Καμπύλες δεύτερης τάξηςσε ένα επίπεδο είναι γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή συντεταγμένες ΧΚαι yπεριέχονται στον δεύτερο βαθμό. Αυτά περιλαμβάνουν την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή.

Η γενική μορφή της εξίσωσης καμπύλης δεύτερης τάξης είναι η εξής:

Οπου A, B, C, D, E, F- αριθμούς και τουλάχιστον έναν από τους συντελεστές Α, Β, Γόχι ίσο με μηδέν.

Κατά την επίλυση προβλημάτων με καμπύλες δεύτερης τάξης, λαμβάνονται υπόψη οι κανονικές εξισώσεις της έλλειψης, της υπερβολής και της παραβολής. Είναι εύκολο να προχωρήσουμε σε αυτές από τις γενικές εξισώσεις· το παράδειγμα 1 των προβλημάτων με τις ελλείψεις θα αφιερωθεί σε αυτό.

Έλειψη που δίνεται από την κανονική εξίσωση

Ορισμός έλλειψης.Έλειψη είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από τα σημεία που ονομάζονται εστίες είναι σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.

Οι εστίες υποδεικνύονται όπως στο παρακάτω σχήμα.

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή:

Οπου έναΚαι σι (ένα > σι) - τα μήκη των ημι-αξόνων, δηλ., τα μισά μήκη των τμημάτων που κόβονται από την έλλειψη στους άξονες συντεταγμένων.

Η ευθεία που διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης είναι ο άξονας συμμετρίας της. Ένας άλλος άξονας συμμετρίας μιας έλλειψης είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το μέσο ενός τμήματος κάθετου σε αυτό το τμήμα. Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕη τομή αυτών των γραμμών χρησιμεύει ως το κέντρο συμμετρίας της έλλειψης ή απλώς το κέντρο της έλλειψης.

Ο άξονας της τετμημένης της έλλειψης τέμνεται στα σημεία ( ένα, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ) Και (- ένα, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ), και ο άξονας τεταγμένων είναι σε σημεία ( σι, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ) Και (- σι, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ). Αυτά τα τέσσερα σημεία ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Το τμήμα μεταξύ των κορυφών της έλλειψης στον άξονα x ονομάζεται κύριος άξονας και στον άξονα τεταγμένης - δευτερεύων άξονά του. Τα τμήματα τους από την κορυφή έως το κέντρο της έλλειψης ονομάζονται ημιάξονες.

Αν ένα = σι, τότε η εξίσωση της έλλειψης παίρνει τη μορφή . Αυτή είναι η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ένα, και ο κύκλος είναι ειδική περίπτωσηέλλειψη. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί από έναν κύκλο ακτίνας ένα, εάν το συμπιέσετε σε ένα/σιφορές κατά μήκος του άξονα Oy .

Παράδειγμα 1.Ελέγξτε εάν μια γραμμή που δίνεται από μια γενική εξίσωση είναι , έλλειψη.

Λύση. Κάνουμε μεταμορφώσεις γενική εξίσωση. Χρησιμοποιούμε τη μεταφορά του ελεύθερου όρου στη δεξιά πλευρά, τη διαίρεση όρου προς όρο της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό και τη μείωση των κλασμάτων:

Απάντηση. Η εξίσωση που προκύπτει ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης. Επομένως, αυτή η γραμμή είναι έλλειψη.

Παράδειγμα 2.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι ημιάξονες της είναι 5 και 4, αντίστοιχα.

Λύση. Εξετάζουμε τον τύπο για την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης και υποκαθιστούμε: ο ημικύριος άξονας είναι ένα= 5, ο ημικατώτερος άξονας είναι σι= 4. Λαμβάνουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Σημεία και , υποδεικνύονται με πράσινο χρώμα στον κύριο άξονα, όπου

λέγονται κόλπα.

που ονομάζεται εκκεντρικότηταέλλειψη.

Στάση σι/έναχαρακτηρίζει την «απλότητα» της έλλειψης. Όσο μικρότερη είναι αυτή η αναλογία, τόσο περισσότερο επιμηκύνεται η έλλειψη κατά μήκος του κύριου άξονα. Ωστόσο, ο βαθμός επιμήκυνσης μιας έλλειψης εκφράζεται συχνότερα μέσω της εκκεντρότητας, ο τύπος της οποίας δίνεται παραπάνω. Για διαφορετικές ελλείψεις, η εκκεντρότητα κυμαίνεται από 0 έως 1, παραμένοντας πάντα μικρότερη από τη μονάδα.

Παράδειγμα 3.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8 και του κύριου άξονα είναι 10.

Λύση. Ας βγάλουμε μερικά απλά συμπεράσματα:

Αν ο κύριος άξονας είναι ίσος με 10, τότε το μισό του, δηλαδή ο ημιάξονας ένα = 5 ,

Εάν η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 8, τότε ο αριθμός ντοτων εστιακών συντεταγμένων ισούται με 4.

Αντικαθιστούμε και υπολογίζουμε:

Το αποτέλεσμα είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 4.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν ο κύριος άξονάς της είναι 26 και η εκκεντρότητά της είναι .

Λύση. Όπως προκύπτει τόσο από το μέγεθος του κύριου άξονα όσο και από την εξίσωση της εκκεντρότητας, ο ημικύριος άξονας της έλλειψης ένα= 13. Από την εξίσωση της εκκεντρότητας εκφράζουμε τον αριθμό ντο, που απαιτείται για τον υπολογισμό του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

.

Υπολογίζουμε το τετράγωνο του μήκους του δευτερεύοντος ημιάξονα:

Συνθέτουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Παράδειγμα 5.Να προσδιορίσετε τις εστίες της έλλειψης που δίνονται από την κανονική εξίσωση.

Λύση. Βρείτε τον αριθμό ντο, που καθορίζει τις πρώτες συντεταγμένες των εστιών της έλλειψης:

.

Παίρνουμε τις εστίες της έλλειψης:

Παράδειγμα 6.Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα Βόδισυμμετρικά ως προς την προέλευση. Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση της έλλειψης αν:

1) η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι 30 και ο κύριος άξονας είναι 34

2) μικρός άξονας 24, και μία από τις εστίες είναι στο σημείο (-5; 0)

3) εκκεντρικότητα και μία από τις εστίες βρίσκεται στο σημείο (6; 0)

Ας συνεχίσουμε να λύνουμε προβλήματα έλλειψης μαζί

Αν είναι ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης (υποδεικνύεται με πράσινο χρώμα στο πάνω δεξιά μέρος της έλλειψης στο σχέδιο) και είναι η απόσταση σε αυτό το σημείο από τις εστίες, τότε οι τύποι για τις αποστάσεις είναι οι εξής:

Για κάθε σημείο που ανήκει στην έλλειψη, το άθροισμα των αποστάσεων από τις εστίες είναι σταθερή τιμή ίση με 2 ένα.

Γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις

λέγονται διευθυντέςέλλειψη (στο σχέδιο υπάρχουν κόκκινες γραμμές κατά μήκος των άκρων).

Από τις δύο παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης

,

όπου και είναι οι αποστάσεις αυτού του σημείου προς τις κατευθύνσεις και .

Παράδειγμα 7.Δίνεται έλλειψη. Να γράψετε μια εξίσωση για τις κατευθύνσεις του.

Λύση. Εξετάζουμε την εξίσωση της ευθείας και διαπιστώνουμε ότι πρέπει να βρούμε την εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλ. Έχουμε όλα τα δεδομένα για αυτό. Υπολογίζουμε:

.

Λαμβάνουμε την εξίσωση των κατευθύνσεων της έλλειψης:

Παράδειγμα 8.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας έλλειψης αν οι εστίες της είναι σημεία και οι κατευθύνσεις ευθείες.

Διαλέξεις για την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Εξάμηνο 1.

Διάλεξη 15. Έλειψη.

Κεφάλαιο 15. Έλειψη.

ρήτρα 1. Βασικοί ορισμοί.

Ορισμός. Μια έλλειψη είναι το GMT ενός επιπέδου, το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή.

Ορισμός. Η απόσταση από ένα αυθαίρετο σημείο Μ του επιπέδου μέχρι την εστία της έλλειψης ονομάζεται εστιακή ακτίνα του σημείου Μ.

Ονομασίες:
– εστίες της έλλειψης,
– εστιακές ακτίνες του σημείου Μ.

Σύμφωνα με τον ορισμό της έλλειψης, ένα σημείο Μ είναι ένα σημείο έλλειψης εάν και μόνο εάν
– σταθερή τιμή. Αυτή η σταθερά συνήθως συμβολίζεται ως 2a:

. (1)

σημειώσε ότι
.

Εξ ορισμού μιας έλλειψης, οι εστίες της είναι σταθερά σημεία, επομένως η απόσταση μεταξύ τους είναι επίσης σταθερή τιμή για μια δεδομένη έλλειψη.

Ορισμός. Η απόσταση μεταξύ των εστιών της έλλειψης ονομάζεται εστιακή απόσταση.

Ονομασία:
.

Από τρίγωνο
ακολουθεί ότι
, δηλ.

.

Ας συμβολίσουμε με b τον αριθμό ίσο με
, δηλ.

. (2)

Ορισμός. Στάση

(3)

ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης.

Ας εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων σε αυτό το επίπεδο, το οποίο θα ονομάσουμε κανονικό για την έλλειψη.

Ορισμός. Ο άξονας στον οποίο βρίσκονται οι εστίες της έλλειψης ονομάζεται εστιακός άξονας.

Ας κατασκευάσουμε ένα κανονικό PDSC για την έλλειψη, βλ. Εικ. 2.

Επιλέγουμε τον εστιακό άξονα ως άξονα τετμημένης και σχεδιάζουμε τον άξονα τεταγμένης στο μέσο του τμήματος
κάθετα στον εστιακό άξονα.

Τότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες
,
.

ρήτρα 2. Κανονική εξίσωση έλλειψης.

Θεώρημα. Στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων για μια έλλειψη, η εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή:

. (4)

Απόδειξη. Πραγματοποιούμε την απόδειξη σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, θα αποδείξουμε ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην έλλειψη ικανοποιούν την εξίσωση (4). Στο δεύτερο στάδιο θα αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης (4) δίνει τις συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται στην έλλειψη. Από εδώ θα ακολουθήσει ότι η εξίσωση (4) ικανοποιείται από εκείνα και μόνο εκείνα τα σημεία του επιπέδου συντεταγμένων που βρίσκονται στην έλλειψη. Από αυτό και από τον ορισμό της εξίσωσης μιας καμπύλης θα προκύψει ότι η εξίσωση (4) είναι μια εξίσωση μιας έλλειψης.

1) Έστω το σημείο M(x, y) σημείο της έλλειψης, δηλ. το άθροισμα των εστιακών ακτίνων του είναι 2a:

.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων και χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο για να βρούμε τις εστιακές ακτίνες ενός δεδομένου σημείου M:

,
, από όπου παίρνουμε:

Ας μετακινήσουμε μια ρίζα στη δεξιά πλευρά της ισότητας και ας την τετραγωνίσουμε:

Μειώνοντας, παίρνουμε:

Παρουσιάζουμε παρόμοια, μειώνουμε κατά 4 και αφαιρούμε το ριζικό:

.

Τετραγωνισμός

Ανοίξτε τις αγκύλες και συντομεύστε κατά
:

που φτάνουμε:

Χρησιμοποιώντας την ισότητα (2), παίρνουμε:

.

Διαιρώντας την τελευταία ισότητα με
, λαμβάνουμε ισότητα (4) κ.λπ.

2) Έστω τώρα ένα ζεύγος αριθμών (x, y) ικανοποιεί την εξίσωση (4) και έστω M(x, y) το αντίστοιχο σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων Oxy.

Στη συνέχεια από το (4) προκύπτει:

.

Αντικαθιστούμε αυτήν την ισότητα στην έκφραση για τις εστιακές ακτίνες του σημείου M:

.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ισότητα (2) και (3).

Ετσι,
. Επίσης,
.

Τώρα σημειώστε ότι από την ισότητα (4) προκύπτει ότι

ή
και τα λοιπά.
, τότε η ανισότητα ακολουθεί:

.

Από εδώ προκύπτει, με τη σειρά του, ότι

ή
Και

,
. (5)

Από τις ισότητες (5) προκύπτει ότι
, δηλ. το σημείο M(x, y) είναι ένα σημείο της έλλειψης κ.λπ.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός. Η εξίσωση (4) ονομάζεται κανονική εξίσωση της έλλειψης.

Ορισμός. Οι κανονικοί άξονες συντεταγμένων για μια έλλειψη ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης.

Ορισμός. Η αρχή του κανονικού συστήματος συντεταγμένων για μια έλλειψη ονομάζεται κέντρο της έλλειψης.

ρήτρα 3. Ιδιότητες της έλλειψης.

Θεώρημα. (Ιδιότητες μιας έλλειψης.)

1. Στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων για μια έλλειψη, τα πάντα

τα σημεία της έλλειψης βρίσκονται στο ορθογώνιο

,
.

2. Τα σημεία βρίσκονται επάνω

3. Μια έλλειψη είναι μια καμπύλη που είναι συμμετρική ως προς

τους κύριους άξονές τους.

4. Το κέντρο της έλλειψης είναι το κέντρο συμμετρίας της.

Απόδειξη. 1, 2) Αμέσως προκύπτει από την κανονική εξίσωση της έλλειψης.

3, 4) Έστω M(x, y) ένα αυθαίρετο σημείο της έλλειψης. Τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση (4). Αλλά τότε οι συντεταγμένες των σημείων ικανοποιούν επίσης την εξίσωση (4) και, επομένως, είναι σημεία της έλλειψης, από τα οποία ακολουθούν οι προτάσεις του θεωρήματος.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ορισμός. Η ποσότητα 2α ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης, η ποσότητα α ονομάζεται ημι-μείζον άξονας της έλλειψης.

Ορισμός. Η ποσότητα 2b ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης, η ποσότητα b ονομάζεται ημικατώτερος άξονας της έλλειψης.

Ορισμός. Τα σημεία τομής μιας έλλειψης με τους κύριους άξονές της ονομάζονται κορυφές της έλλειψης.

Σχόλιο. Μια έλλειψη μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής. Στο αεροπλάνο, "χτυπάμε ένα καρφί στα εστιακά σημεία" και στερεώνουμε ένα μήκος νήματος σε αυτά
. Στη συνέχεια παίρνουμε ένα μολύβι και με αυτό σφίγγουμε την κλωστή. Στη συνέχεια μετακινούμε το καλώδιο μολυβιού κατά μήκος του επιπέδου, φροντίζοντας να είναι τεντωμένο το νήμα.

Από τον ορισμό της εκκεντρικότητας προκύπτει ότι

Ας διορθώσουμε τον αριθμό α και ας κατευθύνουμε τον αριθμό c στο μηδέν. Στη συνέχεια στο
,
Και
. Στο όριο που φτάνουμε

ή
– εξίσωση κύκλου.

Ας κατευθύνουμε τώρα
. Επειτα
,
και βλέπουμε ότι στο όριο η έλλειψη εκφυλίζεται σε ευθύγραμμο τμήμα
στη σημειογραφία του σχήματος 3.

ρήτρα 4. Παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης.

Θεώρημα. Αφήνω
– αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Στη συνέχεια το σύστημα των εξισώσεων

,
(6)

είναι παραμετρικές εξισώσεις μιας έλλειψης στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων για την έλλειψη.

Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων (6) είναι ισοδύναμο με την εξίσωση (4), δηλ. έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων.

1) Έστω (x, y) μια αυθαίρετη λύση στο σύστημα (6). Διαιρέστε την πρώτη εξίσωση με το a, τη δεύτερη με το b, τετραγωνίστε και τις δύο εξισώσεις και προσθέστε:

.

Εκείνοι. οποιαδήποτε λύση (x, y) του συστήματος (6) ικανοποιεί την εξίσωση (4).

2) Αντίστροφα, έστω το ζεύγος (x, y) λύση της εξίσωσης (4), δηλ.

.

Από αυτή την ισότητα προκύπτει ότι το σημείο με συντεταγμένες
βρίσκεται σε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο στην αρχή, δηλ. είναι ένα σημείο σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο στο οποίο αντιστοιχεί μια ορισμένη γωνία
:

Από τον ορισμό του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς προκύπτει αμέσως ότι

,
, Οπου
, από το οποίο προκύπτει ότι το ζεύγος (x, y) είναι λύση στο σύστημα (6) κ.λπ.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σχόλιο. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί ως αποτέλεσμα της ομοιόμορφης «συμπίεσης» ενός κύκλου ακτίνας a προς τον άξονα της τετμημένης.

Αφήνω
– εξίσωση κύκλου με κέντρο στην αρχή. Η "συμπίεση" ενός κύκλου στον άξονα της τετμημένης δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας μετασχηματισμός του επιπέδου συντεταγμένων, που πραγματοποιείται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα. Για κάθε σημείο M(x, y) συσχετίζουμε ένα σημείο στο ίδιο επίπεδο
, Οπου
,
- αναλογία συμπίεσης.

Με αυτόν τον μετασχηματισμό, κάθε σημείο του κύκλου «μεταβαίνει» σε ένα άλλο σημείο του επιπέδου, το οποίο έχει την ίδια τετμημένη, αλλά μια μικρότερη τεταγμένη. Ας εκφράσουμε την παλιά τεταγμένη ενός σημείου μέσω της νέας:

και αντικαταστήστε τους κύκλους στην εξίσωση:

.

Από εδώ παίρνουμε:

. (7)

Από αυτό προκύπτει ότι αν πριν από τον μετασχηματισμό «συμπίεσης» το σημείο M(x, y) βρισκόταν στον κύκλο, δηλ. οι συντεταγμένες του ικανοποιούσαν την εξίσωση του κύκλου, στη συνέχεια μετά τον μετασχηματισμό «συμπίεσης» αυτό το σημείο «μεταμορφώθηκε» σε σημείο
, του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση έλλειψης (7). Εάν θέλουμε να λάβουμε την εξίσωση μιας έλλειψης με ημιμικρότερο άξοναb, τότε πρέπει να πάρουμε τον συντελεστή συμπίεσης

.

ρήτρα 5. Εφαπτομένη σε έλλειψη.

Θεώρημα. Αφήνω
– αυθαίρετο σημείο της έλλειψης

.

Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης αυτής της έλλειψης στο σημείο
έχει τη μορφή:

. (8)

Απόδειξη. Αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση όταν το σημείο εφαπτομένης βρίσκεται στο πρώτο ή το δεύτερο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων:
. Η εξίσωση της έλλειψης στο άνω ημιεπίπεδο έχει τη μορφή:

. (9)

Ας χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομενική εξίσωση στη γραφική παράσταση της συνάρτησης
στο σημείο
:

Οπου
– την τιμή της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης σε ένα σημείο
. Η έλλειψη στο πρώτο τρίμηνο μπορεί να θεωρηθεί ως γραφική παράσταση της συνάρτησης (8). Ας βρούμε την παράγωγο και την τιμή του στο σημείο εφαπτομενικής:

,

. Εδώ εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι το εφαπτομενικό σημείο
είναι σημείο της έλλειψης και επομένως οι συντεταγμένες της ικανοποιούν την εξίσωση έλλειψης (9), δηλ.

.

Αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της παραγώγου στην εφαπτομενική εξίσωση (10):

,

που φτάνουμε:

Αυτό υπονοεί:

Ας διαιρέσουμε αυτήν την ισότητα με
:

.

Μένει να σημειωθεί ότι
, επειδή τελεία
ανήκει στην έλλειψη και οι συντεταγμένες της ικανοποιούν την εξίσωσή της.

Η εφαπτομένη εξίσωση (8) αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο στο σημείο της εφαπτομένης που βρίσκεται στο τρίτο ή τέταρτο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.

Και τέλος, μπορούμε εύκολα να επαληθεύσουμε ότι η εξίσωση (8) δίνει την εφαπτομενική εξίσωση στα σημεία
,
:

ή
, Και
ή
.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

ρήτρα 6. Η ιδιότητα του καθρέφτη μιας έλλειψης.

Θεώρημα. Η εφαπτομένη στην έλλειψη έχει ίσες γωνίες με τις εστιακές ακτίνες του σημείου εφαπτομένης.

Αφήνω
- σημείο επαφής,
,
– εστιακές ακτίνες του εφαπτομενικού σημείου, P και Q – προβολές εστιών στην εφαπτομένη που έλκεται στην έλλειψη στο σημείο
.

Το θεώρημα λέει ότι

. (11)

Αυτή η ισότητα μπορεί να ερμηνευθεί ως η ισότητα των γωνιών πρόσπτωσης και ανάκλασης μιας ακτίνας φωτός από μια έλλειψη που απελευθερώνεται από την εστία της. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται κατοπτρική ιδιότητα της έλλειψης:

Μια ακτίνα φωτός που απελευθερώνεται από την εστία της έλλειψης, μετά από ανάκλαση από τον καθρέφτη της έλλειψης, διέρχεται από μια άλλη εστία της έλλειψης.

Απόδειξη του θεωρήματος. Για να αποδείξουμε την ισότητα των γωνιών (11), αποδεικνύουμε την ομοιότητα των τριγώνων
Και
, στην οποία τα μέρη
Και
θα είναι παρόμοια. Εφόσον τα τρίγωνα είναι ορθογώνια, αρκεί να αποδείξουμε την ισότητα

Μια έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από αυτά σε δύο δεδομένα σημεία F_1, και το F_2 είναι μια σταθερή τιμή (2a) μεγαλύτερη από την απόσταση (2c) μεταξύ αυτών δοθέντες πόντους(Εικ. 3.36, α). Αυτός ο γεωμετρικός ορισμός εκφράζει εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης.

Εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης

Τα σημεία F_1 και F_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, η απόσταση μεταξύ τους 2c=F_1F_2 είναι η εστιακή απόσταση, το μεσαίο Ο του τμήματος F_1F_2 είναι το κέντρο της έλλειψης, ο αριθμός 2a είναι το μήκος του κύριου άξονα του έλλειψη (ανάλογα, ο αριθμός α είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης). Τα τμήματα F_1M και F_2M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M της έλλειψης με τις εστίες του ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M. Το τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας έλλειψης ονομάζεται χορδή της έλλειψης.

Ο λόγος e=\frac(c)(a) ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Από τον ορισμό (2a>2c) προκύπτει ότι 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Γεωμετρικός ορισμός της έλλειψης, εκφράζοντας την εστιακή του ιδιότητα, ισοδυναμεί με τον αναλυτικό του ορισμό - τη γραμμή που δίνεται από την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Πράγματι, ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 3.36γ). Παίρνουμε το κέντρο Ο της έλλειψης ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων. παίρνουμε την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες (εστιακός άξονας ή πρώτος άξονας της έλλειψης) ως άξονας της τετμημένης (η θετική κατεύθυνση σε αυτήν είναι από το σημείο F_1 έως το σημείο F_2). ας πάρουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον εστιακό άξονα και που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης (ο δεύτερος άξονας της έλλειψης) ως άξονας τεταγμένων (η κατεύθυνση στον άξονα τεταγμένων επιλέγεται έτσι ώστε το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy να είναι σωστό) .

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την έλλειψη χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό της ορισμό, ο οποίος εκφράζει την εστιακή ιδιότητα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των εστιών F_1(-c,0),~F_2(c,0). Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y) που ανήκει στην έλλειψη, έχουμε:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Γράφοντας αυτήν την ισότητα σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Μετακινούμε τη δεύτερη ρίζα στη δεξιά πλευρά, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και φέρνουμε παρόμοιους όρους:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\αριστερό δεξί βέλος ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Διαιρώντας με το 4, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Έχοντας ορίσει b=\sqrt(a^2-c^2)>0, παίρνουμε b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με a^2b^2\ne0, καταλήγουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Επομένως, το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων είναι κανονικό.

Αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος (Εικ. 3.36,6), αφού a=b. Σε αυτή την περίπτωση, οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο θα είναι κανονικό O\ ισοδύναμο F_1 \ ισοδύναμο F_2, και η εξίσωση x^2+y^2=a^2 είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο Ο και ακτίνα ίση με a.

Με συλλογισμό μέσα αντίστροφη σειρά, μπορεί να φανεί ότι όλα τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (3.49), και μόνο αυτά, ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο σημείων που ονομάζεται έλλειψη. Με άλλα λόγια, ο αναλυτικός ορισμός μιας έλλειψης είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό ορισμό της, που εκφράζει την εστιακή ιδιότητα της έλλειψης.

Διευθυντική ιδιότητα μιας έλλειψης

Οι κατευθύνσεις μιας έλλειψης είναι δύο ευθείες γραμμές που εκτείνονται παράλληλες στον άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων στην ίδια απόσταση \frac(a^2)(c) από αυτό. Στο c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος, δεν υπάρχουν κατευθύνσεις (μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κατευθύνσεις βρίσκονται στο άπειρο).

Έλειψη με εκκεντρότητα 0 ο τόπος των σημείων στο επίπεδο, για καθένα από τα οποία ο λόγος της απόστασης προς ένα δεδομένο σημείο F (εστίαση) προς την απόσταση προς μια δεδομένη ευθεία d (directrix) που δεν διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο είναι σταθερός και ίσος με την εκκεντρότητα ε ( σκηνοθετική ιδιότητα μιας έλλειψης). Εδώ τα F και d είναι μία από τις εστίες της έλλειψης και μία από τις κατευθύνσεις της, που βρίσκονται στη μία πλευρά του άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων, δηλ. F_1,d_1 ή F_2,d_2.

Στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, για την εστίαση F_2 και την κατεύθυνση d_2 (Εικ. 3.37,6) η συνθήκη \frac(r_2)(\rho_2)=eμπορεί να γραφτεί σε συντεταγμένη μορφή:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Απαλλαγή από τον παραλογισμό και αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, φτάνουμε στην κανονική εξίσωση έλλειψης (3.49). Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εστίαση F_1 και τον σκηνοθέτη d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Εξίσωση έλλειψης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων

Η εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων F_1r\varphi (Εικ. 3.37, c και 3.37 (2)) έχει τη μορφή

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

όπου p=\frac(b^2)(a) είναι η εστιακή παράμετρος της έλλειψης.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε την αριστερή εστία F_1 της έλλειψης ως πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων και την ακτίνα F_1F_2 ως πολικό άξονα (Εικ. 3.37, γ). Τότε για ένα αυθαίρετο σημείο M(r,\varphi), σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό (εστιακή ιδιότητα) μιας έλλειψης, έχουμε r+MF_2=2a. Εκφράζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων M(r,\varphi) και F_2(2c,0) (βλ. παράγραφο 2 των παρατηρήσεων 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(στοίχιση)

Επομένως, σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση της έλλειψης F_1M+F_2M=2a έχει τη μορφή

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Απομονώνουμε τη ρίζα, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, διαιρούμε με το 4 και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Εκφράστε την πολική ακτίνα r και κάντε την αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \αριστερό βέλος \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Γεωμετρική σημασία των συντελεστών στην εξίσωση έλλειψης

Ας βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης (βλ. Εικ. 3.37α) με τους άξονες συντεταγμένων (κορυφές της έλλειψης). Αντικαθιστώντας το y=0 στην εξίσωση, βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα της τετμημένης (με τον εστιακό άξονα): x=\pm α. Επομένως, το μήκος του τμήματος του εστιακού άξονα που περιέχεται στο εσωτερικό της έλλειψης είναι ίσο με 2a. Αυτό το τμήμα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο αριθμός a είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης. Αντικαθιστώντας x=0, παίρνουμε y=\pm b. Επομένως, το μήκος του τμήματος του δεύτερου άξονα της έλλειψης που περιέχεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2b. Αυτό το τμήμα ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης και ο αριθμός b είναι ο ημικατώτερος άξονας της έλλειψης.

Πραγματικά, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, και η ισότητα b=a προκύπτει μόνο στην περίπτωση c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος. Στάση k=\frac(b)(a)\leqslant1ονομάζεται λόγος συμπίεσης έλλειψης.

Σημειώσεις 3.9

1. Οι ευθείες x=\pm a,~y=\pm b περιορίζουν το κύριο ορθογώνιο στο επίπεδο συντεταγμένων, στο εσωτερικό του οποίου υπάρχει έλλειψη (βλ. Εικ. 3.37, α).

2. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων που λαμβάνεται με τη συμπίεση ενός κύκλου στη διάμετρό του.

Πράγματι, έστω x^2+y^2=a^2 η εξίσωση ενός κύκλου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Όταν συμπιέζεται στον άξονα x με συντελεστή 0

\begin(περιπτώσεις)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end (περιπτώσεις)

Αντικαθιστώντας τους κύκλους x=x" και y=\frac(1)(k)y" στην εξίσωση, λαμβάνουμε την εξίσωση για τις συντεταγμένες της εικόνας M"(x",y") του σημείου M(x,y ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

αφού b=k\cdot a . Αυτή είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης.

3. Οι άξονες συντεταγμένων (του κανονικού συστήματος συντεταγμένων) είναι οι άξονες συμμετρίας της έλλειψης (ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης), και το κέντρο της είναι το κέντρο συμμετρίας.

Πράγματι, αν το σημείο M(x,y) ανήκει στην έλλειψη . τότε στην ίδια έλλειψη ανήκουν και τα σημεία Μ"(x,-y) και Μ""(-x,y), συμμετρικά προς το σημείο Μ ως προς τους άξονες των συντεταγμένων.

4. Από την εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(βλ. Εικ. 3.37, γ), διευκρινίζεται η γεωμετρική σημασία της εστιακής παραμέτρου - αυτό είναι το ήμισυ του μήκους της χορδής της έλλειψης που διέρχεται από την εστία της κάθετα στον εστιακό άξονα ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Η εκκεντρότητα ε χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου. Όσο μεγαλύτερο το e, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη, και όσο πιο κοντά το e είναι το μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι η έλλειψη σε έναν κύκλο (Εικ. 3.38a). Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη ότι e=\frac(c)(a) και c^2=a^2-b^2, παίρνουμε

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

όπου k είναι ο λόγος συμπίεσης της έλλειψης, 0

6. Εξίσωση \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1σε ένα

7. Εξίσωση \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bορίζει μια έλλειψη με κέντρο στο σημείο Ο"(x_0,y_0), οι άξονες της οποίας είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 3.38, γ). Αυτή η εξίσωση ανάγεται στην κανονική χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση (3.36).

Όταν a=b=R η εξίσωση (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο O"(x_0,y_0) .

Παραμετρική εξίσωση έλλειψης

Παραμετρική εξίσωση έλλειψηςστο κανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Πράγματι, αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με την εξίσωση (3.49), καταλήγουμε στην κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα \cos^2t+\sin^2t=1 .

Παράδειγμα 3.20.Σχεδιάστε μια έλλειψη \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Βρείτε τις εξισώσεις ημιάξονες, εστιακή απόσταση, εκκεντρότητα, αναλογία συμπίεσης, εστιακή παράμετρος, εξισώσεις κατευθύνσεων.

Λύση.Συγκρίνοντας τη δεδομένη εξίσωση με την κανονική, προσδιορίζουμε τους ημιάξονες: a=2 - ημι-κύριος άξονας, b=1 - ημι-μικρός άξονας της έλλειψης. Χτίζουμε το κύριο παραλληλόγραμμο με πλευρές 2a=4,~2b=2 με το κέντρο στην αρχή (Εικ. 3.39). Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία της έλλειψης, την προσαρμόζουμε στο κύριο ορθογώνιο. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίστε τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων της έλλειψης. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση της έλλειψης, παίρνουμε

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Επομένως, σημεία με συντεταγμένες \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ανήκουν στην έλλειψη.

Υπολογισμός του λόγου συμπίεσης k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); εστιακό μήκος 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); εκκεντρικότητα e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); εστιακή παράμετρος p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Συνθέτουμε τις εξισώσεις κατευθύνσεων: x=\pm\frac(a^2)(c)~\αριστερό βέλος~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Για να εκτελέσετε υπολογισμούς, πρέπει να ενεργοποιήσετε τα στοιχεία ελέγχου ActiveX!

Μια έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από τα οποία σε δύο δεδομένα σημεία F_1 και F_2 είναι μια σταθερή τιμή (2a), μεγαλύτερη από την απόσταση (2c) μεταξύ αυτών των σημείων (Εικ. 3.36, α). Αυτός ο γεωμετρικός ορισμός εκφράζει εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης.

Εστιακή ιδιότητα μιας έλλειψης

Τα σημεία F_1 και F_2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης, η απόσταση μεταξύ τους 2c=F_1F_2 είναι η εστιακή απόσταση, το μεσαίο Ο του τμήματος F_1F_2 είναι το κέντρο της έλλειψης, ο αριθμός 2a είναι το μήκος του κύριου άξονα του έλλειψη (ανάλογα, ο αριθμός α είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης). Τα τμήματα F_1M και F_2M που συνδέουν ένα αυθαίρετο σημείο M της έλλειψης με τις εστίες του ονομάζονται εστιακές ακτίνες του σημείου M. Το τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας έλλειψης ονομάζεται χορδή της έλλειψης.

Ο λόγος e=\frac(c)(a) ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Από τον ορισμό (2a>2c) προκύπτει ότι 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Γεωμετρικός ορισμός της έλλειψης, εκφράζοντας την εστιακή του ιδιότητα, ισοδυναμεί με τον αναλυτικό του ορισμό - τη γραμμή που δίνεται από την κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Πράγματι, ας εισαγάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 3.36γ). Παίρνουμε το κέντρο Ο της έλλειψης ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων. παίρνουμε την ευθεία που διέρχεται από τις εστίες (εστιακός άξονας ή πρώτος άξονας της έλλειψης) ως άξονας της τετμημένης (η θετική κατεύθυνση σε αυτήν είναι από το σημείο F_1 έως το σημείο F_2). ας πάρουμε μια ευθεία γραμμή κάθετη στον εστιακό άξονα και που διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης (ο δεύτερος άξονας της έλλειψης) ως άξονας τεταγμένων (η κατεύθυνση στον άξονα τεταγμένων επιλέγεται έτσι ώστε το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy να είναι σωστό) .

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την έλλειψη χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό της ορισμό, ο οποίος εκφράζει την εστιακή ιδιότητα. Στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των εστιών F_1(-c,0),~F_2(c,0). Για ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y) που ανήκει στην έλλειψη, έχουμε:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Γράφοντας αυτήν την ισότητα σε μορφή συντεταγμένων, παίρνουμε:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Μετακινούμε τη δεύτερη ρίζα στη δεξιά πλευρά, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και φέρνουμε παρόμοιους όρους:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\αριστερό δεξί βέλος ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Διαιρώντας με το 4, τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Έχοντας ορίσει b=\sqrt(a^2-c^2)>0, παίρνουμε b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με a^2b^2\ne0, καταλήγουμε στην κανονική εξίσωση της έλλειψης:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Επομένως, το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων είναι κανονικό.

Αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος (Εικ. 3.36,6), αφού a=b. Σε αυτή την περίπτωση, οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή στο σημείο θα είναι κανονικό O\ ισοδύναμο F_1 \ ισοδύναμο F_2, και η εξίσωση x^2+y^2=a^2 είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στο σημείο Ο και ακτίνα ίση με a.

Εκτελώντας τον συλλογισμό με αντίστροφη σειρά, μπορεί να φανεί ότι όλα τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (3.49), και μόνο αυτά, ανήκουν στον τόπο των σημείων που ονομάζεται έλλειψη. Με άλλα λόγια, ο αναλυτικός ορισμός μιας έλλειψης είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό ορισμό της, που εκφράζει την εστιακή ιδιότητα της έλλειψης.

Διευθυντική ιδιότητα μιας έλλειψης

Οι κατευθύνσεις μιας έλλειψης είναι δύο ευθείες γραμμές που εκτείνονται παράλληλες στον άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων στην ίδια απόσταση \frac(a^2)(c) από αυτό. Στο c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος, δεν υπάρχουν κατευθύνσεις (μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι κατευθύνσεις βρίσκονται στο άπειρο).

Έλειψη με εκκεντρότητα 0 ο τόπος των σημείων στο επίπεδο, για καθένα από τα οποία ο λόγος της απόστασης προς ένα δεδομένο σημείο F (εστίαση) προς την απόσταση προς μια δεδομένη ευθεία d (directrix) που δεν διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο είναι σταθερός και ίσος με την εκκεντρότητα ε ( σκηνοθετική ιδιότητα μιας έλλειψης). Εδώ τα F και d είναι μία από τις εστίες της έλλειψης και μία από τις κατευθύνσεις της, που βρίσκονται στη μία πλευρά του άξονα τεταγμένων του κανονικού συστήματος συντεταγμένων, δηλ. F_1,d_1 ή F_2,d_2.

Στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, για την εστίαση F_2 και την κατεύθυνση d_2 (Εικ. 3.37,6) η συνθήκη \frac(r_2)(\rho_2)=eμπορεί να γραφτεί σε συντεταγμένη μορφή:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Απαλλαγή από τον παραλογισμό και αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, φτάνουμε στην κανονική εξίσωση έλλειψης (3.49). Παρόμοιος συλλογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εστίαση F_1 και τον σκηνοθέτη d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Εξίσωση έλλειψης σε πολικό σύστημα συντεταγμένων

Η εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων F_1r\varphi (Εικ. 3.37, c και 3.37 (2)) έχει τη μορφή

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

όπου p=\frac(b^2)(a) είναι η εστιακή παράμετρος της έλλειψης.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε την αριστερή εστία F_1 της έλλειψης ως πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων και την ακτίνα F_1F_2 ως πολικό άξονα (Εικ. 3.37, γ). Τότε για ένα αυθαίρετο σημείο M(r,\varphi), σύμφωνα με τον γεωμετρικό ορισμό (εστιακή ιδιότητα) μιας έλλειψης, έχουμε r+MF_2=2a. Εκφράζουμε την απόσταση μεταξύ των σημείων M(r,\varphi) και F_2(2c,0) (βλ.):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(στοίχιση)

Επομένως, σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση της έλλειψης F_1M+F_2M=2a έχει τη μορφή

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Απομονώνουμε τη ρίζα, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, διαιρούμε με το 4 και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Εκφράστε την πολική ακτίνα r και κάντε την αντικατάσταση e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \αριστερό βέλος \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Γεωμετρική σημασία των συντελεστών στην εξίσωση έλλειψης

Ας βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης (βλ. Εικ. 3.37α) με τους άξονες συντεταγμένων (κορυφές της έλλειψης). Αντικαθιστώντας το y=0 στην εξίσωση, βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα της τετμημένης (με τον εστιακό άξονα): x=\pm α. Επομένως, το μήκος του τμήματος του εστιακού άξονα που περιέχεται στο εσωτερικό της έλλειψης είναι ίσο με 2a. Αυτό το τμήμα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης και ο αριθμός a είναι ο ημι-κύριος άξονας της έλλειψης. Αντικαθιστώντας x=0, παίρνουμε y=\pm b. Επομένως, το μήκος του τμήματος του δεύτερου άξονα της έλλειψης που περιέχεται μέσα στην έλλειψη είναι ίσο με 2b. Αυτό το τμήμα ονομάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης και ο αριθμός b είναι ο ημικατώτερος άξονας της έλλειψης.

Πραγματικά, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, και η ισότητα b=a προκύπτει μόνο στην περίπτωση c=0, όταν η έλλειψη είναι κύκλος. Στάση k=\frac(b)(a)\leqslant1ονομάζεται λόγος συμπίεσης έλλειψης.

Σημειώσεις 3.9

1. Οι ευθείες x=\pm a,~y=\pm b περιορίζουν το κύριο ορθογώνιο στο επίπεδο συντεταγμένων, στο εσωτερικό του οποίου υπάρχει έλλειψη (βλ. Εικ. 3.37, α).

2. Μια έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο τόπος των σημείων που λαμβάνεται με τη συμπίεση ενός κύκλου στη διάμετρό του.

Πράγματι, έστω x^2+y^2=a^2 η εξίσωση ενός κύκλου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Όταν συμπιέζεται στον άξονα x με συντελεστή 0

\begin(περιπτώσεις)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end (περιπτώσεις)

Αντικαθιστώντας τους κύκλους x=x" και y=\frac(1)(k)y" στην εξίσωση, λαμβάνουμε την εξίσωση για τις συντεταγμένες της εικόνας M"(x",y") του σημείου M(x,y ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

αφού b=k\cdot a . Αυτή είναι η κανονική εξίσωση της έλλειψης.

3. Οι άξονες συντεταγμένων (του κανονικού συστήματος συντεταγμένων) είναι οι άξονες συμμετρίας της έλλειψης (ονομάζονται κύριοι άξονες της έλλειψης), και το κέντρο της είναι το κέντρο συμμετρίας.

Πράγματι, αν το σημείο M(x,y) ανήκει στην έλλειψη . τότε στην ίδια έλλειψη ανήκουν και τα σημεία Μ"(x,-y) και Μ""(-x,y), συμμετρικά προς το σημείο Μ ως προς τους άξονες των συντεταγμένων.

4. Από την εξίσωση της έλλειψης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(βλ. Εικ. 3.37, γ), διευκρινίζεται η γεωμετρική σημασία της εστιακής παραμέτρου - αυτό είναι το ήμισυ του μήκους της χορδής της έλλειψης που διέρχεται από την εστία της κάθετα στον εστιακό άξονα (r=p στο \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Η εκκεντρότητα ε χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ της έλλειψης και του κύκλου. Όσο μεγαλύτερο το e, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη, και όσο πιο κοντά το e είναι το μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι η έλλειψη σε έναν κύκλο (Εικ. 3.38a). Πράγματι, λαμβάνοντας υπόψη ότι e=\frac(c)(a) και c^2=a^2-b^2, παίρνουμε

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\αριστερά(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

όπου k είναι ο λόγος συμπίεσης της έλλειψης, 0

6. Εξίσωση \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1σε ένα

7. Εξίσωση \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bορίζει μια έλλειψη με κέντρο στο σημείο Ο"(x_0,y_0), οι άξονες της οποίας είναι παράλληλοι στους άξονες συντεταγμένων (Εικ. 3.38, γ). Αυτή η εξίσωση ανάγεται στην κανονική χρησιμοποιώντας παράλληλη μετάφραση (3.36).

Όταν a=b=R η εξίσωση (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2περιγράφει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο στο σημείο O"(x_0,y_0) .

Παραμετρική εξίσωση έλλειψης

Παραμετρική εξίσωση έλλειψηςστο κανονικό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Πράγματι, αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις με την εξίσωση (3.49), φτάνουμε στην κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα \cos^2t+\sin^2t=1.

Παράδειγμα 3.20.Σχεδιάστε μια έλλειψη \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Βρείτε τις εξισώσεις ημιάξονες, εστιακή απόσταση, εκκεντρότητα, αναλογία συμπίεσης, εστιακή παράμετρος, εξισώσεις κατευθύνσεων.

Λύση.Συγκρίνοντας τη δεδομένη εξίσωση με την κανονική, προσδιορίζουμε τους ημιάξονες: a=2 - ημι-κύριος άξονας, b=1 - ημι-μικρός άξονας της έλλειψης. Χτίζουμε το κύριο παραλληλόγραμμο με πλευρές 2a=4,~2b=2 με το κέντρο στην αρχή (Εικ. 3.39). Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία της έλλειψης, την προσαρμόζουμε στο κύριο ορθογώνιο. Εάν είναι απαραίτητο, προσδιορίστε τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων της έλλειψης. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας x=1 στην εξίσωση της έλλειψης, παίρνουμε

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Επομένως, σημεία με συντεταγμένες \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ανήκουν στην έλλειψη.

Υπολογισμός του λόγου συμπίεσης k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); εστιακό μήκος 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); εκκεντρικότητα e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); εστιακή παράμετρος p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Συνθέτουμε τις εξισώσεις κατευθύνσεων: x=\pm\frac(a^2)(c)~\αριστερό βέλος~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).