Το θέμα «Διαφορετικά προβλήματα σε πολύεδρα, κύλινδρο, κώνο και μπάλα» είναι ένα από τα πιο δύσκολα στο μάθημα της Γεωμετρίας της 11ης τάξης. Πριν λύσουν γεωμετρικά προβλήματα, συνήθως μελετούν τις σχετικές ενότητες της θεωρίας που αναφέρονται κατά την επίλυση προβλημάτων. Στο εγχειρίδιο του S. Atanasyan και άλλων σχετικά με αυτό το θέμα (σελ. 138) μπορεί κανείς να βρει μόνο ορισμούς για ένα πολύεδρο που περιγράφεται γύρω από μια σφαίρα, ένα πολύεδρο εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα, μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε ένα πολύεδρο και μια σφαίρα που περιγράφεται γύρω από μια πολύεδρο. ΣΕ μεθοδολογικές συστάσειςαυτό το εγχειρίδιο (βλ. το βιβλίο «Μελετώντας τη γεωμετρία στις τάξεις 10–11» των S.M. Saakyan και V.F. Butuzov, σελ. 159) λέει ποιοι συνδυασμοί σωμάτων λαμβάνονται υπόψη κατά την επίλυση προβλημάτων αρ. 629–646 και εστιάζει την προσοχή στο γεγονός ότι « κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί ότι οι μαθητές κατανοούν καλά τις σχετικές θέσεις των σωμάτων που υποδεικνύονται στην κατάσταση." Ακολουθεί η λύση στα προβλήματα Νο. 638(α) και Νο. 640.
Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω και το γεγονός ότι τα πιο δύσκολα προβλήματα για τους μαθητές είναι ο συνδυασμός μιας μπάλας με άλλα σώματα, είναι απαραίτητο να συστηματοποιηθούν οι σχετικές θεωρητικές αρχές και να κοινοποιηθούν στους μαθητές.
Ορισμοί.
1. Μια μπάλα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε ένα πολύεδρο και ένα πολύεδρο περιγράφεται γύρω από μια σφαίρα εάν η επιφάνεια της μπάλας αγγίζει όλες τις όψεις του πολύεδρου.
2. Μια σφαίρα ονομάζεται περιγεγραμμένη γύρω από ένα πολύεδρο και ένα πολύεδρο εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα, αν η επιφάνεια της μπάλας διέρχεται από όλες τις κορυφές του πολύεδρου.
3. Μια μπάλα λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο, κόλουρος κώνος (κώνος), και ένας κύλινδρος, κόλουρος κώνος (κώνος) λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος γύρω από τη μπάλα εάν η επιφάνεια της μπάλας αγγίζει τις βάσεις (βάση) και όλα τα τα γενετικά στοιχεία του κυλίνδρου, κολοβωμένος κώνος (κώνος).
(Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι ο μεγάλος κύκλος μιας μπάλας μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε αξονικό τμήμα αυτών των σωμάτων).
4. Μια μπάλα λέγεται ότι περιγράφεται γύρω από έναν κύλινδρο, έναν κόλουρο κώνο (κώνος), εάν οι κύκλοι των βάσεων (κύκλος βάσης και κορυφή) ανήκουν στην επιφάνεια της μπάλας.
(Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι γύρω από οποιοδήποτε αξονικό τμήμα αυτών των σωμάτων μπορεί να περιγραφεί ο κύκλος ενός μεγαλύτερου κύκλου της μπάλας).
Γενικές σημειώσεις για τη θέση του κέντρου της μπάλας.
1. Το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο βρίσκεται στο σημείο τομής των επιπέδων διχοτόμων όλων των διεδρικών γωνιών του πολύεδρου. Βρίσκεται μόνο μέσα στο πολύεδρο.
2. Το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα πολύεδρο βρίσκεται στο σημείο τομής των επιπέδων κάθετων σε όλες τις ακμές του πολύεδρου και που διέρχονται από τα μέσα τους. Μπορεί να βρίσκεται μέσα, στην επιφάνεια ή έξω από το πολύεδρο.
Συνδυασμός σφαίρας και πρίσματος.
1. Μπάλα εγγεγραμμένη σε ευθύ πρίσμα.
Θεώρημα 1. Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε ένα ευθύ πρίσμα εάν και μόνο εάν ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση του πρίσματος και το ύψος του πρίσματος είναι ίσο με τη διάμετρο αυτού του κύκλου.
Συμπέρασμα 1.Το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα δεξιό πρίσμα βρίσκεται στο μέσο του υψομέτρου του πρίσματος που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στη βάση.
Συμπέρασμα 2.Μια μπάλα, συγκεκριμένα, μπορεί να εγγραφεί σε ευθείες γραμμές: τριγωνική, κανονική, τετράγωνη (στην οποία τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών της βάσης είναι ίσα μεταξύ τους) υπό την προϋπόθεση H = 2r, όπου H είναι το ύψος του πρίσμα, r είναι η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στη βάση.
2. Σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από ένα πρίσμα.
Θεώρημα 2. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα πρίσμα εάν και μόνο αν το πρίσμα είναι ευθύ και ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση του.
Συμπέρασμα 1. Το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα ευθύ πρίσμα βρίσκεται στο μέσο του ύψους του πρίσματος που διασχίζεται από το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση.
Συμπέρασμα 2.Μια μπάλα, συγκεκριμένα, μπορεί να περιγραφεί: κοντά σε ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα, κοντά σε κανονικό πρίσμα, κοντά σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, κοντά σε ορθογώνιο τετράγωνο πρίσμα, στο οποίο το άθροισμα των απέναντι γωνιών της βάσης είναι ίσο με 180 μοίρες.
Από το σχολικό βιβλίο του L.S. Atanasyan, τα προβλήματα Νο. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) μπορούν να προταθούν για το συνδυασμό μιας μπάλας και ενός πρίσματος.
Συνδυασμός μπάλας με πυραμίδα.
1. Μια μπάλα που περιγράφεται κοντά σε μια πυραμίδα.
Θεώρημα 3. Μια μπάλα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα αν και μόνο αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της.
Συμπέρασμα 1.Το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από μια πυραμίδα βρίσκεται στο σημείο τομής μιας ευθείας γραμμής κάθετης στη βάση της πυραμίδας που διέρχεται από το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτή τη βάση και ενός επιπέδου κάθετου σε οποιοδήποτε πλευρικό άκρο που τραβιέται από το μέσο αυτή την άκρη.
Συμπέρασμα 2.Εάν οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους (ή έχουν την ίδια κλίση προς το επίπεδο της βάσης), τότε μια μπάλα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια τέτοια πυραμίδα.Το κέντρο αυτής της μπάλας στην περίπτωση αυτή βρίσκεται στο σημείο τομής του το ύψος της πυραμίδας (ή της προέκτασής της) με τον άξονα συμμετρίας της πλευρικής ακμής που βρίσκεται στο επίπεδο πλευρικό άκρο και το ύψος.
Συμπέρασμα 3.Μια μπάλα, συγκεκριμένα, μπορεί να περιγραφεί: κοντά σε μια τριγωνική πυραμίδα, κοντά σε μια κανονική πυραμίδα, κοντά σε μια τετραγωνική πυραμίδα στην οποία το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180 μοίρες.
2. Μια μπάλα εγγεγραμμένη σε μια πυραμίδα.
Θεώρημα 4. Εάν οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας είναι εξίσου κεκλιμένες προς τη βάση, τότε μια μπάλα μπορεί να εγγραφεί σε μια τέτοια πυραμίδα.
Συμπέρασμα 1.Το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια πυραμίδα της οποίας οι πλευρικές όψεις είναι εξίσου κεκλιμένες προς τη βάση βρίσκεται στο σημείο τομής του ύψους της πυραμίδας με τη διχοτόμο της γραμμικής γωνίας οποιασδήποτε διεδρικής γωνίας στη βάση της πυραμίδας, η πλευρά εκ των οποίων είναι το ύψος της πλευρικής όψης που τραβιέται από την κορυφή της πυραμίδας.
Συμπέρασμα 2.Μπορείτε να χωρέσετε μια μπάλα σε μια κανονική πυραμίδα.
Από το σχολικό βιβλίο του L.S. Atanasyan, τα προβλήματα Νο. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 μπορούν να προταθούν για τον συνδυασμό μιας μπάλας με μια πυραμίδα.
Συνδυασμός μπάλας με κολοβωμένη πυραμίδα.
1. Μια μπάλα περιγεγραμμένη γύρω από μια κανονική κόλουρη πυραμίδα.
Θεώρημα 5. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιαδήποτε κανονική κολοβωμένη πυραμίδα. (Αυτή η προϋπόθεση είναι επαρκής, αλλά όχι απαραίτητη)
2. Μια μπάλα εγγεγραμμένη σε κανονική κόλουρη πυραμίδα.
Θεώρημα 6. Μια μπάλα μπορεί να εγγραφεί σε μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα εάν και μόνο εάν το απόθεμα της πυραμίδας είναι ίσο με το άθροισμα των αποθεμάτων των βάσεων.
Υπάρχει μόνο ένα πρόβλημα για τον συνδυασμό μιας μπάλας με μια κολοβωμένη πυραμίδα στο εγχειρίδιο του L.S. Atanasyan (No. 636).
Συνδυασμός μπάλας με στρογγυλά σώματα.
Θεώρημα 7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύλινδρο, έναν κόλουρο κώνο (ευθεία κυκλική) ή έναν κώνο.
Θεώρημα 8. Μια μπάλα μπορεί να εγγραφεί σε έναν (ευθύ κυκλικό) κύλινδρο εάν και μόνο εάν ο κύλινδρος είναι ισόπλευρος.
Θεώρημα 9. Μπορείτε να χωρέσετε μια μπάλα σε οποιονδήποτε κώνο (ευθεία κυκλική).
Θεώρημα 10. Μια μπάλα μπορεί να εγγραφεί σε έναν κόλουρο κώνο (ευθεία κυκλική) εάν και μόνο εάν η γεννήτριά της είναι ίση με το άθροισμα των ακτίνων των βάσεων.
Από το σχολικό βιβλίο του L.S. Atanasyan, μπορούν να προταθούν προβλήματα Νο. 642, 643, 644, 645, 646 για το συνδυασμό μιας μπάλας με στρογγυλά σώματα.
Για να μελετήσετε με μεγαλύτερη επιτυχία το υλικό για αυτό το θέμα, είναι απαραίτητο να συμπεριλάβετε προφορικές εργασίες στα μαθήματα:
1. Η άκρη του κύβου ισούται με α. Βρείτε τις ακτίνες των σφαιρών: εγγεγραμμένες στον κύβο και περιγεγραμμένες γύρω από αυτόν. (r = a/2, R = a3).
2. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα (μπάλα) γύρω από: α) έναν κύβο; σι) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο; γ) κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο με ορθογώνιο στη βάση του. δ) ευθύ παραλληλεπίπεδο. ε) κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο; (α) ναι. β) ναι? γ) όχι? δ) Όχι. δ) όχι)
3. Είναι αλήθεια ότι μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική πυραμίδα; (Ναί)
4. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από οποιαδήποτε τετραγωνική πυραμίδα; (Όχι, όχι κοντά σε καμία τετραγωνική πυραμίδα)
5. Τι ιδιότητες πρέπει να έχει μια πυραμίδα για να περιγράψει μια σφαίρα γύρω της; (Στη βάση του θα πρέπει να υπάρχει ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος)
6. Μια πυραμίδα είναι εγγεγραμμένη σε μια σφαίρα, της οποίας το πλευρικό χείλος είναι κάθετο στη βάση. Πώς να βρείτε το κέντρο μιας σφαίρας; (Το κέντρο της σφαίρας είναι το σημείο τομής δύο γεωμετρικών τόπων σημείων στο χώρο. Η πρώτη είναι μια κάθετη που τραβιέται στο επίπεδο της βάσης της πυραμίδας, μέσω του κέντρου ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτήν. Η δεύτερη είναι ένα επίπεδο κάθετη σε μια δεδομένη πλευρική άκρη και τραβηγμένη από τη μέση της)
7. Κάτω από ποιες συνθήκες μπορείτε να περιγράψετε μια σφαίρα γύρω από ένα πρίσμα, στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα τραπεζοειδές; (Πρώτον, το πρίσμα πρέπει να είναι ευθύ και δεύτερον, το τραπέζι πρέπει να είναι ισοσκελές ώστε να μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω του)
8. Ποιες προϋποθέσεις πρέπει να πληροί ένα πρίσμα για να περιγραφεί μια σφαίρα γύρω του; (Το πρίσμα πρέπει να είναι ευθύγραμμο και η βάση του πρέπει να είναι ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος)
9. Περιγράφεται μια σφαίρα γύρω από ένα τριγωνικό πρίσμα, το κέντρο του οποίου βρίσκεται έξω από το πρίσμα. Ποιο τρίγωνο είναι η βάση του πρίσματος; (Βλαχό τρίγωνο)
10. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα κεκλιμένο πρίσμα; (Οχι δεν μπορείς)
11. Υπό ποιες συνθήκες θα βρίσκεται το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται σε ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα σε μια από τις πλευρικές όψεις του πρίσματος; (Η βάση είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο)
12. Η βάση της πυραμίδας είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές Η ορθογώνια προβολή της κορυφής της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης είναι ένα σημείο που βρίσκεται έξω από το τραπέζι. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα τέτοιο τραπεζοειδές; (Ναι, μπορείτε. Το γεγονός ότι η ορθογώνια προβολή της κορυφής της πυραμίδας βρίσκεται έξω από τη βάση της δεν έχει σημασία. Αυτό που είναι σημαντικό είναι ότι στη βάση της βρίσκεται η πυραμίδα ισοσκελές τραπεζοειδές- ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος)
13. Περίπου κανονική πυραμίδαπεριγράφεται η σφαίρα. Πώς βρίσκεται το κέντρο του σε σχέση με τα στοιχεία της πυραμίδας; (Το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται σε μια κάθετη που σύρεται στο επίπεδο της βάσης μέσω του κέντρου της)
14. Κάτω από ποιες συνθήκες βρίσκεται το κέντρο μιας σφαίρας που περιγράφεται γύρω από ένα ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα: α) μέσα στο πρίσμα; β) έξω από το πρίσμα; (Στη βάση του πρίσματος: α) ένα οξύ τρίγωνο. β) αμβλύ τρίγωνο)
15. Περιγράφεται μια σφαίρα γύρω από ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι ακμές είναι 1 dm, 2 dm και 2 dm. Υπολογίστε την ακτίνα της σφαίρας. (1,5 dm)
16. Σε ποιον κολοβωμένο κώνο μπορεί να χωρέσει μια σφαίρα; (Σε έναν κόλουρο κώνο, στο αξονικό τμήμα του οποίου μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος. Το αξονικό τμήμα του κώνου είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές, το άθροισμα των βάσεων του πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρικών του πλευρών. Με άλλα λόγια, το το άθροισμα των ακτίνων των βάσεων του κώνου πρέπει να είναι ίσο με τη γεννήτρια)
17. Μια σφαίρα είναι εγγεγραμμένη σε κόλουρο κώνο. Σε ποια γωνία είναι ορατή η γεννήτρια του κώνου από το κέντρο της σφαίρας; (90 μοίρες)
18. Ποια ιδιότητα πρέπει να έχει ένα ευθύ πρίσμα για να εγγραφεί μέσα του μια σφαίρα; (Πρώτον, στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος πρέπει να υπάρχει ένα πολύγωνο στο οποίο μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος και, δεύτερον, το ύψος του πρίσματος πρέπει να είναι ίσο με τη διάμετρο του κύκλου που εγγράφεται στη βάση)
19. Δώστε ένα παράδειγμα πυραμίδας που δεν χωράει σφαίρα; (Για παράδειγμα, μια τετράγωνη πυραμίδα με ορθογώνιο ή παραλληλόγραμμο στη βάση της)
20. Στη βάση ευθύγραμμου πρίσματος βρίσκεται ένας ρόμβος. Είναι δυνατόν να χωρέσει μια σφαίρα σε αυτό το πρίσμα; (Όχι, δεν μπορείτε, γιατί κοντά στον ρόμβο μέσα γενική περίπτωσηδεν μπορώ να περιγράψω έναν κύκλο)
21. Κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί μια σφαίρα να εγγραφεί σε ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα; (Αν το ύψος του πρίσματος είναι διπλάσια από την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στη βάση)
22. Κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί μια σφαίρα να εγγραφεί σε μια κανονική τετραγωνική κόλουρη πυραμίδα; (Αν η διατομή μιας δεδομένης πυραμίδας είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από το μέσο της κάθετης προς αυτήν πλευράς της βάσης, είναι ένα ισοσκελές τραπέζιο μέσα στο οποίο μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος)
23. Μια σφαίρα είναι εγγεγραμμένη σε μια τριγωνική κόλουρη πυραμίδα. Ποιο σημείο της πυραμίδας είναι το κέντρο της σφαίρας; (Το κέντρο της σφαίρας που εγγράφεται σε αυτή την πυραμίδα βρίσκεται στην τομή τριών διτομικών επιπέδων γωνιών που σχηματίζονται από τις πλευρικές όψεις της πυραμίδας με τη βάση)
24. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από έναν κύλινδρο (δεξιά κυκλική); (Ναι μπορείς)
25. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από έναν κώνο, έναν κόλουρο κώνο (ευθεία κυκλική); (Ναι, μπορείς και στις δύο περιπτώσεις)
26. Μπορεί μια σφαίρα να εγγραφεί σε οποιονδήποτε κύλινδρο; Τι ιδιότητες πρέπει να έχει ένας κύλινδρος για να χωρέσει μια σφαίρα μέσα του; (Όχι, όχι κάθε φορά: το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου πρέπει να είναι τετράγωνο)
27. Μπορεί μια σφαίρα να εγγραφεί σε οποιονδήποτε κώνο; Πώς να προσδιορίσετε τη θέση του κέντρου μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε έναν κώνο; (Ναι, απολύτως. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας βρίσκεται στην τομή του υψομέτρου του κώνου και της διχοτόμου της γωνίας κλίσης της γεννήτριας προς το επίπεδο της βάσης)
Ο συγγραφέας πιστεύει ότι από τα τρία μαθήματα σχεδιασμού με θέμα "Διαφορετικά προβλήματα σε πολύεδρα, κύλινδρο, κώνο και μπάλα", είναι σκόπιμο να αφιερωθούν δύο μαθήματα στην επίλυση προβλημάτων σχετικά με το συνδυασμό μιας μπάλας με άλλα σώματα. Δεν συνιστάται η απόδειξη των θεωρημάτων που δίνονται παραπάνω λόγω ανεπαρκούς χρόνου στην τάξη. Μπορείτε να προσκαλέσετε μαθητές που έχουν επαρκείς δεξιότητες για αυτό να τις αποδείξουν υποδεικνύοντας (κατά την κρίση του καθηγητή) την πορεία ή το σχέδιο της απόδειξης.
Πολύεδρα περιγεγραμμένα γύρω από μια σφαίρα Ένα πολύεδρο λέγεται ότι περιγράφεται γύρω από μια σφαίρα εάν τα επίπεδα όλων των όψεών του αγγίζουν τη σφαίρα. Η ίδια η σφαίρα λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένη στο πολύεδρο. Θεώρημα. Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε ένα πρίσμα εάν και μόνο εάν ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση της και το ύψος του πρίσματος είναι ίσο με τη διάμετρο αυτού του κύκλου. Θεώρημα. Σε οποιαδήποτε τριγωνική πυραμίδαμπορείτε να εγγράψετε μια σφαίρα, και μόνο μία.
Άσκηση 1 Διαγράψτε το τετράγωνο και σχεδιάστε δύο παραλληλόγραμμα που αντιπροσωπεύουν την επάνω και την κάτω όψη του κύβου. Συνδέστε τις κορυφές τους με τμήματα. Λάβετε μια εικόνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύβο. Σχεδιάστε μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε κύβο, όπως στην προηγούμενη διαφάνεια. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μια έλλειψη εγγεγραμμένη σε ένα παραλληλόγραμμο που προκύπτει συμπιέζοντας έναν κύκλο και ένα τετράγωνο κατά 4 φορές. Σημειώστε τους πόλους της σφαίρας και τα εφαπτομενικά σημεία της έλλειψης και του παραλληλογράμμου.
Άσκηση 1 Μια σφαίρα εγγράφεται σε ορθογώνιο τετράγωνο πρίσμα, στη βάση του οποίου υπάρχει ρόμβος με πλευρά 1 και οξεία γωνία 60 μοιρών. Να βρείτε την ακτίνα της σφαίρας και το ύψος του πρίσματος. Λύση. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με το μισό του ύψους της βάσης ΓΔ, δηλ. Το ύψος του πρίσματος είναι ίσο με τη διάμετρο της σφαίρας, δηλ.
Άσκηση 4 Μια σφαίρα εγγράφεται σε ορθογώνιο τετράπλευρο πρίσμα, στη βάση του οποίου είναι τετράπλευρο, περίμετρος 4 και εμβαδόν 2. Να βρείτε την ακτίνα r της εγγεγραμμένης σφαίρας. Λύση. Σημειώστε ότι η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στη βάση του πρίσματος. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι η ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο είναι ίσο με εμβαδόντου πολυγώνου αυτού διαιρούμενο με την ημιπερίμετρό του. Παίρνουμε,
Άσκηση 3 Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 2 και οι δίεδρες γωνίες στη βάση είναι 60°. Λύση. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας είναι το σημείο τομής των επιπέδων διχοτόμων των διεδρικών γωνιών στη βάση της πυραμίδας. Για την ακτίνα της σφαίρας ΟΕ ισχύει η ακόλουθη ισότητα: Επομένως,
Άσκηση 4 Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, της οποίας οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με 1 και οι επίπεδες γωνίες στην κορυφή ίσες με 90 μοίρες. Απάντηση: Λύση. Στο τετράεδρο SABC έχουμε: SD = DE = SE = Από την ομοιότητα των τριγώνων SOF και SDE παίρνουμε μια εξίσωση λύνοντας την οποία βρίσκουμε
Άσκηση 1 Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, της οποίας όλες οι ακμές είναι ίσες με 1. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι για την ακτίνα r ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο ισχύει ο τύπος: r = S/ p, όπου S είναι το εμβαδόν, p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου . Στην περίπτωσή μας, S = p = Λύση. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο SEF, στον οποίο SE = SF = EF=1, SG = Επομένως,
Άσκηση 2 Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, της οποίας η πλευρά βάσης είναι 1 και η πλευρική ακμή είναι 2. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι για την ακτίνα r ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο, ο τύπος ισχύει: r = S/p, όπου S – εμβαδόν, p – ημιπερίμετρος του τριγώνου. Στην περίπτωσή μας, S = p = Λύση. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο SEF, στον οποίο SE = SF = EF=1, SG = Επομένως,
Άσκηση 3 Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 2 και οι δίεδρες γωνίες στη βάση είναι 60°. Λύση. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας είναι το σημείο τομής των επιπέδων διχοτόμων των διεδρικών γωνιών στη βάση της πυραμίδας. Για την ακτίνα της σφαίρας OG ισχύει η ακόλουθη ισότητα:
Άσκηση 4 Η μοναδιαία σφαίρα είναι εγγεγραμμένη σε κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 4. Βρείτε το ύψος της πυραμίδας. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι για την ακτίνα r ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο, ισχύει ο τύπος: r = S/p, όπου S είναι το εμβαδόν, p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου. Στην περίπτωσή μας, S = 2h, p = Λύση. Ας συμβολίσουμε το ύψος SG της πυραμίδας ως h. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο SEF, στο οποίο SE = SF = EF=4. Κατά συνέπεια, έχουμε μια ισότητα από την οποία βρίσκουμε
Άσκηση 1 Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα, της οποίας οι ακμές βάσης είναι ίσες με 1 και οι πλευρικές ακμές ίσες με 2. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι για την ακτίνα r ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο, ισχύει ο τύπος: r = S/p, όπου S – εμβαδόν, p – ημιπερίμετρος του τριγώνου. Στην περίπτωσή μας, S = p = Επομένως, Λύση. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο SPQ, στον οποίο SP = SQ = PQ = SH =
Άσκηση 2 Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε κανονική εξαγωνική πυραμίδα της οποίας οι ακμές βάσης είναι ίσες με 1 και οι δίεδρες γωνίες στη βάση ίσες με 60°. Λύση. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας είναι το σημείο τομής των επιπέδων διχοτόμων των διεδρικών γωνιών στη βάση της πυραμίδας. Για την ακτίνα της σφαίρας OH ισχύει η ισότητα: Επομένως,
Άσκηση Να βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα μοναδιαίο οκτάεδρο. Απάντηση: Λύση. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στον ρόμβο SESF, στον οποίο SE = SF = EF=1, SO = Τότε το ύψος του ρόμβου, χαμηλωμένο από την κορυφή Ε, θα είναι ίσο με το απαιτούμενο η ακτίνα είναι ίση με το μισό του ύψους και ίση με το Ο
Άσκηση Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα μοναδιαίο εικοσάεδρο. Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η ακτίνα OA της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι ίση με και η ακτίνα AQ του περιγεγραμμένου κύκλου γύρω από ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 1. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα που εφαρμόζεται στο ορθογώνιο τρίγωνο OAQ, παίρνουμε την άσκηση Εύρεση την ακτίνα της σφαίρας που εγγράφεται στο μοναδιαίο δωδεκάεδρο. Λύση. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι η ακτίνα OF της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι ίση με και η ακτίνα FQ του κύκλου που περικλείεται σε ισόπλευρο πεντάγωνο με πλευρά 1. Με το πυθαγόρειο θεώρημα που εφαρμόζεται στο ορθογώνιο τρίγωνο OFQ, προκύπτει
Άσκηση 1 Είναι δυνατόν να προσαρμόσουμε μια σφαίρα σε ένα κολοβωμένο τετράεδρο; Λύση. Σημειώστε ότι το κέντρο Ο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα κολοβωμένο τετράεδρο πρέπει να συμπίπτει με το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα τετράεδρο, το οποίο συμπίπτει με το κέντρο μιας σφαίρας ημιεγγεγραμμένης σε ένα κόλουρο τετράεδρο. Οι αποστάσεις d 1, d 2 από το σημείο O έως τις εξαγωνικές και τριγωνικές όψεις υπολογίζονται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: όπου R είναι η ακτίνα μιας ημιεγγεγραμμένης σφαίρας, r 1, r 2 είναι οι ακτίνες των κύκλων εγγεγραμμένων σε ένα εξάγωνο και ένα τρίγωνο, αντίστοιχα. Αφού r 1 > r 2, τότε d 1 r 2, μετά d 1 
«Η σφαίρα της πολιτικής»- Σχέσεις κοινωνικών παραγόντων σχετικά κρατική εξουσία. Επιστημονική και θεωρητική. Η διαδικασία της αλληλεπίδρασης μεταξύ πολιτικής και οικονομίας. Μαζί με το κράτος. Η ρύθμιση των κοινωνικών σχέσεων εξαρτάται από κοινωνικά συμφέροντα. Η διαδικασία αλληλεπίδρασης μεταξύ πολιτικής και ηθικής. Η δύναμη του κράτους, η πειθώ, η τόνωση.
"Γεωμετρία πρίσματος"- Δίνεται ορθογώνιο τετράπλευρο πρίσμα ABCDA1B1C1D1. Ο Ευκλείδης μάλλον το θεώρησε θέμα πρακτικούς οδηγούςστη γεωμετρία. Ένα ευθύ πρίσμα είναι ένα πρίσμα του οποίου η πλευρική άκρη είναι κάθετη στη βάση. Πρίσμα στη γεωμετρία. Σύμφωνα με την ιδιότητα των 2 τόμων, V=V1+V2, δηλαδή V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Άρα τα τρίγωνα A1B1C1 και ABC είναι ίσα σε τρεις πλευρές.
"Τόμος πρίσματος"- Πώς να βρείτε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος; Ο όγκος του αρχικού πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο S · h. Βασικά βήματα για την απόδειξη του θεωρήματος του άμεσου πρίσματος; Περιοχή S της βάσης του αρχικού πρίσματος. Σχεδιάζοντας το υψόμετρο του τριγώνου ABC. Εργο. Ευθύ πρίσμα. Στόχοι μαθήματος. Η έννοια του πρίσματος. Όγκος ευθύγραμμου πρίσματος. Η λύση του προβλήματος. Το πρίσμα μπορεί να χωριστεί σε ευθύγραμμα τριγωνικά πρίσματα με ύψος h.
"Επιφάνεια μιας σφαίρας"- Άρης. Είναι η μπάλα μπάλα; Μπάλα και σφαίρα. Γη. Εγκυκλοπαιδεία. Υποστηρίζουμε την ομάδα μπέιζμπολ του σχολείου μας. Αφροδίτη. Ουρανός. Υπάρχει μπάλα στη φωτογραφία; Λίγη ιστορία. Ατμόσφαιρα. Αποφάσισα να κάνω μια μικρή έρευνα……. Κρόνος. Είστε έτοιμοι να απαντήσετε στις ερωτήσεις;