Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή μαθηματικών θα σας βοηθήσει αν τη χρειάζεστε υπολογίστε το όριο μιας συνάρτησης. Πρόγραμμα όρια λύσηςόχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά οδηγεί λεπτομερής λύσημε εξηγήσεις, δηλ. εμφανίζει τη διαδικασία υπολογισμού ορίου.
Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςκατά την προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε όσο πιο γρήγορα γίνεται; εργασία για το σπίτιστα μαθηματικά ή στην άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.
Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων.
Εισαγάγετε μια έκφραση συνάρτησηςΥπολογίστε το όριο
Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.
Για να εμφανιστεί η λύση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τη JavaScript.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...
Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.
Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:
Λίγη θεωρία.
Όριο της συνάρτησης στο x->x 0
Αφήστε τη συνάρτηση f(x) να οριστεί σε κάποιο σύνολο X και έστω το σημείο \(x_0 \στο X\) ή \(x_0 \όχι στο X\)
Ας πάρουμε από το X μια ακολουθία σημείων διαφορετική από το x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
συγκλίνοντας στο x*. Οι τιμές συναρτήσεων στα σημεία αυτής της ακολουθίας σχηματίζουν επίσης μια αριθμητική ακολουθία
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
και μπορεί κανείς να θέσει το ζήτημα της ύπαρξης του ορίου του.
Ορισμός. Ο αριθμός A ονομάζεται όριο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x = x 0 (ή στο x -> x 0), εάν για οποιαδήποτε ακολουθία (1) τιμών του ορίσματος x διαφέρει από το x 0 συγκλίνοντας στο x 0, η αντίστοιχη ακολουθία (2) συνάρτησης τιμών συγκλίνει στον αριθμό Α.
$$ \lim_(x\έως x_0)( f(x)) = A $$
Η συνάρτηση f(x) μπορεί να έχει μόνο ένα όριο στο σημείο x 0. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η ακολουθία
(f(x n)) έχει μόνο ένα όριο.
Υπάρχει ένας άλλος ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης.
ΟρισμόςΟ αριθμός A ονομάζεται όριο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x = x 0 αν για οποιονδήποτε αριθμό \(\varepsilon > 0\) υπάρχει ένας αριθμός \(\δέλτα > 0\) τέτοιος ώστε για όλους \ (x \σε X, \; x \neq x_0 \), ικανοποιώντας την ανισότητα \(|x-x_0| Χρησιμοποιώντας λογικά σύμβολα, αυτός ο ορισμός μπορεί να γραφτεί ως
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Σημειώστε ότι οι ανισώσεις \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ο πρώτος ορισμός βασίζεται στην έννοια του ορίου μιας αριθμητικής ακολουθίας, επομένως ονομάζεται συχνά ο ορισμός "στη γλώσσα των ακολουθιών." Ο δεύτερος ορισμός ονομάζεται ορισμός "στη γλώσσα \(\varepsilon - \δέλτα \)”.
Αυτοί οι δύο ορισμοί του ορίου μιας συνάρτησης είναι ισοδύναμοι και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από αυτούς ανάλογα με το ποιος είναι πιο βολικός για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος.
Σημειώστε ότι ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης "στη γλώσσα των ακολουθιών" ονομάζεται επίσης ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Heine και ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης "στη γλώσσα \(\varepsilon - \δέλτα \)» ονομάζεται επίσης ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Cauchy.
Όριο της συνάρτησης στο x->x 0 - και στο x->x 0 +
Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε τις έννοιες των μονόπλευρων ορίων μιας συνάρτησης, οι οποίες ορίζονται ως εξής.
ΟρισμόςΟ αριθμός A ονομάζεται δεξιό (αριστερό) όριο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 εάν για οποιαδήποτε ακολουθία (1) που συγκλίνει στο x 0, τα στοιχεία της οποίας x n είναι μεγαλύτερα (μικρότερα από) x 0, η η αντίστοιχη ακολουθία (2) συγκλίνει στο Α.
Συμβολικά γράφεται ως εξής:
$$ \lim_(x \έως x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \έως x_0-) f(x) = A \δεξιά) $$
Μπορούμε να δώσουμε έναν ισοδύναμο ορισμό των μονόπλευρων ορίων μιας συνάρτησης "στη γλώσσα \(\varepsilon - \delta \)":
Ορισμόςένας αριθμός Α ονομάζεται δεξιό (αριστερό) όριο της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 αν για οποιοδήποτε \(\varepsilon > 0\) υπάρχει ένα \(\δέλτα > 0\) τέτοιο ώστε για όλα τα x ικανοποιώντας τις ανισότητες \(x_0 Συμβολικές εγγραφές:
Σε αυτό το θέμα θα αναλύσουμε τους τύπους που μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας το δεύτερο υπέροχο όριο(βρίσκεται ένα θέμα αφιερωμένο απευθείας στο δεύτερο αξιοσημείωτο όριο). Επιτρέψτε μου να θυμηθώ δύο διατυπώσεις του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου που θα χρειαστούν σε αυτήν την ενότητα: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ και $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.
Συνήθως παρουσιάζω τύπους χωρίς απόδειξη, αλλά για αυτήν τη σελίδα, νομίζω ότι θα κάνω μια εξαίρεση. Το θέμα είναι ότι η απόδειξη των συνεπειών του δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου περιέχει ορισμένες τεχνικές που είναι χρήσιμες στην άμεση επίλυση προβλημάτων. Λοιπόν, μιλώντας γενικά, είναι σκόπιμο να γνωρίζετε πώς αποδεικνύεται αυτή ή η φόρμουλα. Αυτό μας επιτρέπει να το καταλάβουμε καλύτερα εσωτερική δομή, καθώς και τα όρια εφαρμογής. Αλλά επειδή τα στοιχεία μπορεί να μην ενδιαφέρουν όλους τους αναγνώστες, θα τα κρύψω κάτω από τις σημειώσεις που βρίσκονται μετά από κάθε συνέπεια.
Συμπέρασμα #1
\αρχή(εξίσωση) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(εξίσωση)Απόδειξη του συμπεράσματος Νο. 1: εμφάνιση/απόκρυψη
Εφόσον στο $x\to 0$ έχουμε $\ln(1+x)\to 0$, τότε στο υπό εξέταση όριο υπάρχει μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Για να αποκαλύψουμε αυτήν την αβεβαιότητα, ας παρουσιάσουμε την έκφραση $\frac(\ln(1+x))(x)$ με την ακόλουθη μορφή: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Τώρα ας συνυπολογίσουμε το $\frac(1)(x)$ στη δύναμη της έκφρασης $(1+x)$ και ας εφαρμόσουμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\αριστερά| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ έως\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Για άλλη μια φορά έχουμε αβεβαιότητα για τη μορφή $\frac(0)(0)$. Θα βασιστούμε στη φόρμουλα που έχουμε ήδη αποδείξει. Αφού $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, τότε $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\αριστερά| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Συμπέρασμα #2
\αρχή(εξίσωση) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(εξίσωση)Απόδειξη του συμπεράσματος Νο. 2: εμφάνιση/απόκρυψη
Εφόσον στο $x\to 0$ έχουμε $e^x-1\to 0$, τότε στο υπό εξέταση όριο υπάρχει μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Για να αποκαλύψουμε αυτήν την αβεβαιότητα, ας αλλάξουμε τη μεταβλητή, δηλώνοντας $t=e^x-1$. Από $x\έως 0$, μετά από $t\έως 0$. Στη συνέχεια, από τον τύπο $t=e^x-1$ παίρνουμε: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \δεξιά|=\αριστερά | \begin(ευθυγραμμισμένο) & t=e^x-1;\; t\σε 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (στοίχιση) \δεξιά|= \lim_(t\σε 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\ έως 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
Για άλλη μια φορά έχουμε αβεβαιότητα για τη μορφή $\frac(0)(0)$. Θα βασιστούμε στη φόρμουλα που έχουμε ήδη αποδείξει. Εφόσον $a^x=e^(x\ln a)$, τότε:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\αριστερά| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Συμπέρασμα #3
\begin(εξίσωση) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(εξίσωση)Απόδειξη του συμπεράσματος Νο. 3: εμφάνιση/απόκρυψη
Για άλλη μια φορά έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Εφόσον $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, παίρνουμε:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \αριστερά| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Παράδειγμα Νο. 1
Υπολογίστε το όριο $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.
Έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Για να αποκαλύψουμε αυτή την αβεβαιότητα, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο. Για να χωρέσουμε το όριό μας σε αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να έχουμε κατά νου ότι οι εκφράσεις στην ισχύ του $e$ και στον παρονομαστή πρέπει να συμπίπτουν. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει θέση για το ημίτονο στον παρονομαστή. Ο παρονομαστής πρέπει να είναι $9x$. Επιπλέον, η λύση σε αυτό το παράδειγμα θα χρησιμοποιήσει το πρώτο αξιοσημείωτο όριο.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
Απάντηση: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
Παράδειγμα Νο. 2
Υπολογίστε το όριο $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.
Έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$ (να σας υπενθυμίσω ότι $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Για να αποκαλύψουμε αυτή την αβεβαιότητα, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο. Αρχικά, ας λάβουμε υπόψη ότι $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (βλ. εκτύπωση σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις). Τώρα $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, οπότε στον παρονομαστή θα πρέπει να λάβουμε την έκφραση $-2\sin^2 \ frac(x)(2)$ (για να ταιριάζει το παράδειγμά μας στον τύπο). Στην περαιτέρω λύση θα χρησιμοποιηθεί το πρώτο αξιοσημείωτο όριο.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\αριστερά| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
Απάντηση: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
Απόδειξη:
Ας αποδείξουμε πρώτα το θεώρημα για την περίπτωση της ακολουθίας 
Σύμφωνα με τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:
Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε
Από αυτή την ισότητα (1) προκύπτει ότι όσο αυξάνεται το n, αυξάνεται ο αριθμός των θετικών όρων στη δεξιά πλευρά. Επιπλέον, όσο αυξάνεται το n, ο αριθμός μειώνεται, άρα οι τιμές 
αυξάνονται. Επομένως η σειρά 
αυξάνεται, και (2)*Δείχνουμε ότι είναι οριοθετημένο. Αντικαταστήστε κάθε παρένθεση στη δεξιά πλευρά της ισότητας με μία, η δεξιά πλευρά θα αυξηθεί και θα έχουμε την ανισότητα
Ας ενισχύσουμε την προκύπτουσα ανισότητα, αντικαταστήσουμε το 3,4,5, ..., που στέκεται στους παρονομαστές των κλασμάτων, με τον αριθμό 2: Βρίσκουμε το άθροισμα σε αγκύλες χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου: Επομένως 
(3)*
Άρα, η ακολουθία οριοθετείται από πάνω και ικανοποιούνται οι ανισότητες (2) και (3): 
Επομένως, με βάση το θεώρημα Weierstrass (κριτήριο για τη σύγκλιση μιας ακολουθίας), η ακολουθία 
μονοτονικά αυξάνεται και περιορίζεται, που σημαίνει ότι έχει ένα όριο, που συμβολίζεται με το γράμμα e. Εκείνοι. 
Γνωρίζοντας ότι το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο ισχύει για φυσικές τιμές του x, αποδεικνύουμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο για το πραγματικό x, δηλαδή αποδεικνύουμε ότι 
. Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις:
1. Έστω Κάθε τιμή του x περικλείεται ανάμεσα σε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς: , πού είναι το ακέραιο μέρος του x. => =>
Αν , τότε Επομένως, σύμφωνα με το όριο 
Εχουμε
Με βάση το κριτήριο (περί ορίου ενδιάμεσης συνάρτησης) ύπαρξης ορίων 
2. Αφήστε . Ας κάνουμε την αντικατάσταση − x = t, τότε
Από τις δύο αυτές περιπτώσεις προκύπτει ότι 
για πραγματικό x.
Συνέπειες:
9 .) Σύγκριση απειροελάχιστων. Το θεώρημα για την αντικατάσταση των απειρομικρών με ισοδύναμα στο όριο και το θεώρημα για το κύριο μέρος των απειροελάχιστων.
Αφήστε τις συναρτήσεις a( Χ) και β( Χ) – β.μ. στο Χ ® Χ 0 .
ΟΡΙΣΜΟΙ.
1)α( Χ) που ονομάζεται απειροελάχιστη ανώτερη τάξη από σι (Χ) Αν
Γράψε: α( Χ) = o(b( Χ)) .
2)α( Χ) Καισι( Χ)λέγονται απειροελάχιστα της ίδιας τάξης, Αν
όπου ΓÎℝ και ντο¹ 0 .
Γράψε: α( Χ) = Ο(σι( Χ)) .
3)α( Χ) Καισι( Χ) λέγονται ισοδύναμος , Αν
Γράψε: α( Χ) ~ β( Χ).
4)α( Χ) κάλεσε άπειρα μικρή παραγγελίακ συγγενής
απολύτως απειροελάχιστοσι( Χ),
αν απειροελάχιστηένα( Χ)Και(σι( Χ)) κ έχουν την ίδια σειρά, δηλ. Αν
όπου ΓÎℝ και ντο¹ 0 .
ΘΕΩΡΗΜΑ 6 (για την αντικατάσταση απειροελάχιστων με ισοδύναμα).
Αφήνωένα( Χ), σι( Χ), Α'1 ( Χ), β 1 ( Χ)– β.μ. στο x ® Χ 0 . Ανένα( Χ) ~ a 1 ( Χ), σι( Χ) ~ β 1 ( Χ),
Οτι 
Απόδειξη: Έστω α( Χ) ~ a 1 ( Χ), σι( Χ) ~ β 1 ( Χ), Επειτα
ΘΕΩΡΗΜΑ 7 (περί το κύριο μέρος του απειροελάχιστου).
Αφήνωένα( Χ)Καισι( Χ)– β.μ. στο x ® Χ 0 , καισι( Χ)– β.μ. υψηλότερης τάξης απόένα( Χ).
= , a αφού b( Χ) – υψηλότερη τάξη από α( Χ), τότε, δηλ. 
από είναι σαφές ότι ένα ( Χ) + β( Χ) ~ α( Χ)
10) Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο (στη γλώσσα του έψιλον-δέλτα, γεωμετρικά όρια) Μονόπλευρη συνέχεια. Συνέχεια σε ένα διάστημα, σε ένα τμήμα. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.
1. Βασικοί ορισμοί
Αφήνω φά(Χ) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ 0 .
ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 αν ισχύει η ισότητα
Σημειώσεις.
1) Δυνάμει του Θεωρήματος 5 §3, η ισότητα (1) μπορεί να γραφεί με τη μορφή
Κατάσταση (2) – ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της γλώσσας των μονόπλευρων ορίων.
2) Η ισότητα (1) μπορεί επίσης να γραφτεί ως:
Λένε: «αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο Χ 0, τότε το πρόσημο του ορίου και η συνάρτηση μπορούν να αντικατασταθούν."
ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (στη γλώσσα e-d).
Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο Χ 0 Αν"e>0 $d>0 τέτοιος, Τι
αν xΟΥ( Χ 0 , δ) (δηλ. | Χ – Χ 0 | < d),
τότε στ(Χ)ÎU( φά(Χ 0), ε) (δηλ. | φά(Χ) – φά(Χ 0) | < e).
Αφήνω Χ, Χ 0 Î ρε(φά) (Χ 0 - σταθερό, Χ -αυθαίρετος)
Σημειώνουμε: Δ Χ= x – x 0 – προσαύξηση επιχειρήματος
ρε φά(Χ 0) = φά(Χ) – φά(Χ 0) – αύξηση της συνάρτησης στο σημείοx 0
ΟΡΙΣΜΟΣ 3 (γεωμετρικός).
Συνάρτηση f(Χ) επί που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο
Χ 0
αν σε αυτό το σημείο μια απειροελάχιστη αύξηση στο όρισμα αντιστοιχεί σε μια απειροελάχιστη αύξηση στη συνάρτηση, δηλ.
Αφήστε τη λειτουργία φά(Χ) ορίζεται στο διάστημα [ Χ 0 ; Χ 0 + δ) (στο διάστημα ( Χ 0 – d; Χ 0 ]).
ΟΡΙΣΜΟΣ. Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο
Χ 0 στα δεξιά
(αριστερά
), αν ισχύει η ισότητα
Είναι προφανές ότι φά(Χ) είναι συνεχής στο σημείο Χ 0 Û φά(Χ) είναι συνεχής στο σημείο Χ 0 δεξιά και αριστερά.
ΟΡΙΣΜΟΣ. Συνάρτηση f(Χ) που ονομάζεται συνεχής για ένα διάστημα ε ( ένα; σι) αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο αυτού του διαστήματος.
Συνάρτηση f(Χ) ονομάζεται συνεχής στο τμήμα [ένα; σι] αν είναι συνεχής στο διάστημα (ένα; σι) και έχει μονόδρομη συνέχεια στα οριακά σημεία(δηλαδή συνεχής στο σημείο έναστα δεξιά, στο σημείο σι- αριστερά).
11) Σημεία διακοπής, η κατάταξή τους
ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν η συνάρτηση f(Χ) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 , αλλά δεν είναι συνεχής σε αυτό το σημείο, λοιπόν φά(Χ) ονομάζεται ασυνεχής στο σημείο x 0 , και το ίδιο το σημείο Χ 0 ονομάζεται σημείο διακοπής λειτουργίες f(Χ) .
Σημειώσεις.
1) φά(Χ) μπορεί να οριστεί σε μια ημιτελή γειτονιά του σημείου Χ 0 .
Στη συνέχεια, εξετάστε την αντίστοιχη μονόπλευρη συνέχεια της συνάρτησης.
2) Από τον ορισμό του σημείου Þ ΧΤο 0 είναι το σημείο θραύσης της συνάρτησης φά(Χ) σε δύο περιπτώσεις:
α) U( Χ 0 , δ)О ρε(φά) , αλλά φά(Χ) η ισότητα δεν ισχύει
β) U * ( Χ 0 , δ)О ρε(φά) .
Για στοιχειώδεις λειτουργίεςμόνο η περίπτωση β) είναι δυνατή.
Αφήνω Χ 0 – σημείο διακοπής λειτουργίας φά(Χ) .
ΟΡΙΣΜΟΣ. Σημείο x 0 που ονομάζεται σημείο διακοπής Εγώ περίπου αν συνάρτηση f(Χ)έχει πεπερασμένα όρια αριστερά και δεξιά σε αυτό το σημείο.
Αν αυτά τα όρια είναι ίσα, τότε το σημείο x 0 που ονομάζεται αφαιρούμενο σημείο θραύσης , σε διαφορετική περίπτωση - σημείο άλματος .
ΟΡΙΣΜΟΣ. Σημείο x 0 που ονομάζεται σημείο διακοπής II περίπου αν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης f(Χ)σε αυτό το σημείο είναι ίσο¥ ή δεν υπάρχει.
12) Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε διάστημα (θεωρήματα Weierstrass (χωρίς απόδειξη) και Cauchy
Θεώρημα Weierstrass
Έστω λοιπόν η συνάρτηση f(x) συνεχής στο διάστημα
1) η f(x) περιορίζεται σε
2) η f(x) παίρνει τη μικρότερη τιμή του στο διάστημα και υψηλότερη τιμή
Ορισμός: Η τιμή της συνάρτησης m=f λέγεται η μικρότερη αν m≤f(x) για οποιοδήποτε x€ D(f).
Η τιμή της συνάρτησης m=f λέγεται ότι είναι μεγαλύτερη εάν m≥f(x) για οποιοδήποτε x € D(f).
Η συνάρτηση μπορεί να λάβει τη μικρότερη/μεγαλύτερη τιμή σε πολλά σημεία του τμήματος.
f(x 3)=f(x 4)=μέγ
Θεώρημα Cauchy.
Έστω η συνάρτηση f(x) συνεχής στο τμήμα και x ο αριθμός που περιέχεται μεταξύ f(a) και f(b), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x 0 € τέτοιο ώστε f(x 0)= g
Τώρα, με ήρεμη ψυχή, ας προχωρήσουμε στη σκέψη υπέροχα όρια.
μοιάζει με .
Αντί για τη μεταβλητή x μπορεί να υπάρχει διάφορες λειτουργίες, το κυριότερο είναι ότι τείνουν στο 0.
Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το όριο μοιάζει πολύ με το πρώτο αξιοσημείωτο, αλλά αυτό δεν είναι απολύτως αληθές. Γενικά, αν παρατηρήσετε αμαρτία στο όριο, τότε θα πρέπει να σκεφτείτε αμέσως αν είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσετε το πρώτο αξιόλογο όριο.
Σύμφωνα με τον κανόνα μας Νο. 1, αντικαθιστούμε το μηδέν αντί του x:
Έχουμε αβεβαιότητα.
Τώρα ας προσπαθήσουμε να οργανώσουμε μόνοι μας το πρώτο υπέροχο όριο. Για να γίνει αυτό, ας κάνουμε έναν απλό συνδυασμό:
Έτσι οργανώνουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή για να τονίσουμε το 7x. Τώρα το γνωστό αξιοσημείωτο όριο έχει ήδη εμφανιστεί. Συνιστάται να το επισημάνετε όταν αποφασίζετε:
Ας αντικαταστήσουμε τη λύση του πρώτου υπέροχο παράδειγμακαι παίρνουμε:
Απλοποίηση του κλάσματος:
Απάντηση: 7/3.
Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι πολύ απλά.
Μοιάζει με 
, όπου e = 2,718281828... είναι ένας άρρητος αριθμός.
Μπορεί να υπάρχουν διάφορες συναρτήσεις αντί της μεταβλητής x, το κυριότερο είναι ότι τείνουν να .
Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο
Εδώ βλέπουμε την παρουσία ενός βαθμού κάτω από το πρόσημο ενός ορίου, που σημαίνει ότι είναι δυνατή η χρήση ενός δεύτερου αξιοσημείωτου ορίου.
Όπως πάντα, θα χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα Νο. 1 - αντικαταστήστε το x αντί για:
Μπορεί να φανεί ότι στο x η βάση του βαθμού είναι , και ο εκθέτης είναι 4x > , δηλ. λαμβάνουμε μια αβεβαιότητα της μορφής:
Ας χρησιμοποιήσουμε το δεύτερο υπέροχο όριο για να αποκαλύψουμε την αβεβαιότητα μας, αλλά πρώτα πρέπει να την οργανώσουμε. Όπως μπορείτε να δείτε, πρέπει να επιτύχουμε παρουσία στον δείκτη, για τον οποίο ανεβάζουμε τη βάση στην ισχύ του 3x και ταυτόχρονα στην ισχύ του 1/3x, έτσι ώστε η έκφραση να μην αλλάξει:
Μην ξεχάσετε να τονίσετε το υπέροχο όριο μας:
Αυτό είναι πραγματικά υπέροχα όρια!
Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις σχετικά με το πρώτο και το δεύτερο θαυμάσια όρια, τότε μη διστάσετε να τους ρωτήσετε στα σχόλια.
Θα απαντήσουμε σε όλους όσο το δυνατόν περισσότερο.
Μπορείτε επίσης να εργαστείτε με έναν δάσκαλο σε αυτό το θέμα.
Είμαστε στην ευχάριστη θέση να σας προσφέρουμε τις υπηρεσίες επιλογής ειδικευμένου δασκάλου στην πόλη σας. Οι συνεργάτες μας θα επιλέξουν γρήγορα έναν καλό δάσκαλο για εσάς με ευνοϊκούς όρους.
Δεν υπάρχουν αρκετές πληροφορίες; - Μπορείς !
Μπορείτε να γράψετε μαθηματικούς υπολογισμούς σε σημειωματάρια. Είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράφετε μεμονωμένα σε σημειωματάρια με λογότυπο (http://www.blocnot.ru).