Στο πρώτο μέρος κοιτάξαμε λίγο θεωρητικό υλικό, η μέθοδος υποκατάστασης, καθώς και η μέθοδος πρόσθεσης κατά όρο εξισώσεων συστήματος. Συνιστώ σε όλους όσους έχουν πρόσβαση στον ιστότοπο μέσω αυτής της σελίδας να διαβάσουν το πρώτο μέρος. Ίσως κάποιοι επισκέπτες θα βρουν το υλικό πολύ απλό, αλλά καθώς επιλύουμε τα συστήματα γραμμικές εξισώσειςΈκανα μια σειρά από πολύ σημαντικά σχόλια και συμπεράσματα σχετικά με την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων γενικότερα.
Τώρα θα αναλύσουμε τον κανόνα του Cramer, καθώς και θα λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντίστροφη μήτρα(μέθοδος μήτρας). Όλα τα υλικά παρουσιάζονται απλά, λεπτομερώς και ξεκάθαρα· σχεδόν όλοι οι αναγνώστες θα μπορούν να μάθουν πώς να λύνουν συστήματα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεθόδους.
Αρχικά, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον κανόνα του Cramer για ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα. Για τι? – Άλλωστε το απλούστερο σύστημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του σχολείου, τη μέθοδο της πρόσθεσης κάθε όρου!
Το γεγονός είναι ότι, αν και μερικές φορές, συμβαίνει μια τέτοια εργασία - να λύσουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. Δεύτερον, ένα απλούστερο παράδειγμα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε πώς να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του Cramer σε περισσότερα περίπλοκη υπόθεση– συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.
Επιπλέον, υπάρχουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές, που καλό είναι να λυθούν χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer!
Εξετάστε το σύστημα των εξισώσεων
Στο πρώτο βήμα, υπολογίζουμε την ορίζουσα, λέγεται κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος.
Μέθοδος Gauss.
Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε δύο ακόμη ορίζοντες:
Και
Στην πράξη, τα παραπάνω χαρακτηριστικά μπορούν να υποδηλωθούν και με λατινικό γράμμα.
Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τους τύπους:
,
Παράδειγμα 7
Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 
Λύση: Βλέπουμε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι αρκετά μεγάλοι, στη δεξιά πλευρά υπάρχουν δεκαδικάμε κόμμα. Το κόμμα είναι ένας μάλλον σπάνιος επισκέπτης σε πρακτικές εργασίες στα μαθηματικά· πήρα αυτό το σύστημα από ένα οικονομετρικό πρόβλημα.
Πώς να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα; Μπορείτε να προσπαθήσετε να εκφράσετε μια μεταβλητή με όρους μιας άλλης, αλλά σε αυτήν την περίπτωση πιθανότατα θα καταλήξετε με τρομερά φανταχτερά κλάσματα με τα οποία είναι εξαιρετικά άβολο να εργαστείτε και ο σχεδιασμός της λύσης θα φαίνεται απλά τρομερός. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 6 και να αφαιρέσετε όρο προς όρο, αλλά θα προκύψουν τα ίδια κλάσματα και εδώ.
Τι να κάνω? Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι φόρμουλες του Cramer έρχονται στη διάσωση.
;
;
Απάντηση: ,
Και οι δύο ρίζες έχουν άπειρες ουρές και βρίσκονται κατά προσέγγιση, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό (και ακόμη και συνηθισμένο) για οικονομικά προβλήματα.
Δεν χρειάζονται σχόλια εδώ, καθώς η εργασία επιλύεται χρησιμοποιώντας έτοιμες φόρμουλες, ωστόσο, υπάρχει μια προειδοποίηση. Πότε να χρησιμοποιείται αυτή τη μέθοδο, υποχρεωτικόςΈνα τμήμα του σχεδιασμού της εργασίας είναι το ακόλουθο τμήμα: «Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση». Διαφορετικά, ο κριτής μπορεί να σας τιμωρήσει για ασέβεια προς το θεώρημα του Cramer.
Δεν θα ήταν περιττό να ελέγξετε, κάτι που είναι βολικό να πραγματοποιηθεί σε μια αριθμομηχανή: αντικαθιστούμε κατά προσέγγιση τιμές σε αριστερή πλευράκάθε εξίσωση του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, με ένα μικρό σφάλμα, θα πρέπει να λάβετε αριθμούς που βρίσκονται στις δεξιές πλευρές.
Παράδειγμα 8
Παρουσιάστε την απάντηση κανονικά ακατάλληλα κλάσματα. Κάντε έναν έλεγχο.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (ένα παράδειγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση του κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους: 
Βρίσκουμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος: 
Αν , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις). Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας του Cramer δεν θα βοηθήσει· πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss.
Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε τρεις ακόμη ορίζοντες: 
, 
, 
Και τέλος, η απάντηση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους: 
Όπως μπορείτε να δείτε, η περίπτωση "τρία με τρία" δεν διαφέρει ουσιαστικά από την περίπτωση "δύο προς δύο"· η στήλη των ελεύθερων όρων "περπατάει" διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος των στηλών της κύριας ορίζουσας.
Παράδειγμα 9
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
Λύση: Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.
Απάντηση: 
.
Στην πραγματικότητα, και εδώ δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να σχολιάσουμε, λόγω του ότι η λύση ακολουθεί έτοιμες φόρμουλες. Υπάρχουν όμως μερικά σχόλια.
Συμβαίνει ότι ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, λαμβάνονται "κακά" μη αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα: .
Συνιστώ τον ακόλουθο αλγόριθμο «θεραπείας». Εάν δεν έχετε υπολογιστή στο χέρι, κάντε το εξής:
1) Μπορεί να υπάρχει σφάλμα στους υπολογισμούς. Μόλις συναντήσετε ένα «κακό» κλάσμα, πρέπει αμέσως να ελέγξετε Έχει ξαναγραφτεί σωστά η συνθήκη;. Εάν η συνθήκη ξαναγραφτεί χωρίς σφάλματα, τότε πρέπει να υπολογίσετε εκ νέου τους ορίζοντες χρησιμοποιώντας επέκταση σε μια άλλη σειρά (στήλη).
2) Εάν δεν εντοπιστούν σφάλματα ως αποτέλεσμα του ελέγχου, τότε πιθανότατα υπήρξε τυπογραφικό λάθος στις συνθήκες εργασίας. Σε αυτή την περίπτωση, δουλέψτε ήρεμα και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ την εργασία μέχρι το τέλος και μετά φροντίστε να ελέγξετεκαι το καταρτίζουμε σε καθαρό φύλλο μετά την απόφαση. Φυσικά, ο έλεγχος μιας κλασματικής απάντησης είναι μια δυσάρεστη εργασία, αλλά θα είναι ένα αφοπλιστικό επιχείρημα για τον δάσκαλο, ο οποίος πραγματικά του αρέσει να δίνει ένα μείον για κάθε μαλακία όπως το . Ο τρόπος χειρισμού των κλασμάτων περιγράφεται λεπτομερώς στην απάντηση στο Παράδειγμα 8.
Εάν έχετε έναν υπολογιστή στο χέρι, χρησιμοποιήστε ένα αυτοματοποιημένο πρόγραμμα για έλεγχο, το οποίο μπορείτε να το κατεβάσετε δωρεάν στην αρχή του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα αμέσως (ακόμα και πριν ξεκινήσετε τη λύση), θα δείτε αμέσως το ενδιάμεσο βήμα όπου κάνατε λάθος! Η ίδια αριθμομηχανή υπολογίζει αυτόματα τη λύση στο σύστημα μέθοδος μήτρας.
Δεύτερη παρατήρηση. Κατά καιρούς υπάρχουν συστήματα στις εξισώσεις των οποίων λείπουν κάποιες μεταβλητές, για παράδειγμα: 
Εδώ στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει μεταβλητή, στη δεύτερη δεν υπάρχει μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πολύ σημαντικό να γράψετε σωστά και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα: 
– Τα μηδενικά τοποθετούνται στη θέση των μεταβλητών που λείπουν.
Παρεμπιπτόντως, είναι λογικό να ανοίγουμε ορίζουσες με μηδενικά σύμφωνα με τη σειρά (στήλη) στην οποία βρίσκεται το μηδέν, καθώς υπάρχουν αισθητά λιγότεροι υπολογισμοί.
Παράδειγμα 10
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση (ένα δείγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Για την περίπτωση ενός συστήματος 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, οι τύποι του Cramer γράφονται σύμφωνα με παρόμοιες αρχές. Μπορείτε να δείτε ένα ζωντανό παράδειγμα στο μάθημα Properties of Determinants. Μείωση της σειράς της ορίζουσας - πέντε ορίζουσες 4ης τάξης είναι αρκετά επιλύσιμες. Αν και το έργο θυμίζει ήδη πολύ το παπούτσι ενός καθηγητή στο στήθος ενός τυχερού μαθητή.
Επίλυση του συστήματος με χρήση αντίστροφου πίνακα
Η μέθοδος της αντίστροφης μήτρας είναι ουσιαστικά ειδική περίπτωση εξίσωση μήτρας(Βλ. Παράδειγμα Νο. 3 του καθορισμένου μαθήματος).
Για να μελετήσετε αυτήν την ενότητα, πρέπει να είστε σε θέση να επεκτείνετε ορίζουσες, να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα και να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα. Σχετικοί σύνδεσμοι θα παρέχονται καθώς προχωρούν οι επεξηγήσεις.
Παράδειγμα 11
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix 
Λύση: Ας γράψουμε το σύστημα σε μορφή πίνακα:
, Οπου 
Παρακαλούμε δείτε το σύστημα των εξισώσεων και των πινάκων. Νομίζω ότι όλοι κατανοούν την αρχή με την οποία γράφουμε στοιχεία σε πίνακες. Το μόνο σχόλιο: αν έλειπαν κάποιες μεταβλητές από τις εξισώσεις, τότε θα έπρεπε να τοποθετηθούν μηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις του πίνακα.
Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο:
, όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας αλγεβρικές προσθήκεςαντίστοιχα στοιχεία μήτρας.
Αρχικά, ας δούμε τον προσδιοριστικό παράγοντα:
Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή.
Προσοχή! Εάν , τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει και είναι αδύνατο να λυθεί το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο της εξάλειψης αγνώστων (μέθοδος Gauss).
Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε 9 δευτερεύοντα και να τα γράψουμε στον πίνακα δευτερευόντων 
Αναφορά:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την έννοια των διπλών δεικτών στη γραμμική άλγεβρα. Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός της γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Το δεύτερο ψηφίο είναι ο αριθμός της στήλης στην οποία βρίσκεται το στοιχείο: 
Δηλαδή, ένας διπλός δείκτης υποδεικνύει ότι το στοιχείο βρίσκεται στην πρώτη σειρά, στην τρίτη στήλη και, για παράδειγμα, το στοιχείο βρίσκεται σε 3 σειρές, 2 στήλη
Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας νης τάξης
Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A*A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.
Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:
αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνες μήτρες εκείνοι. για εκείνους τους πίνακες στους οποίους ο αριθμός των γραμμών και των στηλών συμπίπτει.
Θεώρημα συνθήκης ύπαρξης αντίστροφου πίνακα
Προκειμένου ένας πίνακας να έχει αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη ενικός.
Ο πίνακας A = (A1, A2,...A n) ονομάζεται μη εκφυλισμένος, εάν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.
Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα
- Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian και αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν στα δεξιά (στη θέση των δεξιών πλευρών των εξισώσεων).
- Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγετε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μοναδιαίες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
- Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε κάτω από τον πίνακα A του αρχικού πίνακα να λάβετε τον πίνακα ταυτότητας E.
- Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος βρίσκεται στον τελευταίο πίνακα κάτω από τον πίνακα E του αρχικού πίνακα.
Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1
Λύση: Γράφουμε τον πίνακα A και εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E στα δεξιά. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί δίνονται στον Πίνακα 31.1.
Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.
Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της μήτρας, ελήφθη η μήτρα ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί έγιναν σωστά.
Απάντηση: 
Επίλυση εξισώσεων μήτρας
Οι εξισώσεις μήτρας μπορεί να μοιάζουν με:
AX = B, HA = B, AXB = C,
όπου A, B, C είναι οι καθορισμένοι πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.
Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.
Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από την εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.
Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.
Ομοίως λύνονται και άλλες εξισώσεις.
Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν 
Λύση: Δεδομένου ότι ο αντίστροφος πίνακας είναι ίσος με (βλ. παράδειγμα 1)
Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση
Μαζί με άλλα χρησιμοποιούνται και αυτά μεθόδους μήτρας. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικών φαινομένων. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να γίνει μια συγκριτική αξιολόγηση της λειτουργίας των οργανισμών και των δομικών τους τμημάτων.
Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.
Στο πρώτο στάδιοσχηματίζεται ένα σύστημα οικονομικών δεικτών και στη βάση του καταρτίζεται ένας πίνακας αρχικών δεδομένων, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις επιμέρους σειρές του (i = 1,2,....,n), και σε κάθετες στήλες - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).
Στο δεύτερο στάδιοΓια κάθε κάθετη στήλη, προσδιορίζεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές δείκτη, η οποία λαμβάνεται ως μία.
Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που αντικατοπτρίζονται σε αυτήν τη στήλη διαιρούνται με υψηλότερη τιμήκαι σχηματίζεται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.
Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη μήτρας εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής βάρους κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από τη γνώμη των ειδικών.
Στο τελευταίο, τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές αξιολόγησης R jομαδοποιούνται κατά σειρά αύξησης ή μείωσης τους.
Οι μέθοδοι μήτρας που περιγράφονται θα πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, σε μια συγκριτική ανάλυση διαφόρων επενδυτικών σχεδίων, καθώς και στην αξιολόγηση άλλων οικονομικών δεικτών των δραστηριοτήτων των οργανισμών.
Θέμα 2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.
Ορισμός 1. Σύστημα Μγραμμικές εξισώσεις με nΤο άγνωστο είναι ένα σύστημα της μορφής:
πού και είναι αριθμοί.
Ορισμός 2. Μια λύση στο σύστημα (Ι) είναι ένα σύνολο αγνώστων στο οποίο κάθε εξίσωση αυτού του συστήματος γίνεται ταυτότητα.
Ορισμός 3. Το σύστημα (Ι) ονομάζεται άρθρωση, αν έχει τουλάχιστον μία λύση και μη άρθρωση, αν δεν έχει λύσεις. Το σύστημα άρθρωσης ονομάζεται βέβαιος, εάν έχει μια μοναδική λύση, και αβέβαιοςσε διαφορετική περίπτωση.
Ορισμός 4. Εξίσωση της φόρμας
που ονομάζεται μηδέν, και η εξίσωση είναι της μορφής
που ονομάζεται ασύμβατες. Προφανώς, ένα σύστημα εξισώσεων που περιέχει μια ασυμβίβαστη εξίσωση είναι ασυνεπές.
Ορισμός 5. Ονομάζονται δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων ισοδύναμος, εάν κάθε λύση ενός συστήματος χρησιμεύει ως λύση σε ένα άλλο και, αντιστρόφως, κάθε λύση του δεύτερου συστήματος είναι λύση στο πρώτο.
Πίνακας αναπαράστασης συστήματος γραμμικών εξισώσεων.
Ας εξετάσουμε το σύστημα (Ι) (βλ. §1).
Ας υποδηλώσουμε:
Πίνακας συντελεστών για αγνώστους
Matrix - στήλη ελεύθερων όρων
Matrix – στήλη αγνώστων
.
Ορισμός 1.Ο πίνακας ονομάζεται κύρια μήτρα του συστήματος(I), και ο πίνακας είναι ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος (I).
Σύμφωνα με τον ορισμό της ισότητας των πινάκων, το σύστημα (I) αντιστοιχεί στην ισότητα του πίνακα:
.
Η δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας εξ ορισμού του γινομένου των πινάκων ( βλέπε ορισμό 3 § 5 κεφάλαιο 1) μπορεί να παραγοντοποιηθεί:
, δηλ.
Ισότητα (2) που ονομάζεται σημειογραφία μήτρας του συστήματος (I).
Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.
Αφήστε το σύστημα (I) (βλ. §1) m=n, δηλ. ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός, δηλ. . Τότε το σύστημα (Ι) από την §1 έχει μια μοναδική λύση
όπου Δ = det Aονομάζεται κύριος καθοριστικό στοιχείο του συστήματος(Ι), Δ Εγώλαμβάνεται από την ορίζουσα Δ με αντικατάσταση Εγώη στήλη σε μια στήλη ελεύθερων μελών του συστήματος (I).
Παράδειγμα: Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer:
.
Με τύπους (3)
.
Υπολογίζουμε τους ορίζοντες του συστήματος:
,
,
.
Για να λάβουμε την ορίζουσα, αντικαταστήσαμε την πρώτη στήλη στην ορίζουσα με μια στήλη ελεύθερων όρων. αντικαθιστώντας τη 2η στήλη στην ορίζουσα με μια στήλη ελεύθερων όρων, παίρνουμε ; με παρόμοιο τρόπο, αντικαθιστώντας την 3η στήλη στην ορίζουσα με μια στήλη ελεύθερων όρων, παίρνουμε . Λύση συστήματος:
Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με χρήση αντίστροφου πίνακα.
Αφήστε το σύστημα (I) (βλ. §1) m=nκαι ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός. Ας γράψουμε το σύστημα (I) σε μορφή πίνακα ( βλέπε §2):
επειδή μήτρα ΕΝΑμη ενικό, τότε έχει αντίστροφο πίνακα ( βλέπε Θεώρημα 1 §6 του Κεφαλαίου 1). Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (2) στη μήτρα, λοιπόν
Εξ ορισμού αντίστροφου πίνακα. Από την ισότητα (3) έχουμε
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα
.
Ας υποδηλώσουμε
Στο παράδειγμα (§ 3) υπολογίσαμε την ορίζουσα, επομένως, τον πίνακα ΕΝΑέχει αντίστροφο πίνακα. Τότε σε ισχύ (4) , δηλ.
. (5)
Ας βρούμε τον πίνακα ( βλέπε §6 κεφάλαιο 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Μέθοδος Gauss.
Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
. (ΕΓΩ)
Απαιτείται να βρεθούν όλες οι λύσεις του συστήματος (I) ή να βεβαιωθείτε ότι το σύστημα είναι ασυνεπές.
Ορισμός 1.Ας ονομάσουμε τον στοιχειώδη μετασχηματισμό του συστήματος(I) οποιαδήποτε από τις τρεις ενέργειες:
1) διαγράφοντας τη μηδενική εξίσωση.
2) προσθέτοντας και στις δύο πλευρές της εξίσωσης τα αντίστοιχα μέρη μιας άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα με τον αριθμό l.
3) εναλλαγή όρων στις εξισώσεις του συστήματος έτσι ώστε οι άγνωστοι με τους ίδιους αριθμούς σε όλες τις εξισώσεις να καταλαμβάνουν τις ίδιες θέσεις, δηλ. αν για παράδειγμα στην 1η εξίσωση αλλάξαμε τον 2ο και τον 3ο όρο, τότε το ίδιο πρέπει να γίνει σε όλες τις εξισώσεις του συστήματος.
Η μέθοδος Gauss συνίσταται στο γεγονός ότι το σύστημα (Ι) με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα, η λύση του οποίου βρίσκεται άμεσα ή διαπιστώνεται η μη επιλυτότητά του.
Όπως περιγράφεται στην §2, το σύστημα (Ι) καθορίζεται μοναδικά από τον εκτεταμένο πίνακα του και κάθε στοιχειώδης μετασχηματισμός του συστήματος (Ι) αντιστοιχεί σε έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό του εκτεταμένου πίνακα:
.
Ο μετασχηματισμός 1) αντιστοιχεί στη διαγραφή της μηδενικής γραμμής στον πίνακα, ο μετασχηματισμός 2) ισοδυναμεί με την προσθήκη μιας άλλης σειράς στην αντίστοιχη σειρά του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενος με τον αριθμό l, ο μετασχηματισμός 3) ισοδυναμεί με την αναδιάταξη των στηλών στον πίνακα.
Είναι εύκολο να δούμε ότι, αντίθετα, κάθε στοιχειώδης μετασχηματισμός του πίνακα αντιστοιχεί σε έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό του συστήματος (Ι). Λόγω των παραπάνω, αντί για πράξεις με το σύστημα (I), θα εργαστούμε με τον εκτεταμένο πίνακα αυτού του συστήματος.
Στον πίνακα, η 1η στήλη αποτελείται από συντελεστές για x 1, 2η στήλη - από τους συντελεστές για x 2και τα λοιπά. Εάν οι στήλες αναδιαταχθούν, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι αυτή η συνθήκη παραβιάζεται. Για παράδειγμα, αν ανταλλάξουμε την 1η και τη 2η στήλη, τότε η 1η στήλη θα περιέχει τους συντελεστές για x 2, και στη 2η στήλη - οι συντελεστές για x 1.
Θα λύσουμε το σύστημα (Ι) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.
1. Διαγράψτε όλες τις μηδενικές σειρές στον πίνακα, εάν υπάρχουν (δηλαδή, διαγράψτε όλες τις μηδενικές εξισώσεις στο σύστημα (I).
2. Ας ελέγξουμε αν μεταξύ των σειρών του πίνακα υπάρχει μια σειρά στην οποία όλα τα στοιχεία εκτός από το τελευταίο είναι ίσα με μηδέν (ας ονομάσουμε μια τέτοια σειρά ασυνεπής). Προφανώς, μια τέτοια γραμμή αντιστοιχεί σε μια ασυνεπή εξίσωση στο σύστημα (Ι), επομένως, το σύστημα (Ι) δεν έχει λύσεις και εδώ τελειώνει η διαδικασία.
3. Αφήστε τον πίνακα να μην περιέχει ασυνεπείς σειρές (το σύστημα (I) δεν περιέχει ασυνεπείς εξισώσεις). Αν a 11 = 0, τότε βρίσκουμε στην 1η σειρά κάποιο στοιχείο (εκτός από το τελευταίο) εκτός από το μηδέν και αναδιατάσσουμε τις στήλες έτσι ώστε στην 1η σειρά να μην υπάρχει μηδέν στην 1η θέση. Τώρα θα υποθέσουμε ότι (δηλαδή, θα ανταλλάξουμε τους αντίστοιχους όρους στις εξισώσεις του συστήματος (Ι)).
4. Πολλαπλασιάστε την 1η γραμμή με και προσθέστε το αποτέλεσμα με τη 2η γραμμή, στη συνέχεια πολλαπλασιάστε την 1η γραμμή με και προσθέστε το αποτέλεσμα με την 3η γραμμή κ.λπ. Προφανώς, αυτή η διαδικασία ισοδυναμεί με την εξάλειψη του αγνώστου x 1από όλες τις εξισώσεις του συστήματος (Ι), εκτός από την 1η. Στον νέο πίνακα παίρνουμε μηδενικά στην 1η στήλη κάτω από το στοιχείο ένα 11:
.
5. Ας διαγράψουμε όλες τις μηδενικές σειρές στον πίνακα, εάν υπάρχουν, και ας ελέγξουμε αν υπάρχει ασυνεπής σειρά (αν υπάρχει, τότε το σύστημα είναι ασυνεπές και η λύση τελειώνει εκεί). Ας ελέγξουμε αν θα υπάρξει a 22 / =0, αν ναι, τότε βρίσκουμε στη 2η σειρά ένα στοιχείο διαφορετικό από το μηδέν και αναδιατάσσουμε τις στήλες έτσι ώστε . Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της 2ης σειράς κατά 
και προσθέτουμε με τα αντίστοιχα στοιχεία της 3ης γραμμής, μετά - τα στοιχεία της 2ης γραμμής και προσθέτουμε με τα αντίστοιχα στοιχεία της 4ης γραμμής κ.λπ., μέχρι να πάρουμε μηδενικά κάτω από α 22/
.
Οι ενέργειες που γίνονται είναι ισοδύναμες με την εξάλειψη του αγνώστου x 2από όλες τις εξισώσεις του συστήματος (Ι), εκτός από την 1η και τη 2η. Δεδομένου ότι ο αριθμός των σειρών είναι πεπερασμένος, επομένως μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων παίρνουμε ότι είτε το σύστημα είναι ασυνεπές, είτε καταλήγουμε σε έναν πίνακα βημάτων ( βλέπε ορισμό 2 §7 κεφάλαιο 1) :
,
Ας γράψουμε το σύστημα εξισώσεων που αντιστοιχεί στον πίνακα. Αυτό το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα (I)
.
Από την τελευταία εξίσωση που εκφράζουμε? αντικαταστήστε στην προηγούμενη εξίσωση, βρείτε κ.λπ., μέχρι να πάρουμε .
Σημείωση 1.Έτσι, όταν λύνουμε το σύστημα (Ι) με τη μέθοδο Gaussian, φτάνουμε σε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
1. Το σύστημα (I) είναι ασυνεπές.
2. Το σύστημα (I) έχει μια μοναδική λύση εάν ο αριθμός των σειρών στον πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων ().
3. Το σύστημα (Ι) έχει άπειρο αριθμό λύσεων αν ο αριθμός των σειρών στον πίνακα μικρότερος αριθμόςάγνωστος().
Επομένως ισχύει το ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα.Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είτε είναι ασυνεπές, είτε έχει μια μοναδική λύση, είτε - άπειρο σύνολοαποφάσεις.
Παραδείγματα. Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss ή να αποδείξετε την ασυνέπειά του:
σι) 
;
α) Ας ξαναγράψουμε το δεδομένο σύστημα με τη μορφή:
.
Ανταλλάξαμε την 1η και τη 2η εξίσωση του αρχικού συστήματος για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς (αντί για κλάσματα, θα λειτουργήσουμε μόνο με ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιώντας αυτήν την αναδιάταξη).
Ας δημιουργήσουμε έναν εκτεταμένο πίνακα:
.
Δεν υπάρχουν μηδενικές γραμμές. δεν υπάρχουν ασύμβατες γραμμές, Ας εξαιρέσουμε τον 1ο άγνωστο από όλες τις εξισώσεις του συστήματος εκτός από το 1ο. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της 1ης σειράς του πίνακα με "-2" και προσθέστε τα με τα αντίστοιχα στοιχεία της 2ης σειράς, που ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό της 1ης εξίσωσης με "-2" και την πρόσθεσή της με τη 2η εξίσωση. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της 1ης γραμμής με “-3” και τα προσθέτουμε με τα αντίστοιχα στοιχεία της τρίτης γραμμής, δηλ. πολλαπλασιάστε τη 2η εξίσωση του δεδομένου συστήματος με το «-3» και προσθέστε την στην 3η εξίσωση. Παίρνουμε
.
Ο πίνακας αντιστοιχεί σε ένα σύστημα εξισώσεων). - (βλ. ορισμό 3§7 του Κεφαλαίου 1).
Αυτή είναι μια έννοια που γενικεύει όλες τις πιθανές πράξεις που εκτελούνται με πίνακες. Μαθηματικός πίνακας στοιχείων. Σχετικά με ένα τραπέζι όπου Μγραμμές και nστήλες, αυτός ο πίνακας λέγεται ότι έχει τη διάσταση Μεπί n.
Γενική άποψη του πίνακα:
Για λύσεις μήτραςείναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τι είναι ένας πίνακας και να γνωρίζουμε τις κύριες παραμέτρους του. Κύρια στοιχεία του πίνακα:
- Η κύρια διαγώνιος, που αποτελείται από στοιχεία ένα 11, ένα 22…… ένα λεπτό.
- Πλευρική διαγώνιος που αποτελείται από στοιχεία a 1n , a 2n-1 .....a m1.
Κύριοι τύποι πινάκων:
- Το τετράγωνο είναι ένας πίνακας όπου ο αριθμός των σειρών = ο αριθμός των στηλών ( m=n).
- Μηδέν - όπου όλα τα στοιχεία του πίνακα = 0.
- Μεταφερόμενος πίνακας - μήτρα ΣΕ, το οποίο ελήφθη από τον αρχικό πίνακα ΕΝΑαντικαθιστώντας τις γραμμές με στήλες.
- Ενότητα - όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου = 1, όλα τα άλλα = 0.
- Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ένας πίνακας που, όταν πολλαπλασιάζεται με τον αρχικό πίνακα, οδηγεί σε έναν πίνακα ταυτότητας.
Ο πίνακας μπορεί να είναι συμμετρικός ως προς την κύρια και τη δευτερεύουσα διαγώνιο. Αν δηλαδή a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, τότε ο πίνακας είναι συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο. Μόνο οι τετράγωνοι πίνακες μπορούν να είναι συμμετρικοί.
Μέθοδοι επίλυσης πινάκων.
Σχεδόν όλοι μέθοδοι επίλυσης πινάκωνσυνίστανται στην εύρεση της προσδιοριστικής της n-η τάξη και τα περισσότερα από αυτά είναι αρκετά δυσκίνητα. Για να βρείτε την ορίζουσα 2ης και 3ης τάξης υπάρχουν άλλες, πιο ορθολογικές μέθοδοι.
Εύρεση προσδιοριστικών 2ης τάξης.
Να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός πίνακα ΕΝΑ 2η τάξη, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγώνιου από το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου:
Μέθοδοι εύρεσης οριζόντων 3ης τάξης.
Παρακάτω είναι οι κανόνες για την εύρεση της ορίζουσας 3ης τάξης.
Απλοποιημένος κανόνας τριγώνου ως ένα από μέθοδοι επίλυσης πινάκων, μπορεί να απεικονιστεί ως εξής:
Με άλλα λόγια, το γινόμενο των στοιχείων της πρώτης ορίζουσας που συνδέονται με ευθείες γραμμές λαμβάνεται με πρόσημο «+». Επίσης, για τη 2η ορίζουσα, τα αντίστοιχα γινόμενα λαμβάνονται με το πρόσημο «-», δηλαδή σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:
Στο επίλυση πινάκων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Sarrus, στα δεξιά της ορίζουσας, προσθέστε τις 2 πρώτες στήλες και τα γινόμενα των αντίστοιχων στοιχείων στην κύρια διαγώνιο και στις παράλληλες προς αυτήν διαγώνιους λαμβάνονται με σύμβολο "+". και τα γινόμενα των αντίστοιχων στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου και των διαγωνίων που είναι παράλληλες σε αυτήν, με το πρόσημο «-»:
Αποσύνθεση της ορίζουσας σε μια γραμμή ή στήλη κατά την επίλυση πινάκων.
Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της σειράς της ορίζουσας και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους. Συνήθως επιλέγεται η γραμμή/στήλη που περιέχει μηδενικά. Η σειρά ή η στήλη κατά μήκος της οποίας πραγματοποιείται η αποσύνθεση θα υποδεικνύεται με ένα βέλος.
Αναγωγή της ορίζουσας σε τριγωνική μορφή κατά την επίλυση πινάκων.
Στο επίλυση πινάκωνμέθοδος αναγωγής της ορίζουσας σε τριγωνική μορφή, λειτουργούν ως εξής: χρησιμοποιώντας απλούς μετασχηματισμούς σε γραμμές ή στήλες, η ορίζουσα γίνεται τριγωνική εμφάνισηκαι τότε η τιμή του, σύμφωνα με τις ιδιότητες της ορίζουσας, θα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο.
Θεώρημα Laplace για την επίλυση πινάκων.
Όταν λύνετε πίνακες χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Laplace, πρέπει να γνωρίζετε το ίδιο το θεώρημα. Θεώρημα Laplace: Αφήστε Δ - αυτό είναι καθοριστικό n-η σειρά. Επιλέγουμε οποιοδήποτε κσειρές (ή στήλες), παρέχονται κ≤ n - 1. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα των προϊόντων όλων των ανηλίκων κ-η σειρά που περιέχεται στο επιλεγμένο κσειρές (στήλες), με τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα θα είναι ίσες με την ορίζουσα.
Επίλυση του αντίστροφου πίνακα.
Ακολουθία ενεργειών για λύσεις αντίστροφης μήτρας:
- Προσδιορίστε εάν ένας δεδομένος πίνακας είναι τετράγωνος. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, γίνεται σαφές ότι δεν μπορεί να υπάρχει αντίστροφος πίνακας για αυτήν.
- Υπολογίζουμε αλγεβρικά συμπληρώματα.
- Συνθέτουμε μια μήτρα ένωσης (αμοιβαία, πρόσθετη). ντο.
- Συνθέτουμε τον αντίστροφο πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες: όλα τα στοιχεία του παρακείμενου πίνακα ντοδιαιρέστε με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο τελικός πίνακας θα είναι ο απαιτούμενος αντίστροφος πίνακας σε σχέση με τον δεδομένο.
- Ελέγχουμε την εργασία που έχει γίνει: πολλαπλασιάζουμε τον αρχικό πίνακα και τον προκύπτοντα πίνακα, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ένας πίνακας ταυτότητας.
Επίλυση συστημάτων μήτρας.
Για λύσεις συστημάτων μήτραςΗ μέθοδος Gauss χρησιμοποιείται συχνότερα.
Η μέθοδος Gauss είναι μια τυπική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων γραμμικής αλγεβρικές εξισώσεις(SLAE) και έγκειται στο γεγονός ότι οι μεταβλητές εξαλείφονται διαδοχικά, δηλ., με τη βοήθεια στοιχειωδών αλλαγών, το σύστημα εξισώσεων φέρεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα τριγωνικής μορφής και από αυτό, διαδοχικά, ξεκινώντας από το τελευταίο (κατά αριθμό ), βρίσκεται κάθε στοιχείο του συστήματος.
Μέθοδος Gaussείναι το πιο ευέλικτο και καλύτερο εργαλείο για την εύρεση λύσεων μήτρας. Εάν ένα σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων ή το σύστημα είναι ασυμβίβαστο, τότε δεν μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer και τη μέθοδο του πίνακα.
Η μέθοδος Gauss συνεπάγεται επίσης άμεσες (μείωση του εκτεταμένου πίνακα σε μια σταδιακή μορφή, δηλ. λήψη μηδενικών κάτω από την κύρια διαγώνιο) και αντίστροφη (απόκτηση μηδενικών πάνω από την κύρια διαγώνιο του εκτεταμένου πίνακα) κινήσεις. Η κίνηση προς τα εμπρός είναι η μέθοδος Gauss, η αντίστροφη κίνηση είναι η μέθοδος Gauss-Jordan. Η μέθοδος Gauss-Jordan διαφέρει από τη μέθοδο Gauss μόνο ως προς τη σειρά εξάλειψης των μεταβλητών.
Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Η μέθοδος matrix σας επιτρέπει να βρείτε λύσεις σε SLAE (συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων) οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Η όλη διαδικασία επίλυσης SLAE καταλήγει σε δύο κύριες ενέργειες:
Ορισμός αντίστροφου πίνακα με βάση κύρια μήτρα:
Πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο πίνακα που προκύπτει με ένα διάνυσμα στήλης λύσεων.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα SLAE τον παρακάτω τύπο:
\[\αριστερά\(\αρχή(μήτρα) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(μήτρας)\δεξιά.\]
Ας ξεκινήσουμε τη λύση δεδομένη εξίσωσηαπό την εγγραφή του πίνακα συστήματος:
Πίνακας δεξιάς πλευράς:
Ας ορίσουμε τον αντίστροφο πίνακα. Μπορείτε να βρείτε έναν πίνακα 2ης τάξης ως εξής: 1 - ο ίδιος ο πίνακας πρέπει να είναι μη ενικός. 2 - τα στοιχεία του που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο ανταλλάσσονται και για τα στοιχεία της δευτερεύουσας διαγωνίου αλλάζουμε το πρόσημο στο αντίθετο, μετά από το οποίο διαιρούμε τα στοιχεία που προκύπτουν με την ορίζουσα του πίνακα. Παίρνουμε:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ start(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 πίνακες θεωρούνται ίσοι αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα. Ως αποτέλεσμα, έχουμε την ακόλουθη απάντηση για τη λύση SLAE:
Πού μπορώ να λύσω ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix online;
Μπορείτε να λύσετε το σύστημα εξισώσεων στην ιστοσελίδα μας. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα μας VKontakte.