Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων διατυπώνεται για την επίλυση στατικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας δυναμικές μεθόδους.

Ορισμοί

Συνδέσειςκαλούνται όλα τα σώματα που περιορίζουν την κίνηση του εν λόγω σώματος.

Ιδανικόονομάζονται συνδέσεις, το έργο των αντιδράσεων των οποίων σε οποιαδήποτε πιθανή μετατόπιση είναι ίσο με μηδέν.

Αριθμός βαθμών ελευθερίαςενός μηχανικού συστήματος είναι ο αριθμός τέτοιων αμοιβαία ανεξάρτητων παραμέτρων με τη βοήθεια των οποίων προσδιορίζεται μοναδικά η θέση του συστήματος.

Για παράδειγμα, μια μπάλα που βρίσκεται σε ένα επίπεδο έχει πέντε βαθμούς ελευθερίας και μια κυλινδρική άρθρωση έχει έναν βαθμό ελευθερίας.

ΣΕ γενική περίπτωσητο μηχανικό σύστημα μπορεί να έχει άπειρος αριθμόςβαθμοί ελευθερίας.

Πιθανές κινήσειςθα ονομάσουμε τέτοιες κινήσεις που, πρώτον, επιτρέπονται από υπερτιθέμενες συνδέσεις και, δεύτερον, είναι απειροελάχιστες.

Ο μηχανισμός στροφάλου-ολισθητήρα έχει έναν βαθμό ελευθερίας. Οι ακόλουθες παράμετροι μπορούν να γίνουν δεκτές ως πιθανές κινήσεις:  ,  Χκαι τα λοιπά.

Για κάθε σύστημα, ο αριθμός των πιθανών κινήσεων ανεξάρτητων μεταξύ τους είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας.

Αφήστε κάποιο σύστημα να βρίσκεται σε ισορροπία και οι συνδέσεις που επιβάλλονται σε αυτό το σύστημα να είναι ιδανικές. Τότε για κάθε σημείο του συστήματος μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

, (102)

Οπου
- αποτέλεσμα ενεργών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε ένα υλικό σημείο.

- αποτέλεσμα αντιδράσεων δεσμού.

Πολλαπλασιάστε το (102) κλιμακωτά με το διάνυσμα πιθανής κίνησης του σημείου

,

αφού οι συνδέσεις είναι ιδανικές, είναι πάντα
, αυτό που απομένει είναι το άθροισμα των στοιχειωδών έργων των ενεργών δυνάμεων που δρουν στο σημείο

. (103)

Η εξίσωση (103) μπορεί να γραφτεί για όλα τα υλικά σημεία, αθροίζοντας τα οποία λαμβάνουμε

. (104)

Η εξίσωση (104) εκφράζει επόμενη αρχήπιθανές κινήσεις.

Για την ισορροπία ενός συστήματος με ιδανικές συνδέσεις, είναι απαραίτητο και αρκετό το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που δρουν σε αυτό για κάθε πιθανή κίνηση του συστήματος να είναι ίσο με μηδέν.

Ο αριθμός των εξισώσεων (104) είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας ενός δεδομένου συστήματος, κάτι που αποτελεί πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου.

Γενική εξίσωση δυναμικής (αρχή D'Alembert-Lagrange)

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων στατικής με τη χρήση δυναμικών μεθόδων· από την άλλη πλευρά, η αρχή του d'Alembert δίνει γενική μέθοδοςεπίλυση δυναμικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας στατικές μεθόδους. Συνδυάζοντας αυτές τις δύο αρχές, μπορούμε να αποκτήσουμε μια γενική μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων στη μηχανική, η οποία ονομάζεται αρχή D'Alembert-Lagrange.

. (105)

Όταν ένα σύστημα κινείται με ιδανικές συνδέσεις σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και όλων των αδρανειακών δυνάμεων σε οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος θα είναι ίσο με μηδέν.

Σε αναλυτική μορφή, η εξίσωση (105) έχει τη μορφή

Εξισώσεις Lagrange δεύτερου είδους

Γενικευμένες συντεταγμένες (q) Αυτές είναι παράμετροι που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και που καθορίζουν μοναδικά τη συμπεριφορά ενός μηχανικού συστήματος.

Ο αριθμός των γενικευμένων συντεταγμένων είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του μηχανικού συστήματος.

Οποιεσδήποτε παράμετροι έχουν οποιαδήποτε διάσταση μπορούν να επιλεγούν ως γενικευμένες συντεταγμένες.

Ν
Για παράδειγμα, όταν μελετάμε την κίνηση ενός μαθηματικού εκκρεμούς, το οποίο έχει έναν βαθμό ελευθερίας, ως γενικευμένη συντεταγμένη qοι παράμετροι μπορούν να γίνουν δεκτές:

Χ(Μ), y(ιγ) – συντεταγμένες σημείων.

μικρό(m) – μήκος τόξου.

 (m 2) – τομέας.

 (rad) – γωνία περιστροφής.

Καθώς το σύστημα κινείται, οι γενικευμένες συντεταγμένες του θα αλλάζουν συνεχώς με την πάροδο του χρόνου

Οι εξισώσεις (107) είναι οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες.

Οι παράγωγοι των γενικευμένων συντεταγμένων ως προς το χρόνο ονομάζονται γενικευμένες ταχύτητες συστήματος

. (108)

Η διάσταση της γενικευμένης ταχύτητας εξαρτάται από τη διάσταση της γενικευμένης συντεταγμένης.

Οποιεσδήποτε άλλες συντεταγμένες (καρτεσιανές, πολικές, κ.λπ.) μπορούν να εκφραστούν μέσω γενικευμένων συντεταγμένων.

Μαζί με την έννοια της γενικευμένης συντεταγμένης, εισάγεται η έννοια της γενικευμένης δύναμης.

Κάτω από γενικευμένη δύναμηκατανοούν μια ποσότητα ίση με την αναλογία του αθροίσματος των στοιχειωδών έργων όλων των δυνάμεων που δρουν στο σύστημα σε μια ορισμένη στοιχειώδη αύξηση της γενικευμένης συντεταγμένης προς αυτήν την αύξηση

, (109)

Οπου μικρό– γενικευμένος δείκτης συντεταγμένων.

Η διάσταση της γενικευμένης δύναμης εξαρτάται από τη διάσταση της γενικευμένης συντεταγμένης.

Για να βρούμε τις εξισώσεις κίνησης (107) ενός μηχανικού συστήματος με γεωμετρικές συνδέσεις σε γενικευμένες συντεταγμένες, χρησιμοποιούμε διαφορικές εξισώσειςσε μορφή Lagrange του δεύτερου είδους

. (110)

Β (110) κινητική ενέργεια Τσύστημα εκφράζεται μέσω γενικευμένων συντεταγμένων q μικρόκαι γενικευμένες ταχύτητες .

Οι εξισώσεις του Lagrange παρέχουν μια ενιαία και αρκετά απλή μέθοδο για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής. Ο τύπος και ο αριθμός των εξισώσεων δεν εξαρτάται από τον αριθμό των σωμάτων (σημείων) που περιλαμβάνονται στο σύστημα, αλλά μόνο από τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας. Με ιδανικούς δεσμούς, αυτές οι εξισώσεις καθιστούν δυνατή την εξάλειψη όλων των προηγουμένως άγνωστων αντιδράσεων δεσμών.

1. Γενικευμένες συντεταγμένες και αριθμός βαθμών ελευθερίας.

Όταν ένα μηχανικό σύστημα κινείται, όλα τα σημεία του δεν μπορούν να κινηθούν αυθαίρετα, αφού περιορίζονται από συνδέσεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι όλες οι συντεταγμένες σημείων ανεξάρτητες. Η θέση των σημείων καθορίζεται με τον καθορισμό μόνο ανεξάρτητων συντεταγμένων.

γενικευμένες συντεταγμένες. Για ολονομικά συστήματα (δηλαδή εκείνα των οποίων οι συνδέσεις εκφράζονται με εξισώσεις που εξαρτώνται μόνο από συντεταγμένες), ο αριθμός των ανεξάρτητων γενικευμένων συντεταγμένων ενός μηχανικού συστήματος ίσο με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας αυτό το σύστημα.

Παραδείγματα:

Η θέση όλων των σημείων καθορίζεται μοναδικά από τη γωνία περιστροφής

μανιβέλα.

Ένας βαθμός ελευθερίας.

2. Η θέση ενός ελεύθερου σημείου στο χώρο καθορίζεται από τρεις συντεταγμένες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Να γιατί τρεις βαθμούς ελευθερίας.

3. Άκαμπτο περιστρεφόμενο σώμα, θέση που καθορίζεται από τη γωνία περιστροφής ι . Ένας βαθμός ελευθερίας.

4. Ένα ελεύθερο άκαμπτο σώμα του οποίου η κίνηση καθορίζεται από έξι εξισώσεις - έξι βαθμούς ελευθερίας.

2. Πιθανές κινήσεις του μηχανικού συστήματος.

Ιδανικές συνδέσεις.

ΔυνατόνΟι μετατοπίσεις είναι φανταστικές απειροελάχιστες κινήσεις που επιτρέπονται αυτή τη στιγμήσυνδέσεις που επιβάλλονται στο σύστημα. Πιθανές κινήσεις σημείων ενός μηχανικού συστήματος θεωρούνται ως ποσότητες της πρώτης τάξης μικρότητας, επομένως, οι καμπυλόγραμμες κινήσεις των σημείων αντικαθίστανται από ευθύγραμμα τμήματα εφαπτομενικά στις τροχιές κίνησης των σημείων και ορίζονται dS.

dS A = dj . Ο.Α.

Όλες οι δυνάμεις που δρουν σε ένα υλικό σημείο χωρίζονται σε καθορισμένες δυνάμεις και δυνάμεις αντίδρασης.

Αν το άθροισμα του έργου που γίνεται από τις αντιδράσεις των δεσμών σε οποιαδήποτε πιθανή μετατόπιση του συστήματος είναι ίσο με μηδέν, τότε αυτοί οι δεσμοί ονομάζονται ιδανικό.

3. Η αρχή των πιθανών κινήσεων.

Για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος με ιδανικές συνδέσεις, είναι απαραίτητο και επαρκές το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των ενεργών δυνάμεων που δρουν σε αυτό για οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος να είναι ίσο με μηδέν.

Εννοια αρχή πιθανών κινήσεων:

1. Λαμβάνονται υπόψη μόνο οι ενεργές δυνάμεις.

2. Δίνει σε γενική μορφή τη συνθήκη ισορροπίας για οποιοδήποτε μηχανικό σύστημα, ενώ στη στατική είναι απαραίτητο να εξεταστεί η ισορροπία κάθε σώματος του συστήματος χωριστά.

Εργο.

Για μια δεδομένη θέση του μηχανισμού στροφάλου-ολισθητή σε ισορροπία, βρείτε τη σχέση μεταξύ ροπής και δύναμης αν ΟΑ = ℓ.

Γενική εξίσωση δυναμικής.

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων παρέχει μια γενική μέθοδο για την επίλυση στατικών προβλημάτων. Από την άλλη πλευρά, η αρχή του d'Alembert επιτρέπει τη χρήση στατικών μεθόδων για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων. Επομένως, με την ταυτόχρονη εφαρμογή αυτών των δύο αρχών, μπορεί να επιτευχθεί μια γενική μέθοδος για την επίλυση δυναμικών προβλημάτων.

Ας εξετάσουμε ένα μηχανικό σύστημα στο οποίο επιβάλλονται ιδανικοί περιορισμοί. Εάν οι αντίστοιχες δυνάμεις αδράνειας προστεθούν σε όλα τα σημεία του συστήματος, εκτός από τις ενεργές δυνάμεις και τις αντιδράσεις σύζευξης που δρουν σε αυτά, τότε σύμφωνα με την αρχή του d'Alembert, το προκύπτον σύστημα δυνάμεων θα είναι σε ισορροπία. Εφαρμόζοντας την αρχή των πιθανών κινήσεων, παίρνουμε:

Εφόσον οι συνδέσεις είναι ιδανικές, τότε:

Αυτή η ισότητα αντιπροσωπεύει γενική εξίσωση δυναμικής.

Από αυτό προκύπτει Αρχή d'Alembert-Lagrange– όταν ένα σύστημα κινείται με ιδανικές συνδέσεις σε κάθε χρονική στιγμή, το άθροισμα των στοιχειωδών έργων όλων των εφαρμοζόμενων ενεργών δυνάμεων και όλων των αδρανειακών δυνάμεων σε κάθε πιθανή κίνηση του συστήματος θα είναι ίσο με μηδέν.

Εργο.

Στην ανύψωση στο γρανάζι 2 βάρος 2Gμε ακτίνα R2 =Rεφαρμοζόμενη ροπή Μ=4ΓΡ.

Προσδιορίστε την επιτάχυνση του ανυψωμένου φορτίου ΕΝΑβάρος σολ, παραμελώντας το βάρος του σχοινιού και την τριβή στους άξονες. Ένα τύμπανο πάνω στο οποίο τυλίγεται το σχοινί και ένα γρανάζι στερεωμένο σε αυτό 1 , έχουν συνολικό βάρος 4Gκαι ακτίνα περιστροφής r = R. Ακτίνα τυμπάνου R A = Rκαι γρανάζια 1

R1 =0,5R.

Ας απεικονίσουμε όλες τις δρώντες δυνάμεις, την κατεύθυνση των επιταχύνσεων και τις πιθανές μετατοπίσεις.

________________

Ας υποκαταστήσουμε τη γενική εξίσωση της δυναμικής

Ας εκφράσουμε τη μετατόπιση ως προς τη γωνία περιστροφής δφ 1

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές

δφ 1 ≠0

Ας εκφράσουμε όλες τις επιταχύνσεις μέσω των απαιτούμενων ένα Ακαι εξισώστε την έκφραση σε αγκύλες με μηδέν

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές

Η αρχή των πιθανών κινήσεων.

a = 0,15 m

b = 2a = 0,3 m

m = 1,2 Nm _________________

x B; στο Β? N A ; Mp

Λύση: Ας βρούμε την αντίδραση του κινητού στηρίγματος ΕΝΑγιατί ας απορρίψουμε διανοητικά αυτή τη σύνδεση, αντικαθιστώντας τη δράση της με μια αντίδραση Ν Α

Πιθανή κίνηση της ράβδου ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝείναι η περιστροφή του γύρω από τον μεντεσέ ΜΕδιαγωνίως DJ. Πυρήνας Ήλιοςπαραμένει ακίνητος.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση εργασίας, λαμβάνοντας υπόψη ότι το έργο των δυνάμεων κατά τη στροφή ενός σώματος είναι ίσο με το γινόμενο της ροπής δύναμης σε σχέση με το κέντρο περιστροφής και τη γωνία περιστροφής του σώματος.

Για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων άκαμπτης στερέωσης σε ένα στήριγμα ΣΕβρείτε πρώτα τη στιγμή της αντίδρασης Κύριος. Για να γίνει αυτό, ας απορρίψουμε τη σύνδεση που εμποδίζει την περιστροφή της ράβδου Ήλιος, αντικαθιστώντας το άκαμπτο κούμπωμα με ένα αρθρωτό στήριγμα και εφαρμόζοντας μια ροπή Κύριος .

Ας πούμε στη ράβδο μια πιθανή περιστροφή κατά γωνία DJ 1.

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση εργασίας για τη ράβδο Ήλιος:

Ας ορίσουμε τις μετατοπίσεις:

Για να προσδιορίσουμε την κατακόρυφη συνιστώσα της αντίδρασης της άκαμπτης στερέωσης, απορρίπτουμε τη σύνδεση που εμποδίζει την κατακόρυφη κίνηση του σημείου ΣΕ, αντικαθιστώντας το άκαμπτο κούμπωμα με συρόμενο (η περιστροφή είναι αδύνατη) και εφαρμόζοντας την αντίδραση:

Ας πούμε την αριστερή πλευρά (ράβδος) Ήλιοςμε ρυθμιστικό ΣΕ) πιθανή ταχύτητα V Bκίνηση προς τα εμπρός προς τα κάτω. Πυρήνας ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝθα περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο ΕΝΑ .

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση εργασίας:

Για να προσδιορίσουμε την οριζόντια συνιστώσα της αντίδρασης της άκαμπτης στερέωσης, απορρίπτουμε τη σύνδεση που εμποδίζει την οριζόντια κίνηση του σημείου ΣΕαντικαθιστώντας το άκαμπτο σφράγισμα με συρόμενο και εφαρμόζοντας την αντίδραση:

Ας πούμε την αριστερή πλευρά (ρυθμιστικό) ΣΕμαζί με τη ράβδο Ήλιος) πιθανή ταχύτητα V Bκίνηση προς τα εμπρός προς τα αριστερά. Από την υποστήριξη ΕΝΑσε κυλίνδρους, τότε η δεξιά πλευρά θα κινηθεί προς τα εμπρός με την ίδια ταχύτητα. Ως εκ τούτου .

Ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση εργασίας για ολόκληρη τη δομή.

Για να ελέγξουμε την ορθότητα της λύσης, συντάσσουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για ολόκληρο το σύστημα:

Η προϋπόθεση πληρούται.

Απάντηση: y Β = -14,2 Η; Χ Β = -28,4 Η; Ν Α = 14,2 Η; V P = 3,33 Nm.

Γενικευμένες ταχύτητες. Γενικευμένες δυνάμεις.

Τα ανεξάρτητα μεγέθη που καθορίζουν μοναδικά τη θέση όλων των σημείων ενός μηχανικού συστήματος ονομάζονται γενικευμένες συντεταγμένες. – q

Εάν το σύστημα έχει μικρόβαθμούς ελευθερίας, τότε θα καθοριστεί η θέση του μικρόγενικευμένες συντεταγμένες:

q 1 ; q 2 ; ...; qs.

Εφόσον οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οι στοιχειώδεις αυξήσεις αυτών των συντεταγμένων θα είναι επίσης ανεξάρτητες:

dq 1 ; dq 2 ; ...; dq S .

Επιπλέον, καθεμία από τις ποσότητες dq 1 ; dq 2 ; ...; dq Sκαθορίζει την αντίστοιχη πιθανή κίνηση του συστήματος, ανεξάρτητα από άλλες.

Καθώς το σύστημα κινείται, οι γενικευμένες συντεταγμένες του θα αλλάζουν συνεχώς με την πάροδο του χρόνου· ο νόμος αυτής της κίνησης καθορίζεται από τις εξισώσεις:

, …. ,

Αυτές είναι οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος σε γενικευμένες συντεταγμένες.

Οι παράγωγοι γενικευμένων συντεταγμένων ως προς το χρόνο ονομάζονται γενικευμένες ταχύτητες του συστήματος:

Το μέγεθος εξαρτάται από το μέγεθος q.

Θεωρήστε ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από n υλικά σημεία στα οποία δρουν δυνάμεις F 1 , F 2 , F n. Αφήστε το σύστημα να έχει μικρόβαθμούς ελευθερίας και η θέση του καθορίζεται από γενικευμένες συντεταγμένες q 1 ; q 2 ; q 3. Ας ενημερώσουμε το σύστημα για μια πιθανή κίνηση στην οποία η συντεταγμένη q 1παίρνει προσαύξηση dq 1, και οι υπόλοιπες συντεταγμένες δεν αλλάζουν. Τότε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου λαμβάνει μια στοιχειώδη αύξηση (dr k) 1. Αυτή είναι η αύξηση που λαμβάνει το διάνυσμα ακτίνας όταν αλλάζει μόνο η συντεταγμένη q 1κατά το ποσό dq 1. Οι υπόλοιπες συντεταγμένες παραμένουν αμετάβλητες. Να γιατί (dr k) 1υπολογίζεται ως μερικό διαφορικό:

Ας υπολογίσουμε το στοιχειώδες έργο όλων των εφαρμοζόμενων δυνάμεων:

Ας το βάλουμε εκτός παρένθεσης dq 1, παίρνουμε:

Οπου - γενικευμένη εξουσία.

Ετσι, γενικευμένη δύναμη – αυτός είναι ο συντελεστής για αυξήσεις της γενικευμένης συντεταγμένης.

Ο υπολογισμός των γενικευμένων δυνάμεων καταλήγει στον υπολογισμό πιθανής στοιχειώδους εργασίας.

Αν αλλάξουν όλοι q, Οτι:

Σύμφωνα με την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων, για να είναι το σύστημα σε ισορροπία είναι απαραίτητο και αρκετό αυτό SdА а к = 0. Σε γενικευμένες συντεταγμένες Ε 1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dq s = 0ως εκ τούτου, Για ισορροπία του συστήματοςείναι απαραίτητο και επαρκές οι γενικευμένες δυνάμεις που αντιστοιχούν στις πιθανές μετατοπίσεις που επιλέγονται για το σύστημα, και επομένως οι γενικευμένες συντεταγμένες, ήταν ίσες με μηδέν.

Q 1 = 0; Q2 = 0; … Q s = 0.

Εξισώσεις Lagrange.

Χρησιμοποιώντας τη γενική δυναμική εξίσωση για ένα μηχανικό σύστημα, μπορούν να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης του μηχανικού συστήματος.

4) προσδιορίστε την κινητική ενέργεια του συστήματος, εκφράστε αυτήν την ενέργεια μέσω γενικευμένων ταχυτήτων και γενικευμένων συντεταγμένων.

5) βρείτε τις αντίστοιχες επιμέρους παραγώγους του Τμε και και αντικαταστήστε όλες τις τιμές στην εξίσωση.

Θεωρία επιπτώσεων.

Η κίνηση ενός σώματος υπό τη δράση συνηθισμένων δυνάμεων χαρακτηρίζεται από μια συνεχή αλλαγή στις μονάδες και τις κατευθύνσεις των ταχυτήτων αυτού του σώματος. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις που οι ταχύτητες σημείων του σώματος, άρα και η ορμή του άκαμπτου σώματος, υφίστανται πεπερασμένες αλλαγές σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα.

Φαινόμενο, στην οποία, σε μια αμελητέα μικρή χρονική περίοδο, οι ταχύτητες των σημείων του σώματος αλλάζουν κατά ένα πεπερασμένο ποσό λέγεται πλήγμα.

Δύναμη, υπό τη δράση του οποίου επέρχεται κρούση, ονομάζονται τύμπανα.

Σύντομη περίοδος χρόνου t, κατά την οποία συμβαίνει η κρούση ονομάζεται χρόνος πρόσκρουσης.

Δεδομένου ότι οι δυνάμεις κρούσης είναι πολύ μεγάλες και μεταβάλλονται εντός σημαντικών ορίων κατά τη διάρκεια της κρούσης, στη θεωρία της κρούσης, όχι οι ίδιες οι δυνάμεις κρούσης, αλλά οι ωθήσεις τους θεωρούνται ως μέτρο της αλληλεπίδρασης των σωμάτων.

Παρορμήσεις δυνάμεων μη πρόσκρουσης με την πάροδο του χρόνου tθα είναι πολύ μικρές τιμές και μπορούν να παραμεληθούν.

Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός σημείου κατά την κρούση:

Οπου v– ταχύτητα του σημείου στην αρχή της κρούσης,

u– ταχύτητα του σημείου στο τέλος της κρούσης.

Βασική εξίσωση της θεωρίας επιπτώσεων.

Η μετατόπιση των σημείων σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα, δηλαδή κατά την κρούση, θα είναι επίσης μικρή και επομένως, θα θεωρούμε το σώμα ακίνητο.

Έτσι, μπορούμε να βγάλουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα σχετικά με τη δράση των δυνάμεων κρούσης:

1) η δράση των δυνάμεων χωρίς πρόσκρουση κατά τη διάρκεια της κρούσης μπορεί να παραμεληθεί.

2) οι μετατοπίσεις των σημείων του σώματος κατά τη διάρκεια της κρούσης μπορούν να παραμεληθούν και το σώμα μπορεί να θεωρηθεί ακίνητο κατά την κρούση.

Εικόνα 2.4

Λύση

Ας αντικαταστήσουμε το κατανεμημένο φορτίο με μια συγκεντρωμένη δύναμη Q = q∙DH. Αυτή η δύναμη εφαρμόζεται στο μέσο του τμήματος D.H.- στο σημείο μεγάλο.

Δύναμη φάΑς το αποσυνθέσουμε σε εξαρτήματα, προβάλλοντάς το στον άξονα: οριζόντιο Fxcosακαι κάθετη F y sina.

Εικόνα 2.5

Για να λυθεί ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων, είναι απαραίτητο η δομή να μπορεί να κινηθεί και ταυτόχρονα να υπάρχει μία άγνωστη αντίδραση στην εξίσωση εργασίας. Σε υποστήριξη ΕΝΑη αντίδραση αναλύεται σε συστατικά Χ Α, Υ Α.

Για τον καθορισμό Χ Ααλλάξτε το σχέδιο του στηρίγματος ΕΝΑώστε το σημείο ΕΝΑμπορούσε να κινηθεί μόνο οριζόντια. Ας εκφράσουμε τη μετατόπιση των σημείων της κατασκευής μέσω μιας πιθανής περιστροφής του τμήματος CDBγύρω από το σημείο σιδιαγωνίως δφ 1, Μέρος A.K.C.η δομή σε αυτή την περίπτωση περιστρέφεται γύρω από το σημείο C V1— στιγμιαίο κέντρο περιστροφής (Εικόνα 2.5) υπό γωνία δφ 2και κινούμενα σημεία μεγάλοΚαι ντο- θα

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1.

Ταυτοχρονα

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.

Είναι πιο βολικό να κατασκευάσουμε την εξίσωση εργασίας μέσω του έργου ροπών δεδομένων δυνάμεων σε σχέση με τα κέντρα περιστροφής.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.

Αντίδραση Υ Αδεν κάνει τη δουλειά. Μεταμορφώνοντας αυτή την έκφραση, παίρνουμε

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.

Μειώθηκε κατά δφ 1, παίρνουμε μια εξίσωση από την οποία μπορούμε εύκολα να βρούμε Χ Α.

Για τον καθορισμό Υ Αδομή στήριξης ΕΝΑΑς το αλλάξουμε έτσι ώστε κατά τη μετακίνηση του σημείου ΕΝΑμόνο η δύναμη έκανε τη δουλειά Υ Α(Εικόνα 2.6). Ας πάρουμε την πιθανή κίνηση μέρους της δομής ως BDCπεριστροφή γύρω από ένα σταθερό σημείο σι — δφ 3.

Εικόνα 2.6

Για ένα σημείο ντο δS C = BC∙δφ 3, το στιγμιαίο κέντρο περιστροφής για ένα μέρος της κατασκευής A.K.C.θα υπάρχει ένα σημείο C V2, και μετακινώντας το σημείο ντοθα εκφραστεί.

Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων καθιστά δυνατή την επίλυση μιας μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων σχετικά με την ισορροπία των μηχανικών συστημάτων - την εύρεση άγνωστων ενεργών δυνάμεων, τον προσδιορισμό των αντιδράσεων των συνδέσεων, την εύρεση των θέσεων ισορροπίας ενός μηχανικού συστήματος υπό την επίδραση ενός εφαρμοσμένου σύστημα δυνάμεων. Ας το ερμηνεύσουμε αυτό με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1. Να βρείτε το μέγεθος της δύναμης P που συγκρατεί βαριά λεία πρίσματα με μάζες σε κατάσταση ισορροπίας. Η γωνία λοξοτομής των πρισμάτων είναι ίση (Εικ. 73).

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε την αρχή των πιθανών κινήσεων. Ας ενημερώσουμε το σύστημα πιθανής μετατόπισης και ας υπολογίσουμε το πιθανό έργο των ενεργών δυνάμεων:

Το πιθανό έργο που γίνεται από τη βαρύτητα είναι μηδέν, αφού η δύναμη είναι κάθετη στο διάνυσμα της στοιχειώδους μετατόπισης του σημείου εφαρμογής της δύναμης. Αντικαθιστώντας την τιμή εδώ και εξισώνοντας την έκφραση με μηδέν, παίρνουμε:

Επειδή , η έκφραση σε αγκύλες είναι ίση με μηδέν:

Από εδώ βρίσκουμε

Παράδειγμα 2. Μια ομοιογενής δοκός AB μήκους και βάρους P, φορτωμένη από ένα ζεύγος δυνάμεων με δεδομένη ροπή M, στερεώνεται όπως φαίνεται στο Σχ. 74 και βρίσκεται σε ηρεμία. Να προσδιορίσετε την αντίδραση της ράβδου ΒΔ αν κάνει γωνία α με την οριζόντια.

Λύση. Η εργασία διαφέρει από την προηγούμενη στο ότι εδώ απαιτείται να βρεθεί η αντίδραση μιας ιδανικής σύνδεσης. Αλλά η αντίδραση των ιδανικών συνδέσεων δεν περιλαμβάνεται στην εξίσωση της εργασίας που εκφράζει την αρχή των πιθανών κινήσεων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η αρχή των πιθανών μετακινήσεων θα πρέπει να εφαρμόζεται σε συνδυασμό με την αρχή της αποδέσμευσης από τους δεσμούς.

Ας απορρίψουμε νοερά τη ράβδο BD και ας θεωρήσουμε την αντίδρασή της S ως μια ενεργή δύναμη αγνώστου μεγέθους. Μετά από αυτό, θα ενημερώσουμε το σύστημα για την πιθανή κίνηση (με την προϋπόθεση ότι αυτή η σύνδεση απουσιάζει εντελώς). Αυτή θα είναι μια στοιχειώδης περιστροφή της δοκού ΑΒ υπό γωνία γύρω από τον άξονα άρθρωσης Α προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση (στο Σχ. 74 - αριστερόστροφα). Οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις των σημείων εφαρμογής των ενεργών δυνάμεων και η αντίδραση S που αποδίδεται σε αυτά είναι ίσες με:

Δημιουργούμε μια εξίσωση εργασίας

Εξισώνοντας την έκφραση σε παρένθεση με μηδέν, βρίσκουμε

Παράδειγμα 3. Μια ομοιογενής ράβδος ΟΑ στερεώνεται κατά βάρος χρησιμοποιώντας έναν κυλινδρικό μεντεσέ Ο και ένα ελατήριο ΑΒ (Εικ. 75). Προσδιορίστε τις θέσεις στις οποίες η ράβδος μπορεί να βρίσκεται σε ισορροπία εάν η ακαμψία του ελατηρίου είναι ίση με k, το φυσικό μήκος του ελατηρίου - και το σημείο Β βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το σημείο Ο.

Λύση. Στη ράβδο ΟΑ ασκούνται δύο ενεργές δυνάμεις - το δικό της βάρος και η ελαστική δύναμη του ελατηρίου όπου είναι η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την κατακόρυφη ΟΒ. Οι επάλληλες συνδέσεις είναι ιδανικές (σε αυτή την περίπτωση υπάρχει μόνο μία σύνδεση - μεντεσέ O).

Ας ενημερώσουμε το σύστημα πιθανής κίνησης - μια στοιχειώδη περιστροφή της ράβδου γύρω από τον άξονα άρθρωσης O κατά μια γωνία , να υπολογίσουμε το πιθανό έργο των ενεργών δυνάμεων και να το εξισώσουμε με μηδέν:

Αντικαθιστώντας εδώ την έκφραση για τη δύναμη F και την τιμή

μετά από απλούς μετασχηματισμούς παίρνουμε το εξής τριγωνομετρική εξίσωσηγια τον προσδιορισμό της γωνίας (p όταν η ράβδος βρίσκεται σε ισορροπία:

Η εξίσωση ορίζει τρεις τιμές για τη γωνία:

Κατά συνέπεια, η ράβδος έχει τρεις θέσεις ισορροπίας. Αφού οι δύο πρώτες θέσεις ισορροπίας υπάρχουν εάν η συνθήκη ικανοποιείται. Η ισορροπία υπάρχει πάντα.

Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι η αρχή των πιθανών κινήσεων μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα με μη ιδανικές συνδέσεις. Η έμφαση στην ιδεατότητα των συνδέσεων δίνεται στη διατύπωση της αρχής με έναν μοναδικό σκοπό - να δείξει ότι οι εξισώσεις ισορροπίας των μηχανικών συστημάτων μπορούν να συνταχθούν χωρίς να συμπεριλαμβάνονται οι αντιδράσεις των ιδανικών συνδέσεων, απλοποιώντας έτσι τους υπολογισμούς.

Για συστήματα με μη ιδανικές συνδέσεις, η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων θα πρέπει να αναδιατυπωθεί ως εξής: για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος με συνδέσεις συγκράτησης, μεταξύ των οποίων υπάρχουν και μη ιδανικές συνδέσεις, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι πιθανή εργασίαενεργές δυνάμεις και αντιδράσεις των μη ιδανικών συνδέσεων ήταν ίσο με μηδέν. Είναι δυνατόν, ωστόσο, να γίνει χωρίς αναδιατύπωση της αρχής, ταξινομώντας υπό όρους τις αντιδράσεις των μη ιδανικών συνδέσεων μεταξύ των ενεργών δυνάμεων.

Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

1. Ποιο είναι το κύριο χαρακτηριστικό ενός μη ελεύθερου μηχανικού συστήματος σε σύγκριση με ένα ελεύθερο;

2. Τι είναι πιθανή κίνηση; Δώσε παραδείγματα.

3. Πώς καθορίζονται οι διακυμάνσεις στις συντεταγμένες των σημείων του συστήματος κατά την πιθανή μετακίνησή του (αναφέρετε τρεις μεθόδους);

4. Πώς ταξινομούνται οι συνδέσεις ανάλογα με το είδος των εξισώσεών τους; Δώστε παραδείγματα περιοριστικών και μη συνδέσεων, σταθερών και μη.

5. Σε ποια περίπτωση η σύνδεση ονομάζεται ιδανική; Ατελής?

6. Δώστε μια λεκτική διατύπωση και μαθηματική σημειογραφία της αρχής των πιθανών κινήσεων.

7. Πώς διατυπώνεται η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων για συστήματα που περιέχουν μη ιδανικές συνδέσεις;

8. Καταγράψτε τους κύριους τύπους προβλημάτων που επιλύθηκαν χρησιμοποιώντας την αρχή των πιθανών κινήσεων.

Γυμνάσια

Χρησιμοποιώντας την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων, λύστε τα παρακάτω προβλήματα από τη συλλογή του I.V. Έκδοση Meshchersky 1981: 46.1; 46,8; 46,17; 2.49; 4.53.

Είναι απαραίτητο και επαρκές το άθροισμα του έργου, όλων των ενεργών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα για οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος, να είναι ίσο με μηδέν.

Ο αριθμός των εξισώσεων που μπορούν να συνταχθούν για ένα μηχανικό σύστημα, με βάση την αρχή των πιθανών μετατοπίσεων, είναι ίσος με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας αυτού του ίδιου του μηχανικού συστήματος.

Βιβλιογραφία

• Targ S. M. Σύντομο μάθημα στη θεωρητική μηχανική. Σχολικό βιβλίο για κολέγια - 10η έκδ., αναθεωρημένη. και επιπλέον - Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1986.- 416 σ., εικ.
• Βασικό μάθημα στη θεωρητική μηχανική (μέρος πρώτο) N. N. Buchgolts, Nauka Publishing House, Main Editorial Office of Physics and Mathematics Literature, Moscow, 1972, 468 pp.

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Δείτε τι είναι η «Αρχή των Πιθανών Μετατοπίσεων» σε άλλα λεξικά:

αρχή πιθανών κινήσεων

Μία από τις μεταβλητές αρχές της μηχανικής, που καθορίζει τη γενική συνθήκη για τη μηχανική ισορροπία. συστήματα. Σύμφωνα με τον V. p.p., για τη μηχανική ισορροπία. συστήματα με ιδανικές συνδέσεις (βλ. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΣΥΝΔΕΣΕΙΣ) είναι απαραίτητο και επαρκές το άθροισμα των εργασιών dAi... ... Φυσική εγκυκλοπαίδεια

Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

ΑΡΧΗ ΠΙΘΑΝΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ, για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος είναι απαραίτητο και αρκετό το άθροισμα του έργου όλων των δυνάμεων που δρουν στο σύστημα για κάθε πιθανή κίνηση του συστήματος να είναι ίσο με μηδέν. Η αρχή των πιθανών κινήσεων εφαρμόζεται όταν... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Μία από τις μεταβλητές αρχές της μηχανικής (Βλ. Μεταβλητές αρχές της μηχανικής), που καθιερώνει τη γενική συνθήκη για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος. Σύμφωνα με τον V. p.p., για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος με ιδανικές συνδέσεις (βλ. Συνδέσεις ... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Η αρχή της εικονικής ταχύτητας, η αρχή της διαφορικής μεταβολής της κλασικής μηχανικής, εκφράζει τις πιο γενικές συνθήκες ισορροπίας των μηχανικών συστημάτων που περιορίζονται από ιδανικές συνδέσεις. Σύμφωνα με τον V. σ. σ. μηχαν. το σύστημα είναι σε ισορροπία... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Για την ισορροπία ενός μηχανικού συστήματος, είναι απαραίτητο και επαρκές το άθροισμα του έργου που επιτελούν όλες οι δυνάμεις που δρουν στο σύστημα για οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος να είναι ίσο με μηδέν. Η αρχή των πιθανών μετατοπίσεων εφαρμόζεται στη μελέτη των συνθηκών ισορροπίας... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Για μηχανική ισορροπία. Είναι απαραίτητο και επαρκές για το σύστημα το άθροισμα του έργου που κάνουν όλες οι δυνάμεις που δρουν στο σύστημα για οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος να είναι ίσο με μηδέν. Το V. p. p. χρησιμοποιείται στη μελέτη των συνθηκών ισορροπίας πολύπλοκων μηχανικών συστημάτων. συστήματα...... Φυσικές Επιστήμες. εγκυκλοπαιδικό λεξικό

αρχή των εικονικών μετατοπίσεων- virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: αγγλ. αρχή εικονικής μετατόπισης vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. αρχή εικονικών μετατοπίσεων, m; αρχή πιθανών κινήσεων, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Μία από τις μεταβλητές αρχές της μηχανικής, σύμφωνα με το ρούμι για μια δεδομένη κατηγορία μηχανικών κινήσεων σε σύγκριση μεταξύ τους. σύστημα, το έγκυρο είναι αυτό για το οποίο φυσικό. μέγεθος, που ονομάζεται δράση, έχει τη μικρότερη (ακριβέστερα, ακίνητη)…… Φυσική εγκυκλοπαίδεια

Βιβλία

• Θεωρητική μηχανική. Σε 4 τόμους. Τόμος 3: Δυναμική. Αναλυτική μηχανική. Κείμενα διαλέξεων. Γύπας του Υπουργείου Άμυνας της Ρωσικής Ομοσπονδίας, Bogomaz Irina Vladimirovna. ΣΕ εγχειρίδιοδύο μέρη ενός ενιαίου μαθήματος για θεωρητική μηχανική: δυναμική και αναλυτική μηχανική. Το πρώτο μέρος εξετάζει λεπτομερώς το πρώτο και το δεύτερο προβλήματα της δυναμικής, επίσης...