Κλάσματα μιας μονάδας και παριστάνεται ως \frac(a)(b).

Αριθμητής του κλάσματος (α)- ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή κλάσματος και δείχνει τον αριθμό των μετοχών στις οποίες διαιρέθηκε η μονάδα.

Παρονομαστής κλάσματος (β)- ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από τη γραμμή του κλάσματος και δείχνει σε πόσα μέρη χωρίζεται η μονάδα.

Απόκρυψη Εμφάνισης

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

Αν ad=bc τότε δύο κλάσματα \frac(a)(b)Και \frac(c)(d)θεωρούνται ίσοι. Για παράδειγμα, τα κλάσματα θα είναι ίσα \frac35Και \frac(9)(15), αφού 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)Και \frac(24)(14), αφού 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Από τον ορισμό της ισότητας των κλασμάτων προκύπτει ότι τα κλάσματα θα είναι ίσα \frac(a)(b)Και \frac(am)(bm), αφού το a(bm)=b(am) είναι ένα σαφές παράδειγμα της χρήσης των συνδυαστικών και ανταλλάξιμων ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού φυσικούς αριθμούςΕν ΔΡΑΣΕΙ.

Που σημαίνει \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- έτσι φαίνεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Με άλλα λόγια, παίρνουμε ένα κλάσμα ίσο με το δεδομένο πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό.

Μείωση κλάσματοςείναι η διαδικασία αντικατάστασης ενός κλάσματος στο οποίο το νέο κλάσμα είναι ίσο με το αρχικό, αλλά με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή.

Συνηθίζεται η μείωση των κλασμάτων με βάση τη βασική ιδιότητα του κλάσματος.

Για παράδειγμα, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με τον αριθμό 3). το κλάσμα που προκύπτει μπορεί και πάλι να μειωθεί διαιρώντας με το 5, δηλαδή \frac(15)(20)=\frac 34.

Μη αναγώγιμο κλάσμαείναι ένα κλάσμα της μορφής \frac 34, όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι αμοιβαίοι πρώτοι αριθμοί. Ο κύριος σκοπός της μείωσης ενός κλάσματος είναι να γίνει το κλάσμα μη αναγώγιμο.

Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή

Ας πάρουμε δύο κλάσματα ως παράδειγμα: \frac(2)(3)Και \frac(5)(8)με διαφορετικούς παρονομαστές 3 και 8. Για να φέρουμε αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε πρώτα τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος \frac(2)(3)με 8. Παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος \frac(5)(8)με 3. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Έτσι, τα αρχικά κλάσματα ανάγονται σε έναν κοινό παρονομαστή 24.

Αριθμητικές πράξεις σε συνηθισμένα κλάσματα

Πρόσθεση συνηθισμένων κλασμάτων

α) Αν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος προστίθεται στον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος, αφήνοντας τον παρονομαστή ίδιο. Όπως μπορείτε να δείτε στο παράδειγμα:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

β) Για διαφορετικούς παρονομαστές, τα κλάσματα αρχικά ανάγεται σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια προστίθενται οι αριθμητές σύμφωνα με τον κανόνα α):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Αφαίρεση κλασμάτων

α) Αν οι παρονομαστές είναι ίδιοι, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφήνοντας τον παρονομαστή ίδιο:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

β) Αν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί, τότε πρώτα τα κλάσματα φέρονται σε κοινό παρονομαστή και μετά επαναλαμβάνονται οι ενέργειες όπως στο σημείο α).

Πολλαπλασιασμός κοινών κλασμάτων

Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων υπακούει στον ακόλουθο κανόνα:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

δηλαδή πολλαπλασιάζουν χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές.

Για παράδειγμα:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Διαίρεση κλασμάτων

Τα κλάσματα χωρίζονται με τον ακόλουθο τρόπο:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

δηλαδή ένα κλάσμα \frac(a)(b)πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα \frac(d)(c).

Παράδειγμα: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Αμοιβαίοι αριθμοί

Αν ab=1 , τότε ο αριθμός b είναι αμοιβαίος αριθμόςγια τον αριθμό α.

Παράδειγμα: για τον αριθμό 9 το αντίστροφο είναι \frac(1)(9), επειδή 9\cdot\frac(1)(9)=1, για τον αριθμό 5 - \frac(1)(5), επειδή 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Δεκαδικά

Δεκαδικόςονομάζεται ένα σωστό κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι 10, 1000, 10\.000, ..., 10^n.

Για παράδειγμα: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Με τον ίδιο τρόπο γράφονται και ακανόνιστοι αριθμοί με παρονομαστή 10^n ή μικτοί.

Για παράδειγμα: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό κλάσμα κοινό κλάσμαμε παρονομαστή που είναι διαιρέτης ορισμένης ισχύος του 10.

Παράδειγμα: Το 5 είναι διαιρέτης του 100, άρα είναι κλάσμα \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Αριθμητικές πράξεις σε δεκαδικούς αριθμούς

Προσθήκη δεκαδικών αριθμών

Για να προσθέσετε δύο δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να τα τακτοποιήσετε έτσι ώστε να υπάρχουν πανομοιότυπα ψηφία το ένα κάτω από το άλλο και ένα κόμμα κάτω από το κόμμα και, στη συνέχεια, να προσθέσετε τα κλάσματα όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί.

Αφαίρεση δεκαδικών αριθμών

Εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως η προσθήκη.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών

Κατά τον πολλαπλασιασμό δεκαδικοί αριθμοίΑρκεί να πολλαπλασιάσουμε τους δεδομένους αριθμούς, χωρίς να δίνουμε προσοχή στα κόμματα (όπως οι φυσικοί αριθμοί) και στην απάντηση που προκύπτει, ένα κόμμα στα δεξιά χωρίζει όσα ψηφία υπάρχουν μετά την υποδιαστολή και στους δύο παράγοντες συνολικά.

Ας πολλαπλασιάσουμε το 2,7 επί 1,3. Έχουμε 27 \cdot 13=351 . Διαχωρίζουμε δύο ψηφία στα δεξιά με κόμμα (ο πρώτος και ο δεύτερος αριθμός έχουν ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή· 1+1=2). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Εάν το αποτέλεσμα περιέχει λιγότερα ψηφία από αυτά που πρέπει να διαχωριστούν με κόμμα, τότε τα μηδενικά που λείπουν γράφονται μπροστά, για παράδειγμα:

Για να πολλαπλασιάσετε με 10, 100, 1000, πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή 1, 2, 3 ψηφία προς τα δεξιά (εάν είναι απαραίτητο, ένας ορισμένος αριθμός μηδενικών εκχωρείται στα δεξιά).

Για παράδειγμα: 1,47\cdot 10\.000 = 14.700.

Δεκαδική διαίρεση

Η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με έναν φυσικό αριθμό. Το κόμμα στο πηλίκο τοποθετείται αφού ολοκληρωθεί η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.

Αν το ακέραιο μέρος του μερίσματος μικρότερο από διαιρέτη, τότε η απάντηση αποδεικνύεται ότι είναι μηδέν ακέραιοι, για παράδειγμα:

Ας δούμε τη διαίρεση ενός δεκαδικού με ένα δεκαδικό. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 2,576 με το 1,12. Πρώτα απ 'όλα, ας πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και το διαιρέτη του κλάσματος με το 100, δηλαδή να μετακινήσουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά στο μέρισμα και τον διαιρέτη με τόσα ψηφία όσα υπάρχουν στον διαιρέτη μετά την υποδιαστολή (σε αυτό το παράδειγμα, δύο). Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα 257,6 με τον φυσικό αριθμό 112, δηλαδή, το πρόβλημα μειώνεται στην περίπτωση που έχει ήδη εξεταστεί:

Συμβαίνει ότι το τελικό αποτέλεσμα δεν επιτυγχάνεται πάντα δεκαδικόςόταν διαιρούμε έναν αριθμό με έναν άλλο. Το αποτέλεσμα είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, προχωράμε σε συνηθισμένα κλάσματα.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Περιεχόμενο μαθήματος

Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές

Υπάρχουν δύο τύποι προσθήκης κλασμάτων:

1. Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
2. Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μάθουμε την πρόσθεση κλασμάτων με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:

Παράδειγμα 2.Προσθέστε κλάσματα και .

Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Όταν έρθει το τέλος της εργασίας, είναι συνηθισμένο να απαλλαγούμε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του. Στην περίπτωσή μας, ολόκληρο το μέρος απομονώνεται εύκολα - δύο διαιρούνται με δύο ίσον ένα:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:

Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .

Και πάλι, αθροίζουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:

Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα πάρετε πίτσα:

Παράδειγμα 4.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

1. Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Τώρα ας μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν ίδιοι παρονομαστές.

Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν αμέσως, αφού αυτά τα κλάσματα διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο μία από αυτές, αφού οι άλλες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι πρώτα γίνεται αναζήτηση του LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος για να ληφθεί ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.

Στη συνέχεια, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1. Ας προσθέσουμε τα κλάσματα και

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6

LCM (2 και 3) = 6

Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λάβετε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.

Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, κάντε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώστε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.

Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος επιπλέον πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:

Τώρα τα έχουμε όλα έτοιμα για προσθήκη. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Αυτό συμπληρώνει το παράδειγμα. Αποδεικνύεται να προσθέσετε .

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσα σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο μιας πίτσας:

Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τα ίδια κομμάτια πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).

Το πρώτο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι), και το δεύτερο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Προσθέτοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι ακατάλληλο, οπότε τονίσαμε ολόκληρο το μέρος του. Ως αποτέλεσμα, πήραμε (μία ολόκληρη πίτσα και μια άλλη έκτη πίτσα).

Σημειώστε ότι έχουμε περιγράψει αυτό το παράδειγμαπολύ λεπτομερής. ΣΕ Εκπαιδευτικά ιδρύματαΔεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόση λεπτομέρεια. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν με τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:

Αλλά υπάρχει επίσης πίσω πλευράμετάλλια. Εάν δεν κρατάτε λεπτομερείς σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε αρχίζουν να εμφανίζονται ερωτήσεις αυτού του είδους. «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.

Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:

1. Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα.
3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
5. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα του.

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Ας χρησιμοποιήσουμε τις οδηγίες που δίνονται παραπάνω.

Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων

Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4

Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα

Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Τον γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέστε το:

Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν χωράει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή της νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.

Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα της

Η απάντησή μας αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να αναδείξουμε ένα ολόκληρο κομμάτι του. Τονίζουμε:

Λάβαμε απάντηση

Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές

Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:

1. Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

1. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
2. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της.

Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα επειδή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά δεν μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το δεύτερο κλάσμα.

Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1.Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Πρώτα βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12

LCM (3 και 4) = 12

Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράψτε ένα τέσσερα πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τρία στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα είμαστε έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Λάβαμε απάντηση

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Αν κόψεις πίτσα από πίτσα, παίρνεις πίτσα

Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα πιο σύντομα. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:

Η αναγωγή των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν σε ίσα μερίδια (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):

Η πρώτη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα), και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ας βρούμε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:

Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:

Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα κανονικό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο απλό. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να συντομεύσετε αυτό το κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (GCD) των αριθμών 20 και 30.

Έτσι, βρίσκουμε το gcd των αριθμών 20 και 30:

Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το gcd που βρέθηκε, δηλαδή με το 10

Λάβαμε απάντηση

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε ένα κλάσμα με τον αριθμό 1.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1

Η ηχογράφηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως η λήψη μισού χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα μια φορά, θα πάρετε πίτσα

Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο παράγοντας ανταλλάσσονται, το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος λειτουργεί:

Αυτός ο συμβολισμός μπορεί να γίνει κατανοητός ως λήψη του μισού του ενός. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4

Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε 4 πίτσες, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες

Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή, παίρνουμε την έκφραση . Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το τμήμα της.

Παράδειγμα 1.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λάβαμε απάντηση. Συνιστάται να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:

Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:

Θα φτιάξουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει η πίτσα όταν χωρίζεται σε τρία μέρη:

Ένα κομμάτι αυτής της πίτσας και τα δύο κομμάτια που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:

Με άλλα λόγια, μιλάμε γιαπερίπου στο ίδιο μέγεθος πίτσα. Επομένως η αξία της έκφρασης είναι

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:

Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση αποδείχθηκε κανονικό κλάσμα, αλλά καλό θα ήταν να συντομευόταν. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 105 και 450.

Λοιπόν, ας βρούμε το gcd των αριθμών 105 και 450:

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας με το gcd που βρήκαμε τώρα, δηλαδή με το 15

Αναπαράσταση ακέραιου αριθμού ως κλάσμα

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Αυτό δεν θα αλλάξει την έννοια του πέντε, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα" και αυτό, όπως γνωρίζουμε, είναι ίσο με πέντε:

Αμοιβαίοι αριθμοί

Τώρα θα εξοικειωθούμε με πολύ ενδιαφέρον θέμαστα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».

Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει ένα.

Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για τη μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:

Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει ένα.

Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό. Ας φανταστούμε το πέντε ως κλάσμα:

Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανάποδα:

Τι θα συμβεί ως αποτέλεσμα αυτού; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:

Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν πολλαπλασιάσετε το 5 με το παίρνετε ένα.

Το αντίστροφο ενός αριθμού μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.

Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο οποιουδήποτε άλλου κλάσματος. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αναποδογυρίστε το.

Διαιρώντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόση πίτσα θα πάρει κάθε άτομο;

Φαίνεται ότι μετά τη διαίρεση της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.

Η διαίρεση των κλασμάτων γίνεται με τη χρήση αντίστροφων. Αμοιβαίοι αριθμοίσας επιτρέπει να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με τον πολλαπλασιασμό.

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, θα γράψουμε τη διαίρεση της μισής μας πίτσας σε δύο μέρη.

Επομένως, πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα με τον αριθμό 2. Εδώ το μέρισμα είναι το κλάσμα και ο διαιρέτης είναι ο αριθμός 2.

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με τον αριθμό 2, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη 2. Το αντίστροφο του διαιρέτη 2 είναι το κλάσμα. Πρέπει λοιπόν να πολλαπλασιάσετε με

Ορισμός κοινού κλάσματος

Ορισμός 1

Τα κοινά κλάσματα χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τον αριθμό των μερών. Ας δούμε ένα παράδειγμα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ορισμό ενός κοινού κλάσματος.

Το μήλο χωρίστηκε σε μετοχές $8$. Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε μετοχή αντιπροσωπεύει το ένα όγδοο ενός ολόκληρου μήλου, δηλαδή $\frac(1)(8)$. Δύο μετοχές συμβολίζονται με $\frac(2)(8)$, τρεις μετοχές με $\frac(3)(8)$ κ.λπ. και οι μετοχές $8$ με $\frac(8)(8)$ . Κάθε μία από τις καταχωρήσεις που παρουσιάζονται καλείται συνηθισμένο κλάσμα.

Ας δώσουμε γενικός ορισμόςσυνηθισμένο κλάσμα.

Ορισμός 2

Κοινό κλάσμαονομάζεται συμβολισμός της μορφής $\frac(m)(n)$, όπου $m$ και $n$ είναι οποιοιδήποτε φυσικοί αριθμοί.

Μπορείτε συχνά να βρείτε τον ακόλουθο συμβολισμό για ένα κοινό κλάσμα: $m/n$.

Παράδειγμα 1

Παραδείγματα κοινών κλασμάτων:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Σημείωση 1

Αριθμοί $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ δεν είναι συνηθισμένα κλάσματα, γιατί δεν ταιριάζουν στον παραπάνω ορισμό.

Αριθμητής και παρονομαστής

Ένα κοινό κλάσμα αποτελείται από έναν αριθμητή και έναν παρονομαστή.

Ορισμός 3

ΑριθμητήςΈνα συνηθισμένο κλάσμα $\frac(m)(n)$ είναι ένας φυσικός αριθμός $m$, ο οποίος δείχνει τον αριθμό των ίσων μερών που λαμβάνονται από ένα ενιαίο σύνολο.

Ορισμός 4

ΠαρονομαστήςΈνα συνηθισμένο κλάσμα $\frac(m)(n)$ είναι ένας φυσικός αριθμός $n$, ο οποίος δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίζεται ολόκληρο το σύνολο.

Εικόνα 1.

Ο αριθμητής βρίσκεται πάνω από τη γραμμή του κλάσματος και ο παρονομαστής βρίσκεται κάτω από τη γραμμή του κλάσματος. Για παράδειγμα, ο αριθμητής του κοινού κλάσματος $\frac(5)(17)$ είναι ο αριθμός $5$ και ο παρονομαστής είναι ο αριθμός $17$. Ο παρονομαστής δείχνει ότι το στοιχείο διαιρείται σε μετοχές $17 $ και ο αριθμητής δείχνει ότι ελήφθησαν τέτοιες μετοχές $5 $.

Φυσικός αριθμός ως κλάσμα με παρονομαστή 1

Ο παρονομαστής ενός κοινού κλάσματος μπορεί να είναι ένας. Στην περίπτωση αυτή, το αντικείμενο θεωρείται αδιαίρετο, δηλ. αντιπροσωπεύει ένα ενιαίο σύνολο. Ο αριθμητής ενός τέτοιου κλάσματος δείχνει πόσα ολόκληρα αντικείμενα λαμβάνονται. Ένα συνηθισμένο κλάσμα της μορφής $\frac(m)(1)$ έχει την έννοια ενός φυσικού αριθμού $m$. Έτσι, λαμβάνουμε την καλά θεμελιωμένη ισότητα $\frac(m)(1)=m$.

Αν ξαναγράψουμε την ισότητα με τη μορφή $m=\frac(m)(1)$, τότε θα είναι δυνατή η αναπαράσταση οποιουδήποτε φυσικού αριθμού $m$ ως συνηθισμένο κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός $5$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα $\frac(5)(1)$, ο αριθμός $123\456$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα $\frac(123\456)(1)$.

Έτσι, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός $m$ μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα με παρονομαστή $1$ και οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα της μορφής $\frac(m)(1)$ μπορεί να αντικατασταθεί από έναν φυσικό αριθμό $m$.

Κλασματική ράβδος ως σημάδι διαίρεσης

Η αναπαράσταση ενός αντικειμένου με τη μορφή $n$ μερών είναι μια διαίρεση σε $n$ ίσα μέρη. Αφού διαιρέσετε ένα στοιχείο σε μερίδια $n$, μπορεί να μοιραστεί εξίσου μεταξύ $n$ ατόμων - το καθένα θα λάβει ένα μερίδιο.

Ας υπάρχουν $m$ πανομοιότυπα αντικείμενα χωρισμένα σε $n$ μέρη. Αυτά τα στοιχεία $m$ μπορούν να διαιρεθούν εξίσου μεταξύ $n$ ατόμων δίνοντας σε κάθε άτομο ένα μερίδιο από καθένα από τα $m$ στοιχεία. Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε άτομο θα λάβει μετοχές $m$ από $\frac(1)(n)$, οι οποίες δίνουν το κοινό κλάσμα $\frac(m)(n)$. Διαπιστώνουμε ότι το κοινό κλάσμα $\frac(m)(n)$ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει τη διαίρεση $m$ στοιχείων μεταξύ $n$ ατόμων.

Η σύνδεση μεταξύ συνηθισμένων κλασμάτων και διαίρεσης εκφράζεται στο γεγονός ότι η ράβδος κλασμάτων μπορεί να γίνει κατανοητή ως σύμβολο διαίρεσης, δηλ. $\frac(m)(n)=m:n$.

Ένα συνηθισμένο κλάσμα καθιστά δυνατή την καταγραφή του αποτελέσματος της διαίρεσης δύο φυσικών αριθμών για τους οποίους δεν εκτελείται ολόκληρη διαίρεση.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης μήλων $7$ με $9$ άτομα μπορεί να γραφτεί ως $\frac(7)(9)$, π.χ. όλοι θα λάβουν τα επτά ένατα ενός μήλου: $7:9=\frac(7)(9)$.

Ίσα και άνισα κλάσματα, σύγκριση κλασμάτων

Το αποτέλεσμα της σύγκρισης δύο συνηθισμένων κλασμάτων μπορεί να είναι είτε η ισότητα είτε η μη ισότητα τους. Όταν τα συνηθισμένα κλάσματα είναι ίσα, ονομάζονται ίσα, διαφορετικά τα συνηθισμένα κλάσματα ονομάζονται άνισα.

ίσος, εάν η ισότητα $a\cdot d=b\cdot c$ είναι αληθής.

Τα συνηθισμένα κλάσματα $\frac(a)(b)$ και $\frac(c)(d)$ ονομάζονται άνισος, εάν η ισότητα $a\cdot d=b\cdot c$ δεν ισχύει.

Παράδειγμα 3

Βρείτε αν τα κλάσματα $\frac(1)(3)$ και $\frac(2)(6)$ είναι ίσα.

Η ισότητα ικανοποιείται, πράγμα που σημαίνει ότι τα κλάσματα $\frac(1)(3)$ και $\frac(2)(6)$ είναι ίσα: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6) $.

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να εξεταστεί με χρήση μήλων: ένα από τα δύο πανομοιότυπα μήλα χωρίζεται σε τρία ίσα μερίδια, το δεύτερο σε μετοχές $6$. Μπορεί να φανεί ότι τα δύο έκτα ενός μήλου αποτελούν μερίδιο $\frac(1)(3)$.

Παράδειγμα 4

Ελέγξτε αν τα συνηθισμένα κλάσματα $\frac(3)(17)$ και $\frac(4)(13)$ είναι ίσα.

Ας ελέγξουμε αν ισχύει η ισότητα $a\cdot d=b\cdot c$:

\ \

Η ισότητα δεν ισχύει, πράγμα που σημαίνει ότι τα κλάσματα $\frac(3)(17)$ και $\frac(4)(13)$ δεν είναι ίσα: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

Συγκρίνοντας δύο κοινά κλάσματα και βρίσκοντας ότι δεν είναι ίσα, μπορείτε να μάθετε ποιο είναι μεγαλύτερο και ποιο μικρότερο από το άλλο. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον κανόνα για τη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων: πρέπει να φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να συγκρίνετε τους αριθμητές τους. Όποιο κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμητή, αυτό το κλάσμα θα είναι ο μεγαλύτερος.

Κλάσματα σε μια ακτίνα συντεταγμένων

Όλοι οι κλασματικοί αριθμοί που αντιστοιχούν σε συνηθισμένα κλάσματα μπορούν να εμφανιστούν σε μια ακτίνα συντεταγμένων.

Για να επισημάνετε ένα σημείο σε μια ακτίνα συντεταγμένων που αντιστοιχεί στο κλάσμα $\frac(m)(n)$, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε τμήματα $m$ από την αρχή των συντεταγμένων στη θετική κατεύθυνση, το μήκος των οποίων είναι $\ frac(1)(n)$ ένα κλάσμα ενός τμήματος μονάδας . Τέτοια τμήματα λαμβάνονται με διαίρεση ενός τμήματος μονάδας σε $n$ ίσα μέρη.

Για εμφάνιση σε ακτίνα συντεταγμένων ένας κλασματικός αριθμός, πρέπει να διαιρέσετε ένα ενιαίο τμήμα σε μέρη.

Σχήμα 2.

Τα ίσα κλάσματα περιγράφονται με τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλ. ίσα κλάσματα αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες του ίδιου σημείου στην ακτίνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ περιγράφουν το το ίδιο σημείο στην ακτίνα συντεταγμένων, αφού όλα τα γραμμένα κλάσματα είναι ίσα.

Εάν ένα σημείο περιγράφεται από μια συντεταγμένη με μεγαλύτερο κλάσμα, τότε θα βρίσκεται προς τα δεξιά σε μια οριζόντια ακτίνα συντεταγμένων που κατευθύνεται προς τα δεξιά από το σημείο του οποίου η συντεταγμένη είναι ένα μικρότερο κλάσμα. Για παράδειγμα, επειδή το κλάσμα $\frac(5)(6)$ είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα $\frac(2)(6)$, τότε το σημείο με συντεταγμένη $\frac(5)(6)$ βρίσκεται στα δεξιά του σημείο με συντεταγμένη $\frac(2) (6)$.

Ομοίως, ένα σημείο με μικρότερη συντεταγμένη θα βρίσκεται στα αριστερά ενός σημείου με μεγαλύτερη συντεταγμένη.

Κλάσμα- μια μορφή αναπαράστασης ενός αριθμού στα μαθηματικά. Η γραμμή κλάσματος υποδηλώνει την πράξη διαίρεσης. Αριθμητήςκλάσμα ονομάζεται μέρισμα, και παρονομαστής- διαχωριστικό. Για παράδειγμα, σε ένα κλάσμα ο αριθμητής είναι 5 και ο παρονομαστής είναι 7.

ΣωστόςΛέγεται ένα κλάσμα στο οποίο ο συντελεστής του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον συντελεστή του παρονομαστή. Εάν ένα κλάσμα είναι σωστό, τότε το μέτρο της τιμής του είναι πάντα μικρότερο από 1. Όλα τα άλλα κλάσματα είναι λανθασμένος.

Το κλάσμα λέγεται μικτός, αν γράφεται ως ακέραιος και κλάσμα. Αυτό είναι το ίδιο με το άθροισμα αυτού του αριθμού και του κλάσματος:

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει, δηλαδή, για παράδειγμα,

Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή

Για να φέρετε δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, χρειάζεστε:

1. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου
2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου
3. Αντικαταστήστε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων με το γινόμενο τους

Πράξεις με κλάσματα

Πρόσθεση.Για να προσθέσετε δύο κλάσματα χρειάζεστε

1. Προσθέστε τους νέους αριθμητές και των δύο κλασμάτων και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Αφαίρεση.Για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα άλλο, χρειάζεστε

1. Μείωση των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή
2. Αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός.Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους:

Διαίρεση.Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου:

Αυτό το άρθρο αφορά κοινά κλάσματα. Εδώ θα εισαγάγουμε την έννοια του κλάσματος ενός συνόλου, που θα μας οδηγήσει στον ορισμό ενός κοινού κλάσματος. Στη συνέχεια θα σταθούμε στον αποδεκτό συμβολισμό για τα συνηθισμένα κλάσματα και θα δώσουμε παραδείγματα κλασμάτων, ας πούμε για τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος. Μετά από αυτό, θα δώσουμε ορισμούς των σωστών και ακατάλληλων, θετικών και αρνητικών κλασμάτων και επίσης θα εξετάσουμε τη θέση των κλασματικών αριθμών στην ακτίνα συντεταγμένων. Συμπερασματικά, παραθέτουμε τις κύριες πράξεις με κλάσματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Μετοχές του συνόλου

Πρώτα εισάγουμε έννοια της μετοχής.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποιο αντικείμενο που αποτελείται από πολλά απολύτως πανομοιότυπα (δηλαδή ίσα) μέρη. Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να φανταστείτε, για παράδειγμα, ένα μήλο κομμένο σε πολλά ίσα μέρη ή ένα πορτοκάλι που αποτελείται από πολλές ίσες φέτες. Κάθε ένα από αυτά τα ίσα μέρη που αποτελούν ολόκληρο το αντικείμενο ονομάζεται μέρη του συνόλουή απλά μερίδια.

Σημειώστε ότι οι μετοχές είναι διαφορετικές. Ας το εξηγήσουμε αυτό. Ας έχουμε δύο μήλα. Κόβουμε το πρώτο μήλο σε δύο ίσα μέρη και το δεύτερο σε 6 ίσα μέρη. Είναι σαφές ότι το μερίδιο του πρώτου μήλου θα είναι διαφορετικό από το μερίδιο του δεύτερου μήλου.

Ανάλογα με τον αριθμό των μετοχών που απαρτίζουν ολόκληρο το αντικείμενο, αυτές οι μετοχές έχουν τα δικά τους ονόματα. Ας το τακτοποιήσουμε ονόματα κτυπημάτων. Εάν ένα αντικείμενο αποτελείται από δύο μέρη, οποιοδήποτε από αυτά ονομάζεται ένα δεύτερο μέρος ολόκληρου του αντικειμένου. αν ένα αντικείμενο αποτελείται από τρία μέρη, τότε οποιοδήποτε από αυτά ονομάζεται ένα τρίτο μέρος και ούτω καθεξής.

Ένα δευτερόλεπτο μετοχή έχει ένα ειδικό όνομα - Ήμισυ. Το ένα τρίτο καλείται τρίτοςκαι ένα τέταρτο μέρος - ένα τέταρτο.

Για λόγους συντομίας, εισήχθησαν τα ακόλουθα: σύμβολα beat. Μία δεύτερη μετοχή ορίζεται ως ή 1/2, μία τρίτη μετοχή ορίζεται ως ή 1/3. ένα τέταρτο μερίδιο - like ή 1/4, και ούτω καθεξής. Σημειώστε ότι ο συμβολισμός με οριζόντια γραμμή χρησιμοποιείται πιο συχνά. Για να ενισχύσουμε το υλικό, ας δώσουμε ένα ακόμη παράδειγμα: το λήμμα υποδηλώνει το εκατόν εξήντα έβδομο μέρος του συνόλου.

Η έννοια της μετοχής εκτείνεται φυσικά από τα αντικείμενα σε ποσότητες. Για παράδειγμα, ένα από τα μέτρα μήκους είναι το μέτρο. Για να μετρήσετε μήκη μικρότερα από ένα μέτρο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν κλάσματα ενός μέτρου. Έτσι, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για παράδειγμα, μισό μέτρο ή δέκατο ή χιλιοστό του μέτρου. Αντίστοιχα εφαρμόζονται και τα μερίδια άλλων ποσοτήτων.

Κοινά κλάσματα, ορισμός και παραδείγματα κλασμάτων

Για να περιγράψουμε τον αριθμό των μετοχών που χρησιμοποιούμε κοινά κλάσματα. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα που θα μας επιτρέψει να προσεγγίσουμε τον ορισμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Αφήνουμε το πορτοκάλι να αποτελείται από 12 μέρη. Κάθε μετοχή σε αυτή την περίπτωση αντιπροσωπεύει το ένα δωδέκατο ενός ολόκληρου πορτοκαλιού, δηλαδή . Συμβολίζουμε δύο κτύπους ως , τρεις παλμούς ως , και ούτω καθεξής, 12 παλμούς συμβολίζουμε ως . Κάθε μία από τις δεδομένες εγγραφές ονομάζεται συνηθισμένο κλάσμα.

Τώρα ας δώσουμε έναν γενικό ορισμός κοινών κλασμάτων.

Ο εκφρασμένος ορισμός των συνηθισμένων κλασμάτων μας επιτρέπει να δώσουμε παραδείγματα κοινών κλασμάτων: 5/10, , 21/1, 9/4, . Και ιδού τα ρεκόρ δεν ταιριάζουν με τον ορισμό των συνηθισμένων κλασμάτων, δηλαδή δεν είναι συνηθισμένα κλάσματα.

Αριθμητής και παρονομαστής

Για ευκολία, διακρίνονται τα συνηθισμένα κλάσματα αριθμητής και παρονομαστής.

Ορισμός.

Αριθμητήςτο συνηθισμένο κλάσμα (m/n) είναι ένας φυσικός αριθμός m.

Ορισμός.

Παρονομαστήςτο κοινό κλάσμα (m/n) είναι ένας φυσικός αριθμός n.

Έτσι, ο αριθμητής βρίσκεται πάνω από τη γραμμή του κλάσματος (στα αριστερά της κάθετου), και ο παρονομαστής βρίσκεται κάτω από τη γραμμή του κλάσματος (στα δεξιά της κάθετης). Για παράδειγμα, ας πάρουμε το κοινό κλάσμα 17/29, ο αριθμητής αυτού του κλάσματος είναι ο αριθμός 17 και ο παρονομαστής είναι ο αριθμός 29.

Απομένει να συζητήσουμε την έννοια που περιέχεται στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός συνηθισμένου κλάσματος. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος δείχνει από πόσα μέρη αποτελείται ένα αντικείμενο και ο αριθμητής, με τη σειρά του, δείχνει τον αριθμό τέτοιων μερών. Για παράδειγμα, ο παρονομαστής 5 του κλάσματος 12/5 σημαίνει ότι ένα αντικείμενο αποτελείται από πέντε μετοχές και ο αριθμητής 12 σημαίνει ότι λαμβάνονται 12 τέτοιες μετοχές.

Φυσικός αριθμός ως κλάσμα με παρονομαστή 1

Ο παρονομαστής ενός κοινού κλάσματος μπορεί να είναι ίσος με ένα. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αντικείμενο είναι αδιαίρετο, δηλαδή αντιπροσωπεύει κάτι ολόκληρο. Ο αριθμητής ενός τέτοιου κλάσματος δείχνει πόσα ολόκληρα αντικείμενα λαμβάνονται. Έτσι, ένα συνηθισμένο κλάσμα της μορφής m/1 έχει την έννοια ενός φυσικού αριθμού m. Έτσι τεκμηριώσαμε την εγκυρότητα της ισότητας m/1=m.

Ας ξαναγράψουμε την τελευταία ισότητα ως εξής: m=m/1. Αυτή η ισότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό m ως συνηθισμένο κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 είναι το κλάσμα 4/1 και ο αριθμός 103.498 είναι ίσος με το κλάσμα 103.498/1.

Ετσι, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός m μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα με παρονομαστή το 1 ως m/1 και οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα της μορφής m/1 μπορεί να αντικατασταθεί από έναν φυσικό αριθμό m.

Κλάσμα μπαρ ως σημάδι διαίρεσης

Η αναπαράσταση του αρχικού αντικειμένου με τη μορφή n μετοχών δεν είναι τίποτα άλλο από διαίρεση σε n ίσα μέρη. Αφού ένα στοιχείο χωριστεί σε n μετοχές, μπορούμε να το διαιρέσουμε εξίσου σε n άτομα - το καθένα θα λάβει ένα μερίδιο.

Αν αρχικά έχουμε m πανομοιότυπα αντικείμενα, καθένα από τα οποία χωρίζεται σε n μετοχές, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε εξίσου αυτά τα m αντικείμενα σε n άτομα, δίνοντας σε κάθε άτομο ένα μερίδιο από καθένα από τα m αντικείμενα. Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε άτομο θα έχει m μετοχές 1/n και m μετοχές 1/n δίνει το κοινό κλάσμα m/n. Έτσι, το κοινό κλάσμα m/n μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει τη διαίρεση των m στοιχείων μεταξύ n ατόμων.

Έτσι αποκτήσαμε μια ρητή σύνδεση μεταξύ των συνηθισμένων κλασμάτων και της διαίρεσης (δείτε τη γενική ιδέα της διαίρεσης των φυσικών αριθμών). Αυτή η σύνδεση εκφράζεται ως εξής: η κλασματική γραμμή μπορεί να γίνει κατανοητή ως σύμβολο διαίρεσης, δηλαδή m/n=m:n.

Χρησιμοποιώντας ένα συνηθισμένο κλάσμα, μπορείτε να γράψετε το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο φυσικών αριθμών για τους οποίους δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί ολόκληρη διαίρεση. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης 5 μήλων με 8 άτομα μπορεί να γραφτεί ως 5/8, δηλαδή, όλοι θα πάρουν τα πέντε όγδοα ενός μήλου: 5:8 = 5/8.

Ίσα και άνισα κλάσματα, σύγκριση κλασμάτων

Μια αρκετά φυσική δράση είναι συγκρίνοντας κλάσματα, γιατί είναι σαφές ότι το 1/12 ενός πορτοκαλιού είναι διαφορετικό από το 5/12 και το 1/6 ενός μήλου είναι το ίδιο με το άλλο 1/6 αυτού του μήλου.

Ως αποτέλεσμα της σύγκρισης δύο συνηθισμένων κλασμάτων, προκύπτει ένα από τα αποτελέσματα: τα κλάσματα είναι είτε ίσα είτε άνισα. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ίσα κοινά κλάσματακαι στο δεύτερο - άνισα συνηθισμένα κλάσματα. Ας δώσουμε έναν ορισμό των ίσων και άνισων συνηθισμένων κλασμάτων.

Ορισμός.

ίσος, αν η ισότητα a·d=b·c είναι αληθής.

Ορισμός.

Δύο κοινά κλάσματα α/β και γ/δ όχι ίσα, αν δεν ικανοποιείται η ισότητα a·d=b·c.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα ίσων κλασμάτων. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 1/2 είναι ίσο με το κλάσμα 2/4, αφού 1·4=2·2 (αν χρειάζεται, δείτε τους κανόνες και τα παραδείγματα πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών). Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να φανταστείτε δύο πανομοιότυπα μήλα, το πρώτο κόβεται στη μέση και το δεύτερο σε 4 μέρη. Είναι προφανές ότι δύο τέταρτα ενός μήλου ισούται με το 1/2 μερίδιο. Άλλα παραδείγματα ίσων κοινών κλασμάτων είναι τα κλάσματα 4/7 και 36/63 και το ζεύγος των κλασμάτων 81/50 και 1.620/1.000.

Όμως τα συνηθισμένα κλάσματα 4/13 και 5/14 δεν είναι ίσα, αφού 4·14=56, και 13·5=65, δηλαδή 4·14≠13·5. Άλλα παραδείγματα άνισων κοινών κλασμάτων είναι τα κλάσματα 17/7 και 6/4.

Εάν, κατά τη σύγκριση δύο κοινών κλασμάτων, αποδειχθεί ότι δεν είναι ίσα, τότε ίσως χρειαστεί να μάθετε ποιο από αυτά τα κοινά κλάσματα πιο λιγοδιαφορετικό, και ποιο - περισσότερο. Για να μάθετε, χρησιμοποιείται ο κανόνας για τη σύγκριση των συνηθισμένων κλασμάτων, η ουσία του οποίου είναι να φέρετε τα συγκριτικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να συγκρίνετε τους αριθμητές. Λεπτομερείς πληροφορίες για αυτό το θέμα συλλέγονται στο άρθρο σύγκριση κλασμάτων: κανόνες, παραδείγματα, λύσεις.

Κλασματικοί αριθμοί

Κάθε κλάσμα είναι μια σημειογραφία κλασματικός αριθμός. Δηλαδή, ένα κλάσμα είναι απλώς ένα «κέλυφος» ενός κλασματικού αριθμού, του εμφάνιση, και όλα σημασιολογικό φορτίοπεριέχεται ακριβώς στον κλασματικό αριθμό. Ωστόσο, για συντομία και ευκολία, οι έννοιες του κλάσματος και του κλασματικού αριθμού συνδυάζονται και ονομάζονται απλώς κλάσμα. Εδώ είναι σκόπιμο να παραφράσουμε μια γνωστή ρήση: λέμε κλάσμα - εννοούμε κλασματικό αριθμό, λέμε κλασματικό αριθμό - εννοούμε κλάσμα.

Κλάσματα σε μια ακτίνα συντεταγμένων

Όλοι οι κλασματικοί αριθμοί που αντιστοιχούν σε συνηθισμένα κλάσματα έχουν τη δική τους μοναδική θέση, δηλαδή υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των κλασμάτων και των σημείων της ακτίνας συντεταγμένων.

Για να φτάσετε στο σημείο της ακτίνας συντεταγμένων που αντιστοιχεί στο κλάσμα m/n, πρέπει να παραμερίσετε m τμήματα από την αρχή στη θετική κατεύθυνση, το μήκος των οποίων είναι 1/n κλάσμα ενός τμήματος μονάδας. Τέτοια τμήματα μπορούν να ληφθούν διαιρώντας ένα μοναδιαίο τμήμα σε n ίσα μέρη, κάτι που μπορεί πάντα να γίνει χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα.

Για παράδειγμα, ας δείξουμε το σημείο Μ στην ακτίνα συντεταγμένων, που αντιστοιχεί στο κλάσμα 14/10. Το μήκος ενός τμήματος με άκρα στο σημείο Ο και το πλησιέστερο σε αυτό σημείο, σημειωμένο με μια μικρή παύλα, είναι το 1/10 του μοναδιαίου τμήματος. Το σημείο με συντεταγμένη 14/10 αφαιρείται από την αρχή σε απόσταση 14 τέτοιων τμημάτων.

Τα ίσα κλάσματα αντιστοιχούν στον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή ίσα κλάσματα είναι οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου στην ακτίνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 αντιστοιχούν σε ένα σημείο της ακτίνας συντεταγμένων, αφού όλα τα γραμμένα κλάσματα είναι ίσα (βρίσκεται σε απόσταση μισού τμήματος μονάδας που ορίζεται από την αρχή προς τη θετική κατεύθυνση).

Σε μια οριζόντια και δεξιά ακτίνα συντεταγμένων, το σημείο του οποίου η συντεταγμένη είναι το μεγαλύτερο κλάσμα βρίσκεται στα δεξιά του σημείου του οποίου η συντεταγμένη είναι το μικρότερο κλάσμα. Ομοίως, ένα σημείο με μικρότερη συντεταγμένη βρίσκεται στα αριστερά ενός σημείου με μεγαλύτερη συντεταγμένη.

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα, ορισμοί, παραδείγματα

Μεταξύ των συνηθισμένων κλασμάτων υπάρχουν σωστά και ακατάλληλα κλάσματα. Αυτή η διαίρεση βασίζεται σε σύγκριση αριθμητή και παρονομαστή.

Ας ορίσουμε σωστά και ακατάλληλα συνηθισμένα κλάσματα.

Ορισμός.

Σωστό κλάσμα είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, δηλαδή αν m

Ορισμός.

Ακατάλληλο κλάσμαείναι ένα συνηθισμένο κλάσμα στο οποίο ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή, δηλαδή αν m≥n, τότε το συνηθισμένο κλάσμα είναι ακατάλληλο.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα κατάλληλων κλασμάτων: 1/4, , 32.765/909.003. Πράγματι, σε καθένα από τα γραπτά συνηθισμένα κλάσματα ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο που συγκρίνει φυσικούς αριθμούς), επομένως είναι σωστοί εξ ορισμού.

Ακολουθούν παραδείγματα ακατάλληλων κλασμάτων: 9/9, 23/4, . Πράγματι, ο αριθμητής του πρώτου από τα γραπτά συνηθισμένα κλάσματα είναι ίσος με τον παρονομαστή και στα υπόλοιπα κλάσματα ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.

Υπάρχουν επίσης ορισμοί για τα σωστά και τα ακατάλληλα κλάσματα, με βάση τη σύγκριση των κλασμάτων με ένα.

Ορισμός.

σωστός, εάν είναι μικρότερο από ένα.

Ορισμός.

Ένα συνηθισμένο κλάσμα ονομάζεται λανθασμένος, εάν είναι είτε ίσο με ένα είτε μεγαλύτερο από 1.

Άρα το κοινό κλάσμα 7/11 είναι σωστό, αφού 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 και 27/27=1.

Ας σκεφτούμε πώς συνηθισμένα κλάσματα με αριθμητή μεγαλύτερο ή ίσο με τον παρονομαστή αξίζουν ένα τέτοιο όνομα - "ακατάλληλο".

Για παράδειγμα, ας πάρουμε το ακατάλληλο κλάσμα 9/9. Αυτό το κλάσμα σημαίνει ότι λαμβάνονται εννέα μέρη ενός αντικειμένου που αποτελείται από εννέα μέρη. Δηλαδή, από τα διαθέσιμα εννέα μέρη μπορούμε να φτιάξουμε ένα ολόκληρο αντικείμενο. Δηλαδή, το ακατάλληλο κλάσμα 9/9 δίνει ουσιαστικά ολόκληρο το αντικείμενο, δηλαδή 9/9 = 1. Γενικά, τα ακατάλληλα κλάσματα με αριθμητή ίσο με τον παρονομαστή δηλώνουν ένα ολόκληρο αντικείμενο και ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί να αντικατασταθεί από τον φυσικό αριθμό 1.

Τώρα εξετάστε τα ακατάλληλα κλάσματα 7/3 και 12/4. Είναι προφανές ότι από αυτά τα επτά τρίτα μέρη μπορούμε να συνθέσουμε δύο ολόκληρα αντικείμενα (ένα ολόκληρο αντικείμενο αποτελείται από 3 μέρη, στη συνέχεια για να συνθέσουμε δύο ολόκληρα αντικείμενα θα χρειαστούμε 3 + 3 = 6 μέρη) και θα μείνει ακόμα ένα τρίτο μέρος . Δηλαδή το ακατάλληλο κλάσμα 7/3 σημαίνει ουσιαστικά 2 αντικείμενα και επίσης το 1/3 ενός τέτοιου αντικειμένου. Και από δώδεκα τέταρτα μέρη μπορούμε να φτιάξουμε τρία ολόκληρα αντικείμενα (τρία αντικείμενα με τέσσερα μέρη το καθένα). Δηλαδή το κλάσμα 12/4 σημαίνει ουσιαστικά 3 ολόκληρα αντικείμενα.

Τα παραδείγματα που εξετάστηκαν μας οδηγούν στο εξής συμπέρασμα: τα ακατάλληλα κλάσματα μπορούν να αντικατασταθούν είτε με φυσικούς αριθμούς, όταν ο αριθμητής διαιρείται ομοιόμορφα με τον παρονομαστή (για παράδειγμα, 9/9=1 και 12/4=3), είτε με το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός σωστού κλάσματος, όταν ο αριθμητής δεν διαιρείται ομοιόμορφα με τον παρονομαστή (π.χ. 7/3=2+1/3). Ίσως αυτό είναι ακριβώς που κέρδισε τα ακατάλληλα κλάσματα το όνομα «ακανόνιστο».

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η αναπαράσταση ενός ακατάλληλου κλάσματος ως το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός σωστού κλάσματος (7/3=2+1/3). Αυτή η διαδικασία ονομάζεται διαχωρισμός ολόκληρου του τμήματος από ένα ακατάλληλο κλάσμα και αξίζει ξεχωριστή και πιο προσεκτική εξέταση.

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι υπάρχει μια πολύ στενή σχέση μεταξύ ακατάλληλων κλασμάτων και μικτών αριθμών.

Θετικά και αρνητικά κλάσματα

Κάθε κοινό κλάσμα αντιστοιχεί σε έναν θετικό κλασματικό αριθμό (δείτε το άρθρο για τους θετικούς και αρνητικούς αριθμούς). Δηλαδή τα συνηθισμένα κλάσματα είναι θετικά κλάσματα. Για παράδειγμα, τα κοινά κλάσματα 1/5, 56/18, 35/144 είναι θετικά κλάσματα. Όταν πρέπει να επισημάνετε τη θετικότητα ενός κλάσματος, ένα σύμβολο συν τοποθετείται μπροστά του, για παράδειγμα, +3/4, +72/34.

Εάν βάλετε ένα σύμβολο μείον μπροστά από ένα κοινό κλάσμα, τότε αυτή η καταχώρηση θα αντιστοιχεί σε έναν αρνητικό κλασματικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να μιλήσουμε για αρνητικά κλάσματα. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα αρνητικών κλασμάτων: −6/10, −65/13, −1/18.

Τα θετικά και αρνητικά κλάσματα m/n και −m/n είναι αντίθετοι αριθμοί. Για παράδειγμα, τα κλάσματα 5/7 και −5/7 είναι αντίθετα κλάσματα.

Τα θετικά κλάσματα, όπως οι θετικοί αριθμοί γενικά, δηλώνουν μια πρόσθεση, ένα εισόδημα, μια ανοδική αλλαγή σε οποιαδήποτε τιμή κ.λπ. Τα αρνητικά κλάσματα αντιστοιχούν σε έξοδο, χρέος ή μείωση σε οποιαδήποτε ποσότητα. Για παράδειγμα, το αρνητικό κλάσμα −3/4 μπορεί να ερμηνευθεί ως χρέος του οποίου η αξία είναι ίση με 3/4.

Σε οριζόντια και δεξιά κατεύθυνση, τα αρνητικά κλάσματα βρίσκονται στα αριστερά της αρχής. Τα σημεία της γραμμής συντεταγμένων, των οποίων οι συντεταγμένες είναι το θετικό κλάσμα m/n και το αρνητικό κλάσμα −m/n, βρίσκονται στην ίδια απόσταση από την αρχή, αλλά σε αντίθετες πλευρές του σημείου Ο.

Εδώ αξίζει να αναφέρουμε κλάσματα της μορφής 0/n. Τα κλάσματα αυτά είναι ίσα με τον αριθμό μηδέν, δηλαδή 0/n=0.

Θετικά κλάσματα, αρνητικά κλάσματα και 0/n κλάσματα συνδυάζονται για να σχηματίσουν ρητούς αριθμούς.

Πράξεις με κλάσματα

Έχουμε ήδη συζητήσει μια ενέργεια με συνηθισμένα κλάσματα - συγκρίνοντας κλάσματα - παραπάνω. Ορίζονται ακόμη τέσσερις αριθμητικές συναρτήσεις πράξεις με κλάσματα– πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων. Ας δούμε το καθένα από αυτά.

Η γενική ουσία των πράξεων με κλάσματα είναι παρόμοια με την ουσία των αντίστοιχων πράξεων με φυσικούς αριθμούς. Ας κάνουμε μια αναλογία.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτωνμπορεί να θεωρηθεί ως η ενέργεια εύρεσης ενός κλάσματος από ένα κλάσμα. Για να διευκρινίσουμε, ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας έχουμε το 1/6 ενός μήλου και πρέπει να πάρουμε τα 2/3 του. Το μέρος που χρειαζόμαστε είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων 1/6 και 2/3. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο συνηθισμένων κλασμάτων είναι ένα συνηθισμένο κλάσμα (το οποίο σε ειδική περίπτωση ισούται με φυσικό αριθμό). Στη συνέχεια, σας συνιστούμε να μελετήσετε τις πληροφορίες στο άρθρο Πολλαπλασιασμός κλασμάτων - Κανόνες, Παραδείγματα και Λύσεις.

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά: εγχειρίδιο για την Ε' τάξη. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Vilenkin N.Ya. και άλλα.Μαθηματικά. Στ΄ τάξη: εγχειρίδιο για τα ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).