Εδώ μπορείτε να λύσετε το σύστημα δωρεάν γραμμικές εξισώσεις Μέθοδος Gauss στο Διαδίκτυο μεγάλα μεγέθησε μιγαδικούς αριθμούς με πολύ λεπτομερή λύση. Η αριθμομηχανή μας μπορεί να λύσει online τόσο το συνηθισμένο οριστικό όσο και το αόριστο σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss, η οποία έχει άπειρο σύνολοαποφάσεις. Σε αυτή την περίπτωση, στην απάντηση θα λάβετε την εξάρτηση κάποιων μεταβλητών μέσω άλλων, δωρεάν. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε το σύστημα των εξισώσεων για συνέπεια στο διαδίκτυο χρησιμοποιώντας τη λύση Gaussian.

Μέγεθος μήτρας: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 38 34 34 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 719 888 88 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 353 34 34 34 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 83 80 81 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Σχετικά με τη μέθοδο

Κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων στο διαδίκτυο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, εκτελούνται τα ακόλουθα βήματα.

1. Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα.
2. Στην πραγματικότητα, η λύση χωρίζεται σε άμεση και αντίστροφο εγκεφαλικό επεισόδιοΜέθοδος Gauss. Η άμεση προσέγγιση της μεθόδου Gauss είναι η αναγωγή ενός πίνακα σε μια σταδιακή μορφή. Το αντίστροφο της μεθόδου Gauss είναι η αναγωγή ενός πίνακα σε μια ειδική σταδιακή μορφή. Αλλά στην πράξη, είναι πιο βολικό να μηδενίσετε αμέσως αυτό που βρίσκεται τόσο πάνω όσο και κάτω από το εν λόγω στοιχείο. Η αριθμομηχανή μας χρησιμοποιεί ακριβώς αυτή την προσέγγιση.
3. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι κατά την επίλυση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, η παρουσία στον πίνακα τουλάχιστον μιας μηδενικής γραμμής με μια ΜΗ μηδενική δεξιά πλευρά (στήλη ελεύθερων όρων) υποδηλώνει την ασυνέπεια του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχει λύση στο γραμμικό σύστημα.

Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς λειτουργεί ο αλγόριθμος Gaussian στο διαδίκτυο, εισαγάγετε οποιοδήποτε παράδειγμα, επιλέξτε "πολύ αναλυτική λύση" και αναζητήστε τη λύση του στο Διαδίκτυο.

1. Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

1.1 Η έννοια ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων είναι μια συνθήκη που αποτελείται από την ταυτόχρονη εκτέλεση πολλών εξισώσεων σε σχέση με πολλές μεταβλητές. Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (εφεξής SLAE) που περιέχει m εξισώσεις και n αγνώστους ονομάζεται σύστημα της μορφής:

όπου οι αριθμοί a ij ονομάζονται συντελεστές συστήματος, οι αριθμοί b i ονομάζονται ελεύθεροι όροι, ένα ijΚαι β i(i=1,…, m; b=1,…, n) αντιπροσωπεύουν κάποιους γνωστούς αριθμούς και το x 1 ,…, x n– άγνωστο. Στον προσδιορισμό των συντελεστών ένα ijο πρώτος δείκτης i δηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης και ο δεύτερος j είναι ο αριθμός του αγνώστου στον οποίο βρίσκεται αυτός ο συντελεστής. Πρέπει να βρεθούν οι αριθμοί x n. Είναι βολικό να γράψετε ένα τέτοιο σύστημα σε μορφή συμπαγούς μήτρας: AX=B.Εδώ το Α είναι ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος, που ονομάζεται κύριος πίνακας.

– διάνυσμα στήλης αγνώστων xj.
είναι ένα διάνυσμα στήλης ελεύθερων όρων bi.

Το γινόμενο των πινάκων Α*Χ ορίζεται, αφού στον πίνακα Α υπάρχουν τόσες στήλες όσες και οι σειρές στον πίνακα Χ (n τεμάχια).

Ο εκτεταμένος πίνακας ενός συστήματος είναι ο πίνακας Α του συστήματος, ο οποίος συμπληρώνεται από μια στήλη ελεύθερων όρων

1.2 Επίλυση συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών (τιμές μεταβλητών), όταν αντικαθιστώνται αντί για μεταβλητές, καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα.

Μια λύση σε ένα σύστημα είναι n τιμές των αγνώστων x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, με την αντικατάσταση των οποίων όλες οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται αληθινές ισότητες. Οποιαδήποτε λύση στο σύστημα μπορεί να γραφτεί ως πίνακας στήλης

Ένα σύστημα εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασυνεπές εάν δεν έχει καμία λύση.

Ένα συνεπές σύστημα λέγεται ότι είναι καθορισμένο εάν έχει μία μόνο λύση και αόριστο εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε λύση της ονομάζεται συγκεκριμένη λύση του συστήματος. Το σύνολο όλων των συγκεκριμένων λύσεων ονομάζεται γενική λύση.

Η επίλυση ενός συστήματος σημαίνει να ανακαλύψετε εάν είναι συμβατό ή ασυνεπές. Εάν το σύστημα είναι συνεπές, βρείτε το κοινή απόφαση.

Δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα (ισοδύναμα) αν έχουν την ίδια γενική λύση. Με άλλα λόγια, τα συστήματα είναι ισοδύναμα εάν κάθε λύση του ενός από αυτά είναι λύση του άλλου και το αντίστροφο.

Ένας μετασχηματισμός, η εφαρμογή του οποίου μετατρέπει ένα σύστημα σε ένα νέο σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό, ονομάζεται ισοδύναμος ή ισοδύναμος μετασχηματισμός. Παραδείγματα ισοδύναμων μετασχηματισμών περιλαμβάνουν τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: εναλλαγή δύο εξισώσεων ενός συστήματος, εναλλαγή δύο αγνώστων μαζί με τους συντελεστές όλων των εξισώσεων, πολλαπλασιασμός των δύο πλευρών οποιασδήποτε εξίσωσης ενός συστήματος με έναν μη μηδενικό αριθμό.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές αν όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν:

Ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού το x1=x2=x3=…=xn=0 είναι λύση του συστήματος. Αυτή η λύση ονομάζεται μηδενική ή τετριμμένη.

2. Gaussian μέθοδος εξάλειψης

2.1 Η ουσία της μεθόδου εξάλειψης Gauss

Η κλασική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων - Γκαουσιανή μέθοδος(ονομάζεται επίσης μέθοδος εξάλειψης Gauss). Αυτή είναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης μεταβλητών, όταν, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ένα σύστημα εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα βηματικής (ή τριγωνικής) μορφής, από το οποίο όλες οι άλλες μεταβλητές βρίσκονται διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία (από αριθμός) μεταβλητές.

Η διαδικασία επίλυσης με τη μέθοδο Gaussian αποτελείται από δύο στάδια: κινήσεις προς τα εμπρός και προς τα πίσω.

1. Άμεσο εγκεφαλικό επεισόδιο.

Στο πρώτο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη άμεση κίνηση, όταν, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών στις σειρές, το σύστημα φέρεται σε βαθμιδωτό ή τριγωνικό σχήμα ή διαπιστώνεται ότι το σύστημα είναι ασυμβίβαστο. Δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης του πίνακα, επιλέξτε ένα μη μηδενικό, μετακινήστε το στην ανώτατη θέση αναδιατάσσοντας τις σειρές και αφαιρέστε την πρώτη σειρά που προκύπτει από τις υπόλοιπες σειρές μετά την αναδιάταξη, πολλαπλασιάζοντάς την με μια τιμή ίση με την αναλογία του πρώτου στοιχείου καθεμιάς από αυτές τις σειρές προς το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς, μηδενίζοντας έτσι τη στήλη κάτω από αυτήν.

Αφού ολοκληρωθούν αυτοί οι μετασχηματισμοί, η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη διαγράφονται νοερά και συνεχίζονται μέχρι να παραμείνει ένας πίνακας μηδενικού μεγέθους. Εάν σε οποιαδήποτε επανάληψη δεν υπάρχει μη μηδενικό στοιχείο μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης, τότε μεταβείτε στην επόμενη στήλη και εκτελέστε μια παρόμοια λειτουργία.

Στο πρώτο στάδιο (άμεση διαδρομή), το σύστημα μειώνεται σε μια κλιμακωτή (ιδίως, τριγωνική) μορφή.

Το παρακάτω σύστημα έχει μια σταδιακή μορφή:

,

Συντελεστές aii ονομάζονται τα κύρια (οδηγητικά) στοιχεία του συστήματος.

(αν a11=0, αναδιατάξτε τις σειρές του πίνακα έτσι ώστε έναΤο 11 δεν ήταν ίσο με 0. Αυτό είναι πάντα δυνατό, γιατί διαφορετικά ο πίνακας περιέχει μια στήλη μηδέν, η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν και το σύστημα είναι ασυνεπές).

Ας μετασχηματίσουμε το σύστημα εξαλείφοντας το άγνωστο x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη (χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του συστήματος). Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί

και προσθέστε όρο προς όρο με τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (ή από τη δεύτερη εξίσωση αφαιρέστε όρο προς όρο με τον πρώτο, πολλαπλασιαζόμενο με ). Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί και τις προσθέτουμε στην τρίτη εξίσωση του συστήματος (ή από την τρίτη αφαιρούμε την πρώτη πολλαπλασιαζόμενη επί ). Έτσι, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά την πρώτη γραμμή με έναν αριθμό και προσθέτουμε σε Εγώη γραμμή, για i= 2, 3, …,n.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα:

– νέες τιμές συντελεστών για αγνώστους και ελεύθερους όρους στις τελευταίες εξισώσεις m-1 του συστήματος, οι οποίες καθορίζονται από τους τύπους:

Έτσι, στο πρώτο βήμα, καταστρέφονται όλοι οι συντελεστές που βρίσκονται κάτω από το πρώτο βασικό στοιχείο a 11

0, στο δεύτερο βήμα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από το δεύτερο οδηγό στοιχείο a 22 (1) καταστρέφονται (εάν είναι 22 (1) 0), κ.λπ. Συνεχίζοντας περαιτέρω αυτή τη διαδικασία, τελικά, στο βήμα (m-1), ανάγουμε το αρχικό σύστημα σε τριγωνικό σύστημα.

Εάν, κατά τη διαδικασία αναγωγής του συστήματος σε μια σταδιακή μορφή, εμφανίζονται μηδενικές εξισώσεις, δηλ. ισότητες της μορφής 0=0, απορρίπτονται. Αν εμφανιστεί μια εξίσωση της μορφής

τότε αυτό δείχνει την ασυμβατότητα του συστήματος.

Εδώ τελειώνει η άμεση εξέλιξη της μεθόδου του Gauss.

2. Αντίστροφο εγκεφαλικό επεισόδιο.

Στο δεύτερο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη αντίστροφη κίνηση, η ουσία της οποίας είναι να εκφράσει όλες τις βασικές μεταβλητές που προκύπτουν ως προς τις μη βασικές και την κατασκευή θεμελιώδες σύστημαλύσεις ή, εάν όλες οι μεταβλητές είναι βασικές, τότε να εκφράσετε αριθμητικά τη μοναδική λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων.

Αυτή η διαδικασία ξεκινά με την τελευταία εξίσωση, από την οποία εκφράζεται η αντίστοιχη βασική μεταβλητή (υπάρχει μόνο μία) και αντικαθίσταται από τις προηγούμενες εξισώσεις και ούτω καθεξής, ανεβαίνοντας τα «σκαλιά».

Κάθε γραμμή αντιστοιχεί ακριβώς σε μία βασική μεταβλητή, επομένως σε κάθε βήμα εκτός από την τελευταία (ανώτατη), η κατάσταση επαναλαμβάνει ακριβώς την περίπτωση της τελευταίας γραμμής.

Σημείωση: στην πράξη, είναι πιο βολικό να εργάζεστε όχι με το σύστημα, αλλά με την εκτεταμένη μήτρα του, εκτελώντας όλους τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές του. Είναι βολικό ο συντελεστής a11 να είναι ίσος με 1 (αναδιάταξη των εξισώσεων ή διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το a11).

2.2 Παραδείγματα επίλυσης SLAE με τη χρήση της μεθόδου Gauss

Σε αυτή την ενότητα υπάρχουν τρεις διάφορα παραδείγματαΑς δείξουμε πώς η μέθοδος Gauss μπορεί να λύσει το SLAE.

Παράδειγμα 1. Λύστε ένα SLAE 3ης τάξης.

Ας επαναφέρουμε τους συντελεστές στο

στη δεύτερη και τρίτη γραμμή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα με 2/3 και 1, αντίστοιχα, και προσθέστε τα στην πρώτη γραμμή:

Ας δοθεί ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που πρέπει να λυθεί (να βρείτε τέτοιες τιμές των αγνώστων xi που μετατρέπουν κάθε εξίσωση του συστήματος σε ισότητα).

Γνωρίζουμε ότι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί:

1) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι μη άρθρωση).
2) Να έχεις άπειρες λύσεις.
3) Έχετε μία μόνο λύση.

Όπως θυμόμαστε, ο κανόνας του Cramer και η μέθοδος matrix δεν είναι κατάλληλοι σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μέθοδος Gauss – το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσεων σε οποιοδήποτε σύστημα γραμμικών εξισώσεων, οι οποίες σε κάθε περίπτωσηθα μας οδηγήσει στην απάντηση! Ο ίδιος ο αλγόριθμος της μεθόδου λειτουργεί το ίδιο και στις τρεις περιπτώσεις. Εάν οι μέθοδοι Cramer και matrix απαιτούν γνώση καθοριστικών παραγόντων, τότε για να εφαρμόσετε τη μέθοδο Gauss χρειάζεστε μόνο γνώση αριθμητικών πράξεων, γεγονός που την καθιστά προσιτή ακόμη και σε μαθητές δημοτικού.

Μετασχηματισμοί επαυξημένου πίνακα ( αυτός είναι ο πίνακας του συστήματος - ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από τους συντελεστές των αγνώστων, συν μια στήλη ελεύθερων όρων)συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στη μέθοδο Gauss:

1) Με trokiμήτρες Μπορώ τακτοποιώσε μερικά μέρη.

2) εάν εμφανίστηκαν (ή υπάρχουν) αναλογικές στον πίνακα (όπως ειδική περίπτωση– πανομοιότυπες) γραμμές, μετά ακολουθεί διαγράφωαπό τον πίνακα όλες αυτές οι σειρές εκτός από μία.

3) εάν εμφανίζεται μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε θα πρέπει επίσης να είναι διαγράφω.

4) μια σειρά του πίνακα μπορεί να είναι πολλαπλασιάζω (διαιρώ)σε οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν.

5) σε μια σειρά του πίνακα μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν.

Στη μέθοδο Gauss, οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss αποτελείται από δύο στάδια:

1. "Άμεση κίνηση" - χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, φέρτε τον εκτεταμένο πίνακα ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων σε μια "τριγωνική" μορφή βήματος: τα στοιχεία του εκτεταμένου πίνακα που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν (κίνηση από πάνω προς τα κάτω). Για παράδειγμα, σε αυτόν τον τύπο:

Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

1) Ας θεωρήσουμε την πρώτη εξίσωση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων και ο συντελεστής για x 1 είναι ίσος με Κ. Η δεύτερη, τρίτη κ.λπ. μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις ως εξής: διαιρούμε κάθε εξίσωση (συντελεστές αγνώστων, συμπεριλαμβανομένων των ελεύθερων όρων) με τον συντελεστή του αγνώστου x 1 σε κάθε εξίσωση, και πολλαπλασιάζουμε με το Κ. Μετά από αυτό, αφαιρούμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση ( συντελεστές αγνώστων και ελεύθερων όρων). Για x 1 στη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε τον συντελεστή 0. Από την τρίτη μετασχηματισμένη εξίσωση αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση έως ότου όλες οι εξισώσεις εκτός από την πρώτη, για άγνωστο x 1, έχουν συντελεστή 0.

2) Ας προχωρήσουμε στην επόμενη εξίσωση. Έστω αυτή η δεύτερη εξίσωση και ο συντελεστής για x 2 ίσος με M. Προχωράμε με όλες τις «κατώτερες» εξισώσεις όπως περιγράφηκε παραπάνω. Έτσι, «κάτω» από το άγνωστο x 2 θα υπάρχουν μηδενικά σε όλες τις εξισώσεις.

3) Προχωρήστε στην επόμενη εξίσωση και ούτω καθεξής μέχρι να παραμείνει ένας τελευταίος άγνωστος και ο μετασχηματισμένος ελεύθερος όρος.

1. Η «αντίστροφη κίνηση» της μεθόδου Gauss είναι να ληφθεί μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (η κίνηση «από κάτω προς τα πάνω»). Από την τελευταία «κατώτερη» εξίσωση παίρνουμε μια πρώτη λύση - τον άγνωστο x n. Για να γίνει αυτό, λύνουμε τη στοιχειώδη εξίσωση A * x n = B. Στο παραπάνω παράδειγμα, x 3 = 4. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην «άνω» επόμενη εξίσωση και τη λύνουμε σε σχέση με τον επόμενο άγνωστο. Για παράδειγμα, x 2 – 4 = 1, δηλ. x 2 = 5. Και ούτω καθεξής μέχρι να βρούμε όλα τα άγνωστα.

Παράδειγμα.

Ας λύσουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, όπως συμβουλεύουν ορισμένοι συγγραφείς:

Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή:

Βλέπουμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Θα πρέπει να έχουμε ένα εκεί. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου μονάδες στην πρώτη στήλη, επομένως η αναδιάταξη των σειρών δεν θα λύσει τίποτα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Ας το κάνουμε:
1 βήμα . Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή με –1 και προσθέσαμε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά υπάρχει το «μείον ένα», που μας ταιριάζει αρκετά. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια πρόσθετη ενέργεια: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με –1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

Βήμα 2 . Η πρώτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί 5, προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, ενώ η πρώτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 3, προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

Βήμα 3 . Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Άλλαξε και η ταμπέλα της τρίτης γραμμής και μεταφέρθηκε στη δεύτερη θέση, ώστε στο δεύτερο «σκαλοπάτι» να έχουμε την απαιτούμενη μονάδα.

Βήμα 4 . Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 2.

Βήμα 5 . Η τρίτη γραμμή χωρίστηκε με 3.

Ένα σημάδι που υποδηλώνει σφάλμα στους υπολογισμούς (σπανιότερα, τυπογραφικό λάθος) είναι μια «κακή» κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι σαν (0 0 11 |23) παρακάτω, και, κατά συνέπεια, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, τότε με μεγάλο βαθμό πιθανότητας μπορούμε να πούμε ότι έγινε σφάλμα κατά τη διάρκεια του δημοτικού μεταμορφώσεις.

Ας κάνουμε το αντίστροφο· στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται, αλλά οι εξισώσεις «λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα». Η αντίστροφη κίνηση, σας θυμίζω, λειτουργεί από κάτω προς τα πάνω. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμααποδείχθηκε δώρο:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, επομένως x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Απάντηση:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Ας λύσουμε το ίδιο σύστημα χρησιμοποιώντας τον προτεινόμενο αλγόριθμο. Παίρνουμε

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με 5 και την τρίτη με 3. Παίρνουμε:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση με 4, παίρνουμε:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση, έχουμε:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Διαιρέστε την τρίτη εξίσωση με το 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Πολλαπλασιάστε την τρίτη εξίσωση με 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Αφαιρώντας τη δεύτερη από την τρίτη εξίσωση, λαμβάνουμε έναν εκτεταμένο πίνακα "βηματικής":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Έτσι, δεδομένου ότι το σφάλμα συσσωρεύτηκε κατά τους υπολογισμούς, λαμβάνουμε x 3 = 0,96 ή περίπου 1.

x 2 = 3 και x 1 = –1.

Λύνοντας με αυτόν τον τρόπο, δεν θα μπερδευτείτε ποτέ στους υπολογισμούς και, παρά τα λάθη υπολογισμού, θα έχετε το αποτέλεσμα.

Αυτή η μέθοδος επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι εύκολο να προγραμματιστεί και δεν λαμβάνει υπόψη ειδικά χαρακτηριστικάσυντελεστές για αγνώστους, γιατί στην πράξη (σε οικονομικούς και τεχνικούς υπολογισμούς) πρέπει να ασχοληθεί κανείς με μη ακέραιους συντελεστές.

Σου εύχομαι επιτυχία! Τα λέμε στην τάξη! Παιδαγωγός.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Ορισμός και περιγραφή της μεθόδου Gauss

Η μέθοδος μετασχηματισμού Gauss (γνωστή και ως μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης άγνωστων μεταβλητών από μια εξίσωση ή πίνακα) για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι μια κλασική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Αυτή η κλασική μέθοδος χρησιμοποιείται επίσης για την επίλυση προβλημάτων όπως η απόκτηση αντίστροφοι πίνακεςκαι τον προσδιορισμό της κατάταξης του πίνακα.

Ο μετασχηματισμός με τη μέθοδο Gaussian συνίσταται στην πραγματοποίηση μικρών (στοιχειωδών) διαδοχικών αλλαγών σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, που οδηγούν στην εξάλειψη των μεταβλητών από αυτό από πάνω προς τα κάτω με το σχηματισμό ενός νέου τριγωνικού συστήματος εξισώσεων που είναι ισοδύναμο με το αρχικό ένας.

Ορισμός 1

Αυτό το μέρος της λύσης ονομάζεται μπροστινή λύση Gaussian, αφού ολόκληρη η διαδικασία πραγματοποιείται από πάνω προς τα κάτω.

Αφού ανιώσουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων σε τριγωνικό, τα βρίσκουμε όλα μεταβλητές συστήματοςαπό κάτω προς τα πάνω (δηλαδή, οι πρώτες μεταβλητές που βρέθηκαν καταλαμβάνουν ακριβώς τις τελευταίες γραμμές του συστήματος ή του πίνακα). Αυτό το τμήμα της λύσης είναι επίσης γνωστό ως το αντίστροφο της λύσης Gauss. Ο αλγόριθμός του είναι ο εξής: πρώτα υπολογίζονται οι μεταβλητές που βρίσκονται πιο κοντά στο κάτω μέρος του συστήματος εξισώσεων ή του πίνακα, μετά οι τιμές που προκύπτουν αντικαθίστανται υψηλότερα και έτσι βρίσκεται μια άλλη μεταβλητή κ.ο.κ.

Περιγραφή του αλγορίθμου της μεθόδου Gauss

Η ακολουθία ενεργειών για τη γενική λύση ενός συστήματος εξισώσεων με τη χρήση της μεθόδου Gauss συνίσταται στην εναλλακτική εφαρμογή των εμπρός και προς τα πίσω πινελιών στον πίνακα με βάση το SLAE. Έστω το αρχικό σύστημα εξισώσεων να έχει την ακόλουθη μορφή:

$\begin(περιπτώσεις) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(περιπτώσεις)$

Για την επίλυση SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, είναι απαραίτητο να γράψετε το αρχικό σύστημα εξισώσεων με τη μορφή πίνακα:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Ο πίνακας $A$ ονομάζεται κύριος πίνακας και αντιπροσωπεύει τους συντελεστές των μεταβλητών που είναι γραμμένοι με τη σειρά και το $b$ ονομάζεται στήλη των ελεύθερων όρων του. Ο πίνακας $A$, που γράφεται μέσα από μια γραμμή με μια στήλη ελεύθερων όρων, ονομάζεται εκτεταμένος πίνακας:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Τώρα είναι απαραίτητο, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στο σύστημα εξισώσεων (ή στον πίνακα, αφού αυτό είναι πιο βολικό), να το φέρεις στην ακόλουθη μορφή:

$\begin(περιπτώσεις) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(περιπτώσεις)$ (1)

Ο πίνακας που λαμβάνεται από τους συντελεστές του μετασχηματισμένου συστήματος της εξίσωσης (1) ονομάζεται πίνακας βημάτων· έτσι μοιάζουν συνήθως οι πίνακες βημάτων:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Αυτοί οι πίνακες χαρακτηρίζονται από το ακόλουθο σύνολο ιδιοτήτων:

1. Όλες οι μηδενικές γραμμές του έρχονται μετά από μη μηδενικές γραμμές
2. Εάν κάποια γραμμή ενός πίνακα με αριθμό $k$ είναι μη μηδενική, τότε η προηγούμενη σειρά του ίδιου πίνακα έχει λιγότερα μηδενικά από αυτήν με τον αριθμό $k$.

Μετά τη λήψη του πίνακα βημάτων, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις προκύπτουσες μεταβλητές στις υπόλοιπες εξισώσεις (ξεκινώντας από το τέλος) και να λάβετε τις υπόλοιπες τιμές των μεταβλητών.

Βασικοί κανόνες και επιτρεπόμενοι μετασχηματισμοί κατά τη χρήση της μεθόδου Gauss

Όταν απλοποιείτε έναν πίνακα ή ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, πρέπει να χρησιμοποιείτε μόνο στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Τέτοιοι μετασχηματισμοί θεωρούνται πράξεις που μπορούν να εφαρμοστούν σε έναν πίνακα ή ένα σύστημα εξισώσεων χωρίς να αλλάξει η σημασία του:

• αναδιάταξη πολλών γραμμών,
• προσθέτοντας ή αφαιρώντας από μια σειρά ενός πίνακα μια άλλη σειρά από αυτόν,
• πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας μια συμβολοσειρά με μια σταθερά που δεν ισούται με το μηδέν,
• μια γραμμή που αποτελείται μόνο από μηδενικά, που λαμβάνονται κατά τη διαδικασία υπολογισμού και απλοποίησης του συστήματος, πρέπει να διαγραφεί,
• Πρέπει επίσης να αφαιρέσετε τις περιττές αναλογικές γραμμές, επιλέγοντας για το σύστημα τη μοναδική με συντελεστές που είναι πιο κατάλληλοι και βολικοί για περαιτέρω υπολογισμούς.

Όλοι οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί είναι αναστρέψιμοι.

Ανάλυση των τριών κύριων περιπτώσεων που προκύπτουν κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο των απλών μετασχηματισμών Gauss

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις που προκύπτουν όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian για την επίλυση συστημάτων:

1. Όταν ένα σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις
2. Το σύστημα των εξισώσεων έχει μια λύση και μια μοναδική και ο αριθμός των μη μηδενικών γραμμών και στηλών στον πίνακα είναι ίσος μεταξύ τους.
3. Το σύστημα έχει έναν ορισμένο αριθμό ή σύνολο πιθανών λύσεων και ο αριθμός των γραμμών σε αυτό είναι μικρότερος από τον αριθμό των στηλών.

Αποτέλεσμα λύσης με ασυνεπές σύστημα

Για αυτήν την επιλογή, κατά την επίλυση εξίσωση μήτραςΗ μέθοδος Gauss χαρακτηρίζεται από την απόκτηση κάποιας γραμμής με την αδυναμία εκπλήρωσης της ισότητας. Επομένως, εάν συμβεί τουλάχιστον μία εσφαλμένη ισότητα, το προκύπτον και το αρχικό σύστημα δεν έχουν λύσεις, ανεξάρτητα από τις άλλες εξισώσεις που περιέχουν. Ένα παράδειγμα ασυνεπούς πίνακα:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Στην τελευταία γραμμή προέκυψε μια αδύνατη ισότητα: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Ένα σύστημα εξισώσεων που έχει μόνο μία λύση

Αυτά τα συστήματα, αφού αναχθούν σε βηματικό πίνακα και αφαιρέσουν σειρές με μηδενικά, έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών στον κύριο πίνακα. Εδώ απλούστερο παράδειγμαένα τέτοιο σύστημα:

$\begin(περιπτώσεις) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end (περιπτώσεις)$

Ας το γράψουμε με τη μορφή μήτρας:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Για να μηδενίσουμε το πρώτο κελί της δεύτερης σειράς, πολλαπλασιάζουμε την επάνω σειρά με $-2$ και την αφαιρούμε από την κάτω σειρά του πίνακα και αφήνουμε την επάνω σειρά στην αρχική της μορφή, ως αποτέλεσμα έχουμε τα εξής :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως σύστημα:

$\begin(περιπτώσεις) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end (περιπτώσεις)$

Η χαμηλότερη εξίσωση αποδίδει την ακόλουθη τιμή για $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην ανώτερη εξίσωση: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, παίρνουμε $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Ένα σύστημα με πολλές πιθανές λύσεις

Αυτό το σύστημα χαρακτηρίζεται από μικρότερο αριθμό σημαντικών σειρών από τον αριθμό των στηλών σε αυτό (λαμβάνονται υπόψη οι σειρές του κύριου πίνακα).

Οι μεταβλητές σε ένα τέτοιο σύστημα χωρίζονται σε δύο τύπους: βασικές και δωρεάν. Κατά τον μετασχηματισμό ενός τέτοιου συστήματος, οι κύριες μεταβλητές που περιέχονται σε αυτό πρέπει να μείνουν στην αριστερή περιοχή μέχρι το σύμβολο "=" και οι υπόλοιπες μεταβλητές πρέπει να μετακινηθούν στη δεξιά πλευρά της ισότητας.

Ένα τέτοιο σύστημα έχει μόνο μια ορισμένη γενική λύση.

Ας αναλύσουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

$\begin(περιπτώσεις) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(περιπτώσεις)$

Ας το γράψουμε με τη μορφή μήτρας:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Το καθήκον μας είναι να βρούμε μια γενική λύση στο σύστημα. Για αυτόν τον πίνακα, οι βασικές μεταβλητές θα είναι $y_1$ και $y_3$ (για $y_1$ - αφού έρχεται πρώτη και στην περίπτωση $y_3$ - βρίσκεται μετά τα μηδενικά).

Ως μεταβλητές βάσης επιλέγουμε ακριβώς αυτές που είναι οι πρώτες στη σειρά και δεν είναι ίσες με το μηδέν.

Οι υπόλοιπες μεταβλητές ονομάζονται ελεύθερες· πρέπει να εκφράσουμε τις βασικές μέσω αυτών.

Χρησιμοποιώντας το λεγόμενο reverse stroke, αναλύουμε το σύστημα από κάτω προς τα πάνω· για να γίνει αυτό, εκφράζουμε πρώτα $y_3$ από την κάτω γραμμή του συστήματος:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Τώρα αντικαθιστούμε το εκφρασμένο $y_3$ στην ανώτερη εξίσωση του συστήματος $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Εκφράζουμε $y_1$ σε όρους δωρεάν μεταβλητών $y_2$ και $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Η λύση είναι έτοιμη.

Παράδειγμα 1

Λύστε το slough με τη μέθοδο Gaussian. Παραδείγματα. Ένα παράδειγμα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων που δίνονται από έναν πίνακα 3 επί 3 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian

$\begin(περιπτώσεις) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(περιπτώσεις)$

Ας γράψουμε το σύστημά μας με τη μορφή ενός εκτεταμένου πίνακα:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Τώρα, για ευκολία και πρακτικότητα, πρέπει να μετατρέψετε τη μήτρα έτσι ώστε το $1$ να βρίσκεται στην επάνω γωνία της εξώτατης στήλης.

Για να το κάνετε αυτό, στην 1η γραμμή πρέπει να προσθέσετε τη γραμμή από τη μέση, πολλαπλασιασμένη με $-1$, και να γράψετε την ίδια τη μεσαία γραμμή ως έχει, αποδεικνύεται:

$\begin(array)(cccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(πίνακας)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(πίνακας) $

Πολλαπλασιάστε την επάνω και την τελευταία γραμμή κατά -1$ και, επίσης, αλλάξτε την τελευταία και τη μεσαία γραμμή:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Και διαιρέστε την τελευταία γραμμή με $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων, ισοδύναμο με το αρχικό:

$\αρχή(περιπτώσεις) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end (περιπτώσεις)$

Από την επάνω εξίσωση εκφράζουμε $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Παράδειγμα 2

Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός συστήματος που ορίζεται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα 4 επί 4 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Στην αρχή, ανταλλάσσουμε τις επάνω γραμμές που ακολουθούν για να λάβουμε $1$ στην επάνω αριστερή γωνία:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Τώρα πολλαπλασιάστε την επάνω γραμμή με $-2$ και προσθέστε στη 2η και την 3η. Στην 4η προσθέτουμε την 1η γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Τώρα στη γραμμή 3 προσθέτουμε τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη με $4$ και στη γραμμή 4 προσθέτουμε τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη με $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(πίνακας)$

Πολλαπλασιάζουμε τη γραμμή 2 με $-1$ και διαιρούμε τη γραμμή 4 με $3$ και αντικαθιστούμε τη γραμμή 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(πίνακας)$

Τώρα προσθέτουμε στην τελευταία γραμμή την προτελευταία, πολλαπλασιαζόμενη επί -5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(πίνακας)$

Λύνουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων:

$\begin(περιπτώσεις) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(περιπτώσεις)$

Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων ονομάζονται ισοδύναμα αν το σύνολο όλων των λύσεών τους συμπίπτει.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί ενός συστήματος εξισώσεων είναι:

1. Διαγραφή τετριμμένων εξισώσεων από το σύστημα, π.χ. εκείνα για τα οποία όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν.
2. Πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε εξίσωσης με αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.
3. Προσθέτοντας σε οποιαδήποτε i-η εξίσωση οποιαδήποτε j-η εξίσωση πολλαπλασιαζόμενη με οποιοδήποτε αριθμό.

Μια μεταβλητή x i ονομάζεται ελεύθερη εάν αυτή η μεταβλητή δεν επιτρέπεται, αλλά επιτρέπεται ολόκληρο το σύστημα εξισώσεων.

Θεώρημα. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μετατρέπουν ένα σύστημα εξισώσεων σε ισοδύναμο.

Η έννοια της μεθόδου Gauss είναι να μετασχηματίσει το αρχικό σύστημα εξισώσεων και να αποκτήσει ένα ισοδύναμο επιλυμένο ή ισοδύναμο ασυνεπές σύστημα.

Έτσι, η μέθοδος Gaussian αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1. Ας δούμε την πρώτη εξίσωση. Ας επιλέξουμε τον πρώτο μη μηδενικό συντελεστή και ας διαιρέσουμε ολόκληρη την εξίσωση με αυτόν. Λαμβάνουμε μια εξίσωση στην οποία εισάγεται κάποια μεταβλητή x i με συντελεστή 1.
2. Ας αφαιρέσουμε αυτή την εξίσωση από όλες τις άλλες, πολλαπλασιάζοντάς την με τέτοιους αριθμούς ώστε οι συντελεστές της μεταβλητής x i στις υπόλοιπες εξισώσεις να μηδενίζονται. Λαμβάνουμε ένα σύστημα επιλυμένο σε σχέση με τη μεταβλητή x i και ισοδύναμο με το αρχικό.
3. Εάν προκύψουν ασήμαντες εξισώσεις (σπάνια, αλλά συμβαίνει, για παράδειγμα, 0 = 0), τις διαγράφουμε από το σύστημα. Ως αποτέλεσμα, υπάρχουν μία λιγότερες εξισώσεις.
4. Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα όχι περισσότερες από n φορές, όπου n είναι ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα. Κάθε φορά επιλέγουμε μια νέα μεταβλητή για «επεξεργασία». Εάν προκύψουν ασυνεπείς εξισώσεις (για παράδειγμα, 0 = 8), το σύστημα είναι ασυνεπές.

Ως αποτέλεσμα, μετά από μερικά βήματα θα αποκτήσουμε είτε ένα επιλυμένο σύστημα (πιθανώς με ελεύθερες μεταβλητές) είτε ένα ασυνεπές. Τα επιτρεπόμενα συστήματα εμπίπτουν σε δύο περιπτώσεις:

1. Ο αριθμός των μεταβλητών είναι ίσος με τον αριθμό των εξισώσεων. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει οριστεί.
2. Αριθμός μεταβλητών περισσότερος αριθμόςεξισώσεις. Συλλέγουμε όλες τις δωρεάν μεταβλητές στα δεξιά - παίρνουμε τύπους για τις επιτρεπόμενες μεταβλητές. Αυτοί οι τύποι είναι γραμμένοι στην απάντηση.

Αυτό είναι όλο! Σύστημα γραμμικών εξισώσεων λύθηκε! Αυτός είναι ένας αρκετά απλός αλγόριθμος και για να τον κατακτήσετε δεν χρειάζεται να επικοινωνήσετε με έναν ανώτερο δάσκαλο μαθηματικών. Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Εργο. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Περιγραφή βημάτων:

1. Αφαιρέστε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη και την τρίτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 1.
2. Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με (−1) και διαιρούμε την τρίτη εξίσωση με (−3) - παίρνουμε δύο εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή x 2 μπαίνει με συντελεστή 1.
3. Προσθέτουμε τη δεύτερη εξίσωση στην πρώτη και αφαιρούμε από την τρίτη. Παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 2 ;
4. Τέλος, αφαιρούμε την τρίτη εξίσωση από την πρώτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 3.
5. Λάβαμε ένα εγκεκριμένο σύστημα, γράψτε την απάντηση.

Η γενική λύση σε ένα ταυτόχρονο σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι νέο σύστημα, ισοδύναμο με το αρχικό, στο οποίο όλες οι επιτρεπόμενες μεταβλητές εκφράζονται ως ελεύθερες.

Πότε μπορεί να χρειαστεί μια γενική λύση; Εάν πρέπει να κάνετε λιγότερα βήματα από το k (k είναι πόσες εξισώσεις υπάρχουν). Ωστόσο, οι λόγοι για τους οποίους η διαδικασία τελειώνει σε κάποιο βήμα l< k , может быть две:

1. Μετά το 1ο βήμα, αποκτήσαμε ένα σύστημα που δεν περιέχει εξίσωση με αριθμό (l + 1). Στην πραγματικότητα, αυτό είναι καλό, γιατί... το εξουσιοδοτημένο σύστημα εξακολουθεί να λαμβάνεται - ακόμη και μερικά βήματα νωρίτερα.
2. Μετά το 1ο βήμα, λάβαμε μια εξίσωση στην οποία όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών είναι ίσοι με μηδέν και ο ελεύθερος συντελεστής είναι διαφορετικός από το μηδέν. Αυτή είναι μια αντιφατική εξίσωση και, ως εκ τούτου, το σύστημα είναι ασυνεπές.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η εμφάνιση μιας ασυνεπούς εξίσωσης με τη χρήση της μεθόδου Gauss αποτελεί επαρκή βάση για ασυνέπεια. Ταυτόχρονα, σημειώνουμε ότι ως αποτέλεσμα του 1ου βήματος, δεν μπορούν να παραμείνουν ασήμαντες εξισώσεις - όλες διαγράφονται αμέσως στη διαδικασία.

Περιγραφή βημάτων:

1. Αφαιρέστε την πρώτη εξίσωση, πολλαπλασιασμένη επί 4, από τη δεύτερη. Προσθέτουμε επίσης την πρώτη εξίσωση στην τρίτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 1.
2. Αφαιρέστε την τρίτη εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη επί 2, από τη δεύτερη - παίρνουμε την αντιφατική εξίσωση 0 = −5.

Άρα, το σύστημα είναι ασυνεπές επειδή ανακαλύφθηκε μια ασυνεπής εξίσωση.

Εργο. Εξερευνήστε τη συμβατότητα και βρείτε μια γενική λύση για το σύστημα:

Περιγραφή βημάτων:

1. Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη (αφού πολλαπλασιάζουμε με δύο) και την τρίτη - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 1.
2. Αφαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση από την τρίτη. Δεδομένου ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτές τις εξισώσεις είναι ίδιοι, η τρίτη εξίσωση θα γίνει ασήμαντη. Ταυτόχρονα, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση με (−1).
3. Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση - παίρνουμε την επιτρεπόμενη μεταβλητή x 2. Ολόκληρο το σύστημα εξισώσεων έχει πλέον επίσης επιλυθεί.
4. Εφόσον οι μεταβλητές x 3 και x 4 είναι ελεύθερες, τις μετακινούμε προς τα δεξιά για να εκφράσουμε τις επιτρεπόμενες μεταβλητές. Αυτή είναι η απάντηση.

Άρα, το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο, αφού υπάρχουν δύο επιτρεπόμενες μεταβλητές (x 1 και x 2) και δύο ελεύθερες (x 3 και x 4).