Στο τελευταίο μάθημα, μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε δεκαδικά ψηφία (βλ. μάθημα «Προσθήκη και αφαίρεση δεκαδικών»). Ταυτόχρονα, αξιολογήσαμε πόσο απλοποιούνται οι υπολογισμοί σε σύγκριση με τα συνηθισμένα κλάσματα «διώροφων».
Δυστυχώς, με πολλαπλασιασμό και διαίρεση δεκαδικάδεν υπάρχει τέτοιο αποτέλεσμα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο δεκαδικός συμβολισμός περιπλέκει ακόμη και αυτές τις λειτουργίες.
Αρχικά, ας εισαγάγουμε έναν νέο ορισμό. Θα τον βλέπουμε αρκετά συχνά, και όχι μόνο σε αυτό το μάθημα.
Το σημαντικό μέρος ενός αριθμού είναι οτιδήποτε μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου μη μηδενικού ψηφίου, συμπεριλαμβανομένων των άκρων. Είναι περίπουμόνο για αριθμούς, η υποδιαστολή δεν λαμβάνεται υπόψη.
Οι αριθμοί που περιλαμβάνονται στο σημαντικό μέροςΟι αριθμοί ονομάζονται σημαντικοί αριθμοί. Μπορούν να επαναληφθούν και να είναι ίσες με μηδέν.
Για παράδειγμα, εξετάστε πολλά δεκαδικά κλάσματα και γράψτε τα αντίστοιχα σημαντικά μέρη:
- 91,25 → 9125 (σημαντικοί αριθμοί: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (σημαντικοί αριθμοί: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (σημαντικοί αριθμοί: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (σημαντικοί αριθμοί: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (υπάρχει μόνο ένας σημαντικός αριθμός: 3).
Προσοχή: τα μηδενικά μέσα στο σημαντικό μέρος του αριθμού δεν πάνε πουθενά. Έχουμε ήδη συναντήσει κάτι παρόμοιο όταν μάθαμε να μετατρέπουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα (βλ. μάθημα «Δεκαδικά»).
Αυτό το σημείο είναι τόσο σημαντικό και γίνονται λάθη εδώ τόσο συχνά, που στο εγγύς μέλλον θα δημοσιεύσω μια δοκιμή για αυτό το θέμα. Φροντίστε να εξασκηθείτε! Και εμείς, οπλισμένοι με την έννοια του σημαντικού μέρους, θα προχωρήσουμε, μάλιστα, στο θέμα του μαθήματος.
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών
Η λειτουργία πολλαπλασιασμού αποτελείται από τρία διαδοχικά βήματα:
- Για κάθε κλάσμα σημειώστε το σημαντικό μέρος. Θα λάβετε δύο συνηθισμένους ακέραιους αριθμούς - χωρίς παρονομαστές και δεκαδικά ψηφία.
- Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς με οποιονδήποτε βολικό τρόπο. Απευθείας, αν οι αριθμοί είναι μικροί, ή σε στήλη. Λαμβάνουμε το σημαντικό μέρος του επιθυμητού κλάσματος.
- Μάθετε πού και με πόσα ψηφία μετατοπίζεται η υποδιαστολή στα αρχικά κλάσματα για να ληφθεί το αντίστοιχο σημαντικό μέρος. Εκτελέστε αντίστροφες μετατοπίσεις για το σημαντικό μέρος που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα.
Να θυμίσω για άλλη μια φορά ότι τα μηδενικά στις πλευρές του σημαντικού μέρους δεν λαμβάνονται ποτέ υπόψη. Η παράβλεψη αυτού του κανόνα οδηγεί σε σφάλματα.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Δουλεύουμε με την πρώτη έκφραση: 0,28 · 12,5.
- Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη για τους αριθμούς από αυτήν την έκφραση: 28 και 125.
- Το γινόμενο τους: 28 · 125 = 3500;
- Στον πρώτο παράγοντα η υποδιαστολή μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά (0,28 → 28), και στον δεύτερο μετατοπίζεται κατά 1 ακόμη ψηφίο. Συνολικά, χρειάζεστε μια μετατόπιση προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία: 3500 → 3.500 = 3,5.
Ας δούμε τώρα την έκφραση 6.3 · 1.08.
- Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη: 63 και 108.
- Το γινόμενο τους: 63 · 108 = 6804;
- Και πάλι, δύο μετατοπίσεις προς τα δεξιά: κατά 2 και 1 ψηφίο, αντίστοιχα. Σύνολο - πάλι 3 ψηφία προς τα δεξιά, οπότε η αντίστροφη μετατόπιση θα είναι 3 ψηφία προς τα αριστερά: 6804 → 6.804. Αυτή τη φορά δεν υπάρχουν τελικά μηδενικά.
Φτάσαμε στην τρίτη έκφραση: 132,5 · 0,0034.
- Σημαντικά μέρη: 1325 και 34;
- Το γινόμενο τους: 1325 · 34 = 45.050;
- Στο πρώτο κλάσμα, η υποδιαστολή μετακινείται προς τα δεξιά κατά 1 ψηφίο και στο δεύτερο - κατά 4. Σύνολο: 5 προς τα δεξιά. Μετατοπίζουμε κατά 5 προς τα αριστερά: 45.050 → .45050 = 0.4505. Το μηδέν αφαιρέθηκε στο τέλος και προστέθηκε στο μπροστινό μέρος για να μην αφήσει μια «γυμνή» υποδιαστολή.
Η ακόλουθη έκφραση είναι: 0,0108 · 1600,5.
- Γράφουμε τα σημαντικά μέρη: 108 και 16 005.
- Τα πολλαπλασιάζουμε: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Μετράμε τους αριθμούς μετά την υποδιαστολή: στον πρώτο αριθμό είναι 4, στον δεύτερο είναι 1. Το σύνολο είναι πάλι 5. Έχουμε: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Στο τέλος αφαιρέθηκε το «έξτρα» μηδέν.
Τέλος, η τελευταία έκφραση: 5,25 10.000.
- Σημαντικά μέρη: 525 και 1;
- Τα πολλαπλασιάζουμε: 525 · 1 = 525;
- Το πρώτο κλάσμα μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά και το δεύτερο κλάσμα μετατοπίζεται 4 ψηφία προς τα αριστερά (10.000 → 1.0000 = 1). Σύνολο 4 − 2 = 2 ψηφία προς τα αριστερά. Εκτελούμε αντίστροφη μετατόπιση κατά 2 ψηφία προς τα δεξιά: 525, → 52.500 (έπρεπε να προσθέσουμε μηδενικά).
Σημείωση στο τελευταίο παράδειγμα: εφόσον η υποδιαστολή κινείται προς διαφορετικές κατευθύνσεις, η συνολική μετατόπιση βρίσκεται μέσω της διαφοράς. Αυτό είναι πολύ σημαντικό σημείο! Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:
Θεωρήστε τους αριθμούς 1,5 και 12,500. Έχουμε: 1,5 → 15 (μετατόπιση κατά 1 προς τα δεξιά); 12.500 → 125 (μετατόπιση 2 προς τα αριστερά). Πηγαίνουμε 1 ψηφίο προς τα δεξιά και μετά 2 προς τα αριστερά. Ως αποτέλεσμα, περάσαμε 2 − 1 = 1 ψηφίο προς τα αριστερά.
Δεκαδική διαίρεση
Η διαίρεση είναι ίσως η πιο δύσκολη επιχείρηση. Φυσικά, εδώ μπορείτε να ενεργήσετε αναλογικά με τον πολλαπλασιασμό: διαιρέστε τα σημαντικά μέρη και, στη συνέχεια, «μετακινήστε» την υποδιαστολή. Αλλά σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν πολλές λεπτές αποχρώσεις που αναιρούν πιθανές οικονομίες.
Επομένως, ας δούμε έναν καθολικό αλγόριθμο, ο οποίος είναι λίγο μεγαλύτερος, αλλά πολύ πιο αξιόπιστος:
- Μετατρέψτε όλα τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα. Με λίγη εξάσκηση, αυτό το βήμα θα σας πάρει μερικά δευτερόλεπτα.
- Διαιρέστε τα κλάσματα που προκύπτουν με τον κλασικό τρόπο. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο (βλ. μάθημα "Πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμητικών κλασμάτων").
- Εάν είναι δυνατόν, παρουσιάστε ξανά το αποτέλεσμα ως δεκαδικό κλάσμα. Αυτό το βήμα είναι επίσης γρήγορο, αφού ο παρονομαστής είναι συχνά ήδη δύναμη του δέκα.
Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Ας εξετάσουμε την πρώτη έκφραση. Αρχικά, ας μετατρέψουμε τα κλάσματα σε δεκαδικά:
Ας κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος θα παραγοντοποιηθεί ξανά:
Υπάρχει ένα σημαντικό σημείο στο τρίτο και τέταρτο παράδειγμα: αφού απαλλαγούμε από τον δεκαδικό συμβολισμό, εμφανίζονται αναγώγιμα κλάσματα. Ωστόσο, δεν θα πραγματοποιήσουμε αυτή τη μείωση.
Το τελευταίο παράδειγμα είναι ενδιαφέρον γιατί ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος περιέχει έναν πρώτο αριθμό. Απλώς δεν υπάρχει τίποτα να παραγοντοποιήσουμε εδώ, οπότε το θεωρούμε ευθύ:
Μερικές φορές η διαίρεση καταλήγει σε έναν ακέραιο (μιλάω για το τελευταίο παράδειγμα). Σε αυτή την περίπτωση, το τρίτο βήμα δεν εκτελείται καθόλου.
Επιπλέον, κατά τη διαίρεση, συχνά προκύπτουν «άσχημα» κλάσματα που δεν μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικά. Αυτό διακρίνει τη διαίρεση από τον πολλαπλασιασμό, όπου τα αποτελέσματα αναπαρίστανται πάντα σε δεκαδική μορφή. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση το τελευταίο βήμα και πάλι δεν εκτελείται.
Δώστε επίσης προσοχή στο 3ο και 4ο παράδειγμα. Σε αυτά, σκόπιμα δεν μειώνουμε τα συνηθισμένα κλάσματα που λαμβάνονται από δεκαδικούς. Διαφορετικά, αυτό θα περιπλέξει την αντίστροφη εργασία - αντιπροσωπεύοντας την τελική απάντηση ξανά σε δεκαδική μορφή.
Θυμηθείτε: η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος (όπως κάθε άλλος κανόνας στα μαθηματικά) από μόνη της δεν σημαίνει ότι πρέπει να εφαρμόζεται παντού και πάντα, με κάθε ευκαιρία.
ΕΓΩ. Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με φυσικός αριθμός, πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα με αυτόν τον αριθμό, όπως διαιρείτε τους φυσικούς αριθμούς και να βάλετε κόμμα στο πηλίκο όταν ολοκληρωθεί η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.
Παραδείγματα.
Εκτελέστε διαίρεση: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.
Λύση.
Παράδειγμα 1) 96,25: 5.
Διαιρούμε με μια «γωνία» με τον ίδιο τρόπο που διαιρούνται οι φυσικοί αριθμοί. Αφού κατεβάσουμε τον αριθμό 2 (ο αριθμός των δέκατων είναι το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή στο μέρισμα 96, 2 5), στο πηλίκο βάζουμε κόμμα και συνεχίζουμε τη διαίρεση.
Απάντηση: 19,25.
Παράδειγμα 2) 4,78: 4.
Διαιρούμε όπως διαιρούνται οι φυσικοί αριθμοί. Στο πηλίκο θα βάλουμε κόμμα μόλις το αφαιρέσουμε 7
— το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή στο μέρισμα 4, 7
8. Συνεχίζουμε τη διαίρεση περαιτέρω. Αφαιρώντας 38-36 παίρνουμε 2, αλλά η διαίρεση δεν ολοκληρώνεται. Πώς προχωράμε; Γνωρίζουμε ότι μπορούν να προστεθούν μηδενικά στο τέλος ενός δεκαδικού κλάσματος - αυτό δεν θα αλλάξει την τιμή του κλάσματος. Εκχωρούμε μηδέν και διαιρούμε το 20 με το 4. Παίρνουμε 5 - η διαίρεση έχει τελειώσει.
Απάντηση: 1,195.
Παράδειγμα 3) 183,06: 45.
Διαιρέστε το 18306 με το 45. Στο πηλίκο βάζουμε κόμμα μόλις αφαιρέσουμε τον αριθμό 0
— το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή στο μέρισμα 183, 0
6. Ακριβώς όπως στο παράδειγμα 2), έπρεπε να αντιστοιχίσουμε μηδέν στον αριθμό 36 - τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 306 και 270.
Απάντηση: 4,068.
συμπέρασμα: όταν διαιρούμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό σε ιδιωτική βάζουμε κόμμα αμέσως μετά κατεβάζουμε το νούμερο στη δέκατη θέση του μερίσματος. Σημείωση: όλα τονίζονται αριθμοί με κόκκινο χρώμα σε αυτά τα τρία παραδείγματα ανήκουν στην κατηγορία δέκατα του μερίσματος.
II. Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10, 100, 1000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά 1, 2, 3, κ.λπ. ψηφία.
Παραδείγματα.
Εκτέλεση διαίρεσης: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.
Λύση.
Η μετακίνηση της υποδιαστολής προς τα αριστερά εξαρτάται από το πόσα μηδενικά μετά το ένα βρίσκονται στον διαιρέτη. Έτσι, όταν διαιρούμε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10
θα μεταφέρουμε στο μέρισμα κόμμα στα αριστερά ενός ψηφίου; όταν διαιρείται με 100
- μετακινήστε το κόμμα άφησε δύο ψηφία; όταν διαιρείται με 1000
μετατροπή σε αυτό το δεκαδικό κλάσμα κόμμα τρία ψηφία προς τα αριστερά.
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε μια τόσο σημαντική πράξη με δεκαδικούς όπως η διαίρεση. Πρώτα ας διατυπώσουμε γενικές αρχές, τότε θα δούμε πώς να διαιρέσουμε σωστά τα δεκαδικά κλάσματα με στήλες τόσο με άλλα κλάσματα όσο και με φυσικούς αριθμούς. Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε τη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά και αντίστροφα, και στο τέλος θα δούμε πώς να διαιρέσουμε σωστά τα κλάσματα που τελειώνουν σε 0, 1, 0, 01, 100, 10 κ.λπ.
Εδώ θα πάρουμε μόνο περιπτώσεις με θετικά κλάσματα. Εάν υπάρχει ένα μείον μπροστά από το κλάσμα, τότε για να λειτουργήσετε με αυτό πρέπει να μελετήσετε υλικό σχετικά με τη διαίρεση ορθολογικών και πραγματικών αριθμών.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Όλα τα δεκαδικά κλάσματα, τόσο πεπερασμένα όσο και περιοδικά, είναι απλώς μια ειδική μορφή γραφής συνηθισμένων κλασμάτων. Επομένως, υπόκεινται στις ίδιες αρχές με τα αντίστοιχα συνηθισμένα τους κλάσματα. Έτσι, μειώνουμε ολόκληρη τη διαδικασία διαίρεσης των δεκαδικών κλασμάτων στην αντικατάστασή τους με συνηθισμένα, ακολουθούμενη από υπολογισμό χρησιμοποιώντας μεθόδους ήδη γνωστές σε εμάς. Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
Παράδειγμα 1
Διαιρέστε το 1,2 με το 0,48.
Λύση
Ας γράψουμε τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Θα πάρουμε:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Επομένως, πρέπει να διαιρέσουμε το 6 5 με το 12 25. Μετράμε:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Από το προκύπτον ακατάλληλο κλάσμαμπορείτε να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος και να πάρετε μικτός αριθμός 2 1 2, ή μπορείτε να το αναπαραστήσετε ως δεκαδικό κλάσμα έτσι ώστε να αντιστοιχεί στους αρχικούς αριθμούς: 5 2 = 2, 5. Έχουμε ήδη γράψει για το πώς να το κάνουμε αυτό νωρίτερα.
Απάντηση: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε πόσο θα είναι το 0 , (504) 0 , 56.
Λύση
Αρχικά, πρέπει να μετατρέψουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα σε κοινό κλάσμα.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Μετά από αυτό, θα μετατρέψουμε επίσης το τελικό δεκαδικό κλάσμα σε άλλη μορφή: 0, 56 = 56.100. Τώρα έχουμε δύο αριθμούς με τους οποίους θα είναι εύκολο για εμάς να κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Έχουμε ένα αποτέλεσμα που μπορούμε να το μετατρέψουμε και σε δεκαδικό. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στήλης:
Απάντηση: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Αν στο παράδειγμα της διαίρεσης συναντήσαμε μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, τότε θα ενεργήσουμε λίγο διαφορετικά. Δεν μπορούμε να τα αναγάγουμε στα συνηθισμένα συνηθισμένα κλάσματα, οπότε κατά τη διαίρεση πρέπει πρώτα να τα στρογγυλοποιήσουμε σε ένα συγκεκριμένο ψηφίο. Αυτή η ενέργεια πρέπει να εκτελεστεί τόσο με το μέρισμα όσο και με τον διαιρέτη: θα στρογγυλοποιήσουμε επίσης το υπάρχον πεπερασμένο ή περιοδικό κλάσμα για λόγους ακρίβειας.
Παράδειγμα 3
Βρείτε πόσο είναι το 0,779... / 1,5602.
Λύση
Αρχικά, στρογγυλοποιούμε και τα δύο κλάσματα στο πλησιέστερο εκατοστό. Έτσι κινούμαστε από άπειρα μη περιοδικά κλάσματα σε πεπερασμένα δεκαδικά:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Μπορούμε να συνεχίσουμε τους υπολογισμούς και να πάρουμε ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78.100: 156.100 = 78.100 100.156 = 78.156 = 0,12.
Η ακρίβεια του αποτελέσματος θα εξαρτηθεί από τον βαθμό στρογγυλοποίησης.
Απάντηση: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Πώς να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα δεκαδικό και αντίστροφα
Η προσέγγιση της διαίρεσης σε αυτή την περίπτωση είναι σχεδόν η ίδια: αντικαθιστούμε πεπερασμένα και περιοδικά κλάσματα με συνηθισμένα και στρογγυλοποιούμε άπειρα μη περιοδικά. Ας ξεκινήσουμε με το παράδειγμα της διαίρεσης με φυσικό αριθμό και δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα 4
Διαιρέστε το 2,5 με το 45.
Λύση
Ας μειώσουμε το 2, 5 στη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος: 255 10 = 51 2. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να το διαιρέσουμε με έναν φυσικό αριθμό. Ξέρουμε ήδη πώς να το κάνουμε αυτό:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Αν μετατρέψουμε το αποτέλεσμα σε δεκαδικό συμβολισμό, παίρνουμε 0,5 (6).
Απάντηση: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Η μέθοδος μακράς διαίρεσης είναι καλή όχι μόνο για φυσικούς αριθμούς. Κατ' αναλογία, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για κλάσματα. Παρακάτω αναφέρουμε τη σειρά των ενεργειών που πρέπει να πραγματοποιηθούν για αυτό.
Ορισμός 1
Για να διαιρέσετε μια στήλη δεκαδικών κλασμάτων με φυσικούς αριθμούς χρειάζεστε:
1. Προσθέστε μερικά μηδενικά στο δεκαδικό κλάσμα στα δεξιά (για διαίρεση μπορούμε να προσθέσουμε όποιον αριθμό από αυτά χρειαζόμαστε).
2. Διαιρέστε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο. Όταν τελειώσει η διαίρεση ολόκληρου του κλάσματος, βάζουμε κόμμα στο πηλίκο που προκύπτει και μετράμε περαιτέρω.
Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαίρεσης μπορεί να είναι είτε ένα πεπερασμένο είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Εξαρτάται από το υπόλοιπο: αν είναι μηδέν, τότε το αποτέλεσμα θα είναι πεπερασμένο και αν τα υπόλοιπα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται, τότε η απάντηση θα είναι ένα περιοδικό κλάσμα.
Ας πάρουμε πολλά προβλήματα ως παράδειγμα και ας προσπαθήσουμε να εκτελέσουμε αυτά τα βήματα με συγκεκριμένους αριθμούς.
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε πόσο θα είναι το 65, το 14 4.
Λύση
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο στήλης. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε δύο μηδενικά στο κλάσμα και λάβετε το δεκαδικό κλάσμα 65, 1400, το οποίο θα είναι ίσο με το αρχικό. Τώρα γράφουμε μια στήλη για διαίρεση με 4:
Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το αποτέλεσμα που χρειαζόμαστε από τη διαίρεση του ακέραιου μέρους. Βάζουμε κόμμα, χωρίζοντας το και συνεχίζουμε:
Έχουμε φτάσει στο μηδέν υπόλοιπο, επομένως η διαδικασία διαίρεσης έχει ολοκληρωθεί.
Απάντηση: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Παράδειγμα 6
Διαιρέστε το 164,5 με το 27.
Λύση
Αρχικά διαιρούμε το κλασματικό μέρος και παίρνουμε:
Διαχωρίστε τον αριθμό που προκύπτει με κόμμα και συνεχίστε τη διαίρεση:
Βλέπουμε ότι τα υπόλοιπα άρχισαν να επαναλαμβάνονται περιοδικά και στο πηλίκο οι αριθμοί εννέα, δύο και πέντε άρχισαν να εναλλάσσονται. Θα σταματήσουμε εδώ και θα γράψουμε την απάντηση με τη μορφή περιοδικού κλάσματος 6, 0 (925).
Απάντηση: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Αυτή η διαίρεση μπορεί να αναχθεί στη διαδικασία εύρεσης του πηλίκου ενός δεκαδικού κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού, που ήδη περιγράφηκε παραπάνω. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη με 10, 100 κ.λπ. έτσι ώστε ο διαιρέτης να μετατραπεί σε φυσικό αριθμό. Στη συνέχεια πραγματοποιούμε την ακολουθία των ενεργειών που περιγράφονται παραπάνω. Αυτή η προσέγγιση είναι δυνατή λόγω των ιδιοτήτων της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού. Τα καταγράψαμε ως εξής:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) και ούτω καθεξής.
Ας διαμορφώσουμε έναν κανόνα:
Ορισμός 2
Για να διαιρέσετε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα με ένα άλλο:
1. Μετακινήστε το κόμμα στο μέρισμα και το διαιρέτη προς τα δεξιά με τον αριθμό των ψηφίων που είναι απαραίτητα για να μετατραπεί ο διαιρέτης σε φυσικό αριθμό. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια στο μέρισμα, προσθέτουμε μηδενικά σε αυτό στη δεξιά πλευρά.
2. Μετά από αυτό, διαιρέστε το κλάσμα με μια στήλη με τον φυσικό αριθμό που προκύπτει.
Ας δούμε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.
Παράδειγμα 7
Διαιρέστε το 7,287 με το 2,1.
Λύση: Για να γίνει ο διαιρέτης φυσικός αριθμός, πρέπει να μετακινήσουμε το δεκαδικό ψηφίο μία θέση προς τα δεξιά. Έτσι προχωρήσαμε στη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 72, 87 με 21. Ας γράψουμε τους αριθμούς που προκύπτουν σε μια στήλη και ας υπολογίσουμε
Απάντηση: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε 16.30.021.
Λύση
Θα πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα τρεις θέσεις. Δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον διαιρέτη για αυτό, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε επιπλέον μηδενικά. Πιστεύουμε ότι το αποτέλεσμα θα είναι:
Βλέπουμε περιοδική επανάληψη των υπολειμμάτων 4, 19, 1, 10, 16, 13. Στο πηλίκο επαναλαμβάνονται τα 1, 9, 0, 4, 7 και 5. Τότε το αποτέλεσμά μας είναι το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 776, (190476).
Απάντηση: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Η μέθοδος που περιγράψαμε σας επιτρέπει να κάνετε το αντίθετο, δηλαδή να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με το τελικό δεκαδικό κλάσμα. Ας δούμε πώς γίνεται.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε πόσο είναι το 3 5, 4.
Λύση
Προφανώς, θα πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα στη σωστή θέση. Μετά από αυτό μπορούμε να προχωρήσουμε στη διαίρεση του 30, 0 με το 54. Ας γράψουμε τα δεδομένα σε μια στήλη και ας υπολογίσουμε το αποτέλεσμα:
Η επανάληψη του υπολοίπου μας δίνει τον τελικό αριθμό 0, (5), που είναι ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Απάντηση: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά με 1000, 100, 10 κ.λπ.
Σύμφωνα με τους ήδη μελετημένους κανόνες για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων, η διαίρεση ενός κλάσματος με δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό του επί 1/1000, 1/100, 1/10 κ.λπ. Αποδεικνύεται ότι για να εκτελέσετε τη διαίρεση, σε σε αυτή την περίπτωση αρκεί απλώς να μετακινήσετε την υποδιαστολή στο απαιτούμενη ποσότητααριθμοί Εάν δεν υπάρχουν αρκετές τιμές στον αριθμό για μεταφορά, πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών.
Παράδειγμα 10
Άρα, 56, 21: 10 = 5, 621 και 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
Στην περίπτωση των άπειρων δεκαδικών κλασμάτων, κάνουμε το ίδιο.
Παράδειγμα 11
Για παράδειγμα, 3, (56): 1.000 = 0, 003 (56) και 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά με 0,001, 0,01, 0,1 κ.λπ.
Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα, μπορούμε επίσης να διαιρέσουμε τα κλάσματα στις υποδεικνυόμενες τιμές. Αυτή η ενέργεια θα είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό με 1000, 100, 10, αντίστοιχα. Για να γίνει αυτό, μετακινούμε το κόμμα σε ένα, δύο ή τρία ψηφία, ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, και προσθέτουμε μηδενικά εάν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον αριθμό.
Παράδειγμα 12
Για παράδειγμα, 5,739: 0,1 = 57,39 και 0,21: 0,00001 = 21.000.
Αυτός ο κανόνας ισχύει και για άπειρα δεκαδικά κλάσματα. Σας συμβουλεύουμε μόνο να είστε προσεκτικοί με την περίοδο του κλάσματος που εμφανίζεται στην απάντηση.
Άρα, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) γιατί αφού μετακινήσαμε το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα 7, 5716716716... δύο θέσεις δεξιά, πήραμε 757, 167167....
Αν έχουμε μη περιοδικά κλάσματα στο παράδειγμα, τότε όλα είναι πιο απλά: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Πώς να διαιρέσετε έναν μικτό αριθμό ή κλάσμα με δεκαδικό και αντίστροφα
Μειώνουμε επίσης αυτή την ενέργεια σε πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Για να γίνει αυτό πρέπει να αντικαταστήσετε δεκαδικοί αριθμοίαντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα και γράψτε τον μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα.
Αν διαιρέσουμε ένα μη περιοδικό κλάσμα με έναν συνηθισμένο ή μεικτό αριθμό, πρέπει να κάνουμε το αντίθετο, αντικαθιστώντας κοινό κλάσμαή μικτό αριθμό με το αντίστοιχο δεκαδικό του κλάσμα.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Ας δούμε παραδείγματα διαίρεσης δεκαδικών με αυτό το πρίσμα.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το δεκαδικό κλάσμα 1,2 με το δεκαδικό κλάσμα 0,48.
Λύση.
Απάντηση:
1,2:0,48=2,5 .
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 0.(504) με το δεκαδικό κλάσμα 0.56.
Λύση.
Ας μετατρέψουμε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα σε συνηθισμένο κλάσμα: . Μετατρέπουμε επίσης το τελικό δεκαδικό κλάσμα 0,56 σε συνηθισμένο κλάσμα, έχουμε 0,56 = 56/100. Τώρα μπορούμε να περάσουμε από τη διαίρεση των αρχικών δεκαδικών στη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων και να ολοκληρώσουμε τους υπολογισμούς: .
Ας μετατρέψουμε το συνηθισμένο κλάσμα που προκύπτει σε δεκαδικό κλάσμα διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή με μια στήλη:
Απάντηση:
0,(504):0,56=0,(900) .
Η αρχή της διαίρεσης άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτωνδιαφέρει από την αρχή της διαίρεσης πεπερασμένων και περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων, αφού τα μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα δεν μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Η διαίρεση των άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων ανάγεται στη διαίρεση των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων, για τα οποία πραγματοποιούμε στρογγυλοποίηση αριθμώνμέχρι ένα ορισμένο επίπεδο. Επιπλέον, εάν ένας από τους αριθμούς με τους οποίους πραγματοποιείται η διαίρεση είναι πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, τότε στρογγυλοποιείται επίσης στο ίδιο ψηφίο με το μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό 0,779... με το πεπερασμένο δεκαδικό 1,5602.
Λύση.
Πρώτα πρέπει να στρογγυλοποιήσετε τα δεκαδικά, ώστε να μπορείτε να μετακινηθείτε από τη διαίρεση άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών στη διαίρεση πεπερασμένων δεκαδικών. Μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε στο πλησιέστερο εκατοστό: 0,779…≈0,78 και 1,5602≈1,56. Έτσι, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Απάντηση:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Διαίρεση φυσικού αριθμού με δεκαδικό κλάσμα και αντίστροφα
Η ουσία της προσέγγισης για τη διαίρεση ενός φυσικού αριθμού με ένα δεκαδικό κλάσμα και για τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό δεν διαφέρει από την ουσία της διαίρεσης δεκαδικών κλασμάτων. Δηλαδή, τα πεπερασμένα και περιοδικά κλάσματα αντικαθίστανται από συνηθισμένα κλάσματα και τα άπειρα μη περιοδικά κλάσματα στρογγυλοποιούνται.
Για να το καταλάβετε, εξετάστε το παράδειγμα της διαίρεσης ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το δεκαδικό κλάσμα 25,5 με τον φυσικό αριθμό 45.
Λύση.
Αντικαθιστώντας το δεκαδικό κλάσμα 25,5 με το κοινό κλάσμα 255/10=51/2, η διαίρεση ανάγεται στη διαίρεση του κοινού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό:. Το κλάσμα που προκύπτει σε δεκαδικό συμβολισμό έχει τη μορφή 0,5(6) .
Απάντηση:
25,5:45=0,5(6) .
Διαίρεση δεκαδικού κλάσματος με φυσικό αριθμό με στήλη
Είναι βολικό να διαιρούμε πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα σε φυσικούς αριθμούς με μια στήλη, κατ' αναλογία με τη διαίρεση με μια στήλη φυσικών αριθμών. Ας παρουσιάσουμε τον κανόνα της διαίρεσης.
Προς την διαιρέστε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χρησιμοποιώντας μια στήλη, απαραίτητη:
- προσθέστε πολλά ψηφία 0 στα δεξιά του δεκαδικού κλάσματος που διαιρείται (κατά τη διαδικασία διαίρεσης, εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να προσθέσετε οποιοδήποτε αριθμό μηδενικών, αλλά αυτά τα μηδενικά μπορεί να μην χρειάζονται).
- εκτελέστε διαίρεση με στήλη δεκαδικού κλάσματος με φυσικό αριθμό σύμφωνα με όλους τους κανόνες διαίρεσης με στήλη φυσικών αριθμών, αλλά όταν ολοκληρωθεί η διαίρεση ολόκληρου του δεκαδικού κλάσματος, τότε στο πηλίκο πρέπει να βάλετε ένα κόμμα και συνεχίστε τη διαίρεση.
Ας πούμε αμέσως ότι ως αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, μπορείτε να πάρετε είτε ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Πράγματι, αφού ολοκληρωθεί η διαίρεση όλων των μη 0 δεκαδικών ψηφίων διαιρετό κλάσμα, είτε το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0, και θα πάρουμε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα, είτε τα υπόλοιπα θα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται περιοδικά και θα πάρουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Ας κατανοήσουμε όλες τις περιπλοκές της διαίρεσης δεκαδικών κλασμάτων με φυσικούς αριθμούς σε μια στήλη κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το δεκαδικό κλάσμα 65,14 με 4.
Λύση.
Ας διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χρησιμοποιώντας μια στήλη. Ας προσθέσουμε δύο μηδενικά προς τα δεξιά στη σημειογραφία του κλάσματος 65,14, και θα πάρουμε ένα ίσο δεκαδικό κλάσμα 65,1400 (βλ. ίσα και άνισα δεκαδικά κλάσματα). Τώρα μπορείτε να αρχίσετε να διαιρείτε με μια στήλη το ακέραιο μέρος του δεκαδικού κλάσματος 65.1400 με τον φυσικό αριθμό 4: 
Αυτό ολοκληρώνει τη διαίρεση του ακέραιου μέρους του δεκαδικού κλάσματος. Εδώ στο πηλίκο πρέπει να βάλετε μια υποδιαστολή και να συνεχίσετε τη διαίρεση: 
Έχουμε φτάσει σε ένα υπόλοιπο 0, σε αυτό το στάδιο τελειώνει η διαίρεση με τη στήλη. Ως αποτέλεσμα, έχουμε 65,14:4=16,285.
Απάντηση:
65,14:4=16,285 .
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το 164,5 με το 27.
Λύση.
Ας διαιρέσουμε το δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χρησιμοποιώντας μια στήλη. Αφού διαιρέσουμε ολόκληρο το μέρος, έχουμε την παρακάτω εικόνα: 
Τώρα βάζουμε κόμμα στο πηλίκο και συνεχίζουμε τη διαίρεση με μια στήλη: 
Τώρα φαίνεται καθαρά ότι τα υπολείμματα 25, 7 και 16 έχουν αρχίσει να επαναλαμβάνονται, ενώ στο πηλίκο επαναλαμβάνονται οι αριθμοί 9, 2 και 5. Έτσι, η διαίρεση του δεκαδικού 164,5 με το 27 μας δίνει το περιοδικό δεκαδικό 6,0(925) .
Απάντηση:
164,5:27=6,0(925) .
Διαίρεση στηλών δεκαδικών κλασμάτων
Η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μειωθεί στη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Για να γίνει αυτό, το μέρισμα και ο διαιρέτης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό όπως το 10, ή 100, ή 1.000 κ.λπ., έτσι ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός αριθμός και στη συνέχεια να διαιρεθεί με έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό λόγω των ιδιοτήτων της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού, αφού a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) και ούτω καθεξής.
Με άλλα λόγια, για να διαιρέσετε ένα υστερό δεκαδικό με ένα τελευταίο δεκαδικό, Χρειάζομαι:
- στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τόσες θέσεις όσες υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στο διαιρέτη· εάν στο μέρισμα δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια για να μετακινήσετε το κόμμα, τότε πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικά προς τα δεξιά?
- Μετά από αυτό, διαιρέστε με μια δεκαδική στήλη με έναν φυσικό αριθμό.
Όταν λύνετε ένα παράδειγμα, εξετάστε την εφαρμογή αυτού του κανόνα διαίρεσης με δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε με μια στήλη 7,287 με 2,1.
Λύση.
Ας μετακινήσουμε το κόμμα σε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα ένα ψηφίο προς τα δεξιά, αυτό θα μας επιτρέψει να περάσουμε από τη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 7.287 με το δεκαδικό κλάσμα 2.1 στη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 72.87 με τον φυσικό αριθμό 21. Ας κάνουμε τη διαίρεση ανά στήλη: 
Απάντηση:
7,287:2,1=3,47 .
Παράδειγμα.
Διαιρέστε το δεκαδικό 16,3 με το δεκαδικό 0,021.
Λύση.
Μετακινήστε το κόμμα στο μέρισμα και το διαιρέτη στα δεξιά τρία σημεία. Προφανώς, ο διαιρέτης δεν έχει αρκετά ψηφία για να μετακινήσει την υποδιαστολή, οπότε θα προσθέσουμε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στα δεξιά. Τώρα ας διαιρέσουμε το κλάσμα 16300,0 με μια στήλη με τον φυσικό αριθμό 21: 
Από αυτή τη στιγμή, τα υπόλοιπα 4, 19, 1, 10, 16 και 13 αρχίζουν να επαναλαμβάνονται, πράγμα που σημαίνει ότι θα επαναληφθούν και οι αριθμοί 1, 9, 0, 4, 7 και 6 στο πηλίκο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 776,(190476) .
Απάντηση:
16,3:0,021=776,(190476) .
Σημειώστε ότι ο κανόνας που ανακοινώθηκε σας επιτρέπει να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με μια στήλη σε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα.
Διαιρέστε τον φυσικό αριθμό 3 με το δεκαδικό κλάσμα 5.4.
Λύση.
Αφού μετακινήσουμε την υποδιαστολή ένα ψηφίο προς τα δεξιά, φτάνουμε στη διαίρεση του αριθμού 30,0 με το 54. Ας κάνουμε τη διαίρεση ανά στήλη: 
.
Αυτός ο κανόνας μπορεί επίσης να εφαρμοστεί όταν διαιρούμε άπειρα δεκαδικά κλάσματα με 10, 100, .... Για παράδειγμα, 3,(56):1,000=0,003(56) και 593,374…:100=5,93374… .
Διαίρεση δεκαδικών με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ.
Εφόσον 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100, κ.λπ., τότε από τον κανόνα της διαίρεσης με ένα κοινό κλάσμα προκύπτει ότι διαιρούμε το δεκαδικό κλάσμα με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ. . είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό ενός δεδομένου δεκαδικού επί 10, 100, 1.000 κ.λπ. αντίστοιχα.
Με άλλα λόγια, για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 0,1, 0,01, ... πρέπει να μετακινήσετε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά 1, 2, 3, ... ψηφία και αν τα ψηφία στο δεκαδικό κλάσμα δεν είναι αρκετά για να μετακινήσετε την υποδιαστολή, τότε πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό στα δεξιά μηδενικά.
Για παράδειγμα, 5.739:0.1=57.39 και 0.21:0.00001=21.000.
Ο ίδιος κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί όταν διαιρούμε άπειρα δεκαδικά κλάσματα με 0,1, 0,01, 0,001 κ.λπ. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί όταν διαιρείτε περιοδικά κλάσματα, ώστε να μην κάνετε λάθος με την περίοδο του κλάσματος που προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης. Για παράδειγμα, 7,5(716):0,01=757,(167), αφού αφού μετακινήσουμε την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα 7,5716716716... δύο θέσεις δεξιά, έχουμε την καταχώρηση 757,167167.... Με άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα όλα είναι πιο απλά: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Διαίρεση κλάσματος ή μικτού αριθμού με δεκαδικό και αντίστροφα
Η διαίρεση ενός κοινού κλάσματος ή μικτού αριθμού με ένα πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, καθώς και η διαίρεση ενός πεπερασμένου ή περιοδικού δεκαδικού κλάσματος με ένα κοινό κλάσμα ή μικτό αριθμό, καταλήγει στη διαίρεση κοινών κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, τα δεκαδικά κλάσματα αντικαθίστανται από τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα και ο μικτός αριθμός αναπαρίσταται ως ακατάλληλο κλάσμα.
Όταν διαιρείτε ένα άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα με ένα κοινό κλάσμα ή μεικτό αριθμό και αντίστροφα, θα πρέπει να προχωρήσετε στη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, αντικαθιστώντας το κοινό κλάσμα ή τον μικτό αριθμό με το αντίστοιχο δεκαδικό κλάσμα.
Βιβλιογραφία.
- Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο για την Ε΄ τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Μαθηματικά.ΣΤ τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., αναθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
Ας γράψουμε τον κανόνα και ας εξετάσουμε την εφαρμογή του χρησιμοποιώντας παραδείγματα.
Όταν διαιρούμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό:
1) διαιρέστε χωρίς να δώσετε προσοχή στο κόμμα.
2) όταν τελειώσει η διαίρεση ολόκληρου του μέρους βάζουμε κόμμα στο πηλίκο.
Αν ολόκληρο το μέρος μικρότερο από διαιρέτη, τότε το ακέραιο μέρος του πηλίκου είναι ίσο με μηδέν.
Παραδείγματα διαίρεσης δεκαδικών κλασμάτων με φυσικούς αριθμούς.
Διαιρούμε χωρίς να προσέχουμε το κόμμα, δηλαδή διαιρούμε το 348 με το 6. Διαιρώντας το 34 με το 6 παίρνουμε 5 ο καθένας. 5∙6=30, 34-30=4, δηλαδή το υπόλοιπο είναι 4.
Η διαφορά μεταξύ της διαίρεσης ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό και της διαίρεσης ακεραίων είναι μόνο ότι όταν ολοκληρωθεί η διαίρεση του ακέραιου μέρους, βάζουμε κόμμα στο πηλίκο. Δηλαδή, όταν περνάμε από κόμμα, πριν το κατεβάσουμε στο υπόλοιπο της διαίρεσης του ακέραιου μέρους, 4, τον αριθμό 8 από το κλασματικό μέρος, γράφουμε κόμμα στο πηλίκο.
Κατεβάζουμε 8. 48:6=8. Προσωπικά γράφουμε 8.
Άρα, 34,8:6=5,8.
Επειδή το 5 δεν διαιρείται με το 12, γράφουμε μηδέν στο πηλίκο. Η διαίρεση ολόκληρου του μέρους ολοκληρώνεται, βάζουμε κόμμα στο πηλίκο.
Αφαιρούμε το 1. Όταν διαιρούμε το 51 με το 12, παίρνουμε το 4. Το υπόλοιπο είναι 3.
Κατεβάζουμε 6. 36:12=3.
Έτσι, 5,16:12=0,43.
3) 0,646:38=?
Το ακέραιο μέρος του μερίσματος περιέχει μηδέν. Εφόσον το μηδέν δεν διαιρείται με το 38, βάζουμε στο πηλίκο το 0. Η διαίρεση του ακέραιου μέρους ολοκληρώνεται, οπότε γράφουμε κόμμα στο πηλίκο.
Αφαιρούμε το 6. Επειδή το 6 δεν διαιρείται με το 38, γράφουμε ένα ακόμη μηδέν στο πηλίκο.
Καταργούμε το 4. Όταν διαιρούμε το 64 με το 38, παίρνουμε 1. Το υπόλοιπο είναι 26.
Κατεβάζουμε 6. 266:38=7.
Άρα, 0,646:38=0,017.
4) 14917,5:325=?
Όταν διαιρέσουμε το 1491 με το 325, παίρνουμε 4. Το υπόλοιπο είναι 191. Αφαιρούμε το 7. Όταν διαιρούμε το 1917 με το 325, παίρνουμε 5. Το υπόλοιπο είναι 292.
Εφόσον ολοκληρώνεται η διαίρεση του όλου μέρους, γράφουμε κόμμα στο πηλίκο.