Σε ορισμένα προβλήματα της φυσικής, δεν είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια άμεση σύνδεση μεταξύ των ποσοτήτων που περιγράφουν τη διαδικασία. Αλλά είναι δυνατό να ληφθεί μια ισότητα που περιέχει τις παραγώγους των υπό μελέτη συναρτήσεων. Έτσι προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις και η ανάγκη επίλυσής τους για να βρεθεί μια άγνωστη συνάρτηση.

Αυτό το άρθρο προορίζεται για όσους αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Η θεωρία είναι δομημένη με τέτοιο τρόπο ώστε με μηδενική γνώση διαφορικών εξισώσεων, μπορείτε να αντεπεξέλθετε στην εργασία σας.

Κάθε τύπος διαφορικής εξίσωσης συνδέεται με μια μέθοδο λύσης με λεπτομερείς εξηγήσεις και λύσεις σε τυπικά παραδείγματα και προβλήματα. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να προσδιορίσετε τον τύπο της διαφορικής εξίσωσης του προβλήματός σας, να βρείτε ένα παρόμοιο αναλυόμενο παράδειγμα και να πραγματοποιήσετε παρόμοιες ενέργειες.

Για να λύσετε επιτυχώς διαφορικές εξισώσεις, θα χρειαστείτε επίσης την ικανότητα να βρείτε σύνολα αντιπαραγώγων (αόριστα ολοκληρώματα) διάφορες λειτουργίες. Εάν είναι απαραίτητο, σας συνιστούμε να ανατρέξετε στην ενότητα.

Αρχικά, θα εξετάσουμε τους τύπους συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που μπορούν να επιλυθούν σε σχέση με την παράγωγο, μετά θα προχωρήσουμε σε ODE δεύτερης τάξης, στη συνέχεια θα σταθούμε σε εξισώσεις υψηλότερης τάξης και θα τελειώσουμε με συστήματα διαφορικές εξισώσεις.

Θυμηθείτε ότι αν το y είναι συνάρτηση του ορίσματος x.

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης της φόρμας.

Ας γράψουμε μερικά παραδείγματα τέτοιου τηλεχειριστηρίου .

Διαφορικές εξισώσεις μπορεί να επιλυθεί ως προς την παράγωγο διαιρώντας και τις δύο πλευρές της ισότητας με f(x) . Σε αυτή την περίπτωση, καταλήγουμε σε μια εξίσωση που θα είναι ισοδύναμη με την αρχική για f(x) ≠ 0. Παραδείγματα τέτοιων ODE είναι .

Εάν υπάρχουν τιμές του ορίσματος x στις οποίες οι συναρτήσεις f(x) και g(x) εξαφανίζονται ταυτόχρονα, τότε εμφανίζονται πρόσθετες λύσεις. Πρόσθετες λύσεις στην εξίσωση δεδομένου x είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις ορίζονται για αυτές τις τιμές ορίσματος. Παραδείγματα τέτοιων διαφορικών εξισώσεων περιλαμβάνουν:

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης.

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Το LDE με σταθερούς συντελεστές είναι ένας πολύ κοινός τύπος διαφορικής εξίσωσης. Η λύση τους δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Πρώτα βρίσκονται οι ρίζες χαρακτηριστική εξίσωση . Για διαφορετικά p και q, τρεις περιπτώσεις είναι δυνατές: οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορεί να είναι πραγματικές και διαφορετικές, πραγματικές και συμπίπτουσες ή σύνθετα συζυγή. Ανάλογα με τις τιμές των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, γράφεται κοινή απόφασηδιαφορική εξίσωση ως , ή , ή αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, θεωρήστε μια γραμμική ομοιογενή δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής του εξίσωσης είναι k 1 = -3 και k 2 = 0. Οι ρίζες είναι πραγματικές και διαφορετικές, επομένως, η γενική λύση του LODE με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή


Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Η γενική λύση μιας ΛΔΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y αναζητείται με τη μορφή του αθροίσματος της γενικής λύσης της αντίστοιχης ΛΔΔΕ και μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση, δηλαδή, . Αφιερωμένο στην εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές προηγούμενο σημείο. Και μια συγκεκριμένη λύση προσδιορίζεται είτε με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών για μια ορισμένη μορφή της συνάρτησης f(x) στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, είτε με τη μέθοδο της μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Ως παραδείγματα LDDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές, δίνουμε


Κατανοήστε τη θεωρία και εξοικειωθείτε με λεπτομερείς λύσειςΣας προσφέρουμε παραδείγματα στη σελίδα γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις (LODE) και γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις (LNDEs) δεύτερης τάξης.

Ειδική περίπτωση διαφορικών εξισώσεων αυτού του τύπου είναι οι LODE και LDDE με σταθερούς συντελεστές.

Η γενική λύση του LODE σε ένα συγκεκριμένο τμήμα αντιπροσωπεύεται από έναν γραμμικό συνδυασμό δύο γραμμικά ανεξάρτητων μερικών λύσεων y 1 και y 2 αυτής της εξίσωσης, δηλαδή .

Η κύρια δυσκολία έγκειται ακριβώς στην εύρεση γραμμικά ανεξάρτητων μερικών λύσεων σε μια διαφορική εξίσωση αυτού του τύπου. Συνήθως, συγκεκριμένες λύσεις επιλέγονται από τα ακόλουθα συστήματα γραμμικά ανεξάρτητων συναρτήσεων:


Ωστόσο, συγκεκριμένες λύσεις δεν παρουσιάζονται πάντα με αυτή τη μορφή.

Ένα παράδειγμα LOD είναι .

Η γενική λύση του LDDE αναζητείται στη μορφή , όπου είναι η γενική λύση του αντίστοιχου LDDE, και είναι η συγκεκριμένη λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης. Μόλις μιλήσαμε για την εύρεση του, αλλά μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Μπορεί να δοθεί ένα παράδειγμα LNDU .

Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων.

Διαφορικές εξισώσεις που επιτρέπουν μείωση κατά σειρά.

Σειρά διαφορικής εξίσωσης , η οποία δεν περιέχει την επιθυμητή συνάρτηση και τις παράγωγές της έως k-1 τάξη, μπορεί να μειωθεί σε n-k αντικαθιστώντας το .

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχική διαφορική εξίσωση θα μειωθεί σε . Αφού βρεθεί η λύση του p(x), μένει να επιστρέψουμε στην αντικατάσταση και να προσδιορίσουμε την άγνωστη συνάρτηση y.

Για παράδειγμα, η διαφορική εξίσωση μετά την αντικατάσταση, θα γίνει μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές και η σειρά της θα μειωθεί από την τρίτη στην πρώτη.

6.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων στα μαθηματικά και τη φυσική, τη βιολογία και την ιατρική, αρκετά συχνά δεν είναι δυνατό να δημιουργηθεί αμέσως μια λειτουργική σχέση με τη μορφή ενός τύπου που συνδέει μεταβλητές, που περιγράφουν την υπό μελέτη διαδικασία. Συνήθως πρέπει να χρησιμοποιείτε εξισώσεις που περιέχουν, εκτός από την ανεξάρτητη μεταβλητή και την άγνωστη συνάρτηση, και τις παράγωγές της.

Ορισμός.Καλείται μια εξίσωση που συνδέει μια ανεξάρτητη μεταβλητή, μια άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφόρων τάξεων διαφορικός.

Συνήθως υποδηλώνεται μια άγνωστη συνάρτηση y(x)ή απλά y,και τα παράγωγά του - y", y"και τα λοιπά.

Άλλοι προσδιορισμοί είναι επίσης δυνατοί, για παράδειγμα: εάν y= x(t), τότε x"(t), x""(t)- τα παράγωγά του, και t- ανεξάρτητη μεταβλητή.

Ορισμός.Εάν μια συνάρτηση εξαρτάται από μια μεταβλητή, τότε η διαφορική εξίσωση ονομάζεται συνηθισμένη. Γενική μορφή συνηθισμένη διαφορική εξίσωση:

ή

Λειτουργίες φάΚαι φάμπορεί να μην περιέχει κάποια ορίσματα, αλλά για να είναι διαφορικές οι εξισώσεις, η παρουσία μιας παραγώγου είναι απαραίτητη.

Ορισμός.Η σειρά της διαφορικής εξίσωσηςονομάζεται η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιλαμβάνεται σε αυτήν.

Για παράδειγμα, x 2 y"- y= 0, y" + αμαρτία Χ= 0 είναι εξισώσεις πρώτης τάξης, και y"+ 2 y"+ 5 y= Χ- εξίσωση δεύτερης τάξης.

Κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, χρησιμοποιείται η πράξη ολοκλήρωσης, η οποία σχετίζεται με την εμφάνιση μιας αυθαίρετης σταθεράς. Εάν εφαρμοστεί η ενέργεια ένταξης nφορές, τότε, προφανώς, η λύση θα περιέχει nαυθαίρετες σταθερές.

6.2. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

Γενική μορφή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξηςκαθορίζεται από την έκφραση

Η εξίσωση μπορεί να μην περιέχει ρητά ΧΚαι y,αλλά αναγκαστικά περιέχει υ».

Αν η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως

τότε λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης επιλυμένη ως προς την παράγωγο.

Ορισμός.Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης (6.3) (ή (6.4)) είναι το σύνολο των λύσεων , Οπου ΜΕ- αυθαίρετη σταθερά.

Η γραφική παράσταση της λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ολοκληρωμένη καμπύλη.

Δίνοντας μια αυθαίρετη σταθερά ΜΕδιαφορετικές έννοιες, μπορούν να ληφθούν ιδιωτικές λύσεις. Στην επιφάνεια xOyη γενική λύση είναι μια οικογένεια ολοκληρωμένων καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε συγκεκριμένη λύση.

Αν ορίσετε ένα σημείο A (x 0 , y 0),από την οποία πρέπει να περάσει η ολοκληρωτική καμπύλη, τότε, κατά κανόνα, από ένα σύνολο συναρτήσεων Μπορεί κανείς να ξεχωρίσει ένα - μια ιδιωτική λύση.

Ορισμός.Ιδιωτική απόφασημιας διαφορικής εξίσωσης είναι η λύση της που δεν περιέχει αυθαίρετες σταθερές.

Αν είναι μια γενική λύση, τότε από την κατάσταση

μπορείτε να βρείτε μια σταθερά ΜΕ.Η συνθήκη ονομάζεται αρχική κατάσταση.

Το πρόβλημα της εύρεσης μιας συγκεκριμένης λύσης στη διαφορική εξίσωση (6.3) ή (6.4) που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη στο που ονομάζεται Πρόβλημα Cauchy.Αυτό το πρόβλημα έχει πάντα λύση; Η απάντηση περιέχεται στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα Cauchy(θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης). Αφήστε τη διαφορική εξίσωση y"= f(x,y)λειτουργία f(x,y)και αυτή

μερική παράγωγο καθορισμένη και συνεχής σε ορισμένες

περιοχή ΡΕ,που περιέχει ένα σημείο Μετά στην περιοχή ρευπάρχει

η μόνη λύση της εξίσωσης που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη στο

Το θεώρημα του Cauchy δηλώνει ότι υπό ορισμένες συνθήκες υπάρχει μια μοναδική ολοκληρωτική καμπύλη y= f(x),περνώντας από ένα σημείο Σημεία στα οποία δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος

Cauchies λέγονται ειδικός.Σε αυτά τα σημεία σπάει φά(x, y) ή.

Είτε πολλές ολοκληρωτικές καμπύλες είτε καμία δεν διέρχεται από ένα μοναδικό σημείο.

Ορισμός.Εάν η λύση (6.3), (6.4) βρεθεί στη μορφή φά(x, y, ΝΤΟ)= 0, δεν επιτρέπεται σε σχέση με το y, τότε καλείται γενικό ολοκλήρωμαδιαφορική εξίσωση.

Το θεώρημα του Cauchy εγγυάται μόνο ότι υπάρχει λύση. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει ενιαία μέθοδος για την εύρεση λύσης, θα εξετάσουμε μόνο ορισμένους τύπους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που μπορούν να ενσωματωθούν σε τετράγωνα

Ορισμός.Η διαφορική εξίσωση ονομάζεται ενσωματώσιμο σε τετράγωνα,αν η εύρεση της λύσης του καταλήγει στην ενοποίηση συναρτήσεων.

6.2.1. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης με διαχωρίσιμες μεταβλητές

Ορισμός.Μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές,

Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (6.5) είναι το γινόμενο δύο συναρτήσεων, καθεμία από τις οποίες εξαρτάται από μία μόνο μεταβλητή.

Για παράδειγμα, η εξίσωση είναι μια εξίσωση με διαχωρισμό

αναμεμειγμένα με μεταβλητές
και την εξίσωση

δεν μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή (6.5).

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι , ξαναγράφουμε το (6.5) στη φόρμα

Από αυτή την εξίσωση λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές, στην οποία τα διαφορικά είναι συναρτήσεις που εξαρτώνται μόνο από την αντίστοιχη μεταβλητή:

Ενσωματώνοντας όρο προς όρο, έχουμε

όπου C = C 2 - C 1 - αυθαίρετη σταθερά. Η έκφραση (6.6) είναι το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (6.5).

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (6.5) με, μπορούμε να χάσουμε τις λύσεις για τις οποίες: Πράγματι, αν στο

Οτι προφανώς είναι λύση της εξίσωσης (6.5).

Παράδειγμα 1.Βρείτε μια λύση στην εξίσωση που να ικανοποιεί

κατάσταση: y= 6 σε Χ= 2 (υ(2) = 6).

Λύση.Θα αντικαταστήσουμε y"έπειτα . Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές

dx,αφού κατά την περαιτέρω ενσωμάτωση είναι αδύνατο να φύγουμε dxστον παρονομαστή:

και μετά διαιρώντας και τα δύο μέρη με παίρνουμε την εξίσωση,

που μπορεί να ενσωματωθεί. Ας ενσωματώσουμε:

Επειτα ; δυναμώνοντας, παίρνουμε y = C. (x + 1) - ob-

γενική λύση.

Χρησιμοποιώντας τα αρχικά δεδομένα, προσδιορίζουμε μια αυθαίρετη σταθερά, αντικαθιστώντας τα στη γενική λύση

Τελικά παίρνουμε y= 2(x + 1) είναι μια συγκεκριμένη λύση. Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων με χωριστές μεταβλητές.

Παράδειγμα 2.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης

Λύση.Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι , παίρνουμε .

Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, έχουμε

που

Παράδειγμα 3.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης Λύση.Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε εκείνους τους παράγοντες που εξαρτώνται από μια μεταβλητή που δεν συμπίπτει με τη μεταβλητή κάτω από το διαφορικό πρόσημο, δηλ. και να ενσωματωθούν. Μετά παίρνουμε

και τελικά

Παράδειγμα 4.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης

Λύση.Γνωρίζοντας τι θα πάρουμε. Ενότητα

μεταβλητές lim. Επειτα

Ενσωματώνοντας, παίρνουμε

Σχόλιο.Στα παραδείγματα 1 και 2, η απαιτούμενη συνάρτηση είναι yεκφράζεται ρητά (γενική λύση). Στα παραδείγματα 3 και 4 - σιωπηρά (γενικό ολοκλήρωμα). Στο μέλλον δεν θα διευκρινιστεί η μορφή της απόφασης.

Παράδειγμα 5.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης Λύση.

Παράδειγμα 6.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης , ικανοποιητικό

κατάσταση εσείς)= 1.

Λύση.Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με dxκαι συνεχίζουμε, παίρνουμε

Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης (το ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά λαμβάνεται από μέρη), παίρνουμε

Αλλά σύμφωνα με την προϋπόθεση y= 1 σε Χ= μι. Επειτα

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν ΜΕστη γενική λύση:

Η έκφραση που προκύπτει ονομάζεται μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

6.2.2. Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Ορισμός.Η διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται ομοιογενής,αν μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή

Ας παρουσιάσουμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση ομοιογενούς εξίσωσης.

1.Αντί αυτού yας εισαγάγουμε μια νέα λειτουργία Στη συνέχεια και ως εκ τούτου

2.Όσον αφορά τη λειτουργία uη εξίσωση (6.7) παίρνει τη μορφή

Δηλαδή, η αντικατάσταση ανάγει μια ομοιογενή εξίσωση σε μια εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές.

3. Λύνοντας την εξίσωση (6.8), βρίσκουμε πρώτα το u και μετά y= ux.

Παράδειγμα 1.Λύστε την εξίσωση Λύση.Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή

Κάνουμε την αντικατάσταση:
Επειτα

Θα αντικαταστήσουμε

Πολλαπλασιασμός με dx: Διαιρέστε με Χκαι επάνω Επειτα

Έχοντας ενσωματώσει και τις δύο πλευρές της εξίσωσης πάνω στις αντίστοιχες μεταβλητές, έχουμε

ή, επιστρέφοντας στις παλιές μεταβλητές, τελικά παίρνουμε

Παράδειγμα 2.Λύστε την εξίσωση Λύση.Αφήνω Επειτα

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x2: Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας αναδιατάξουμε τους όρους:

Προχωρώντας στις παλιές μεταβλητές, φτάνουμε στο τελικό αποτέλεσμα:

Παράδειγμα 3.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης δεδομένου ότι

Λύση.Εκτέλεση τυπικής αντικατάστασης παίρνουμε

ή

ή

Αυτό σημαίνει ότι η συγκεκριμένη λύση έχει τη μορφή Παράδειγμα 4.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης

Λύση.

Παράδειγμα 5.Βρείτε τη λύση της εξίσωσης Λύση.

Ανεξάρτητη εργασία

Βρείτε λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές (1-9).

Βρείτε λύση σε ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις (9-18).

6.2.3. Μερικές εφαρμογές διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης

Πρόβλημα ραδιενεργής διάσπασης

Ο ρυθμός διάσπασης του Ra (ράδιο) σε κάθε χρονική στιγμή είναι ανάλογος της διαθέσιμης μάζας του. Βρείτε τον νόμο της ραδιενεργής διάσπασης του Ra αν είναι γνωστό ότι την αρχική στιγμή υπήρχε Ra και ο χρόνος ημιζωής του Ra είναι 1590 χρόνια.

Λύση.Έστω τη στιγμή η μάζα Ra Χ= x(t)ζ, και Τότε ο ρυθμός διάσπασης Ra είναι ίσος με

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος

Οπου κ

Διαχωρίζοντας τις μεταβλητές στην τελευταία εξίσωση και ολοκληρώνοντας, παίρνουμε

που

Για τον καθορισμό ντοχρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη: όταν .

Επειτα και ως εκ τούτου,

Συντελεστής αναλογικότητας κκαθορίζεται από την πρόσθετη προϋπόθεση:

Εχουμε

Από εδώ και τον απαιτούμενο τύπο

Πρόβλημα ρυθμού αναπαραγωγής βακτηρίων

Ο ρυθμός αναπαραγωγής των βακτηρίων είναι ανάλογος του αριθμού τους. Στην αρχή υπήρχαν 100 βακτήρια. Μέσα σε 3 ώρες ο αριθμός τους διπλασιάστηκε. Βρείτε την εξάρτηση του αριθμού των βακτηρίων από την ώρα. Πόσες φορές θα αυξηθεί ο αριθμός των βακτηρίων μέσα σε 9 ώρες;

Λύση.Αφήνω Χ- αριθμός βακτηρίων κάθε φορά t.Στη συνέχεια, σύμφωνα με την προϋπόθεση,

Οπου κ- συντελεστής αναλογικότητας.

Από εδώ Από την κατάσταση είναι γνωστό ότι . Που σημαίνει,

Από την πρόσθετη προϋπόθεση . Επειτα

Η λειτουργία που αναζητάτε:

Οπότε πότε t= 9 Χ= 800, δηλαδή μέσα σε 9 ώρες ο αριθμός των βακτηρίων αυξήθηκε 8 φορές.

Το πρόβλημα της αύξησης της ποσότητας του ενζύμου

Σε μια καλλιέργεια ζύμης μπύρας, ο ρυθμός ανάπτυξης του ενεργού ενζύμου είναι ανάλογος με την αρχική του ποσότητα Χ.Αρχική ποσότητα ενζύμου έναδιπλασιάστηκε μέσα σε μια ώρα. Βρείτε την εξάρτηση

x(t).

Λύση.Κατά συνθήκη, η διαφορική εξίσωση της διαδικασίας έχει τη μορφή

από εδώ

Αλλά . Που σημαίνει, ντο= ένακαι μετά

Είναι επίσης γνωστό ότι

Ως εκ τούτου,

6.3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

6.3.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Ορισμός.Διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξηςονομάζεται σχέση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή, την επιθυμητή συνάρτηση και την πρώτη και δεύτερη παράγωγή της.

Σε ειδικές περιπτώσεις, το x μπορεί να λείπει από την εξίσωση, στοή y". Ωστόσο, μια εξίσωση δεύτερης τάξης πρέπει απαραίτητα να περιέχει y." ΣΕ γενική περίπτωσηη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης γράφεται ως:

ή, εάν είναι δυνατόν, στη μορφή που επιλύεται σε σχέση με τη δεύτερη παράγωγο:

Όπως στην περίπτωση μιας εξίσωσης πρώτης τάξης, για μια εξίσωση δεύτερης τάξης μπορεί να υπάρχουν γενικές και ειδικές λύσεις. Η γενική λύση είναι:

Εύρεση συγκεκριμένης λύσης

υπό αρχικές συνθήκες - δεδομένη

αριθμοί) καλείται Πρόβλημα Cauchy.Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε την ολοκληρωτική καμπύλη στο= y(x),περνώντας από ένα δεδομένο σημείο και έχοντας μια εφαπτομένη σε αυτό το σημείο που είναι

ευθυγραμμίζεται με την κατεύθυνση του θετικού άξονα Βόδικαθορισμένη γωνία. μι. (Εικ. 6.1). Το πρόβλημα Cauchy έχει μια μοναδική λύση εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (6.10), αδιάκοπος

είναι ασυνεχής και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς ε, α"σε κάποια γειτονιά της αφετηρίας

Για να βρείτε σταθερές περιλαμβάνεται σε μια ιδιωτική λύση, το σύστημα πρέπει να επιλυθεί

Ρύζι. 6.1.Ολοκληρωμένη καμπύλη

Διαφορική εξίσωση (DE) - αυτή είναι η εξίσωση,
όπου είναι οι ανεξάρτητες μεταβλητές, y είναι η συνάρτηση και είναι οι μερικές παράγωγοι.

Συνήθης διαφορική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση που έχει μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή, .

Μερική διαφορική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση που έχει δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι λέξεις "συνήθη" και "μερικά παράγωγα" μπορούν να παραληφθούν εάν είναι σαφές ποια εξίσωση εξετάζεται. Στη συνέχεια, εξετάζονται οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις.

Σειρά διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα εξίσωσης πρώτης τάξης:

Ακολουθεί ένα παράδειγμα εξίσωσης τέταρτης τάξης:

Μερικές φορές μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης γράφεται με όρους διαφορών:

Σε αυτή την περίπτωση, οι μεταβλητές x και y είναι ίσες. Δηλαδή, η ανεξάρτητη μεταβλητή μπορεί να είναι είτε x είτε y. Στην πρώτη περίπτωση, το y είναι συνάρτηση του x. Στη δεύτερη περίπτωση, το x είναι συνάρτηση του y. Εάν είναι απαραίτητο, μπορούμε να μειώσουμε αυτήν την εξίσωση σε μια μορφή που περιλαμβάνει ρητά την παράγωγο y′.
Διαιρώντας αυτή την εξίσωση με dx έχουμε:
.
Δεδομένου ότι και , προκύπτει ότι
.

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Παράγωγα από στοιχειώδεις λειτουργίεςεκφράζονται μέσω στοιχειωδών συναρτήσεων. Τα ολοκληρώματα των στοιχειωδών συναρτήσεων συχνά δεν εκφράζονται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων. Με τις διαφορικές εξισώσεις η κατάσταση είναι ακόμη χειρότερη. Ως αποτέλεσμα της λύσης μπορείτε να λάβετε:

• ρητή εξάρτηση μιας συνάρτησης από μια μεταβλητή.

  Επίλυση διαφορικής εξίσωσης είναι η συνάρτηση y = u (Χ), το οποίο ορίζεται, n φορές διαφοροποιήσιμο, και .

• άρρητη εξάρτηση με τη μορφή εξίσωσης τύπου Φ (x, y) = 0ή συστήματα εξισώσεων?

  Ολοκλήρωμα διαφορικής εξίσωσης είναι μια λύση σε μια διαφορική εξίσωση που έχει μια άρρητη μορφή.

• εξάρτηση που εκφράζεται μέσω στοιχειωδών συναρτήσεων και ολοκληρωμάτων από αυτές.

  Επίλυση διαφορικής εξίσωσης σε τετράγωνα - αυτό είναι η εύρεση λύσης με τη μορφή συνδυασμού στοιχειωδών συναρτήσεων και ολοκληρωμάτων τους.

• η λύση δεν μπορεί να εκφραστεί μέσω στοιχειωδών συναρτήσεων.

Εφόσον η επίλυση διαφορικών εξισώσεων καταλήγει στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων, η λύση περιλαμβάνει ένα σύνολο σταθερών C 1, C 2, C 3, ... C n. Ο αριθμός των σταθερών είναι ίσος με τη σειρά της εξίσωσης. Μερικό ολοκλήρωμα διαφορικής εξίσωσης είναι το γενικό ολοκλήρωμα για δεδομένες τιμές των σταθερών C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
V.V. Stepanov, Μάθημα διαφορικών εξισώσεων, "LKI", 2015.
Ν.Μ. Gunther, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, "Lan", 2003.

Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων.
Διαφορικές εξισώσεις με διαχωρίσιμες μεταβλητές

Διαφορικές εξισώσεις (ΔΕ). Αυτές οι δύο λέξεις συνήθως τρομοκρατούν τον μέσο άνθρωπο. Οι διαφορικές εξισώσεις φαίνεται να είναι κάτι απαγορευτικό και δύσκολο να κατακτηθούν για πολλούς μαθητές. Uuuuuu... διαφορικές εξισώσεις, πώς να επιβιώσω από όλο αυτό;!

Αυτή η γνώμη και αυτή η στάση είναι θεμελιωδώς εσφαλμένη, γιατί στην πραγματικότητα ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΟ ΚΑΙ ΑΚΟΜΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟ. Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να κάνετε για να μάθετε πώς να λύνετε διαφορικές εξισώσεις; Για να μελετήσετε επιτυχώς τις διαχύσεις, πρέπει να είστε καλοί στην ενσωμάτωση και τη διαφοροποίηση. Όσο καλύτερα μελετώνται τα θέματα Παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητήςΚαι Αόριστο ολοκλήρωμα, τόσο πιο εύκολο θα είναι να κατανοήσουμε τις διαφορικές εξισώσεις. Θα πω περισσότερα, αν έχετε περισσότερο ή λιγότερο αξιοπρεπείς δεξιότητες ένταξης, τότε το θέμα έχει σχεδόν κατακτηθεί! Όσο περισσότερα ολοκληρώματα διαφόρων τύπων μπορείτε να λύσετε, τόσο το καλύτερο. Γιατί; Θα πρέπει να ενσωματώσετε πολλά. Και διαφοροποιήστε. Επίσης συνιστώ ανεπιφύλακταμάθε να βρίσκεις.

Στο 95% των περιπτώσεων, τα δοκιμαστικά χαρτιά περιέχουν 3 τύπους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: διαχωρίσιμες εξισώσειςπου θα εξετάσουμε σε αυτό το μάθημα. ομοιογενείς εξισώσειςΚαι γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις. Για όσους αρχίζουν να μελετούν διαχυτήρες, σας συμβουλεύω να διαβάσετε τα μαθήματα με αυτήν ακριβώς τη σειρά και αφού μελετήσετε τα δύο πρώτα άρθρα, δεν θα βλάψετε να εδραιώσετε τις δεξιότητές σας σε ένα επιπλέον εργαστήριο - εξισώσεις που ανάγονται σε ομοιογενείς.

Υπάρχουν ακόμη πιο σπάνιοι τύποι διαφορικών εξισώσεων: ολικές διαφορικές εξισώσεις, εξισώσεις Bernoulli και μερικές άλλες. Οι πιο σημαντικοί από τους δύο τελευταίους τύπους είναι οι εξισώσεις σε ολικά διαφορικά, αφού εκτός από αυτή τη διαφορική εξίσωση θεωρώ νέο υλικό – μερική ένταξη.

Αν σας απομένουν μόνο μία ή δύο μέρες, Οτι για εξαιρετικά γρήγορη προετοιμασίαΥπάρχει μάθημα blitzσε μορφή pdf.

Λοιπόν, τα ορόσημα έχουν οριστεί - πάμε:

Αρχικά, ας θυμηθούμε τις συνηθισμένες αλγεβρικές εξισώσεις. Περιέχουν μεταβλητές και αριθμούς. Το πιο απλό παράδειγμα: . Τι σημαίνει να λύνεις μια συνηθισμένη εξίσωση; Αυτό σημαίνει εύρεση σύνολο αριθμών, που ικανοποιούν αυτή την εξίσωση. Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι η εξίσωση των παιδιών έχει μία μόνο ρίζα: . Για πλάκα, ας ελέγξουμε και ας αντικαταστήσουμε τη ρίζα που βρέθηκε στην εξίσωσή μας:

– προκύπτει η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η λύση βρέθηκε σωστά.

Οι διαχυτές έχουν σχεδιαστεί σχεδόν με τον ίδιο τρόπο!

Διαφορική εξίσωση πρώτη σειράγενικά περιέχει:
1) ανεξάρτητη μεταβλητή.
2) εξαρτημένη μεταβλητή (συνάρτηση).
3) η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης: .

Σε ορισμένες εξισώσεις 1ης τάξης μπορεί να μην υπάρχουν "x" και/ή "y", αλλά αυτό δεν είναι σημαντικό - σπουδαίοςγια να πάει στο δωμάτιο ελέγχου ήτανπρώτη παράγωγο, και δεν είχαπαράγωγα ανώτερων τάξεων – , κ.λπ.

Τι σημαίνει;Η επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης σημαίνει εύρεση σύνολο όλων των λειτουργιών, που ικανοποιούν αυτή την εξίσωση. Ένα τέτοιο σύνολο συναρτήσεων έχει συχνά τη μορφή (– μια αυθαίρετη σταθερά), η οποία ονομάζεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 1

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Πλήρη πυρομαχικά. Από πού να ξεκινήσετε λύση?

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να ξαναγράψετε το παράγωγο σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή. Θυμόμαστε τον δυσκίνητο χαρακτηρισμό, που πολλοί από εσάς φάνηκαν μάλλον γελοίος και περιττός. Αυτό ισχύει στους διαχυτές!

Στο δεύτερο βήμα, ας δούμε αν είναι δυνατό ξεχωριστές μεταβλητές;Τι σημαίνει ο διαχωρισμός μεταβλητών; Στο περίπου, στην αριστερή πλευράπρέπει να φύγουμε μόνο "Έλληνες", ΕΝΑ στη δεξιά πλευράοργανώνω μόνο "Χ". Η διαίρεση των μεταβλητών πραγματοποιείται με χειρισμούς "σχολείου": τοποθέτησή τους εκτός παρενθέσεων, μεταφορά όρων από μέρος σε μέρος με αλλαγή πρόσημου, μεταφορά παραγόντων από μέρος σε μέρος σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας κ.λπ.

Διαφορικά και είναι πλήρεις πολλαπλασιαστές και ενεργοί συμμετέχοντες στις εχθροπραξίες. Στο παράδειγμα που εξετάζουμε, οι μεταβλητές διαχωρίζονται εύκολα με την ρίψη των παραγόντων σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας:

Οι μεταβλητές διαχωρίζονται. Στην αριστερή πλευρά υπάρχουν μόνο "Y", στη δεξιά πλευρά - μόνο "X".

Επόμενο στάδιο - ολοκλήρωση διαφορικής εξίσωσης. Είναι απλό, βάζουμε ολοκληρώματα και στις δύο πλευρές:

Φυσικά, πρέπει να πάρουμε ολοκληρώματα. Στην περίπτωση αυτή είναι πίνακες:

Όπως θυμόμαστε, μια σταθερά αποδίδεται σε οποιοδήποτε αντιπαράγωγο. Υπάρχουν δύο ολοκληρώματα εδώ, αλλά αρκεί να γράψουμε τη σταθερά μία φορά (καθώς η σταθερά + σταθερά εξακολουθεί να είναι ίση με μια άλλη σταθερά). Στις περισσότερες περιπτώσεις τοποθετείται στη δεξιά πλευρά.

Αυστηρά μιλώντας, αφού ληφθούν τα ολοκληρώματα, η διαφορική εξίσωση θεωρείται λυμένη. Το μόνο είναι ότι το «y» μας δεν εκφράζεται μέσω του «x», δηλαδή παρουσιάζεται η λύση σε μια άρρητημορφή. Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης σε άρρητη μορφή ονομάζεται γενικό ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης. Δηλαδή, αυτό είναι ένα γενικό ολοκλήρωμα.

Η απάντηση σε αυτή τη μορφή είναι αρκετά αποδεκτή, αλλά υπάρχει καλύτερη επιλογή; Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε κοινή απόφαση.

Σας παρακαλούμε, θυμηθείτε την πρώτη τεχνική, είναι πολύ κοινό και χρησιμοποιείται συχνά σε πρακτικές εργασίες: εάν ένας λογάριθμος εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά μετά την ολοκλήρωση, τότε σε πολλές περιπτώσεις (αλλά όχι πάντα!) είναι επίσης σκόπιμο να γράψετε τη σταθερά κάτω από τον λογάριθμο.

Αυτό είναι, ΑΝΤΙοι καταχωρήσεις γράφονται συνήθως .

Γιατί είναι απαραίτητο αυτό; Και για να γίνει πιο εύκολη η έκφραση του «παιχνιδιού». Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των λογαρίθμων . Σε αυτήν την περίπτωση:

Τώρα οι λογάριθμοι και οι μονάδες μπορούν να αφαιρεθούν:

Η συνάρτηση παρουσιάζεται ρητά. Αυτή είναι η γενική λύση.

Απάντηση: κοινή απόφαση: .

Οι απαντήσεις σε πολλές διαφορικές εξισώσεις είναι αρκετά εύκολο να ελεγχθούν. Στην περίπτωσή μας, αυτό γίνεται πολύ απλά, παίρνουμε τη λύση που βρέθηκε και τη διαφοροποιούμε:

Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την παράγωγο στην αρχική εξίσωση:

– προκύπτει η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η γενική λύση ικανοποιεί την εξίσωση, η οποία είναι αυτή που έπρεπε να ελεγχθεί.

Δίνοντας μια σταθερά διαφορετικές τιμές, μπορείτε να πάρετε έναν άπειρο αριθμό ιδιωτικές λύσειςδιαφορική εξίσωση. Είναι σαφές ότι οποιαδήποτε από τις συναρτήσεις , κ.λπ. ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση.

Μερικές φορές η γενική λύση ονομάζεται οικογένεια λειτουργιών. ΣΕ σε αυτό το παράδειγμακοινή απόφαση - αυτή είναι μια οικογένεια γραμμικές συναρτήσεις, ή μάλλον, μια οικογένεια ευθείας αναλογικότητας.

Μετά από μια ενδελεχή ανασκόπηση του πρώτου παραδείγματος, είναι σκόπιμο να απαντήσουμε σε πολλές αφελείς ερωτήσεις σχετικά με τις διαφορικές εξισώσεις:

1)Σε αυτό το παράδειγμα, μπορέσαμε να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές. Μπορεί αυτό να γίνεται πάντα;Όχι πάντα. Και ακόμη πιο συχνά, οι μεταβλητές δεν μπορούν να διαχωριστούν. Για παράδειγμα, σε ομοιογενείς εξισώσεις πρώτης τάξης, πρέπει πρώτα να το αντικαταστήσετε. Σε άλλους τύπους εξισώσεων, για παράδειγμα, σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης, πρέπει να χρησιμοποιήσετε διάφορες τεχνικές και μεθόδους για να βρείτε μια γενική λύση. Οι εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές, τις οποίες εξετάζουμε στο πρώτο μάθημα, είναι ο απλούστερος τύπος διαφορικών εξισώσεων.

2) Είναι πάντα δυνατό να ενσωματώσουμε μια διαφορική εξίσωση;Όχι πάντα. Είναι πολύ εύκολο να καταλήξουμε σε μια «φανταχτερή» εξίσωση που δεν μπορεί να ενσωματωθεί· επιπλέον, υπάρχουν ολοκληρώματα που δεν μπορούν να ληφθούν. Αλλά τέτοια DE μπορούν να λυθούν κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας ειδικές μεθόδους. Ο D'Alembert και ο Cauchy εγγυώνται... ...ωχ, κρύβομαι. Για να διαβάσω πολύ μόλις τώρα, σχεδόν πρόσθεσα "από τον άλλο κόσμο".

3) Σε αυτό το παράδειγμα, λάβαμε μια λύση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος . Είναι πάντα δυνατό να βρεθεί μια γενική λύση από ένα γενικό ολοκλήρωμα, δηλαδή να εκφραστεί ρητά το «υ»;Όχι πάντα. Για παράδειγμα: . Λοιπόν, πώς μπορείς να εκφράσεις «ελληνικά» εδώ;! Σε τέτοιες περιπτώσεις, η απάντηση θα πρέπει να γράφεται ως γενικό ολοκλήρωμα. Επιπλέον, μερικές φορές είναι δυνατό να βρεθεί μια γενική λύση, αλλά είναι γραμμένη τόσο δυσκίνητη και αδέξια που είναι καλύτερο να αφήσουμε την απάντηση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος

4) ...ίσως αρκεί προς το παρόν. Στο πρώτο παράδειγμα που συναντήσαμε Αλλο ένα σημαντικό σημείο , αλλά για να μην σκεπαστούν τα «ανδρείκελα» με χιονοστιβάδα ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ, θα το αφήσω μέχρι το επόμενο μάθημα.

Δεν θα βιαστούμε. Άλλο ένα απλό τηλεχειριστήριο και μια άλλη τυπική λύση:

Παράδειγμα 2

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη

Λύση: σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε ιδιωτική λύση DE που ικανοποιεί μια δεδομένη αρχική συνθήκη. Αυτή η διατύπωση της ερώτησης ονομάζεται επίσης Πρόβλημα Cauchy.

Πρώτα βρίσκουμε μια γενική λύση. Δεν υπάρχει μεταβλητή "x" στην εξίσωση, αλλά αυτό δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση, το κύριο πράγμα είναι ότι έχει την πρώτη παράγωγο.

Ξαναγράφουμε την παράγωγο σε στη σωστή μορφή:

Προφανώς, οι μεταβλητές μπορούν να διαχωριστούν, τα αγόρια στα αριστερά, τα κορίτσια στα δεξιά:

Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση:

Λαμβάνεται το γενικό ολοκλήρωμα. Εδώ έχω σχεδιάσει μια σταθερά με έναν αστερίσκο, γεγονός είναι ότι πολύ σύντομα θα μετατραπεί σε μια άλλη σταθερά.

Τώρα προσπαθούμε να μετατρέψουμε το γενικό ολοκλήρωμα σε μια γενική λύση (εκφράστε το "y" ρητά). Ας θυμηθούμε τα παλιά καλά πράγματα από το σχολείο: . Σε αυτήν την περίπτωση:

Η σταθερά στον δείκτη φαίνεται κατά κάποιον τρόπο μη ευνοϊκή, επομένως συνήθως προσγειώνεται. Αναλυτικά, έτσι γίνεται. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των βαθμών, ξαναγράφουμε τη συνάρτηση ως εξής:

Αν είναι σταθερά, τότε είναι και κάποια σταθερά, ας την επαναπροσδιορίσουμε με το γράμμα:

Θυμηθείτε ότι η «κατεδάφιση» μιας σταθεράς είναι δεύτερη τεχνική, που χρησιμοποιείται συχνά κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Άρα, η γενική λύση είναι: . Αυτή είναι μια ωραία οικογένεια εκθετικών συναρτήσεων.

Στο τελικό στάδιο, πρέπει να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τη δεδομένη αρχική συνθήκη. Αυτό είναι επίσης απλό.

Ποιο είναι το καθήκον; Ανάγκη παραλαβής τέτοιοςτην τιμή της σταθεράς ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη.

Μπορεί να διαμορφωθεί με διαφορετικούς τρόπους, αλλά αυτός θα είναι πιθανώς ο πιο σαφής τρόπος. Στη γενική λύση, αντί για το «Χ» αντικαθιστούμε ένα μηδέν και αντί για το «Υ» αντικαθιστούμε ένα δύο:



Αυτό είναι,

Τυπική έκδοση σχεδίασης:

Τώρα αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της σταθεράς στη γενική λύση:
– αυτή είναι η συγκεκριμένη λύση που χρειαζόμαστε.

Απάντηση: ιδιωτική λύση:

Ας ελέγξουμε. Ο έλεγχος μιας ιδιωτικής λύσης περιλαμβάνει δύο στάδια:

Πρώτα πρέπει να ελέγξετε εάν η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί πραγματικά την αρχική συνθήκη; Αντί για το «Χ» αντικαθιστούμε ένα μηδέν και βλέπουμε τι συμβαίνει:
- ναι, όντως, λήφθηκε δύο, που σημαίνει ότι πληρούται η αρχική προϋπόθεση.

Το δεύτερο στάδιο είναι ήδη γνωστό. Παίρνουμε τη συγκεκριμένη λύση που προκύπτει και βρίσκουμε την παράγωγο:

Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση:

– επιτυγχάνεται η σωστή ισότητα.

Συμπέρασμα: η συγκεκριμένη λύση βρέθηκε σωστά.

Ας προχωρήσουμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 3

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Λύση:Ξαναγράφουμε την παράγωγο με τη μορφή που χρειαζόμαστε:

Αξιολογούμε αν είναι δυνατός ο διαχωρισμός των μεταβλητών; Μπορώ. Μετακινούμε τον δεύτερο όρο στη δεξιά πλευρά με αλλαγή πρόσημου:

Και μεταφέρουμε τους πολλαπλασιαστές σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας:

Οι μεταβλητές είναι διαχωρισμένες, ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη:

Πρέπει να σας προειδοποιήσω, η ημέρα της κρίσης πλησιάζει. Αν δεν έχεις σπουδάσει καλά αόριστα ολοκληρώματα, έχουν λύσει λίγα παραδείγματα, τότε δεν υπάρχει πού να πάτε - θα πρέπει να τα κατακτήσετε τώρα.

Το ολοκλήρωμα της αριστερής πλευράς είναι εύκολο να βρεθεί· ασχολούμαστε με το ολοκλήρωμα της συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας την τυπική τεχνική που εξετάσαμε στο μάθημα Ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεωνπέρυσι:

Στη δεξιά πλευρά έχουμε έναν λογάριθμο, και σύμφωνα με το πρώτο μου τεχνικές συμβουλές, η σταθερά πρέπει επίσης να γραφεί κάτω από τον λογάριθμο.

Τώρα προσπαθούμε να απλοποιήσουμε το γενικό ολοκλήρωμα. Εφόσον έχουμε μόνο λογάριθμους, είναι πολύ πιθανό (και απαραίτητο) να απαλλαγούμε από αυτούς. Με τη χρήση γνωστές ιδιότητες«Συσκευάζουμε» τους λογάριθμους όσο το δυνατόν περισσότερο. Θα το γράψω με μεγάλη λεπτομέρεια:

Η συσκευασία έχει τελειώσει για να είναι βάρβαρα κουρελιασμένη:

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε «παιχνίδι»; Μπορώ. Είναι απαραίτητο να τετραγωνιστούν και τα δύο μέρη.

Αλλά δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό.

Τρίτη τεχνική συμβουλή:εάν για να ληφθεί μια γενική λύση είναι απαραίτητο να ανεβείτε σε μια δύναμη ή να ριζώσετε, τότε Στις περισσότερες περιπτώσειςθα πρέπει να απέχετε από αυτές τις ενέργειες και να αφήσετε την απάντηση με τη μορφή ενός γενικού ολοκληρώματος. Το γεγονός είναι ότι η γενική λύση θα φαίνεται απλά τρομερή - με μεγάλες ρίζες, σημάδια και άλλα σκουπίδια.

Επομένως, γράφουμε την απάντηση με τη μορφή γενικού ολοκληρώματος. Θεωρείται καλή πρακτική να το παρουσιάζετε με τη μορφή , δηλαδή στη δεξιά πλευρά, αν είναι δυνατόν, να αφήνετε μόνο μια σταθερά. Δεν είναι απαραίτητο να το κάνετε αυτό, αλλά είναι πάντα ωφέλιμο να ευχαριστήσετε τον καθηγητή ;-)

Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:

! Σημείωση: το γενικό ολοκλήρωμα οποιασδήποτε εξίσωσης μπορεί να γραφτεί όχι ο μόνος τρόπος. Έτσι, εάν το αποτέλεσμά σας δεν συμπίπτει με την προηγούμενη γνωστή απάντηση, αυτό δεν σημαίνει ότι λύσατε λάθος την εξίσωση.

Το γενικό ολοκλήρωμα είναι επίσης αρκετά εύκολο να ελεγχθεί, το κύριο πράγμα είναι να μπορείτε να το βρείτε παράγωγο μιας συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά. Ας διαφοροποιήσουμε την απάντηση:

Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με:

Και διαιρέστε με:

Η αρχική διαφορική εξίσωση έχει ληφθεί ακριβώς, πράγμα που σημαίνει ότι το γενικό ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Παράδειγμα 4

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη. Εκτελέστε έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Να σας υπενθυμίσω ότι ο αλγόριθμος αποτελείται από δύο στάδια:
1) εξεύρεση γενικής λύσης.
2) εύρεση της απαιτούμενης συγκεκριμένης λύσης.

Ο έλεγχος πραγματοποιείται επίσης σε δύο βήματα (δείτε δείγμα στο Παράδειγμα Νο. 2), πρέπει να:
1) βεβαιωθείτε ότι η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί την αρχική συνθήκη.
2) ελέγξτε ότι μια συγκεκριμένη λύση ικανοποιεί γενικά τη διαφορική εξίσωση.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 5

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση , ικανοποιώντας την αρχική συνθήκη. Εκτελέστε έλεγχο.

Λύση:Αρχικά, ας βρούμε μια γενική λύση. Αυτή η εξίσωσηπεριέχει ήδη έτοιμα διαφορικά και, ως εκ τούτου, η λύση είναι απλοποιημένη. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές:

Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση:

Το ολοκλήρωμα στα αριστερά είναι πίνακα, το ολοκλήρωμα στα δεξιά λαμβάνεται μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Το γενικό ολοκλήρωμα έχει ληφθεί· είναι δυνατόν να εκφραστεί με επιτυχία η γενική λύση; Μπορώ. Κρεμάμε λογάριθμους και από τις δύο πλευρές. Δεδομένου ότι είναι θετικά, τα σημάδια συντελεστή είναι περιττά:

(Ελπίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν τη μεταμόρφωση, τέτοια πράγματα πρέπει να είναι ήδη γνωστά)

Λοιπόν, η γενική λύση είναι:

Ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στη δεδομένη αρχική συνθήκη.
Στη γενική λύση, αντί για «Χ» αντικαθιστούμε το μηδέν και αντί για «Υ» αντικαθιστούμε τον λογάριθμο δύο:

Πιο γνωστό σχέδιο:

Αντικαθιστούμε την ευρεθείσα τιμή της σταθεράς με τη γενική λύση.

Απάντηση:ιδιωτική λύση:

Έλεγχος: Αρχικά, ας ελέγξουμε αν πληρούται η αρχική προϋπόθεση:
- όλα είναι καλά.

Τώρα ας ελέγξουμε αν η συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε ικανοποιεί καθόλου τη διαφορική εξίσωση. Εύρεση της παραγώγου:

Ας δούμε την αρχική εξίσωση: – παρουσιάζεται σε διαφορικά. Υπάρχουν δύο τρόποι ελέγχου. Είναι δυνατό να εκφραστεί η διαφορά από την ευρεθείσα παράγωγο:

Ας αντικαταστήσουμε τη συγκεκριμένη λύση που βρέθηκε και τη διαφορά που προκύπτει στην αρχική εξίσωση :

Χρησιμοποιούμε τη βασική λογαριθμική ταυτότητα:

Λαμβάνεται η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η συγκεκριμένη λύση βρέθηκε σωστά.

Η δεύτερη μέθοδος ελέγχου είναι αντικατοπτρισμένη και πιο οικεία: από την εξίσωση Ας εκφράσουμε την παράγωγο, για να το κάνουμε αυτό χωρίζουμε όλα τα κομμάτια με:

Και στη μετασχηματισμένη ΔΕ αντικαθιστούμε τη μερική λύση που προκύπτει και την ευρεθείσα παράγωγο. Ως αποτέλεσμα των απλοποιήσεων, θα πρέπει επίσης να επιτευχθεί η σωστή ισότητα.

Παράδειγμα 6

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης. Να παρουσιάσετε την απάντηση με τη μορφή γενικού ολοκληρώματος.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας, ολοκληρωμένη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ποιες δυσκολίες περιμένουν κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων με διαχωρίσιμες μεταβλητές;

1) Δεν είναι πάντα προφανές (ειδικά σε μια «τσαγιέρα») ότι οι μεταβλητές μπορούν να διαχωριστούν. Ας εξετάσουμε ένα υπό όρους παράδειγμα: . Εδώ πρέπει να βγάλετε τους παράγοντες από αγκύλες: και να διαχωρίσετε τις ρίζες: . Είναι ξεκάθαρο τι πρέπει να κάνουμε στη συνέχεια.

2) Δυσκολίες με την ίδια την ένταξη. Τα ολοκληρώματα συχνά δεν είναι τα πιο απλά, και αν υπάρχουν ελαττώματα στις δεξιότητες εύρεσης αόριστο ολοκλήρωμα, τότε θα είναι δύσκολο με πολλούς διαχυτές. Επιπλέον, η λογική "αφού η διαφορική εξίσωση είναι απλή, τουλάχιστον ας είναι πιο περίπλοκα τα ολοκληρώματα" είναι δημοφιλής μεταξύ των μεταγλωττιστών συλλογών και εγχειριδίων εκπαίδευσης.

3) Μετασχηματισμοί με σταθερά. Όπως όλοι έχουν παρατηρήσει, η σταθερά στις διαφορικές εξισώσεις μπορεί να αντιμετωπιστεί αρκετά ελεύθερα και ορισμένοι μετασχηματισμοί δεν είναι πάντα ξεκάθαροι σε έναν αρχάριο. Ας δούμε ένα άλλο υπό όρους παράδειγμα: . Συνιστάται να πολλαπλασιάσετε όλους τους όρους επί 2: . Η σταθερά που προκύπτει είναι επίσης κάποιο είδος σταθεράς, η οποία μπορεί να συμβολιστεί με: . Ναι, και επειδή υπάρχει ένας λογάριθμος στη δεξιά πλευρά, τότε συνιστάται να ξαναγράψετε τη σταθερά με τη μορφή μιας άλλης σταθεράς: .

Το πρόβλημα είναι ότι συχνά δεν ασχολούνται με ευρετήρια και χρησιμοποιούν το ίδιο γράμμα. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται το αρχείο απόφασης επόμενη προβολή:

Τι είδους αίρεση; Υπάρχουν λάθη εκεί! Αυστηρά μιλώντας, ναι. Ωστόσο, από ουσιαστική άποψη, δεν υπάρχουν σφάλματα, διότι ως αποτέλεσμα του μετασχηματισμού μιας μεταβλητής σταθεράς, εξακολουθεί να προκύπτει μια μεταβλητή σταθερά.

Ή ένα άλλο παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι κατά την επίλυση της εξίσωσης προκύπτει ένα γενικό ολοκλήρωμα. Αυτή η απάντηση φαίνεται άσχημη, επομένως είναι σκόπιμο να αλλάξετε το πρόσημο κάθε όρου: . Τυπικά, υπάρχει ένα άλλο λάθος εδώ - θα πρέπει να γραφτεί στα δεξιά. Αλλά ανεπίσημα υπονοείται ότι το "μείον ce" εξακολουθεί να είναι μια σταθερά ( που μπορεί εξίσου εύκολα να πάρει οποιοδήποτε νόημα!), οπότε το να βάλετε ένα "μείον" δεν έχει νόημα και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το ίδιο γράμμα.

Θα προσπαθήσω να αποφύγω μια απρόσεκτη προσέγγιση και θα εξακολουθήσω να αντιστοιχίζω διαφορετικούς δείκτες σε σταθερές κατά τη μετατροπή τους.

Παράδειγμα 7

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης. Εκτελέστε έλεγχο.

Λύση:Αυτή η εξίσωση επιτρέπει τον διαχωρισμό των μεταβλητών. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές:

Ας ενσωματώσουμε:

Δεν είναι απαραίτητο να ορίσουμε τη σταθερά εδώ ως λογάριθμο, αφού τίποτα χρήσιμο δεν θα προκύψει από αυτό.

Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:

Έλεγχος: Διαφοροποιήστε την απάντηση (σιωπηρή συνάρτηση):

Απαλλαγούμε από τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας και τους δύο όρους με:

Έχει ληφθεί η αρχική διαφορική εξίσωση, που σημαίνει ότι το γενικό ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.

Παράδειγμα 8

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση της ΔΕ.
,

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Η μόνη υπόδειξη είναι ότι εδώ θα λάβετε ένα γενικό ολοκλήρωμα και, πιο σωστά μιλώντας, πρέπει να επιδιώξετε να βρείτε όχι μια συγκεκριμένη λύση, αλλά μερικό ολοκλήρωμα. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Οδηγίες

Εάν η εξίσωση παρουσιάζεται με τη μορφή: dy/dx = q(x)/n(y), να τις ταξινομήσετε ως διαφορικές εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές. Μπορούν να λυθούν γράφοντας τη συνθήκη σε διαφορικά ως εξής: n(y)dy = q(x)dx. Στη συνέχεια, ενσωματώστε και τις δύο πλευρές. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η λύση γράφεται με τη μορφή ολοκληρωμάτων που λαμβάνονται από γνωστές συναρτήσεις. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του dy/dx = x/y, παίρνουμε q(x) = x, n(y) = y. Γράψτε το με τη μορφή ydy = xdx και ενσωματώστε το. Θα πρέπει να είναι y^2 = x^2 + c.

Σε γραμμικό εξισώσειςσυσχετίστε τις εξισώσεις με το «πρώτο». Μια άγνωστη συνάρτηση με τις παραγώγους της εισέρχεται σε μια τέτοια εξίσωση μόνο στον πρώτο βαθμό. Το Linear έχει τη μορφή dy/dx + f(x) = j(x), όπου τα f(x) και g(x) είναι συναρτήσεις που εξαρτώνται από το x. Η λύση γράφεται χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα που λαμβάνονται από γνωστές συναρτήσεις.

Σημειώστε ότι πολλές διαφορικές εξισώσεις είναι εξισώσεις δεύτερης τάξης (που περιέχουν δευτερεύουσες παραγώγους) Για παράδειγμα, η εξίσωση της απλής αρμονικής κίνησης γράφεται σε γενική μορφή: md 2x/dt 2 = –kx. Τέτοιες εξισώσεις έχουν, σε , συγκεκριμένες λύσεις. Η εξίσωση της απλής αρμονικής κίνησης είναι ένα παράδειγμα μιας αρκετά σημαντικής εξίσωσης: γραμμικών διαφορικών εξισώσεων που έχουν σταθερός συντελεστής.

Αν στις συνθήκες της εργασίας υπάρχει μόνο ένα γραμμική εξίσωση, που σημαίνει ότι σας έχουν δοθεί επιπλέον προϋποθέσεις μέσω των οποίων μπορείτε να βρείτε λύση. Διαβάστε προσεκτικά το πρόβλημα για να βρείτε αυτές τις συνθήκες. Αν μεταβλητέςΤα x και y υποδεικνύουν απόσταση, ταχύτητα, βάρος - μη διστάσετε να ορίσετε το όριο x≥0 και y≥0. Είναι πολύ πιθανό το x ή το y να κρύβει τον αριθμό των μήλων κ.λπ. – τότε οι τιμές μπορούν να είναι μόνο . Εάν το x είναι η ηλικία του γιου, είναι σαφές ότι δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πατέρα του, οπότε υποδείξτε αυτό στις συνθήκες του προβλήματος.

Πηγές:

• πώς να λύσετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή

Τα προβλήματα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού είναι σημαντικά στοιχείαεμπέδωση της θεωρίας μαθηματική ανάλυση, κλάδος ανώτερων μαθηματικών που μελετάται σε πανεπιστήμια. Διαφορικός την εξίσωσηεπιλύεται με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης.

Οδηγίες

Ο διαφορικός λογισμός διερευνά τις ιδιότητες του . Και αντίστροφα, η ενσωμάτωση μιας συνάρτησης επιτρέπει δεδομένες ιδιότητες, π.χ. παράγωγα ή διαφορικά μιας συνάρτησης για να την βρεις η ίδια. Αυτή είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Οτιδήποτε είναι μια σχέση μεταξύ μιας άγνωστης ποσότητας και γνωστών δεδομένων. Στην περίπτωση μιας διαφορικής εξίσωσης, ο ρόλος του αγνώστου παίζεται από μια συνάρτηση και ο ρόλος των γνωστών μεγεθών παίζεται από τις παράγωγές του. Επιπλέον, η σχέση μπορεί να περιέχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, όπου x είναι άγνωστος μεταβλητή, y (x) είναι η συνάρτηση που πρέπει να προσδιοριστεί, η σειρά της εξίσωσης είναι η μέγιστη τάξη της παραγώγου (n).

Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται συνηθισμένη διαφορική εξίσωση. Εάν η σχέση περιέχει πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές και μερικές παραγώγους (διαφορικά) της συνάρτησης ως προς αυτές τις μεταβλητές, τότε η εξίσωση ονομάζεται μερική διαφορική εξίσωση και έχει τη μορφή: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , όπου z(x, y) είναι η απαιτούμενη συνάρτηση.

Έτσι, για να μάθετε πώς να λύνετε διαφορικές εξισώσεις, πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε αντιπαράγωγα, δηλ. επίλυση του προβλήματος αντίστροφα προς τη διαφοροποίηση. Για παράδειγμα: Λύστε την εξίσωση πρώτης τάξης y’ = -y/x.

Λύση Αντικαταστήστε το y’ με dy/dx: dy/dx = -y/x.

Μειώστε την εξίσωση σε μια μορφή κατάλληλη για ενσωμάτωση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με dx και διαιρέστε με y:dy/y = -dx/x.

Ενσωμάτωση: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Αυτή η λύση ονομάζεται γενική διαφορική εξίσωση. Το C είναι μια σταθερά της οποίας το σύνολο τιμών καθορίζει το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης. Για κάθε συγκεκριμένο νόημαΤο Γ θα είναι η μόνη λύση. Αυτή η λύση είναι μια μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Επίλυση των περισσότερων εξισώσεων υψηλότερης τάξης βαθμούςδεν έχει σαφή φόρμουλα για την εύρεση τετραγωνικών ριζών εξισώσεις. Ωστόσο, υπάρχουν αρκετές μέθοδοι μείωσης που σας επιτρέπουν να μετατρέψετε μια εξίσωση υψηλότερου βαθμού σε μια πιο οπτική μορφή.

Οδηγίες

Η πιο κοινή μέθοδος για την επίλυση εξισώσεων υψηλότερου βαθμού είναι η επέκταση. Αυτή η προσέγγιση είναι ένας συνδυασμός επιλογής ακεραίων ριζών, διαιρετών του ελεύθερου όρου και επακόλουθης διαίρεσης του γενικού πολυωνύμου στη μορφή (x – x0).

Για παράδειγμα, λύστε την εξίσωση x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Λύση: Ο ελεύθερος όρος αυτού του πολυωνύμου είναι -3, επομένως, οι ακέραιοι διαιρέτες του μπορούν να είναι οι αριθμοί ±1 και ±3. Αντικαταστήστε τα ένα προς ένα στην εξίσωση και μάθετε αν έχετε την ταυτότητα: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Δεύτερη ρίζα x = -1. Διαιρέστε με την παράσταση (x + 1). Γράψτε την εξίσωση που προκύπτει (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Ο βαθμός έχει μειωθεί στη δεύτερη, επομένως, η εξίσωση μπορεί να έχει δύο ακόμη ρίζες. Για να τα βρείτε, λύστε την τετραγωνική εξίσωση: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Το διακριτικό είναι μια αρνητική τιμή, που σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει πλέον πραγματικές ρίζες. Να βρείτε τις μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης: x = (-2 + i·√11)/2 και x = (-2 – i·√11)/2.

Μια άλλη μέθοδος για την επίλυση μιας εξίσωσης υψηλότερου βαθμού είναι η αλλαγή μεταβλητών για να γίνει τετραγωνική. Αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται όταν όλες οι δυνάμεις της εξίσωσης είναι ζυγές, για παράδειγμα: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Τώρα βρείτε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Συμβουλή 10: Πώς να προσδιορίσετε τις εξισώσεις οξειδοαναγωγής

Μια χημική αντίδραση είναι μια διαδικασία μετασχηματισμού ουσιών που συμβαίνει με μια αλλαγή στη σύνθεσή τους. Αυτές οι ουσίες που αντιδρούν ονομάζονται αρχικές ουσίες και αυτές που σχηματίζονται ως αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας ονομάζονται προϊόντα. Συμβαίνει ότι κατά τη διάρκεια μιας χημικής αντίδρασης, τα στοιχεία που αποτελούν τις αρχικές ουσίες αλλάζουν την κατάσταση οξείδωσής τους. Δηλαδή, μπορούν να δεχτούν τα ηλεκτρόνια κάποιου άλλου και να δώσουν τα δικά τους. Και στις δύο περιπτώσεις αλλάζει η χρέωση τους. Τέτοιες αντιδράσεις ονομάζονται αντιδράσεις οξειδοαναγωγής.