Βασικές αρχές επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (LNDE-2) με σταθερούς συντελεστές (PC)
Ένα LDDE 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές $p$ και $q$ έχει τη μορφή $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, όπου $f\left(x \right)$ είναι μια συνεχής συνάρτηση.
Όσον αφορά το LNDU 2 με υπολογιστή, οι ακόλουθες δύο δηλώσεις είναι αληθείς.
Ας υποθέσουμε ότι κάποια συνάρτηση $U$ είναι μια αυθαίρετη μερική λύση μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υποθέσουμε επίσης ότι κάποια συνάρτηση $Y$ είναι η γενική λύση (GS) της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Τότε το GR του Το LHDE-2 είναι ίσο με το άθροισμα των υποδεικνυόμενων ιδιωτικών και γενικών λύσεων, δηλαδή $y=U+Y$.
Αν η δεξιά πλευρά ενός LMDE 2ης τάξης είναι ένα άθροισμα συναρτήσεων, δηλαδή $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, τότε πρώτα μπορούμε να βρούμε τα PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ που αντιστοιχούν σε καθεμία από τις συναρτήσεις $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, και μετά γράψτε το CR LNDU-2 με τη μορφή $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Λύση LPDE 2ης τάξης με Η/Υ
Είναι προφανές ότι ο τύπος του ενός ή του άλλου PD $U$ ενός δεδομένου LNDU-2 εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μορφή της δεξιάς πλευράς του $f\left(x\right)$. Οι απλούστερες περιπτώσεις αναζήτησης για PD LNDU-2 διατυπώνονται με τη μορφή των παρακάτω τεσσάρων κανόνων.
Κανόνας #1.
Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, δηλαδή ονομάζεται α πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, όπου το $Q_(n) \left(x\right)$ είναι άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$, και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών χαρακτηριστική εξίσωσηπου αντιστοιχεί στο LOD-2, ίσο με μηδέν. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών (UK).
Κανόνας Νο. 2.
Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) Το \left( x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, όπου $Q_(n ) \ left(x\right)$ είναι ένα άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$ και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης LODE-2 ίσο με $\alpha $. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.
Κανόνας Νο. 3.
Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, όπου οι $a$, $b$ και $\beta$ είναι γνωστοί αριθμοί. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, όπου $A$ και $B$ είναι άγνωστοι συντελεστές, και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίσος με $i\cdot \beta $. Οι συντελεστές $A$ και $B$ βρίσκονται χρησιμοποιώντας τη μη καταστροφική μέθοδο.
Κανόνας Νο. 4.
Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, όπου $P_(n) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $ n$ και το $P_(m) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $m$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, όπου $Q_(s) \left(x\right)$ και $ R_(s) \left(x\right)$ είναι πολυώνυμα βαθμού $s$, ο αριθμός $s$ είναι ο μέγιστος αριθμός δύο αριθμών $n$ και $m$ και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίση με $\alpha +i\cdot \beta $. Οι συντελεστές των πολυωνύμων $Q_(s) \left(x\right)$ και $R_(s) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.
Η μέθοδος NDT αποτελείται από τη χρήση επόμενος κανόνας. Για να βρεθούν οι άγνωστοι συντελεστές του πολυωνύμου που αποτελούν μέρος της μερικής λύσης της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης LNDU-2, είναι απαραίτητο:
- αντικαταστήστε το PD $U$, γραμμένο σε γενική μορφή, σε αριστερή πλευρά LNDU-2;
- στην αριστερή πλευρά του LNDU-2, εκτελέστε απλοποιήσεις και ομαδοποιήστε όρους με τις ίδιες δυνάμεις $x$.
- Στην ταυτότητα που προκύπτει, εξισώστε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις $x$ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς.
- λύσει το σύστημα που προκύπτει γραμμικές εξισώσειςσε σχέση με άγνωστους συντελεστές.
Παράδειγμα 1
Εργασία: find OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Βρείτε επίσης PD , ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$.
Καταγράφουμε το αντίστοιχο LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Χαρακτηριστική εξίσωση: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Αυτές οι ρίζες είναι έγκυρες και διακριτές. Έτσι, το OR του αντίστοιχου LODE-2 έχει τη μορφή: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Η δεξιά πλευρά αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο συντελεστής του εκθέτη $\alpha =3$. Αυτός ο συντελεστής δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επομένως, το PD αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές $A$, $B$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο NC.
Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις $U""$, $U"$ και $U$ αντί των $y""$, $y"$ και $y$ στο δεδομένο NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Επιπλέον, δεδομένου ότι ο εκθέτης $e^(3\cdot x)$ περιλαμβάνεται ως παράγοντας σε όλα τα στοιχεία, τότε μπορεί να παραλειφθεί. Παίρνουμε:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Εκτελούμε τις ενέργειες στην αριστερή πλευρά της ισότητας που προκύπτει:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο NDT. Λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) Το $ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Το OR $y=Y+U$ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ αριστερά(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Για να αναζητήσουμε ένα PD που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε την παράγωγο $y"$ του ΕΠ:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Αντικαθιστούμε σε $y$ και $y"$ τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Λάβαμε ένα σύστημα εξισώσεων:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$
Ας το λύσουμε. Βρίσκουμε $C_(1) $ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cramer και $C_(2) $ προσδιορίζουμε από την πρώτη εξίσωση:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Έτσι, το PD αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Έχουμε φροντίσει ότι, στην περίπτωση που είναι γνωστό κοινή απόφασηγραμμικός ομοιογενής εξίσωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για να βρείτε μια γενική λύση ανομοιογενής εξίσωση. Ωστόσο, το ερώτημα πώς να βρεθεί μια γενική λύση σε μια ομοιογενή εξίσωση παρέμεινε ανοιχτό. Στην ειδική περίπτωση όταν στη γραμμική διαφορική εξίσωση (3) όλοι οι συντελεστές πι(Χ)= α θ - σταθερές, μπορεί να λυθεί πολύ απλά, ακόμη και χωρίς ενσωμάτωση.
Θεωρήστε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, δηλαδή εξισώσεις της μορφής
y (n) + α 1 y (n – 1) +...α n – 1 y " + a n y = 0, (14)
Οπου και εγώ- σταθερές (Εγώ= 1, 2, ...,n).
Όπως είναι γνωστό, για μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση 1ης τάξης η λύση είναι συνάρτηση της μορφής μι kx.Θα αναζητήσουμε τη λύση της εξίσωσης (14) στη μορφή ι (Χ) = μι kx.
Ας αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση με την εξίσωση (14) ι (Χ) και τα παράγωγα τάξης του Μ (1 £ Μ£ n)ι (Μ) (Χ) = κ μ ε κχ. Παίρνουμε
(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,
Αλλά μι k x ¹ 0 για οποιοδήποτε Χ, Να γιατί
k n + a 1 k n – 1 +...α n – 1 k + a n = 0. (15)
Καλείται η εξίσωση (15). χαρακτηριστική εξίσωση, το πολυώνυμο στην αριστερή πλευρά- χαρακτηριστικό πολυώνυμο , τις ρίζες του- χαρακτηριστικές ρίζες διαφορική εξίσωση (14).
Συμπέρασμα:
λειτουργίαι (Χ) = μι kx - λύση της γραμμικής ομοιογενούς εξίσωσης (14) αν και μόνο αν ο αριθμός κ - ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (15).
Έτσι, η διαδικασία επίλυσης της γραμμικής ομογενούς εξίσωσης (14) ανάγεται στην επίλυση της αλγεβρικής εξίσωσης (15).
Είναι δυνατές διάφορες περιπτώσεις χαρακτηριστικών ριζών.
1.Όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και διακριτές.
Σε αυτήν την περίπτωση nδιαφορετικές χαρακτηριστικές ρίζες κ 1 ,κ 2 ,..., k nαντιστοιχεί nδιαφορετικές λύσεις ομογενούς εξίσωσης (14)
Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες και επομένως σχηματίζονται θεμελιώδες σύστημααποφάσεις. Έτσι, η γενική λύση της εξίσωσης είναι η συνάρτηση
Οπου ΜΕ 1 , ντο 2 , ..., C n - αυθαίρετες σταθερές.
Παράδειγμα 7. Να βρείτε τη γενική λύση της γραμμικής ομογενούς εξίσωσης:
ΕΝΑ) στο¢ ¢ (Χ) - 6στο¢ (Χ) + 8στο(Χ) = 0, β) στο¢ ¢ ¢ (Χ) + 2στο¢ ¢ (Χ) - 3στο¢ (Χ) = 0.
Λύση. Ας δημιουργήσουμε μια χαρακτηριστική εξίσωση. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε το παράγωγο της παραγγελίας Μλειτουργίες y(Χ) στον κατάλληλο βαθμό
κ(στο (Μ) (Χ) « k m),
ενώ η ίδια η συνάρτηση στο(Χ) καθώς η παράγωγος μηδενικής τάξης αντικαθίσταται από κ 0 = 1.
Στην περίπτωση (α) η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μορφή κ 2 - 6k + 8 = 0. Οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης κ 1 = 2,κ 2 = 4. Εφόσον είναι αληθινά και διαφορετικά, η γενική λύση έχει τη μορφή ι (Χ)= Γ 1 μι 2Χ + Γ 2 μι 4x.
Για την περίπτωση (β), η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η εξίσωση 3ου βαθμού κ 3 + 2κ 2 - 3k = 0. Ας βρούμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης:
κ(κ 2 + 2 κ - 3)= 0 Þ κ = 0i κ 2 + 2 κ - 3 = 0 Þ κ = 0, (κ - 1)(κ + 3) = 0,
Τ . μι . κ 1 = 0, κ 2 = 1, κ 3 = - 3.
Αυτές οι χαρακτηριστικές ρίζες αντιστοιχούν στο θεμελιώδες σύστημα λύσεων της διαφορικής εξίσωσης:
ι 1 (Χ)= ε 0Χ = 1, ι 2 (Χ) = e x, ι 3 (Χ)= ε - 3Χ .
Η γενική λύση, σύμφωνα με τον τύπο (9), είναι η συνάρτηση
ι (Χ)= Γ 1 + Γ 2 e x + C 3 μι - 3Χ .
II . Όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι διαφορετικές, αλλά μερικές από αυτές είναι πολύπλοκες.
Όλοι οι συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης (14), άρα και της χαρακτηριστικής της εξίσωσης (15)- πραγματικοί αριθμοί, που σημαίνει ότι αν c μεταξύ των χαρακτηριστικών ριζών υπάρχει μια σύνθετη ρίζα κ 1 = a + ib,δηλαδή τη συζυγή του ρίζα κ 2 = ` κ 1 = α- ib.Στην πρώτη ρίζα κ 1 αντιστοιχεί στη λύση της διαφορικής εξίσωσης (14)
ι 1 (Χ)= ε (a+ib)Χ = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(χρησιμοποιήσαμε τον τύπο του Euler e i x = cosx + isinx). Ομοίως, η ρίζα κ 2 = α- ibαντιστοιχεί στη λύση
ι 2 (Χ)= ε (a - -ib)Χ = e a x e - ib x= ε τσεκούρι(cosbx - isinbx).
Αυτές οι λύσεις είναι πολύπλοκες. Για να λάβουμε πραγματικές λύσεις από αυτές, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λύσεων σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση (βλ. 13.2). Λειτουργίες
είναι πραγματικές λύσεις της εξίσωσης (14). Επιπλέον, αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Έτσι, μπορούμε να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα.
Κανόνας 1.Ένα ζευγάρι συζευγμένων μιγαδικών ριζών α± ib της χαρακτηριστικής εξίσωσης στο FSR της γραμμικής ομοιογενούς εξίσωσης (14) αντιστοιχεί σε δύο πραγματικές επιμέρους λύσειςΚαι .
Παράδειγμα 8. Βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης:
ΕΝΑ) στο¢ ¢ (Χ) - 2στο ¢ (Χ) + 5στο(Χ) = 0 ;σι) στο¢ ¢ ¢ (Χ) - στο¢ ¢ (Χ) + 4στο ¢ (Χ) - 4στο(Χ) = 0.
Λύση. Στην περίπτωση της εξίσωσης (α), οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης κ 2 - 2k + 5 = 0 είναι δύο συζευγμένοι μιγαδικοί αριθμοί
κ 1, 2 = .
Συνεπώς, σύμφωνα με τον κανόνα 1, αντιστοιχούν σε δύο πραγματικές γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις: και , και η γενική λύση της εξίσωσης είναι η συνάρτηση
ι (Χ)= Γ 1 e x cos 2x + C 2 e x αμαρτία 2Χ.
Στην περίπτωση (β), να βρεθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης κ 3 - κ 2 + 4κ- 4 = 0, παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά του:
κ 2 (κ - 1) + 4(κ - 1) = 0 Þ (κ - 1)(κ 2 + 4) = 0 Þ (κ - 1) = 0, (κ 2 + 4) = 0.
Επομένως, έχουμε τρεις χαρακτηριστικές ρίζες: κ 1 = 1,κ 2 , 3 = ± 2Εγώ. Cornu κ 1 αντιστοιχεί στη λύση , και ένα ζευγάρι συζευγμένων μιγαδικών ριζών κ 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2Εγώ- δύο έγκυρες λύσεις: και . Συνθέτουμε μια γενική λύση της εξίσωσης:
ι (Χ)= Γ 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 αμαρτία 2Χ.
III . Ανάμεσα στις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης υπάρχουν πολλαπλάσια.
Αφήνω κ 1 - πραγματική ρίζα της πολλαπλότητας Μχαρακτηριστική εξίσωση (15), δηλαδή μεταξύ των ριζών υπάρχει Μίσες ρίζες. Καθένα από αυτά αντιστοιχεί στην ίδια λύση της διαφορικής εξίσωσης (14) Ωστόσο, συμπεριλάβετε Μ ίσες λύσειςστο FSR είναι αδύνατο, αφού αποτελούν ένα γραμμικά εξαρτώμενο σύστημα συναρτήσεων.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι στην περίπτωση πολλαπλής ρίζας κ 1λύσεις της εξίσωσης (14), εκτός από τη συνάρτηση, είναι και οι συναρτήσεις
Οι συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, αφού, δηλαδή, μπορούν να συμπεριληφθούν στο FSR.
Κανόνας 2. Πραγματική χαρακτηριστική ρίζα κ 1 πολλαπλότητα Μστο FSR αντιστοιχεί Μλύσεις:
Αν κ 1 - σύνθετη πολλαπλότητα ριζών Μχαρακτηριστική εξίσωση (15), τότε υπάρχει συζυγής ρίζα κ 1 πολλαπλότητα Μ. Κατ' αναλογία λαμβάνουμε τον ακόλουθο κανόνα.
Κανόνας 3. Ένα ζευγάρι συζευγμένων μιγαδικών ριζών α± Το ib στο FSR αντιστοιχεί σε 2mreal γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
, , ..., ,
, , ..., .
Παράδειγμα 9. Βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης:
ΕΝΑ) στο¢ ¢ ¢ (Χ) + 3στο¢ ¢ (Χ) + 3στο¢ (Χ)+ y ( Χ)= 0;β) στο IV(Χ) + 6στο¢ ¢ (Χ) + 9στο(Χ) = 0.
Λύση. Στην περίπτωση (α) η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μορφή
κ 3 + 3 κ 2 + 3 κ + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
δηλ. k =- 1 - ρίζα πολλαπλότητας 3. Με βάση τον κανόνα 2, γράφουμε τη γενική λύση:
ι (Χ)= Γ 1 + Γ 2 x + C 3 Χ 2 .
Η χαρακτηριστική εξίσωση στην περίπτωση (β) είναι η εξίσωση
κ 4 + 6κ 2 + 9 = 0
ή αλλιώς,
(κ 2 + 3) 2 = 0 Þ κ 2 = - 3 Þ κ 1, 2 = ± Εγώ.
Έχουμε ένα ζεύγος συζευγμένων μιγαδικών ριζών, καθεμία από τις οποίες έχει πολλαπλότητα 2. Σύμφωνα με τον κανόνα 3, η γενική λύση γράφεται ως
ι (Χ)= Γ 1 + Γ 2 x + C 3 + Γ 4 Χ.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για οποιαδήποτε γραμμική ομοιογενή εξίσωση με σταθερούς συντελεστές είναι δυνατόν να βρεθεί ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων και να συντεθεί μια γενική λύση. Κατά συνέπεια, η λύση της αντίστοιχης ανομοιογενούς εξίσωσης για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση φά(Χ) στη δεξιά πλευρά μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών (βλ. ενότητα 5.3).
Παράδειγμα 10. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραλλαγής, βρείτε τη γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης στο¢ ¢ (Χ) - στο¢ (Χ) - 6στο(Χ) = x e 2Χ .
Λύση. Αρχικά βρίσκουμε τη γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης στο¢ ¢ (Χ) - στο¢ (Χ) - 6στο(Χ) = 0. Ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης κ 2 - κ- 6 = 0 είναι κ 1 = 3,κ 2 = - 2, α γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης - λειτουργία ` στο ( Χ) = Γ 1 μι 3Χ + Γ 2 μι - 2Χ .
Θα αναζητήσουμε λύση στην ανομοιογενή εξίσωση στη μορφή
στο( Χ) = ΜΕ 1 (Χ)μι 3Χ + Γ 2 (Χ)μι 2Χ . (*)
Ας βρούμε την ορίζουσα Wronski
W[μι 3Χ , ε 2Χ ] = .
Ας συνθέσουμε ένα σύστημα εξισώσεων (12) για τις παραγώγους άγνωστων συναρτήσεων ΜΕ ¢ 1 (Χ) Και ΜΕ¢ 2 (Χ):
Επιλύοντας το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer, παίρνουμε
Ενσωματώνοντας, βρίσκουμε ΜΕ 1 (Χ) Και ΜΕ 2 (Χ):
Λειτουργίες αντικατάστασης ΜΕ 1 (Χ) Και ΜΕ 2 (Χ) σε ισότητα (*), παίρνουμε μια γενική λύση της εξίσωσης στο¢ ¢ (Χ) - στο¢ (Χ) - 6στο(Χ) = x e 2Χ :
Στην περίπτωση που η δεξιά πλευρά μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές έχει ειδική μορφή, μπορεί να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση χωρίς να καταφύγουμε στη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.
Θεωρήστε την εξίσωση με σταθερούς συντελεστές
y (n) + ένα 1 έτος (n– 1) +...α n – 1 έτος " + a n y = f (Χ), (16)
φά( Χ) = μιτσεκούρι(Πν(Χ)cosbx + Rm(Χ)sinbx), (17)
Οπου Πν(Χ) Και Rm(Χ) - πολυώνυμα βαθμών n Και Μαντίστοιχα.
Ιδιωτική λύση y*(Χ) της εξίσωσης (16) καθορίζεται από τον τύπο
στο* (Χ) = xsμι τσεκούρι(Κύριος(Χ)cosbx + Αρ(Χ)sinbx), (18)
Οπου Κύριος(Χ) Και Nr(Χ) - πολυώνυμα βαθμών r = μέγ(n, m) με αβέβαιους συντελεστές , ΕΝΑ μικρόίσο με το πολλαπλάσιο της ρίζας κ 0 = a + ibχαρακτηριστικό πολυώνυμο της εξίσωσης (16), και υποθέτουμε s = 0 αν κΤο 0 δεν είναι χαρακτηριστική ρίζα.
Για να συνθέσετε μια συγκεκριμένη λύση χρησιμοποιώντας τον τύπο (18), πρέπει να βρείτε τέσσερις παραμέτρους - α, β, ρΚαι μικρό.Τα τρία πρώτα καθορίζονται από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης και r- αυτός είναι στην πραγματικότητα ο υψηλότερος βαθμός Χ, βρίσκεται στη δεξιά πλευρά. Παράμετρος μικρόβρέθηκε από τη σύγκριση αριθμών κ 0 = a + ibΚαι το σύνολο όλων (λαμβάνοντας υπόψη τις πολλαπλότητες) χαρακτηριστικές ρίζες της εξίσωσης (16), οι οποίες βρίσκονται λύνοντας την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση.
Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις της μορφής της συνάρτησης (17):
1) πότε ένα ¹ 0, σι= 0φά(Χ)= e ax P n(Χ);
2) πότε ένα= 0, σι ¹ 0φά(Χ)= Πν(Χ) Μεosbx + R m(Χ)sinbx;
3) πότε ένα = 0, σι = 0φά(Χ)=Πν(Χ).
Παρατήρηση 1. Αν P n (x) º 0 ή Rm(x)º 0, τότε η δεξιά πλευρά της εξίσωσης f(x) = e ax P n (x)с osbx ή f(x) = e ax R m (x)sinbx, δηλαδή περιέχει μόνο μία από τις συναρτήσεις - συνημίτονο ή ημίτονο. Αλλά στην καταγραφή μιας συγκεκριμένης λύσης, πρέπει να υπάρχουν και οι δύο, αφού, σύμφωνα με τον τύπο (18), καθένα από αυτά πολλαπλασιάζεται με ένα πολυώνυμο με απροσδιόριστους συντελεστές του ίδιου βαθμού r = max(n, m).
Παράδειγμα 11. Προσδιορίστε τον τύπο της μερικής λύσης σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση 4ης τάξης με σταθερούς συντελεστές, εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι γνωστή φά(Χ) = e x(2xcos 3x+(Χ 2 + 1)αμαρτία 3Χ) και τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης:
ΕΝΑ ) κ 1 = κ 2 = 1, κ 3 = 3,κ 4 = - 1;
σι ) κ 1, 2 = 1 ± 3Εγώ,κ 3, 4 = ± 1;
V ) κ 1, 2 = 1 ± 3Εγώ,κ 3, 4 = 1 ± 3Εγώ.
Λύση. Στη δεξιά πλευρά το βρίσκουμε στη συγκεκριμένη λύση στο*(Χ), που προσδιορίζεται από τον τύπο (18), τις παραμέτρους: ένα= 1, σι= 3, r = 2. Παραμένουν ίδια και για τις τρεις περιπτώσεις, εξ ου και ο αριθμός κ 0 που καθορίζει την τελευταία παράμετρο μικρόο τύπος (18) είναι ίσος με κ 0 = 1+ 3Εγώ. Στην περίπτωση (α) δεν υπάρχει αριθμός μεταξύ των χαρακτηριστικών ριζών κ 0 = 1 + 3Εγώ,Που σημαίνει, μικρό= 0, και μια συγκεκριμένη λύση έχει τη μορφή
y*(Χ) = Χ 0 e x(Μ 2 (Χ)cos 3x+N 2 (Χ)αμαρτία 3Χ) =
= μιΧ( (Τσεκούρι 2 +Bx+C)cos 3x+(ΕΝΑ 1 Χ 2 +Β 1 x+C 1)αμαρτία 3Χ.
Στην περίπτωση (β) ο αριθμός κ 0 = 1 + 3Εγώεμφανίζεται μια φορά μεταξύ των χαρακτηριστικών ριζών, που σημαίνει s = 1 Και
y*(Χ) = x e x((Τσεκούρι 2 +Bx+C)cos 3x+(ΕΝΑ 1 Χ 2 +Β 1 x+C 1)αμαρτία 3Χ.
Για την περίπτωση (γ) έχουμε s = 2 και
y*(Χ) = x 2 e x((Τσεκούρι 2 +Bx+C)cos 3x+(Α'1 Χ 2 +Β 1 x+C 1)αμαρτία 3Χ.
Στο παράδειγμα 11, η συγκεκριμένη λύση περιέχει δύο πολυώνυμα βαθμού 2 με απροσδιόριστους συντελεστές. Για να βρείτε μια λύση, πρέπει να προσδιορίσετε τις αριθμητικές τιμές αυτών των συντελεστών. Ας διατυπώσουμε έναν γενικό κανόνα.
Να προσδιοριστούν οι άγνωστοι συντελεστές πολυωνύμων Κύριος(Χ) Και Nr(Χ) η ισότητα (17) διαφοροποιείται ο σωστός αριθμόςφορές, αντικαταστήστε τη συνάρτηση y*(Χ) και των παραγώγων του στην εξίσωση (16). Συγκρίνοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά του, παίρνουμε το σύστημα αλγεβρικές εξισώσειςγια να βρείτε τους συντελεστές.
Παράδειγμα 12. Βρείτε μια λύση στην εξίσωση στο¢ ¢ (Χ) - στο¢ (Χ) - 6στο(Χ) = ξε 2Χ, έχοντας καθορίσει μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μορφή της δεξιάς πλευράς.
Λύση. Η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή
στο( Χ) = ` στο(Χ)+ y*(Χ),
Οπου ` στο ( Χ) - τη γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης, και y*(Χ) - συγκεκριμένη λύση μη ομογενούς εξίσωσης.
Αρχικά λύνουμε την ομοιογενή εξίσωση στο¢ ¢ (Χ) - στο¢ (Χ) - 6στο(Χ) = 0. Η χαρακτηριστική του εξίσωση κ 2 - κ- 6 = 0 έχει δύο ρίζες κ 1 = 3,κ 2 = - 2, ως εκ τούτου, ` στο ( Χ) = Γ 1 μι 3Χ + Γ 2 μι - 2Χ .
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (18) για να προσδιορίσουμε τον τύπο της συγκεκριμένης λύσης στο*(Χ). Λειτουργία φά(Χ) = ξε 2Χ αντιπροσωπεύει ειδική περίπτωση(α) τύποι (17), ενώ α = 2,β = 0 Και r = 1, δηλ. κ 0 = 2 + 0i = 2. Συγκρίνοντας με τις χαρακτηριστικές ρίζες συμπεραίνουμε ότι s = 0. Αντικαθιστώντας τις τιμές όλων των παραμέτρων στον τύπο (18), έχουμε y*(Χ) = (Α + Β)μι 2Χ .
Για να βρείτε τις αξίες ΕΝΑΚαι ΣΕ, ας βρούμε τις παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης y*(Χ) = (Α + Β)μι 2Χ :
y*¢ (Χ)= Αε 2Χ + 2(Α + Β)μι 2Χ = (2Αχ + Αχ + 2σι)μι 2x,
y*¢ ¢ (Χ) = 2Ae 2Χ + 2(2Αχ + Αχ + 2σι)μι 2Χ = (4Α + 4A+ 4σι)μι 2Χ .
Μετά την αντικατάσταση συνάρτησης y*(Χ) και των παραγώγων του στην εξίσωση που έχουμε
(4Α + 4A+ 4σι)μι 2Χ - (2Αχ + Αχ + 2σι)μι 2Χ - 6(Α + Β)μι 2Χ =ξε 2Χ Þ Þ Α=- 1/4,Β=- 3/16.
Έτσι, μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση έχει τη μορφή
y*(Χ) = (- 1/4Χ- 3/16)μι 2Χ ,
και η γενική λύση - στο ( Χ) = Γ 1 μι 3Χ + Γ 2 μι - 2Χ + (- 1/4Χ- 3/16)μι 2Χ .
Σημείωση 2.Στην περίπτωση που το πρόβλημα Cauchy τίθεται για μια ανομοιογενή εξίσωση, πρέπει πρώτα να βρεθεί μια γενική λύση στην εξίσωση
στο( Χ) = ,
έχοντας καθορίσει όλες τις αριθμητικές τιμές των συντελεστών σε στο*(Χ). Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε τις αρχικές συνθήκες και, αντικαθιστώντας τις στη γενική λύση (και όχι σε y*(Χ)), βρείτε τις τιμές των σταθερών Γ i.
Παράδειγμα 13. Βρείτε μια λύση στο πρόβλημα Cauchy:
στο¢ ¢ (Χ) - στο¢ (Χ) - 6στο(Χ) = ξε 2Χ , y(0) = 0, y ¢ (Χ) = 0.
Λύση. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι
στο(Χ) = Γ 1 μι 3Χ + Γ 2 μι - 2Χ + (- 1/4Χ- 3/16)μι 2Χ
βρέθηκε στο Παράδειγμα 12. Για να βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες αυτού του προβλήματος Cauchy, λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων
Λύνοντάς το, έχουμε ντο 1 = 1/8, ντο 2 = 1/16. Επομένως, η λύση στο πρόβλημα Cauchy είναι η συνάρτηση
στο(Χ) = 1/8μι 3Χ + 1/16μι - 2Χ + (- 1/4Χ- 3/16)μι 2Χ .
Σημείωση 3(αρχή της υπέρθεσης). Αν σε γραμμική εξίσωση Ln[y(Χ)]= στ(Χ), Οπου φά(Χ) = στ 1 (Χ)+στ 2 (Χ) Και y* 1 (Χ) - λύση της εξίσωσης Ln[y(Χ)]= στ 1 (Χ), ΕΝΑ y* 2 (Χ) - λύση της εξίσωσης Ln[y(Χ)]= στ 2 (Χ), τότε η συνάρτηση y*(Χ)= y* 1 (Χ)+ y* 2 (Χ) είναι λύνοντας την εξίσωση Ln[y(Χ)]= στ(Χ).
Παράδειγμα 14. Υποδείξτε το είδος της γενικής λύσης μιας γραμμικής εξίσωσης
στο¢ ¢ (Χ) + 4στο(Χ) = x + sinx.
Λύση. Γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης
` στο(Χ) = Γ 1 cos 2x + C 2 αμαρτία 2Χ,
αφού η χαρακτηριστική εξίσωση κ 2 + 4 = Το 0 έχει ρίζες κ 1, 2 = ± 2Εγώ.Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεν αντιστοιχεί στον τύπο (17), αλλά αν εισάγουμε τη σημειογραφία φά 1 (Χ) = x, φά 2 (Χ) = σίνξκαι χρησιμοποιήστε την αρχή της υπέρθεσης , τότε μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση μπορεί να βρεθεί στη μορφή y*(Χ)= y* 1 (Χ)+ y* 2 (Χ), Οπου y* 1 (Χ) - λύση της εξίσωσης στο¢ ¢ (Χ) + 4στο(Χ) = x, ΕΝΑ y* 2 (Χ) - λύση της εξίσωσης στο¢ ¢ (Χ) + 4στο(Χ) = σίνξ.Σύμφωνα με τον τύπο (18)
y* 1 (Χ) = Τσεκούρι + Β,y* 2 (Χ) = Ссosx + Dsinx.
Μετά η συγκεκριμένη λύση
y*(Χ) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,
επομένως, η γενική λύση έχει τη μορφή
στο(Χ) = Γ 1 cos 2x + C 2 μι - 2Χ + Α x + B + Ccosx + Dsinx.
Παράδειγμα 15. Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από μια πηγή ρεύματος συνδεδεμένη σε σειρά με ένα emf μι(t) = Ε αμαρτίαw t,επαγωγή μεγάλοκαι δοχεία ΜΕ, και
Εκπαιδευτικό ίδρυμα "Κράτος της Λευκορωσίας
Γεωργική Ακαδημία"
Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών
Κατευθυντήριες γραμμές
να μελετήσει το θέμα «Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης» από φοιτητές της σχολής λογιστικής αλληλογραφίας (NISPO)
Gorki, 2013
Γραμμικός διαφορικές εξισώσεις
δεύτερης τάξης με σταθερέςσυντελεστές
Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις
Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές ονομάζεται εξίσωση της μορφής
εκείνοι. μια εξίσωση που περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση και τις παράγωγές της μόνο στον πρώτο βαθμό και δεν περιέχει τα γινόμενα τους. Σε αυτή την εξίσωση 
Και 
- μερικοί αριθμοί και μια συνάρτηση 
δίνεται σε ένα ορισμένο διάστημα 
.
Αν 
στο διάστημα 
, τότε η εξίσωση (1) θα πάρει τη μορφή
,
(2)
και καλείται γραμμικό ομοιογενές . Διαφορετικά, καλείται η εξίσωση (1). γραμμική ανομοιογενής .
Εξετάστε τη σύνθετη συνάρτηση
,
(3)
Οπου 
Και 
- πραγματικές λειτουργίες. Αν η συνάρτηση (3) είναι σύνθετη λύση της εξίσωσης (2), τότε το πραγματικό μέρος 
, και φανταστικό μέρος 
λύσεις 
χωριστά είναι λύσεις της ίδιας ομοιογενούς εξίσωσης. Έτσι, οποιαδήποτε σύνθετη λύση της εξίσωσης (2) δημιουργεί δύο πραγματικές λύσεις σε αυτήν την εξίσωση.
Οι λύσεις μιας ομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:
Αν 
είναι λύση της εξίσωσης (2), τότε η συνάρτηση 
, Οπου ΜΕ– μια αυθαίρετη σταθερά θα είναι επίσης λύση στην εξίσωση (2).
Αν 
Και 
υπάρχουν λύσεις στην εξίσωση (2) και στη συνέχεια η συνάρτηση 
θα είναι επίσης μια λύση στην εξίσωση (2).
Αν 
Και 
υπάρχουν λύσεις στην εξίσωση (2) και στη συνέχεια ο γραμμικός συνδυασμός τους 
θα είναι επίσης λύση στην εξίσωση (2), όπου 
Και 
– αυθαίρετες σταθερές.
Λειτουργίες 
Και 
λέγονται γραμμικά εξαρτώμενη
στο διάστημα 
, εάν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί 
Και 
, όχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα, ότι σε αυτό το διάστημα η ισότητα
Αν η ισότητα (4) εμφανίζεται μόνο όταν 
Και 
, μετά τις συναρτήσεις 
Και 
λέγονται γραμμικά ανεξάρτητη
στο διάστημα 
.
Παράδειγμα 1
. Λειτουργίες 
Και 
εξαρτώνται γραμμικά, αφού 
σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Σε αυτό το παράδειγμα 
.
Παράδειγμα 2
. Λειτουργίες 
Και 
είναι γραμμικά ανεξάρτητες σε οποιοδήποτε διάστημα, αφού η ισότητα 
είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση που 
, Και 
.
Κατασκευή γενικής λύσης σε γραμμική ομοιογενή
εξισώσεις
Για να βρείτε μια γενική λύση στην εξίσωση (2), πρέπει να βρείτε δύο από τις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της 
Και 
. Γραμμικός συνδυασμός αυτών των λύσεων 
, Οπου 
Και 
είναι αυθαίρετες σταθερές, και θα δώσει μια γενική λύση σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση.
Θα αναζητήσουμε γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης (2) στη μορφή
,
(5)
Οπου 
- έναν ορισμένο αριθμό. Επειτα 
,
. Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (2):
ή 
.
Επειδή 
, Οτι 
. Η συνάρτηση λοιπόν 
θα είναι λύση της εξίσωσης (2) αν 
θα ικανοποιήσει την εξίσωση
.
(6)
Καλείται η εξίσωση (6). χαρακτηριστική εξίσωση για την εξίσωση (2). Αυτή η εξίσωση είναι μια αλγεβρική τετραγωνική εξίσωση.
Αφήνω 
Και 
υπάρχουν ρίζες αυτής της εξίσωσης. Μπορούν να είναι είτε πραγματικές και διαφορετικές, είτε σύνθετες, είτε πραγματικές και ίσες. Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις.
Αφήστε τις ρίζες 
Και 
οι χαρακτηριστικές εξισώσεις είναι πραγματικές και διακριτές. Τότε οι λύσεις της εξίσωσης (2) θα είναι οι συναρτήσεις 
Και 
. Αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού η ισότητα 
μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο όταν 
, Και 
. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή
,
Οπου 
Και 
- αυθαίρετες σταθερές.
Παράδειγμα 3
.
Λύση
. Η χαρακτηριστική εξίσωση για αυτή τη διαφορική θα είναι 
. Έχοντας αποφασίσει αυτό τετραγωνική εξίσωση, ας βρούμε τις ρίζες του 
Και 
. Λειτουργίες 
Και 
είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι 
.
Μιγαδικός αριθμός 
ονομάζεται έκφραση της μορφής 
, Οπου 
Και 
είναι πραγματικοί αριθμοί, και 
ονομάζεται η φανταστική μονάδα. Αν 
, μετά τον αριθμό 
λέγεται καθαρά φανταστικός. Αν 
, μετά τον αριθμό 
ταυτίζεται με πραγματικό αριθμό 
.
Αριθμός 
ονομάζεται το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού, και 
- φανταστικό μέρος. Εάν δύο μιγαδικοί αριθμοί διαφέρουν μεταξύ τους μόνο με το πρόσημο του φανταστικού μέρους, τότε ονομάζονται συζυγείς: 
,
.
Παράδειγμα 4
. Λύστε δευτεροβάθμια εξίσωση 
.
Λύση
. Διακριτική εξίσωση 
. Επειτα. Επίσης, 
. Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει συζευγμένες μιγαδικές ρίζες.
Έστω οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μιγαδικές, δηλ. 
,
, Οπου 
. Οι λύσεις της εξίσωσης (2) μπορούν να γραφτούν με τη μορφή 
,
ή 
,
. Σύμφωνα με τους τύπους του Euler
,
.
Επειτα ,. Όπως είναι γνωστό, εάν μια μιγαδική συνάρτηση είναι μια λύση σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση, τότε οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι τόσο το πραγματικό όσο και το φανταστικό μέρος αυτής της συνάρτησης. Έτσι, οι λύσεις της εξίσωσης (2) θα είναι οι συναρτήσεις 
Και 
. Από την ισότητα
μπορεί να εκτελεστεί μόνο εάν 
Και 
, τότε αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή
Οπου 
Και 
- αυθαίρετες σταθερές.
Παράδειγμα 5
. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 
.
Λύση
. Η εξίσωση 
είναι χαρακτηριστικό μιας δεδομένης διαφοράς. Ας το λύσουμε και ας πάρουμε σύνθετες ρίζες 
,
. Λειτουργίες 
Και 
είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι:
Έστω οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πραγματικές και ίσες, δηλ. 
. Τότε οι λύσεις της εξίσωσης (2) είναι οι συναρτήσεις 
Και 
. Αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού η έκφραση μπορεί να είναι πανομοιότυπα ίση με μηδέν μόνο όταν 
Και 
. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή 
.
Παράδειγμα 6
. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 
.
Λύση
. Χαρακτηριστική εξίσωση 
έχει ίσες ρίζες 
. Στην περίπτωση αυτή, γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις στη διαφορική εξίσωση είναι οι συναρτήσεις 
Και 
. Η γενική λύση έχει τη μορφή 
.
Ανομοιογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές
και η ειδική δεξιά πλευρά
Η γενική λύση της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης (1) είναι ίση με το άθροισμα της γενικής λύσης 
την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση και κάθε συγκεκριμένη λύση 
ανομοιογενής εξίσωση: 
.
Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια συγκεκριμένη λύση σε μια ανομοιογενή εξίσωση μπορεί να βρεθεί πολύ απλά με τη μορφή της δεξιάς πλευράς 
εξίσωση (1). Ας δούμε τις περιπτώσεις όπου αυτό είναι δυνατό.
εκείνοι. η δεξιά πλευρά της ανομοιογενούς εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο βαθμού Μ. Αν 
δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε θα πρέπει να αναζητηθεί μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση με τη μορφή ενός πολυωνύμου βαθμού Μ, δηλ.
Πιθανότητα 
καθορίζονται στη διαδικασία εξεύρεσης μιας συγκεκριμένης λύσης.
Αν 
είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε θα πρέπει να αναζητηθεί μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση με τη μορφή
Παράδειγμα 7
. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 
.
Λύση
. Η αντίστοιχη ομοιογενής εξίσωση για δεδομένη εξίσωσηείναι 
. Η χαρακτηριστική του εξίσωση 
έχει ρίζες 
Και 
. Η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή 
.
Επειδή 
δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μορφή συνάρτησης 
. Ας βρούμε τις παραγώγους αυτής της συνάρτησης 
,
και αντικαταστήστε τα σε αυτή την εξίσωση:
ή . Ας εξισώσουμε τους συντελεστές για 
και δωρεάν μέλη: 
Έχοντας λύσει αυτό το σύστημα, παίρνουμε 
,
. Τότε μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή 
, και η γενική λύση μιας δεδομένης ανομοιογενούς εξίσωσης θα είναι το άθροισμα της γενικής λύσης της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης και της συγκεκριμένης λύσης της ανομοιογενούς εξίσωσης: 
.
Έστω η ανομοιογενής εξίσωση να έχει τη μορφή
Αν 
δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε θα πρέπει να αναζητηθεί μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση στη μορφή. Αν 
είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας κ
(κ=1 ή κ=2), τότε σε αυτήν την περίπτωση μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης θα έχει τη μορφή .
Παράδειγμα 8
. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 
.
Λύση
. Η χαρακτηριστική εξίσωση για την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση έχει τη μορφή 
. Οι ρίζες του 
,
. Στην περίπτωση αυτή, η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης γράφεται στη μορφή 
.
Δεδομένου ότι ο αριθμός 3 δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση θα πρέπει να αναζητηθεί με τη μορφή 
. Ας βρούμε τα παράγωγα πρώτης και δεύτερης τάξης:
Ας αντικαταστήσουμε τη διαφορική εξίσωση: 
+
+,
+,.
Ας εξισώσουμε τους συντελεστές για 
και δωρεάν μέλη:
Από εδώ 
,
. Τότε μια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης έχει τη μορφή 
και η γενική λύση
.
Μέθοδος Lagrange μεταβολής αυθαίρετων σταθερών
Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε ανομοιογενή γραμμική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, ανεξάρτητα από τον τύπο της δεξιάς πλευράς. Αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να βρίσκετε πάντα μια γενική λύση σε μια ανομοιογενή εξίσωση εάν είναι γνωστή η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης.
Αφήνω 
Και 
είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης (2). Τότε η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι 
, Οπου 
Και 
- αυθαίρετες σταθερές. Η ουσία της μεθόδου μεταβολής αυθαίρετων σταθερών είναι ότι η γενική λύση της εξίσωσης (1) αναζητείται με τη μορφή
Οπου 
Και 
- νέες άγνωστες συναρτήσεις που πρέπει να βρεθούν. Εφόσον υπάρχουν δύο άγνωστες συναρτήσεις, για να τις βρούμε, χρειάζονται δύο εξισώσεις που περιέχουν αυτές τις συναρτήσεις. Αυτές οι δύο εξισώσεις συνθέτουν το σύστημα
που είναι ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων ως προς 
Και 
. Επίλυση αυτού του συστήματος, βρίσκουμε 
Και 
. Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές των ληφθέντων ισοτήτων, βρίσκουμε
Και 
.
Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην (9), λαμβάνουμε μια γενική λύση στην ανομοιογενή γραμμική εξίσωση (1).
Παράδειγμα 9
. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 
.
Λύση.
Η χαρακτηριστική εξίσωση για την ομοιογενή εξίσωση που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη διαφορική εξίσωση είναι 
. Οι ρίζες του είναι πολύπλοκες 
,
. Επειδή 
Και 
, Οτι 
,
, και η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή. Στη συνέχεια θα αναζητήσουμε μια γενική λύση αυτής της ανομοιογενούς εξίσωσης με τη μορφή όπου 
Και 
- άγνωστες λειτουργίες.
Το σύστημα εξισώσεων για την εύρεση αυτών των άγνωστων συναρτήσεων έχει τη μορφή
Έχοντας λύσει αυτό το σύστημα, βρίσκουμε 
,
. Επειτα
,
. Ας αντικαταστήσουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν στον τύπο για τη γενική λύση:
Αυτή είναι η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης, που προκύπτει με τη μέθοδο Lagrange.
Ερωτήσεις για τον αυτοέλεγχο της γνώσης
Ποια διαφορική εξίσωση ονομάζεται γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές;
Ποια γραμμική διαφορική εξίσωση ονομάζεται ομογενής και ποια ανομοιογενής;
Ποιες ιδιότητες έχει μια γραμμική ομοιογενής εξίσωση;
Ποια εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική για μια γραμμική διαφορική εξίσωση και πώς προκύπτει;
Με ποια μορφή γράφεται η γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση διαφορετικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης;
Με ποια μορφή γράφεται η γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση ίσων ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης;
Με ποια μορφή γράφεται η γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές στην περίπτωση μιγαδικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης;
Πώς γράφεται η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης;
Με ποια μορφή αναζητείται μια συγκεκριμένη λύση σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση εάν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι διαφορετικές και όχι ίσες με μηδέν και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο βαθμού Μ?
Με ποια μορφή αναζητείται μια συγκεκριμένη λύση σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση εάν υπάρχει ένα μηδέν μεταξύ των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο βαθμού Μ?
Ποια είναι η ουσία της μεθόδου του Lagrange;
Αυτό το άρθρο εξετάζει το ζήτημα της επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η θεωρία θα συζητηθεί μαζί με παραδείγματα συγκεκριμένων προβλημάτων. Για την αποκρυπτογράφηση ασαφών όρων, είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στο θέμα σχετικά με τους βασικούς ορισμούς και έννοιες της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.
Ας εξετάσουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση (LDE) δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές της μορφής y "" + p · y " + q · y = f (x), όπου p και q είναι αυθαίρετοι αριθμοί, και την υπάρχουσα συνάρτηση f Το (x) είναι συνεχές στο διάστημα ολοκλήρωσης x.
Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του θεωρήματος για τη γενική λύση του LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Γενικό θεώρημα λύσης για LDNU
Θεώρημα 1Μια γενική λύση, που βρίσκεται στο διάστημα x, μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης της μορφής y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) με συνεχείς συντελεστές ολοκλήρωσης στο διάστημα x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) και συνεχής λειτουργίαΗ f (x) ισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης y 0, που αντιστοιχεί στο LOD και σε κάποια συγκεκριμένη λύση y ~, όπου η αρχική ανομοιογενής εξίσωση είναι y = y 0 + y ~.
Αυτό δείχνει ότι η λύση μιας τέτοιας εξίσωσης δεύτερης τάξης έχει τη μορφή y = y 0 + y ~ . Ο αλγόριθμος για την εύρεση του y 0 συζητείται στο άρθρο για γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μετά από αυτό θα πρέπει να προχωρήσουμε στον ορισμό του y ~.
Η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης για το LPDE εξαρτάται από τον τύπο της διαθέσιμης συνάρτησης f (x) που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εξεταστούν χωριστά οι λύσεις γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Όταν η f (x) θεωρείται πολυώνυμο του n βαθμού f (x) = P n (x), προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LPDE βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν τύπο της μορφής y ~ = Q n (x ) x γ, όπου Q n ( x) είναι πολυώνυμο βαθμού n, r είναι ο αριθμός των μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η τιμή y ~ είναι μια συγκεκριμένη λύση y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , τότε οι διαθέσιμοι συντελεστές που ορίζονται από το πολυώνυμο
Q n (x), βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών από την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Λύση
Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε μια συγκεκριμένη λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y "" - 2 y " = x 2 + 1, η οποία θα ικανοποιεί τις δεδομένες συνθήκες y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης είναι το άθροισμα της γενικής λύσης, που αντιστοιχεί στην εξίσωση y 0 ή σε μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση y ~, δηλαδή y = y 0 + y ~.
Πρώτα, θα βρούμε μια γενική λύση για το LNDU και μετά μια συγκεκριμένη.
Ας προχωρήσουμε στην εύρεση του y 0. Η εγγραφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης θα σας βοηθήσει να βρείτε τις ρίζες. Το καταλαβαίνουμε
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι διαφορετικές και πραγματικές. Επομένως, ας γράψουμε
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Ας βρούμε το y ~ . Μπορεί να φανεί ότι η δεξιά πλευρά της δεδομένης εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού, τότε μία από τις ρίζες είναι ίση με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση για το y ~ θα είναι
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, όπου οι τιμές των A, B, C λαμβάνουν απροσδιόριστους συντελεστές.
Ας τα βρούμε από μια ισότητα της μορφής y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Τότε παίρνουμε ότι:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Εξισώνοντας τους συντελεστές με τους ίδιους εκθέτες του x, λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εκφράσεων - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Όταν λύνουμε με οποιαδήποτε από τις μεθόδους, θα βρούμε τους συντελεστές και θα γράψουμε: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 και y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται γενική λύση της αρχικής γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Για να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις συνθήκες y (0) = 2, y "(0) = 1 4, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τιμές Γ 1Και Γ 2, με βάση μια ισότητα της μορφής y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Καταλαβαίνουμε ότι:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Εργαζόμαστε με το προκύπτον σύστημα εξισώσεων της μορφής C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, όπου C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Cauchy, έχουμε αυτό
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Απάντηση: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Όταν η συνάρτηση f (x) παριστάνεται ως το γινόμενο ενός πολυωνύμου με βαθμό n και εκθέτη f (x) = P n (x) · e a x, τότε προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LPDE δεύτερης τάξης θα είναι εξίσωση της μορφής y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο n ου βαθμού, και r είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ίσος με α.
Οι συντελεστές που ανήκουν στο Q n (x) βρίσκονται με την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Παράδειγμα 2
Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Λύση
Η εξίσωση γενική εικόνα y = y 0 + y ~ . Η υποδεικνυόμενη εξίσωση αντιστοιχεί στο LOD y "" - 2 y " = 0. Από το προηγούμενο παράδειγμα φαίνεται ότι οι ρίζες της είναι ίσες k 1 = 0και k 2 = 2 και y 0 = C 1 + C 2 e 2 x από τη χαρακτηριστική εξίσωση.
Φαίνεται ότι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι x 2 + 1 · e x . Από εδώ το LPDE βρίσκεται μέσω y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, όπου α = 1 και r = 0, επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση δεν έχουν ρίζα ίση με 1. Από εδώ το καταλαβαίνουμε
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
Οι A, B, C είναι άγνωστοι συντελεστές που μπορούν να βρεθούν από την ισότητα y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Το κατάλαβα
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Εξισώνουμε τους δείκτες με τους ίδιους συντελεστές και παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Από εδώ βρίσκουμε τα Α, Β, Γ:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Απάντηση:είναι σαφές ότι y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 είναι μια συγκεκριμένη λύση του LNDDE, και y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - μια γενική λύση για μια ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης.
Όταν η συνάρτηση γράφεται ως f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, και Α'1Και ΣΕ 1είναι αριθμοί, τότε μια μερική λύση του LPDE θεωρείται εξίσωση της μορφής y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, όπου Α και B θεωρούνται απροσδιόριστοι συντελεστές και r είναι ο αριθμός των σύνθετες συζυγείς ρίζες που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσες με ± i β . Σε αυτή την περίπτωση, η αναζήτηση για συντελεστές πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Παράδειγμα 3
Βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Λύση
Πριν γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση, βρίσκουμε y 0. Επειτα
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Έχουμε ένα ζευγάρι σύνθετων συζυγών ριζών. Ας μεταμορφωθούμε και πάρουμε:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης θεωρούνται το συζυγές ζεύγος ± 2 i, τότε f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Αυτό δείχνει ότι η αναζήτηση για y ~ θα γίνει από y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Άγνωστα Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές Α και Β από μια ισότητα της μορφής y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Ας μεταμορφώσουμε:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Τότε είναι ξεκάθαρο ότι
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Είναι απαραίτητο να εξισωθούν οι συντελεστές ημιτόνων και συνημιτόνων. Παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Έπεται ότι y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Απάντηση:θεωρείται η γενική λύση του αρχικού LDDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Όταν f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), τότε y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Έχουμε ότι r είναι ο αριθμός των μιγαδικών συζυγών ζευγών ριζών που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσος με α ± i β, όπου P n (x), Q k (x), L m (x) και Nm(x)είναι πολυώνυμα βαθμού n, k, m, m, όπου m = m a x (n, k). Εύρεση συντελεστών Lm(x)Και Nm(x)γίνεται με βάση την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Παράδειγμα 4
Να βρείτε τη γενική λύση y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Λύση
Σύμφωνα με την προϋπόθεση είναι σαφές ότι
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Τότε m = m a x (n, k) = 1. Βρίσκουμε το y 0 γράφοντας πρώτα μια χαρακτηριστική εξίσωση της μορφής:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Επομένως y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε μια γενική λύση που βασίζεται στην ανομοιογενή εξίσωση y ~ της μορφής
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Είναι γνωστό ότι τα Α, Β, Γ είναι συντελεστές, r = 0, γιατί δεν υπάρχει ζεύγος συζυγών ριζών που να σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση με α ± i β = 3 ± 5 · i. Βρίσκουμε αυτούς τους συντελεστές από την ισότητα που προκύπτει:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + Δ) αμαρτία (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) αμαρτία (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Η εύρεση της παραγώγου και παρόμοιων όρων δίνει
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · αμαρτία (5 x) + 45 · αμαρτία (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Αφού εξισώσουμε τους συντελεστές, παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Από όλα προκύπτει ότι
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))
Απάντηση:Τώρα έχουμε λάβει μια γενική λύση στη δεδομένη γραμμική εξίσωση:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))
Αλγόριθμος επίλυσης LDNU
Ορισμός 1Οποιοσδήποτε άλλος τύπος συνάρτησης f (x) για λύση απαιτεί συμμόρφωση με τον αλγόριθμο λύσης:
- βρίσκοντας μια γενική λύση στην αντίστοιχη γραμμική ομοιογενή εξίσωση, όπου y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, όπου y 1Και y 2είναι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις του LODE, Γ 1Και Γ 2θεωρούνται αυθαίρετες σταθερές.
- υιοθέτηση ως γενική λύση του LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- προσδιορισμός παραγώγων μιας συνάρτησης μέσω συστήματος της μορφής C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , και εύρεση συναρτήσεων C 1 (x)και C 2 (x) μέσω ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα 5
Βρείτε τη γενική λύση για το y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Λύση
Προχωράμε στη σύνταξη της χαρακτηριστικής εξίσωσης, έχοντας προηγουμένως γράψει y 0, y "" + 36 y = 0. Ας γράψουμε και ας λύσουμε:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = αμαρτία (6 x)
Έχουμε ότι η γενική λύση της δεδομένης εξίσωσης θα γραφεί ως y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε στον ορισμό των παραγώγων συναρτήσεων C 1 (x)Και C2(x)σύμφωνα με ένα σύστημα με εξισώσεις:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 αμαρτία (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Πρέπει να ληφθεί απόφαση σχετικά C 1" (x)Και C 2" (x)χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο. Στη συνέχεια γράφουμε:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Κάθε μία από τις εξισώσεις πρέπει να ενσωματωθεί. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x αμαρτία (6 x) + C 4
Από αυτό προκύπτει ότι η γενική λύση θα έχει τη μορφή:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 αμαρτία (6 x)
Απάντηση: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter