Θα ελέγξουμε τη σημασία της εξίσωσης παλινδρόμησης με βάση

Τεστ Fisher's F:

Η τιμή της δοκιμής F Fisher μπορεί να βρεθεί στον πίνακα Ανάλυση διακύμανσης του πρωτοκόλλου Excel. Η πινακοποιημένη τιμή του F-test με πιθανότητα εμπιστοσύνης α = 0,95 και αριθμό βαθμών ελευθερίας ίσο με v1 = k = 2 και v2 = n – k – 1 = 50 – 2 – 1 = 47 είναι 0,051.

Δεδομένου ότι Fcal > Ftable, η εξίσωση παλινδρόμησης θα πρέπει να θεωρείται σημαντική, δηλαδή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ανάλυση και πρόβλεψη.

Η σημασία των συντελεστών του προκύπτοντος μοντέλου μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα της αναφοράς Excel με τρεις τρόπους.

Ο συντελεστής εξίσωσης παλινδρόμησης θεωρείται σημαντικός εάν:

1) η παρατηρούμενη τιμή των στατιστικών t Student για αυτόν τον συντελεστή είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη (πίνακας) τιμή των στατιστικών t Student (για ένα δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας, για παράδειγμα α = 0,05 και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας df = n – k – 1, όπου n είναι οι αριθμητικές παρατηρήσεις και k είναι ο αριθμός των παραγόντων στο μοντέλο).

2) Η τιμή P της στατιστικής t του Student για αυτόν τον συντελεστή είναι μικρότερη από το επίπεδο σημαντικότητας, για παράδειγμα, α = 0,05.

3) διάστημα εμπιστοσύνηςγιατί αυτός ο συντελεστής, που υπολογίζεται με κάποιο επίπεδο εμπιστοσύνης (για παράδειγμα, 95%), δεν περιέχει μηδέν μέσα του, δηλαδή τα κατώτερα όρια 95% και τα ανώτερα όρια 95% του διαστήματος εμπιστοσύνης έχουν τα ίδια πρόσημα.

Σημασία συντελεστών ένα1 Και ένα2 Ας ελέγξουμε χρησιμοποιώντας τη δεύτερη και την τρίτη μέθοδο:

P-τιμή ( ένα1 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.

P-τιμή ( ένα2 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.

Επομένως, οι συντελεστές ένα1 Και ένα2 σημαντικό σε επίπεδο 1%, και ακόμη περισσότερο σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Το κατώτερο και το ανώτερο όριο του 95% του διαστήματος εμπιστοσύνης έχουν τα ίδια πρόσημα, επομένως οι συντελεστές ένα1 Και ένα2 σημαντικός.

Προσδιορισμός της επεξηγηματικής μεταβλητής από την οποία

Η διασπορά των τυχαίων διαταραχών μπορεί να εξαρτάται.

Έλεγχος της εκπλήρωσης της συνθήκης ομοσκεδαστικότητας

Υπολείμματα σύμφωνα με τη δοκιμή Goldfeld–Quandt

Όταν ελέγχεται η υπόθεση OLS ότι τα υπολείμματα είναι ομοσκεδαστικά σε ένα μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης, πρέπει πρώτα να προσδιοριστεί σε σχέση με ποιους από τους παράγοντες η διασπορά των υπολειμμάτων διαταράσσεται περισσότερο. Αυτό μπορεί να γίνει με την οπτική εξέταση των υπολειμματικών γραφικών παραστάσεων για καθέναν από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στο μοντέλο. Η επεξηγηματική μεταβλητή από την οποία εξαρτάται περισσότερο η διακύμανση των τυχαίων διαταραχών θα ταξινομηθεί αυξάνοντας τις πραγματικές τιμές κατά τον έλεγχο της δοκιμής Goldfeld–Quandt. Τα γραφήματα μπορούν να ληφθούν εύκολα στην αναφορά, η οποία δημιουργείται χρησιμοποιώντας το εργαλείο παλινδρόμησης στο πακέτο Ανάλυσης Δεδομένων).

Γραφήματα υπολειμμάτων για κάθε παράγοντα του μοντέλου δύο παραγόντων

Από τα γραφήματα που παρουσιάζονται είναι σαφές ότι η διασπορά των υπολοίπων διαταράσσεται περισσότερο σε σχέση με τον παράγοντα Βραχυπρόθεσμες απαιτήσεις.

Ας ελέγξουμε την παρουσία ομοσκεδαστικότητας στα υπολείμματα του μοντέλου δύο παραγόντων με βάση το τεστ Goldfeld–Quandt.

Ας ταξινομήσουμε τις μεταβλητές Y και X2 σε αύξουσα σειρά του παράγοντα X4 (στο Excel, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εντολή Data – Sort Ascending X4):

Δεδομένα ταξινομημένα κατά αύξουσα σειρά X4:

1. Ας αφαιρέσουμε από τη μέση του διατεταγμένου συνόλου C = 1/4 · n = 1/4 · 50 = 12,5 (12) τιμές. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο πληθυσμούς με μικρές και μεγάλες τιμές X4, αντίστοιχα.

   Για κάθε σετ εκτελούμε τους ακόλουθους υπολογισμούς:

Εξισώσεις για πληθυσμούς

Y = -27275,746 + 0,126X2 + 1,817 X4

Y = 61439,511 + 0,228X2 + 0,140X4

Τα αποτελέσματα αυτού του πίνακα λήφθηκαν χρησιμοποιώντας το εργαλείο Regression για κάθε έναν από τους προκύπτοντες πληθυσμούς με τη σειρά.

4. Να βρείτε τον λόγο των υπολειπόμενων αθροισμάτων τετραγώνων που προκύπτουν

(ο αριθμητής πρέπει να έχει μεγαλύτερο ποσό):

5. Συμπεραίνουμε ότι τα υπολείμματα είναι ομοσκεδαστικά χρησιμοποιώντας το Fisher’s F-test με επίπεδο σημαντικότητας α = 0,05 και δύο πανομοιότυπους βαθμούς ελευθερίας k1 = k2 = == 17

όπου p είναι ο αριθμός των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης:

Ftable (0,05; 17; 17) = 9,28.

Από το Ftable > R, επιβεβαιώνεται η ομοιοσκεδαστικότητα στα υπολείμματα της παλινδρόμησης δύο παραγόντων.

Για να ελεγχθεί η σημασία, αναλύεται ο λόγος του συντελεστή παλινδρόμησης και η τυπική απόκλιση του. Αυτή η αναλογία είναι μια κατανομή Student, δηλαδή, για να προσδιορίσουμε τη σημασία χρησιμοποιούμε το t-test:

- RMSαπό υπολειμματική διασπορά?

- άθροισμα αποκλίσεων από τη μέση τιμή

Αν τ ras. > καρτέλα t. , τότε ο συντελεστής b i είναι σημαντικός.

Το διάστημα εμπιστοσύνης καθορίζεται από τον τύπο:

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Πάρτε τα αρχικά δεδομένα σύμφωνα με την επιλογή εργασίας (κατά αριθμό μαθητή στο ημερολόγιο). Καθορίζεται ένα αντικείμενο στατικού ελέγχου με δύο εισόδους Χ 1 , Χ 2 και μια έξοδο Υ. Ένα παθητικό πείραμα διεξήχθη στην εγκατάσταση και ελήφθη ένα δείγμα 30 σημείων που περιείχε τις τιμές Χ 1 , Χ 2 Και Υγια κάθε πείραμα.

Ανοίξτε ένα νέο αρχείο στο Excel 2007. Εισαγάγετε τις αρχικές πληροφορίες στις στήλες του αρχικού πίνακα - τις τιμές των μεταβλητών εισόδου Χ 1 , Χ 2 και μεταβλητή εξόδου Υ.

Προετοιμάστε δύο πρόσθετες στήλες για την εισαγωγή των υπολογισμένων τιμών Υκαι υπολείμματα.

Καλέστε το πρόγραμμα «Παλινδρόμηση»: Δεδομένα / Ανάλυση δεδομένων / Παλινδρόμηση.

Ρύζι. 1. Παράθυρο διαλόγου Ανάλυση δεδομένων.

Πληκτρολογήστε τις διευθύνσεις των δεδομένων προέλευσης στο πλαίσιο διαλόγου "Παλινδρόμηση":

διάστημα εισαγωγής Y, διάστημα εισαγωγής X (2 στήλες),

ορίστε το επίπεδο αξιοπιστίας στο 95%,

στην επιλογή "Διάστημα εξόδου", υποδείξτε το επάνω αριστερό κελί του τόπου όπου εξάγονται τα δεδομένα ανάλυσης παλινδρόμησης (το πρώτο κελί στη 2η σελίδα του φύλλου εργασίας),

ενεργοποιήστε τις επιλογές "Υπόλοιπα" και "Υπόλοιπο γράφημα",

πατήστε το κουμπί OK για να ξεκινήσετε ανάλυση παλινδρόμησης.

Ρύζι. 2. Πλαίσιο διαλόγου παλινδρόμησης.

Το Excel θα εμφανίσει 4 πίνακες και 2 γραφήματα της εξάρτησης των υπολειμμάτων από μεταβλητές Χ1Και X2.

Μορφοποιήστε τον πίνακα "Έξοδος συνόλων" - αναπτύξτε τη στήλη με τα ονόματα των δεδομένων εξόδου, κάντε 3 σημαντικά ψηφία μετά την υποδιαστολή στη δεύτερη στήλη.

Μορφοποιήστε τον πίνακα "Ανάλυση διακύμανσης" - κάντε πιο ευανάγνωστο και κατανοητό τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων μετά τις υποδιαστολές, συντομεύστε τα ονόματα των μεταβλητών και προσαρμόστε το πλάτος των στηλών.

Μορφοποιήστε τον πίνακα των συντελεστών εξισώσεων - συντομεύστε τα ονόματα των μεταβλητών και προσαρμόστε το πλάτος των στηλών εάν είναι απαραίτητο, κάντε τον αριθμό των σημαντικών ψηφίων πιο ευανάγνωστα και κατανοητά, αφαιρέστε τις τελευταίες 2 στήλες (τιμές και διάταξη πίνακα).

Μεταφέρετε τα δεδομένα από τον πίνακα "Εξόδου που απομένει" στις προετοιμασμένες στήλες του πίνακα προέλευσης και, στη συνέχεια, διαγράψτε τον πίνακα "Υπόλοιπη έξοδο" (την επιλογή "εισαγωγή ειδικού").

Εισαγάγετε τις εκτιμήσεις των λαμβανόμενων συντελεστών στον πίνακα προέλευσης.

Τραβήξτε τους πίνακες αποτελεσμάτων στην κορυφή της σελίδας.

Δημιουργήστε γραφήματα κάτω από πίνακες Υexp, Υυπολογισμόςκαι σφάλματα πρόβλεψης (υπολειπόμενα).

Μορφοποίηση υπολειπόμενων γραφημάτων. Χρησιμοποιώντας τα γραφήματα που προκύπτουν, αξιολογήστε την ορθότητα του μοντέλου με βάση τις εισόδους Χ1, Χ2.

Εκτυπώστε τα αποτελέσματα της ανάλυσης παλινδρόμησης.

Κατανοήστε τα αποτελέσματα της ανάλυσης παλινδρόμησης.

Ετοιμάστε μια έκθεση εργασίας.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Η μέθοδος για την εκτέλεση ανάλυσης παλινδρόμησης στο EXCEL παρουσιάζεται στα Σχήματα 3-5.

Ρύζι. 3. Παράδειγμα ανάλυσης παλινδρόμησης στο πακέτο EXCEL.

Εικ.4. Μεταβλητά υπολειμματικά οικόπεδα Χ1, Χ2

Ρύζι. 5. Διαγράμματα Υexp,Υυπολογισμόςκαι σφάλματα πρόβλεψης (υπολειπόμενα).

Σύμφωνα με την ανάλυση παλινδρόμησης, μπορούμε να πούμε:

1. Η εξίσωση παλινδρόμησης που λαμβάνεται χρησιμοποιώντας το Excel έχει τη μορφή:

Συντελεστής προσδιορισμού:

Η διακύμανση του αποτελέσματος κατά 46,5% εξηγείται από τη διακύμανση των παραγόντων.

Το γενικό τεστ F ελέγχει την υπόθεση σχετικά με τη στατιστική σημασία μιας εξίσωσης παλινδρόμησης. Η ανάλυση πραγματοποιείται συγκρίνοντας τις πραγματικές και τις πινακοποιημένες τιμές της δοκιμής Fisher F.

Δεδομένου ότι η πραγματική τιμή υπερβαίνει τον πίνακα
, τότε συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση παλινδρόμησης που προκύπτει είναι στατιστικά σημαντική.

Συντελεστής πολλαπλή συσχέτιση:

σι 0 :

t καρτέλα. (29, 0,975)=2,05

σι 0 :

Διάστημα εμπιστοσύνης:

Προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης για τον συντελεστή σι 1 :

Έλεγχος της σημασίας του συντελεστή σι 1 :

t dis. > καρτέλα t. , ο συντελεστής b 1 είναι σημαντικός

Διάστημα εμπιστοσύνης:

Προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης για τον συντελεστή σι 2 :

Δοκιμή σημαντικότητας για συντελεστή σι 2 :

Προσδιορίστε το διάστημα εμπιστοσύνης:

ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

Πίνακας 2. Επιλογές εργασιών

Συνέχεια του Πίνακα 1

Πίνακας 3. Αρχικά στοιχεία

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΕΛΕΓΧΟΥ

Προβλήματα ανάλυσης παλινδρόμησης.

Προϋποθέσεις ανάλυσης παλινδρόμησης.

Βασική εξίσωση ανάλυσης διασποράς.

Τι δείχνει ο λόγος F του Fisher;

Πώς καθορίζεται η τιμή του πίνακα του κριτηρίου του Fisher;

Τι δείχνει ο συντελεστής προσδιορισμού;

Πώς να προσδιορίσετε τη σημασία των συντελεστών παλινδρόμησης;

Πώς να προσδιορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης των συντελεστών παλινδρόμησης;

Πώς να προσδιορίσετε την υπολογισμένη τιμή t-test;

Πώς να προσδιορίσετε την τιμή του πίνακα του τεστ t;

Διατυπώστε την κύρια ιδέα της ανάλυσης διακύμανσης· για την επίλυση ποιων προβλημάτων είναι πιο αποτελεσματική;

Ποιες είναι οι βασικές θεωρητικές προϋποθέσεις της ανάλυσης διασποράς;

Αποσυνθέστε το συνολικό άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων σε συνιστώσες σε ANOVA.

Πώς να αποκτήσετε εκτιμήσεις διασποράς από αθροίσματα τετραγωνικών αποκλίσεων;

Πώς επιτυγχάνονται οι απαιτούμενοι αριθμοί βαθμών ελευθερίας;

Πώς προσδιορίζεται το τυπικό σφάλμα;

Εξηγήστε τον σχεδιασμό της ανάλυσης διασποράς δύο παραγόντων.

Πώς διαφέρει η διασταυρούμενη ταξινόμηση από την ιεραρχική ταξινόμηση;

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των ισορροπημένων δεδομένων;

Η έκθεση συντάσσεται στο επεξεργαστής κειμένου Word σε χαρτί Α4 GOST 6656-76 (210x297 mm) και περιέχει:

Όνομα της εργαστηριακής εργασίας.

Στόχος της εργασίας.

1. Αποτελέσματα υπολογισμού.

ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ

Προετοιμασία για εργασία – 0,5 ακαδημαϊκό. ώρες.

Ολοκλήρωση εργασίας – 0,5 ακαδημαϊκό. ώρες.

Υπολογισμοί υπολογιστή – 0,5 ακαδημαϊκό. ώρες.

Σχεδιασμός εργασίας – 0,5 ακαδημαϊκό. ώρες.

Βιβλιογραφία

Αναγνώριση αντικειμένων ελέγχου. / A. D. Semenov, D. V. Artamonov, A. V. Bryukhachev. Φροντιστήριο. - Penza: PSU, 2003. - 211 σελ.

Βασικά Στατιστική ανάλυση. Ημερίδα για στατιστικές μεθόδους και επιχειρησιακή έρευνα με χρήση πακέτων STATISTIC και EXCEL. / Vukolov E.A. Φροντιστήριο. - Μ.: FORUM, 2008. - 464 σελ.

Βασικές αρχές της θεωρίας της αναγνώρισης αντικειμένων ελέγχου. / Α.Α. Ignatiev, S.A. Ιγνάτιεφ. Φροντιστήριο. - Saratov: SSTU, 2008. - 44 σελ.

Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές σε παραδείγματα και προβλήματα με χρήση EXCEL. / G.V. Γκορέλοβα, Ι.Α. Κάτσκο. - Rostov n/d: Phoenix, 2006.- 475 p.

Στόχος 2

Βασικές έννοιες 2

Εντολή εργασίας 6

Παράδειγμα εργασίας 9

Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο 13

Χρόνος που διατίθεται για την ολοκλήρωση της εργασίας 14

Τελικές δοκιμές στην οικονομετρία

1. Η σημασία των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης εκτιμάται με βάση:

Α) t - Τεστ του μαθητή.

β) Fisher-Snedecor F-test.

γ) μέσο τετραγωνικό σφάλμα.

δ) μέσο σφάλμα προσέγγισης.

2. Ο συντελεστής παλινδρόμησης στην εξίσωση που χαρακτηρίζει τη σχέση μεταξύ του όγκου των πωληθέντων προϊόντων (εκατομμύρια ρούβλια) και του κέρδους των επιχειρήσεων της αυτοκινητοβιομηχανίας για το έτος (εκατομμύρια ρούβλια) σημαίνει ότι με αύξηση του όγκου των προϊόντων που πωλήθηκαν κατά 1 εκατομμύρια ρούβλια το κέρδος αυξάνεται κατά:

δ) 0,5 εκατ. τρίψιμο.;

γ) 500 χιλιάδες. τρίψιμο.;

Δ) 1,5 εκατομμύρια ρούβλια.

3. Ο λόγος συσχέτισης (δείκτης συσχέτισης) μετρά τον βαθμό εγγύτητας της σύνδεσης μεταξύ Χ καιΥ:

α) μόνο με μη γραμμική μορφή εξάρτησης.

Β) για οποιαδήποτε μορφή εθισμού.

γ) μόνο για γραμμική εξάρτηση.

4. Σύμφωνα με την κατεύθυνση επικοινωνίας υπάρχουν:

α) μέτρια·

Β) ευθεία?

γ) ευθεία.

5. Με βάση 17 παρατηρήσεις, κατασκευάστηκε μια εξίσωση παλινδρόμησης:
. Για να ελέγξουμε τη σημασία της εξίσωσης, υπολογίσαμεπαρατηρούμενη τιμήt- στατιστικά: 3.9. Συμπέρασμα:

Α) Η εξίσωση είναι σημαντική στο α = 0,05;

β) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a = 0,01.

γ) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a = 0,05.

6. Ποιες είναι οι συνέπειες από την παραβίαση της υπόθεσης OLS «η μαθηματική προσδοκία των υπολειμμάτων παλινδρόμησης είναι μηδέν»;

Α) Μεροληπτικές εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

β) Αποτελεσματικές αλλά ασυνεπείς εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

γ) Αναποτελεσματικές εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

δ) Ασυνεπείς εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης.

7. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής αν τα υπολείμματα είναι ετεροσκεδαστικά;

Α) Τα συμπεράσματα που βασίζονται σε στατιστικές t και F είναι αναξιόπιστα.

δ) Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης είναι μεροληπτικές.

8. Σε τι βασίζεται το τεστ; συσχέτιση κατάταξηςΑκοντιστής?

Α) Χρήση t – στατιστικών.

γ) Σε χρήση ;

9. Σε τι βασίζεται το White test;

β) Χρήση στατιστικών F.

Β) Σε χρήση ;

δ) Επί γραφικής ανάλυσης υπολειμμάτων.

10. Ποια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξάλειψη της αυτοσυσχέτισης;

11. Πώς ονομάζεται η παραβίαση της υπόθεσης σταθερής διακύμανσης υπολειμμάτων;

α) Πολυσυγγραμμικότητα.

β) Αυτοσυσχέτιση.

Β) Ετεροσκεδαστικότητα.

δ) Ομοσκεδαστικότητα.

12. Οι εικονικές μεταβλητές εισάγονται σε:

α) μόνο σε γραμμικά μοντέλα.

β) μόνο σε πολλαπλή μη γραμμική παλινδρόμηση.

γ) μόνο σε μη γραμμικά μοντέλα.

Δ) τόσο γραμμικά όσο και μη γραμμικά μοντέλα ανάγονται σε γραμμική μορφή.

13. Αν στον πίνακα των ζευγών συντελεστές συσχέτισης υπάρχουν
, τότε αυτό δείχνει:

Α) Σχετικά με την παρουσία πολυσυγγραμμικότητας.

β) Σχετικά με την απουσία πολυσυγγραμμικότητας.

γ) Σχετικά με την παρουσία αυτοσυσχέτισης.

δ) Περί απουσίας ετεροσκεδαστικότητας.

14. Ποιο μέτρο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απαλλαγούμε από την πολυσυγγραμμικότητα;

α) Αύξηση του μεγέθους του δείγματος.

Δ) Μετασχηματισμός της τυχαίας συνιστώσας.

15. Αν
και η κατάταξη του πίνακα Α είναι μικρότερη από (K-1) τότε η εξίσωση είναι:

α) υπεραναγνωρισμένος·

Β) αγνώστων στοιχείων.

γ) προσδιορίζονται με ακρίβεια.

16. Η εξίσωση παλινδρόμησης έχει τη μορφή:

ΕΝΑ)
;

σι)
;

V)
.

17.Ποιο είναι το πρόβλημα της αναγνώρισης μοντέλου;

Α) λήψη μοναδικά καθορισμένων παραμέτρων του μοντέλου που καθορίζονται από ένα σύστημα ταυτόχρονων εξισώσεων.

β) επιλογή και εφαρμογή μεθόδων για στατιστική εκτίμηση άγνωστων παραμέτρων του μοντέλου με τη χρήση αρχικών στατιστικών δεδομένων.

γ) έλεγχος της καταλληλότητας του μοντέλου.

18. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των παραμέτρων μιας εξίσωσης που υπεραναγνωρίζεται;

Β) DMNK, CMNK;

19. Αν μια ποιοτική μεταβλητή έχεικεναλλακτικές τιμές, στη συνέχεια χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα στη μοντελοποίηση:

Α) (k-1) εικονική μεταβλητή.

β) μεταβλητές kdummy.

γ) (k+1) εικονική μεταβλητή.

20. Η ανάλυση της εγγύτητας και της κατεύθυνσης των συνδέσεων μεταξύ δύο χαρακτηριστικών πραγματοποιείται με βάση:

Α) συντελεστής συσχέτισης ζεύγους.

β) συντελεστής προσδιορισμού.

γ) πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης.

21. Σε γραμμική εξίσωση Χ = ΕΝΑ 0 +α 1 Ο συντελεστής παλινδρόμησης x δείχνει:

α) εγγύτητα επικοινωνίας·

β) το ποσοστό διακύμανσης "Y" που εξαρτάται από το "X".

Γ) πόσο κατά μέσο όρο θα αλλάξει το "Y" όταν το "Χ" αλλάξει κατά μία μονάδα;

δ) σφάλμα του συντελεστή συσχέτισης.

22. Ποιος δείκτης χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του μέρους της μεταβολής που οφείλεται σε αλλαγές στην τιμή του παράγοντα που μελετάται;

α) συντελεστής διακύμανσης·

β) συντελεστής συσχέτισης.

Β) συντελεστής προσδιορισμού.

δ) συντελεστής ελαστικότητας.

23. Ο συντελεστής ελαστικότητας δείχνει:

Α) κατά πόσο% θα αλλάξει η τιμή του y όταν το x αλλάξει κατά 1%;

β) κατά πόσες μονάδες της μέτρησής του θα αλλάξει η τιμή του y όταν το x μεταβάλλεται κατά 1%.

γ) κατά πόσο % θα αλλάξει η τιμή του y όταν το x αλλάζει κατά μονάδα. η διάστασή του.

24. Ποιες μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανίχνευση ετεροσκεδαστικότητας?

Α) Δοκιμή Golfeld-Quandt.

Β) Τεστ συσχέτισης βαθμού Spearman.

γ) Δοκιμή Durbin-Watson.

25. Σε τι βασίζεται το τεστ Holfeld-Quandt;

α) Χρήση t-statistics.

Β) Χρήση F – στατιστικών.

γ) Σε χρήση ;

δ) Επί γραφικής ανάλυσης υπολειμμάτων.

26. Ποιες μέθοδοι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξάλειψη της αυτοσυσχέτισης των υπολειμμάτων;

α) Γενικευμένη μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

Β) Μέθοδος σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων.

Γ) Μέθοδος μέγιστης πιθανότητας.

Δ) Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δύο βημάτων.

27. Πώς ονομάζεται η παραβίαση της παραδοχής της ανεξαρτησίας των υπολειμμάτων;

α) Πολυσυγγραμμικότητα.

Β) Αυτοσυσχέτιση;

γ) Ετεροσκεδαστικότητα.

δ) Ομοσκεδαστικότητα.

28. Ποια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξάλειψη της ετεροσκεδαστικότητας;

Α) Γενικευμένη μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

β) Μέθοδος σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων.

γ) Μέθοδος μέγιστης πιθανότητας.

δ) Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δύο βημάτων.

30. Αν σύμφωνα μεt-κριτήριο, οι περισσότεροι συντελεστές παλινδρόμησης είναι στατιστικά σημαντικοί και το μοντέλο στο σύνολό τουφά- το κριτήριο είναι ασήμαντο, αυτό μπορεί να υποδεικνύει:

α) Πολυσυγγραμμικότητα.

Β) Σχετικά με την αυτοσυσχέτιση των υπολειμμάτων.

γ) Σχετικά με την ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων.

δ) Αυτή η επιλογή είναι αδύνατη.

31. Είναι δυνατόν να απαλλαγούμε από την πολυσυγγραμμικότητα χρησιμοποιώντας μετασχηματισμό μεταβλητής;

α) Αυτό το μέτρο είναι αποτελεσματικό μόνο εάν αυξηθεί το μέγεθος του δείγματος.

32. Χρησιμοποιώντας ποια μέθοδο μπορεί κανείς να βρει εκτιμήσεις της παραμέτρου μιας εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης:

Α) μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου.

β) ανάλυση συσχέτισης και παλινδρόμησης.

γ) ανάλυση διασποράς.

33. Κατασκευάστηκε μια εξίσωση πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης με εικονικές μεταβλητές. Για να ελέγξουμε τη σημασία των επιμέρους συντελεστών, χρησιμοποιούμε διανομή:

α) Κανονικό.

β) Τεστ μαθητή.

γ) Pearson;

δ) Fischer-Snedecor.

34. Αν
και η κατάταξη του πίνακα Α είναι μεγαλύτερη από (K-1) τότε η εξίσωση είναι:

Α) υπεραναγνωρισμένος·

β) αγνώστων στοιχείων·

γ) προσδιορίζονται με ακρίβεια.

35. Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός επακριβώς προσδιορισμένου συστήματος εξισώσεων, χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα:

α) DMNK, CMNK;

β) DMNK, MNK, CMNK;

36. Το κριτήριο Chow βασίζεται στην εφαρμογή:

Α) ΣΤ - στατιστικές.

β) t - στατιστικές.

γ) Κριτήρια Durbin-Watson.

37. Οι εικονικές μεταβλητές μπορούν να λάβουν τις ακόλουθες τιμές:

δ) τυχόν τιμές.

39. Με βάση 20 παρατηρήσεις, κατασκευάστηκε μια εξίσωση παλινδρόμησης:
. Για να ελεγχθεί η σημασία της εξίσωσης, υπολογίστηκε η τιμή της στατιστικής:4.2. Συμπεράσματα:

α) Η εξίσωση είναι σημαντική στο a=0,05.

β) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a=0,05.

γ) Η εξίσωση είναι ασήμαντη στο a=0,01.

40. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή όταν τα υπολείμματα είναι ετεροσκεδαστικά;

α) Τα συμπεράσματα που βασίζονται στις στατιστικές t και F είναι αναξιόπιστα.

β) Η ετεροσκεδαστικότητα εκδηλώνεται μέσω μιας χαμηλής τιμής της στατιστικής Durbin-Watson.

γ) Με την ετεροσκεδαστικότητα, οι εκτιμήσεις παραμένουν αποτελεσματικές.

δ) Οι εκτιμήσεις είναι μεροληπτικές.

41. Το τεστ Chow βασίζεται στη σύγκριση:

Α) διακυμάνσεις.

β) συντελεστές προσδιορισμού.

γ) μαθηματικές προσδοκίες.

δ) μέσος όρος.

42. Αν στο τεστ Chow
τότε θεωρείται:

Α) ότι η κατάτμηση σε υποδιαστήματα είναι σκόπιμη από την άποψη της βελτίωσης της ποιότητας του μοντέλου.

β) το μοντέλο είναι στατιστικά ασήμαντο.

γ) το μοντέλο είναι στατιστικά σημαντικό.

δ) ότι δεν έχει νόημα να χωριστεί το δείγμα σε μέρη.

43. Οι εικονικές μεταβλητές είναι μεταβλητές:

α) υψηλής ποιότητας·

β) τυχαία?

Β) ποσοτική?

δ) λογικό.

44. Ποια από τις παρακάτω μεθόδους δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον εντοπισμό αυτοσυσχέτισης;

α) Μέθοδος σειράς.

β) Δοκιμή Durbin-Watson.

γ) Τεστ συσχέτισης βαθμού Spearman.

Δ) Τεστ του White.

45. Το πιο απλό δομική μορφήΤο μοντέλο έχει τη μορφή:

ΕΝΑ)


σι)


V)


ΣΟΛ)
.

46. ​​Ποια μέτρα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να απαλλαγούμε από την πολυσυγγραμμικότητα;

α) Αύξηση του μεγέθους του δείγματος.

β) Εξαίρεση μεταβλητών που έχουν υψηλή συσχέτιση με άλλες.

γ) Αλλαγή προδιαγραφών μοντέλου.

δ) Μετασχηματισμός της τυχαίας συνιστώσας.

47. Αν
και η κατάταξη του πίνακα Α είναι (K-1) τότε η εξίσωση είναι:

α) υπεραναγνωρισμένος·

β) αγνώστων στοιχείων·

Β) προσδιορίζονται με ακρίβεια.

48. Το μοντέλο θεωρείται αναγνωρισμένο εάν:

α) μεταξύ των εξισώσεων του μοντέλου υπάρχει τουλάχιστον μία κανονική.

Β) κάθε εξίσωση του συστήματος είναι αναγνωρίσιμη.

γ) μεταξύ των εξισώσεων του μοντέλου υπάρχει τουλάχιστον μία άγνωστη.

δ) μεταξύ των εξισώσεων του μοντέλου υπάρχει τουλάχιστον μία υπερταυτοποιημένη.

49. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των παραμέτρων μιας μη αναγνωρισμένης εξίσωσης;

α) DMNK, CMNK;

β) DMNK, MNK;

Γ) οι παράμετροι μιας τέτοιας εξίσωσης δεν μπορούν να εκτιμηθούν.

50. Στη διασταύρωση ποιων τομέων γνώσης προέκυψε η οικονομετρία:

Α) οικονομική θεωρία. οικονομικές και μαθηματικές στατιστικές·

β) οικονομική θεωρία, μαθηματικές στατιστικές και θεωρία πιθανοτήτων.

γ) οικονομική και μαθηματική στατιστική, θεωρία πιθανοτήτων.

51. Σε μια εξίσωση πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης, τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές παλινδρόμησης κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας την κατανομή:

α) Κανονικό.

Β) Φοιτητής;

γ) Pearson;

δ) Fischer-Snedecor.

52. Με βάση 16 παρατηρήσεις, κατασκευάστηκε μια ζευγαρωμένη γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης. Γιαδοκιμάζοντας τη σημασία του συντελεστή παλινδρόμησης που υπολογίστηκεt για 6l =2.5.

α) Ο συντελεστής είναι ασήμαντος στο a=0,05.

β) Ο συντελεστής είναι σημαντικός στο a=0,05.

γ) Ο συντελεστής είναι σημαντικός στο a=0,01.

53. Είναι γνωστό ότι μεταξύ ποσοτήτωνΧΚαιΥυπάρχειθετική σύνδεση. Σε ποια έκτασηβρέθηκε ο συντελεστής συσχέτισης ζεύγους;

α) από -1 έως 0.

β) από 0 έως 1.

Β) από –1 έως 1.

54. Ο πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης είναι 0,9. Τι ποσοστόη διακύμανση του προκύπτοντος χαρακτηριστικού εξηγείται από την επιρροή όλωνσημάδια παράγοντα;

55. Ποια από τις παρακάτω μεθόδους δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανίχνευση ετεροσκεδαστικότητας?

Α) Δοκιμή Golfeld-Quandt.

β) Τεστ συσχέτισης βαθμού Spearman.

γ) μέθοδος σειράς.

56. Η μειωμένη μορφή του υποδείγματος είναι:

α) ένα σύστημα μη γραμμικών συναρτήσεων εξωγενών μεταβλητών από ενδογενείς.

Β) σύστημα γραμμικές συναρτήσειςενδογενείς μεταβλητές από εξωγενείς.

γ) ένα σύστημα γραμμικών συναρτήσεων εξωγενών μεταβλητών από ενδογενείς.

δ) ένα σύστημα κανονικών εξισώσεων.

57. Μέσα σε ποια όρια αλλάζει ο συντελεστής μερικής συσχέτισης που υπολογίζεται με χρήση αναδρομικών τύπων;

α) από - σε + ;

β) από 0 έως 1.

γ) από 0 έως + ;

Δ) από –1 έως +1.

58. Μέσα σε ποια όρια μεταβάλλεται ο συντελεστής μερικής συσχέτισης που υπολογίζεται μέσω του συντελεστή προσδιορισμού;

α) από - σε + ;

Β) από 0 έως 1.

γ) από 0 έως + ;

δ) από –1 έως +1.

59. Εξωγενείς μεταβλητές:

α) εξαρτημένες μεταβλητές.

Β) ανεξάρτητες μεταβλητές.

61. Όταν προστίθεται ένας άλλος επεξηγηματικός παράγοντας στην εξίσωση παλινδρόμησης, ο πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης είναι:

α) θα μειωθεί·

β) θα αυξηθεί?

γ) θα διατηρήσει το νόημά του.

62. Κατασκευάστηκε μια υπερβολική εξίσωση παλινδρόμησης:Υ= ένα+ σι/ Χ. ΓιαΓια να ελέγξουμε τη σημασία της εξίσωσης, χρησιμοποιείται η κατανομή:

α) Κανονικό.

Β) Φοιτητής;

γ) Pearson;

δ) Fischer-Snedecor.

63. Για ποιους τύπους συστημάτων μπορούν να βρεθούν οι παράμετροι των επιμέρους οικονομετρικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την παραδοσιακή μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων;

α) ένα σύστημα κανονικών εξισώσεων.

Β) ένα σύστημα ανεξάρτητων εξισώσεων.

Γ) ένα σύστημα αναδρομικών εξισώσεων.

Δ) σύστημα αλληλοεξαρτώμενων εξισώσεων.

64. Ενδογενείς μεταβλητές:

Α) εξαρτημένες μεταβλητές.

β) ανεξάρτητες μεταβλητές.

γ) χρονολογείται σε προηγούμενα χρονικά σημεία.

65. Μέσα σε ποια όρια αλλάζει ο συντελεστής προσδιορισμού;

α) από 0 έως + ;

β) από - σε + ;

Β) από 0 έως +1.

δ) από -l έως +1.

66. Έχει κατασκευαστεί μια εξίσωση πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης. Για να ελέγξουμε τη σημασία των επιμέρους συντελεστών, χρησιμοποιούμε διανομή:

α) Κανονικό.

β) Τεστ μαθητή.

γ) Pearson;

Δ) Fischer-Snedecor.

67. Όταν προστίθεται ένας άλλος επεξηγηματικός παράγοντας στην εξίσωση παλινδρόμησης, ο συντελεστής προσδιορισμού:

α) θα μειωθεί·

Β) θα αυξηθεί?

γ) θα διατηρήσει το νόημά του.

δ) δεν θα μειωθεί.

68. Η ουσία της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων είναι ότι:

Α) η εκτίμηση προσδιορίζεται από την προϋπόθεση της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων των δεδομένων του δείγματος από την καθορισμένη εκτίμηση.

β) η εκτίμηση προσδιορίζεται από την προϋπόθεση της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των αποκλίσεων των δεδομένων του δείγματος από την καθορισμένη εκτίμηση.

γ) η εκτίμηση προσδιορίζεται από την προϋπόθεση της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων του μέσου όρου του δείγματος από τη διακύμανση του δείγματος.

69. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει η παραβολή:

73. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει η εκθετική καμπύλη:

74. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει μια συνάρτηση της μορφής ŷ;
:

Α) παλινδρομήσεις που είναι μη γραμμικές ως προς τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην ανάλυση, αλλά γραμμικές ως προς τις εκτιμώμενες παραμέτρους.

β) μη γραμμικές παλινδρομήσεις στις εκτιμώμενες παραμέτρους.

78. Σε ποια κατηγορία μη γραμμικών παλινδρομήσεων ανήκει μια συνάρτηση της μορφής ŷ;
:

α) παλινδρομήσεις που είναι μη γραμμικές ως προς τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην ανάλυση, αλλά γραμμικές ως προς τις εκτιμώμενες παραμέτρους·

Β) μη γραμμικές παλινδρομήσεις στις εκτιμώμενες παραμέτρους.

79. Στην εξίσωση παλινδρόμησης με τη μορφή υπερβολής ŷ
αν η τιμήσι >0 , Οτι:

Α) με αύξηση του χαρακτηριστικού παράγοντα Χπροκύπτουσες τιμές χαρακτηριστικών στομειώνονται αργά και με x→∞μέση αξία στοθα είναι ίσοι ΕΝΑ;

β) τότε η τιμή του προκύπτοντος πρόσημου στοαυξάνεται με αργή ανάπτυξη καθώς αυξάνεται το χαρακτηριστικό του παράγοντα Χ, και στο x→∞


81. Ο συντελεστής ελαστικότητας προσδιορίζεται από τον τύπο


Α) Γραμμική συνάρτηση.

β) Παραβολές.

γ) Υπερβολές.

δ) Εκθετική καμπύλη.

ε) Ισχύς.

82. Ο συντελεστής ελαστικότητας προσδιορίζεται από τον τύπο
για ένα μοντέλο παλινδρόμησης με τη μορφή:

α) Γραμμική συνάρτηση.

Β) Παραβολές.

γ) Υπερβολές.

δ) Εκθετική καμπύλη.

ε) Ισχύς.

86. Εξίσωση
που ονομάζεται:

Α) γραμμική τάση.

β) παραβολική τάση.

γ) υπερβολική τάση.

δ) εκθετική τάση.

89. Εξίσωση
που ονομάζεται:

α) γραμμική τάση.

β) παραβολική τάση.

γ) υπερβολική τάση.

Δ) εκθετική τάση.

90. Τύποι συστημάτων που ονομάζεται:

Α) ένα σύστημα ανεξάρτητων εξισώσεων.

β) ένα σύστημα αναδρομικών εξισώσεων.

γ) ένα σύστημα αλληλοεξαρτώμενων (κοινών, ταυτόχρονων) εξισώσεων.

93. Η οικονομετρία μπορεί να οριστεί ως:

Α) είναι ένας ανεξάρτητος επιστημονικός κλάδος που συνδυάζει ένα σύνολο θεωρητικών αποτελεσμάτων, τεχνικών, μεθόδων και μοντέλων σχεδιασμένων ώστε, βάσει οικονομικής θεωρίας, οικονομικών στατιστικών και μαθηματικών και στατιστικών εργαλείων, να δίνουν μια συγκεκριμένη ποσοτική έκφραση σε γενικά (ποιοτικά) πρότυπα καθορίζεται από την οικονομική θεωρία?

Β) την επιστήμη των οικονομικών μετρήσεων.

Β) στατιστική ανάλυση οικονομικών δεδομένων.

94. Τα καθήκοντα της οικονομετρίας περιλαμβάνουν:

Α) πρόβλεψη οικονομικών και κοινωνικοοικονομικών δεικτών που χαρακτηρίζουν την κατάσταση και την ανάπτυξη του αναλυόμενου συστήματος·

Β) προσομοίωση πιθανών σεναρίων για την κοινωνικοοικονομική ανάπτυξη του συστήματος για τον προσδιορισμό του τρόπου με τον οποίο οι προγραμματισμένες αλλαγές σε ορισμένες ελεγχόμενες παραμέτρους θα επηρεάσουν τα χαρακτηριστικά παραγωγής.

γ) έλεγχος υποθέσεων με χρήση στατιστικών δεδομένων.

95. Οι σχέσεις διακρίνονται από τη φύση τους:

Α) λειτουργική και συσχετιστική.

β) λειτουργική, καμπυλόγραμμη και ευθύγραμμη.

γ) συσχέτιση και αντίστροφη.

δ) στατιστική και άμεση.

96. Σε άμεση σχέση με την αύξηση ενός χαρακτηριστικού παράγοντα:

α) το αποτελεσματικό πρόσημο μειώνεται.

β) το σήμα που προκύπτει δεν αλλάζει.

Γ) το αποτελεσματικό πρόσημο αυξάνεται.

97. Ποιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της παρουσίας, της φύσης και της κατεύθυνσης των σχέσεων στις στατιστικές;

α) μέσες τιμές·

Β) Σύγκριση παράλληλων σειρών.

Γ) αναλυτική μέθοδος ομαδοποίησης.

δ) σχετικές τιμές.

Δ) γραφική μέθοδος.

98. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της μορφής επιρροής ενός παράγοντα σε έναν άλλο;

α) ανάλυση συσχέτισης.

Β) ανάλυση παλινδρόμησης.

γ) ανάλυση ευρετηρίου.

δ) ανάλυση διασποράς.

99. Ποια μέθοδος χρησιμοποιείται για την ποσοτικοποίηση της ισχύος της επίδρασης ενός παράγοντα σε έναν άλλο:

Α) ανάλυση συσχέτισης.

β) ανάλυση παλινδρόμησης.

γ) μέθοδος των μέσων όρων.

δ) ανάλυση διασποράς.

100. Ποιοι δείκτες υπάρχουν ως προς την τιμή τους που κυμαίνεται από μείον έως συν ένα:

α) συντελεστής προσδιορισμού·

β) σχέση συσχέτισης.

Β) συντελεστής γραμμικής συσχέτισης.

101. Ο συντελεστής παλινδρόμησης για ένα μοντέλο ενός παράγοντα δείχνει:

Α) κατά πόσες μονάδες αλλάζει η συνάρτηση όταν το όρισμα αλλάζει κατά μία μονάδα.

β) κατά πόσο αλλάζει η συνάρτηση ανά μονάδα σε όρισμα.

102. Ο συντελεστής ελαστικότητας δείχνει:

α) κατά πόσο αλλάζει η συνάρτηση με μια αλλαγή στο όρισμα κατά μία μονάδα της μέτρησής της;

Β) κατά πόσο αλλάζει η συνάρτηση με μια αλλαγή στο όρισμα κατά 1%;

γ) κατά πόσες μονάδες της μέτρησής της αλλάζει η συνάρτηση με μεταβολή του ορίσματος κατά 1%.

105. Η τιμή του δείκτη συσχέτισης ίση με 0,087 δείχνει:

Α) για την ασθενή εξάρτησή τους.

β) για μια ισχυρή σχέση.

γ) για λάθη στους υπολογισμούς.

107. Η τιμή του συντελεστή συσχέτισης ζεύγους ίση με 1,12 δείχνει:

α) για την αδύναμη εξάρτησή τους·

β) για μια ισχυρή σχέση.

Γ) για λάθη στους υπολογισμούς.

109. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς μπορούν να είναι οι τιμές του συντελεστή συσχέτισης ζεύγους:

111. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς μπορούν να είναι οι τιμές του πολλαπλού συντελεστή συσχέτισης:

115. Να χαρακτηρίσετε τη σωστή μορφή της εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης:

α) ŷ
;

με
;

γ) ŷ
;

Δ) ŷ
.

Έχοντας αξιολογήσει τις παραμέτρους έναΚαι σι, έχουμε μια εξίσωση παλινδρόμησης με την οποία μπορούμε να εκτιμήσουμε τις τιμές yσύμφωνα με τις δεδομένες τιμές Χ. Είναι φυσικό να πιστεύουμε ότι οι υπολογισμένες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής δεν θα συμπίπτουν με τις πραγματικές τιμές, καθώς η γραμμή παλινδρόμησης περιγράφει τη σχέση μόνο κατά μέσο όρο, γενικά. Γύρω του διασκορπίζονται επιμέρους νοήματα. Έτσι, η αξιοπιστία των υπολογισμένων τιμών που λαμβάνονται από την εξίσωση παλινδρόμησης καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από τη διασπορά των παρατηρούμενων τιμών γύρω από τη γραμμή παλινδρόμησης. Στην πράξη, κατά κανόνα, η διακύμανση του σφάλματος είναι άγνωστη και εκτιμάται από παρατηρήσεις ταυτόχρονα με τις παραμέτρους παλινδρόμησης έναΚαι σι. Είναι πολύ λογικό να υποθέσουμε ότι η εκτίμηση σχετίζεται με το άθροισμα των τετραγώνων των υπολειμμάτων παλινδρόμησης. Η ποσότητα είναι μια δειγματοληπτική εκτίμηση της διασποράς των διαταραχών που περιέχονται στο θεωρητικό μοντέλο . Μπορεί να φανεί ότι για το μοντέλο ζευγαρωμένης παλινδρόμησης

όπου είναι η απόκλιση της πραγματικής τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής από την υπολογιζόμενη τιμή της.

Αν , τότε για όλες τις παρατηρήσεις οι πραγματικές τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής συμπίπτουν με τις υπολογισμένες (θεωρητικές) τιμές . Γραφικά, αυτό σημαίνει ότι η θεωρητική γραμμή παλινδρόμησης (μια γραμμή που κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση) διέρχεται από όλα τα σημεία του πεδίου συσχέτισης, κάτι που είναι δυνατό μόνο με μια αυστηρά λειτουργική σύνδεση. Ως εκ τούτου, το αποτελεσματικό σημάδι στοοφείλεται εξ ολοκλήρου στην επίδραση του παράγοντα Χ.

Συνήθως στην πράξη υπάρχει κάποια διασπορά των σημείων του πεδίου συσχέτισης σε σχέση με τη θεωρητική γραμμή παλινδρόμησης, δηλαδή αποκλίσεις των εμπειρικών δεδομένων από τα θεωρητικά. Αυτή η διασπορά οφείλεται τόσο στην επιρροή του παράγοντα Χ, δηλ. οπισθοδρόμηση yΜε Χ, (αυτή η διακύμανση ονομάζεται επεξηγημένη, αφού εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης), και από τη δράση άλλων λόγων (ανεξήγητη παραλλαγή, τυχαία). Το μέγεθος αυτών των αποκλίσεων είναι η βάση για τον υπολογισμό των ποιοτικών δεικτών της εξίσωσης.

Σύμφωνα με τη βασική αρχή της ανάλυσης διασποράς, το συνολικό άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων της εξαρτημένης μεταβλητής yαπό τη μέση τιμή μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο συνιστώσες: εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης και ανεξήγητη:

,

που είναι οι αξίες y, υπολογίζεται σύμφωνα με την εξίσωση.

Ας βρούμε τον λόγο του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων που εξηγούνται από την εξίσωση παλινδρόμησης προς το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων:

, που

. (7.6)

Ο λόγος του τμήματος διακύμανσης που εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης προς συνολική διακύμανσητο αποτελεσματικό χαρακτηριστικό ονομάζεται συντελεστής προσδιορισμού. Η τιμή δεν μπορεί να υπερβαίνει τη μονάδα και αυτή η μέγιστη τιμή θα επιτευχθεί μόνο στο , δηλ. όταν κάθε απόκλιση είναι μηδέν και επομένως όλα τα σημεία στο διάγραμμα διασποράς βρίσκονται ακριβώς σε μια ευθεία γραμμή.

Ο συντελεστής προσδιορισμού χαρακτηρίζει το μερίδιο διακύμανσης που εξηγείται με παλινδρόμηση στη συνολική διακύμανση της εξαρτημένης μεταβλητής . Αντίστοιχα, η τιμή χαρακτηρίζει το μερίδιο διακύμανσης (διασπορά) y,ανεξήγητο από την εξίσωση παλινδρόμησης και επομένως προκαλείται από την επίδραση άλλων παραγόντων που δεν λαμβάνονται υπόψη στο μοντέλο. Όσο πιο κοντά στην ενότητα, τόσο υψηλότερη είναι η ποιότητα του μοντέλου.





Με ζευγαρωμένη γραμμική παλινδρόμηση, ο συντελεστής προσδιορισμού είναι ίσος με το τετράγωνο του ζεύγους γραμμικός συντελεστήςσυσχετισμοί: .

Η ρίζα αυτού του συντελεστή προσδιορισμού είναι ο πολλαπλός συντελεστής συσχέτισης (δείκτης) ή ο θεωρητικός λόγος συσχέτισης.

Προκειμένου να διαπιστωθεί εάν η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού που λαμβάνεται κατά την εκτίμηση της παλινδρόμησης αντανακλά πραγματικά την πραγματική σχέση μεταξύ yΚαι Χελέγξτε τη σημασία της κατασκευασμένης εξίσωσης στο σύνολό της και των επιμέρους παραμέτρων. Η δοκιμή της σημασίας μιας εξίσωσης παλινδρόμησης σάς επιτρέπει να γνωρίζετε εάν η εξίσωση παλινδρόμησης είναι κατάλληλη για πρακτική χρήση, για παράδειγμα, για πρόβλεψη ή όχι.

Ταυτόχρονα, διατυπώνεται η κύρια υπόθεση σχετικά με την ασημαντότητα της εξίσωσης στο σύνολό της, η οποία τυπικά ανάγεται στην υπόθεση ότι οι παράμετροι παλινδρόμησης είναι ίσες με μηδέν ή, το ίδιο, ότι ο συντελεστής προσδιορισμού είναι ίσος στο μηδέν: . Μια εναλλακτική υπόθεση σχετικά με τη σημασία της εξίσωσης είναι η υπόθεση ότι οι παράμετροι παλινδρόμησης δεν είναι ίσες με μηδέν ή ότι ο συντελεστής προσδιορισμού δεν είναι ίσος με μηδέν: .

Για να ελέγξετε τη σημασία του μοντέλου παλινδρόμησης, χρησιμοποιήστε ΦΑ-Το κριτήριο του Fisher, που υπολογίζεται ως ο λόγος του αθροίσματος των τετραγώνων (ανά μια ανεξάρτητη μεταβλητή) προς το υπολειπόμενο άθροισμα των τετραγώνων (ανά ένα βαθμό ελευθερίας):

, (7.7)

Οπου κ– αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών.

Αφού διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της σχέσης (7.7) με το συνολικό άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων της εξαρτημένης μεταβλητής, ΦΑ-το κριτήριο μπορεί να εκφραστεί ισοδύναμα με βάση τον συντελεστή:

.

Εάν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής, τότε η διακύμανση που εξηγείται από την εξίσωση παλινδρόμησης και η ανεξήγητη (υπολειπόμενη) διακύμανση δεν διαφέρουν μεταξύ τους.

Εκτιμώμενη αξία ΦΑ-το κριτήριο συγκρίνεται με την κρίσιμη τιμή, η οποία εξαρτάται από τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών κ, και στον αριθμό των βαθμών ελευθερίας (n-k-1). Πίνακας (κρίσιμη) τιμή ΦΑ-κριτήριο είναι η μέγιστη τιμή του λόγου των διακυμάνσεων που μπορεί να προκύψουν εάν αποκλίνουν τυχαία για ένα δεδομένο επίπεδο πιθανότητας της μηδενικής υπόθεσης. Εάν η υπολογιζόμενη τιμή ΦΑ-το κριτήριο είναι μεγαλύτερο από το πίνακα σε ένα δεδομένο επίπεδο σημασίας, τότε απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση για την απουσία σχέσης και εξάγεται συμπέρασμα για τη σημασία αυτής της σχέσης, δηλ. το μοντέλο θεωρείται σημαντικό.

Για ένα μοντέλο ζευγαρωμένης παλινδρόμησης

.

Στη γραμμική παλινδρόμηση, συνήθως αξιολογείται η σημασία όχι μόνο της εξίσωσης στο σύνολό της, αλλά και των επιμέρους συντελεστών της. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζεται το τυπικό σφάλμα κάθε παραμέτρου. Τα τυπικά σφάλματα των συντελεστών παλινδρόμησης των παραμέτρων προσδιορίζονται από τους τύπους:

, (7.8)

(7.9)

Τα τυπικά σφάλματα των συντελεστών παλινδρόμησης ή οι τυπικές αποκλίσεις που υπολογίζονται με χρήση των τύπων (7.8,7.9), δίνονται κατά κανόνα στα αποτελέσματα του υπολογισμού του μοντέλου παλινδρόμησης σε στατιστικά πακέτα.

Με βάση τα ριζικά μέσα τετραγωνικά σφάλματα των συντελεστών παλινδρόμησης, η σημασία αυτών των συντελεστών ελέγχεται χρησιμοποιώντας το συνηθισμένο σχήμα για τον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων.

Η κύρια υπόθεση είναι ότι ο «αληθινός» συντελεστής παλινδρόμησης διαφέρει ασήμαντα από το μηδέν. Μια εναλλακτική υπόθεση σε αυτή την περίπτωση είναι η αντίθετη υπόθεση, δηλ. ότι η «αληθινή» παράμετρος παλινδρόμησης δεν είναι ίση με μηδέν. Αυτή η υπόθεση ελέγχεται χρησιμοποιώντας t-στατιστικά που έχουν t- Κατανομή μαθητών:

Στη συνέχεια οι υπολογισμένες τιμές t-Τα στατιστικά στοιχεία συγκρίνονται με κρίσιμες τιμές t-στατιστικά στοιχεία που προσδιορίζονται από πίνακες κατανομής μαθητών. Η κρίσιμη τιμή καθορίζεται ανάλογα με το επίπεδο σημαντικότητας α και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας, που είναι ίσος με (n-k-1), n ​​-αριθμός παρατηρήσεων, κ- αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών. Στην περίπτωση της γραμμικής παλινδρόμησης κατά ζεύγη, ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι (Π- 2). Η κρίσιμη τιμή μπορεί επίσης να υπολογιστεί σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας την ενσωματωμένη συνάρτηση STUDARCOVER στο πακέτο Excel.

Εάν η υπολογιζόμενη τιμή t-η στατιστική είναι κάτι παραπάνω από κρίσιμη, τότε η κύρια υπόθεση απορρίπτεται και πιστεύεται ότι με πιθανότητα (1-α)ο «αληθινός» συντελεστής παλινδρόμησης διαφέρει σημαντικά από το μηδέν, που αποτελεί στατιστική επιβεβαίωση της ύπαρξης γραμμικής εξάρτησης των αντίστοιχων μεταβλητών.

Εάν η υπολογιζόμενη τιμή t-Τα στατιστικά στοιχεία είναι λιγότερο από κρίσιμα, τότε δεν υπάρχει λόγος να απορριφθεί η κύρια υπόθεση, δηλαδή ο «αληθινός» συντελεστής παλινδρόμησης δεν διαφέρει σημαντικά από το μηδέν στο επίπεδο σημαντικότητας α . Στην περίπτωση αυτή, ο παράγοντας που αντιστοιχεί σε αυτόν τον συντελεστή θα πρέπει να εξαιρεθεί από το μοντέλο.

Η σημασία του συντελεστή παλινδρόμησης μπορεί να καθοριστεί με την κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης για παραμέτρους παλινδρόμησης έναΚαι σιορίζεται ως εξής:

,

,

όπου καθορίζεται από τον πίνακα κατανομής Student για το επίπεδο σημαντικότητας α και αριθμός βαθμών ελευθερίας (Π- 2) για ζευγαρωμένη παλινδρόμηση.

Επειδή οι συντελεστές παλινδρόμησης στις οικονομετρικές μελέτες έχουν σαφή οικονομική ερμηνεία, τα διαστήματα εμπιστοσύνης δεν πρέπει να περιέχουν μηδέν. Η πραγματική τιμή ενός συντελεστή παλινδρόμησης δεν μπορεί να περιέχει ταυτόχρονα θετικές και αρνητικές τιμές, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός, διαφορετικά έχουμε αντιφατικά αποτελέσματα κατά την οικονομική ερμηνεία των συντελεστών, κάτι που δεν μπορεί να ισχύει. Έτσι, ο συντελεστής είναι σημαντικός εάν το προκύπτον διάστημα εμπιστοσύνης δεν καλύπτει το μηδέν.

Παράδειγμα 7.4.Σύμφωνα με το παράδειγμα 7.1:

α) Φτιάξτε ένα χαμάμ γραμμικό μοντέλοπαλινδρόμηση της εξάρτησης του κέρδους από τις πωλήσεις από την τιμή πώλησης λογισμικόεπεξεργασία δεδομένων.

β) Εκτιμήστε τη σημασία της εξίσωσης παλινδρόμησης στο σύνολό της χρησιμοποιώντας ΦΑ-Κριτήριο Fisher στο α=0,05.

γ) Εκτιμήστε τη σημασία των συντελεστών του μοντέλου παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας t-Δοκιμασία μαθητή στο α=0,05Και α=0,1.

Για τη διεξαγωγή ανάλυσης παλινδρόμησης χρησιμοποιούμε τυπικό λογισμικό γραφείου. πρόγραμμα EXCEL. Θα δημιουργήσουμε ένα μοντέλο παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας το εργαλείο REGRESSION των ρυθμίσεων ANALYSIS PACKAGE (Εικ. 7.5), το οποίο εκκινείται ως εξής:

ServiceData AnalysisREGRESSIONOK.



Εικ.7.5. Χρησιμοποιώντας το εργαλείο REGRESSION

Στο πλαίσιο διαλόγου REGRESSION, στο πεδίο Input interval Y, πρέπει να εισαγάγετε τη διεύθυνση του εύρους των κελιών που περιέχουν την εξαρτημένη μεταβλητή. Στο πεδίο Input interval X, πρέπει να εισαγάγετε τις διευθύνσεις ενός ή περισσότερων περιοχών που περιέχουν τις τιμές ανεξάρτητων μεταβλητών. Το πλαίσιο ελέγχου Labels στην πρώτη γραμμή ορίζεται σε ενεργό εάν έχουν επιλεγεί και οι κεφαλίδες στηλών. Στο Σχ. 7.6. δείχνει τη φόρμα οθόνης για τον υπολογισμό ενός μοντέλου παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας το εργαλείο REGRESSION.



Ρύζι. 7.6. Δημιουργία μοντέλου παλινδρόμησης κατά ζεύγη χρησιμοποιώντας

Εργαλείο REGRESSION

Ως αποτέλεσμα του εργαλείου REGRESSION, δημιουργείται το ακόλουθο πρωτόκολλο ανάλυσης παλινδρόμησης (Εικ. 7.7).



Ρύζι. 7.7. Πρωτόκολλο ανάλυσης παλινδρόμησης

Η εξίσωση για την εξάρτηση του κέρδους από τις πωλήσεις από την τιμή πώλησης έχει τη μορφή:

Θα αξιολογήσουμε τη σημασία της εξίσωσης παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας ΦΑ-Το τεστ του Fisher. Εννοια ΦΑ-Θα πάρουμε το κριτήριο Fisher από τον πίνακα «Analysis of Variance» στο πρωτόκολλο EXCEL (Εικ. 7.7.). Εκτιμώμενη αξία ΦΑ-κριτήρια 53.372. Τιμή πίνακα ΦΑ-κριτήριο σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05και αριθμός βαθμών ελευθερίας είναι 4.964. Επειδή , τότε η εξίσωση θεωρείται σημαντική.

Υπολογιζόμενες τιμές tΤα τεστ t Student για τους συντελεστές της εξίσωσης παλινδρόμησης φαίνονται στον πίνακα αποτελεσμάτων (Εικ. 7.7). Τιμή πίνακα t-Τεστ μαθητή σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05και 10 βαθμοί ελευθερίας είναι 2.228. Για τον συντελεστή παλινδρόμησης ένα, επομένως ο συντελεστής έναασημαντο. Για τον συντελεστή παλινδρόμησης σι, επομένως, ο συντελεστής σισημαντικός

Η ανάλυση παλινδρόμησης είναι μια στατιστική μέθοδος έρευνας που σας επιτρέπει να δείξετε την εξάρτηση μιας συγκεκριμένης παραμέτρου από μία ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές. Στην προ-υπολογιστική εποχή, η χρήση του ήταν αρκετά δύσκολη, ειδικά όταν επρόκειτο για μεγάλους όγκους δεδομένων. Σήμερα, έχοντας μάθει πώς να δημιουργείτε παλινδρόμηση στο Excel, μπορείτε να λύσετε σύνθετα στατιστικά προβλήματα σε λίγα μόλις λεπτά. Παρακάτω είναι συγκεκριμένα παραδείγματααπό τον τομέα της οικονομίας.

Τύποι παλινδρόμησης

Αυτή η ίδια η έννοια εισήχθη στα μαθηματικά το 1886. Η παλινδρόμηση συμβαίνει:

• γραμμικός;
• παραβολικός;
• ήσυχος;
• εκθετικός;
• υπερβολικός;
• εκδηλωτικός;
• λογαριθμική.

Παράδειγμα 1

Ας εξετάσουμε το πρόβλημα του προσδιορισμού της εξάρτησης του αριθμού των μελών της ομάδας που αποχωρούν από τον μέσο μισθό σε 6 βιομηχανικές επιχειρήσεις.

Εργο. Σε έξι επιχειρήσεις αναλύσαμε το μέσο μηνιαίο μισθοίκαι τον αριθμό των εργαζομένων που αποχώρησαν λόγω κατά βούληση. Σε μορφή πίνακα έχουμε:

		Αριθμός ατόμων που τα παράτησαν	Μισθός
			30.000 ρούβλια
			35.000 ρούβλια
			40.000 ρούβλια
			45.000 ρούβλια
			50.000 ρούβλια
			55.000 ρούβλια
			60.000 ρούβλια

Για τον προσδιορισμό της εξάρτησης του αριθμού των εργαζομένων που εγκαταλείπουν τον μέσο μισθό σε 6 επιχειρήσεις, το μοντέλο παλινδρόμησης έχει τη μορφή της εξίσωσης Y = a 0 + a 1 x 1 +...+a k x k, όπου x i είναι το μεταβλητές που επηρεάζουν, a i είναι οι συντελεστές παλινδρόμησης και k είναι ο αριθμός των παραγόντων.

Για αυτό το πρόβλημα, το Υ είναι ο δείκτης αποχώρησης εργαζομένων και ο παράγοντας που επηρεάζει είναι ο μισθός, τον οποίο συμβολίζουμε με Χ.

Χρήση των δυνατοτήτων του επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων Excel

Η ανάλυση παλινδρόμησης στο Excel πρέπει να προηγείται με την εφαρμογή ενσωματωμένων συναρτήσεων σε υπάρχοντα δεδομένα πίνακα. Ωστόσο, για αυτούς τους σκοπούς είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε το πολύ χρήσιμο πρόσθετο "Analysis Pack". Για να το ενεργοποιήσετε χρειάζεστε:

• από την καρτέλα "Αρχείο" μεταβείτε στην ενότητα "Επιλογές".
• στο παράθυρο που ανοίγει, επιλέξτε τη γραμμή "Πρόσθετα".
• κάντε κλικ στο κουμπί "Μετάβαση" που βρίσκεται παρακάτω, στα δεξιά της γραμμής "Διαχείριση".
• επιλέξτε το πλαίσιο δίπλα στο όνομα «Πακέτο ανάλυσης» και επιβεβαιώστε τις ενέργειές σας κάνοντας κλικ στο «Ok».

Εάν όλα γίνονται σωστά, το απαιτούμενο κουμπί θα εμφανιστεί στη δεξιά πλευρά της καρτέλας "Δεδομένα", που βρίσκεται πάνω από το φύλλο εργασίας του Excel.

στο Excel

Τώρα που έχουμε στη διάθεσή μας όλα τα απαραίτητα εικονικά εργαλεία για να πραγματοποιήσουμε οικονομετρικούς υπολογισμούς, μπορούμε να αρχίσουμε να λύνουμε το πρόβλημά μας. Για αυτό:

• Κάντε κλικ στο κουμπί «Ανάλυση δεδομένων».
• στο παράθυρο που ανοίγει, κάντε κλικ στο κουμπί "Παλινδρόμηση".
• στην καρτέλα που εμφανίζεται, εισαγάγετε το εύρος τιμών για το Y (ο αριθμός των εργαζομένων που αποχωρούν) και για το X (τους μισθούς τους).
• Επιβεβαιώνουμε τις ενέργειές μας πατώντας το κουμπί "Ok".

Ως αποτέλεσμα, το πρόγραμμα θα συμπληρώνεται αυτόματα ΝΕΟ ΦΥΛΛΟεπεξεργαστής υπολογιστικών φύλλων με δεδομένα ανάλυσης παλινδρόμησης. Σημείωση! Το Excel σάς επιτρέπει να ορίσετε με μη αυτόματο τρόπο την τοποθεσία που προτιμάτε για αυτόν τον σκοπό. Για παράδειγμα, αυτό θα μπορούσε να είναι το ίδιο φύλλο όπου βρίσκονται οι τιμές Y και X ή ακόμα και ένα νέο βιβλίο εργασίας ειδικά σχεδιασμένο για την αποθήκευση τέτοιων δεδομένων.

Ανάλυση αποτελεσμάτων παλινδρόμησης για R-squared

Στο Excel, τα δεδομένα που λαμβάνονται κατά την επεξεργασία των δεδομένων στο υπό εξέταση παράδειγμα έχουν τη μορφή:

Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στην τιμή R-τετράγωνο. Αντιπροσωπεύει τον συντελεστή προσδιορισμού. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμα R-τετράγωνο = 0,755 (75,5%), δηλαδή, οι υπολογισμένες παράμετροι του μοντέλου εξηγούν την εξάρτηση μεταξύ των εξεταζόμενων παραμέτρων κατά 75,5%. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού, το επιλεγμένο μοντέλο θεωρείται περισσότερο εφαρμόσιμο συγκεκριμένη εργασία. Θεωρείται ότι περιγράφει σωστά την πραγματική κατάσταση όταν η τιμή του τετραγώνου R είναι πάνω από 0,8. Εάν το R-τετράγωνο<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Ανάλυση πιθανοτήτων

Ο αριθμός 64.1428 δείχνει ποια θα είναι η τιμή του Y εάν όλες οι μεταβλητές xi στο μοντέλο που εξετάζουμε μηδενιστούν. Με άλλα λόγια, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η τιμή της αναλυόμενης παραμέτρου επηρεάζεται επίσης από άλλους παράγοντες που δεν περιγράφονται σε ένα συγκεκριμένο μοντέλο.

Ο επόμενος συντελεστής -0,16285, που βρίσκεται στο κελί B18, δείχνει το βάρος της επιρροής της μεταβλητής X στο Y. Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος μηνιαίος μισθός των εργαζομένων στο υπό εξέταση μοντέλο επηρεάζει τον αριθμό των παραιτητών με βάρος -0,16285, π.χ. ο βαθμός της επιρροής του είναι εντελώς μικρός. Το σύμβολο "-" υποδηλώνει ότι ο συντελεστής είναι αρνητικός. Αυτό είναι προφανές, αφού όλοι γνωρίζουν ότι όσο υψηλότερος είναι ο μισθός στην επιχείρηση, τόσο λιγότερα άτομα εκφράζουν την επιθυμία να τερματίσουν τη σύμβαση εργασίας ή να παραιτηθούν.

Πολλαπλή παλινδρόμηση

Αυτός ο όρος αναφέρεται σε μια εξίσωση σχέσης με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές της μορφής:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, όπου y είναι το προκύπτον χαρακτηριστικό (εξαρτημένη μεταβλητή) και x 1, x 2,…x m είναι χαρακτηριστικά παραγόντων (ανεξάρτητες μεταβλητές).

Εκτίμηση παραμέτρων

Για πολλαπλή παλινδρόμηση (MR), πραγματοποιείται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (OLS). Για γραμμικές εξισώσεις της μορφής Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε κατασκευάζουμε ένα σύστημα κανονικών εξισώσεων (βλ. παρακάτω)



Για να κατανοήσετε την αρχή της μεθόδου, εξετάστε μια περίπτωση δύο παραγόντων. Τότε έχουμε μια κατάσταση που περιγράφεται από τον τύπο



Από εδώ παίρνουμε:



όπου σ είναι η διακύμανση του αντίστοιχου χαρακτηριστικού που αντικατοπτρίζεται στον δείκτη.

Το OLS εφαρμόζεται στην εξίσωση MR σε τυποποιημένη κλίμακα. Σε αυτή την περίπτωση, παίρνουμε την εξίσωση:



στις οποίες t y, t x 1, … t xm είναι τυποποιημένες μεταβλητές, για τις οποίες οι μέσες τιμές είναι ίσες με 0. β i είναι οι τυποποιημένοι συντελεστές παλινδρόμησης και η τυπική απόκλιση είναι 1.

Σημειώστε ότι όλα τα β i σε αυτήν την περίπτωση προσδιορίζονται ως κανονικοποιημένα και κεντρικά, επομένως η σύγκρισή τους μεταξύ τους θεωρείται σωστή και αποδεκτή. Επιπλέον, είναι σύνηθες να ελέγχονται οι παράγοντες απορρίπτοντας αυτούς με τις χαμηλότερες τιμές βi.

Πρόβλημα με χρήση της εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πίνακα δυναμικής τιμών για ένα συγκεκριμένο προϊόν N τους τελευταίους 8 μήνες. Είναι απαραίτητο να ληφθεί απόφαση σχετικά με τη σκοπιμότητα αγοράς μιας παρτίδας σε τιμή 1850 ρούβλια/τόνο.

	αριθμός μηνός	όνομα μήνα	τιμή προϊόντος Ν
			1750 ρούβλια ανά τόνο
			1755 ρούβλια ανά τόνο
			1767 ρούβλια ανά τόνο
			1760 ρούβλια ανά τόνο
			1770 ρούβλια ανά τόνο
			1790 ρούβλια ανά τόνο
			1810 ρούβλια ανά τόνο
			1840 ρούβλια ανά τόνο

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα στον επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων Excel, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το εργαλείο "Ανάλυση δεδομένων", ήδη γνωστό από το παράδειγμα που παρουσιάστηκε παραπάνω. Στη συνέχεια, επιλέξτε την ενότητα "Προσφορά" και ορίστε τις παραμέτρους. Πρέπει να θυμόμαστε ότι στο πεδίο "Input interval Y" πρέπει να εισαχθεί ένα εύρος τιμών για την εξαρτημένη μεταβλητή (στην περίπτωση αυτή, τιμές για αγαθά σε συγκεκριμένους μήνες του έτους) και στο "Input interval X" - για την ανεξάρτητη μεταβλητή (αριθμός μήνα). Επιβεβαιώστε την ενέργεια κάνοντας κλικ στο "Ok". Σε ένα νέο φύλλο (εάν υποδεικνύεται) λαμβάνουμε δεδομένα για παλινδρόμηση.

Χρησιμοποιώντας αυτές, κατασκευάζουμε μια γραμμική εξίσωση της μορφής y=ax+b, όπου οι παράμετροι a και b είναι οι συντελεστές της ευθείας με το όνομα του αριθμού του μήνα και οι συντελεστές και οι ευθείες «Y-τομή» από το φύλλο με τα αποτελέσματα της ανάλυσης παλινδρόμησης. Έτσι, η εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης (LR) για την εργασία 3 γράφεται ως:

Τιμή προϊόντος N = 11.714* αριθμός μηνός + 1727.54.

ή σε αλγεβρική σημειογραφία

y = 11,714 x + 1727,54

Ανάλυση αποτελεσμάτων

Για να αποφασιστεί εάν η προκύπτουσα εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης είναι επαρκής, χρησιμοποιούνται οι συντελεστές πολλαπλής συσχέτισης (MCC) και προσδιορισμού, καθώς και η δοκιμή Fisher και η δοκιμή Student t. Στο υπολογιστικό φύλλο του Excel με αποτελέσματα παλινδρόμησης, ονομάζονται πολλαπλά R, R-squared, F-statistic και t-statistic, αντίστοιχα.

Το KMC R καθιστά δυνατή την αξιολόγηση της εγγύτητας της πιθανολογικής σχέσης μεταξύ των ανεξάρτητων και των εξαρτημένων μεταβλητών. Η υψηλή του τιμή υποδηλώνει μια αρκετά ισχυρή σύνδεση μεταξύ των μεταβλητών "Αριθμός μήνα" και "Τιμή προϊόντος N σε ρούβλια ανά 1 τόνο". Ωστόσο, η φύση αυτής της σχέσης παραμένει άγνωστη.

Το τετράγωνο του συντελεστή προσδιορισμού R2 (RI) είναι αριθμητικό χαρακτηριστικό της αναλογίας της συνολικής διασποράς και δείχνει τη διασπορά ποιου μέρους των πειραματικών δεδομένων, δηλ. Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής αντιστοιχούν στην εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης. Στο υπό εξέταση πρόβλημα, αυτή η τιμή είναι ίση με 84,8%, δηλαδή, τα στατιστικά δεδομένα περιγράφονται με υψηλό βαθμό ακρίβειας από την προκύπτουσα SD.

Οι στατιστικές F, που ονομάζονται και τεστ του Fisher, χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση της σημασίας μιας γραμμικής σχέσης, διαψεύδοντας ή επιβεβαιώνοντας την υπόθεση της ύπαρξής της.

(Το τεστ του μαθητή) βοηθά στην αξιολόγηση της σημασίας του συντελεστή με έναν άγνωστο ή ελεύθερο όρο της γραμμικής σχέσης. Αν η τιμή του t-test > tcr, τότε απορρίπτεται η υπόθεση για τη μη σημασία του ελεύθερου όρου της γραμμικής εξίσωσης.

Στο υπό εξέταση πρόβλημα για τον ελεύθερο όρο, χρησιμοποιώντας εργαλεία του Excel, προέκυψε ότι t = 169.20903 και p = 2.89E-12, δηλ. έχουμε μηδενική πιθανότητα να απορριφθεί η σωστή υπόθεση σχετικά με την ασήμαντη σημασία του ελεύθερου όρου. . Για τον συντελεστή για τον άγνωστο t=5,79405, και p=0,001158. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα να απορριφθεί η σωστή υπόθεση για τη μη σημασία του συντελεστή για έναν άγνωστο είναι 0,12%.

Έτσι, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η προκύπτουσα εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης είναι επαρκής.

Το πρόβλημα της σκοπιμότητας αγοράς ενός πακέτου μετοχών

Η πολλαπλή παλινδρόμηση στο Excel εκτελείται χρησιμοποιώντας το ίδιο εργαλείο ανάλυσης δεδομένων. Ας εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα εφαρμογής.

Η διοίκηση της εταιρείας NNN πρέπει να αποφασίσει για τη σκοπιμότητα αγοράς μεριδίου 20% στην MMM JSC. Το κόστος του πακέτου (SP) είναι 70 εκατομμύρια δολάρια ΗΠΑ. Οι ειδικοί του NNN έχουν συλλέξει δεδομένα για παρόμοιες συναλλαγές. Αποφασίστηκε να αξιολογηθεί η αξία του πακέτου μετοχών σύμφωνα με τέτοιες παραμέτρους, εκφρασμένες σε εκατομμύρια δολάρια ΗΠΑ, όπως:

• πληρωτέοι λογαριασμοί (VK)·
• ετήσιος όγκος κύκλου εργασιών (VO)·
• εισπρακτέοι λογαριασμοί (VD)·
• κόστος παγίων περιουσιακών στοιχείων (COF).

Επιπλέον, χρησιμοποιείται η παράμετρος των καθυστερούμενων μισθών της επιχείρησης (V3 P) σε χιλιάδες δολάρια ΗΠΑ.

Λύση χρησιμοποιώντας επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων Excel

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα με δεδομένα πηγής. Μοιάζει με αυτό:



• καλέστε το παράθυρο "Ανάλυση δεδομένων".
• επιλέξτε την ενότητα "Προσβολή".
• Στο πλαίσιο "Input interval Y", εισαγάγετε το εύρος τιμών των εξαρτημένων μεταβλητών από τη στήλη G.
• κάντε κλικ στο εικονίδιο με το κόκκινο βέλος στα δεξιά του παραθύρου "Εύρος εισόδου X" και επισημάνετε στο φύλλο το εύρος όλων των τιμών από στήλες Β, Γ,Δ,Φ.

Επισημάνετε το στοιχείο "Νέο φύλλο εργασίας" και κάντε κλικ στο "Ok".

Λάβετε μια ανάλυση παλινδρόμησης για ένα δεδομένο πρόβλημα.



Μελέτη αποτελεσμάτων και συμπερασμάτων

«Συλλέγουμε» την εξίσωση παλινδρόμησης από τα στρογγυλεμένα δεδομένα που παρουσιάζονται παραπάνω στο υπολογιστικό φύλλο του Excel:

SP = 0,103*SOF + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

Σε μια πιο οικεία μαθηματική μορφή, μπορεί να γραφτεί ως:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Τα στοιχεία για την MMM JSC παρουσιάζονται στον πίνακα:

Αντικαθιστώντας τα στην εξίσωση παλινδρόμησης, παίρνουμε έναν αριθμό 64,72 εκατομμυρίων δολαρίων ΗΠΑ. Αυτό σημαίνει ότι οι μετοχές της MMM JSC δεν αξίζει να αγοραστούν, αφού η αξία τους των 70 εκατομμυρίων δολαρίων ΗΠΑ είναι αρκετά διογκωμένη.

Όπως μπορείτε να δείτε, η χρήση του υπολογιστικού φύλλου Excel και της εξίσωσης παλινδρόμησης κατέστησαν δυνατή τη λήψη μιας τεκμηριωμένης απόφασης σχετικά με τη σκοπιμότητα μιας πολύ συγκεκριμένης συναλλαγής.

Τώρα ξέρετε τι είναι η παλινδρόμηση. Τα παραδείγματα του Excel που συζητήθηκαν παραπάνω θα σας βοηθήσουν να λύσετε πρακτικά προβλήματα στον τομέα της οικονομετρίας.