροφων θεωρημάτων μεταξύ τους. «Το αντίστροφο θεώρημα για ένα δεδομένο θεώρημα (ή για ένα δεδομένο θεώρημα) είναι ένα θεώρημα στο οποίο η συνθήκη είναι το συμπέρασμα και το συμπέρασμα είναι η συνθήκη του δεδομένου θεωρήματος. Αυτό το θεώρημα σε σχέση με το αντίστροφο θεώρημα ονομάζεται άμεσο θεώρημα (πρωτότυπο). Ταυτόχρονα, το θεώρημα της αντίστροφης προς το θεώρημα της αντίστροφης θα είναι το δεδομένο θεώρημα. Επομένως, το άμεσο και το αντίστροφο θεωρήματα ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα. Εάν το άμεσο (δοθέν) θεώρημα είναι αληθές, τότε το αντίστροφο θεώρημα δεν είναι πάντα αληθές. Για παράδειγμα, αν ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, τότε οι διαγώνιοι του είναι αμοιβαία κάθετες (άμεσο θεώρημα). Εάν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι είναι αμοιβαία κάθετες, τότε το τετράπλευρο είναι ρόμβος - αυτό είναι ψευδές, δηλαδή το αντίστροφο θεώρημα είναι ψευδές./Explanatory Dictionary of Mathematical Terms: A Manual for Teachers/O. V. Manturov [κ.λπ.]; επεξεργάστηκε από V. A. Ditkina.- M.: Εκπαίδευση, 1965.- 539 σελ.: ill.-C.261 /.

Αυτό το χαρακτηριστικόΗ σχέση μεταξύ του ευθείου και του αντιστρόφου θεωρήματος δεν λαμβάνει υπόψη το γεγονός ότι η συνθήκη του ευθείου θεωρήματος γίνεται αποδεκτή ως δεδομένη, χωρίς απόδειξη, επομένως η ορθότητά της δεν είναι εγγυημένη. Η συνθήκη του αντιστρόφου θεωρήματος δεν γίνεται αποδεκτή ως δεδομένη, αφού είναι το συμπέρασμα του αποδεδειγμένου άμεσου θεωρήματος. Η ορθότητά του επιβεβαιώνεται από την απόδειξη του άμεσου θεωρήματος. Αυτή η ουσιαστική λογική διαφορά στις συνθήκες των ευθειών και αντίστροφων θεωρημάτων αποδεικνύεται καθοριστική στο ερώτημα ποια θεωρήματα μπορούν και ποια δεν μπορούν να αποδειχθούν με τη λογική μέθοδο με αντίφαση.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα άμεσο θεώρημα στο μυαλό, το οποίο μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τη συνήθη μαθηματική μέθοδο, αλλά είναι δύσκολο. Ας το διατυπώσουμε γενική εικόναεν συντομία ως εξής: από ΕΝΑπρέπει μι . Σύμβολο ΕΝΑ έχει τη σημασία της δεδομένης συνθήκης του θεωρήματος, αποδεκτή χωρίς απόδειξη. Σύμβολο μι αυτό που έχει σημασία είναι το συμπέρασμα του θεωρήματος που πρέπει να αποδειχθεί.

Θα αποδείξουμε το άμεσο θεώρημα με αντίφαση, λογικόςμέθοδος. Η λογική μέθοδος χρησιμοποιείται για την απόδειξη ενός θεωρήματος που έχει όχι μαθηματικάκατάσταση, και λογικόςκατάσταση. Μπορεί να ληφθεί εάν η μαθηματική συνθήκη του θεωρήματος από ΕΝΑπρέπει μι , συμπληρώστε με την ακριβώς αντίθετη συνθήκη από ΕΝΑμην το κάνεις μι .

Το αποτέλεσμα ήταν μια λογική αντιφατική συνθήκη του νέου θεωρήματος, που περιείχε δύο μέρη: από ΕΝΑπρέπει μι Και από ΕΝΑμην το κάνεις μι . Η προκύπτουσα συνθήκη του νέου θεωρήματος αντιστοιχεί στον λογικό νόμο της εξαιρούμενης μέσης και αντιστοιχεί στην απόδειξη του θεωρήματος με αντίφαση.

Σύμφωνα με το νόμο, ένα μέρος μιας αντιφατικής συνθήκης είναι ψευδές, ένα άλλο μέρος είναι αληθές και το τρίτο αποκλείεται. Η απόδειξη με αντίφαση έχει ως αποστολή και σκοπό να καθορίσει ποιο ακριβώς μέρος από τα δύο μέρη της συνθήκης του θεωρήματος είναι ψευδές. Μόλις προσδιοριστεί το ψευδές μέρος της συνθήκης, το άλλο μέρος προσδιορίζεται ως το αληθινό μέρος και το τρίτο αποκλείεται.

Σύμφωνα με το επεξηγηματικό λεξικό των μαθηματικών όρων, «απόδειξη είναι ο συλλογισμός κατά τον οποίο διαπιστώνεται η αλήθεια ή το ψεύδος οποιασδήποτε δήλωσης (κρίσης, δήλωσης, θεωρήματος)».. Απόδειξη κατά αντίφασηυπάρχει συλλογισμός κατά τον οποίο διαπιστώνεται ψευτιά(παράλογος) του συμπεράσματος που προκύπτει από ψευδήςσυνθήκες του προς απόδειξη θεωρήματος.

Δεδομένος: από ΕΝΑπρέπει μικαι από ΕΝΑμην το κάνεις μι .

Αποδεικνύω: από ΕΝΑπρέπει μι .

Απόδειξη: Η λογική συνθήκη του θεωρήματος περιέχει μια αντίφαση που απαιτεί την επίλυσή της. Η αντίφαση της συνθήκης πρέπει να βρει την επίλυσή της στην απόδειξη και το αποτέλεσμά της. Το αποτέλεσμα αποδεικνύεται ψευδές με άψογο και χωρίς λάθη συλλογισμό. Ο λόγος για ένα ψευδές συμπέρασμα σε λογικά ορθό συλλογισμό μπορεί να είναι μόνο μια αντιφατική συνθήκη: από ΕΝΑπρέπει μι Και από ΕΝΑμην το κάνεις μι .

Δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι ένα μέρος της συνθήκης είναι ψευδές και το άλλο σε αυτή την περίπτωση είναι αληθινό. Και τα δύο μέρη της συνθήκης έχουν την ίδια προέλευση, γίνονται αποδεκτά ως δεδομένα, θεωρούνται, εξίσου πιθανά, εξίσου παραδεκτά, κ.λπ. . Επομένως, στον ίδιο βαθμό μπορεί να είναι από ΕΝΑπρέπει μι και ίσως από ΕΝΑμην το κάνεις μι . Δήλωση από ΕΝΑπρέπει μι Μπορεί ψευδής, μετά η δήλωση από ΕΝΑμην το κάνεις μι θα είναι αλήθεια. Δήλωση από ΕΝΑμην το κάνεις μι μπορεί να είναι ψευδής, τότε η δήλωση από ΕΝΑπρέπει μι θα είναι αλήθεια.

Κατά συνέπεια, είναι αδύνατο να αποδειχθεί ένα άμεσο θεώρημα με αντίφαση.

Τώρα θα αποδείξουμε αυτό το ίδιο άμεσο θεώρημα χρησιμοποιώντας τη συνηθισμένη μαθηματική μέθοδο.

Δεδομένος: ΕΝΑ .

Αποδεικνύω: από ΕΝΑπρέπει μι .

Απόδειξη.

1. Από ΕΝΑπρέπει σι

2. Από σιπρέπει ΣΕ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα)).

3. Από ΣΕπρέπει σολ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα).

4. Από σολπρέπει ρε (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα).

5. Από ρεπρέπει μι (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα).

Με βάση το νόμο της μεταβατικότητας, από ΕΝΑπρέπει μι . Το άμεσο θεώρημα αποδεικνύεται με τη συνήθη μέθοδο.

Έστω το αποδεδειγμένο άμεσο θεώρημα να έχει σωστό αντίστροφο θεώρημα: από μιπρέπει ΕΝΑ .

Ας το αποδείξουμε με τα συνηθισμένα μαθηματικόςμέθοδος. Η απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης μπορεί να εκφραστεί σε συμβολική μορφή ως αλγόριθμος μαθηματικών πράξεων.

Δεδομένος: μι

Αποδεικνύω: από μιπρέπει ΕΝΑ .

Απόδειξη.

1. Από μιπρέπει ρε

2. Από ρεπρέπει σολ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα της αντίστροφης).

3. Από σολπρέπει ΣΕ (σύμφωνα με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα της αντίστροφης).

4. Από ΣΕμην το κάνεις σι (το θεώρημα της αντίστροφης δεν είναι αληθές). Να γιατί από σιμην το κάνεις ΕΝΑ .

Σε αυτήν την κατάσταση, δεν έχει νόημα να συνεχίσουμε τη μαθηματική απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης. Ο λόγος για την κατάσταση είναι λογικός. Ένα εσφαλμένο αντίστροφο θεώρημα δεν μπορεί να αντικατασταθεί με τίποτα. Επομένως, είναι αδύνατο να αποδειχθεί αυτό το αντίστροφο θεώρημα χρησιμοποιώντας τη συνήθη μαθηματική μέθοδο. Κάθε ελπίδα είναι να αποδειχθεί αυτό το αντίστροφο θεώρημα με αντίφαση.

Για να το αποδείξουμε με αντίφαση, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε τη μαθηματική του συνθήκη με μια λογική αντιφατική συνθήκη, η οποία κατά την έννοια της περιέχει δύο μέρη - ψευδές και αληθές.

Θεώρημα αντιστροφήςαναφέρει: από μιμην το κάνεις ΕΝΑ . Η κατάστασή της μι , από το οποίο προκύπτει το συμπέρασμα ΕΝΑ , είναι το αποτέλεσμα της απόδειξης του άμεσου θεωρήματος χρησιμοποιώντας τη συνήθη μαθηματική μέθοδο. Αυτή η προϋπόθεση πρέπει να διατηρηθεί και να συμπληρωθεί με τη δήλωση από μιπρέπει ΕΝΑ . Ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης, λαμβάνουμε την αντιφατική συνθήκη του νέου αντιστρόφου θεωρήματος: από μιπρέπει ΕΝΑ Και από μιμην το κάνεις ΕΝΑ . Βασισμένο σε αυτό λογικάαντιφατική συνθήκη, το θεώρημα της αντίστροφης μπορεί να αποδειχθεί μέσω του σωστού λογικόςσυλλογισμός μόνο, και μόνο, λογικόςμέθοδος με αντίφαση. Σε μια απόδειξη με αντίφαση, οποιεσδήποτε μαθηματικές ενέργειες και πράξεις υποτάσσονται σε λογικές και επομένως δεν υπολογίζονται.

Στο πρώτο μέρος της αντιφατικής δήλωσης από μιπρέπει ΕΝΑ κατάσταση μι αποδείχθηκε με την απόδειξη του ευθύς θεωρήματος. Στο δεύτερο μέρος από μιμην το κάνεις ΕΝΑ κατάσταση μι θεωρήθηκε και έγινε δεκτό χωρίς απόδειξη. Το ένα από αυτά είναι ψευδές και το άλλο είναι αληθινό. Πρέπει να αποδείξεις ποιο είναι ψεύτικο.

Το αποδεικνύουμε με το σωστό λογικόςσυλλογισμό και ανακαλύψτε ότι το αποτέλεσμά του είναι ένα ψευδές, παράλογο συμπέρασμα. Ο λόγος για ένα ψευδές λογικό συμπέρασμα είναι η αντιφατική λογική συνθήκη του θεωρήματος, η οποία περιλαμβάνει δύο μέρη - ψευδές και αληθές. Το ψευδές μέρος μπορεί να είναι μόνο μια δήλωση από μιμην το κάνεις ΕΝΑ , στο οποίο μι έγινε δεκτό χωρίς απόδειξη. Αυτό είναι που το κάνει διαφορετικό από αυτό μι δηλώσεις από μιπρέπει ΕΝΑ , που αποδεικνύεται από την απόδειξη του ευθύς θεωρήματος.

Επομένως, η δήλωση είναι αληθής: από μιπρέπει ΕΝΑ , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

συμπέρασμα: με τη λογική μέθοδο, μόνο το αντίστροφο θεώρημα αποδεικνύεται με αντίφαση, το οποίο έχει ένα άμεσο θεώρημα που αποδεικνύεται με τη μαθηματική μέθοδο και το οποίο δεν μπορεί να αποδειχθεί με τη μαθηματική μέθοδο.

Το συμπέρασμα που προκύπτει αποκτά εξαιρετική σημασία σε σχέση με τη μέθοδο απόδειξης με αντίφαση του μεγάλου θεωρήματος του Fermat. Η συντριπτική πλειονότητα των προσπαθειών απόδειξης βασίζεται όχι στη συνήθη μαθηματική μέθοδο, αλλά στη λογική μέθοδο απόδειξης με αντίφαση. Η απόδειξη του Wiles για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat δεν αποτελεί εξαίρεση.

Ο Ντμίτρι Αμπράροφ, στο άρθρο «Το Θεώρημα του Φερμά: το Φαινόμενο των Αποδείξεων του Γουίλς», δημοσίευσε ένα σχόλιο για την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά από τον Γουάιλ. Σύμφωνα με τον Abrarov, ο Wiles αποδεικνύει το τελευταίο θεώρημα του Fermat με τη βοήθεια μιας αξιοσημείωτης ανακάλυψης του Γερμανού μαθηματικού Gerhard Frey (γενν. 1944), ο οποίος συσχέτισε την πιθανή λύση της εξίσωσης του Fermat x n + y n = z n , Οπου n > 2 , με μια άλλη, εντελώς διαφορετική εξίσωση. Αυτή η νέα εξίσωση δίνεται από μια ειδική καμπύλη (που ονομάζεται ελλειπτική καμπύλη του Frey). Η καμπύλη Frey δίνεται από μια πολύ απλή εξίσωση:
.

«Ο Frey ήταν αυτός που συνέκρινε κάθε απόφαση (α, β, γ)Η εξίσωση του Fermat, δηλαδή αριθμοί που ικανοποιούν τη σχέση a n + b n = c n, η παραπάνω καμπύλη. Σε αυτή την περίπτωση, θα ακολουθούσε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά».(Απόσπασμα από: Abrarov D. "Fermat's Theorem: the fenomen of Wiles' proofs")

Με άλλα λόγια, ο Gerhard Frey πρότεινε ότι η εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat x n + y n = z n , Οπου n > 2 , έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Αυτές οι ίδιες λύσεις είναι, σύμφωνα με την υπόθεση του Frey, λύσεις στην εξίσωσή του
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , που δίνεται από την ελλειπτική του καμπύλη.

Ο Andrew Wiles αποδέχτηκε αυτή την αξιοσημείωτη ανακάλυψη του Frey και, με τη βοήθειά του, μαθηματικόςμέθοδος απέδειξε ότι αυτό το εύρημα, δηλαδή η ελλειπτική καμπύλη Frey, δεν υπάρχει. Επομένως, δεν υπάρχει εξίσωση και οι λύσεις της που δίνονται από μια ανύπαρκτη ελλειπτική καμπύλη, επομένως ο Wiles θα έπρεπε να είχε αποδεχθεί το συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat και του ίδιου του θεωρήματος του Fermat. Ωστόσο, δέχεται ένα πιο μέτριο συμπέρασμα ότι η εξίσωση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Ένα αδιαμφισβήτητο γεγονός μπορεί να είναι ότι ο Wiles αποδέχτηκε μια υπόθεση που έχει ακριβώς το αντίθετο νόημα από αυτό που δηλώνεται από το μεγάλο θεώρημα του Fermat. Υποχρεώνει τον Wiles να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat με αντίφαση. Ας ακολουθήσουμε το παράδειγμά του και ας δούμε τι προκύπτει από αυτό το παράδειγμα.

Το τελευταίο θεώρημα του Fermat δηλώνει ότι η εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Σύμφωνα με τη λογική μέθοδο απόδειξης με αντίφαση, αυτή η δήλωση διατηρείται, γίνεται αποδεκτή ως δεδομένη χωρίς απόδειξη και στη συνέχεια συμπληρώνεται με μια αντίθετη πρόταση: εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Η τεκμαρτή δήλωση γίνεται δεκτή και ως δεδομένη, χωρίς απόδειξη. Και οι δύο δηλώσεις, θεωρημένες από τη σκοπιά των βασικών νόμων της λογικής, είναι εξίσου έγκυρες, εξίσου έγκυρες και εξίσου δυνατές. Μέσω της σωστής συλλογιστικής, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ποια είναι λανθασμένη, ώστε στη συνέχεια να προσδιοριστεί ότι η άλλη πρόταση είναι αληθής.

Ο σωστός συλλογισμός καταλήγει σε ένα ψευδές, παράλογο συμπέρασμα, ο λογικός λόγος του οποίου μπορεί να είναι μόνο η αντιφατική συνθήκη του θεωρήματος που αποδεικνύεται, το οποίο περιέχει δύο μέρη με ακριβώς αντίθετη σημασία. Ήταν ο λογικός λόγος για το παράλογο συμπέρασμα, αποτέλεσμα απόδειξης με αντίφαση.

Ωστόσο, κατά τη διάρκεια της λογικά ορθής συλλογιστικής, δεν ανακαλύφθηκε ούτε ένα σημείο με το οποίο θα μπορούσε να διαπιστωθεί ποια συγκεκριμένη δήλωση είναι ψευδής. Θα μπορούσε να είναι μια δήλωση: εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Στην ίδια βάση, θα μπορούσε να είναι η ακόλουθη δήλωση: εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς.

Ως αποτέλεσμα του συλλογισμού, μπορεί να υπάρξει μόνο ένα συμπέρασμα: Το τελευταίο θεώρημα του Fermat δεν μπορεί να αποδειχθεί με αντίφαση.

Θα ήταν τελείως διαφορετικό θέμα αν το τελευταίο θεώρημα του Φερμά ήταν ένα αντίστροφο θεώρημα, το οποίο έχει ένα άμεσο θεώρημα αποδεδειγμένο με τη συνήθη μαθηματική μέθοδο. Σε αυτή την περίπτωση, θα μπορούσε να αποδειχθεί με αντίφαση. Και δεδομένου ότι είναι ένα άμεσο θεώρημα, η απόδειξή του θα πρέπει να βασίζεται όχι στη λογική μέθοδο απόδειξης με αντίφαση, αλλά στη συνηθισμένη μαθηματική μέθοδο.

Σύμφωνα με τον D. Abrarov, ο πιο διάσημος από τους σύγχρονους Ρώσους μαθηματικούς, ο ακαδημαϊκός V. I. Arnold, αντέδρασε «ενεργά σκεπτικά» στην απόδειξη του Wiles. Ο ακαδημαϊκός δήλωσε: «αυτά δεν είναι πραγματικά μαθηματικά - τα πραγματικά μαθηματικά είναι γεωμετρικά και έχουν ισχυρές συνδέσεις με τη φυσική.» (Απόσπασμα από: Abrarov D. «Θεώρημα Fermat: το φαινόμενο των αποδείξεων του Wiles». Η μη μαθηματική απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat του Wiles.

Με αντίφαση είναι αδύνατο να αποδειχθεί είτε ότι η εξίσωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά δεν έχει λύσεις είτε ότι έχει λύσεις. Το λάθος του Wiles δεν είναι μαθηματικό, αλλά λογικό - η χρήση της απόδειξης με αντίφαση όπου η χρήση της δεν έχει νόημα και το μεγάλο θεώρημα του Fermat δεν αποδεικνύει.

Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά δεν μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το συνηθισμένο μαθηματική μέθοδος, αν περιέχει: εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς, και αν θέλετε να αποδείξετε σε αυτό: την εξίσωση x n + y n = z n , Οπου n > 2 , δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακέραιους αριθμούς. Σε αυτή τη μορφή δεν υπάρχει ένα θεώρημα, αλλά μια ταυτολογία χωρίς νόημα.

Σημείωση.Η απόδειξη BTF μου συζητήθηκε σε ένα από τα φόρουμ. Ένα από τα μέλη του Trotil, ειδικός στη θεωρία αριθμών, έκανε την ακόλουθη έγκυρη δήλωση με τίτλο: " Σύντομη επανάληψηαυτό που έκανε ο Mirgorodsky». Το παραθέτω επί λέξει:

« ΕΝΑ. Απέδειξε ότι αν z 2 = x 2 + y , Οτι z n > x n + y n . Αυτό είναι ένα γνωστό και αρκετά προφανές γεγονός.

ΣΕ. Πήρε δύο τριάδες - Πυθαγόρεια και μη και έδειξε με απλή αναζήτηση ότι για μια συγκεκριμένη, συγκεκριμένη οικογένεια τριπλών (78 και 210 τεμάχια) το BTF είναι ικανοποιημένο (και μόνο για αυτό).

ΜΕ. Και τότε ο συγγραφέας παρέλειψε το γεγονός ότι από < σε μεταγενέστερο βαθμό μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι = , ΟΧΙ μονο > . Ένα απλό αντιπαράδειγμα - μετάβαση n=1 V n=2 στην Πυθαγόρεια τριάδα.

ΡΕ. Αυτό το σημείο δεν συνεισφέρει τίποτα σημαντικό στην απόδειξη BTF. Συμπέρασμα: Το BTF δεν έχει αποδειχθεί.

Θα εξετάσω το συμπέρασμά του σημείο προς σημείο.

ΕΝΑ.Αποδεικνύει το BTF για ολόκληρο το άπειρο σύνολο των τριπλών των Πυθαγόρειων αριθμών. Αποδεικνύεται με μια γεωμετρική μέθοδο, την οποία, όπως πιστεύω, δεν την ανακάλυψα εγώ, αλλά την ανακάλυψα ξανά. Και το ανακάλυψε, όπως πιστεύω, ο ίδιος ο P. Fermat. Ο Fermat μπορεί να το είχε υπόψη του όταν έγραψε:

«Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη για αυτό, αλλά αυτά τα πεδία είναι πολύ στενά για αυτό». Αυτή η παραδοχή μου βασίζεται στο γεγονός ότι στο Διοφαντικό πρόβλημα, εναντίον του οποίου έγραψε ο Φερμά στο περιθώριο του βιβλίου, μιλάμε για λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης, που είναι τριπλέτες Πυθαγόρειων αριθμών.

Ένα άπειρο σύνολο τριπλών Πυθαγόρειων αριθμών είναι λύσεις της Διοφατικής εξίσωσης και στο θεώρημα του Φερμά, αντίθετα, καμία από τις λύσεις δεν μπορεί να είναι λύση στην εξίσωση του θεωρήματος του Φερμά. Και η πραγματικά υπέροχη απόδειξη του Fermat σχετίζεται άμεσα με αυτό το γεγονός. Ο Fermat θα μπορούσε αργότερα να επεκτείνει το θεώρημά του στο σύνολο όλων των φυσικών αριθμών. Στο σύνολο όλων των φυσικών αριθμών, το BTF δεν ανήκει στο «σύνολο των εξαιρετικά όμορφων θεωρημάτων». Αυτή είναι η δική μου υπόθεση, η οποία δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευστεί. Μπορεί να γίνει αποδεκτό ή να απορριφθεί.

ΣΕ.Σε αυτό το σημείο, αποδεικνύω ότι ικανοποιούνται τόσο η οικογένεια ενός αυθαίρετα ληφθέντος Πυθαγόρειου τριπλού αριθμών όσο και η οικογένεια ενός αυθαίρετου μη Πυθαγόρειου τριπλού αριθμών BTF. Αυτός είναι ένας απαραίτητος, αλλά ανεπαρκής και ενδιάμεσος σύνδεσμος στην απόδειξη του BTF . Τα παραδείγματα που πήρα από την οικογένεια του τριπλού των Πυθαγόρειων αριθμών και την οικογένεια του τριπλού των μη Πυθαγόρειων αριθμών έχουν την έννοια συγκεκριμένων παραδειγμάτων που προϋποθέτουν και δεν αποκλείουν την ύπαρξη παρόμοιων άλλων παραδειγμάτων.

Η δήλωση του Trotil ότι «έδειξα με απλή αναζήτηση ότι για μια συγκεκριμένη, συγκεκριμένη οικογένεια τριδύμων (78 και 210 τεμάχια) η BTF είναι ικανοποιημένη (και μόνο για αυτήν) είναι αβάσιμη. Δεν μπορεί να αντικρούσει το γεγονός ότι μπορώ εξίσου εύκολα να πάρω άλλα παραδείγματα πυθαγόρειων και μη πυθαγόρειων τριπλών για να αποκτήσω μια συγκεκριμένη ορισμένη οικογένεια του ενός και του άλλου τριπλού.

Όποιο ζευγάρι τρίδυμα κι αν πάρω, ο έλεγχος της καταλληλότητάς τους για την επίλυση του προβλήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί, κατά τη γνώμη μου, μόνο με τη μέθοδο της «απλής απαρίθμησης». Δεν ξέρω άλλη μέθοδο και δεν τη χρειάζομαι. Αν δεν του άρεσε στον Τροτίλ, τότε θα έπρεπε να είχε προτείνει άλλη μέθοδο, κάτι που δεν κάνει. Χωρίς να προσφέρουμε τίποτα σε αντάλλαγμα, είναι λάθος να καταδικάζουμε την «απλή υπερβολή», η οποία σε αυτή την περίπτωση είναι αναντικατάστατη.

ΜΕ.έχω παραλείψει = μεταξύ< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), στο οποίο ο βαθμός n > 2 — ολόκληροςθετικός αριθμός. Από την ισότητα μεταξύ των ανισοτήτων προκύπτει επιτακτικόςθεώρηση της εξίσωσης (1) για μια μη ακέραια τιμή βαθμού n > 2 . Τροτίλ, μετρώντας υποχρεωτικόςη εξέταση της ισότητας μεταξύ των ανισοτήτων λαμβάνει πραγματικά υπόψη απαραίτητηστην απόδειξη BTF, λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1) με όχι ολόκληροτιμή πτυχίου n > 2 . Το έκανα αυτό για τον εαυτό μου και βρήκα την εξίσωση (1) με όχι ολόκληροτιμή πτυχίου n > 2 έχει λύση τριών αριθμών: z, (z-1), (z-1) για μη ακέραιο εκθέτη.

Έτσι, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (συχνά αποκαλούμενο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά), που διατυπώθηκε το 1637 από τον λαμπρό Γάλλο μαθηματικό Πιερ Φερμά, είναι πολύ απλό στη φύση και κατανοητό σε οποιονδήποτε έχει δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Λέει ότι ο τύπος a στη δύναμη του n + b στη δύναμη του n = c στη δύναμη του n δεν έχει φυσικές (δηλαδή, όχι κλασματικές) λύσεις για n > 2. Όλα φαίνονται απλά και ξεκάθαρα, αλλά το Οι καλύτεροι μαθηματικοί και οι απλοί ερασιτέχνες αγωνίστηκαν στην αναζήτηση μιας λύσης για περισσότερους από τρεισήμισι αιώνες.

Γιατί είναι τόσο διάσημη; Τώρα θα μάθουμε...



Υπάρχουν πολλά αποδεδειγμένα, αναπόδεικτα και αναπόδεικτα ακόμη θεωρήματα; Το θέμα εδώ είναι ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αντιπροσωπεύει τη μεγαλύτερη αντίθεση μεταξύ της απλότητας της διατύπωσης και της πολυπλοκότητας της απόδειξης. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι ένα απίστευτα δύσκολο πρόβλημα, και όμως η διατύπωσή του μπορεί να γίνει κατανοητή από οποιονδήποτε με επίπεδο 5ης δημοτικού. Λύκειο, αλλά η απόδειξη δεν είναι καν για κάθε επαγγελματία μαθηματικό. Ούτε στη φυσική, ούτε στη χημεία, ούτε στη βιολογία, ούτε στα μαθηματικά, δεν υπάρχει ένα μόνο πρόβλημα που θα μπορούσε να διατυπωθεί τόσο απλά, αλλά να έμεινε άλυτο για τόσο καιρό. 2. Από τι αποτελείται;

Ας ξεκινήσουμε με τα πυθαγόρεια παντελόνια Η διατύπωση είναι πραγματικά απλή - με την πρώτη ματιά. Όπως γνωρίζουμε από την παιδική ηλικία, «τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα από όλες τις πλευρές». Το πρόβλημα φαίνεται τόσο απλό γιατί βασίστηκε σε μια μαθηματική πρόταση που όλοι γνωρίζουν - το Πυθαγόρειο θεώρημα: σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Τον 5ο αιώνα π.Χ. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια αδελφότητα. Οι Πυθαγόρειοι, μεταξύ άλλων, μελέτησαν ακέραιες τριπλέτες που ικανοποιούσαν την ισότητα x²+y²=z². Απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες Πυθαγόρειες τριάδες και έλαβαν γενικούς τύπους για την εύρεση τους. Μάλλον προσπάθησαν να ψάξουν για C και ανώτερα πτυχία. Πεπεισμένοι ότι αυτό δεν λειτούργησε, οι Πυθαγόρειοι εγκατέλειψαν τις άχρηστες προσπάθειές τους. Τα μέλη της αδελφότητας ήταν περισσότερο φιλόσοφοι και αισθητιστές παρά μαθηματικοί.


Δηλαδή, είναι εύκολο να επιλέξετε ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν απόλυτα την ισότητα x²+y²=z²

Ξεκινώντας από το 3, 4, 5 - πράγματι, ένας κατώτερος μαθητής καταλαβαίνει ότι 9 + 16 = 25.

Ή 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Υπέροχα.

Και ούτω καθεξής. Τι γίνεται αν πάρουμε μια παρόμοια εξίσωση x³+y³=z³; Ίσως υπάρχουν και τέτοια νούμερα;




Και ούτω καθεξής (Εικ. 1).

Άρα, αποδεικνύεται ότι ΔΕΝ είναι. Εδώ αρχίζει το κόλπο. Η απλότητα είναι εμφανής, γιατί είναι δύσκολο να αποδειχθεί όχι η παρουσία κάτι, αλλά, αντίθετα, η απουσία του. Όταν χρειάζεται να αποδείξετε ότι υπάρχει λύση, μπορείτε και πρέπει απλώς να παρουσιάσετε αυτήν τη λύση.

Η απόδειξη της απουσίας είναι πιο δύσκολη: για παράδειγμα, κάποιος λέει: η τάδε εξίσωση δεν έχει λύσεις. Να τον βάλω σε μια λακκούβα; εύκολο: μπαμ - και εδώ είναι, η λύση! (δώστε λύση). Και αυτό είναι όλο, ο αντίπαλος ηττήθηκε. Πώς να αποδείξετε την απουσία;

Πείτε: "Δεν έχω βρει τέτοιες λύσεις"; Ή μήπως δεν έδειχνες καλά; Τι θα συμβεί αν υπάρχουν, μόνο πολύ μεγάλα, πολύ μεγάλα, έτσι ώστε ακόμη και ένας υπερ-ισχυρός υπολογιστής να μην έχει αρκετή δύναμη; Αυτό είναι το δύσκολο.

Αυτό μπορεί να φανεί οπτικά ως εξής: εάν πάρετε δύο τετράγωνα κατάλληλων μεγεθών και τα αποσυναρμολογήσετε σε τετράγωνα μονάδων, τότε από αυτό το μάτσο τετράγωνων μονάδων θα έχετε ένα τρίτο τετράγωνο (Εικ. 2):


Αλλά ας κάνουμε το ίδιο με την τρίτη διάσταση (Εικ. 3) - δεν λειτουργεί. Δεν υπάρχουν αρκετοί κύβοι ή έχουν απομείνει επιπλέον:





Αλλά ο μαθηματικός του 17ου αιώνα, Γάλλος Pierre de Fermat, εξερεύνησε με ενθουσιασμό γενική εξίσωσηΧ n +y n =z n . Και τελικά, κατέληξα: για n>2 δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις. Η απόδειξη του Φερμά έχει χαθεί ανεπανόρθωτα. Τα χειρόγραφα καίγονται! Το μόνο που μένει είναι η παρατήρησή του στην Αριθμητική του Διόφαντου: «Βρήκα μια πραγματικά εκπληκτική απόδειξη αυτής της πρότασης, αλλά τα περιθώρια εδώ είναι πολύ στενά για να τη συγκρατήσουν».

Στην πραγματικότητα, ένα θεώρημα χωρίς απόδειξη ονομάζεται υπόθεση. Αλλά ο Fermat έχει τη φήμη ότι δεν κάνει ποτέ λάθη. Ακόμα κι αν δεν άφησε στοιχεία για δήλωση, στη συνέχεια επιβεβαιώθηκε. Επιπλέον, ο Fermat απέδειξε τη διατριβή του για n=4. Έτσι, η υπόθεση του Γάλλου μαθηματικού έμεινε στην ιστορία ως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

Μετά τον Fermat, τόσο μεγάλα μυαλά όπως ο Leonhard Euler εργάστηκαν στην αναζήτηση μιας απόδειξης (το 1770 πρότεινε μια λύση για το n = 3),

Adrien Legendre και Johann Dirichlet (αυτοί οι επιστήμονες βρήκαν από κοινού την απόδειξη για n = 5 το 1825), Gabriel Lamé (που βρήκε την απόδειξη για n = 7) και πολλοί άλλοι. Στα μέσα της δεκαετίας του '80 του περασμένου αιώνα, κατέστη σαφές ότι ο επιστημονικός κόσμος βρισκόταν στο δρόμο προς την τελική λύση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, αλλά μόλις το 1993 οι μαθηματικοί είδαν και πίστεψαν ότι το έπος τριών αιώνων της αναζήτησης μιας απόδειξης Το τελευταίο θεώρημα του Fermat είχε σχεδόν τελειώσει.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αρκεί να αποδειχθεί το θεώρημα του Fermat μόνο για απλά n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Για το σύνθετο n, η απόδειξη παραμένει έγκυρη. Αλλά επίσης πρώτοι αριθμοίάπειρα πολλά...

Το 1825, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Sophie Germain, οι γυναίκες μαθηματικοί, η Dirichlet και η Legendre απέδειξαν ανεξάρτητα το θεώρημα για n=5. Το 1839, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, ο Γάλλος Gabriel Lame έδειξε την αλήθεια του θεωρήματος για n=7. Σταδιακά το θεώρημα αποδείχθηκε για σχεδόν όλα τα n λιγότερο από εκατό.


Τέλος, ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Kummer, σε μια λαμπρή μελέτη, έδειξε ότι το θεώρημα γενικά δεν μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των μαθηματικών του 19ου αιώνα. Το Βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, που ιδρύθηκε το 1847 για την απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, παρέμεινε αδιάθετο.

Το 1907, ο πλούσιος γερμανός βιομήχανος Paul Wolfskehl αποφάσισε να αυτοκτονήσει εξαιτίας της αγάπης που δεν ανταποκρίθηκε. Σαν γνήσιος Γερμανός, όρισε την ημερομηνία και την ώρα της αυτοκτονίας: ακριβώς τα μεσάνυχτα. Την τελευταία μέρα έκανε διαθήκη και έγραψε γράμματα σε φίλους και συγγενείς. Τα πράγματα τελείωσαν πριν τα μεσάνυχτα. Πρέπει να πούμε ότι ο Παύλος ενδιαφέρθηκε για τα μαθηματικά. Μη έχοντας τίποτα καλύτερο να κάνει, πήγε στη βιβλιοθήκη και άρχισε να διαβάζει διάσημο άρθροΚουμέρα. Ξαφνικά του φάνηκε ότι ο Κούμερ είχε κάνει λάθος στο σκεπτικό του. Ο Wolfskel άρχισε να αναλύει αυτό το μέρος του άρθρου με ένα μολύβι στα χέρια του. Πέρασαν τα μεσάνυχτα, ήρθε το πρωί. Το κενό στην απόδειξη έχει καλυφθεί. Και ο ίδιος ο λόγος της αυτοκτονίας φαινόταν πλέον εντελώς γελοίος. Ο Παύλος έσκισε τις αποχαιρετιστήριες επιστολές του και ξαναέγραψε τη διαθήκη του.

Σύντομα πέθανε από φυσικά αίτια. Οι κληρονόμοι έμειναν αρκετά έκπληκτοι: 100.000 μάρκα (πάνω από 1.000.000 τρέχουσες λίρες στερλίνες) μεταφέρθηκαν στον λογαριασμό της Βασιλικής Επιστημονικής Εταιρείας του Γκέτινγκεν, η οποία την ίδια χρονιά ανακοίνωσε διαγωνισμό για το Βραβείο Wolfskehl. 100.000 μόρια απονεμήθηκαν στο άτομο που απέδειξε το θεώρημα του Φερμά. Δεν απονεμήθηκε ούτε ένα pfennig για την αντίκρουση του θεωρήματος...

Οι περισσότεροι επαγγελματίες μαθηματικοί θεώρησαν την αναζήτηση μιας απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά μια απελπιστική εργασία και αρνήθηκαν αποφασιστικά να σπαταλήσουν χρόνο σε μια τόσο άχρηστη άσκηση. Αλλά οι ερασιτέχνες είχαν μια έκρηξη. Λίγες εβδομάδες μετά την ανακοίνωση, μια χιονοστιβάδα «αποδεικτικών στοιχείων» έπληξε το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Ο καθηγητής E.M. Landau, του οποίου η ευθύνη ήταν να αναλύσει τα αποδεικτικά στοιχεία που στάλθηκαν, μοίρασε κάρτες στους μαθητές του:


Αγαπητός. . . . . . . .

Σας ευχαριστώ που μου στείλατε το χειρόγραφο με την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το πρώτο σφάλμα βρίσκεται στη σελίδα ... στη σειρά... . Εξαιτίας αυτού, ολόκληρη η απόδειξη χάνει την ισχύ της.
Καθηγητής E. M. Landau











Το 1963, ο Paul Cohen, βασιζόμενος στα ευρήματα του Gödel, απέδειξε την άλυτη κατάσταση ενός από τα είκοσι τρία προβλήματα του Hilbert - την υπόθεση του συνεχούς. Τι κι αν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι επίσης αδιευκρίνιστο;! Αλλά οι αληθινοί φανατικοί του Μεγάλου Θεωρήματος δεν απογοητεύτηκαν καθόλου. Η εμφάνιση των υπολογιστών έδωσε ξαφνικά στους μαθηματικούς μια νέα μέθοδο απόδειξης. Μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, ομάδες προγραμματιστών και μαθηματικών απέδειξαν το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά για όλες τις τιμές του n έως το 500, μετά μέχρι το 1.000 και αργότερα μέχρι το 10.000.

Στη δεκαετία του 1980, ο Samuel Wagstaff αύξησε το όριο στις 25.000, και στη δεκαετία του 1990, οι μαθηματικοί δήλωσαν ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat ήταν αληθές για όλες τις τιμές n έως 4 εκατομμύρια. Αλλά αν αφαιρέσετε έστω και ένα τρισεκατομμύριο τρισεκατομμύριο από το άπειρο, δεν θα γίνει μικρότερο. Οι μαθηματικοί δεν πείθονται από τις στατιστικές. Το να αποδείξεις το Μεγάλο Θεώρημα σήμαινε να το αποδείξεις για ΟΛΑ τα n που πήγαιναν στο άπειρο.




Το 1954, δύο νεαροί Ιάπωνες φίλοι μαθηματικοί άρχισαν να ερευνούν τις αρθρωτές μορφές. Αυτές οι φόρμες δημιουργούν σειρές αριθμών, ο καθένας με τη δική του σειρά. Κατά τύχη, η Taniyama συνέκρινε αυτές τις σειρές με σειρές που δημιουργούνται από ελλειπτικές εξισώσεις. Ταίριαξαν! Αλλά οι αρθρωτές μορφές είναι γεωμετρικά αντικείμενα και οι ελλειπτικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές. Δεν έχει βρεθεί ποτέ σύνδεση μεταξύ τόσο διαφορετικών αντικειμένων.

Ωστόσο, μετά από προσεκτική δοκιμή, οι φίλοι διατύπωσαν μια υπόθεση: κάθε ελλειπτική εξίσωση έχει ένα δίδυμο - μια σπονδυλωτή μορφή και το αντίστροφο. Ήταν αυτή η υπόθεση που έγινε το θεμέλιο μιας ολόκληρης κατεύθυνσης στα μαθηματικά, αλλά μέχρι να αποδειχτεί η υπόθεση Taniyama-Shimura, ολόκληρο το κτίριο μπορούσε να καταρρεύσει ανά πάσα στιγμή.

Το 1984, ο Gerhard Frey έδειξε ότι μια λύση στην εξίσωση του Fermat, εάν υπάρχει, μπορεί να συμπεριληφθεί σε κάποια ελλειπτική εξίσωση. Δύο χρόνια αργότερα, ο καθηγητής Ken Ribet απέδειξε ότι αυτή η υποθετική εξίσωση δεν θα μπορούσε να έχει αντίστοιχο στον αρθρωτό κόσμο. Από εδώ και πέρα, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά ήταν άρρηκτα συνδεδεμένο με την εικασία Taniyama–Shimura. Έχοντας αποδείξει ότι οποιαδήποτε ελλειπτική καμπύλη είναι σπονδυλωτή, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει ελλειπτική εξίσωση με λύση της εξίσωσης του Φερμά και το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά θα αποδεικνυόταν αμέσως. Αλλά για τριάντα χρόνια δεν ήταν δυνατό να αποδειχθεί η υπόθεση Taniyama-Shimura και υπήρχαν όλο και λιγότερες ελπίδες για επιτυχία.

Το 1963, όταν ήταν μόλις δέκα ετών, ο Andrew Wiles ήταν ήδη γοητευμένος από τα μαθηματικά. Όταν έμαθε για το Μεγάλο Θεώρημα, συνειδητοποίησε ότι δεν μπορούσε να το παρατήσει. Ως μαθητής, φοιτητής και μεταπτυχιακός φοιτητής, προετοιμάστηκε για αυτό το έργο.

Έχοντας μάθει για τα ευρήματα του Κεν Ριμπέ, ο Γουάιλς βυθίστηκε ασταμάτητα στην απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα. Αποφάσισε να εργαστεί σε πλήρη απομόνωση και μυστικότητα. «Συνειδητοποίησα ότι όλα όσα είχαν να κάνουν με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά προκαλούν υπερβολικό ενδιαφέρον... Πάρα πολλοί θεατές προφανώς παρεμβαίνουν στην επίτευξη του στόχου». Επτά χρόνια σκληρής δουλειάς απέδωσαν καρπούς· ο Γουάιλς ολοκλήρωσε τελικά την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα.

Το 1993, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew Wiles παρουσίασε στον κόσμο την απόδειξή του για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά (ο Wiles διάβασε τη συγκλονιστική εργασία του σε ένα συνέδριο στο Ινστιτούτο Sir Isaac Newton στο Cambridge.), έργο για το οποίο διήρκεσε περισσότερα από επτά χρόνια.







Ενώ η δημοσιότητα συνεχιζόταν στον Τύπο, άρχισε σοβαρή δουλειά για την επαλήθευση των αποδεικτικών στοιχείων. Κάθε αποδεικτικό στοιχείο πρέπει να εξετάζεται προσεκτικά προτού τα στοιχεία θεωρηθούν αυστηρά και ακριβή. Ο Wiles πέρασε ένα ανήσυχο καλοκαίρι περιμένοντας σχόλια από τους κριτικούς, ελπίζοντας ότι θα μπορούσε να κερδίσει την έγκρισή τους. Στα τέλη Αυγούστου, οι ειδικοί διαπίστωσαν ότι η απόφαση ήταν ανεπαρκώς τεκμηριωμένη.

Αποδείχθηκε ότι αυτή την απόφασηπεριέχει ένα χονδροειδές σφάλμα, αν και σε γενικές γραμμές είναι σωστό. Ο Wiles δεν το έβαλε κάτω, κάλεσε τη βοήθεια του διάσημου ειδικού στη θεωρία αριθμών Richard Taylor και ήδη το 1994 δημοσίευσαν μια διορθωμένη και διευρυμένη απόδειξη του θεωρήματος. Το πιο εκπληκτικό είναι ότι αυτή η εργασία κατέλαβε έως και 130 (!) σελίδες στο μαθηματικό περιοδικό «Annals of Mathematics». Αλλά η ιστορία δεν τελείωσε ούτε εκεί - το τελικό σημείο έφτασε μόνο το επόμενο έτος, το 1995, όταν δημοσιεύτηκε η τελική και «ιδανική», από μαθηματική άποψη, έκδοση της απόδειξης.

«...μισό λεπτό μετά την έναρξη του εορταστικού δείπνου με την ευκαιρία των γενεθλίων της, παρουσίασα στη Νάντια το χειρόγραφο της πλήρους απόδειξης» (Andrew Wales). Δεν έχω πει ακόμα ότι οι μαθηματικοί είναι περίεργοι άνθρωποι;






Αυτή τη φορά δεν υπήρχε καμία αμφιβολία για τα στοιχεία. Δύο άρθρα υποβλήθηκαν στην πιο προσεκτική ανάλυση και δημοσιεύτηκαν τον Μάιο του 1995 στο Annals of Mathematics.

Έχει περάσει πολύς χρόνος από εκείνη τη στιγμή, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει η άποψη στην κοινωνία ότι το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είναι άλυτο. Αλλά ακόμη και όσοι γνωρίζουν για την απόδειξη που βρέθηκε συνεχίζουν να εργάζονται προς αυτή την κατεύθυνση - λίγοι είναι ικανοποιημένοι ότι το Μεγάλο Θεώρημα απαιτεί μια λύση 130 σελίδων!

Επομένως, τώρα οι προσπάθειες πολλών μαθηματικών (κυρίως ερασιτεχνών, όχι επαγγελματιών επιστημόνων) ρίχνονται στην αναζήτηση μιας απλής και συνοπτικής απόδειξης, αλλά αυτός ο δρόμος, πιθανότατα, δεν θα οδηγήσει πουθενά... Το ενδιαφέρον του Fermat για τα μαθηματικά εμφανίστηκε απροσδόκητα και εντελώς απροσδόκητα. ώριμη ηλικία. Το 1629, μια λατινική μετάφραση του έργου του Πάππου, που περιείχε μια σύντομη περίληψη των αποτελεσμάτων του Απολλώνιου για τις ιδιότητες των κωνικών τομών, έπεσε στα χέρια του. Ο Φερμά, πολύγλωσσος, γνώστης του νόμου και της αρχαίας φιλολογίας, ξεκινά ξαφνικά να αποκαταστήσει πλήρως την πορεία του συλλογισμού του διάσημου επιστήμονα. Με την ίδια επιτυχία, ένας σύγχρονος δικηγόρος μπορεί να προσπαθήσει να αναπαράγει ανεξάρτητα όλα τα στοιχεία από μια μονογραφία από προβλήματα, για παράδειγμα, αλγεβρική τοπολογία. Ωστόσο, το αδιανόητο εγχείρημα στέφεται με επιτυχία. Επιπλέον, εμβαθύνοντας στις γεωμετρικές κατασκευές των αρχαίων, κάνει καταπληκτική ανακάλυψη: Για να βρείτε τις μέγιστες και τις ελάχιστες περιοχές των σχημάτων, δεν χρειάζεστε φανταχτερά σχέδια. Είναι πάντα δυνατό να κατασκευάσουμε και να λύσουμε κάποια απλή αλγεβρική εξίσωση, οι ρίζες της οποίας καθορίζουν το άκρο. Βρήκε έναν αλγόριθμο που θα γινόταν η βάση του διαφορικού λογισμού.

Προχώρησε γρήγορα. Βρήκε επαρκείς συνθήκες για την ύπαρξη μεγίστων, έμαθε να προσδιορίζει σημεία καμπής και σχεδίασε εφαπτόμενες σε όλες τις γνωστές καμπύλες δεύτερης και τρίτης τάξης. Λίγα χρόνια ακόμα και βρίσκει καινούργιο αλγεβρική μέθοδοςεύρεση τετραγώνων για παραβολές και υπερβολές αυθαίρετης τάξης (δηλαδή ολοκληρώματα συναρτήσεων της μορφής y p = Cx qΚαι y p x q = C), υπολογίζει εμβαδά, όγκους, ροπές αδράνειας σωμάτων περιστροφής. Ήταν μια πραγματική ανακάλυψη. Νιώθοντας αυτό, ο Φερμά αρχίζει να αναζητά επικοινωνία με τις μαθηματικές αρχές της εποχής. Έχει αυτοπεποίθηση και λαχταρά την αναγνώριση.

Το 1636 έγραψε την πρώτη του επιστολή προς τον Σεβασμιώτατο Μαρίν Μερσέν: «Άγιε Πατέρα! Σας είμαι εξαιρετικά ευγνώμων για την τιμή που μου δείξατε δίνοντάς μου την ελπίδα ότι θα μπορέσουμε να μιλήσουμε γραπτώς. ...Θα χαρώ πολύ να μάθω από εσάς για όλες τις νέες πραγματείες και βιβλία για τα Μαθηματικά που εμφανίστηκαν τα τελευταία πέντε ή έξι χρόνια. ...Έχω βρει επίσης πολλές αναλυτικές μεθόδους για διάφορα προβλήματα, αριθμητικά και γεωμετρικά, για τη λύση των οποίων η ανάλυση του Βιέτα είναι ανεπαρκής. Όλα αυτά θα τα μοιραστώ μαζί σου όποτε θέλεις και χωρίς καμία έπαρση, από την οποία είμαι πιο ελεύθερος και πιο απόμακρος από κάθε άλλο άτομο στον κόσμο».

Ποιος είναι ο πατέρας Mersenne; Πρόκειται για έναν Φραγκισκανό μοναχό, έναν επιστήμονα με μέτρια ταλέντα και έναν αξιόλογο οργανωτή, ο οποίος επί 30 χρόνια ηγήθηκε του μαθηματικού κύκλου του Παρισιού, ο οποίος έγινε το πραγματικό κέντρο της γαλλικής επιστήμης. Στη συνέχεια, ο κύκλος Mersenne, με διάταγμα του Λουδοβίκου XIV, θα μετατραπεί σε Ακαδημία Επιστημών του Παρισιού. Ο Μερσέν συνέχιζε ακούραστα μια τεράστια αλληλογραφία και το κελί του στο μοναστήρι του Τάγματος των Μίνιμς στη Βασιλική Πλατεία ήταν ένα είδος «ταχυδρομείου για όλους τους επιστήμονες της Ευρώπης, από τον Γαλιλαίο μέχρι τον Χομπς». Η αλληλογραφία αντικατέστησε τότε τα επιστημονικά περιοδικά, τα οποία εμφανίστηκαν πολύ αργότερα. Οι συναντήσεις στο Mersenne's γίνονταν κάθε εβδομάδα. Ο πυρήνας του κύκλου αποτελούνταν από τους πιο λαμπρούς φυσιοδίφες εκείνης της εποχής: τον Robertville, τον Pascal the Father, τον Desargues, τον Midorge, τον Hardy και φυσικά τον διάσημο και παγκοσμίως αναγνωρισμένο Descartes. Ο René du Perron Descartes (Cartesius), μανδύας ευγενών, δύο οικογενειακά κτήματα, ιδρυτής του καρτεσιανισμού, «πατέρας» της αναλυτικής γεωμετρίας, ένας από τους ιδρυτές των νέων μαθηματικών, καθώς και φίλος και συμφοιτητής του Mersenne στο κολέγιο των Ιησουιτών. Αυτό υπέροχο άτομοθα είναι ένας εφιάλτης για τον Φερμά.

Ο Μερσέν βρήκε τα αποτελέσματα του Φερμά αρκετά ενδιαφέροντα ώστε να εισαγάγει τον επαρχιώτη στην ελίτ του συλλόγου. Η φάρμα ξεκίνησε αμέσως αλληλογραφία με πολλά μέλη του κύκλου και κυριολεκτικά βομβαρδίστηκε με επιστολές από τον ίδιο τον Μερσέν. Επιπλέον, στέλνει ολοκληρωμένα χειρόγραφα στην κρίση των λόγιων ανδρών: «Εισαγωγή σε επίπεδα και συμπαγή μέρη», και ένα χρόνο αργότερα - «Μέθοδος εύρεσης μέγιστων και ελάχιστων» και «Απαντήσεις σε ερωτήσεις του B. Cavalieri». Αυτό που εξέθεσε ο Fermat ήταν εντελώς νέο, αλλά δεν υπήρχε αίσθηση. Οι σύγχρονοι δεν ανατρίχιασαν. Καταλάβαιναν λίγα, αλλά βρήκαν σαφείς ενδείξεις ότι ο Fermat δανείστηκε την ιδέα του αλγόριθμου μεγιστοποίησης από την πραγματεία του Johannes Kepler με τον διασκεδαστικό τίτλο "The New Stereometry of Wine Barrels". Πράγματι, στη συλλογιστική του Κέπλερ υπάρχουν φράσεις όπως «Ο όγκος μιας φιγούρας είναι μεγαλύτερος εάν και στις δύο πλευρές του τόπου με τη μεγαλύτερη αξία η μείωση είναι στην αρχή αδιάφορη». Αλλά η ιδέα μιας μικρής αύξησης μιας συνάρτησης κοντά σε ένα άκρο δεν ήταν καθόλου στον αέρα. Τα καλύτερα αναλυτικά μυαλά εκείνης της εποχής δεν ήταν έτοιμα να χειραγωγήσουν μικρές ποσότητες. Το γεγονός είναι ότι εκείνη την εποχή η άλγεβρα θεωρούνταν ένα είδος αριθμητικής, δηλαδή μαθηματικά δεύτερης κατηγορίας, ένα πρωτόγονο εργαλείο στο χέρι, που αναπτύχθηκε για τις ανάγκες της βασικής πρακτικής («μόνο οι έμποροι μετράνε καλά»). Η παράδοση προέβλεπε την τήρηση καθαρά γεωμετρικών μεθόδων απόδειξης, που χρονολογούνται από τα αρχαία μαθηματικά. Ο Fermat ήταν ο πρώτος που συνειδητοποίησε ότι απειροελάχιστες ποσότητες μπορούν να προστεθούν και να μειωθούν, αλλά είναι αρκετά δύσκολο να τις αναπαραστήσουμε με τη μορφή τμημάτων.

Χρειάστηκε σχεδόν ένας αιώνας για να παραδεχτεί ο Jean d'Alembert στη διάσημη Εγκυκλοπαίδειά του: «Ο Fermat ήταν ο εφευρέτης του νέου λογισμού. Είναι μαζί του που βρίσκουμε την πρώτη εφαρμογή των διαφορικών για την εύρεση εφαπτομένων». Στα τέλη του 18ου αιώνα, ο Joseph Louis Comte de Lagrange μίλησε ακόμη πιο ξεκάθαρα: «Αλλά οι γεωμέτρους - οι σύγχρονοι του Fermat - δεν καταλάβαιναν αυτό το νέο είδος λογισμού. Είδαν μόνο ειδικές περιπτώσεις. Και αυτή η εφεύρεση, που εμφανίστηκε λίγο πριν τη Γεωμετρία του Ντεκάρτ, έμεινε άκαρπη για σαράντα χρόνια». Ο Lagrange αναφέρεται στο 1674, όταν δημοσιεύτηκαν οι Διαλέξεις του Isaac Barrow, καλύπτοντας λεπτομερώς τη μέθοδο του Fermat.

Μεταξύ άλλων, έγινε γρήγορα σαφές ότι ο Fermat ήταν περισσότερο διατεθειμένος να διατυπώσει νέα προβλήματα παρά να λύσει ταπεινά τα προβλήματα που πρότειναν οι μετρητές. Στην εποχή των μονομαχιών, η ανταλλαγή καθηκόντων μεταξύ ειδικών ήταν γενικά αποδεκτή ως μια μορφή διευκρίνισης προβλημάτων που σχετίζονται με την υποταγή. Ωστόσο, ο Fermat σαφώς δεν γνωρίζει τα όρια. Κάθε επιστολή του είναι μια πρόκληση που περιέχει δεκάδες περίπλοκα άλυτα προβλήματα και για τα πιο απροσδόκητα θέματα. Ιδού ένα παράδειγμα του στυλ του (απευθυνόμενος στον Frenicle de Bessy): «Item, what is ελάχιστο τετράγωνο, το οποίο, όταν μειωθεί κατά 109 και προστεθεί κατά ένα, θα δώσει ένα τετράγωνο; Αν δεν μου στείλεις γενική λύση, μετά στείλε το πηλίκο για αυτούς τους δύο αριθμούς, τους οποίους επέλεξα μικρά για να μην σε μπερδέψω πολύ. Αφού λάβω την απάντησή σας, θα σας προτείνω κάποια άλλα πράγματα. Είναι σαφές χωρίς ιδιαίτερες επιφυλάξεις ότι η πρότασή μου απαιτεί την εύρεση ακεραίων, αφού στην περίπτωση κλασματικοί αριθμοίο πιο ασήμαντος αριθμητικός θα μπορούσε να φτάσει στον στόχο». Ο Φερμά επαναλάμβανε συχνά τον εαυτό του, διατυπώνοντας τις ίδιες ερωτήσεις πολλές φορές, και μπλόφαρε ανοιχτά, ισχυριζόμενος ότι είχε μια ασυνήθιστα κομψή λύση στο προτεινόμενο πρόβλημα. Υπήρχαν και κάποια άμεσα λάθη. Μερικά από αυτά έγιναν αντιληπτά από τους σύγχρονους, και ορισμένες ύπουλες δηλώσεις παραπλάνησαν τους αναγνώστες για αιώνες.

Ο κύκλος του Mersenne αντέδρασε επαρκώς. Μόνο ο Ρόμπερτβιλ, το μόνο μέλος του κύκλου που είχε προβλήματα με την καταγωγή του, διατηρεί τον φιλικό τόνο των επιστολών. Ο καλός βοσκός πατέρας Μερσέν προσπάθησε να συλλογιστεί με την «θρασύδειλη Τουλούζη». Όμως ο Φερμά δεν σκοπεύει να δικαιολογηθεί: «Αιδεσιώτατε πάτερ! Μου γράφετε ότι η τοποθέτηση των ακατόρθωτων προβλημάτων μου εξόργισε και ξεψύχησε τους κυρίους Saint-Martin και Frenicle και ότι αυτός ήταν ο λόγος της διακοπής των επιστολών τους. Ωστόσο, θέλω να τους αντιταχθώ ότι αυτό που στην αρχή φαίνεται αδύνατο δεν είναι πραγματικά έτσι και ότι υπάρχουν πολλά προβλήματα που, όπως είπε ο Αρχιμήδης...», κ.λπ.

Ωστόσο, ο Fermat είναι ανειλικρινής. Ήταν στον Frenicles που έστειλε το πρόβλημα να βρει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές, το εμβαδόν του οποίου είναι ίσο με το τετράγωνο του ακέραιου. Το έστειλα, αν και ήξερα ότι το πρόβλημα προφανώς δεν είχε λύση.

Ο Ντεκάρτ πήρε την πιο εχθρική θέση απέναντι στον Φερμά. Στην επιστολή του προς τον Mersenne από το 1938 διαβάζουμε: «αφού έμαθα ότι πρόκειται για τον ίδιο άνθρωπο που είχε προσπαθήσει προηγουμένως να διαψεύσει τη Διοπτρία μου, και αφού με ενημέρωσες ότι το έστειλε αφού διάβασε τη Γεωμετρία μου» και έκπληκτος που δεν το έκανα βρες το ίδιο πράγμα, δηλαδή, (όπως έχω λόγους να το ερμηνεύσω) το έστειλε με σκοπό να μπει σε αντιπαλότητα και να δείξει ότι σε αυτό ξέρει περισσότερα από μένα, και επειδή ακόμη και από τα γράμματά σου, έμαθα ότι έχει με τη φήμη ενός πολύ πεπειραμένου γεωμέτρου, οπότε θεωρώ τον εαυτό μου υποχρεωμένο να του απαντήσω». Ο Ντεκάρτ αργότερα θα όριζε επίσημα την απάντησή του ως «η μικρή διαδικασία των Μαθηματικών εναντίον του κ. Φερμά».

Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς τι εξόργισε τον διαπρεπή επιστήμονα. Πρώτον, τα επιχειρήματα του Fermat περιλαμβάνουν συνεχώς άξονες συντεταγμένωνκαι την αναπαράσταση αριθμών ανά τμήματα - μια τεχνική που ο Descartes αναπτύσσει περιεκτικά στη Γεωμετρία του που μόλις δημοσιεύτηκε. Ο Fermat έρχεται στην ιδέα να αντικαταστήσει τα σχέδια με υπολογισμούς εντελώς ανεξάρτητα· κατά κάποιο τρόπο είναι ακόμη πιο συνεπής από τον Descartes. Δεύτερον, ο Fermat αποδεικνύει περίφημα την αποτελεσματικότητα της μεθόδου του να βρει ελάχιστα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής μιας ακτίνας φωτός, διευκρινίζοντας και συμπληρώνοντας τον Descartes με τη «Διοπτική» του.

Τα πλεονεκτήματα του Ντεκάρτ ως στοχαστή και καινοτόμου είναι τεράστια, αλλά ας ανοίξουμε τη σύγχρονη «Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια» και ας δούμε τη λίστα των όρων που σχετίζονται με το όνομά του: «Καρτεσιανές συντεταγμένες» (Leibniz, 1692), «Καρτεσιανό φύλλο», «Καρτεσιανό». οβάλ». Κανένα από τα επιχειρήματά του δεν έμεινε στην ιστορία ως «Θεώρημα του Ντεκάρτ». Ο Ντεκάρτ είναι πρώτα και κύρια ιδεολόγος: είναι ο ιδρυτής μιας φιλοσοφικής σχολής, διαμορφώνει έννοιες, βελτιώνει το σύστημα των συμβόλων των γραμμάτων, αλλά η δημιουργική του κληρονομιά περιέχει λίγες νέες συγκεκριμένες τεχνικές. Αντίθετα, ο Pierre Fermat γράφει ελάχιστα, αλλά για οποιονδήποτε λόγο μπορεί να βρει πολλά έξυπνα μαθηματικά κόλπα (βλέπε επίσης «Θεώρημα Fermat», «Fermat’s Principle», «Fermat’s Method of Infinite Descent»). Μάλλον δικαίως ζήλευαν ο ένας τον άλλον. Μια σύγκρουση ήταν αναπόφευκτη. Με τη μεσολάβηση των Ιησουιτών της Μερσέν ξέσπασε πόλεμος που κράτησε δύο χρόνια. Ωστόσο, ο Mersenne αποδείχθηκε ότι ήταν ακριβώς εδώ πριν από την ιστορία: η σκληρή μάχη των δύο τιτάνων, η έντονη, για να το θέσω ήπια, πολεμική τους συνέβαλαν στην κατανόηση των βασικών εννοιών της μαθηματικής ανάλυσης.

Ο Fermat είναι ο πρώτος που χάνει το ενδιαφέρον του για τη συζήτηση. Προφανώς, εξηγήθηκε απευθείας στον Ντεκάρτ και δεν προσέβαλε ποτέ ξανά τον αντίπαλό του. Σε ένα από αυτά τελευταία έργαΤο «Synthesis for Refraction», το χειρόγραφο του οποίου έστειλε στον de la Chambre, ο Fermat θυμάται μέσα από τη λέξη «τον πιο λόγιο Descartes» και τονίζει με κάθε δυνατό τρόπο την προτεραιότητά του σε θέματα οπτικής. Εν τω μεταξύ, αυτό το χειρόγραφο περιείχε μια περιγραφή της περίφημης «αρχής του Fermat», η οποία παρέχει μια περιεκτική εξήγηση των νόμων της ανάκλασης και της διάθλασης του φωτός. Τα νεύματα στον Ντεκάρτ σε έργα αυτού του επιπέδου ήταν εντελώς περιττά.

Τι συνέβη? Γιατί ο Φερμά, αφήνοντας στην άκρη την περηφάνια του, πήγε για συμφιλίωση; Διαβάζοντας τις επιστολές του Φερμά εκείνων των χρόνων (1638 - 1640), μπορεί κανείς να υποθέσει το πιο απλό πράγμα: κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου τα επιστημονικά του ενδιαφέροντα άλλαξαν δραματικά. Εγκαταλείπει το μοντέρνο κυκλοειδές, παύει να ενδιαφέρεται για εφαπτομένες και περιοχές και για πολλά 20 χρόνια ξεχνά τη μέθοδο εύρεσης του μέγιστου. Έχοντας τεράστια πλεονεκτήματα στα μαθηματικά του συνεχούς, ο Fermat βυθίστηκε πλήρως στα μαθηματικά του διακριτού, αφήνοντας αποκρουστικά γεωμετρικά σχέδια στους αντιπάλους του. Οι αριθμοί γίνονται το νέο του πάθος. Στην πραγματικότητα, ολόκληρη η «Θεωρία Αριθμών», ως ανεξάρτητος μαθηματικός κλάδος, οφείλει τη γέννησή της εξ ολοκλήρου στη ζωή και το έργο του Φερμά.

<…>Μετά το θάνατο του Φερμά, ο γιος του Σαμουήλ δημοσίευσε το 1670 ένα αντίγραφο της «Αριθμητικής» που ανήκε στον πατέρα του με τον τίτλο «Έξι βιβλία αριθμητικής του Αλεξανδρινού Διόφαντου με σχόλια του Λ. Γ. Μπαχέτ και παρατηρήσεις του Π. ντε Φερμά, γερουσιαστή της Τουλούζης». Το βιβλίο περιλάμβανε επίσης μερικές επιστολές από τον Ντεκάρτ και πλήρες κείμενοτα έργα του Jacques de Bigly «A New Discovery in the Art of Analysis», γραμμένα με βάση τις επιστολές του Fermat. Η δημοσίευση είχε απίστευτη επιτυχία. Ένας άνευ προηγουμένου φωτεινός κόσμος άνοιξε μπροστά στους έκπληκτους ειδικούς. Το απροσδόκητο, και κυρίως η προσβασιμότητα, δημοκρατία των αριθμητικών αποτελεσμάτων του Fermat προκάλεσε πολλές μιμήσεις. Εκείνη την εποχή, λίγοι άνθρωποι καταλάβαιναν πώς υπολογίζεται το εμβαδόν μιας παραβολής, αλλά κάθε μαθητής μπορούσε να καταλάβει τη διατύπωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Ένα πραγματικό κυνήγι ξεκίνησε για τα άγνωστα και χαμένα γράμματα του επιστήμονα. Μέχρι τα τέλη του 17ου αι. Κάθε λέξη που βρήκε δημοσιεύτηκε και αναδημοσιεύτηκε. Αλλά η ταραχώδης ιστορία της ανάπτυξης των ιδεών του Fermat μόλις ξεκινούσε.

Τα άλυτα προβλήματα είναι 7 ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα. Κάθε ένα από αυτά προτάθηκε κάποια στιγμή από διάσημους επιστήμονες, συνήθως με τη μορφή υποθέσεων. Για πολλές δεκαετίες τώρα, οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο μαζεύουν το μυαλό τους για να τα λύσουν. Όσοι τα καταφέρουν θα λάβουν ανταμοιβή ενός εκατομμυρίου δολαρίων ΗΠΑ, που προσφέρει το Ινστιτούτο Clay.

Clay Institute

Αυτό είναι το όνομα που δόθηκε σε έναν ιδιωτικό μη κερδοσκοπικό οργανισμό με έδρα το Cambridge της Μασαχουσέτης. Ιδρύθηκε το 1998 από τον μαθηματικό του Χάρβαρντ A. Jaffee και τον επιχειρηματία L. Clay. Στόχος του ινστιτούτου είναι η εκλαΐκευση και ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης. Για να επιτευχθεί αυτό, ο οργανισμός απονέμει βραβεία σε επιστήμονες και χορηγούς που υπόσχονται έρευνα.

Στις αρχές του 21ου αιώνα, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay πρόσφερε ένα βραβείο σε όσους έλυσαν προβλήματα που είναι γνωστά ως τα πιο δύσκολα άλυτα προβλήματα, ονομάζοντας τη λίστα του Προβλήματα του Βραβείου Χιλιετίας. Από τη λίστα Hilbert, μόνο η υπόθεση Riemann συμπεριλήφθηκε σε αυτήν.

Προκλήσεις της Χιλιετίας

Η λίστα του Clay Institute αρχικά περιελάμβανε:

• Υπόθεση κύκλου Hodge;
• εξισώσεις της κβαντικής θεωρίας Yang-Mills;
• Εικασία Πουανκαρέ;
• Πρόβλημα ισότητας των κατηγοριών P και NP.
• Υπόθεση Riemann;
• σχετικά με την ύπαρξη και την ομαλότητα των λύσεών του·
• Πρόβλημα Birch-Swinnerton-Dyer.

Αυτά τα ανοιχτά μαθηματικά προβλήματα παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον γιατί μπορούν να έχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές.

Τι απέδειξε ο Γκριγκόρι Πέρελμαν

Το 1900, ο διάσημος επιστήμονας-φιλόσοφος Henri Poincaré πρότεινε ότι κάθε απλά συνδεδεμένη συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς σύνορα είναι ομοιομορφική σε μια τρισδιάστατη σφαίρα. Η απόδειξη της είναι μέσα γενική περίπτωσηδεν έχει βρεθεί εδώ και έναν αιώνα. Μόνο το 2002-2003, ο μαθηματικός της Αγίας Πετρούπολης G. Perelman δημοσίευσε μια σειρά από άρθρα που λύνουν το πρόβλημα Poincaré. Προκάλεσαν το αποτέλεσμα μιας έκρηξης βόμβας. Το 2010, η υπόθεση του Πουανκαρέ αποκλείστηκε από τη λίστα των «Άλυτων Προβλημάτων» του Ινστιτούτου Κλέι και στον ίδιο τον Πέρελμαν προσφέρθηκε να λάβει τη σημαντική ανταμοιβή που του αναλογούσε, την οποία ο τελευταίος αρνήθηκε χωρίς να εξηγήσει τους λόγους της απόφασής του.

Η πιο κατανοητή εξήγηση αυτού που μπόρεσε να αποδείξει ο Ρώσος μαθηματικός μπορεί να δοθεί με το να φανταστεί κανείς ότι τεντώνουν έναν λαστιχένιο δίσκο πάνω από ένα ντόνατ (τόρος) και στη συνέχεια προσπαθούν να τραβήξουν τις άκρες του κύκλου του σε ένα σημείο. Προφανώς αυτό είναι αδύνατο. Είναι διαφορετικό εάν κάνετε αυτό το πείραμα με μια μπάλα. Στην περίπτωση αυτή, φαίνεται ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα που προκύπτει από έναν δίσκο, η περιφέρεια του οποίου τραβήχτηκε σε ένα σημείο από ένα υποθετικό κορδόνι, θα είναι τρισδιάστατη στην κατανόηση φυσιολογικό άτομο, αλλά δισδιάστατη από μαθηματική άποψη.

Ο Πουανκαρέ πρότεινε ότι η τρισδιάστατη σφαίρα είναι το μόνο τρισδιάστατο «αντικείμενο» του οποίου η επιφάνεια μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο, και ο Πέρελμαν μπόρεσε να το αποδείξει αυτό. Έτσι, ο κατάλογος των «Αλύτων Προβλημάτων» σήμερα αποτελείται από 6 προβλήματα.

Θεωρία Yang-Mills

Αυτό το μαθηματικό πρόβλημα προτάθηκε από τους συγγραφείς του το 1954. Η επιστημονική διατύπωση της θεωρίας έχει ως εξής: για κάθε απλή συμπαγή ομάδα μετρητών, υπάρχει η κβαντική χωρική θεωρία που δημιουργήθηκε από τους Yang και Mills και ταυτόχρονα έχει ελάττωμα μηδενικής μάζας.

Μιλώντας σε γλώσσα κατανοητή από τον μέσο άνθρωπο, οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ φυσικών αντικειμένων (σωματίδια, σώματα, κύματα κ.λπ.) χωρίζονται σε 4 τύπους: ηλεκτρομαγνητική, βαρυτική, ασθενή και ισχυρή. Για πολλά χρόνια, οι φυσικοί προσπαθούν να δημιουργήσουν μια γενική θεωρία πεδίου. Πρέπει να γίνει ένα εργαλείο για να εξηγηθούν όλες αυτές οι αλληλεπιδράσεις. Η θεωρία Yang-Mills είναι μια μαθηματική γλώσσα με την οποία κατέστη δυνατή η περιγραφή 3 από τις 4 κύριες δυνάμεις της φύσης. Δεν ισχύει για τη βαρύτητα. Επομένως, δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι οι Young και Mills πέτυχαν να δημιουργήσουν μια θεωρία πεδίου.

Επιπλέον, η μη γραμμικότητα των προτεινόμενων εξισώσεων καθιστά εξαιρετικά δύσκολη την επίλυσή τους. Για μικρές σταθερές σύζευξης, μπορούν να λυθούν κατά προσέγγιση με τη μορφή μιας σειράς θεωρίας διαταραχών. Ωστόσο, δεν είναι ακόμη σαφές πώς μπορούν να λυθούν αυτές οι εξισώσεις υπό ισχυρή σύζευξη.

Εξισώσεις Navier-Stokes

Αυτές οι εκφράσεις περιγράφουν διαδικασίες όπως τα ρεύματα αέρα, η ροή ρευστού και οι αναταράξεις. Για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, έχουν ήδη βρεθεί αναλυτικές λύσεις για την εξίσωση Navier-Stokes, αλλά κανείς δεν έχει ακόμη καταφέρει να το κάνει αυτό για τη γενική περίπτωση. Ταυτόχρονα, η αριθμητική μοντελοποίηση για συγκεκριμένες τιμές ταχύτητας, πυκνότητας, πίεσης, χρόνου και ούτω καθεξής επιτρέπει σε κάποιον να επιτύχει εξαιρετικά αποτελέσματα. Μπορούμε μόνο να ελπίζουμε ότι κάποιος θα μπορέσει να εφαρμόσει τις εξισώσεις Navier-Stokes προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή να υπολογίσει τις παραμέτρους χρησιμοποιώντας αυτές ή να αποδείξει ότι δεν υπάρχει μέθοδος επίλυσης.

Πρόβλημα Birch-Swinnerton-Dyer

Η κατηγορία των «Αλυμένων Προβλημάτων» περιλαμβάνει επίσης μια υπόθεση που προτάθηκε από Άγγλους επιστήμονες από το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ. Ακόμη και πριν από 2300 χρόνια, ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Ευκλείδης έδωσε Πλήρης περιγραφήλύσεις της εξίσωσης x2 + y2 = z2.

Αν για κάθε πρώτο αριθμό μετρήσουμε τον αριθμό των σημείων στην καμπύλη modulo it, παίρνουμε ένα άπειρο σύνολο ακεραίων αριθμών. Εάν το «κολλήσετε» συγκεκριμένα σε 1 συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής, τότε λαμβάνετε τη συνάρτηση ζήτα Hasse-Weil για μια καμπύλη τρίτης τάξης, που συμβολίζεται με το γράμμα L. Περιέχει πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά του modulo όλων των πρώτων αριθμών ταυτόχρονα .

Οι Brian Birch και Peter Swinnerton-Dyer πρότειναν μια εικασία σχετικά με τις ελλειπτικές καμπύλες. Σύμφωνα με αυτήν, η δομή και η ποσότητα του συνόλου του ορθολογικές αποφάσειςσχετίζονται με τη συμπεριφορά της συνάρτησης L στη μονάδα. Αναπόδεικτη στο αυτή τη στιγμήΗ εικασία Birch-Swinnerton-Dyer εξαρτάται από την περιγραφή των αλγεβρικών εξισώσεων του βαθμού 3 και είναι ο μόνος σχετικά απλός γενικός τρόπος υπολογισμού της κατάταξης των ελλειπτικών καμπυλών.

Για να κατανοήσουμε την πρακτική σημασία αυτού του προβλήματος, αρκεί να πούμε ότι στη σύγχρονη κρυπτογραφία ελλειπτικής καμπύλης βασίζεται μια ολόκληρη κατηγορία ασύμμετρων συστημάτων και τα εγχώρια πρότυπα ψηφιακής υπογραφής βασίζονται στη χρήση τους.

Ισότητα κλάσεων p και np

Αν τα υπόλοιπα Προβλήματα της Χιλιετίας είναι καθαρά μαθηματικά, τότε αυτό σχετίζεται με την τρέχουσα θεωρία των αλγορίθμων. Το πρόβλημα σχετικά με την ισότητα των κλάσεων p και np, γνωστό και ως πρόβλημα Cook-Lewin, σε καθαρή γλώσσαμπορεί να διατυπωθεί ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι μια θετική απάντηση σε μια συγκεκριμένη ερώτηση μπορεί να ελεγχθεί αρκετά γρήγορα, δηλαδή σε πολυωνυμικό χρόνο (PT). Τότε είναι σωστό να πούμε ότι η απάντηση σε αυτό μπορεί να βρεθεί αρκετά γρήγορα; Ακούγεται ακόμα πιο απλό: δεν είναι πραγματικά πιο δύσκολο να ελέγξετε τη λύση σε ένα πρόβλημα από το να την βρείτε; Εάν αποδειχθεί ποτέ η ισότητα των κλάσεων p και np, τότε όλα τα προβλήματα επιλογής μπορούν να λυθούν με PV. Αυτή τη στιγμή, πολλοί ειδικοί αμφιβάλλουν για την αλήθεια αυτής της δήλωσης, αν και δεν μπορούν να αποδείξουν το αντίθετο.

Υπόθεση Riemann

Μέχρι το 1859, δεν εντοπίστηκε κανένα μοτίβο που να περιγράφει πώς οι πρώτοι αριθμοί κατανέμονται μεταξύ των φυσικών αριθμών. Ίσως αυτό οφειλόταν στο γεγονός ότι η επιστήμη ασχολούνταν με άλλα θέματα. Ωστόσο, από τα μέσα του 19ου αιώνα, η κατάσταση άλλαξε και έγιναν ένα από τα πιο σημαντικά που άρχισαν να μελετούν τα μαθηματικά.

Η υπόθεση Riemann, η οποία προέκυψε κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, είναι η υπόθεση ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο μοτίβο στην κατανομή των πρώτων αριθμών.

Σήμερα, πολλοί σύγχρονοι επιστήμονες πιστεύουν ότι αν αποδειχθεί, θα χρειαστεί να επανεξεταστούν πολλοί θεμελιώδεις αρχέςσύγχρονη κρυπτογραφία, που αποτελούν τη βάση σημαντικού μέρους των μηχανισμών ηλεκτρονικού εμπορίου.

Σύμφωνα με την υπόθεση Riemann, η φύση της κατανομής των πρώτων αριθμών μπορεί να διαφέρει σημαντικά από αυτό που υποτίθεται επί του παρόντος. Γεγονός είναι ότι μέχρι στιγμής δεν έχει ανακαλυφθεί κανένα σύστημα κατανομής πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα, υπάρχει το πρόβλημα των «διδύμων», η διαφορά μεταξύ των οποίων είναι 2. Αυτοί οι αριθμοί είναι 11 και 13, 29. Άλλοι πρώτοι αριθμοί σχηματίζουν συστάδες. Αυτά είναι τα 101, 103, 107 κ.λπ. Οι επιστήμονες υποψιάζονταν εδώ και καιρό ότι τέτοια σμήνη υπάρχουν ανάμεσα σε πολύ μεγάλους πρώτους αριθμούς. Εάν βρεθούν, θα αμφισβητηθεί η ισχύς των σύγχρονων κρυπτοκλειδών.

Εικασία κύκλου Hodge

Αυτό το ακόμη άλυτο πρόβλημα διατυπώθηκε το 1941. Η υπόθεση του Hodge υποδηλώνει ότι είναι δυνατό να προσεγγίσουμε το σχήμα οποιουδήποτε αντικειμένου "κολλώντας" το μεταξύ τους απλά σώματαμεγαλύτερη διάσταση. Αυτή η μέθοδος είναι γνωστή και χρησιμοποιείται με επιτυχία εδώ και πολύ καιρό. Ωστόσο, δεν είναι γνωστό σε ποιο βαθμό μπορεί να πραγματοποιηθεί απλοποίηση.

Τώρα ξέρετε ποια άλυτα προβλήματα υπάρχουν αυτή τη στιγμή. Αποτελούν αντικείμενο έρευνας από χιλιάδες επιστήμονες σε όλο τον κόσμο. Μπορούμε μόνο να ελπίζουμε ότι θα επιλυθούν στο εγγύς μέλλον, και τους πρακτική χρήσηθα βοηθήσει την ανθρωπότητα να φτάσει νέος γύροςτεχνολογική ανάπτυξη.

Μερικές φορές η επιμελής μελέτη των ακριβών επιστημών μπορεί να αποφέρει καρπούς - θα γίνετε όχι μόνο διάσημοι σε όλο τον κόσμο, αλλά και πλούσιοι. Τα βραβεία δίνονται, ωστόσο, για τίποτα, και στη σύγχρονη επιστήμη υπάρχουν πολλές αναπόδεικτες θεωρίες, θεωρήματα και προβλήματα που πολλαπλασιάζονται καθώς αναπτύσσεται η επιστήμη, όπως για παράδειγμα τα σημειωματάρια του Κουρόφσκι ή του Δνείστερου, συλλογές με άλυτα φυσικά και μαθηματικά προβλήματα και όχι μόνο, καθήκοντα. Ωστόσο, υπάρχουν επίσης πραγματικά πολύπλοκα θεωρήματα που δεν έχουν λυθεί εδώ και δεκαετίες και γι' αυτά το American Clay Institute έχει απονείμει ανταμοιβή 1 εκατομμυρίου δολαρίων για το καθένα. Μέχρι το 2002, το συνολικό τζάκποτ ήταν 7 εκατομμύρια, αφού υπήρχαν επτά «Προβλήματα της Χιλιετίας», αλλά ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν έλυσε την εικασία του Πουανκαρέ δίνοντας επικά ένα εκατομμύριο χωρίς καν να ανοίξει την πόρτα σε μαθηματικούς των ΗΠΑ που ήθελαν να του δώσουν τα δικά του κερδισμένο μπόνους. Λοιπόν, ας ενεργοποιήσουμε το The Big Bang Theory για φόντο και διάθεση, και ας δούμε για τι άλλο μπορείτε να κερδίσετε ένα τακτοποιημένο χρηματικό ποσό.

Ισότητα κλάσεων Π και ΝΠ

Με απλά λόγια, το πρόβλημα της ισότητας P = NP είναι το εξής: εάν η θετική απάντηση σε κάποια ερώτηση μπορεί να ελεγχθεί αρκετά γρήγορα (σε πολυωνυμικό χρόνο), τότε είναι αλήθεια ότι η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση μπορεί να βρεθεί αρκετά γρήγορα (επίσης σε πολυωνυμικό χρόνο και χρησιμοποιώντας πολυωνυμική μνήμη); Με άλλα λόγια, δεν είναι πραγματικά πιο εύκολο να ελέγξετε τη λύση σε ένα πρόβλημα παρά να την βρείτε; Το θέμα εδώ είναι ότι ορισμένοι υπολογισμοί και υπολογισμοί είναι πιο εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο αντί για ωμή βία, και έτσι εξοικονομούν πολύ χρόνο και πόρους.

Εικασία Hodge

Η υπόθεση του Hodge διατυπώθηκε το 1941 και δηλώνει ότι για ειδικά καλοί τύποιχώρους που ονομάζονται προβολικές αλγεβρικές ποικιλίες, οι λεγόμενοι κύκλοι Hodge είναι συνδυασμοί αντικειμένων που έχουν γεωμετρική ερμηνεία - αλγεβρικοί κύκλοι.

Εδώ, εξηγώντας με απλά λόγια, μπορούμε να πούμε τα εξής: τον 20ο αιώνα, ανακαλύφθηκαν πολύ περίπλοκα γεωμετρικά σχήματα, όπως τα κυρτά μπουκάλια. Έτσι, προτάθηκε ότι για να κατασκευάσετε αυτά τα αντικείμενα για περιγραφή, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε εντελώς μπερδεμένες φόρμες που δεν έχουν γεωμετρική ουσία, "κάτι τρομακτικές πολυδιάστατες μουντζούρες" ή μπορείτε ακόμα να τα βγάλετε πέρα ​​με τυπικά υπό όρους άλγεβρα + γεωμετρία.

Υπόθεση Riemann

Είναι αρκετά δύσκολο να εξηγηθεί στην ανθρώπινη γλώσσα· αρκεί να γνωρίζουμε ότι η λύση σε αυτό το πρόβλημα θα έχει εκτεταμένες συνέπειες στο πεδίο της κατανομής των πρώτων αριθμών. Το πρόβλημα είναι τόσο σημαντικό και πιεστικό που ακόμη και αν συναχθεί ένα αντιπαράδειγμα στην υπόθεση - κατά την κρίση του ακαδημαϊκού συμβουλίου του πανεπιστημίου, το πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί αποδεδειγμένο, οπότε εδώ μπορείτε να δοκιμάσετε την «αντίστροφη» μέθοδο. Ακόμα κι αν είναι δυνατό να αναδιατυπωθεί η υπόθεση σε μια περισσότερο με τη στενή έννοια- και τότε το Ινστιτούτο Κλέι θα πληρώσει ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό.

Θεωρία Yang-Mills

Η σωματιδιακή φυσική είναι ένα από τα αγαπημένα θέματα του Δρ Sheldon Cooper. Εδώ η κβαντική θεωρία δύο έξυπνων τύπων μας λέει ότι για οποιαδήποτε απλή ομάδα μετρητών στο διάστημα υπάρχει ένα ελάττωμα μάζας διαφορετικό από το μηδέν. Αυτή η δήλωση έχει τεκμηριωθεί με πειραματικά δεδομένα και αριθμητική μοντελοποίηση, αλλά κανείς δεν μπορεί να το αποδείξει ακόμη.

Εξισώσεις Navier-Stokes

Εδώ ο Χάουαρντ Γούλοβιτς πιθανότατα θα μας βοηθούσε αν υπήρχε στην πραγματικότητα - άλλωστε αυτό είναι ένας γρίφος από την υδροδυναμική και η βάση των θεμελίων. Οι εξισώσεις περιγράφουν τις κινήσεις ενός παχύρρευστου Νευτώνειου ρευστού, έχουν μεγάλη πρακτική σημασία και το πιο σημαντικό περιγράφουν αναταράξεις, που δεν μπορούν να οδηγηθούν στο πλαίσιο της επιστήμης και οι ιδιότητες και οι δράσεις του δεν μπορούν να προβλεφθούν. Η αιτιολόγηση για την κατασκευή αυτών των εξισώσεων θα μας επέτρεπε να μην δείξουμε τα δάχτυλά μας στον ουρανό, αλλά να κατανοήσουμε τις αναταράξεις από μέσα και να κάνουμε τα αεροπλάνα και τους μηχανισμούς πιο σταθερά.

Εικασία Birch-Swinnerton-Dyer

Εδώ, όμως, προσπάθησα να βρω απλές λέξεις, αλλά υπάρχει τόσο πυκνή άλγεβρα εδώ που είναι αδύνατο να γίνει χωρίς μια βαθιά κατάδυση. Όσοι δεν θέλουν να βουτήξουν στο ματάν πρέπει να ξέρουν ότι αυτή η υπόθεση σάς επιτρέπει να βρείτε γρήγορα και ανώδυνα την κατάταξη των ελλειπτικών καμπυλών και αν δεν υπήρχε αυτή η υπόθεση, τότε θα χρειαζόταν ένα φύλλο υπολογισμών για τον υπολογισμό αυτής της κατάταξης. Λοιπόν, φυσικά, πρέπει επίσης να γνωρίζετε ότι η απόδειξη αυτής της υπόθεσης θα σας πλουτίσει κατά ένα εκατομμύριο δολάρια.

Πρέπει να σημειωθεί ότι έχει ήδη σημειωθεί πρόοδος σχεδόν σε όλους τους τομείς, ενώ έχουν αποδειχθεί ακόμη και περιπτώσεις για μεμονωμένα παραδείγματα. Επομένως, δεν πρέπει να διστάσετε, διαφορετικά θα αποδειχθεί όπως με το θεώρημα του Φερμά, το οποίο υπέκυψε στον Andrew Wiles μετά από περισσότερους από 3 αιώνες το 1994 και του έφερε το βραβείο Abel και περίπου 6 εκατομμύρια νορβηγικές κορώνες (50 εκατομμύρια ρούβλια με τη σημερινή ισοτιμία ).