Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικούς τύπους. Από όλες τις μεθόδους, η ευκολότερη και πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι ο πολλαπλασιασμός του ύψους με το μήκος της βάσης και στη συνέχεια η διαίρεση του αποτελέσματος με το δύο. Ωστόσο αυτή τη μέθοδομακριά από το μοναδικό. Παρακάτω μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους.

Ξεχωριστά, θα εξετάσουμε τρόπους υπολογισμού του εμβαδού συγκεκριμένων τύπων τριγώνων - ορθογώνια, ισοσκελή και ισόπλευρα. Συνοδεύουμε κάθε φόρμουλα με μια σύντομη εξήγηση που θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την ουσία της.

Καθολικές μέθοδοι για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν ειδική σημείωση. Θα αποκρυπτογραφήσουμε καθένα από αυτά:

• a, b, c – τα μήκη των τριών πλευρών του σχήματος που εξετάζουμε.
• r είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να εγγραφεί στο τρίγωνό μας.
• R είναι η ακτίνα του κύκλου που μπορεί να περιγραφεί γύρω του.
• α είναι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές b και c.
• β είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ a και c.
• γ είναι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από τις πλευρές a και b.
• h είναι το ύψος του τριγώνου μας, χαμηλωμένο από τη γωνία α στην πλευρά α.
• p – το μισό άθροισμα των πλευρών a, b και c.

Είναι λογικά σαφές γιατί μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με αυτόν τον τρόπο. Το τρίγωνο μπορεί εύκολα να συμπληρωθεί σε ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο η μία πλευρά του τριγώνου θα λειτουργεί ως διαγώνιος. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μήκος μιας από τις πλευρές του με την τιμή του ύψους που τραβιέται σε αυτό. Η διαγώνιος διαιρεί αυτό το υπό όρους παραλληλόγραμμο σε 2 ίδια τρίγωνα. Επομένως, είναι προφανές ότι το εμβαδόν του αρχικού μας τριγώνου πρέπει να είναι ίσο με το μισό του εμβαδού αυτού του βοηθητικού παραλληλογράμμου.

S=½ a b sin γ

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των δύο πλευρών του, δηλαδή των a και b, με το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από αυτές. Αυτός ο τύπος προέρχεται λογικά από τον προηγούμενο. Αν χαμηλώσουμε το ύψος από τη γωνία β στην πλευρά b, τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες ορθογώνιο τρίγωνο, πολλαπλασιάζοντας το μήκος της πλευράς a με το ημίτονο της γωνίας γ, προκύπτει το ύψος του τριγώνου, δηλαδή h.

Το εμβαδόν του εν λόγω σχήματος βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το μισό της ακτίνας του κύκλου που μπορεί να εγγραφεί σε αυτό με την περίμετρό του. Βρίσκουμε δηλαδή το γινόμενο της ημιπεριμέτρου και της ακτίνας του αναφερόμενου κύκλου.

S= a b c/4R

Σύμφωνα με αυτόν τον τύπο, η τιμή που χρειαζόμαστε μπορεί να βρεθεί διαιρώντας το γινόμενο των πλευρών του σχήματος με τις 4 ακτίνες του κύκλου που περιγράφεται γύρω του.

Αυτοί οι τύποι είναι καθολικοί, καθώς καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό του εμβαδού οποιουδήποτε τριγώνου (σκάλανο, ισοσκελές, ισόπλευρο, ορθογώνιο). Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας πιο σύνθετους υπολογισμούς, στους οποίους δεν θα σταθούμε λεπτομερώς.

Περιοχές τριγώνων με συγκεκριμένες ιδιότητες

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου; Η ιδιαιτερότητα αυτού του σχήματος είναι ότι οι δύο πλευρές του είναι ταυτόχρονα και τα ύψη του. Αν τα a και b είναι σκέλη, και το c γίνεται η υποτείνουσα, τότε βρίσκουμε την περιοχή ως εξής:

Πώς να βρείτε την περιοχή ισοσκελές τρίγωνο? Έχει δύο πλευρές με μήκος α και μια πλευρά με μήκος β. Συνεπώς, το εμβαδόν του μπορεί να προσδιοριστεί διαιρώντας με το 2 το γινόμενο του τετραγώνου της πλευράς α με το ημίτονο της γωνίας γ.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου; Σε αυτό, το μήκος όλων των πλευρών είναι ίσο με a, και το μέγεθος όλων των γωνιών είναι α. Το ύψος του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου του μήκους της πλευράς α και της τετραγωνικής ρίζας του 3. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το τετράγωνο της πλευράς α με την τετραγωνική ρίζα του 3 και να διαιρέσετε με 4.

Όπως ίσως θυμάστε από σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΣύμφωνα με τη γεωμετρία, ένα τρίγωνο είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέονται με τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Ένα τρίγωνο σχηματίζει τρεις γωνίες, εξ ου και το όνομα του σχήματος. Ο ορισμός μπορεί να είναι διαφορετικός. Ένα τρίγωνο μπορεί επίσης να ονομαστεί πολύγωνο με τρεις γωνίες, η απάντηση θα είναι επίσης σωστή. Τα τρίγωνα χωρίζονται ανάλογα με τον αριθμό των ίσων πλευρών και το μέγεθος των γωνιών στα σχήματα. Έτσι, τα τρίγωνα διακρίνονται σε ισοσκελή, ισόπλευρα και σκαλοειδή, καθώς και σε ορθογώνια, οξέα και αμβλεία αντίστοιχα.

Υπάρχουν πολλοί τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου. Επιλέξτε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου, δηλ. Ποια φόρμουλα θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται από εσάς. Αλλά αξίζει να σημειωθεί μόνο μερικές από τις σημειώσεις που χρησιμοποιούνται σε πολλούς τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου. Λοιπόν, θυμηθείτε:

S είναι το εμβαδόν του τριγώνου,

α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου,

h είναι το ύψος του τριγώνου,

R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,

p είναι η ημιπερίμετρος.

Εδώ είναι οι βασικές σημειώσεις που μπορεί να σας φανούν χρήσιμες εάν ξεχάσατε εντελώς το μάθημα γεωμετρίας. Παρακάτω είναι τα πιο κατανοητά και μη σύνθετες επιλογέςτον υπολογισμό του άγνωστου και μυστηριώδους εμβαδού ενός τριγώνου. Δεν είναι δύσκολο και θα είναι χρήσιμο τόσο για τις ανάγκες του σπιτιού σας όσο και για τη βοήθεια των παιδιών σας. Ας θυμηθούμε πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου όσο πιο εύκολα γίνεται:

Στην περίπτωσή μας, το εμβαδόν του τριγώνου είναι: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 τετραγωνικά cm. Θυμηθείτε ότι η περιοχή μετριέται σε τετραγωνικά εκατοστά (sqcm).

Ορθογώνιο τρίγωνο και το εμβαδόν του.

Ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο μια γωνία είναι ίση με 90 μοίρες (εξ ου και ορθό). Μια ορθή γωνία σχηματίζεται από δύο κάθετες ευθείες (στην περίπτωση τριγώνου, δύο κάθετα τμήματα). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να υπάρχει μόνο μία ορθή γωνία, γιατί... το άθροισμα όλων των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με 180 μοίρες. Αποδεικνύεται ότι 2 άλλες γωνίες πρέπει να διαιρούν τις υπόλοιπες 90 μοίρες, για παράδειγμα 70 και 20, 45 και 45, κ.λπ. Έτσι, θυμάστε το κύριο πράγμα, το μόνο που μένει είναι να μάθετε πώς να βρείτε την περιοχή ενός ορθογώνιου τριγώνου. Ας φανταστούμε ότι έχουμε ένα τέτοιο ορθογώνιο τρίγωνο μπροστά μας και πρέπει να βρούμε το εμβαδόν του S.

1. Ο απλούστερος τρόπος για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Στην περίπτωσή μας, το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου είναι: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 τετραγωνικά cm.

Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει πλέον καμία ανάγκη να επαληθεύσουμε την περιοχή του τριγώνου με άλλους τρόπους, επειδή Μόνο αυτό θα είναι χρήσιμο και θα βοηθήσει στην καθημερινή ζωή. Υπάρχουν όμως και επιλογές για τη μέτρηση της περιοχής ενός τριγώνου μέσω οξειών γωνιών.

2. Για άλλες μεθόδους υπολογισμού, πρέπει να έχετε έναν πίνακα συνημιτόνων, ημιτόνων και εφαπτομένων. Κρίνετε μόνοι σας, εδώ είναι μερικές επιλογές για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου που μπορεί ακόμα να χρησιμοποιηθεί:

Αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο και με μερικές μικρές κηλίδες (τον σχεδιάσαμε σε ένα σημειωματάριο και χρησιμοποιήσαμε έναν παλιό χάρακα και μοιρογνωμόνιο), αλλά πήραμε τον σωστό υπολογισμό:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Λάβαμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: 3,6=3,7, αλλά λαμβάνοντας υπόψη τη μετατόπιση των κελιών, μπορούμε να συγχωρήσουμε αυτήν την απόχρωση.

Ισοσκελές τρίγωνο και το εμβαδόν του.

Εάν αντιμετωπίζετε το καθήκον να υπολογίσετε τον τύπο για ένα ισοσκελές τρίγωνο, τότε ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον κύριο και αυτό που θεωρείται ο κλασικός τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Αλλά πρώτα, πριν βρούμε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, ας μάθουμε τι είδους σχήμα είναι. Ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές έχουν το ίδιο μήκος. Αυτές οι δύο πλευρές ονομάζονται πλευρικές, η τρίτη πλευρά ονομάζεται βάση. Μην συγχέετε ένα ισοσκελές τρίγωνο με ένα ισόπλευρο τρίγωνο, δηλ. ένα κανονικό τρίγωνο με και τις τρεις πλευρές ίσες. Σε ένα τέτοιο τρίγωνο δεν υπάρχουν ιδιαίτερες τάσεις στις γωνίες, ή μάλλον στο μέγεθός τους. Ωστόσο, οι γωνίες στη βάση σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ίσες, αλλά διαφορετικές από τη γωνία μεταξύ ίσων πλευρών. Έτσι, γνωρίζετε ήδη τον πρώτο και κύριο τύπο· μένει να μάθετε ποιοι άλλοι τύποι για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι γνωστοί:

Μερικές φορές στη ζωή υπάρχουν καταστάσεις που πρέπει να εμβαθύνεις στη μνήμη σου αναζητώντας ξεχασμένες σχολικές γνώσεις. Για παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε την περιοχή ενός οικοπέδου με τριγωνικό σχήμα ή ήρθε η ώρα για άλλη ανακαίνιση σε διαμέρισμα ή ιδιωτικό σπίτι και πρέπει να υπολογίσετε πόσο υλικό θα χρειαστεί για μια επιφάνεια με ένα τριγωνικό σχήμα. Υπήρξε μια εποχή που μπορούσατε να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα σε λίγα λεπτά, αλλά τώρα προσπαθείτε απεγνωσμένα να θυμηθείτε πώς να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου;

Μην ανησυχείτε για αυτό! Σε τελική ανάλυση, είναι πολύ φυσιολογικό όταν ο εγκέφαλος ενός ατόμου αποφασίζει να μεταφέρει τη γνώση που δεν έχει χρησιμοποιηθεί από καιρό κάπου σε μια απομακρυσμένη γωνιά, από την οποία μερικές φορές δεν είναι τόσο εύκολο να την εξαγάγει κανείς. Για να μην χρειάζεται να παλεύετε με την αναζήτηση ξεχασμένων σχολικών γνώσεων για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, αυτό το άρθρο περιέχει διάφορες μεθόδους που διευκολύνουν την εύρεση της απαιτούμενης περιοχής ενός τριγώνου.

Είναι γνωστό ότι ένα τρίγωνο είναι ένας τύπος πολυγώνου που περιορίζεται στον ελάχιστο δυνατό αριθμό πλευρών. Καταρχήν, κάθε πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε πολλά τρίγωνα συνδέοντας τις κορυφές του με τμήματα που δεν τέμνουν τις πλευρές του. Επομένως, γνωρίζοντας το τρίγωνο, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή σχεδόν οποιουδήποτε αριθμού.

Μεταξύ όλων των πιθανών τριγώνων που εμφανίζονται στη ζωή, διακρίνονται οι ακόλουθοι συγκεκριμένοι τύποι: και ορθογώνια.

Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου είναι όταν μία από τις γωνίες του είναι ορθή, δηλαδή στην περίπτωση ενός ορθογώνιου τριγώνου. Είναι εύκολο να δεις ότι είναι μισό ορθογώνιο. Επομένως, το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των πλευρών που σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους.

Αν γνωρίζουμε το ύψος ενός τριγώνου, που έχει χαμηλώσει από μια από τις κορυφές του στην απέναντι πλευρά, και το μήκος αυτής της πλευράς, που ονομάζεται βάση, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται ως το μισό του γινόμενου του ύψους και της βάσης. Αυτό γράφεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

S = 1/2*b*h, στην οποία

S είναι η απαιτούμενη περιοχή του τριγώνου.

b, h - αντίστοιχα, το ύψος και η βάση του τριγώνου.

Είναι τόσο εύκολο να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου επειδή το ύψος θα διχοτομήσει την αντίθετη πλευρά και μπορεί να μετρηθεί εύκολα. Εάν η περιοχή έχει προσδιοριστεί, τότε είναι βολικό να λαμβάνεται το μήκος μιας από τις πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ως το ύψος.

Όλα αυτά είναι φυσικά καλά, αλλά πώς να προσδιορίσετε εάν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή ή όχι; Αν το μέγεθος της φιγούρας μας είναι μικρό, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια γωνία κατασκευής, ένα τρίγωνο σχεδίασης, μια καρτ ποστάλ ή άλλο αντικείμενο με ορθογώνιο σχήμα.

Τι γίνεται όμως αν έχουμε ένα τριγωνικό οικόπεδο; Σε αυτή την περίπτωση, προχωρήστε ως εξής: μετρήστε από την κορυφή του αναμενόμενου ορθή γωνίααπό τη μία πλευρά η απόσταση είναι πολλαπλάσιο του 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) και από την άλλη πλευρά μια απόσταση μετριέται με την ίδια αναλογία που είναι πολλαπλάσιο του 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) . Τώρα πρέπει να μετρήσετε την απόσταση μεταξύ των τελικών σημείων αυτών των δύο τμημάτων. Εάν το αποτέλεσμα είναι πολλαπλάσιο του 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), τότε μπορούμε να πούμε ότι η γωνία είναι ορθή.

Εάν το μήκος καθεμιάς από τις τρεις πλευρές του σχήματός μας είναι γνωστό, τότε το εμβαδόν του τριγώνου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron. Για να έχει απλούστερη μορφή, χρησιμοποιείται μια νέα τιμή, η οποία ονομάζεται ημιπερίμετρος. Αυτό είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του τριγώνου μας, χωρισμένες στο μισό. Αφού υπολογιστεί η ημιπερίμετρος, μπορείτε να αρχίσετε να προσδιορίζετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), όπου

sqrt - Τετραγωνική ρίζα;

p - ημιπεριμετρική τιμή (p = (a+b+c)/2);

α, β, γ - άκρες (πλευρές) του τριγώνου.

Τι γίνεται όμως αν το τρίγωνο έχει ακανόνιστο σχήμα? Υπάρχουν δύο πιθανοί τρόποι εδώ. Το πρώτο από αυτά είναι να προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε ένα τέτοιο σχήμα σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών των οποίων υπολογίζεται χωριστά και στη συνέχεια προστίθεται. Ή, εάν η γωνία μεταξύ δύο πλευρών και το μέγεθος αυτών των πλευρών είναι γνωστά, τότε εφαρμόστε τον τύπο:

S = 0,5 * ab * sinC, όπου

α, β - πλευρές του τριγώνου.

c είναι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών.

Η τελευταία περίπτωση είναι σπάνια στην πράξη, αλλά παρ 'όλα αυτά, όλα είναι πιθανά στη ζωή, οπότε η παραπάνω φόρμουλα δεν θα είναι περιττή. Καλή τύχη με τους υπολογισμούς σας!

τετράγωνο γεωμετρικό σχήμα - ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός γεωμετρικού σχήματος που δείχνει το μέγεθος αυτού του σχήματος (τμήμα της επιφάνειας που περιορίζεται από το κλειστό περίγραμμα αυτού του σχήματος). Το μέγεθος του εμβαδού εκφράζεται με τον αριθμό των τετραγωνικών μονάδων που περιέχονται σε αυτό.

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου δίπλα και το ύψος
   Εμβαδόν τριγώνουίσο με το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς ενός τριγώνου και του μήκους του υψομέτρου που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά
   
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του κυκλικού κύκλου
   
3. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου
   Εμβαδόν τριγώνουισούται με το γινόμενο της ημιπεριμέτρου του τριγώνου και της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου.
   
όπου S είναι το εμβαδόν του τριγώνου,
- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου,
- ύψος του τριγώνου,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών και,
- ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
R - ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,

Τύποι τετραγωνικού εμβαδού

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός τετραγώνου κατά μήκος της πλευράς
   Τετράγωνη έκτασηίσο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του.
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός τετραγώνου κατά μήκος της διαγώνιας
   Τετράγωνη έκτασηίσο με το μισό του τετραγώνου του μήκους της διαγωνίου του.
   

   S=	1	2
   	2

όπου S είναι το εμβαδόν του τετραγώνου,
- μήκος της πλευράς του τετραγώνου,
- μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου.

Τύπος ορθογώνιου εμβαδού

Εμβαδόν ορθογωνίουίσο με το γινόμενο των μηκών των δύο διπλανών πλευρών του

όπου S είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου,
- μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.

Τύποι εμβαδού παραλληλογράμμου

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με βάση το μήκος και το ύψος της πλευράς
   Εμβαδόν παραλληλογράμμου
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με βάση δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους
   Εμβαδόν παραλληλογράμμουισούται με το γινόμενο των μηκών των πλευρών του πολλαπλασιασμένο με το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
   

   α β αμαρτία α

όπου S είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου,
- τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου,
- μήκος παραλληλογράμμου ύψους,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών του παραλληλογράμμου.

Τύποι για την περιοχή ενός ρόμβου

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση το μήκος και το ύψος της πλευράς
   Περιοχή ρόμβουίσο με το γινόμενο του μήκους της πλευράς του και το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά.
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση το μήκος και τη γωνία της πλευράς
   Περιοχή ρόμβουείναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου του μήκους της πλευράς του και του ημιτόνου της γωνίας μεταξύ των πλευρών του ρόμβου.
3. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση τα μήκη των διαγωνίων του
   Περιοχή ρόμβουίσο με το μισό του γινόμενου των μηκών των διαγωνίων του.
όπου S είναι το εμβαδόν του ρόμβου,
- μήκος της πλευράς του ρόμβου,
- μήκος του ύψους του ρόμβου,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών του ρόμβου,
1, 2 - μήκη διαγωνίων.

Τύποι τραπεζοειδούς περιοχής

1. Ο τύπος του Heron για το τραπεζοειδές

   Όπου S είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς,
   - τα μήκη των βάσεων του τραπεζοειδούς,
   - μήκη των πλευρών του τραπεζοειδούς,
   

Μπορείτε να βρείτε πάνω από 10 τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου στο Διαδίκτυο. Πολλοί από αυτούς χρησιμοποιούνται σε προβλήματα με γνωστές πλευρές και γωνίες ενός τριγώνου. Ωστόσο, υπάρχει ένας αριθμός σύνθετων παραδειγμάτων όπου, σύμφωνα με τις συνθήκες της ανάθεσης, είναι γνωστές μόνο η μία πλευρά και οι γωνίες ενός τριγώνου ή η ακτίνα ενός περιγεγραμμένου ή εγγεγραμμένου κύκλου και ένα ακόμη χαρακτηριστικό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν μπορεί να εφαρμοστεί ένας απλός τύπος.

Οι τύποι που δίνονται παρακάτω θα σας επιτρέψουν να λύσετε το 95 τοις εκατό των προβλημάτων στα οποία πρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των τύπων κοινής περιοχής.
Θεωρήστε το τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Στο σχήμα και παρακάτω στους τύπους, εισάγονται οι κλασικοί χαρακτηρισμοί όλων των χαρακτηριστικών του.
a,b,c – πλευρές του τριγώνου,
R – ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,
r – ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
h[b],h[a],h[c] – ύψη σχεδιασμένα σύμφωνα με τις πλευρές a,b,c.
άλφα, βήτα, χαμά – γωνίες κοντά στις κορυφές.

Βασικοί τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου

1. Το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της πλευράς του τριγώνου και του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά. Στη γλώσσα των τύπων, αυτός ο ορισμός μπορεί να γραφτεί ως εξής

Έτσι, αν είναι γνωστά η πλευρά και το ύψος, τότε κάθε μαθητής θα βρει την περιοχή.
Παρεμπιπτόντως, από αυτόν τον τύπο μπορεί κανείς να αντλήσει μια χρήσιμη σχέση μεταξύ των υψών

2. Αν λάβουμε υπόψη ότι το ύψος ενός τριγώνου διαμέσου της διπλανής πλευράς εκφράζεται με την εξάρτηση

Στη συνέχεια, ο πρώτος τύπος περιοχής ακολουθείται από τον δεύτερο του ίδιου τύπου

Κοιτάξτε προσεκτικά τους τύπους - είναι εύκολο να θυμάστε, καθώς η εργασία περιλαμβάνει δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Αν προσδιορίσουμε σωστά τις πλευρές και τις γωνίες του τριγώνου (όπως στο παραπάνω σχήμα), θα πάρουμε δύο πλευρές α, β και η γωνία συνδέεται με την τρίτηΜε (χαμά).

3. Για τις γωνίες ενός τριγώνου η σχέση είναι αληθής

Η εξάρτηση σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε τους ακόλουθους τύπους για το εμβαδόν ενός τριγώνου στους υπολογισμούς:

Παραδείγματα αυτής της εξάρτησης είναι εξαιρετικά σπάνια, αλλά πρέπει να θυμάστε ότι υπάρχει ένας τέτοιος τύπος.

4. Αν η πλευρά και οι δύο παρακείμενες γωνίες είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν βρίσκεται από τον τύπο

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ως προς την πλευρά και την συνεφαπτομένη γειτονικών γωνιών έχει ως εξής

Με την αναδιάταξη των ευρετηρίων μπορείτε να λάβετε εξαρτήσεις για άλλα μέρη.

6. Ο παρακάτω τύπος εμβαδού χρησιμοποιείται σε προβλήματα όταν οι κορυφές ενός τριγώνου καθορίζονται στο επίπεδο με συντεταγμένες. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό της ορίζουσας που λαμβάνεται.

7. Η φόρμουλα του Heronχρησιμοποιείται σε παραδείγματα με γνωστές πλευρές τριγώνου.
Βρείτε πρώτα την ημιπερίμετρο του τριγώνου

Στη συνέχεια, προσδιορίστε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο

ή

Χρησιμοποιείται αρκετά συχνά στον κώδικα των προγραμμάτων αριθμομηχανής.

8. Αν είναι γνωστά όλα τα ύψη του τριγώνου, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο

Είναι δύσκολο να υπολογιστεί σε μια αριθμομηχανή, αλλά στα πακέτα MathCad, Mathematica, Maple η περιοχή είναι "χρόνος δύο".

9. Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν τις γνωστές ακτίνες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων.

Συγκεκριμένα, εάν η ακτίνα και οι πλευρές του τριγώνου ή η περίμετρός του είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

10. Σε παραδείγματα όπου δίνονται οι πλευρές και η ακτίνα ή η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, η περιοχή βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

11. Ο παρακάτω τύπος καθορίζει το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την πλευρά και τις γωνίες του τριγώνου.

Και τέλος - ειδικές περιπτώσεις:
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνουμε σκέλη α και β ίσα με το μισό γινόμενο τους

Τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου (κανονικού) τριγώνου=

= το ένα τέταρτο του γινομένου του τετραγώνου της πλευράς και της ρίζας των τριών.