Πολλαπλασιασμός συνηθισμένα κλάσματαΑς δούμε πολλές πιθανές επιλογές.
Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κλάσμα
Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση στην οποία πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων.
Προς την πολλαπλασιάζω κλάσμα προς κλάσμα, απαραίτητη:
- πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον αριθμητή του νέου κλάσματος.
- πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον παρονομαστή του νέου κλάσματος.
- Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
- Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Πριν πολλαπλασιάσεις αριθμητές και παρονομαστές, ελέγξτε αν τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν. Η μείωση των κλασμάτων στους υπολογισμούς θα κάνει τους υπολογισμούς σας πολύ πιο εύκολους.
Πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό αριθμό
Για να γίνει ένα κλάσμα πολλαπλασιάστε με έναν φυσικό αριθμόΠρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή του κλάσματος.
Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, μην ξεχάσετε να το μετατρέψετε σε μικτό αριθμό, δηλαδή να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος.
Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών
Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.
Ένας άλλος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό
Μερικές φορές, όταν κάνετε υπολογισμούς, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός κοινού κλάσματος με έναν αριθμό.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.
Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, αυτή η έκδοση του κανόνα είναι πιο βολική στη χρήση εάν ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό χωρίς υπόλοιπο.
Πράξεις με κλάσματα
Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι προσθήκης κλασμάτων:
Αρχικά, ας μάθουμε την πρόσθεση κλασμάτων με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:
Παράδειγμα 2.Προσθέστε κλάσματα και .
Και πάλι, αθροίζουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:
Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Όταν έρθει το τέλος της εργασίας, είναι συνηθισμένο να απαλλαγούμε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του. Στην περίπτωσή μας, ολόκληρο το μέρος απομονώνεται εύκολα - δύο διαιρούνται με δύο ίσον ένα:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:
Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .
Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα πάρετε πίτσα:
Παράδειγμα 4.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
- Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της.
- Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
- Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα.
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
- Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
- Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα του.
- Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
- Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Τώρα ας μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.
Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν αμέσως, αφού αυτά τα κλάσματα διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο μία από αυτές, αφού οι άλλες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.
Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι πρώτα αναζητούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος για να ληφθεί ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.
Στη συνέχεια, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1. Ας προσθέσουμε τα κλάσματα και
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6
LCM (2 και 3) = 6
Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λάβετε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.
Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, κάντε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώστε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.
Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος επιπλέον πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:
Τώρα τα έχουμε όλα έτοιμα για προσθήκη. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Αυτό συμπληρώνει το παράδειγμα. Αποδεικνύεται να προσθέσετε .
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσα σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο μιας πίτσας:
Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τα ίδια κομμάτια πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).
Το πρώτο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι), και το δεύτερο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Προσθέτοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι ακατάλληλο, οπότε τονίσαμε ολόκληρο το μέρος του. Ως αποτέλεσμα, πήραμε (μία ολόκληρη πίτσα και μια άλλη έκτη πίτσα).
Σημειώστε ότι έχουμε περιγράψει αυτό το παράδειγμαπολύ λεπτομερής. ΣΕ Εκπαιδευτικά ιδρύματαΔεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόση λεπτομέρεια. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν με τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:
Αλλά υπάρχει επίσης πίσω πλευράμετάλλια. Εάν δεν κρατάτε λεπτομερείς σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε αρχίζουν να εμφανίζονται ερωτήσεις αυτού του είδους. «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.
Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
.
Ας χρησιμοποιήσουμε το διάγραμμα που δώσαμε παραπάνω.
Βήμα 1. Βρείτε το LCM για τους παρονομαστές των κλασμάτων
Βρείτε το LCM για τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4. Πρέπει να βρείτε το LCM για αυτούς τους αριθμούς:
Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Τον γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους
Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέστε το:
Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν χωράει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή της νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.
Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε επισημάνετε ολόκληρο το μέρος του
Η απάντησή μας αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να αναδείξουμε ένα ολόκληρο κομμάτι του. Τονίζουμε:
Λάβαμε απάντηση
Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:
Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο. Ας το κάνουμε:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο:
Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:
Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εάν το παράδειγμα συμπληρωθεί, τότε συνηθίζεται να απαλλαγούμε από το ακατάλληλο κλάσμα. Ας απαλλαγούμε από το ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση. Για να το κάνουμε αυτό, ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα του:
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα επειδή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά δεν μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το δεύτερο κλάσμα.
Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1.Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
Πρώτα βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12
LCM (3 και 4) = 12
Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράψτε ένα τέσσερα πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τρία στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα είμαστε έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Λάβαμε απάντηση
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Αν κόψεις πίτσα από πίτσα, παίρνεις πίτσα
Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα πιο σύντομα. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:
Η αναγωγή των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν σε ίσα μερίδια (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):
Η πρώτη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα), και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.
Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ας βρούμε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:
Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.
Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:
Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα κανονικό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα ήταν απαραίτητο να γίνει πιο απλό και πιο όμορφο αισθητικά. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να συντομεύσετε αυτό το κλάσμα. Θυμηθείτε ότι η μείωση ενός κλάσματος είναι η διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςαριθμητής και παρονομαστής.
Για να μειώσετε σωστά ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 20 και 30.
Το GCD δεν πρέπει να συγχέεται με το NOC. Το πιο συνηθισμένο λάθος πολλών αρχαρίων. Ο GCD είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης. Το βρίσκουμε να μειώνει ένα κλάσμα.
Και το LCM είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο. Το βρίσκουμε για να φέρουμε κλάσματα στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Τώρα θα βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 20 και 30.
Έτσι, βρίσκουμε το GCD για τους αριθμούς 20 και 30:
GCD (20 και 30) = 10
Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 10:
Λάβαμε μια όμορφη απάντηση
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε ένα κλάσμα με τον αριθμό 1.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1
Η ηχογράφηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως η λήψη μισού χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα μια φορά, θα πάρετε πίτσα
Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο παράγοντας ανταλλάσσονται, το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος λειτουργεί:
Αυτός ο συμβολισμός μπορεί να γίνει κατανοητός ως λήψη του μισού του ενός. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε 4 πίτσες, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες
Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή, παίρνουμε την έκφραση . Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το τμήμα της.
Παράδειγμα 1.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Λάβαμε απάντηση. Συνιστάται να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:
Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:
Θα φτιάξουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει η πίτσα όταν χωρίζεται σε τρία μέρη:
Ένα κομμάτι αυτής της πίτσας και τα δύο κομμάτια που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:
Με άλλα λόγια, μιλάμε γιαπερίπου στο ίδιο μέγεθος πίτσα. Επομένως η αξία της έκφρασης είναι
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:
Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Η απάντηση αποδείχθηκε κανονικό κλάσμα, αλλά καλό θα ήταν να συντομευόταν. Για να μειωθεί αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρεθεί με το gcd του αριθμητή και του παρονομαστή. Λοιπόν, ας βρούμε το gcd των αριθμών 105 και 450:
Το GCD για (105 και 150) είναι 15
Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας με το gcd:
Αναπαράσταση ακέραιου αριθμού ως κλάσμα
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Αυτό δεν θα αλλάξει την έννοια του πέντε, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα" και αυτό, όπως γνωρίζουμε, είναι ίσο με πέντε:
Αμοιβαίοι αριθμοί
Τώρα θα εξοικειωθούμε με πολύ ενδιαφέρον θέμαστα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».
Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμό ένα είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με ένα δίνει ένα.
Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για τη μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:
Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει ένα.
Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό. Ας φανταστούμε το πέντε ως κλάσμα:
Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάστε ένα κλάσμα από μόνο του, μόνο ανάποδα:
Τι θα συμβεί ως αποτέλεσμα αυτού; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:
Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν πολλαπλασιάσετε το 5 με το παίρνετε ένα.
Το αντίστροφο ενός αριθμού μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.
- το αντίστροφο του 3 είναι κλάσμα
- το αντίστροφο του 4 είναι κλάσμα
Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο οποιουδήποτε άλλου κλάσματος. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αναποδογυρίστε το.
Πολλαπλασιασμός κοινών κλασμάτων
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Αφήστε να υπάρχει μέρος $\frac(1)(3)$ ενός μήλου σε ένα πιάτο. Πρέπει να βρούμε το τμήμα του $\frac(1)(2)$. Το απαιτούμενο μέρος είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων $\frac(1)(3)$ και $\frac(1)(2)$. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο κοινών κλασμάτων είναι ένα κοινό κλάσμα.
Πολλαπλασιάζοντας δύο συνηθισμένα κλάσματα
Κανόνας πολλαπλασιασμού συνηθισμένων κλασμάτων:
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με ένα κλάσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των αριθμητών των κλασμάτων που πολλαπλασιάζονται και ο παρονομαστής είναι ίσος με το γινόμενο των παρονομαστών:
Παράδειγμα 1
Εκτελέστε πολλαπλασιασμό των κοινών κλασμάτων $\frac(3)(7)$ και $\frac(5)(11)$.
Λύση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Απάντηση:$\frac(15)(77)$
Εάν ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως αποτέλεσμα ένα ανάγιμο ή ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να το απλοποιήσετε.
Παράδειγμα 2
Πολλαπλασιάστε τα κλάσματα $\frac(3)(8)$ και $\frac(1)(9)$.
Λύση.
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα αναγώσιμο κλάσμα (με βάση τη διαίρεση με $3$. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με $3$, έχουμε:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Σύντομη λύση:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Απάντηση:$\frac(1)(24).$
Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, μπορείτε να μειώσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές μέχρι να βρείτε το γινόμενο τους. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος διασπώνται σε απλούς συντελεστές, μετά τους οποίους ακυρώνονται οι επαναλαμβανόμενοι παράγοντες και βρίσκεται το αποτέλεσμα.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το γινόμενο των κλασμάτων $\frac(6)(75)$ και $\frac(15)(24)$.
Λύση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Προφανώς, ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν αριθμούς που μπορούν να μειωθούν ανά ζεύγη στους αριθμούς $2$, $3$ και $5$. Ας συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε απλούς παράγοντες και ας κάνουμε μια αναγωγή:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Απάντηση:$\frac(1)(20).$
Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, μπορείτε να εφαρμόσετε τον μεταθετικό νόμο:
Πολλαπλασιασμός κοινού κλάσματος με φυσικό αριθμό
Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός κοινού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό:
Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό είναι ένα κλάσμα στο οποίο ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο του αριθμητή του πολλαπλασιασμένου κλάσματος με τον φυσικό αριθμό και ο παρονομαστής είναι ίσος με τον παρονομαστή του πολλαπλασιασμένου κλάσματος:
όπου το $\frac(a)(b)$ είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα, το $n$ είναι ένας φυσικός αριθμός.
Παράδειγμα 4
Πολλαπλασιάστε το κλάσμα $\frac(3)(17)$ επί $4$.
Λύση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Απάντηση:$\frac(12)(17).$
Μην ξεχάσετε να ελέγξετε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με την αναγωγιμότητα του κλάσματος ή με ένα ακατάλληλο κλάσμα.
Παράδειγμα 5
Πολλαπλασιάστε το κλάσμα $\frac(7)(15)$ με τον αριθμό $3$.
Λύση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Διαιρώντας με τον αριθμό $3$) μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι το κλάσμα που προκύπτει μπορεί να μειωθεί:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Το αποτέλεσμα ήταν ένα λανθασμένο κλάσμα. Ας επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Σύντομη λύση:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Τα κλάσματα θα μπορούσαν επίσης να μειωθούν αντικαθιστώντας τους αριθμούς στον αριθμητή και στον παρονομαστή με την παραγοντοποίησή τους σε πρώτους παράγοντες. Σε αυτήν την περίπτωση, η λύση θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Απάντηση:$1\frac(2)(5).$
Όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον μεταθετικό νόμο:
Διαίρεση κλασμάτων
Η πράξη διαίρεσης είναι το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού και το αποτέλεσμά της είναι ένα κλάσμα με το οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ένα γνωστό κλάσμα για να ληφθεί το γνωστό γινόμενο δύο κλασμάτων.
Διαίρεση δύο συνηθισμένων κλασμάτων
Κανόνας για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:Προφανώς, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος που προκύπτει μπορούν να παραγοντοποιηθούν και να μειωθούν:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, από το οποίο επιλέγουμε ολόκληρο το τμήμα:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Απάντηση:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Πρόσθεση κλασμάτων.
Η πρόσθεση κλασμάτων έχει πολλές ομοιότητες με την πρόσθεση ακέραιων αριθμών. Η πρόσθεση κλασμάτων είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι πολλοί δεδομένοι αριθμοί (όροι) συνδυάζονται σε έναν αριθμό (άθροισμα), που περιέχει όλες τις μονάδες και τα κλάσματα των μονάδων των όρων.
Θα εξετάσουμε διαδοχικά τρεις περιπτώσεις:
1. Πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.
1. Πρόσθεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
Εξετάστε ένα παράδειγμα: 1/5 + 2/5.
Ας πάρουμε το τμήμα AB (Εικ. 17), το πάρουμε ως ένα και το διαιρέσουμε σε 5 ίσα μέρη, τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με το 1/5 του τμήματος AB και μέρος του ίδιου τμήματος CD θα είναι ίσο με 2/5 ΑΒ.
Από το σχέδιο είναι σαφές ότι αν πάρουμε το τμήμα AD, θα είναι ίσο με 3/5 AB. αλλά το τμήμα AD είναι ακριβώς το άθροισμα των τμημάτων AC και CD. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους και το άθροισμα που προκύπτει, βλέπουμε ότι ο αριθμητής του αθροίσματος προέκυψε προσθέτοντας τους αριθμητές των όρων και ο παρονομαστής παρέμεινε αμετάβλητος.
Από εδώ παίρνουμε επόμενος κανόνας: Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Ας προσθέσουμε τα κλάσματα: 3 / 4 + 3 / 8 Πρώτα πρέπει να μειωθούν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:
Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6/8 + 3/8 δεν μπόρεσε να γραφτεί. το γράψαμε εδώ για σαφήνεια.
Έτσι, για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να επισημάνετε τον κοινό παρονομαστή.
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα (θα γράψουμε πρόσθετους παράγοντες πάνω από τα αντίστοιχα κλάσματα):
3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.
Ας προσθέσουμε τους αριθμούς: 2 3/8 + 3 5/6.
Ας φέρουμε πρώτα τα κλασματικά μέρη των αριθμών μας σε έναν κοινό παρονομαστή και ας τα ξαναγράψουμε:
Τώρα προσθέτουμε διαδοχικά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη:
§ 88. Αφαίρεση κλασμάτων.
Η αφαίρεση των κλασμάτων ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η αφαίρεση ακέραιων αριθμών. Αυτή είναι μια ενέργεια με τη βοήθεια της οποίας, δεδομένου του αθροίσματος δύο όρων και ενός από αυτούς, βρίσκουμε έναν άλλο όρο. Ας εξετάσουμε τρεις διαδοχικές περιπτώσεις:
1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.
1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
13 / 15 - 4 / 15
Ας πάρουμε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 18), το πάρουμε ως μονάδα και το χωρίσουμε σε 15 ίσα μέρη. τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα αντιπροσωπεύει το 1/15 του AB και το μέρος AD του ίδιου τμήματος θα αντιστοιχεί στο 13/15 AB. Ας αφήσουμε στην άκρη ένα άλλο τμήμα ED ίσο με 4/15 AB.
Πρέπει να αφαιρέσουμε το κλάσμα 4/15 από το 13/15. Στο σχέδιο, αυτό σημαίνει ότι το τμήμα ED πρέπει να αφαιρεθεί από το τμήμα AD. Ως αποτέλεσμα, θα παραμείνει το τμήμα ΑΕ, το οποίο είναι τα 9/15 του τμήματος ΑΒ. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:
Το παράδειγμα που κάναμε δείχνει ότι ο αριθμητής της διαφοράς προέκυψε αφαιρώντας τους αριθμητές, αλλά ο παρονομαστής παρέμεινε ο ίδιος.
Επομένως, για να αφαιρέσετε κλάσματα με όμοιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δευτερεύοντος από τον αριθμητή του minuend και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Παράδειγμα. 3/4 - 5/8
Αρχικά, ας μειώσουμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:
Το ενδιάμεσο 6 / 8 - 5 / 8 είναι γραμμένο εδώ για λόγους σαφήνειας, αλλά μπορεί να παραλειφθεί αργότερα.
Έτσι, για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, θα πρέπει πρώτα να το μειώσετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια να αφαιρέσετε τον αριθμητή του minuend από τον αριθμητή του minuend και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά τους.
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.
Παράδειγμα. 10 3/4 - 7 2/3.
Ας μειώσουμε τα κλασματικά μέρη του minuend και του subtrahend στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:
Αφαιρέσαμε ένα σύνολο από ένα σύνολο και ένα κλάσμα από ένα κλάσμα. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που το κλασματικό μέρος του subtrahend είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του minuend. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από ολόκληρο το μέρος του minuend, να τη χωρίσετε σε εκείνα τα μέρη στα οποία εκφράζεται το κλασματικό μέρος και να την προσθέσετε στο κλασματικό μέρος του minuend. Και τότε η αφαίρεση θα γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:
§ 89. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.
Κατά τη μελέτη του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες ερωτήσεις:
1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.
3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.
4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.
7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού. Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.
1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με έναν ακέραιο. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος (πολλαπλασιαστής) με έναν ακέραιο (παράγοντα) σημαίνει να δημιουργηθεί ένα άθροισμα πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.
Αυτό σημαίνει ότι εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε το 1/9 επί 7, τότε μπορεί να γίνει ως εξής:
Λάβαμε εύκολα το αποτέλεσμα, αφού η ενέργεια περιορίστηκε στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Ως εκ τούτου,
Η εξέταση αυτής της ενέργειας δείχνει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό ισοδυναμεί με την αύξηση αυτού του κλάσματος τόσες φορές όσες υπάρχουν μονάδες στον ακέραιο αριθμό. Και αφού η αύξηση ενός κλάσματος επιτυγχάνεται είτε αυξάνοντας τον αριθμητή του
είτε με μείωση του παρονομαστή του 
, τότε μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με έναν ακέραιο είτε να διαιρέσουμε τον παρονομαστή με αυτόν, αν είναι δυνατή μια τέτοια διαίρεση.
Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο αριθμό και αφήνετε τον παρονομαστή ίδιο ή, αν είναι δυνατόν, διαιρείτε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον αριθμητή αμετάβλητο.
Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:
2. Εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε ή να υπολογίσετε μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των προβλημάτων και άλλων είναι ότι δίνουν τον αριθμό ορισμένων αντικειμένων ή μονάδων μέτρησης και πρέπει να βρείτε ένα μέρος αυτού του αριθμού, το οποίο υποδεικνύεται επίσης εδώ με ένα συγκεκριμένο κλάσμα. Για να διευκολυνθεί η κατανόηση, θα δώσουμε πρώτα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και στη συνέχεια θα εισαγάγουμε μια μέθοδο για την επίλυσή τους.
Εργασία 1.Είχα 60 ρούβλια. Ξόδεψα το 1/3 αυτών των χρημάτων για την αγορά βιβλίων. Πόσο κόστισαν τα βιβλία;
Εργασία 2.Το τρένο πρέπει να διανύσει απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β ίση με 300 km. Έχει ήδη διανύσει τα 2/3 αυτής της απόστασης. Πόσα χιλιόμετρα είναι αυτό;
Εργασία 3.Στο χωριό υπάρχουν 400 σπίτια, τα 3/4 από τούβλα, τα υπόλοιπα ξύλινα. Πόσα σπίτια από τούβλα υπάρχουν συνολικά;
Αυτά είναι μερικά από τα πολλά προβλήματα που αντιμετωπίζουμε για να βρούμε ένα μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Συνήθως ονομάζονται προβλήματα για την εύρεση του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.
Λύση στο πρόβλημα 1.Από 60 τρίψτε. Ξόδεψα το 1/3 σε βιβλία. Αυτό σημαίνει ότι για να βρείτε το κόστος των βιβλίων πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό 60 με το 3:
Επίλυση προβλήματος 2.Το θέμα του προβλήματος είναι ότι πρέπει να βρείτε τα 2/3 των 300 km. Ας υπολογίσουμε πρώτα το 1/3 του 300. Αυτό επιτυγχάνεται με διαίρεση 300 km με 3:
300: 3 = 100 (αυτό είναι το 1/3 των 300).
Για να βρείτε τα δύο τρίτα του 300, πρέπει να διπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε με το 2:
100 x 2 = 200 (δηλαδή τα 2/3 των 300).
Επίλυση προβλήματος 3.Εδώ πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των σπιτιών από τούβλα που αποτελούν τα 3/4 των 400. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 των 400,
400: 4 = 100 (αυτό είναι το 1/4 των 400).
Για να υπολογίσουμε τρία τέταρτα του 400, το πηλίκο που προκύπτει πρέπει να τριπλασιαστεί, δηλαδή να πολλαπλασιαστεί επί 3:
100 x 3 = 300 (δηλαδή τα 3/4 των 400).
Με βάση τη λύση σε αυτά τα προβλήματα, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο κανόνα:
Για να βρείτε την τιμή ενός κλάσματος από έναν δεδομένο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει με τον αριθμητή του.
3. Πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα.
Νωρίτερα (§ 26) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων θα πρέπει να νοείται ως η πρόσθεση πανομοιότυπων όρων (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Σε αυτή την παράγραφο (σημείο 1) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο σημαίνει την εύρεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων ίσου με αυτό το κλάσμα.
Και στις δύο περιπτώσεις, ο πολλαπλασιασμός συνίστατο στην εύρεση του αθροίσματος των πανομοιότυπων όρων.
Τώρα προχωράμε στον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Εδώ θα συναντήσουμε, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμό: 9 2 / 3. Είναι σαφές ότι ο προηγούμενος ορισμός του πολλαπλασιασμού δεν ισχύει για αυτήν την περίπτωση. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τέτοιο πολλαπλασιασμό προσθέτοντας ίσους αριθμούς.
Εξαιτίας αυτού, θα πρέπει να δώσουμε έναν νέο ορισμό του πολλαπλασιασμού, δηλαδή, με άλλα λόγια, να απαντήσουμε στο ερώτημα τι πρέπει να γίνει κατανοητό από τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, πώς θα πρέπει να γίνει κατανοητή αυτή η ενέργεια.
Η έννοια του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα είναι ξεκάθαρη από τον ακόλουθο ορισμό: πολλαπλασιάζοντας έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) με ένα κλάσμα (πολλαπλασιαστής) σημαίνει την εύρεση αυτού του κλάσματος του πολλαπλασιαστή.
Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 9 με 2/3 σημαίνει ότι βρίσκουμε τα 2/3 των εννέα μονάδων. ΣΕ προηγούμενη παράγραφοΤέτοια προβλήματα επιλύθηκαν. οπότε είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι θα καταλήξουμε με 6.
Τώρα όμως τίθεται ένα ενδιαφέρον και σημαντικό ερώτημα: γιατί είναι τέτοια διάφορες δράσειςΠώς είναι η εύρεση του αθροίσματος ίσων αριθμών και η εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού που ονομάζεται με την ίδια λέξη «πολλαπλασιασμός» στην αριθμητική;
Αυτό συμβαίνει επειδή η προηγούμενη ενέργεια (επανάληψη ενός αριθμού με όρους πολλές φορές) και η νέα ενέργεια (εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού) δίνουν απαντήσεις σε ομοιογενείς ερωτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι προχωράμε εδώ από το σκεπτικό ότι ομοιογενείς ερωτήσεις ή εργασίες επιλύονται με την ίδια ενέργεια.
Για να το κατανοήσετε αυτό, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν 4 μέτρα τέτοιου υφάσματος;
Αυτό το πρόβλημα επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (4), δηλαδή 50 x 4 = 200 (ρούβλια).
Ας πάρουμε το ίδιο πρόβλημα, αλλά σε αυτό η ποσότητα του υφάσματος θα εκφραστεί ως κλάσμα: «1 μέτρο υφάσματος κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν τα 3/4 m τέτοιου υφάσματος;»
Αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να λυθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (3/4).
Μπορείτε να αλλάξετε τους αριθμούς σε αυτό αρκετές φορές, χωρίς να αλλάξετε την έννοια του προβλήματος, για παράδειγμα, πάρτε 9/10 m ή 2 3/10 m, κ.λπ.
Δεδομένου ότι αυτά τα προβλήματα έχουν το ίδιο περιεχόμενο και διαφέρουν μόνο σε αριθμούς, ονομάζουμε τις ενέργειες που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους ίδια λέξη - πολλαπλασιασμός.
Πώς πολλαπλασιάζεις έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα;
Ας πάρουμε τους αριθμούς που συναντήθηκαν στο τελευταίο πρόβλημα:
Σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να βρούμε τα 3/4 του 50. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 του 50 και μετά το 3/4.
Το 1/4 του 50 είναι 50/4.
Τα 3/4 του αριθμού 50 είναι .
Ως εκ τούτου.
Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα: 12 5 / 8 =?
Το 1/8 του αριθμού 12 είναι 12/8,
Τα 5/8 του αριθμού 12 είναι .
Ως εκ τούτου,
Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:
Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο αριθμό με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος ως παρονομαστή.
Ας γράψουμε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:
Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38
Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι πριν εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να κάνετε (αν είναι δυνατόν) μειώσεις, Για παράδειγμα:
4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα, δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να βρείτε το κλάσμα που βρίσκεται στον παράγοντα από το πρώτο κλάσμα (ο πολλαπλασιαστής).
Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 3/4 με το 1/2 (μισό) σημαίνει ότι βρίσκουμε το μισό του 3/4.
Πώς πολλαπλασιάζεις ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;
Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: 3/4 πολλαπλασιασμένο επί 5/7. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τα 5/7 των 3/4. Ας βρούμε πρώτα το 1/7 του 3/4 και μετά το 5/7
Το 1/7 του αριθμού 3/4 θα εκφράζεται ως εξής:
Οι αριθμοί 5/7 3/4 θα εκφραστούν ως εξής:
Ετσι,
Ένα άλλο παράδειγμα: 5/8 πολλαπλασιασμένο επί 4/9.
Το 1/9 της 5/8 είναι ,
Τα 4/9 του αριθμού 5/8 είναι .
Ετσι, 
Από αυτά τα παραδείγματα μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας:
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο γινόμενο παρονομαστή του γινομένου.
Αυτός είναι ο κανόνας σε γενική εικόναμπορεί να γραφτεί ως εξής:
Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι απαραίτητο να γίνουν (αν είναι δυνατόν) μειώσεις. Ας δούμε παραδείγματα:
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.Δεδομένου ότι οι μικτοί αριθμοί μπορούν εύκολα να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα, αυτή η περίσταση χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι σε περιπτώσεις όπου εκφράζεται ο πολλαπλασιαστής ή ο πολλαπλασιαστής ή και οι δύο παράγοντες μικτούς αριθμούς, τότε αντικαθίστανται από ακατάλληλα κλάσματα. Ας πολλαπλασιάσουμε, για παράδειγμα, μεικτούς αριθμούς: 2 1/2 και 3 1/5. Ας μετατρέψουμε καθένα από αυτά σε ένα ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:
Κανόνας.Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να τους πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων με τα κλάσματα.
Σημείωση.Εάν ένας από τους παράγοντες είναι ακέραιος, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τον νόμο κατανομής ως εξής:
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.Όταν λύνουμε προβλήματα και εκτελούμε διάφορους πρακτικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε όλα τα είδη κλασμάτων. Αλλά πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι πολλές ποσότητες επιτρέπουν όχι οποιεσδήποτε, αλλά φυσικές διαιρέσεις γι 'αυτούς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε το ένα εκατοστό (1/100) του ρουβλίου, θα είναι καπίκια, τα δύο εκατοστά είναι 2 καπίκια, τα τρία εκατοστά είναι 3 καπίκια. Μπορείτε να πάρετε το 1/10 του ρουβλίου, θα είναι "10 καπίκια, ή ένα κομμάτι δέκα καπίκων. Μπορείτε να πάρετε το ένα τέταρτο του ρουβλίου, δηλαδή 25 καπίκια, μισό ρούβλι, δηλ. 50 καπίκια (πενήντα καπίκια). Αλλά πρακτικά δεν το παίρνουν, για παράδειγμα, τα 2/7 του ρούβλι επειδή το ρούβλι δεν χωρίζεται σε έβδομα.
Η μονάδα βάρους, δηλαδή το κιλό, επιτρέπει πρωτίστως τις δεκαδικές διαιρέσεις, για παράδειγμα 1/10 kg ή 100 g. Και τέτοια κλάσματα ενός κιλού όπως 1/6, 1/11, 1/13 δεν είναι κοινά.
Γενικά, τα (μετρικά) μέτρα μας είναι δεκαδικά και επιτρέπουν δεκαδικές διαιρέσεις.
Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμο και βολικό σε μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων να χρησιμοποιείται η ίδια (ομοιόμορφη) μέθοδος υποδιαίρεσης ποσοτήτων. Η πολυετής πείρα έχει δείξει ότι μια τόσο δικαιολογημένη διαίρεση είναι η «εκατοστή». Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα που σχετίζονται με τους πιο διαφορετικούς τομείς της ανθρώπινης πρακτικής.
1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12/100 της προηγούμενης τιμής.
Παράδειγμα. Η προηγούμενη τιμή του βιβλίου ήταν 10 ρούβλια. Μειώθηκε κατά 1 ρούβλι. 20 καπίκια
2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν στους καταθέτες τα 2/100 του ποσού που κατατέθηκε για αποταμίευση κατά τη διάρκεια του έτους.
Παράδειγμα. 500 ρούβλια κατατίθενται στο ταμείο, το εισόδημα από αυτό το ποσό για το έτος είναι 10 ρούβλια.
3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5/100 του συνόλου των μαθητών.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στο σχολείο φοιτούσαν μόνο 1.200 μαθητές, εκ των οποίων οι 60 αποφοίτησαν.
Το εκατοστό μέρος ενός αριθμού ονομάζεται ποσοστό.
Η λέξη «τοις εκατό» είναι δανεισμένη από τα λατινικά και η ρίζα της «cent» σημαίνει εκατό. Μαζί με την πρόθεση (pro centum), αυτή η λέξη σημαίνει "για εκατό". Το νόημα μιας τέτοιας έκφρασης προκύπτει από το γεγονός ότι αρχικά στο αρχαία Ρώμητόκοι ήταν τα χρήματα που πλήρωνε ο οφειλέτης στον δανειστή «για κάθε εκατό». Η λέξη "cent" ακούγεται με τόσο γνωστές λέξεις: centner (εκατό κιλά), εκατοστό (ας πούμε εκατοστό).
Για παράδειγμα, αντί να πούμε ότι τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το 1/100 όλων των προϊόντων που παρήγαγε ήταν ελαττωματικά, θα πούμε το εξής: τον περασμένο μήνα το εργοστάσιο παρήγαγε το ένα τοις εκατό των ελαττωμάτων. Αντί να πούμε: το εργοστάσιο παρήγαγε 4/100 περισσότερα προϊόντα από το καθορισμένο σχέδιο, θα πούμε: το εργοστάσιο υπερέβη το σχέδιο κατά 4 τοις εκατό.
Τα παραπάνω παραδείγματα μπορούν να εκφραστούν διαφορετικά:
1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12 τοις εκατό της προηγούμενης τιμής.
2. Τα ταμιευτήρια πληρώνουν στους καταθέτες 2 τοις εκατό ετησίως επί του ποσού που κατατίθεται σε ταμιευτήριο.
3. Ο αριθμός των αποφοίτων από ένα σχολείο ήταν 5 τοις εκατό όλων των μαθητών του σχολείου.
Για να συντομεύσετε το γράμμα, είναι συνηθισμένο να γράφετε το σύμβολο % αντί της λέξης "ποσοστό".
Ωστόσο, πρέπει να θυμάστε ότι στους υπολογισμούς το σύμβολο % συνήθως δεν γράφεται· μπορεί να γραφτεί στη δήλωση προβλήματος και στο τελικό αποτέλεσμα. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα με παρονομαστή 100 αντί για έναν ακέραιο αριθμό με αυτό το σύμβολο.
Πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο εικονίδιο με ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:
Αντίθετα, πρέπει να συνηθίσετε να γράφετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο σύμβολο αντί για ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:
7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού.
Εργασία 1.Το σχολείο έλαβε 200 κυβικά μέτρα. m καυσόξυλα, με τα καυσόξυλα σημύδας να αντιπροσωπεύουν το 30%. Πόσα καυσόξυλα σημύδας υπήρχαν;
Το νόημα αυτού του προβλήματος είναι ότι τα καυσόξυλα σημύδας αποτελούσαν μόνο μέρος των καυσόξυλων που παραδόθηκαν στο σχολείο και αυτό το μέρος εκφράζεται στο κλάσμα 30/100. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε καθήκον να βρούμε ένα κλάσμα ενός αριθμού. Για να το λύσουμε, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 200 με το 30/100 (τα προβλήματα εύρεσης του κλάσματος ενός αριθμού λύνονται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με το κλάσμα.).
Αυτό σημαίνει ότι το 30% των 200 ισούται με 60.
Το κλάσμα 30/100 που συναντάται σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί κατά 10. Θα ήταν δυνατό να γίνει αυτή η μείωση από την αρχή. η λύση του προβλήματος δεν θα είχε αλλάξει.
Εργασία 2.Στην κατασκήνωση βρίσκονταν 300 παιδιά διαφόρων ηλικιών. Τα παιδιά 11 ετών αποτελούσαν το 21%, τα παιδιά 12 ετών το 61% και τέλος τα παιδιά 13 ετών το 18%. Πόσα παιδιά κάθε ηλικίας υπήρχαν στην κατασκήνωση;
Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να εκτελέσετε τρεις υπολογισμούς, δηλαδή να βρείτε διαδοχικά τον αριθμό των παιδιών ηλικίας 11 ετών, μετά 12 ετών και τέλος 13 ετών.
Αυτό σημαίνει ότι εδώ θα χρειαστεί να βρείτε το κλάσμα του αριθμού τρεις φορές. Ας το κάνουμε:
1) Πόσα παιδιά 11 ετών ήταν εκεί;
2) Πόσα παιδιά 12 ετών ήταν εκεί;
3) Πόσα παιδιά 13 ετών ήταν εκεί;
Μετά την επίλυση του προβλήματος, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν. Το άθροισμά τους πρέπει να είναι 300:
63 + 183 + 54 = 300
Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι το άθροισμα των ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος είναι 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Αυτό υποδηλώνει ότι ο συνολικός αριθμός των παιδιών στην κατασκήνωση λήφθηκε ως 100%.
3 η η και η ώρα 3.Ο εργαζόμενος λάμβανε 1.200 ρούβλια το μήνα. Από αυτό ξόδεψε το 65% σε τρόφιμα, το 6% σε διαμερίσματα και θέρμανση, το 4% σε φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο, 10% σε πολιτιστικές ανάγκες και 15% εξοικονόμησε. Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για τις ανάγκες που αναφέρονται στην εργασία;
Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα πρέπει να βρείτε το κλάσμα του 1.200 5 φορές. Ας το κάνουμε αυτό.
1) Πόσα χρήματα ξοδεύτηκαν για φαγητό; Το πρόβλημα λέει ότι αυτή η δαπάνη είναι το 65% των συνολικών κερδών, δηλαδή 65/100 του αριθμού 1.200. Ας κάνουμε τον υπολογισμό:
2) Πόσα χρήματα πλήρωσες για ένα διαμέρισμα με θέρμανση; Συλλογίζοντας παρόμοια με την προηγούμενη, καταλήγουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:
3) Πόσα χρήματα πληρώσατε για φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο;
4) Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για πολιτιστικές ανάγκες;
5) Πόσα χρήματα εξοικονόμησε ο εργάτης;
Για να ελέγξετε, είναι χρήσιμο να αθροίσετε τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτές τις 5 ερωτήσεις. Το ποσό πρέπει να είναι 1.200 ρούβλια. Όλα τα κέρδη λαμβάνονται ως 100%, το οποίο είναι εύκολο να ελεγχθεί αθροίζοντας τους αριθμούς ποσοστών που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.
Επιλύσαμε τρία προβλήματα. Παρά το γεγονός ότι αυτά τα προβλήματα αντιμετώπιζαν διαφορετικά πράγματα (παράδοση καυσόξυλων για το σχολείο, αριθμός παιδιών διαφορετικών ηλικιών, έξοδα του εργάτη), λύθηκαν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συνέβη επειδή σε όλα τα προβλήματα ήταν απαραίτητο να βρούμε αρκετά τοις εκατό των δεδομένων αριθμών.
§ 90. Διαίρεση κλασμάτων.
Καθώς μελετάμε τη διαίρεση των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:
1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.
2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό
3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.
4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.
7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.
Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.
1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.
Όπως αναφέρθηκε στο τμήμα των ακεραίων, διαίρεση είναι η ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι, δεδομένου του γινόμενου δύο παραγόντων (μέρισμα) και ενός από αυτούς τους παράγοντες (διαιρέτης), βρίσκεται ένας άλλος παράγοντας.
Εξετάσαμε τη διαίρεση ενός ακέραιου με έναν ακέραιο στην ενότητα για τους ακέραιους αριθμούς. Συναντήσαμε δύο περιπτώσεις διαίρεσης εκεί: διαίρεση χωρίς υπόλοιπο ή «εν όλω» (150: 10 = 15) και διαίρεση με υπόλοιπο (100: 9 = 11 και 1 υπόλοιπο). Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι στο πεδίο των ακεραίων η ακριβής διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατή, γιατί το μέρισμα δεν είναι πάντα το γινόμενο του διαιρέτη με τον ακέραιο. Αφού εισαγάγουμε τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε πιθανή οποιαδήποτε περίπτωση διαίρεσης ακεραίων (αποκλείεται μόνο η διαίρεση με το μηδέν).
Για παράδειγμα, η διαίρεση του 7 με το 12 σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού του οποίου το γινόμενο με το 12 θα ήταν ίσο με 7. Ένας τέτοιος αριθμός είναι το κλάσμα 7 / 12 επειδή 7 / 12 12 = 7. Ένα άλλο παράδειγμα: 14: 25 = 14 / 25, επειδή 14 / 25 25 = 14.
Έτσι, για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να δημιουργήσετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το μέρισμα και ο παρονομαστής ίσος με τον διαιρέτη.
2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
Διαιρέστε το κλάσμα 6 / 7 με 3. Σύμφωνα με τον ορισμό της διαίρεσης που δόθηκε παραπάνω, έχουμε εδώ το γινόμενο (6 / 7) και έναν από τους παράγοντες (3). Απαιτείται να βρεθεί ένας δεύτερος παράγοντας που, όταν πολλαπλασιαζόταν με το 3, θα έδινε στο δεδομένο γινόμενο 6/7. Προφανώς, θα πρέπει να είναι τρεις φορές μικρότερο από αυτό το προϊόν. Αυτό σημαίνει ότι η εργασία που τέθηκε μπροστά μας ήταν να μειώσουμε το κλάσμα 6/7 κατά 3 φορές.
Γνωρίζουμε ήδη ότι η αναγωγή ενός κλάσματος μπορεί να γίνει είτε μειώνοντας τον αριθμητή του είτε αυξάνοντας τον παρονομαστή του. Επομένως, μπορείτε να γράψετε:
Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής 6 διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμητής πρέπει να μειωθεί κατά 3 φορές.
Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα: 5 / 8 διαιρούμενο με 2. Εδώ ο αριθμητής 5 δεν διαιρείται με το 2, πράγμα που σημαίνει ότι ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό:
Με βάση αυτό, μπορεί να γίνει ένας κανόνας: Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον ακέραιο αριθμό.(αν είναι δυνατόν), αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή ή πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον ίδιο αριθμητή.
3. Διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα.
Ας είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε το 5 με το 1/2, δηλαδή να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 1/2, θα δώσει το γινόμενο 5. Προφανώς, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος του 5, αφού το 1/2 είναι σωστό κλάσμα , και κατά τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού το γινόμενο ενός σωστού κλάσματος πρέπει να είναι μικρότερο από το γινόμενο που πολλαπλασιάζεται. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, ας γράψουμε τις ενέργειές μας ως εξής: 5: 1 / 2 = Χ , που σημαίνει x 1 / 2 = 5.
Πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό Χ , το οποίο, αν πολλαπλασιαζόταν με το 1/2, θα έδινε 5. Εφόσον πολλαπλασιάζοντας έναν ορισμένο αριθμό με το 1/2 σημαίνει βρίσκοντας το 1/2 αυτού του αριθμού, τότε, επομένως, το 1/2 του αγνώστου αριθμού Χ ισούται με 5 και ακέραιος αριθμός Χ διπλάσια, δηλαδή 5 2 = 10.
Άρα 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Ας ελέγξουμε: 
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε το 6 με τα 2/3. Ας προσπαθήσουμε πρώτα να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το σχέδιο (Εικ. 19).
Εικ.19
Ας σχεδιάσουμε ένα τμήμα ΑΒ ίσο με 6 μονάδες και διαιρούμε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Σε κάθε μονάδα, τα τρία τρίτα (3/3) ολόκληρου του τμήματος ΑΒ είναι 6 φορές μεγαλύτερα, δηλ. ε. 18/3. Χρησιμοποιώντας μικρές αγκύλες, συνδέουμε τα 18 προκύπτοντα τμήματα των 2. Θα υπάρχουν μόνο 9 τμήματα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 2/3 περιέχεται σε 6 μονάδες 9 φορές, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα 2/3 είναι 9 φορές μικρότερο από 6 ολόκληρες μονάδες. Ως εκ τούτου,
Πώς να πάρετε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς σχέδιο χρησιμοποιώντας μόνο υπολογισμούς; Ας σκεφτούμε ως εξής: πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με τα 2/3, δηλαδή πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση πόσες φορές το 2/3 περιέχεται στο 6. Ας μάθουμε πρώτα: πόσες φορές το 1/3 περιέχεται στο 6; Σε μια ολόκληρη μονάδα υπάρχουν 3 τρίτα, και σε 6 μονάδες υπάρχουν 6 φορές περισσότερα, δηλαδή 18 τρίτα. για να βρούμε αυτόν τον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 6 με το 3. Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 περιέχεται σε μονάδες b 18 φορές, και το 2/3 περιέχεται σε μονάδες b όχι 18 φορές, αλλά το μισό φορές, δηλαδή 18: 2 = 9 Επομένως, όταν διαιρούμε το 6 με τα 2/3 έχουμε συμπληρώσει τις ακόλουθες ενέργειες:
Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Για να διαιρέσετε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον ακέραιο αριθμό με τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος και, κάνοντας αυτό το γινόμενο αριθμητή, να τον διαιρέσετε με τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος.
Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:
Για να γίνει αυτός ο κανόνας εντελώς σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38. Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος ελήφθη εκεί.
Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:
4. Διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 3/4 με το 3/8. Τι θα σημαίνει ο αριθμός που προκύπτει από τη διαίρεση; Θα απαντήσει στο ερώτημα πόσες φορές το κλάσμα 3/8 περιέχεται στο κλάσμα 3/4. Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 20).
Ας πάρουμε ένα τμήμα ΑΒ, το πάρουμε ως ένα, το χωρίσουμε σε 4 ίσα μέρη και σημαδέψουμε 3 τέτοια μέρη. Το τμήμα AC θα είναι ίσο με τα 3/4 του τμήματος AB. Ας διαιρέσουμε τώρα καθένα από τα τέσσερα αρχικά τμήματα στο μισό, τότε το τμήμα ΑΒ θα χωριστεί σε 8 ίσα μέρη και κάθε τέτοιο τμήμα θα είναι ίσο με το 1/8 του τμήματος ΑΒ. Ας συνδέσουμε 3 τέτοια τμήματα με τόξα, τότε κάθε ένα από τα τμήματα AD και DC θα είναι ίσο με τα 3/8 του τμήματος AB. Το σχέδιο δείχνει ότι ένα τμήμα ίσο με 3/8 περιέχεται σε ένα τμήμα ίσο με 3/4 ακριβώς 2 φορές. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 15/16 με το 3/32:
Μπορούμε να συλλογιστούμε ως εξής: πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 3/32, θα δώσει γινόμενο ίσο με 15/16. Ας γράψουμε τους υπολογισμούς ως εξής:
15 / 16: 3 / 32 = Χ
3 / 32 Χ = 15 / 16
3/32 άγνωστος αριθμός Χ είναι 15/16
1/32 άγνωστου αριθμού Χ είναι ,
32 / 32 αριθμοί Χ μακιγιάζ .
Ως εκ τούτου,
Έτσι, για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή, και το δεύτερο ο παρονομαστής.
Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:
Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
Κατά τη διαίρεση μικτών αριθμών, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τους κανόνες διαίρεσης κλασματικοί αριθμοί. Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Ας μετατρέψουμε τους μικτούς αριθμούς σε ακατάλληλα κλάσματα:
Τώρα ας χωρίσουμε:
Έτσι, για να διαιρέσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων.
6. Βρίσκοντας έναν αριθμό από το δοσμένο κλάσμα του.
Μεταξύ των διαφόρων προβλημάτων κλασμάτων, μερικές φορές υπάρχουν και εκείνα στα οποία δίνεται η τιμή κάποιου κλάσματος ενός άγνωστου αριθμού και πρέπει να βρείτε αυτόν τον αριθμό. Αυτός ο τύπος προβλήματος θα είναι το αντίστροφο του προβλήματος της εύρεσης του κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού. εκεί δόθηκε ένας αριθμός και απαιτήθηκε να βρεθεί κάποιο κλάσμα αυτού του αριθμού, εδώ δόθηκε ένα κλάσμα ενός αριθμού και έπρεπε να βρεθεί αυτός ο ίδιος ο αριθμός. Αυτή η ιδέα θα γίνει ακόμη πιο ξεκάθαρη αν στραφούμε στην επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος.
Εργασία 1.Την πρώτη μέρα οι υαλοπίνακες τζάμιασαν 50 παράθυρα, δηλαδή το 1/3 όλων των παραθύρων του χτισμένου σπιτιού. Πόσα παράθυρα υπάρχουν σε αυτό το σπίτι;
Λύση.Το πρόβλημα λέει ότι 50 τζάμια αποτελούν το 1/3 όλων των παραθύρων του σπιτιού, που σημαίνει ότι υπάρχουν 3 φορές περισσότερα παράθυρα συνολικά, δηλ.
Το σπίτι είχε 150 παράθυρα.
Εργασία 2.Το κατάστημα πούλησε 1.500 κιλά αλεύρι, δηλαδή τα 3/8 του συνολικού αποθέματος αλευριού που είχε το κατάστημα. Ποια ήταν η αρχική προσφορά του μαγαζιού σε αλεύρι;
Λύση.Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι τα 1.500 κιλά αλεύρι που πωλούνται αποτελούν τα 3/8 του συνολικού αποθέματος. Αυτό σημαίνει ότι το 1/8 αυτού του αποθεματικού θα είναι 3 φορές λιγότερο, δηλαδή για να το υπολογίσετε πρέπει να μειώσετε το 1500 κατά 3 φορές:
1.500: 3 = 500 (αυτό είναι το 1/8 του αποθεματικού).
Προφανώς, ολόκληρη η προσφορά θα είναι 8 φορές μεγαλύτερη. Ως εκ τούτου,
500 8 = 4.000 (κιλά).
Το αρχικό απόθεμα αλευριού στο κατάστημα ήταν 4.000 κιλά.
Από την εξέταση αυτού του προβλήματος, μπορεί να προκύψει ο ακόλουθος κανόνας.
Για να βρείτε έναν αριθμό από μια δεδομένη τιμή του κλάσματός του, αρκεί να διαιρέσετε αυτή την τιμή με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος.
Επιλύσαμε δύο προβλήματα σχετικά με την εύρεση ενός αριθμού με βάση το κλάσμα του. Τέτοια προβλήματα, όπως φαίνεται ξεκάθαρα από το τελευταίο, λύνονται με δύο ενέργειες: διαίρεση (όταν βρεθεί ένα μέρος) και πολλαπλασιασμός (όταν βρεθεί ο ακέραιος αριθμός).
Ωστόσο, αφού μάθουμε τη διαίρεση των κλασμάτων, τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να λυθούν με μία ενέργεια, δηλαδή: διαίρεση με κλάσμα.
Για παράδειγμα, η τελευταία εργασία μπορεί να λυθεί με μια ενέργεια ως εξής:
Στο μέλλον, θα λύσουμε προβλήματα εύρεσης ενός αριθμού από το κλάσμα του με μία ενέργεια - διαίρεση.
7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.
Σε αυτά τα προβλήματα θα χρειαστεί να βρείτε έναν αριθμό που γνωρίζει μερικά τοις εκατό αυτού του αριθμού.
Εργασία 1.Στις αρχές αυτού του έτους έλαβα 60 ρούβλια από το ταμιευτήριο. εισόδημα από το ποσό που έβαλα σε αποταμιεύσεις πριν από ένα χρόνο. Πόσα χρήματα έχω βάλει στο ταμιευτήριο; (Τα ταμεία δίνουν στους καταθέτες απόδοση 2% ετησίως.)
Το θέμα του προβλήματος είναι ότι έβαλα ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό σε ένα ταμιευτήριο και έμεινα εκεί για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο, έλαβα 60 ρούβλια από αυτήν. εισόδημα, που είναι τα 2/100 των χρημάτων που κατέθεσα. Πόσα χρήματα έβαλα;
Κατά συνέπεια, γνωρίζοντας μέρος αυτών των χρημάτων, που εκφράζεται με δύο τρόπους (σε ρούβλια και κλάσματα), πρέπει να βρούμε ολόκληρο το, άγνωστο ακόμη, ποσό. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο πρόβλημα εύρεσης ενός αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του. Τα παρακάτω προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:
Αυτό σημαίνει ότι κατατέθηκαν 3.000 ρούβλια στο ταμιευτήριο.
Εργασία 2.Οι ψαράδες εκπλήρωσαν το μηνιαίο πρόγραμμα κατά 64% σε δύο εβδομάδες, συγκομίζοντας 512 τόνους ψαριών. Ποιο ήταν το σχέδιο τους;
Από τις συνθήκες του προβλήματος γίνεται γνωστό ότι οι ψαράδες ολοκλήρωσαν μέρος του σχεδίου. Το τμήμα αυτό ισούται με 512 τόνους, που είναι το 64% του σχεδίου. Δεν γνωρίζουμε πόσοι τόνοι ψαριών πρέπει να προετοιμαστούν σύμφωνα με το σχέδιο. Η εύρεση αυτού του αριθμού θα είναι η λύση στο πρόβλημα.
Τέτοια προβλήματα επιλύονται με διαίρεση:
Αυτό σημαίνει ότι σύμφωνα με το σχέδιο πρέπει να προετοιμαστούν 800 τόνοι ψαριών.
Εργασία 3.Το τρένο πήγε από τη Ρίγα στη Μόσχα. Όταν πέρασε το 276ο χιλιόμετρο, ένας από τους επιβάτες ρώτησε έναν διερχόμενο αγωγό πόσο από το ταξίδι είχαν ήδη διανύσει. Σε αυτό ο μαέστρος απάντησε: «Έχουμε ήδη καλύψει το 30% ολόκληρου του ταξιδιού». Ποια είναι η απόσταση Μόσχα - Ρίγα;
Από τις προβληματικές συνθήκες είναι σαφές ότι το 30% της διαδρομής από τη Ρίγα στη Μόσχα είναι 276 χλμ. Πρέπει να βρούμε ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων, δηλ., για αυτό το μέρος, βρείτε το σύνολο:
§ 91. Αριθμοί αμοιβαίοι. Αντικατάσταση διαίρεσης με πολλαπλασιασμό.
Ας πάρουμε το κλάσμα 2/3 και αντικαταστήσουμε τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή, παίρνουμε 3/2. Πήραμε το αντίστροφο αυτού του κλάσματος.
Για να λάβετε ένα κλάσμα που είναι το αντίστροφο ενός δεδομένου κλάσματος, πρέπει να βάλετε τον αριθμητή του στη θέση του παρονομαστή και τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πάρουμε το αντίστροφο οποιουδήποτε κλάσματος. Για παράδειγμα:
3/4, αντίστροφη 4/3; 5/6, αντίστροφη 6/5
Δύο κλάσματα που έχουν την ιδιότητα ότι ο αριθμητής του πρώτου είναι ο παρονομαστής του δεύτερου και ο παρονομαστής του πρώτου είναι ο αριθμητής του δεύτερου, λέγονται αμοιβαία αντίστροφα.
Ας σκεφτούμε τώρα ποιο κλάσμα θα είναι το αντίστροφο του 1/2. Προφανώς, θα είναι 2 / 1, ή απλώς 2. Αναζητώντας το αντίστροφο κλάσμα του δεδομένου, πήραμε έναν ακέραιο. Και αυτή η περίπτωση δεν είναι μεμονωμένη. Αντίθετα, για όλα τα κλάσματα με αριθμητή 1 (ένα), τα αντίστροφα θα είναι ακέραιοι, για παράδειγμα:
1/3, αντίστροφη 3; 1/5, αντίστροφη 5
Εφόσον στην εύρεση των αμοιβαίων κλασμάτων συναντήσαμε και ακέραιους αριθμούς, στη συνέχεια δεν θα μιλήσουμε για αμοιβαία κλάσματα, αλλά για αμοιβαίοι αριθμοίΧ.
Ας μάθουμε πώς να γράψουμε το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού. Για τα κλάσματα, αυτό μπορεί να λυθεί απλά: πρέπει να βάλετε τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε το αντίστροφο ενός ακέραιου, αφού οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να έχει παρονομαστή 1. Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του 7 θα είναι 1/7, επειδή 7 = 7/1. για τον αριθμό 10 το αντίστροφο θα είναι 1/10, αφού 10 = 10/1
Αυτή η ιδέα μπορεί να εκφραστεί διαφορετικά: το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού προκύπτει με διαίρεση του ενός με έναν δεδομένο αριθμό. Αυτή η δήλωση ισχύει όχι μόνο για ακέραιους αριθμούς, αλλά και για κλάσματα. Στην πραγματικότητα, αν χρειαστεί να γράψουμε το αντίστροφο του κλάσματος 5/9, τότε μπορούμε να πάρουμε το 1 και να το διαιρέσουμε με το 5/9, δηλ.
Τώρα ας επισημάνουμε ένα πράγμα ιδιοκτησίααμοιβαίοι αριθμοί, που θα μας φανούν χρήσιμοι: το γινόμενο των αντίστροφων αριθμών είναι ίσο με ένα.Πράγματι:
Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε να βρούμε αμοιβαίους αριθμούς με τον ακόλουθο τρόπο. Ας πούμε ότι πρέπει να βρούμε το αντίστροφο του 8.
Ας το χαρακτηρίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 8 Χ = 1, επομένως Χ = 1/8. Ας βρούμε έναν άλλο αριθμό που είναι αντίστροφος του 7/12 και ας τον συμβολίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 7/12 Χ = 1, επομένως Χ = 1: 7 / 12 ή Χ = 12 / 7 .
Εισαγάγαμε εδώ την έννοια των αμοιβαίων αριθμών προκειμένου να συμπληρώσουμε ελαφρώς τις πληροφορίες σχετικά με τη διαίρεση των κλασμάτων.
Όταν διαιρέσουμε τον αριθμό 6 με τα 3/5, κάνουμε τα εξής:
Παρακαλώ πληρώστε Ιδιαίτερη προσοχήστην έκφραση και σύγκρινε με τη δεδομένη: .
Εάν πάρουμε την έκφραση χωριστά, χωρίς σύνδεση με την προηγούμενη, τότε είναι αδύνατο να λύσουμε το ερώτημα από πού προήλθε: από τη διαίρεση του 6 με 3/5 ή από τον πολλαπλασιασμό του 6 με το 5/3. Και στις δύο περιπτώσεις συμβαίνει το ίδιο. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι η διαίρεση ενός αριθμού με έναν άλλο μπορεί να αντικατασταθεί πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.
Τα παραδείγματα που δίνουμε παρακάτω επιβεβαιώνουν πλήρως αυτό το συμπέρασμα.
Για να πολλαπλασιάσετε σωστά ένα κλάσμα με ένα κλάσμα ή ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να γνωρίζετε απλούς κανόνες. Τώρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς αυτούς τους κανόνες.
Πολλαπλασιάζοντας ένα κοινό κλάσμα με ένα κλάσμα.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των αριθμητών και το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και επίσης πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ φορές 3)(7 \ φορές 3) = \frac(4)(7)\\\)
Το κλάσμα \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) μειώθηκε κατά 3.
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό.
Αρχικά, ας θυμηθούμε τον κανόνα, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Ας χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον κανόνα κατά τον πολλαπλασιασμό.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) μετατράπηκε σε μικτό κλάσμα.
Με άλλα λόγια, Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή.Παράδειγμα:
\(\frac(2)(5) \φορές 3 = \frac(2 \χρόνες 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.
Για να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα, πρέπει πρώτα να αναπαραστήσετε κάθε μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα πολλαπλασιασμού. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή.
Παράδειγμα:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \χρόνες 23) (4 \ φορές 6) = \frac(3 \ φορές \χρώμα (κόκκινο) (3) \ φορές 23) (4 \ φορές 2 \ φορές \χρώμα(κόκκινο) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Πολλαπλασιασμός αντίστροφων κλασμάτων και αριθμών.
Το κλάσμα \(\bf \frac(a)(b)\) είναι το αντίστροφο του κλάσματος \(\bf \frac(b)(a)\), με την προϋπόθεση a≠0,b≠0.
Τα κλάσματα \(\bf \frac(a)(b)\) και \(\bf \frac(b)(a)\) ονομάζονται αμοιβαία κλάσματα. Το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι ίσο με 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Παράδειγμα:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Σχετικές ερωτήσεις:
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;
Απάντηση: Το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων είναι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμητή με έναν αριθμητή, ενός παρονομαστή με έναν παρονομαστή. Για να πάρετε το γινόμενο μικτών κλασμάτων, πρέπει να τα μετατρέψετε σε ακατάλληλο κλάσμα και να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τους κανόνες.
Πώς να πολλαπλασιάσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Απάντηση: δεν έχει σημασία αν τα κλάσματα έχουν ίδιους ή διαφορετικούς παρονομαστές, ο πολλαπλασιασμός γίνεται σύμφωνα με τον κανόνα εύρεσης του γινομένου ενός αριθμητή με αριθμητή, ενός παρονομαστή με έναν παρονομαστή.
Πώς να πολλαπλασιάσετε μικτά κλάσματα;
Απάντηση: πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μετατρέψετε το μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να βρείτε το γινόμενο χρησιμοποιώντας τους κανόνες πολλαπλασιασμού.
Πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα κλάσμα;
Απάντηση: πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον αριθμητή, αλλά αφήνουμε τον παρονομαστή ίδιο.
Παράδειγμα #1:
Υπολογίστε το γινόμενο: α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Λύση:
α) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
β) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( κόκκινο) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Παράδειγμα #2:
Υπολογίστε τα γινόμενα ενός αριθμού και ενός κλάσματος: α) \(3 \times \frac(17)(23)\) β) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Λύση:
α) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
β) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \φορές 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Παράδειγμα #3:
Γράψτε το αντίστροφο του κλάσματος \(\frac(1)(3)\);
Απάντηση: \(\frac(3)(1) = 3\)
Παράδειγμα #4:
Υπολογίστε το γινόμενο δύο αμοιβαία αντίστροφων κλασμάτων: α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Λύση:
α) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Παράδειγμα #5:
Τα αμοιβαία κλάσματα μπορούν να είναι:
α) ταυτόχρονα με σωστά κλάσματα·
β) ταυτόχρονα ακατάλληλα κλάσματα.
γ) ταυτόχρονα φυσικούς αριθμούς?
Λύση:
α) για να απαντήσουμε στην πρώτη ερώτηση, ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι σωστό, το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac(3)(2)\) - ένα ακατάλληλο κλάσμα. Απάντηση: όχι.
β) για όλα σχεδόν τα κλάσματα, αυτή η συνθήκη δεν ικανοποιείται, αλλά υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί που ικανοποιούν την προϋπόθεση να μην είναι ταυτόχρονα κατάλληλο κλάσμα. Για παράδειγμα, το ακατάλληλο κλάσμα είναι \(\frac(3)(3)\), το αντίστροφο κλάσμα του είναι ίσο με \(\frac(3)(3)\). Παίρνουμε δύο ακατάλληλα κλάσματα. Απάντηση: όχι πάντα υπό ορισμένες συνθήκες όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ίσοι.
γ) Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε, για παράδειγμα, 1, 2, 3, …. Αν πάρουμε τον αριθμό \(3 = \frac(3)(1)\), τότε το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι \(\frac(1)(3)\). Το κλάσμα \(\frac(1)(3)\) δεν είναι φυσικός αριθμός. Αν περάσουμε από όλους τους αριθμούς, το αντίστροφο του αριθμού είναι πάντα κλάσμα, εκτός από το 1. Αν πάρουμε τον αριθμό 1, τότε το αμοιβαίο κλάσμα του θα είναι \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Ο αριθμός 1 είναι ένας φυσικός αριθμός. Απάντηση: μπορούν ταυτόχρονα να είναι φυσικοί αριθμοί μόνο σε μία περίπτωση, αν αυτός είναι ο αριθμός 1.
Παράδειγμα #6:
Να γίνει το γινόμενο των μικτών κλασμάτων: α) \(4 \πλάσιο 2\frac(4)(5)\) β) \(1\frac(1)(4) \χρόνια 3\frac(2)(7)\ )
Λύση:
α) \(4 \φορές 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
β) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Παράδειγμα #7:
Μπορούν δύο αντίστροφοι να είναι μικτοί αριθμοί ταυτόχρονα;
Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα μικτό κλάσμα \(1\frac(1)(2)\), να βρούμε το αντίστροφο κλάσμα του, για να το κάνουμε αυτό το μετατρέπουμε σε ακατάλληλο κλάσμα \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Το αντίστροφο κλάσμα του θα είναι ίσο με \(\frac(2)(3)\) . Το κλάσμα \(\frac(2)(3)\) είναι ένα σωστό κλάσμα. Απάντηση: Δύο κλάσματα που είναι αμοιβαία αντίστροφα δεν μπορούν να είναι μικτές αριθμοί ταυτόχρονα.