Περιεχόμενο:

Απαιτούνται αμοιβαίοι αριθμοί για την επίλυση όλων των τύπων αλγεβρικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να χωρίσετε ένα ένας κλασματικός αριθμόςσε έναν άλλο, πολλαπλασιάζεις τον πρώτο αριθμό με το αντίστροφο του δεύτερου. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται αντίστροφοι αριθμοί κατά την εύρεση της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής.

Βήματα

1 Εύρεση του αντίστροφου ενός κλάσματος ή ακέραιου αριθμού

1. 1 Να βρείτε το αντίστροφο ενός κλάσματος αντιστρέφοντάς το.Ο «ανταποδοτικός αριθμός» ορίζεται πολύ απλά. Για να το υπολογίσετε, απλά υπολογίστε την τιμή της έκφρασης "1 ÷ (αρχικός αριθμός)." Για έναν κλασματικό αριθμό, το αντίστροφο ενός κλάσματος είναι ένας άλλος κλασματικός αριθμός που μπορεί να υπολογιστεί απλά «αντιστρέφοντας» το κλάσμα (εναλλαγή των θέσεων του αριθμητή και του παρονομαστή).
   • Για παράδειγμα, το αντίστροφο του κλάσματος 3/4 είναι 4 / 3 .
2. 2 Να γράψετε το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού ως κλάσμα.Και σε αυτή την περίπτωση, ο αμοιβαίος αριθμός υπολογίζεται ως 1 ÷ (ο αρχικός αριθμός). Για έναν ακέραιο, γράψτε τον αμοιβαίο αριθμό ως κλάσμα, δεν χρειάζεται να κάνετε κανέναν υπολογισμό και να τον γράψετε ως δεκαδικός.
   • Για παράδειγμα, το αντίστροφο του 2 είναι 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Εύρεση του αντίστροφου ενός μικτού κλάσματος

1. 1 Τι συνέβη " μικτό κλάσμα". Ένα μικτό κλάσμα είναι ένας αριθμός που γράφεται ως ακέραιος αριθμός και ένα απλό κλάσμα, για παράδειγμα, 2 4 / 5. Η εύρεση του αντίστροφου ενός μικτού κλάσματος πραγματοποιείται σε δύο βήματα, που περιγράφονται παρακάτω.
2. 2 Γράψτε το μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.Φυσικά, θυμάστε ότι μια μονάδα μπορεί να γραφτεί ως (αριθμός)/(ίδιος αριθμός) και τα κλάσματα με ίδιοι παρονομαστές(ο αριθμός κάτω από τη γραμμή) μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους. Δείτε πώς να το κάνετε για το κλάσμα 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Αντιστρέψτε το κλάσμα.Όταν ένα μικτό κλάσμα γράφεται ως ακατάλληλο κλάσμα, μπορούμε εύκολα να βρούμε το αντίστροφο απλά ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
   • Για το παραπάνω παράδειγμα, ο αμοιβαίος αριθμός θα ήταν 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Εύρεση του αντίστροφου δεκαδικού κλάσματος

1. 1 Εάν είναι δυνατόν, εκφράστε το δεκαδικό ως κλάσμα.Πρέπει να γνωρίζετε ότι πολλά δεκαδικά μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε απλά κλάσματα. Για παράδειγμα, 0,5 = 1/2 και 0,25 = 1/4. Αφού γράψετε έναν αριθμό ως απλό κλάσμα, μπορείτε εύκολα να βρείτε την αμοιβαία του απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.
   • Για παράδειγμα, το αντίστροφο 0,5 είναι 2 / 1 = 2.
2. 2 Λύστε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας διαίρεση.Εάν δεν μπορείτε να γράψετε ένα δεκαδικό ως κλάσμα, υπολογίστε το αντίστροφο λύνοντας το πρόβλημα με διαίρεση: 1 ÷ (δεκαδικό). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή για να το λύσετε ή να προχωρήσετε στο επόμενο βήμα εάν θέλετε να υπολογίσετε την τιμή με μη αυτόματο τρόπο.
   • Για παράδειγμα, το αντίστροφο 0,4 υπολογίζεται ως 1 ÷ 0,4.
3. 3 Αλλάξτε την έκφραση ώστε να λειτουργεί με ακέραιους αριθμούς.Το πρώτο βήμα για τη διαίρεση ενός δεκαδικού είναι να μετακινήσετε την υποδιαστολή έως ότου όλοι οι αριθμοί στην παράσταση είναι ακέραιοι. Επειδή μετακινείτε το δεκαδικό ψηφίο με τον ίδιο αριθμό θέσεων τόσο στο μέρισμα όσο και στο διαιρέτη, παίρνετε τη σωστή απάντηση.
4. 4 Για παράδειγμα, παίρνετε την έκφραση 1 ÷ 0,4 και τη γράφετε ως 10 ÷ 4.Σε αυτήν την περίπτωση, έχετε μετακινήσει το δεκαδικό ψηφίο μία θέση προς τα δεξιά, που είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό κάθε αριθμού επί δέκα.
5. 5 Λύστε το πρόβλημα διαιρώντας τους αριθμούς σε στήλη.Χρησιμοποιώντας μακρά διαίρεση μπορείτε να υπολογίσετε τον αμοιβαίο αριθμό. Αν διαιρέσετε το 10 με το 4, θα πρέπει να λάβετε 2,5, το οποίο είναι το αντίστροφο του 0,4.

• Η τιμή ενός αρνητικού αμοιβαίου αριθμού θα είναι ίση με τον αντίστροφο αριθμό πολλαπλασιαζόμενο επί -1. Για παράδειγμα, το αρνητικό αντίστροφο των 3/4 είναι - 4/3.
• Το αντίστροφο ενός αριθμού μερικές φορές ονομάζεται "αντίστροφο" ή "αντίστροφο".
• Ο αριθμός 1 είναι ο δικός του αντίστροφος γιατί 1 ÷ 1 = 1.
• Το μηδέν δεν έχει αντίστροφο γιατί η έκφραση 1 ÷ 0 δεν έχει λύσεις.

Υλικό από τη Wikipedia - την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Αντίστροφος αριθμός(αντίστροφη τιμή, αμοιβαία τιμή) σε έναν δεδομένο αριθμό Χείναι ένας αριθμός του οποίου ο πολλαπλασιασμός με Χ, δίνει ένα. Αποδεκτή είσοδος: $\backslash frac(1)x$ή $x^(-1)$. Καλούνται δύο αριθμοί των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με ένα αμοιβαία αντίστροφα. Το αντίστροφο ενός αριθμού δεν πρέπει να συγχέεται με το αντίστροφο μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$διαφέρει από την τιμή της συνάρτησης αντίστροφη προς συνημίτονο - τόξο, η οποία συμβολίζεται $\backslash cos^(-1)x$ή $\backslash arccos\; x$.

Αντίστροφη σε πραγματικό αριθμό

Μιγαδικές μορφές αριθμών	Αριθμός $(z)$	ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ $\backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$
Αλγεβρικός	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Τριγωνομετρικό	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Ενδεικτικός	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Απόδειξη:
Για αλγεβρικές και τριγωνομετρικές μορφές, χρησιμοποιούμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος, πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το μιγαδικό συζυγές:

• Αλγεβρική μορφή:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Τριγωνομετρική μορφή:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Επιδεικτικό έντυπο:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Έτσι, όταν βρίσκουμε το αντίστροφο ενός μιγαδικού αριθμού, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε την εκθετική του μορφή.

Παράδειγμα:

Μιγαδικές μορφές αριθμών	Αριθμός $(z)$	ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ $\backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$
Αλγεβρικός	$1+i\backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Τριγωνομετρικό	$2\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$ ή $2\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$ ή $\backslash frac(1)(2)\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$
Ενδεικτικός	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Αντίστροφη προς τη φανταστική μονάδα

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Έτσι, παίρνουμε

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ ή__ $i^(-1)=-i$

Ομοίως για $-{\rm E}\gamma ώ$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ ή __ $-i^(-1)=i$

Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Αντίστροφος αριθμός"

Σημειώσεις

δείτε επίσης

Απόσπασμα που χαρακτηρίζει τον αντίστροφο αριθμό

Αυτό λένε οι ιστορίες, και όλα αυτά είναι εντελώς άδικα, όπως εύκολα μπορεί να δει όποιος θέλει να εμβαθύνει στην ουσία του θέματος.
Οι Ρώσοι δεν μπορούσαν να βρουν καλύτερη θέση. αλλά, αντίθετα, στην υποχώρησή τους πέρασαν από πολλές θέσεις που ήταν καλύτερες από τον Μποροντίνο. Δεν συμβιβάστηκαν με καμία από αυτές τις θέσεις: τόσο επειδή ο Κουτούζοφ δεν ήθελε να δεχτεί μια θέση που δεν είχε επιλεγεί από αυτόν, όσο και επειδή το αίτημα για μια λαϊκή μάχη δεν είχε ακόμη εκφραστεί αρκετά έντονα, όσο και επειδή ο Μιλοράντοβιτς δεν είχε ακόμη πλησιάσει με την πολιτοφυλακή, και επίσης γιατί άλλοι λόγοι είναι αναρίθμητοι. Το γεγονός είναι ότι οι προηγούμενες θέσεις ήταν ισχυρότερες και ότι η θέση Borodino (αυτή στην οποία δόθηκε η μάχη) όχι μόνο δεν είναι ισχυρή, αλλά για κάποιο λόγο δεν είναι καθόλου μια θέση μεγαλύτερη από οποιοδήποτε άλλο μέρος στο Ρωσική Αυτοκρατορία, το οποίο, κατά την εικασία, θα υποδεικνυόταν με μια καρφίτσα στον χάρτη.
Οι Ρώσοι όχι μόνο δεν ενίσχυσαν τη θέση του πεδίου Borodino προς τα αριστερά σε ορθή γωνία προς το δρόμο (δηλαδή το μέρος όπου έγινε η μάχη), αλλά ποτέ πριν από τις 25 Αυγούστου 1812, δεν σκέφτηκαν ότι η μάχη μπορούσε πραγματοποιούνται σε αυτό το μέρος. Αυτό αποδεικνύεται, πρώτον, από το γεγονός ότι όχι μόνο στις 25 δεν υπήρχαν οχυρώσεις σε αυτό το μέρος, αλλά ότι, ξεκινώντας στις 25, δεν τελείωσαν ούτε στις 26. Δεύτερον, η απόδειξη είναι η θέση του Redoubt Shevardinsky: το Shevardinsky redoubt, μπροστά από τη θέση στην οποία αποφασίστηκε η μάχη, δεν έχει κανένα νόημα. Γιατί αυτό το redoubt ήταν ισχυρότερο από όλα τα άλλα σημεία; Και γιατί υπερασπίζοντάς το στις 24 μέχρι αργά το βράδυ εξαντλήθηκαν όλες οι προσπάθειες και χάθηκαν έξι χιλιάδες άνθρωποι; Για την παρατήρηση του εχθρού αρκούσε μια περίπολος των Κοζάκων. Τρίτον, απόδειξη ότι η θέση στην οποία έλαβε χώρα η μάχη δεν είχε προβλεφθεί και ότι το Redoubt Shevardinsky δεν ήταν το μπροστινό σημείο αυτής της θέσης είναι το γεγονός ότι ο Barclay de Tolly και ο Bagration μέχρι τις 25 ήταν πεπεισμένοι ότι το Redoubt Shevardinsky ήταν το αριστερό πλευρό. της θέσης και ότι ο ίδιος ο Κουτούζοφ, στην έκθεσή του, που συντάχθηκε εν θερμώ μετά τη μάχη, αποκαλεί τον Σεβαρντίνσκι στο αριστερό πλευρό της θέσης. Πολύ αργότερα, όταν οι αναφορές για τη μάχη του Μποροντίνο γράφονταν ανοιχτά, ήταν (πιθανότατα για να δικαιολογηθούν τα λάθη του αρχιστράτηγου, που έπρεπε να είναι αλάνθαστος) ότι επινοήθηκε άδικη και παράξενη μαρτυρία που αμφισβητούσε ο Σεβαρντίνσκι. χρησίμευε ως εμπρός πόλος (ενώ ήταν μόνο ένα οχυρό σημείο της αριστερής πλευράς) και σαν να έγινε αποδεκτή από εμάς η μάχη του Μποροντίνο σε οχυρή και προεπιλεγμένη θέση, ενώ έγινε σε εντελώς απροσδόκητο και σχεδόν ανοχύρωτο μέρος. .
Το πράγμα, προφανώς, ήταν έτσι: η θέση επιλέχθηκε κατά μήκος του ποταμού Κολόχα, ο οποίος διασχίζει τον κεντρικό δρόμο όχι σε ορθή γωνία, αλλά σε οξεία γωνία, έτσι ώστε η αριστερή πλευρά να βρίσκεται στο Σεβαρντίν, δεξιά κοντά στο χωριό Novy και το κέντρο στο Borodino, στη συμβολή των ποταμών Kolocha και Vo yn. Αυτή η θέση, κάτω από την κάλυψη του ποταμού Kolocha, για έναν στρατό που στόχος του είναι να σταματήσει τον εχθρό που κινείται κατά μήκος του δρόμου Smolensk προς τη Μόσχα, είναι προφανής σε όποιον κοιτάζει το πεδίο Borodino, ξεχνώντας πώς έγινε η μάχη.
Ο Ναπολέων, έχοντας πάει στο Βάλουεφ στις 24, δεν είδε (όπως λένε στις ιστορίες) τη θέση των Ρώσων από την Ουτίτσα μέχρι τον Μποροντίν (δεν μπορούσε να δει αυτή τη θέση, γιατί δεν υπήρχε) και δεν είδε τον επιθετικό θέση του ρωσικού στρατού, αλλά σκόνταψε στη ρωσική οπισθοφυλακή σε καταδίωξη προς το αριστερό πλευρό της ρωσικής θέσης, στην περιοχή του Σεβαρντίνσκι και, απροσδόκητα για τους Ρώσους, μετέφερε στρατεύματα μέσω της Κολοχά. Και οι Ρώσοι, μη έχοντας προλάβει να εμπλακούν σε γενική μάχη, υποχώρησαν με την αριστερή τους πτέρυγα από τη θέση που σκόπευαν να καταλάβουν, και πήραν νέα θέση, που δεν προβλεπόταν και δεν ήταν οχυρωμένη. Πηγαίνοντας στο αριστερή πλευρά Kolochi, στα αριστερά του δρόμου, ο Ναπολέων μετακίνησε ολόκληρη τη μελλοντική μάχη από δεξιά προς τα αριστερά (από τη ρωσική πλευρά) και τη μετέφερε στο πεδίο μεταξύ Utitsa, Semenovsky και Borodin (σε αυτό το πεδίο, το οποίο δεν έχει τίποτα πιο πλεονεκτικό για τη θέση από οποιοδήποτε άλλο πεδίο στη Ρωσία), και σε αυτό το πεδίο ολόκληρη η μάχη έγινε στις 26. Σε πρόχειρη μορφή, το σχέδιο για την προτεινόμενη μάχη και τη μάχη που έγινε θα είναι το εξής:

Αν ο Ναπολέων δεν είχε φύγει το βράδυ της 24ης για την Κολοχά και δεν είχε διατάξει επίθεση στο ραντάμ αμέσως το βράδυ, αλλά είχε εξαπολύσει επίθεση την επόμενη μέρα το πρωί, τότε κανείς δεν θα είχε αμφιβολία ότι το ραντάμ του Σεβαρντίνσκι ήταν η αριστερή πλευρά της θέσης μας. και η μάχη θα γινόταν όπως περιμέναμε. Σε αυτή την περίπτωση, πιθανότατα θα υπερασπιζόμασταν το Shevardinsky redoubt, το αριστερό μας πλευρό, ακόμη πιο πεισματικά. Ο Ναπολέων θα είχε δεχτεί επίθεση στο κέντρο ή στα δεξιά και στις 24 θα γινόταν γενική μάχη στη θέση που ήταν οχυρωμένη και προβλεπόμενη. Επειδή όμως η επίθεση στο αριστερό μας πλευρό έγινε το βράδυ, μετά την υποχώρηση της οπισθοφυλακής μας, δηλαδή αμέσως μετά τη μάχη του Γκρίντνεβα, και αφού οι Ρώσοι στρατιωτικοί ηγέτες δεν ήθελαν ή δεν είχαν χρόνο να ξεκινήσουν γενική μάχη το ίδιο βράδυ της 24ης, η πρώτη και κύρια δράση του Μποροντίνσκι Η μάχη χάθηκε στις 24 και, προφανώς, οδήγησε στην απώλεια αυτού που πολέμησε στις 26.
Μετά την απώλεια του Shevardinsky redoubt, μέχρι το πρωί της 25ης βρεθήκαμε χωρίς θέση στην αριστερή πλευρά και αναγκαστήκαμε να λυγίσουμε πίσω το αριστερό μας φτερό και να το ενισχύσουμε βιαστικά οπουδήποτε.
Αλλά όχι μόνο τα ρωσικά στρατεύματα στέκονταν μόνο υπό την προστασία αδύναμων, ημιτελών οχυρώσεων στις 26 Αυγούστου, αλλά το μειονέκτημα αυτής της κατάστασης ενισχύθηκε από το γεγονός ότι οι Ρώσοι στρατιωτικοί ηγέτες δεν αναγνώρισαν το εντελώς ολοκληρωμένο γεγονός (την απώλεια θέσης στην το αριστερό πλευρό και η μεταφορά ολόκληρου του μελλοντικού πεδίου μάχης από τα δεξιά προς τα αριστερά), παρέμειναν στην εκτεταμένη θέση τους από το χωριό Novy έως την Utitsa και, ως αποτέλεσμα, έπρεπε να μετακινήσουν τα στρατεύματά τους κατά τη διάρκεια της μάχης από τα δεξιά προς τα αριστερά. Έτσι, σε όλη τη μάχη, οι Ρώσοι είχαν εναντίον όλων Γαλλικός στρατός, στόχευε την αριστερή μας πτέρυγα, δύο φορές πιο αδύναμες δυνάμεις. (Οι ενέργειες του Poniatowski εναντίον των Utitsa και Uvarov στη δεξιά πλευρά της Γαλλίας ήταν ενέργειες ξεχωριστές από την πορεία της μάχης.)
Έτσι, η Μάχη του Μποροντίνο δεν έγινε καθόλου όπως την περιγράφουν (προσπαθώντας να κρύψουμε τα λάθη των στρατιωτικών μας αρχηγών και, ως εκ τούτου, να μειώσουμε τη δόξα του ρωσικού στρατού και λαού). Η Μάχη του Μποροντίνο δεν έλαβε χώρα σε επιλεγμένη και οχυρή θέση με κάπως ασθενέστερες ρωσικές δυνάμεις, αλλά η μάχη του Μποροντίνο, λόγω της απώλειας της περιοχής Σεβαρντίνσκι, έγινε από τους Ρώσους σε μια ανοιχτή, σχεδόν ανοχύρωτη περιοχή με διπλάσια Πολλά τις πιο αδύναμες δυνάμειςεναντίον των Γάλλων, δηλαδή σε τέτοιες συνθήκες που όχι μόνο ήταν αδιανόητο να πολεμήσει κανείς για δέκα ώρες και να κάνει τη μάχη αναποφάσιστη, αλλά ήταν αδιανόητο να κρατήσει τον στρατό από πλήρη ήττα και φυγή για τρεις ώρες.

Το πρωί της 25ης, ο Pierre έφυγε από το Mozhaisk. Στην κάθοδο από το τεράστιο απόκρημνο και στραβό βουνό που οδηγεί έξω από την πόλη, πέρα ​​από τον καθεδρικό ναό που στεκόταν στο βουνό στα δεξιά, στον οποίο γινόταν λειτουργία και κηρύσσονταν το ευαγγέλιο, ο Πιέρ κατέβηκε από την άμαξα και προχώρησε πόδι. Πίσω του, κάποιο σύνταγμα ιππικού με τραγουδιστές μπροστά κατέβαινε στο βουνό. Ένα τρένο από κάρα με τους τραυματίες της χθεσινής υπόθεσης ανέβαινε προς το μέρος του. Οι αγρότες οδηγοί, φωνάζοντας στα άλογα και χτυπώντας τα με μαστίγια, έτρεχαν από τη μια πλευρά στην άλλη. Τα κάρα, στα οποία ξάπλωναν και κάθονταν τρεις-τέσσερις τραυματίες στρατιώτες, πήδηξαν πάνω από τις πέτρες που είχαν πεταχτεί σε μορφή πεζοδρομίου σε μια απότομη πλαγιά. Οι τραυματίες, δεμένοι με κουρέλια, χλωμοί, με σφιγμένα χείλη και συνοφρυωμένα φρύδια, κρατούμενοι από τα κρεβάτια, πήδηξαν και έσπρωχναν στα κάρα. Όλοι κοίταξαν το λευκό καπέλο και το πράσινο φράκο του Πιέρ με σχεδόν αφελή παιδική περιέργεια.

Καλείται ένα ζεύγος αριθμών του οποίου το γινόμενο είναι ίσο με ένα αμοιβαία αντίστροφα.

Παραδείγματα: 5 και 1/5, −6/7 και −7/6, και

Για οποιονδήποτε αριθμό a δεν είναι ίσος με μηδέν, υπάρχει αντίστροφο 1/a.

Το αντίστροφο του μηδενός είναι το άπειρο.

Αντίστροφα κλάσματα- αυτά είναι δύο κλάσματα των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με 1. Για παράδειγμα, 3/7 και 7/3. 5/8 και 8/5, κ.λπ.

δείτε επίσης

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Δείτε τι είναι ο "Αντίστροφος αριθμός" σε άλλα λεξικά:

Ένας αριθμός του οποίου το γινόμενο με έναν δεδομένο αριθμό ισούται με ένα. Δύο τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι. Αυτά είναι, για παράδειγμα, 5 και 1/5, 2/3 και 3/2, κ.λπ. Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

αμοιβαίος αριθμός- - [A.S. Goldberg. Αγγλο-ρωσικό ενεργειακό λεξικό. 2006] Θέματα ενέργειας γενικά EN αντίστροφος αριθμός αντίστροφος αριθμός ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

Ένας αριθμός του οποίου το γινόμενο με έναν δεδομένο αριθμό ισούται με ένα. Δύο τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι. Αυτά είναι, για παράδειγμα, το 5 και το 1/5, το 2/3 και το 3/2, κ.λπ. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Ένας αριθμός του οποίου το γινόμενο με έναν δεδομένο αριθμό ισούται με ένα. Δύο τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι. Αυτά είναι, για παράδειγμα, 5 και α, δεν ισούται με μηδέν, υπάρχει αντίστροφη... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Ένας αριθμός του οποίου το γινόμενο με έναν δεδομένο αριθμό είναι ίσο με ένα. Καλούνται δύο τέτοιοι αριθμοί. αμοιβαία αντίστροφα. Αυτά είναι, για παράδειγμα, το 5 και το 1/5. 2/3 και 3/2 κλπ... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Αριθμός (έννοιες). Ο αριθμός είναι μια βασική έννοια στα μαθηματικά που χρησιμοποιείται για την ποσοτικοποίηση, τη σύγκριση και τον αριθμό αντικειμένων. Έχοντας προκύψει στην πρωτόγονη κοινωνία από τις ανάγκες... ... Wikipedia

Δείτε επίσης: Αριθμός (γλωσσολογία) Ο αριθμός είναι μια αφαίρεση που χρησιμοποιείται για τον ποσοτικό χαρακτηρισμό αντικειμένων. Έχοντας προκύψει στην πρωτόγονη κοινωνία από τις ανάγκες της μέτρησης, η έννοια του αριθμού άλλαξε και εμπλουτίστηκε και μετατράπηκε στο πιο σημαντικό μαθηματικό... Wikipedia

Ο αντίστροφος στροβιλισμός του νερού κατά τη διάρκεια της αποστράγγισης είναι ένας ψευδοεπιστημονικός μύθος που βασίζεται στην εσφαλμένη εφαρμογή του φαινομένου Coriolis στην κίνηση του νερού σε μια υδρομασάζ που συμβαίνει όταν ρέει στην οπή αποστράγγισης ενός νεροχύτη ή της μπανιέρας. Η ουσία του μύθου είναι ότι το νερό... ... Wikipedia

ΠΑΡΑΛΟΓΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν τον αριθμό T2 και p. Επομένως, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί με άπειρος αριθμός(μη περιοδικά) δεκαδικά ψηφία. (Δεν ισχύει όμως το αντίθετο... ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που συσχετίζει μια συνάρτηση μιας σύνθετης μεταβλητής (εικόνα) με μια συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής (πρωτότυπο). Με τη βοήθειά του μελετώνται οι ιδιότητες των δυναμικών συστημάτων και λύνονται διαφορικές και ... Wikipedia

Βιβλία

• Happy Wives Club, Weaver Von. 27 γυναίκες από διάφορα μέρη του κόσμου που δεν γνωρίζονται μεταξύ τους, με διαφορετικές τύχες. Δεν έχουν τίποτα κοινό, εκτός από ένα πράγμα - είναι απίστευτα ευτυχισμένοι στο γάμο για περισσότερα από 25 χρόνια, γιατί ξέρουν το Μυστικό...Όταν...

Οι αμοιβαίοι -ή αμοιβαία αμοιβαίοι- αριθμοί είναι ένα ζευγάρι αριθμών που πολλαπλασιαζόμενοι δίνουν 1. Στην πραγματικότητα γενική εικόνατα αντίστροφα είναι αριθμοί. Χαρακτηριστικό γνώρισμα ειδική περίπτωσηαμοιβαίοι αριθμοί - ένα ζευγάρι. Τα αντίστροφα είναι, ας πούμε, αριθμοί. .

Πώς να βρείτε το αντίστροφο ενός αριθμού

Κανόνας: πρέπει να διαιρέσετε το 1 (ένα) με έναν δεδομένο αριθμό.

Παράδειγμα Νο. 1.

Δίνεται ο αριθμός 8. Το αντίστροφό του είναι 1:8 ή (η δεύτερη επιλογή είναι προτιμότερη, γιατί αυτή η σημείωση είναι μαθηματικά πιο σωστή).

Όταν αναζητάτε τον αντίστροφο αριθμό για κοινό κλάσμα, τότε η διαίρεση με το 1 δεν είναι πολύ βολικό, γιατί η ηχογράφηση είναι δυσκίνητη. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι πολύ πιο εύκολο να κάνετε τα πράγματα διαφορετικά: το κλάσμα απλώς αναποδογυρίζεται, ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Εάν δοθεί κατάλληλο κλάσμα, τότε μετά την ανατροπή το κλάσμα που προκύπτει είναι ακατάλληλο, δηλ. ένα από το οποίο μπορεί να απομονωθεί ένα ολόκληρο μέρος. Το αν θα γίνει αυτό ή όχι πρέπει να αποφασίζεται κατά περίπτωση. Έτσι, εάν στη συνέχεια πρέπει να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με το ανεστραμμένο κλάσμα που προκύπτει (για παράδειγμα, πολλαπλασιασμός ή διαίρεση), τότε δεν πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα. Εάν το κλάσμα που προκύπτει είναι το τελικό αποτέλεσμα, τότε ίσως είναι επιθυμητή η απομόνωση ολόκληρου του τμήματος.

Παράδειγμα Νο. 2.

Δίνεται ένα κλάσμα. Αντίστροφα: .

Εάν πρέπει να βρείτε το αντίστροφο ενός δεκαδικού κλάσματος, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο κανόνα (διαιρώντας το 1 με τον αριθμό). Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να ενεργήσετε με έναν από τους 2 τρόπους. Το πρώτο είναι απλά να διαιρέσουμε το 1 με αυτόν τον αριθμό σε μια στήλη. Το δεύτερο είναι να σχηματίσετε ένα κλάσμα από το 1 στον αριθμητή και ένα δεκαδικό στον παρονομαστή και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 10, το 100 ή έναν άλλο αριθμό που αποτελείται από ένα 1 και όσα μηδενικά χρειάζονται για να απαλλαγούμε από το υποδιαστολή στον παρονομαστή. Το αποτέλεσμα θα είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα, το οποίο είναι το αποτέλεσμα. Εάν είναι απαραίτητο, μπορεί να χρειαστεί να το συντομεύσετε, να επιλέξετε ένα ολόκληρο τμήμα από αυτό ή να το μετατρέψετε σε δεκαδική μορφή.

Παράδειγμα Νο. 3.

Ο αριθμός που δίνεται είναι 0,82. Ο αμοιβαίος αριθμός είναι: . Τώρα ας μειώσουμε το κλάσμα και ας επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος: .

Πώς να ελέγξετε αν δύο αριθμοί είναι αμοιβαίοι

Η αρχή της επαλήθευσης βασίζεται στον καθορισμό αμοιβαίων αριθμών. Δηλαδή, για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί είναι αντίστροφοι μεταξύ τους, πρέπει να τους πολλαπλασιάσετε. Εάν το αποτέλεσμα είναι ένα, τότε οι αριθμοί είναι αμοιβαία αντίστροφοι.

Παράδειγμα αρ. 4.

Δίνονται οι αριθμοί 0,125 και 8. Είναι αμοιβαίοι;

Εξέταση. Είναι απαραίτητο να βρούμε το γινόμενο των 0,125 και 8. Για λόγους σαφήνειας, ας παρουσιάσουμε αυτούς τους αριθμούς με τη μορφή συνηθισμένων κλασμάτων: (μειώστε το 1ο κλάσμα κατά 125). Συμπέρασμα: οι αριθμοί 0,125 και 8 είναι αμοιβαίοι.

Ιδιότητες των αντίστροφων αριθμών

Ακίνητο Νο. 1

Υπάρχει αμοιβαίος αριθμός για οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το 0.

Αυτός ο περιορισμός οφείλεται στο γεγονός ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0 και κατά τον προσδιορισμό του αμοιβαίου αριθμού για το μηδέν, θα πρέπει να μετακινηθεί στον παρονομαστή, δηλ. πραγματικά διαιρέστε με αυτό.

Ακίνητο Νο 2

Το άθροισμα ενός ζεύγους αμοιβαίων αριθμών δεν είναι πάντα μικρότερο από 2.

Μαθηματικά, αυτή η ιδιότητα μπορεί να εκφραστεί με την ανισότητα: .

Ακίνητο Νο. 3

Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με δύο αντίστροφους αριθμούς ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό με έναν. Ας εκφράσουμε αυτή την ιδιότητα μαθηματικά: .

Παράδειγμα αρ. 5.

Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 3,4·0,125·8. Εφόσον οι αριθμοί 0,125 και 8 είναι αμοιβαίοι (βλ. Παράδειγμα Νο. 4), δεν χρειάζεται να πολλαπλασιάσουμε το 3,4 με το 0,125 και μετά με το 8. Έτσι, η απάντηση εδώ θα είναι 3.4.

Ας δώσουμε έναν ορισμό και ας δώσουμε παραδείγματα αντίστροφων αριθμών. Ας δούμε πώς βρίσκουμε το αντίστροφο ενός φυσικού αριθμού και το αντίστροφο ενός κοινού κλάσματος. Επιπλέον, σημειώνουμε και αποδεικνύουμε μια ανισότητα που αντανακλά την ιδιότητα του αθροίσματος των αντίστροφων αριθμών.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αμοιβαίοι αριθμοί. Ορισμός

Ορισμός. Αμοιβαίοι αριθμοί

Οι αμοιβαίοι αριθμοί είναι οι αριθμοί των οποίων το γινόμενο ισούται με ένα.

Αν a · b = 1, τότε μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός a είναι το αντίστροφο του αριθμού b, όπως και ο αριθμός b είναι το αντίστροφο του αριθμού a.

Το απλούστερο παράδειγμα αμοιβαίων αριθμών είναι δύο μονάδες. Πράγματι, 1 · 1 = 1, επομένως a = 1 και b = 1 είναι αμοιβαία αντίστροφοι αριθμοί. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι αριθμοί 3 και 1 3, - 2 3 και - 3 2, 6 13 και 13 6, log 3 17 και log 17 3. Το γινόμενο οποιουδήποτε ζεύγους αριθμών παραπάνω είναι ίσο με ένα. Εάν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, όπως για παράδειγμα για τους αριθμούς 2 και 2 3, τότε οι αριθμοί δεν είναι αμοιβαία αντίστροφοι.

Ο ορισμός των αμοιβαίων αριθμών ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό - φυσικό, ακέραιο, πραγματικό και μιγαδικό.

Πώς να βρείτε το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού

Ας εξετάσουμε τη γενική περίπτωση. Εάν ο αρχικός αριθμός είναι ίσος με a, τότε ο αντίστροφος αριθμός του θα γραφεί ως 1 a ή a - 1. Πράγματι, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Για φυσικούς αριθμούς και συνηθισμένα κλάσματα, η εύρεση του αντίστροφου είναι αρκετά απλή. Θα μπορούσε να πει κανείς ότι είναι προφανές. Εάν βρείτε έναν αριθμό που είναι το αντίστροφο ενός παράλογου ή μιγαδικού αριθμού, θα πρέπει να κάνετε μια σειρά υπολογισμών.

Ας εξετάσουμε τις πιο συνηθισμένες περιπτώσεις εύρεσης του αμοιβαίου αριθμού στην πράξη.

Το αντίστροφο ενός κοινού κλάσματος

Προφανώς, το αντίστροφο ενός κοινού κλάσματος a b είναι το κλάσμα b a. Έτσι, για να βρείτε το αντίστροφο ενός κλάσματος, πρέπει απλώς να αναστρέψετε το κλάσμα. Δηλαδή, αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα, μπορείτε να γράψετε το αντίστροφο οποιουδήποτε συνηθισμένου κλάσματος σχεδόν αμέσως. Έτσι, για το κλάσμα 28 57 ο αμοιβαίος αριθμός θα είναι το κλάσμα 57 28 και για το κλάσμα 789 256 - ο αριθμός 256 789.

Το αντίστροφο ενός φυσικού αριθμού

Μπορείτε να βρείτε το αντίστροφο οποιουδήποτε φυσικού αριθμού με τον ίδιο τρόπο όπως βρίσκοντας το αντίστροφο ενός κλάσματος. Αρκεί να αναπαραστήσουμε τον φυσικό αριθμό a με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος a 1. Τότε ο αντίστροφος αριθμός του θα είναι ο αριθμός 1 α. Για φυσικός αριθμός 3 το αντίστροφό του είναι το κλάσμα 1 3, για τον αριθμό 666 το αντίστροφο είναι 1 666 κ.ο.κ.

Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στο ένα, αφού είναι ο μόνος αριθμός του οποίου το αντίστροφο είναι ίσο με τον εαυτό του.

Δεν υπάρχουν άλλα ζεύγη αμοιβαίων αριθμών όπου και τα δύο συστατικά είναι ίσα.

Το αντίστροφο ενός μικτού αριθμού

Ο μικτός αριθμός μοιάζει με b c. Για να βρείτε τον αντίστροφο αριθμό του, πρέπει να αναπαραστήσετε τον μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα και, στη συνέχεια, να επιλέξετε τον αντίστροφο αριθμό για το κλάσμα που προκύπτει.

Για παράδειγμα, ας βρούμε τον αμοιβαίο αριθμό για το 7 2 5. Αρχικά, ας φανταστούμε το 7 2 5 ως ακατάλληλο κλάσμα: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Για το ακατάλληλο κλάσμα 37 5, το αντίστροφο είναι 5 37.

Αντίστροφο δεκαδικού

Ένα δεκαδικό μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Η εύρεση του αντίστροφου ενός δεκαδικού αριθμού καταλήγει στην αναπαράσταση του δεκαδικού ως κλάσμα και στην εύρεση της αμοιβαίας του.

Για παράδειγμα, υπάρχει ένα κλάσμα 5, 128. Ας βρούμε τον αντίστροφο αριθμό του. Πρώτα, μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα σε ένα συνηθισμένο κλάσμα: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Για το κλάσμα που προκύπτει, ο αμοιβαίος αριθμός θα είναι το κλάσμα 125 641.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα. Εύρεση του αντίστροφου δεκαδικού

Ας βρούμε τον αντίστροφο αριθμό για το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 2, (18).

Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε συνηθισμένο κλάσμα:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Μετά τη μετάφραση, μπορούμε εύκολα να γράψουμε τον αντίστροφο αριθμό για το κλάσμα 24 11. Αυτός ο αριθμός θα είναι προφανώς 11 24.

Για ένα άπειρο και μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, ο αμοιβαίος αριθμός γράφεται ως κλάσμα με μονάδα στον αριθμητή και το ίδιο το κλάσμα στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, για το άπειρο κλάσμα 3, 6025635789. . . ο αμοιβαίος αριθμός θα είναι 1 3, 6025635789. . . .

Ομοίως, για άρρητους αριθμούς που αντιστοιχούν σε μη περιοδικά άπειρα κλάσματα, οι αντίστροφοι αριθμοί γράφονται με τη μορφή κλασματικών παραστάσεων.

Για παράδειγμα, το αντίστροφο για π + 3 3 80 θα είναι 80 π + 3 3, και για τον αριθμό 8 + e 2 + e το αντίστροφο θα είναι το κλάσμα 1 8 + e 2 + e.

Αντίστροφοι αριθμοί με ρίζες

Εάν ο τύπος δύο αριθμών είναι διαφορετικός από τον a και τον 1 a, τότε δεν είναι πάντα εύκολο να προσδιοριστεί εάν οι αριθμοί είναι αμοιβαίοι. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για αριθμούς που έχουν σύμβολο ρίζας στη σημειογραφία τους, καθώς συνήθως είναι συνηθισμένο να απαλλαγούμε από τη ρίζα στον παρονομαστή.

Ας στραφούμε στην εξάσκηση.

Ας απαντήσουμε στην ερώτηση: οι αριθμοί 4 - 2 3 και 1 + 3 2 είναι αμοιβαίοι;

Για να μάθουμε αν οι αριθμοί είναι αμφίδρομοι, ας υπολογίσουμε το γινόμενο τους.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Το γινόμενο είναι ίσο με ένα, που σημαίνει ότι οι αριθμοί είναι αμοιβαίοι.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα. Αντίστροφοι αριθμοί με ρίζες

Γράψτε το αντίστροφο 5 3 + 1.

Μπορούμε αμέσως να γράψουμε ότι ο αντίστροφος αριθμός είναι ίσος με το κλάσμα 1 5 3 + 1. Ωστόσο, όπως έχουμε ήδη πει, συνηθίζεται να απαλλαγούμε από τη ρίζα στον παρονομαστή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 25 3 - 5 3 + 1. Παίρνουμε:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Αντίστροφοι αριθμοί με δυνάμεις

Ας πούμε ότι υπάρχει ένας αριθμός ίσος με κάποια δύναμη του αριθμού α. Με άλλα λόγια, ο αριθμός a αυξήθηκε στην ισχύ n. Το αντίστροφο του αριθμού a n είναι ο αριθμός a - n . Ας το ελέγξουμε. Πράγματι: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Παράδειγμα. Αντίστροφοι αριθμοί με δυνάμεις

Ας βρούμε τον αμοιβαίο αριθμό για το 5 - 3 + 4.

Σύμφωνα με όσα γράφτηκαν παραπάνω, ο απαιτούμενος αριθμός είναι 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Αντίστροφοι αριθμοί με λογάριθμους

Για τον λογάριθμο ενός αριθμού στη βάση b, το αντίστροφο είναι ο αριθμός ίσο με λογάριθμοαριθμοί β στη βάση α.

log a b και log b a είναι αμοιβαία αντίστροφοι αριθμοί.

Ας το ελέγξουμε. Από τις ιδιότητες του λογαρίθμου προκύπτει ότι log a b = 1 log b a, που σημαίνει log a b · log b a.

Παράδειγμα. Αντίστροφοι αριθμοί με λογάριθμους

Βρείτε το αντίστροφο του ημερολογίου 3 5 - 2 3 .

Το αντίστροφο του λογάριθμου του 3 στη βάση 3 5 - 2 είναι ο λογάριθμος του 3 5 - 2 στη βάση 3.

Το αντίστροφο ενός μιγαδικού αριθμού

Όπως σημειώθηκε προηγουμένως, ο ορισμός των αμοιβαίων αριθμών ισχύει όχι μόνο για πραγματικούς αριθμούς, αλλά και για μιγαδικούς.

Οι μιγαδικοί αριθμοί αναπαρίστανται συνήθως με αλγεβρική μορφή z = x + i y. Το αντίστροφο του δεδομένου αριθμού είναι κλάσμα

1 x + i y . Για ευκολία, μπορείτε να συντομεύσετε αυτήν την έκφραση πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί x - i y.

Παράδειγμα. Το αντίστροφο ενός μιγαδικού αριθμού

Έστω μιγαδικός αριθμός z = 4 + i. Ας βρούμε το αντίστροφο του.

Το αντίστροφο του z = 4 + i θα είναι ίσο με 1 4 + i.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 4 - i και λάβετε:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Εκτός από την αλγεβρική μορφή, ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε τριγωνομετρική ή εκθετική μορφή ως εξής:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Κατά συνέπεια, ο αντίστροφος αριθμός θα μοιάζει με:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Ας βεβαιωθούμε για αυτό:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Ας δούμε παραδείγματα με την αναπαράσταση μιγαδικοί αριθμοίσε τριγωνομετρική και εκθετική μορφή.

Ας βρούμε τον αντίστροφο αριθμό για το 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Θεωρώντας ότι r = 2 3, φ = π 6, γράφουμε τον αντίστροφο αριθμό

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Παράδειγμα. Να βρείτε το αντίστροφο ενός μιγαδικού αριθμού

Ποιος αριθμός θα είναι ο αντίστροφος του 2 · e i · - 2 π 5 .

Απάντηση: 1 2 e i 2 π 5

Άθροισμα αμοιβαίων αριθμών. Ανισότητα

Υπάρχει ένα θεώρημα για το άθροισμα δύο αμοιβαία αντίστροφων αριθμών.

Άθροισμα αμοιβαίων αριθμών

Το άθροισμα δύο θετικών και αντίστροφων αριθμών είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο του 2.

Ας δώσουμε μια απόδειξη του θεωρήματος. Όπως είναι γνωστό, για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς a και b, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον γεωμετρικό μέσο όρο. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως ανισότητα:

a + b 2 ≥ a b

Αν αντί για τον αριθμό b πάρουμε το αντίστροφο του a, η ανίσωση θα πάρει τη μορφή:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Ας δώσουμε ένα πρακτικό παράδειγμα που επεξηγεί αυτήν την ιδιότητα.

Παράδειγμα. Να βρείτε το άθροισμα των αντίστροφων αριθμών

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των αριθμών 2 3 και το αντίστροφό του.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Όπως λέει το θεώρημα, ο αριθμός που προκύπτει είναι μεγαλύτερος από δύο.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter