Σύστημα m γραμμικές εξισώσειςμε ν αγνώστουςονομάζεται σύστημα της μορφής
Οπου ένα ijΚαι β i (Εγώ=1,…,Μ; σι=1,…,n) είναι κάποιοι γνωστοί αριθμοί και x 1,…,x n– άγνωστο. Στον προσδιορισμό των συντελεστών ένα ijπρώτος δείκτης Εγώδηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης, και το δεύτερο ι– ο αριθμός του αγνώστου στον οποίο βρίσκεται αυτός ο συντελεστής.
Θα γράψουμε τους συντελεστές για τους αγνώστους με τη μορφή πίνακα 
, που θα καλέσουμε μήτρα του συστήματος.
Οι αριθμοί στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων είναι b 1 ,…,b mλέγονται ελεύθερα μέλη.
Ολότητα nαριθμοί c 1 ,…,c nπου ονομάζεται απόφασηενός δεδομένου συστήματος, αν κάθε εξίσωση του συστήματος γίνεται ισότητα μετά την αντικατάσταση αριθμών σε αυτήν c 1 ,…,c nαντί των αντίστοιχων αγνώστων x 1,…,x n.
Το καθήκον μας θα είναι να βρούμε λύσεις στο σύστημα. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να προκύψουν τρεις καταστάσεις:
Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που έχει τουλάχιστον μία λύση ονομάζεται άρθρωση. Διαφορετικά, δηλ. αν το σύστημα δεν έχει λύσεις, τότε καλείται μη άρθρωση.
Ας εξετάσουμε τρόπους για να βρούμε λύσεις στο σύστημα.
ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΗΤΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Οι πίνακες καθιστούν δυνατή τη σύντομη εγγραφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Έστω ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους:
Εξετάστε τη μήτρα του συστήματος 
και πίνακες στήλες αγνώστων και ελεύθερων όρων 
Ας βρούμε τη δουλειά
εκείνοι. Ως αποτέλεσμα του γινόμενου, λαμβάνουμε τις αριστερές πλευρές των εξισώσεων αυτού του συστήματος. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ισότητας πίνακα, αυτό το σύστημα μπορεί να γραφτεί στη μορφή
ή μικρότερη ΕΝΑ∙X=B.
Εδώ είναι οι πίνακες ΕΝΑΚαι σιείναι γνωστά, και η μήτρα Χάγνωστος. Είναι απαραίτητο να το βρείτε, γιατί... τα στοιχεία του είναι η λύση σε αυτό το σύστημα. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση μήτρας.
Έστω η ορίζουσα μήτρας διαφορετική από το μηδέν | ΕΝΑ| ≠ 0. Τότε η εξίσωση του πίνακα λύνεται ως εξής. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στα αριστερά με τον πίνακα Α'1, αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ: . Επειδή η Α -1 Α = ΕΚαι μι∙Χ = Χ, τότε λαμβάνουμε μια λύση στην εξίσωση του πίνακα με τη μορφή X = A -1 B .
Σημειώστε ότι αφού ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί μόνο για τετράγωνες μήτρες, τότε η μέθοδος matrix μπορεί να λύσει μόνο εκείνα τα συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων. Ωστόσο, η καταγραφή μήτρας του συστήματος είναι επίσης δυνατή στην περίπτωση που ο αριθμός των εξισώσεων δεν είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, τότε ο πίνακας ΕΝΑδεν θα είναι τετράγωνο και επομένως είναι αδύνατο να βρεθεί λύση στο σύστημα στη μορφή X = A -1 B.
Παραδείγματα.Επίλυση συστημάτων εξισώσεων.
ΚΑΝΟΝΑΣ ΚΡΑΜΕΡ
Θεωρήστε ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστους:
Ορίζουσα τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος, δηλ. που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους,
που ονομάζεται καθοριστικό στοιχείο του συστήματος.
Ας συνθέσουμε τρεις ακόμη ορίζουσες ως εξής: αντικαταστήστε διαδοχικά 1, 2 και 3 στήλες στην ορίζουσα D με μια στήλη ελεύθερων όρων
Τότε μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα.
Θεώρημα (κανόνας Cramer).Αν η ορίζουσα του συστήματος Δ ≠ 0, τότε το εξεταζόμενο σύστημα έχει μία και μόνο μία λύση, και
Απόδειξη. Ας εξετάσουμε λοιπόν ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Ας πολλαπλασιάσουμε την 1η εξίσωση του συστήματος με το αλγεβρικό συμπλήρωμα Α 11στοιχείο ένα 11, 2η εξίσωση – on Α 21και 3η – στις Α 31:
Ας προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις:
Ας δούμε κάθε μία από τις αγκύλες και τη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης. Με το θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία της 1ης στήλης
Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι και .
Τέλος, είναι εύκολο να το παρατηρήσετε 
Έτσι, παίρνουμε την ισότητα: .
Ως εκ τούτου, .
Οι ισότητες και προκύπτουν ομοίως, από τις οποίες προκύπτει η δήλωση του θεωρήματος.
Έτσι, σημειώνουμε ότι αν η ορίζουσα του συστήματος Δ ≠ 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και το αντίστροφο. Αν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα έχει είτε άπειρο σύνολολύσεις, ή δεν έχει λύσεις, δηλ. ασύμβατες.
Παραδείγματα.Επίλυση συστήματος εξισώσεων
ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS
Οι μέθοδοι που συζητήθηκαν προηγουμένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση μόνο εκείνων των συστημάτων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων και η ορίζουσα του συστήματος πρέπει να είναι διαφορετική από το μηδέν. Η μέθοδος Gauss είναι πιο καθολική και κατάλληλη για συστήματα με οποιοδήποτε αριθμό εξισώσεων. Συνίσταται στη συνεπή εξάλειψη αγνώστων από τις εξισώσεις του συστήματος.
Εξετάστε ξανά ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:
.
Θα αφήσουμε την πρώτη εξίσωση αμετάβλητη και από τη 2η και την 3η θα εξαιρέσουμε τους όρους που περιέχουν x 1. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με ΕΝΑ 21 και πολλαπλασιάστε με - ΕΝΑ 11 και μετά προσθέστε το στην 1η εξίσωση. Ομοίως, διαιρούμε την τρίτη εξίσωση με ΕΝΑ 31 και πολλαπλασιάστε με – ΕΝΑ 11 και μετά προσθέστε το με το πρώτο. Ως αποτέλεσμα, το αρχικό σύστημα θα έχει τη μορφή:
Τώρα από την τελευταία εξίσωση εξαλείφουμε τον όρο που περιέχει x 2. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την τρίτη εξίσωση με, πολλαπλασιάστε με και προσθέστε με τη δεύτερη. Τότε θα έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων:
Από εδώ, από την τελευταία εξίσωση είναι εύκολο να βρεθεί x 3, τότε από τη 2η εξίσωση x 2και τέλος, από 1η - x 1.
Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian, οι εξισώσεις μπορούν να αντικατασταθούν εάν είναι απαραίτητο.
Συχνά αντί να γράφω νέο σύστημαεξισώσεις, περιορίζονται στην εγγραφή του εκτεταμένου πίνακα του συστήματος:
και στη συνέχεια να το φέρει σε τριγωνική ή διαγώνια μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.
ΠΡΟΣ ΤΗΝ στοιχειώδεις μεταμορφώσειςΟι πίνακες περιλαμβάνουν τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:
- αναδιάταξη σειρών ή στηλών.
- πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.
- προσθέτοντας άλλες γραμμές σε μια γραμμή.
Παραδείγματα:Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.
Έτσι, το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
Οι εξισώσεις γενικά, οι γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις και τα συστήματά τους, καθώς και οι μέθοδοι επίλυσής τους, κατέχουν ιδιαίτερη θέση στα μαθηματικά, τόσο θεωρητικά όσο και εφαρμοσμένα.
Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η συντριπτική πλειονότητα των φυσικών, οικονομικών, τεχνικών και ακόμη και παιδαγωγικών προβλημάτων μπορούν να περιγραφούν και να λυθούν χρησιμοποιώντας μια ποικιλία εξισώσεων και των συστημάτων τους. ΣΕ ΠρόσφαταΗ μαθηματική μοντελοποίηση έχει κερδίσει ιδιαίτερη δημοτικότητα μεταξύ ερευνητών, επιστημόνων και επαγγελματιών σχεδόν σε όλα τα θεματικές περιοχές, το οποίο εξηγείται από τα προφανή πλεονεκτήματά του έναντι άλλων γνωστών και αποδεδειγμένων μεθόδων για τη μελέτη αντικειμένων διαφόρων φύσεων, ειδικότερα, τα λεγόμενα πολύπλοκα συστήματα. Υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία διαφορετικών ορισμών του μαθηματικού μοντέλου που δίνονται από επιστήμονες στο διαφορετικές εποχές, αλλά κατά τη γνώμη μας, η πιο επιτυχημένη είναι η ακόλουθη δήλωση. Μαθηματικό μοντέλοείναι μια ιδέα που εκφράζεται με μια εξίσωση. Έτσι, η ικανότητα σύνθεσης και επίλυσης εξισώσεων και των συστημάτων τους είναι αναπόσπαστο χαρακτηριστικό ενός σύγχρονου ειδικού.
Για την επίλυση συστημάτων γραμμικής αλγεβρικές εξισώσειςΟι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι οι Cramer, Jordan-Gauss και η μέθοδος matrix.
Μέθοδος μήτραςλύσεις - μέθοδος λύσης χρησιμοποιώντας αντίστροφη μήτρασυστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με μη μηδενική ορίζουσα.
Εάν γράψουμε τους συντελεστές για τα άγνωστα μεγέθη xi στον πίνακα Α, συλλέξουμε τα άγνωστα μεγέθη στη διανυσματική στήλη Χ και τους ελεύθερους όρους στη διανυσματική στήλη Β, τότε το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να γραφεί με τη μορφή ακολουθώντας την εξίσωση πίνακα A · X = B, η οποία έχει μοναδική λύση μόνο όταν η ορίζουσα του πίνακα A δεν είναι ίση με μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, η λύση στο σύστημα των εξισώσεων μπορεί να βρεθεί με τον ακόλουθο τρόπο Χ = ΕΝΑ-1 · σι, Οπου ΕΝΑ-1 είναι ο αντίστροφος πίνακας.
Η μέθοδος επίλυσης μήτρας είναι η εξής.
Ας μας δοθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με nάγνωστος:
Μπορεί να ξαναγραφτεί σε μορφή μήτρας: ΤΣΕΚΟΥΡΙ = σι, Οπου ΕΝΑ- η κύρια μήτρα του συστήματος, σιΚαι Χ- στήλες ελεύθερων όρων και λύσεων του συστήματος, αντίστοιχα:
Ας πολλαπλασιάσουμε αυτήν την εξίσωση πίνακα από τα αριστερά με ΕΝΑ-1 - αντίστροφη μήτρα της μήτρας ΕΝΑ: ΕΝΑ -1 (ΤΣΕΚΟΥΡΙ) = ΕΝΑ -1 σι
Επειδή ΕΝΑ -1 ΕΝΑ = μι, παίρνουμε Χ= Α -1 σι. Η δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης θα δώσει τη στήλη λύσης του αρχικού συστήματος. Προϋπόθεση για την εφαρμογή αυτής της μεθόδου (καθώς και την ύπαρξη λύσης γενικότερα) δεν είναι ομοιογενές σύστημαγραμμικές εξισώσεις με τον αριθμό των εξισώσεων ίσο με τον αριθμό των αγνώστων) είναι ο μη εκφυλισμός του πίνακα ΕΝΑ. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για αυτό είναι η ορίζουσα του πίνακα να μην είναι ίση με το μηδέν ΕΝΑ:det ΕΝΑ≠ 0.
Για ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όταν δηλαδή το διάνυσμα σι = 0 , πράγματι ο αντίθετος κανόνας: το σύστημα ΤΣΕΚΟΥΡΙ = Το 0 έχει μια μη τετριμμένη (δηλαδή, μη μηδενική) λύση μόνο αν det ΕΝΑ= 0. Μια τέτοια σύνδεση μεταξύ λύσεων ομογενών και ανομοιογενών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται εναλλακτική Fredholm.
Παράδειγμα λύσεις σε ένα ανομοιογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.
Ας βεβαιωθούμε ότι η ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τους συντελεστές των αγνώστων του συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, δεν είναι ίση με μηδέν.
Το επόμενο βήμα είναι ο υπολογισμός αλγεβρικές προσθήκεςγια στοιχεία ενός πίνακα που αποτελείται από συντελεστές αγνώστων. Θα χρειαστούν για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας.
- υπολογίζεται η ορίζουσα του πίνακα Α.
- μέσω αλγεβρικών προσθηκών βρίσκεται ο αντίστροφος πίνακας A -1.
- δημιουργείται ένα πρότυπο λύσης στο Excel.
Οδηγίες. Για να λάβετε μια λύση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα, πρέπει να καθορίσετε τη διάσταση του πίνακα. Στη συνέχεια, σε ένα νέο παράθυρο διαλόγου, συμπληρώστε τον πίνακα Α και το διάνυσμα των αποτελεσμάτων Β.
Δείτε επίσης Επίλυση εξισώσεων μήτρας.Αλγόριθμος λύσης
- Υπολογίζεται η ορίζουσα του πίνακα Α. Αν η ορίζουσα είναι μηδέν, τότε η λύση έχει τελειώσει. Το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων.
- Όταν η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, ο αντίστροφος πίνακας A -1 βρίσκεται μέσω αλγεβρικών προσθηκών.
- Το διάνυσμα λύσης X =(x 1, x 2, ..., x n) προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο πίνακα με το διάνυσμα αποτελέσματος Β.
Αλγεβρικές προσθήκες.
| Α 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| Α 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| Α 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| Α 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| Α 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| Α 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| Α 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Εξέταση:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Στο πρώτο μέρος κοιτάξαμε λίγο θεωρητικό υλικό, η μέθοδος υποκατάστασης, καθώς και η μέθοδος πρόσθεσης κατά όρο εξισώσεων συστήματος. Συνιστώ σε όλους όσους έχουν πρόσβαση στον ιστότοπο μέσω αυτής της σελίδας να διαβάσουν το πρώτο μέρος. Ίσως κάποιοι επισκέπτες θα βρουν το υλικό πολύ απλό, αλλά κατά τη διαδικασία επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, έκανα μια σειρά από πολύ σημαντικά σχόλια και συμπεράσματα σχετικά με την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων γενικά.
Τώρα θα αναλύσουμε τον κανόνα του Cramer, καθώς και θα λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας έναν αντίστροφο πίνακα (μέθοδος μήτρας). Όλα τα υλικά παρουσιάζονται απλά, λεπτομερώς και ξεκάθαρα· σχεδόν όλοι οι αναγνώστες θα μπορούν να μάθουν πώς να λύνουν συστήματα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεθόδους.
Αρχικά, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον κανόνα του Cramer για ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα. Για τι? – Άλλωστε το απλούστερο σύστημα μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του σχολείου, τη μέθοδο της πρόσθεσης κάθε όρου!
Το γεγονός είναι ότι, αν και μερικές φορές, συμβαίνει μια τέτοια εργασία - να λύσουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. Δεύτερον, ένα απλούστερο παράδειγμα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε πώς να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του Cramer σε περισσότερα περίπλοκη υπόθεση– συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.
Επιπλέον, υπάρχουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές, που καλό είναι να λυθούν χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer!
Εξετάστε το σύστημα των εξισώσεων
Στο πρώτο βήμα, υπολογίζουμε την ορίζουσα, λέγεται κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος.
Μέθοδος Gauss.
Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε δύο ακόμη ορίζοντες:
Και
Στην πράξη, τα παραπάνω χαρακτηριστικά μπορούν να υποδηλωθούν και με λατινικό γράμμα.
Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τους τύπους:
,
Παράδειγμα 7
Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 
Λύση: Βλέπουμε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι αρκετά μεγάλοι, στη δεξιά πλευρά υπάρχουν δεκαδικάμε κόμμα. Το κόμμα είναι ένας μάλλον σπάνιος επισκέπτης σε πρακτικές εργασίες στα μαθηματικά· πήρα αυτό το σύστημα από ένα οικονομετρικό πρόβλημα.
Πώς να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα; Μπορείτε να προσπαθήσετε να εκφράσετε μια μεταβλητή με όρους μιας άλλης, αλλά σε αυτήν την περίπτωση πιθανότατα θα καταλήξετε με τρομερά φανταχτερά κλάσματα με τα οποία είναι εξαιρετικά άβολο να εργαστείτε και ο σχεδιασμός της λύσης θα φαίνεται απλά τρομερός. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 6 και να αφαιρέσετε όρο προς όρο, αλλά θα προκύψουν τα ίδια κλάσματα και εδώ.
Τι να κάνω? Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι φόρμουλες του Cramer έρχονται στη διάσωση.
;
;
Απάντηση: ,
Και οι δύο ρίζες έχουν άπειρες ουρές και βρίσκονται κατά προσέγγιση, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό (και ακόμη και συνηθισμένο) για οικονομικά προβλήματα.
Δεν χρειάζονται σχόλια εδώ, καθώς η εργασία επιλύεται χρησιμοποιώντας έτοιμες φόρμουλες, ωστόσο, υπάρχει μια προειδοποίηση. Πότε να χρησιμοποιείται αυτή τη μέθοδο, υποχρεωτικόςΈνα τμήμα του σχεδιασμού της εργασίας είναι το ακόλουθο τμήμα: «Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση». Διαφορετικά, ο κριτής μπορεί να σας τιμωρήσει για ασέβεια προς το θεώρημα του Cramer.
Δεν θα ήταν περιττό να ελέγξετε, κάτι που είναι βολικό να πραγματοποιηθεί σε μια αριθμομηχανή: αντικαθιστούμε κατά προσέγγιση τιμές σε αριστερή πλευράκάθε εξίσωση του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, με ένα μικρό σφάλμα, θα πρέπει να λάβετε αριθμούς που βρίσκονται στις δεξιές πλευρές.
Παράδειγμα 8
Παρουσιάστε την απάντηση κανονικά ακατάλληλα κλάσματα. Κάντε έναν έλεγχο.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (ένα παράδειγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση του κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους: 
Βρίσκουμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος: 
Αν , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις). Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας του Cramer δεν θα βοηθήσει· πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss.
Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και για να βρούμε τις ρίζες πρέπει να υπολογίσουμε τρεις ακόμη ορίζοντες: 
, 
, 
Και τέλος, η απάντηση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους τύπους: 
Όπως μπορείτε να δείτε, η περίπτωση "τρία με τρία" δεν διαφέρει ουσιαστικά από την περίπτωση "δύο προς δύο"· η στήλη των ελεύθερων όρων "περπατάει" διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος των στηλών της κύριας ορίζουσας.
Παράδειγμα 9
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
Λύση: Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.
Απάντηση: 
.
Στην πραγματικότητα, και εδώ δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να σχολιάσουμε, λόγω του ότι η λύση ακολουθεί έτοιμες φόρμουλες. Υπάρχουν όμως μερικά σχόλια.
Συμβαίνει ότι ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, λαμβάνονται "κακά" μη αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα: .
Συνιστώ τον ακόλουθο αλγόριθμο «θεραπείας». Εάν δεν έχετε υπολογιστή στο χέρι, κάντε το εξής:
1) Μπορεί να υπάρχει σφάλμα στους υπολογισμούς. Μόλις συναντήσετε ένα «κακό» κλάσμα, πρέπει αμέσως να ελέγξετε Έχει ξαναγραφτεί σωστά η συνθήκη;. Εάν η συνθήκη ξαναγραφτεί χωρίς σφάλματα, τότε πρέπει να υπολογίσετε εκ νέου τους ορίζοντες χρησιμοποιώντας επέκταση σε μια άλλη σειρά (στήλη).
2) Εάν δεν εντοπιστούν σφάλματα ως αποτέλεσμα του ελέγχου, τότε πιθανότατα υπήρξε τυπογραφικό λάθος στις συνθήκες εργασίας. Σε αυτή την περίπτωση, δουλέψτε ήρεμα και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ την εργασία μέχρι το τέλος και μετά φροντίστε να ελέγξετεκαι το καταρτίζουμε σε καθαρό φύλλο μετά την απόφαση. Φυσικά, ο έλεγχος μιας κλασματικής απάντησης είναι μια δυσάρεστη εργασία, αλλά θα είναι ένα αφοπλιστικό επιχείρημα για τον δάσκαλο, ο οποίος πραγματικά του αρέσει να δίνει ένα μείον για κάθε μαλακία όπως το . Ο τρόπος χειρισμού των κλασμάτων περιγράφεται λεπτομερώς στην απάντηση στο Παράδειγμα 8.
Εάν έχετε έναν υπολογιστή στο χέρι, χρησιμοποιήστε ένα αυτοματοποιημένο πρόγραμμα για έλεγχο, το οποίο μπορείτε να το κατεβάσετε δωρεάν στην αρχή του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα αμέσως (ακόμα και πριν ξεκινήσετε τη λύση), θα δείτε αμέσως το ενδιάμεσο βήμα όπου κάνατε λάθος! Η ίδια αριθμομηχανή υπολογίζει αυτόματα τη λύση του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix.
Δεύτερη παρατήρηση. Κατά καιρούς υπάρχουν συστήματα στις εξισώσεις των οποίων λείπουν κάποιες μεταβλητές, για παράδειγμα: 
Εδώ στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει μεταβλητή, στη δεύτερη δεν υπάρχει μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πολύ σημαντικό να γράψετε σωστά και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα: 
– Τα μηδενικά τοποθετούνται στη θέση των μεταβλητών που λείπουν.
Παρεμπιπτόντως, είναι λογικό να ανοίγουμε ορίζουσες με μηδενικά σύμφωνα με τη σειρά (στήλη) στην οποία βρίσκεται το μηδέν, καθώς υπάρχουν αισθητά λιγότεροι υπολογισμοί.
Παράδειγμα 10
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer. 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση (ένα δείγμα του τελικού σχεδίου και η απάντηση στο τέλος του μαθήματος).
Για την περίπτωση ενός συστήματος 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, οι τύποι του Cramer γράφονται σύμφωνα με παρόμοιες αρχές. Μπορείτε να δείτε ένα ζωντανό παράδειγμα στο μάθημα Properties of Determinants. Μείωση της σειράς της ορίζουσας - πέντε ορίζουσες 4ης τάξης είναι αρκετά επιλύσιμες. Αν και το έργο θυμίζει ήδη πολύ το παπούτσι ενός καθηγητή στο στήθος ενός τυχερού μαθητή.
Επίλυση του συστήματος με χρήση αντίστροφου πίνακα
Η μέθοδος της αντίστροφης μήτρας είναι ουσιαστικά ειδική περίπτωση εξίσωση μήτρας(Βλ. Παράδειγμα Νο. 3 του καθορισμένου μαθήματος).
Για να μελετήσετε αυτήν την ενότητα, πρέπει να είστε σε θέση να επεκτείνετε ορίζουσες, να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα και να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα. Σχετικοί σύνδεσμοι θα παρέχονται καθώς προχωρούν οι επεξηγήσεις.
Παράδειγμα 11
Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix 
Λύση: Ας γράψουμε το σύστημα σε μορφή πίνακα:
, Οπου 
Παρακαλούμε δείτε το σύστημα των εξισώσεων και των πινάκων. Νομίζω ότι όλοι κατανοούν την αρχή με την οποία γράφουμε στοιχεία σε πίνακες. Το μόνο σχόλιο: αν έλειπαν κάποιες μεταβλητές από τις εξισώσεις, τότε θα έπρεπε να τοποθετηθούν μηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις του πίνακα.
Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο:
, όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.
Αρχικά, ας δούμε τον προσδιοριστικό παράγοντα:
Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή.
Προσοχή! Εάν , τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει και είναι αδύνατο να λυθεί το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο της εξάλειψης αγνώστων (μέθοδος Gauss).
Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε 9 δευτερεύοντα και να τα γράψουμε στον πίνακα δευτερευόντων 
Αναφορά:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την έννοια των διπλών δεικτών στη γραμμική άλγεβρα. Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός της γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Το δεύτερο ψηφίο είναι ο αριθμός της στήλης στην οποία βρίσκεται το στοιχείο: 
Δηλαδή, ένας διπλός δείκτης υποδεικνύει ότι το στοιχείο βρίσκεται στην πρώτη σειρά, στην τρίτη στήλη και, για παράδειγμα, το στοιχείο βρίσκεται σε 3 σειρές, 2 στήλη
(μερικές φορές αυτή η μέθοδος ονομάζεται επίσης μέθοδος μήτρας ή μέθοδος αντίστροφης μήτρας) απαιτεί προκαταρκτική εξοικείωση με μια τέτοια έννοια όπως η μορφή μήτρας σημειογραφίας του SLAE. Η μέθοδος αντίστροφου πίνακα προορίζεται για την επίλυση των συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στα οποία η ορίζουσα του πίνακα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν. Φυσικά, αυτό προϋποθέτει ότι ο πίνακας του συστήματος είναι τετράγωνος (η έννοια της ορίζουσας υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακες). Η ουσία της μεθόδου αντίστροφης μήτρας μπορεί να εκφραστεί σε τρία σημεία:
- Καταγράψτε τρεις πίνακες: τον πίνακα συστήματος $A$, τον πίνακα των αγνώστων $X$, τον πίνακα των ελεύθερων όρων $B$.
- Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα $A^(-1)$.
- Χρησιμοποιώντας την ισότητα $X=A^(-1)\cdot B$, λάβετε μια λύση στο δεδομένο SLAE.
Οποιοδήποτε SLAE μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα ως $A\cdot X=B$, όπου $A$ είναι ο πίνακας του συστήματος, $B$ είναι ο πίνακας ελεύθερων όρων, $X$ είναι ο πίνακας αγνώστων. Ας υπάρχει ο πίνακας $A^(-1)$. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας $A\cdot X=B$ με τον πίνακα $A^(-1)$ στα αριστερά:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Εφόσον $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ είναι ο πίνακας ταυτότητας), η παραπάνω ισότητα γίνεται:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Αφού $E\cdot X=X$, τότε:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Παράδειγμα Νο. 1
Λύστε το SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Ας βρούμε τον αντίστροφο πίνακα προς τον πίνακα συστήματος, δηλ. Ας υπολογίσουμε $A^(-1)$. Στο παράδειγμα Νο 2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Τώρα ας αντικαταστήσουμε και τους τρεις πίνακες ($X$, $A^(-1)$, $B$) στην ισότητα $X=A^(-1)\cdot B$. Στη συνέχεια εκτελούμε πολλαπλασιασμό πίνακα
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$
Έτσι, πήραμε την ισότητα $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( πίνακας )\δεξιά)$. Από αυτή την ισότητα έχουμε: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Απάντηση: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Παράδειγμα Νο. 2
Επίλυση SLAE $ \αριστερά\(\αρχή(στοίχιση) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(στοίχιση)\δεξιά .$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα.
Ας γράψουμε τον πίνακα του συστήματος $A$, τον πίνακα των ελεύθερων όρων $B$ και τον πίνακα των αγνώστων $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Τώρα είναι η σειρά να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα προς τον πίνακα συστήματος, δηλ. βρείτε $A^(-1)$. Στο παράδειγμα Νο. 3 στη σελίδα που είναι αφιερωμένη στην εύρεση αντίστροφων πινάκων, ο αντίστροφος πίνακας έχει ήδη βρεθεί. Ας χρησιμοποιήσουμε το τελικό αποτέλεσμα και ας γράψουμε $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\right). $$
Τώρα ας αντικαταστήσουμε και τους τρεις πίνακες ($X$, $A^(-1)$, $B$) στην ισότητα $X=A^(-1)\cdot B$ και, στη συνέχεια, εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό πίνακα στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
Έτσι, πήραμε την ισότητα $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(πίνακας)\δεξιά)$. Από αυτή την ισότητα έχουμε: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.