Οι τετραγωνικές εξισώσεις εμφανίζονται συχνά κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων στη φυσική και στα μαθηματικά. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε πώς να λύσουμε αυτές τις ισότητες με καθολικό τρόπο «μέσω ενός διακριτικού». Στο άρθρο δίνονται και παραδείγματα χρήσης της αποκτηθείσας γνώσης.

Για ποιες εξισώσεις θα μιλάμε;

Το παρακάτω σχήμα δείχνει έναν τύπο στον οποίο το x είναι μια άγνωστη μεταβλητή και τα λατινικά σύμβολα a, b, c αντιπροσωπεύουν κάποιους γνωστούς αριθμούς.

Κάθε ένα από αυτά τα σύμβολα ονομάζεται συντελεστής. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός "a" εμφανίζεται πριν από τη μεταβλητή x στο τετράγωνο. Αυτή είναι η μέγιστη ισχύς της παράστασης που αναπαρίσταται, γι' αυτό ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση. Το άλλο όνομά του χρησιμοποιείται συχνά: εξίσωση δεύτερης τάξης. Η ίδια η τιμή a είναι ένας τετράγωνος συντελεστής (που στέκεται όταν η μεταβλητή είναι τετράγωνο), b είναι γραμμικός συντελεστής(βρίσκεται δίπλα στη μεταβλητή ανυψωμένη στην πρώτη δύναμη), τέλος, ο αριθμός c είναι ο ελεύθερος όρος.

Σημειώστε ότι ο τύπος της εξίσωσης που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα είναι μια γενική κλασική τετραγωνική έκφραση. Εκτός από αυτό, υπάρχουν και άλλες εξισώσεις δεύτερης τάξης στις οποίες οι συντελεστές b και c μπορεί να είναι μηδέν.

Όταν η εργασία έχει οριστεί να λύσει την εν λόγω ισότητα, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθούν τέτοιες τιμές της μεταβλητής x που θα την ικανοποιούσαν. Εδώ, το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι το εξής: αφού ο μέγιστος βαθμός του Χ είναι 2, τότε αυτός ο τύπος έκφρασης δεν μπορεί να έχει περισσότερες από 2 λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι εάν, κατά την επίλυση μιας εξίσωσης, βρέθηκαν 2 τιμές του x που την ικανοποιούν, τότε μπορείτε να είστε σίγουροι ότι δεν υπάρχει 3ος αριθμός, αντικαθιστώντας τον με x, η ισότητα θα ήταν επίσης αληθής. Οι λύσεις μιας εξίσωσης στα μαθηματικά ονομάζονται ρίζες της.

Μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων δεύτερης τάξης

Η επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου απαιτεί γνώση κάποιας θεωρίας σχετικά με αυτές. Στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας εξετάζονται 4 διαφορετικές μέθοδοι επίλυσης. Ας τα απαριθμήσουμε:

• χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση?
• χρησιμοποιώντας τον τύπο για τέλειο τετράγωνο.
• εφαρμόζοντας το γράφημα της αντίστοιχης τετραγωνικής συνάρτησης.
• χρησιμοποιώντας την εξίσωση διάκρισης.

Το πλεονέκτημα της πρώτης μεθόδου είναι η απλότητά της· ωστόσο, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλες τις εξισώσεις. Η δεύτερη μέθοδος είναι καθολική, αλλά κάπως επίπονη. Η τρίτη μέθοδος διακρίνεται από τη σαφήνειά της, αλλά δεν είναι πάντα βολική και εφαρμόσιμη. Και τέλος, η χρήση της εξίσωσης διάκρισης είναι ένας καθολικός και αρκετά απλός τρόπος για να βρείτε τις ρίζες κάθε απολύτως εξίσωσης δεύτερης τάξης. Επομένως, σε αυτό το άρθρο θα το εξετάσουμε μόνο.

Τύπος για τη λήψη των ριζών της εξίσωσης

Ας στραφούμε στη γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης. Ας το γράψουμε: a*x²+ b*x + c =0. Πριν χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο επίλυσής του "μέσω ενός διαχωριστικού", θα πρέπει πάντα να φέρετε την ισότητα στη γραπτή της μορφή. Δηλαδή, πρέπει να αποτελείται από τρεις όρους (ή λιγότερους αν το b ή το c είναι 0).

Για παράδειγμα, εάν υπάρχει μια παράσταση: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², τότε θα πρέπει πρώτα να μετακινήσετε όλους τους όρους της στη μία πλευρά της ισότητας και να προσθέσετε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή x στο ίδιες εξουσίες.

Σε αυτήν την περίπτωση, αυτή η πράξη θα οδηγήσει στην ακόλουθη παράσταση: -6*x²-4*x+8=0, η οποία ισοδυναμεί με την εξίσωση 6*x²+4*x-8=0 (εδώ πολλαπλασιάσαμε το αριστερό και δεξιές πλευρές της ισότητας κατά -1) .

Στο παραπάνω παράδειγμα, a = 6, b=4, c=-8. Σημειώστε ότι όλοι οι όροι της υπό εξέταση ισότητας αθροίζονται πάντα μαζί, οπότε αν εμφανιστεί το σύμβολο «-», αυτό σημαίνει ότι ο αντίστοιχος συντελεστής είναι αρνητικός, όπως ο αριθμός c σε αυτήν την περίπτωση.

Έχοντας εξετάσει αυτό το σημείο, ας προχωρήσουμε τώρα στον ίδιο τον τύπο, ο οποίος καθιστά δυνατή τη λήψη των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Μοιάζει με αυτό που φαίνεται στην παρακάτω φωτογραφία.

Όπως φαίνεται από αυτή την έκφραση, σας επιτρέπει να λάβετε δύο ρίζες (δώστε προσοχή στο σύμβολο "±"). Για να γίνει αυτό, αρκεί να αντικαταστήσετε τους συντελεστές b, c και a σε αυτό.

Η έννοια του διακριτικού

Στην προηγούμενη παράγραφο, δόθηκε ένας τύπος που σας επιτρέπει να λύσετε γρήγορα οποιαδήποτε εξίσωση δεύτερης τάξης. Σε αυτήν, η ριζική έκφραση ονομάζεται διάκριση, δηλαδή D = b²-4*a*c.

Γιατί επισημαίνεται αυτό το μέρος της φόρμουλας, και μάλιστα έχει κατάλληλο όνομα? Το γεγονός είναι ότι ο διαχωριστής συνδέει και τους τρεις συντελεστές της εξίσωσης σε μία μόνο έκφραση. Τελευταίο γεγονόςσημαίνει ότι μεταφέρει πλήρως πληροφορίες για τις ρίζες, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν στην ακόλουθη λίστα:

1. D>0: η ισότητα έχει 2 διάφορες λύσεις, που και οι δύο είναι πραγματικοί αριθμοί.
2. D=0: Η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα, και είναι πραγματικός αριθμός.

Έργο προσδιορισμού διάκρισης

Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα για το πώς να βρείτε ένα διακριτικό. Έστω η ακόλουθη ισότητα: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Ας το φέρουμε σε τυπική μορφή, παίρνουμε: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, από το οποίο καταλήγουμε στην ισότητα : -2*x² +2*x-11 = 0. Εδώ a=-2, b=2, c=-11.

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο για τη διάκριση: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ο αριθμός που προκύπτει είναι η απάντηση στην εργασία. Αφού στο παράδειγμα η διακρίνουσα λιγότερο από το μηδέν, τότε μπορούμε να πούμε ότι αυτό τετραγωνική εξίσωσηδεν έχει πραγματικές ρίζες. Η λύση του θα είναι μόνο αριθμοί μιγαδικού τύπου.

Παράδειγμα ανισότητας μέσω ενός διακριτικού

Ας λύσουμε προβλήματα ενός ελαφρώς διαφορετικού τύπου: δεδομένης της ισότητας -3*x²-6*x+c = 0. Είναι απαραίτητο να βρούμε τιμές του c για τις οποίες D>0.

Σε αυτήν την περίπτωση, μόνο 2 στους 3 συντελεστές είναι γνωστοί, επομένως δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός της ακριβούς τιμής του διαχωριστή, αλλά είναι γνωστό ότι είναι θετικός. Χρησιμοποιούμε το τελευταίο γεγονός όταν συνθέτουμε την ανίσωση: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Η επίλυση της ανισότητας που προκύπτει οδηγεί στο αποτέλεσμα: c>-3.

Ας ελέγξουμε τον αριθμό που προκύπτει. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το D για 2 περιπτώσεις: c=-2 και c=-4. Ο αριθμός -2 ικανοποιεί το ληφθέν αποτέλεσμα (-2>-3), ο αντίστοιχος διαχωριστής θα έχει την τιμή: D = 12>0. Με τη σειρά του, ο αριθμός -4 δεν ικανοποιεί την ανίσωση (-4. Έτσι, οποιοιδήποτε αριθμοί c είναι μεγαλύτεροι από -3 θα ικανοποιούν τη συνθήκη.

Παράδειγμα επίλυσης εξίσωσης

Ας παρουσιάσουμε ένα πρόβλημα που περιλαμβάνει όχι μόνο την εύρεση του διαχωριστή, αλλά και την επίλυση της εξίσωσης. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες για την ισότητα -2*x²+7-9*x = 0.

Σε αυτό το παράδειγμα, η διάκριση ισούται με την ακόλουθη τιμή: D = 81-4*(-2)*7= 137. Τότε οι ρίζες της εξίσωσης προσδιορίζονται ως εξής: x = (9±√137)/(- 4). Αυτό ακριβείς τιμέςρίζες, αν υπολογίσετε τη ρίζα περίπου, τότε παίρνετε τους αριθμούς: x = -5,176 και x = 0,676.

Γεωμετρικό πρόβλημα

Θα λύσουμε ένα πρόβλημα που θα απαιτεί όχι μόνο την ικανότητα υπολογισμού του διαχωριστικού, αλλά και την εφαρμογή δεξιοτήτων αφηρημένη σκέψηκαι γνώση του τρόπου συγγραφής τετραγωνικών εξισώσεων.

Ο Μπομπ είχε ένα πάπλωμα 5 x 4 μέτρων. Το αγόρι ήθελε να το ράψει σε όλη την περίμετρο συνεχής λωρίδααπό όμορφο ύφασμα. Πόσο παχιά θα είναι αυτή η λωρίδα αν γνωρίζουμε ότι ο Bob έχει 10 m² ύφασμα.

Αφήστε τη λωρίδα να έχει πάχος x m, τότε η περιοχή του υφάσματος κατά μήκος της μακριάς πλευράς της κουβέρτας θα είναι (5+2*x)*x, και αφού υπάρχουν 2 μακριές πλευρές, έχουμε: 2*x *(5+2*x). Στη κοντή πλευρά, το εμβαδόν του ραμμένου υφάσματος θα είναι 4*x, αφού υπάρχουν 2 από αυτές τις πλευρές, παίρνουμε την τιμή 8*x. Σημειώστε ότι η τιμή 2*x προστέθηκε στη μεγάλη πλευρά επειδή το μήκος της κουβέρτας αυξήθηκε κατά αυτόν τον αριθμό. Η συνολική επιφάνεια του υφάσματος που είναι ραμμένο στην κουβέρτα είναι 10 m². Επομένως, παίρνουμε την ισότητα: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Για αυτό το παράδειγμα, ο διαχωριστής ισούται με: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Η ρίζα του είναι 22. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε τις απαιτούμενες ρίζες: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Προφανώς, από τις δύο ρίζες, μόνο ο αριθμός 0,5 είναι κατάλληλος σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος.

Έτσι, η λωρίδα υφάσματος που ράβει ο Μπομπ στην κουβέρτα του θα έχει πλάτος 50 εκατοστά.

Τετραγωνική εξίσωση - εύκολο να λυθεί! *Στο εξής θα αναφέρεται ως «KU».Φίλοι, φαίνεται ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει τίποτα πιο απλό στα μαθηματικά από την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης. Αλλά κάτι μου είπε ότι πολλοί άνθρωποι έχουν προβλήματα μαζί του. Αποφάσισα να δω πόσες εμφανίσεις κατ' απαίτηση δίνει η Yandex ανά μήνα. Να τι συνέβη, δείτε:

Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι περίπου 70.000 άτομα το μήνα αναζητούν αυτές τις πληροφορίες, τι σχέση έχει αυτό το καλοκαίρι και τι θα συμβεί μεταξύ σχολική χρονιά— θα υπάρξουν διπλάσιες αιτήσεις. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή εκείνοι οι τύποι και τα κορίτσια που αποφοίτησαν από το σχολείο πριν από πολύ καιρό και προετοιμάζονται για τις εξετάσεις του Unified State, αναζητούν αυτές τις πληροφορίες και οι μαθητές προσπαθούν επίσης να ανανεώσουν τη μνήμη τους.

Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί ιστότοποι που σας λένε πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση, αποφάσισα επίσης να συνεισφέρω και να δημοσιεύσω το υλικό. Πρώτον, θέλω οι επισκέπτες να έρχονται στον ιστότοπό μου με βάση αυτό το αίτημα. Δεύτερον, σε άλλα άρθρα, όταν εμφανιστεί το θέμα "KU", θα παράσχω έναν σύνδεσμο προς αυτό το άρθρο. Τρίτον, θα σας πω λίγα περισσότερα για τη λύση του από ό,τι συνήθως αναφέρεται σε άλλους ιστότοπους. Ας αρχίσουμε!Το περιεχόμενο του άρθρου:

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

όπου οι συντελεστές α,σικαι c είναι αυθαίρετοι αριθμοί, με a≠0.

Στο σχολικό μάθημα, η ύλη δίνεται με την ακόλουθη μορφή - οι εξισώσεις χωρίζονται σε τρεις τάξεις:

1. Έχουν δύο ρίζες.

2. *Έχετε μόνο μία ρίζα.

3. Δεν έχουν ρίζες. Αξίζει ιδιαίτερα να σημειωθεί εδώ ότι δεν έχουν πραγματικές ρίζες

Πώς υπολογίζονται οι ρίζες; Μόλις!

Υπολογίζουμε τη διάκριση. Κάτω από αυτή την «τρομερή» λέξη κρύβεται ένας πολύ απλός τύπος:

Οι τύποι ρίζας είναι οι εξής:

*Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους τύπους από έξω.

Μπορείτε να γράψετε αμέσως και να λύσετε:

Παράδειγμα:

1. Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

2. Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.

3. Εάν ο Δ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Ας δούμε την εξίσωση:

Από αυτή την άποψη, όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, το σχολικό μάθημα λέει ότι προκύπτει μία ρίζα, εδώ είναι ίση με εννέα. Όλα είναι σωστά, έτσι είναι, αλλά...

Αυτή η ιδέα είναι κάπως εσφαλμένη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο ρίζες. Ναι, ναι, μην εκπλαγείτε, παίρνετε δύο ίσες ρίζες, και για να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, τότε η απάντηση θα πρέπει να γράφει δύο ρίζες:

x 1 = 3 x 2 = 3

Αλλά αυτό είναι έτσι - μια μικρή παρέκβαση. Στο σχολείο μπορείς να το γράψεις και να πεις ότι υπάρχει μία ρίζα.

Τώρα το επόμενο παράδειγμα:

Όπως γνωρίζουμε, η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί, επομένως δεν υπάρχει λύση σε αυτή την περίπτωση.

Αυτή είναι η όλη διαδικασία απόφασης.

Τετραγωνική λειτουργία.

Αυτό δείχνει πώς φαίνεται γεωμετρικά η λύση. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό να το κατανοήσουμε (στο μέλλον, σε ένα από τα άρθρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς τη λύση της τετραγωνικής ανισότητας).

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας:

όπου x και y είναι μεταβλητές

a, b, c – δεδομένοι αριθμοί, με a ≠ 0

Το γράφημα είναι μια παραβολή:

Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι λύνοντας μια τετραγωνική εξίσωση με «y» ίσο με μηδέν, βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x. Μπορεί να υπάρχουν δύο από αυτά τα σημεία (το διακριτικό είναι θετικό), ένα (το διακριτικό είναι μηδέν) και κανένα (το διακριτικό είναι αρνητικό). Λεπτομέρειες για την τετραγωνική συνάρτηση Μπορείτε να δείτεάρθρο της Inna Feldman.

Ας δούμε παραδείγματα:

Παράδειγμα 1: Λύση 2x 2 +8 Χ–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Απάντηση: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ήταν δυνατό να διαιρεθεί αμέσως η αριστερή και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το 2, δηλαδή να απλοποιηθεί. Οι υπολογισμοί θα είναι ευκολότεροι.

Παράδειγμα 2: Αποφασίζω x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Βρήκαμε ότι x 1 = 11 και x 2 = 11

Επιτρέπεται να γράψετε x = 11 στην απάντηση.

Απάντηση: x = 11

Παράδειγμα 3: Αποφασίζω x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς.

Απάντηση: Καμία λύση

Η διάκριση είναι αρνητική. Υπάρχει λύση!

Εδώ θα μιλήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που προκύπτει αρνητικός διαχωριστής. Ξέρετε κάτι για μιγαδικοί αριθμοί? Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες εδώ για το γιατί και πού προέκυψαν και ποιος είναι ο συγκεκριμένος ρόλος και η αναγκαιότητά τους στα μαθηματικά· αυτό είναι ένα θέμα για ένα μεγάλο ξεχωριστό άρθρο.

Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.

Λίγη θεωρία.

Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός της φόρμας

z = a + bi

όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, το i είναι η λεγόμενη φανταστική μονάδα.

a+bi – αυτός είναι ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, όχι προσθήκη.

Η φανταστική μονάδα είναι ίση με τη ρίζα μείον ένα:

Τώρα σκεφτείτε την εξίσωση:

Παίρνουμε δύο συζυγείς ρίζες.

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.

Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής "b" ή "c" είναι ίσος με μηδέν (ή και οι δύο είναι ίσοι με μηδέν). Μπορούν να λυθούν εύκολα χωρίς διακρίσεις.

Περίπτωση 1. Συντελεστής b = 0.

Η εξίσωση γίνεται:

Ας μεταμορφώσουμε:

Παράδειγμα:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Περίπτωση 2. Συντελεστής c = 0.

Η εξίσωση γίνεται:

Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε:

*Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.

Παράδειγμα:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ή x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Περίπτωση 3. Συντελεστές b = 0 και c = 0.

Εδώ είναι σαφές ότι η λύση της εξίσωσης θα είναι πάντα x = 0.

Χρήσιμες ιδιότητες και μοτίβα συντελεστών.

Υπάρχουν ιδιότητες που σας επιτρέπουν να λύσετε εξισώσεις με μεγάλους συντελεστές.

ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα + σι+ c = 0,Οτι

- αν για τους συντελεστές της εξίσωσης ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα+ γ =σι, Οτι

Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου εξίσωσης.

Παράδειγμα 1: 5001 Χ 2 –4995 Χ – 6=0

Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, που σημαίνει

Παράδειγμα 2: 2501 Χ 2 +2507 Χ+6=0

Ισχύει η ισότητα ένα+ γ =σι, Που σημαίνει

Κανονικότητα συντελεστών.

1. Αν στην εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx + c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής “c” είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Αν στην Εξ. ax 2 + bx – c = 0 συντελεστής «b» ισούται με (α 2 – 1), και ο συντελεστής «γ» ισούται αριθμητικά με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx – c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 – 1), και ο συντελεστής c είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Το θεώρημα του Βιέτα.

Το θεώρημα του Βιέτα πήρε το όνομά του από τον διάσημο Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιέτα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός αυθαίρετου KU ως προς τους συντελεστές του.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Συνολικά, ο αριθμός 14 δίνει μόνο 5 και 9. Αυτές είναι ρίζες. Με μια συγκεκριμένη ικανότητα, χρησιμοποιώντας το παρουσιαζόμενο θεώρημα, μπορείτε να λύσετε πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις προφορικά αμέσως.

Το θεώρημα του Vieta, επιπλέον. Είναι βολικό στο ότι μετά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον συνήθη τρόπο (μέσω ενός διαχωριστή), οι προκύπτουσες ρίζες μπορούν να ελεγχθούν. Συνιστώ να το κάνετε αυτό πάντα.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής "α" πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να "πεταχτεί" σε αυτόν, γι' αυτό ονομάζεται μέθοδος «μεταφοράς».Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.

Αν ΕΝΑ± β+γ≠ 0, τότε χρησιμοποιείται η τεχνική μεταφοράς, για παράδειγμα:

2Χ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => Χ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta στην εξίσωση (2), είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι x 1 = 10 x 2 = 1

Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να διαιρεθούν με το 2 (καθώς οι δύο "πετάχτηκαν" από το x 2), παίρνουμε

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Ποιο είναι το σκεπτικό; Κοίτα τι συμβαίνει.

Οι διακρίσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι ίσες:

Αν κοιτάξετε τις ρίζες των εξισώσεων, λαμβάνετε μόνο διαφορετικούς παρονομαστές και το αποτέλεσμα εξαρτάται ακριβώς από τον συντελεστή x 2:

Το δεύτερο (τροποποιημένο) έχει ρίζες 2 φορές μεγαλύτερες.

Επομένως, διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2.

*Αν ξανατυλίξουμε τα τρία, θα διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 3 κ.λπ.

Απάντηση: x 1 = 5 x 2 = 0,5

πλ. ur-ie και Ενιαία Κρατική Εξέταση.

Θα σας πω εν συντομία για τη σημασία του - ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΤΕ γρήγορα και χωρίς σκέψη, πρέπει να γνωρίζετε τις φόρμουλες των ριζών και των διακρίσεων από καρδιάς. Πολλά από τα προβλήματα που περιλαμβάνονται στις εργασίες της Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης συνοψίζονται στην επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης (συμπεριλαμβανομένων των γεωμετρικών).

Κάτι που αξίζει να σημειωθεί!

1. Η μορφή γραφής μιας εξίσωσης μπορεί να είναι «σιωπηρή». Για παράδειγμα, είναι δυνατή η ακόλουθη καταχώρηση:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ή 15x+42+9x 2 - 45x=0 ή 15 -5x+10x 2 = 0.

Πρέπει να το φέρετε σε τυπική φόρμα (για να μην μπερδεύεστε κατά την επίλυση).

2. Θυμηθείτε ότι το x είναι άγνωστη ποσότητα και μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα - t, q, p, h και άλλα.

Πρώτο επίπεδο

Τετραγωνικές εξισώσεις. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση», η λέξη-κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο x) στο τετράγωνο και δεν πρέπει να υπάρχουν xes στην τρίτη (ή μεγαλύτερη) δύναμη.

Η λύση πολλών εξισώσεων καταλήγει στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση και όχι κάποια άλλη εξίσωση.

Παράδειγμα 1.

Ας απαλλαγούμε από τον παρονομαστή και ας πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της εξίσωσης με

Ας μεταφέρουμε τα πάντα στο αριστερή πλευράκαι τακτοποιήστε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του x

Τώρα μπορούμε να το πούμε με σιγουριά δεδομένη εξίσωσηείναι τετράγωνο!

Παράδειγμα 2.

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 3.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός? Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4.

Φαίνεται να υπάρχει, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει μειωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

1. τετράγωνο;
2. τετράγωνο;
3. όχι τετράγωνο?
4. όχι τετράγωνο?
5. όχι τετράγωνο?
6. τετράγωνο;
7. όχι τετράγωνο?
8. τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί χωρίζουν συμβατικά όλες τις τετραγωνικές εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:

• Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις υπάρχουν δεδομένος- αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένη!)

• Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

  Είναι ελλιπείς γιατί τους λείπει κάποιο στοιχείο. Όμως η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει x τετράγωνο!!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Αυτή η διαίρεση καθορίζεται από τις μεθόδους λύσης. Ας δούμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!

Υπάρχουν τύποι ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

1. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
2. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
3. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

1. i. Γιατί ξέρουμε να εξάγουμε Τετραγωνική ρίζα, τότε ας εκφράσουμε από αυτή την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε και να θυμάστε πάντα ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την εξίσωση

Τώρα το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Μετά από όλα, θυμάστε πώς να εξαγάγετε ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την εξίσωση

Ω! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την εξίσωση

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Ετσι,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Θα παραιτηθούμε από παραδείγματα εδώ.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο δύσκολη (λίγο) από αυτές.

Θυμάμαι, Οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Οι άλλες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε γρηγορότερα, αλλά εάν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κατακτήστε τη λύση χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση διαχωριστή.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο είναι πολύ απλή· το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα. Ιδιαίτερη προσοχήΚάνε ένα βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο ρίζα.
• Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την εξίσωση

Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3.

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα της διάκρισης. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:χωρίς ρίζες

2. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Αν θυμάστε, υπάρχει ένας τύπος εξίσωσης που ονομάζεται μειωμένος (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Άθροισμα ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την εξίσωση

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - ο άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, και.

Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ΕΝΑ - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Γιατί αν η εξίσωση γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.

Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την καρέκλα η εξίσωση ονομάζεται ελλιπής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, ας δούμε τις μεθόδους για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούμε να διακρίνουμε τους παρακάτω τύπους εξισώσεων:

Ι., στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα ας δούμε τη λύση για κάθε έναν από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσετε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν έχουμε δύο ρίζες

Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να σημειώσουμε εν συντομία ότι ένα πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το εικονίδιο κενού συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Ας συνυπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και ας βρούμε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Προσέξατε τη ρίζα από το διακριτικό στον τύπο για τις ρίζες; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω? Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες:
• Αν, τότε η εξίσωση έχει τις ίδιες ρίζες, και μάλιστα, μία ρίζα:

  Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.

• Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί είναι δυνατόν διαφορετικές ποσότητεςρίζες? Ας στραφούμε στο γεωμετρική αίσθησητετραγωνική εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:

Σε μια ειδική περίπτωση, που είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης (άξονα). Μια παραβολή μπορεί να μην τέμνει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και αν, τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Είναι πολύ εύκολο να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Vieta: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα #2:

Λύση:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών που δίνουν το γινόμενο και, στη συνέχεια, ελέγξτε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δίνουν συνολικά.

και: δίνουν συνολικά. Για να αποκτήσετε, αρκεί απλώς να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το προϊόν.

Απάντηση:

Παράδειγμα #3:

Λύση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Επομένως το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με διαφορές των ενοτήτων τους.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και των οποίων η διαφορά είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι ίση - δεν ταιριάζει.

και: - ακατάλληλο.

και: - ακατάλληλο.

και: - κατάλληλο. Το μόνο που μένει είναι να θυμόμαστε ότι μια από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, η ρίζα με το μικρότερο συντελεστή πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα #4:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, προσδιορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο οι ρίζες και είναι κατάλληλες για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα #5:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες έχουν πρόσημο μείον.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό να βρίσκεις ρίζες προφορικά, αντί να μετράς αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να επωφεληθείτε από τη χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες σε αυτοματοποίηση. Και για αυτό, λύστε άλλα πέντε παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:

Λύσεις σε εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το κομμάτι:

Ακατάλληλο γιατί το ποσό?

: το ποσό είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; .

Εργασία 2.

Και πάλι το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να είναι ίσο και το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν πρέπει να είναι, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; .

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι αυτό;

Πρέπει να μετακινήσετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Εντάξει, σταμάτα! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να δώσετε μια εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να ηγηθείτε, εγκαταλείψτε αυτήν την ιδέα και λύστε τη με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να δώσετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή που οδηγεί ίσος:

Εξαιρετική. Τότε το άθροισμα των ριζών ισούται με και το γινόμενο.

Εδώ είναι τόσο εύκολο όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών: τελικά, είναι πρώτος αριθμός (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; .

Εργασία 4.

Το δωρεάν μέλος είναι αρνητικό. Τι το ιδιαίτερο έχει αυτό; Και το γεγονός είναι ότι οι ρίζες θα έχουν διαφορετικά σημάδια. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά στις ενότητες τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά προϊόν.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Το θεώρημα του Βιέτα μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; .

Εργασία 5.

Τι πρέπει να κάνετε πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:

Οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι το μείον θα έχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; .

Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:

1. Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που δίνονται.
2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
3. Αν δεν δοθεί η εξίσωση ή δεν βρεθεί εξίσωση κατάλληλο ζευγάριπολλαπλασιαστές του ελεύθερου όρου, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ολόκληρες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διακριτικού).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται με τη μορφή όρων από συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αντικατάσταση των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή μιας ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

ΣΕ γενική εικόναο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν σου θυμίζει τίποτα; Αυτό είναι κάτι που εισάγει διακρίσεις! Έτσι ακριβώς πήραμε τον τύπο διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Τετραγωνική εξίσωση- αυτή είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - ο άγνωστος, - οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης, - ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

• αν ο συντελεστής, η εξίσωση μοιάζει με:
• αν υπάρχει ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν και, η εξίσωση μοιάζει με: .

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας εκφράσουμε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
• αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα: .

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Λύση με χρήση διακριτικού

1) Ας φέρουμε την εξίσωση σε τυπική μορφή: ,

2) Ας υπολογίσουμε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

• αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, οι οποίες βρίσκονται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης (εξίσωση της μορφής όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ΕΝΑ.

2.3. Λύση με τη μέθοδο επιλογής πλήρους τετραγώνου

Αν μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής έχει ρίζες, τότε μπορεί να γραφτεί με τη μορφή: .

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε κατανοήσει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκέψου μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερής ανάλυση και αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Προκειμένου να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 499 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

Συνεχίζοντας το θέμα «Επίλυση εξισώσεων», το υλικό σε αυτό το άρθρο θα σας εισάγει στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Ας δούμε τα πάντα λεπτομερώς: την ουσία και την καταγραφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, ορίστε τους σχετικούς όρους, αναλύστε το σχήμα για την επίλυση ελλιπών και πλήρεις εξισώσεις, θα εξοικειωθούμε με τον τύπο των ριζών και του διακριτικού, θα δημιουργήσουμε συνδέσεις μεταξύ ριζών και συντελεστών και φυσικά θα δώσουμε οπτική λύση σε πρακτικά παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τετραγωνική εξίσωση, τα είδη της

Ορισμός 1

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση που γράφεται ως a x 2 + b x + c = 0, Οπου Χ– μεταβλητή, a , b και ντο– κάποιοι αριθμοί, ενώ έναδεν είναι μηδέν.

Συχνά, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ονομάζονται και εξισώσεις δεύτερου βαθμού, αφού στην ουσία μια τετραγωνική εξίσωση είναι αλγεβρική εξίσωσηδευτέρου βαθμού.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για να επεξηγήσουμε τον ορισμό: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, κ.λπ. Αυτές είναι τετραγωνικές εξισώσεις.

Ορισμός 2

Αριθμοί α, β και ντοείναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a x 2 + b x + c = 0, ενώ ο συν έναονομάζεται πρώτος, ή ανώτερος, ή συντελεστής στο x 2, b - ο δεύτερος συντελεστής, ή συντελεστής στο Χ, ΕΝΑ ντοονομάζεται ελεύθερο μέλος.

Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ο κύριος συντελεστής είναι 6, ο δεύτερος συντελεστής είναι − 2 , και ο ελεύθερος όρος ισούται με − 11 . Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι όταν οι συντελεστές σικαι/ή c είναι αρνητικά, μετά χρησιμοποιήστε σύντομη μορφήρεκόρ όπως 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, αλλά όχι 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ας διευκρινίσουμε επίσης αυτή την πτυχή: αν οι συντελεστές ένακαι/ή σιίσος 1 ή − 1 , τότε ενδέχεται να μην λάβουν ρητό μέρος στη σύνταξη της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, κάτι που εξηγείται από τις ιδιαιτερότητες γραφής των αναγραφόμενων αριθμητικών συντελεστών. Για παράδειγμα, στην τετραγωνική εξίσωση y 2 − y + 7 = 0ο κύριος συντελεστής είναι 1 και ο δεύτερος συντελεστής είναι − 1 .

Ανηγμένες και μη αναγωγικές τετραγωνικές εξισώσεις

Με βάση την τιμή του πρώτου συντελεστή, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις χωρίζονται σε μειωμένες και μη αναγωγικές.

Ορισμός 3

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωσηείναι μια τετραγωνική εξίσωση όπου ο κύριος συντελεστής είναι 1. Για άλλες τιμές του κύριου συντελεστή, η τετραγωνική εξίσωση δεν είναι μειωμένη.

Ας δώσουμε παραδείγματα: οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 μειώνονται, σε καθεμία από τις οποίες ο κύριος συντελεστής είναι 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, όπου ο πρώτος συντελεστής είναι διαφορετικός από 1 .

Οποιαδήποτε μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε ανηγμένη εξίσωση διαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον πρώτο συντελεστή (ισοδύναμος μετασχηματισμός). Η μετασχηματισμένη εξίσωση θα έχει τις ίδιες ρίζες με τη δεδομένη μη ανηγμένη εξίσωση ή επίσης δεν θα έχει καθόλου ρίζες.

Θεώρηση συγκεκριμένο παράδειγμαθα μας επιτρέψει να δείξουμε ξεκάθαρα τη μετάβαση από μια μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση σε μια ανηγμένη.

Παράδειγμα 1

Δίνεται η εξίσωση 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Είναι απαραίτητο να μετατραπεί η αρχική εξίσωση στη μειωμένη μορφή.

Λύση

Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με τον κύριο συντελεστή 6. Τότε παίρνουμε: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, και αυτό είναι το ίδιο με: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0και επιπλέον: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Από εδώ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Έτσι, προκύπτει μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Απάντηση: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Πλήρεις και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Ας στραφούμε στον ορισμό μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Σε αυτό διευκρινίσαμε ότι a ≠ 0. Μια παρόμοια συνθήκη είναι απαραίτητη για την εξίσωση a x 2 + b x + c = 0ήταν ακριβώς τετράγωνο, αφού στο a = 0ουσιαστικά μετατρέπεται σε γραμμική εξίσωση b x + c = 0.

Στην περίπτωση που οι συντελεστές σιΚαι ντοισούνται με μηδέν (κάτι που είναι δυνατό, μεμονωμένα και από κοινού), η τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ελλιπής.

Ορισμός 4

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια τέτοια τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x + c = 0,όπου τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές σιΚαι ντο(ή και τα δύο) είναι μηδέν.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση– μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία όλοι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Ας συζητήσουμε γιατί δίνονται ακριβώς αυτά τα ονόματα στους τύπους των τετραγωνικών εξισώσεων.

Όταν b = 0, η τετραγωνική εξίσωση παίρνει τη μορφή a x 2 + 0 x + c = 0, που είναι το ίδιο με a x 2 + c = 0. Στο c = 0η τετραγωνική εξίσωση γράφεται ως a x 2 + b x + 0 = 0, που είναι ισοδύναμο a x 2 + b x = 0. Στο b = 0Και c = 0η εξίσωση θα πάρει τη μορφή a x 2 = 0. Οι εξισώσεις που λάβαμε διαφέρουν από την πλήρη τετραγωνική εξίσωση στο ότι οι αριστερές τους πλευρές δεν περιέχουν ούτε όρο με τη μεταβλητή x ούτε έναν ελεύθερο όρο ή και τα δύο. Στην πραγματικότητα, αυτό το γεγονός έδωσε το όνομα σε αυτόν τον τύπο εξίσωσης - ελλιπής.

Για παράδειγμα, x 2 + 3 x + 4 = 0 και − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 είναι πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις. x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Ο ορισμός που δίνεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επισήμανση τους παρακάτω τύπουςημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις:

• a x 2 = 0, αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στους συντελεστές b = 0και c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 στο b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 στο c = 0.

Ας εξετάσουμε διαδοχικά τη λύση κάθε τύπου ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Λύση της εξίσωσης a x 2 =0

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί στους συντελεστές σιΚαι ντο, ίσο με μηδέν. Η εξίσωση a x 2 = 0μπορεί να μετατραπεί σε ισοδύναμη εξίσωση x 2 = 0, το οποίο λαμβάνουμε διαιρώντας και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με τον αριθμό ένα, όχι ίσο με μηδέν. Το προφανές γεγονός είναι ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 = 0αυτό είναι μηδέν γιατί 0 2 = 0 . Αυτή η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες, κάτι που μπορεί να εξηγηθεί από τις ιδιότητες του βαθμού: για οποιονδήποτε αριθμό Π,δεν ισούται με μηδέν, η ανισότητα είναι αληθής p 2 > 0, από το οποίο προκύπτει ότι όταν p ≠ 0ισότητα p 2 = 0δεν θα επιτευχθεί ποτέ.

Ορισμός 5

Έτσι, για την ημιτελή τετραγωνική εξίσωση a x 2 = 0 υπάρχει μία μόνο ρίζα x = 0.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, ας λύσουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση − 3 x 2 = 0. Είναι ισοδύναμο με την εξίσωση x 2 = 0, η μόνη ρίζα του είναι x = 0, τότε η αρχική εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα - μηδέν.

Συνοπτικά, η λύση γράφεται ως εξής:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Επίλυση της εξίσωσης a x 2 + c = 0

Επόμενη στη σειρά είναι η λύση των ημιτελών δευτεροβάθμιων εξισώσεων, όπου b = 0, c ≠ 0, δηλαδή εξισώσεις της μορφής a x 2 + c = 0. Ας μετατρέψουμε αυτήν την εξίσωση μετακινώντας έναν όρο από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη, αλλάζοντας το πρόσημο στην αντίθετη και διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν:

• ΜΕΤΑΦΟΡΑ ντοστη δεξιά πλευρά, που δίνει την εξίσωση a x 2 = − γ;
• διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με ένα, καταλήγουμε σε x = - c a .

Οι μετασχηματισμοί μας είναι ισοδύναμοι· κατά συνέπεια, η εξίσωση που προκύπτει είναι επίσης ισοδύναμη με την αρχική, και αυτό το γεγονός καθιστά δυνατή την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης. Από ποιες είναι οι αξίες έναΚαι ντοη τιμή της έκφρασης - c a εξαρτάται: μπορεί να έχει πρόσημο μείον (για παράδειγμα, αν α = 1Και c = 2, τότε - c a = - 2 1 = - 2) ή ένα σύμβολο συν (για παράδειγμα, αν a = − 2Και c = 6, τότε - c a = - 6 - 2 = 3); δεν είναι μηδέν γιατί c ≠ 0. Ας σταθούμε αναλυτικότερα σε καταστάσεις όταν - γ α< 0 и - c a > 0 .

Στην περίπτωση που - γ α< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа Πη ισότητα p 2 = - c a δεν μπορεί να είναι αληθής.

Όλα είναι διαφορετικά όταν - c a > 0: θυμηθείτε την τετραγωνική ρίζα και θα γίνει προφανές ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2 = - c a θα είναι ο αριθμός - c a, αφού - c a 2 = - c a. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι ο αριθμός - - c a είναι και η ρίζα της εξίσωσης x 2 = - c a: πράγματι, - - c a 2 = - c a.

Η εξίσωση δεν θα έχει άλλες ρίζες. Μπορούμε να το αποδείξουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντίφασης. Αρχικά, ας ορίσουμε τους συμβολισμούς για τις ρίζες που βρέθηκαν παραπάνω ως x 1Και − x 1. Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση x 2 = - c a έχει επίσης ρίζα x 2, που διαφέρει από τις ρίζες x 1Και − x 1. Το γνωρίζουμε αντικαθιστώντας στην εξίσωση Χστις ρίζες της, μετατρέπουμε την εξίσωση σε μια δίκαιη αριθμητική ισότητα.

Για x 1Και − x 1γράφουμε: x 1 2 = - c a , και για x 2- x 2 2 = - c a . Με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων, αφαιρούμε έναν ορθό όρο ισότητας ανά όρο από έναν άλλο, που θα μας δώσει: x 1 2 − x 2 2 = 0. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των πράξεων με αριθμούς για να ξαναγράψουμε την τελευταία ισότητα ως (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Είναι γνωστό ότι το γινόμενο δύο αριθμών είναι μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς είναι μηδέν. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι x 1 − x 2 = 0και/ή x 1 + x 2 = 0, που είναι το ίδιο x 2 = x 1και/ή x 2 = − x 1. Προέκυψε μια προφανής αντίφαση, γιατί στην αρχή συμφωνήθηκε ότι η ρίζα της εξίσωσης x 2διαφέρει από x 1Και − x 1. Άρα, αποδείξαμε ότι η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες εκτός από x = - c a και x = - - c a.

Ας συνοψίσουμε όλα τα επιχειρήματα παραπάνω.

Ορισμός 6

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 + c = 0είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 2 = - c a, η οποία:

• δεν θα έχει ρίζες στο - γ α< 0 ;
• θα έχει δύο ρίζες x = - c a και x = - - c a for - c a > 0.

Ας δώσουμε παραδείγματα επίλυσης των εξισώσεων a x 2 + c = 0.

Παράδειγμα 3

Δίνεται μια τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0.Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση.

Λύση

Ας μετακινήσουμε τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή 9 x 2 = − 7.
Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει με 9 , φτάνουμε στο x 2 = - 7 9 . Στη δεξιά πλευρά βλέπουμε έναν αριθμό με πρόσημο μείον, που σημαίνει: η δεδομένη εξίσωση δεν έχει ρίζες. Τότε η αρχική ημιτελής τετραγωνική εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0δεν θα έχει ρίζες.

Απάντηση:την εξίσωση 9 x 2 + 7 = 0δεν έχει ρίζες.

Παράδειγμα 4

Η εξίσωση πρέπει να λυθεί − x 2 + 36 = 0.

Λύση

Ας μετακινήσουμε το 36 στη δεξιά πλευρά: − x 2 = − 36.
Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά − 1 , παίρνουμε x 2 = 36. Στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένας θετικός αριθμός, από τον οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι x = 36 ή x = - 36 .
Ας εξαγάγουμε τη ρίζα και ας γράψουμε το τελικό αποτέλεσμα: ημιτελής τετραγωνική εξίσωση − x 2 + 36 = 0έχει δύο ρίζες x=6ή x = − 6.

Απάντηση: x=6ή x = − 6.

Λύση της εξίσωσης a x 2 +b x=0

Ας αναλύσουμε τον τρίτο τύπο ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων, όταν c = 0. Να βρεθεί λύση σε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x = 0, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο παραγοντοποίησης. Ας παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός αγκύλων Χ. Αυτό το βήμα θα επιτρέψει τη μετατροπή της αρχικής ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης σε ισοδύναμη x (a x + b) = 0. Και αυτή η εξίσωση, με τη σειρά της, είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων x = 0Και a x + b = 0. Η εξίσωση a x + b = 0γραμμικό και η ρίζα του: x = − b α.

Ορισμός 7

Έτσι, η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση a x 2 + b x = 0θα έχει δύο ρίζες x = 0Και x = − b α.

Ας ενισχύσουμε το υλικό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 5

Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση στην εξίσωση 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Λύση

Θα το βγάλουμε Χέξω από τις αγκύλες παίρνουμε την εξίσωση x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις x = 0και 2 3 x - 2 2 7 = 0. Τώρα πρέπει να λύσετε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Γράψτε εν συντομία τη λύση της εξίσωσης ως εξής:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ή 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ή x = 3 3 7

Απάντηση: x = 0, x = 3 3 7.

Διάκριση, τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Για να βρούμε λύσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις, υπάρχει ένας τύπος ρίζας:

Ορισμός 8

x = - b ± D 2 · a, όπου D = b 2 − 4 a γ– το λεγόμενο διαχωριστικό μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Γράψιμο x = - b ± D 2 · a ουσιαστικά σημαίνει ότι x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Θα ήταν χρήσιμο να κατανοήσουμε πώς προέκυψε αυτός ο τύπος και πώς να τον εφαρμόσετε.

Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ας βρεθούμε αντιμέτωποι με το έργο της επίλυσης μιας εξίσωσης δευτεροβάθμιας a x 2 + b x + c = 0. Ας πραγματοποιήσουμε έναν αριθμό ισοδύναμων μετασχηματισμών:

• διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν αριθμό ένα, διαφορετικό από το μηδέν, λαμβάνουμε την ακόλουθη τετραγωνική εξίσωση: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Ας επιλέξουμε το πλήρες τετράγωνο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης που προκύπτει:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + γ α
  Μετά από αυτό, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Τώρα είναι δυνατό να μεταφέρουμε τους δύο τελευταίους όρους στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημο στο αντίθετο, μετά από το οποίο παίρνουμε: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Τέλος, μετασχηματίζουμε την έκφραση που είναι γραμμένη στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Έτσι, καταλήγουμε στην εξίσωση x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση a x 2 + b x + c = 0.

Αναλύσαμε τη λύση παρόμοιων εξισώσεων στο προηγούμενες παραγράφους(λύοντας ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις). Η εμπειρία που έχει ήδη αποκτηθεί καθιστά δυνατό να εξαχθεί ένα συμπέρασμα σχετικά με τις ρίζες της εξίσωσης x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• με b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• όταν b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 η εξίσωση είναι x + b 2 · a 2 = 0, τότε x + b 2 · a = 0.

Από εδώ η μόνη ρίζα x = - b 2 · a είναι προφανής.

• για b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, θα ισχύει το εξής: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ή x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , που είναι ίδιο με το x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ή x = - b 2 · a - b 2 - 4 · α · γ 4 · α 2 , δηλ. η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Είναι δυνατόν να συμπεράνουμε ότι η παρουσία ή η απουσία ριζών της εξίσωσης x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (και επομένως η αρχική εξίσωση) εξαρτάται από το πρόσημο της έκφρασης b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 γραμμένο στη δεξιά πλευρά. Και το πρόσημο αυτής της έκφρασης δίνεται από το πρόσημο του αριθμητή, (παρονομαστής 4 α 2θα είναι πάντα θετικό), δηλαδή το πρόσημο της έκφρασης β 2 − 4 α γ. Αυτή η έκφραση β 2 − 4 α γδίνεται το όνομα - η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης και το γράμμα D ορίζεται ως ο χαρακτηρισμός της. Εδώ μπορείτε να γράψετε την ουσία της διάκρισης - με βάση την τιμή και το πρόσημο της, μπορούν να συμπεράνουν εάν η τετραγωνική εξίσωση θα έχει πραγματικές ρίζες και, αν ναι, ποιος είναι ο αριθμός των ριζών - μία ή δύο.

Ας επιστρέψουμε στην εξίσωση x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Ας το ξαναγράψουμε χρησιμοποιώντας διακριτικό συμβολισμό: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ας διατυπώσουμε ξανά τα συμπεράσματά μας:

Ορισμός 9

• στο ρε< 0 η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
• στο D=0η εξίσωση έχει μία ρίζα x = - b 2 · a ;
• στο Δ > 0η εξίσωση έχει δύο ρίζες: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ή x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Με βάση τις ιδιότητες των ριζών, αυτές οι ρίζες μπορούν να γραφτούν με τη μορφή: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. Και, όταν ανοίγουμε τις μονάδες και φέρουμε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, παίρνουμε: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Έτσι, το αποτέλεσμα του συλλογισμού μας ήταν η παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, διακρίνουσα ρευπολογίζεται με τον τύπο D = b 2 − 4 a γ.

Αυτοί οι τύποι καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό και των δύο πραγματικών ριζών όταν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν. Όταν η διάκριση είναι μηδέν, η εφαρμογή και των δύο τύπων θα δώσει την ίδια ρίζα ως μοναδική λύση στην τετραγωνική εξίσωση. Στην περίπτωση που η διάκριση είναι αρνητική, αν προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της τετραγωνικής ρίζας, θα βρεθούμε αντιμέτωποι με την ανάγκη να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, κάτι που θα μας οδηγήσει πέρα ​​από το πεδίο των πραγματικών αριθμών. Με μια αρνητική διάκριση, η τετραγωνική εξίσωση δεν θα έχει πραγματικές ρίζες, αλλά είναι δυνατό ένα ζεύγος σύνθετων συζυγών ριζών, που προσδιορίζονται από τους ίδιους τύπους ρίζας που λάβαμε.

Αλγόριθμος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση ριζικών τύπων

Είναι δυνατό να λυθεί μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας αμέσως τον τύπο ρίζας, αλλά αυτό γίνεται γενικά όταν είναι απαραίτητο να βρεθούν σύνθετες ρίζες.

Στην πλειονότητα των περιπτώσεων, συνήθως σημαίνει αναζήτηση όχι για σύνθετες, αλλά για πραγματικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Στη συνέχεια, είναι βέλτιστο, πριν χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, να προσδιορίσετε πρώτα τη διάκριση και να βεβαιωθείτε ότι δεν είναι αρνητική (διαφορετικά θα συμπεράνουμε ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες) και στη συνέχεια να προχωρήσουμε στον υπολογισμό της αξία των ριζών.

Ο παραπάνω συλλογισμός καθιστά δυνατή τη διατύπωση ενός αλγορίθμου για την επίλυση μιας εξίσωσης τετραγωνικής.

Ορισμός 10

Για να λύσετε μια δευτεροβάθμια εξίσωση a x 2 + b x + c = 0, απαραίτητη:

• σύμφωνα με τον τύπο D = b 2 − 4 a γβρείτε τη διακριτική τιμή.
• στο Δ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• για D = 0, βρείτε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - b 2 · a ;
• για D > 0, προσδιορίστε δύο πραγματικές ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - b ± D 2 · a.

Σημειώστε ότι όταν η διάκριση είναι μηδέν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο x = - b ± D 2 · a, θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με τον τύπο x = - b 2 · a.

Ας δούμε παραδείγματα.

Παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Ας δώσουμε μια λύση στα παραδείγματα για διαφορετικές έννοιεςδιακριτική.

Παράδειγμα 6

Πρέπει να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 + 2 x − 6 = 0.

Λύση

Ας γράψουμε τους αριθμητικούς συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a = 1, b = 2 και c = − 6. Στη συνέχεια προχωράμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο, δηλ. Ας αρχίσουμε να υπολογίζουμε το διακριτικό, για το οποίο θα αντικαταστήσουμε τους συντελεστές a, b Και ντοστον τύπο διάκρισης: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Έτσι παίρνουμε D > 0, που σημαίνει ότι η αρχική εξίσωση θα έχει δύο πραγματικές ρίζες.
Για να τα βρούμε, χρησιμοποιούμε τον ριζικό τύπο x = - b ± D 2 · a και, αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες τιμές, παίρνουμε: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ας απλοποιήσουμε την έκφραση που προκύπτει αφαιρώντας τον παράγοντα από το σύμβολο της ρίζας και στη συνέχεια μειώνοντας το κλάσμα:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ή x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ή x = - 1 - 7

Απάντηση: x = - 1 + 7​​, x = - 1 - 7.

Παράδειγμα 7

Ανάγκη επίλυσης τετραγωνικής εξίσωσης − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Λύση

Ας ορίσουμε τη διάκριση: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Με αυτήν την τιμή του διαχωριστή, η αρχική εξίσωση θα έχει μόνο μία ρίζα, που καθορίζεται από τον τύπο x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Απάντηση: x = 3,5.

Παράδειγμα 8

Η εξίσωση πρέπει να λυθεί 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Λύση

Οι αριθμητικοί συντελεστές αυτής της εξίσωσης θα είναι: a = 5, b = 6 και c = 2. Χρησιμοποιούμε αυτές τις τιμές για να βρούμε τη διάκριση: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Η υπολογιζόμενη διάκριση είναι αρνητική, επομένως η αρχική τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Στην περίπτωση που η εργασία είναι να υποδείξουμε σύνθετες ρίζες, εφαρμόζουμε τον τύπο ρίζας, εκτελώντας ενέργειες με μιγαδικούς αριθμούς:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ή x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ή x = - 3 5 - 1 5 · i.

Απάντηση:δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. οι μιγαδικές ρίζες είναι οι εξής: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΔεν υπάρχει τυπική απαίτηση για αναζήτηση σύνθετων ριζών, επομένως, εάν κατά τη διάρκεια της λύσης η διάκριση κριθεί αρνητική, η απάντηση καταγράφεται αμέσως ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Τύπος ρίζας για ακόμη και δεύτερους συντελεστές

Ο ριζικός τύπος x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) καθιστά δυνατή την απόκτηση ενός άλλου τύπου, πιο συμπαγούς, που επιτρέπει σε κάποιον να βρει λύσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις με άρτιο συντελεστή για x ( ή με συντελεστή της μορφής 2 · n, για παράδειγμα, 2 3 ή 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ας δείξουμε πώς προκύπτει αυτός ο τύπος.

Ας βρεθούμε αντιμέτωποι με το καθήκον να βρούμε μια λύση στην τετραγωνική εξίσωση a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Προχωράμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο: προσδιορίζουμε τη διάκριση D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον ριζικό τύπο:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Έστω η παράσταση n 2 − a · c συμβολίζεται ως D 1 (μερικές φορές συμβολίζεται με D "). Τότε ο τύπος για τις ρίζες της εξίσωσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον δεύτερο συντελεστή 2 · n θα έχει τη μορφή:

x = - n ± D 1 a, όπου D 1 = n 2 − a · c.

Είναι εύκολο να δούμε ότι D = 4 · D 1, ή D 1 = D 4. Με άλλα λόγια, το D 1 είναι το ένα τέταρτο της διάκρισης. Προφανώς, το πρόσημο του D 1 είναι το ίδιο με το πρόσημο του D, που σημαίνει ότι το πρόσημο του D 1 μπορεί επίσης να χρησιμεύσει ως δείκτης της παρουσίας ή απουσίας ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ορισμός 11

Έτσι, για να βρεθεί μια λύση σε μια τετραγωνική εξίσωση με δεύτερο συντελεστή 2 n, είναι απαραίτητο:

• βρείτε D 1 = n 2 − a · c ;
• στο Δ 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• όταν D 1 = 0, προσδιορίστε τη μοναδική ρίζα της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - n a.
• για D 1 > 0, προσδιορίστε δύο πραγματικές ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο x = - n ± D 1 a.

Παράδειγμα 9

Είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Λύση

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον δεύτερο συντελεστή της δεδομένης εξίσωσης ως 2 · (− 3) . Στη συνέχεια ξαναγράφουμε τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση ως 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, όπου a = 5, n = − 3 και c = − 32.

Ας υπολογίσουμε το τέταρτο μέρος της διάκρισης: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Η τιμή που προκύπτει είναι θετική, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Ας τα προσδιορίσουμε χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τύπο ρίζας:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ή x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ή x = - 2

Θα ήταν δυνατό να πραγματοποιηθούν υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τον συνήθη τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης, αλλά σε αυτή την περίπτωση η λύση θα ήταν πιο δύσκολη.

Απάντηση: x = 3 1 5 ή x = - 2 .

Απλοποίηση της μορφής των τετραγωνικών εξισώσεων

Μερικές φορές είναι δυνατό να βελτιστοποιηθεί η μορφή της αρχικής εξίσωσης, η οποία θα απλοποιήσει τη διαδικασία υπολογισμού των ριζών.

Για παράδειγμα, η τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 είναι σαφώς πιο βολική για επίλυση από 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Συχνότερα, η απλοποίηση της μορφής μιας τετραγωνικής εξίσωσης πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τις δύο πλευρές της με έναν ορισμένο αριθμό. Για παράδειγμα, παραπάνω δείξαμε μια απλοποιημένη αναπαράσταση της εξίσωσης 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, που προκύπτει διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το 100.

Ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι δυνατός όταν οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης δεν είναι αμοιβαίοι πρώτοι αριθμοί. Τότε συνήθως διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τη μεγαλύτερη κοινός διαιρέτης απόλυτες τιμέςτους συντελεστές του.

Ως παράδειγμα, χρησιμοποιούμε την τετραγωνική εξίσωση 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Ας προσδιορίσουμε το GCD των απόλυτων τιμών των συντελεστών του: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης με το 6 και πάρουμε την ισοδύναμη τετραγωνική εξίσωση 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές μιας τετραγωνικής εξίσωσης, συνήθως απαλλαγείτε από τους κλασματικούς συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή, πολλαπλασιάζονται με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των συντελεστών του. Για παράδειγμα, εάν κάθε μέρος της τετραγωνικής εξίσωσης 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 πολλαπλασιαστεί με LCM (6, 3, 1) = 6, τότε θα γραφτεί σε περισσότερα σε απλή μορφή x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Τέλος, σημειώνουμε ότι σχεδόν πάντα απαλλαγούμε από το μείον στον πρώτο συντελεστή μιας τετραγωνικής εξίσωσης αλλάζοντας τα πρόσημα κάθε όρου της εξίσωσης, το οποίο επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας (ή διαιρώντας) και τις δύο πλευρές με − 1. Για παράδειγμα, από την τετραγωνική εξίσωση − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, μπορείτε να μεταβείτε στην απλοποιημένη έκδοσή της 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών

Ο τύπος για τις ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων, ήδη γνωστός σε εμάς, x = - b ± D 2 · a, εκφράζει τις ρίζες της εξίσωσης μέσω των αριθμητικών συντελεστών της. Με βάση αυτόν τον τύπο, έχουμε την ευκαιρία να καθορίσουμε άλλες εξαρτήσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών.

Οι πιο διάσημοι και εφαρμόσιμοι τύποι είναι το θεώρημα του Vieta:

x 1 + x 2 = - b a και x 2 = c a.

Ειδικότερα, για τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση το άθροισμα των ριζών είναι ο δεύτερος συντελεστής με αντίθετο σημάδι, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Για παράδειγμα, κοιτάζοντας τη μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, είναι δυνατό να προσδιοριστεί αμέσως ότι το άθροισμα των ριζών της είναι 7 3 και το γινόμενο των ριζών είναι 22 3.

Μπορείτε επίσης να βρείτε μια σειρά από άλλες συνδέσεις μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Για παράδειγμα, το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορεί να εκφραστεί με όρους συντελεστών:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ας εξετάσουμε το πρόβλημα. Ορθογώνια βάση περισσότερο ύψοςκατά 10 cm και το εμβαδόν του είναι 24 cm². Βρείτε το ύψος του ορθογωνίου. Αφήνω Χεκατοστά είναι το ύψος του ορθογωνίου, τότε η βάση του είναι ίση με ( Χ+10) εκ. Το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου είναι Χ(Χ+ 10) cm². Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος Χ(Χ+ 10) = 24. Ανοίγοντας τις αγκύλες και μετακινώντας τον αριθμό 24 με το αντίθετο πρόσημο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε: Χ² + 10 Χ-24 = 0. Κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος προέκυψε μια εξίσωση που ονομάζεται τετραγωνική.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής

τσεκούρι ²+ bx+c= 0

Οπου α, β, γ- δοσμένοι αριθμοί, και ΕΝΑ≠ 0, και Χ- άγνωστο.

Πιθανότητα α, β, γΗ τετραγωνική εξίσωση συνήθως ονομάζεται: ένα— ο πρώτος ή ο υψηλότερος συντελεστής, σι- δεύτερος συντελεστής, ντο- δωρεάν μέλος. Για παράδειγμα, στο πρόβλημά μας, ο κύριος συντελεστής είναι 1, ο δεύτερος συντελεστής είναι 10 και ο ελεύθερος όρος είναι -24. Η επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και τη φυσική καταλήγει στην επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Επίλυση Τετραγωνικών Εξισώσεων

Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις. Το πρώτο βήμα είναι να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση σε τυπική μορφή τσεκούρι²+ bx+ c = 0. Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημά μας, στο οποίο η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως Χ(Χ+ 10) = 24 ας το φέρουμε σε τυπική μορφή, ανοίξτε τις αγκύλες Χ² + 10 Χ- 24 = 0, λύνουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες μιας γενικής τετραγωνικής εξίσωσης.

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας σε αυτόν τον τύπο ονομάζεται διάκριση D = σι² - 4 μετα Χριστον

Αν D>0, τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες, οι οποίες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Αν D=0, τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει μία ρίζα.

Αν ο Δ<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο μας ΕΝΑ= 1, σι= 10, ντο= -24.

παίρνουμε D>0, άρα παίρνουμε δύο ρίζες.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου D=0, υπό αυτήν την προϋπόθεση θα πρέπει να υπάρχει μία ρίζα.

25Χ² — 30 Χ+ 9 = 0

Εξετάστε ένα παράδειγμα όπου ο Δ<0, при этом условии решения не должно быть.

2Χ² + 3 Χ+ 4 = 0

Ο αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας (διακριτικός) είναι αρνητικός· γράφουμε την απάντηση ως εξής: η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Τετραγωνική εξίσωση τσεκούρι² + bx+ ντοΤο = 0 λέγεται ατελές αν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές σιή ντοίσο με μηδέν. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση ενός από τους ακόλουθους τύπους:

τσεκούρι² = 0,

τσεκούρι² + ντο= 0, ντο≠ 0,

τσεκούρι² + bx= 0, σι≠ 0.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα και ας λύσουμε την εξίσωση

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 5 προκύπτει η εξίσωση Χ² = 0, η απάντηση θα έχει μία ρίζα Χ= 0.

Θεωρήστε μια εξίσωση της φόρμας

3Χ² - 27 = 0

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το 3, παίρνουμε την εξίσωση Χ² - 9 = 0, ή μπορεί να γραφτεί Χ² = 9, η απάντηση θα έχει δύο ρίζες Χ= 3 και Χ= -3.

Θεωρήστε μια εξίσωση της φόρμας

2Χ² + 7 = 0

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το 2, παίρνουμε την εξίσωση Χ² = -7/2. Αυτή η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, αφού Χ² ≥ 0 για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό Χ.

Θεωρήστε μια εξίσωση της φόρμας

3Χ² + 5 Χ= 0

Παραγοντοποιώντας την αριστερή πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε Χ(3Χ+ 5) = 0, η απάντηση θα έχει δύο ρίζες Χ= 0, Χ=-5/3.

Το πιο σημαντικό πράγμα κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων είναι να φέρετε την τετραγωνική εξίσωση σε μια τυπική μορφή, να απομνημονεύσετε τον τύπο για τις ρίζες μιας γενικής τετραγωνικής εξίσωσης και να μην μπερδεύεστε στα ζώδια.