Αυτή η παράγραφος θα συζητηθεί ειδική περίπτωση γραμμικές εξισώσειςδεύτερης τάξης, όταν οι συντελεστές της εξίσωσης είναι σταθεροί, δηλαδή είναι αριθμοί. Τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Αυτός ο τύπος εξισώσεων βρίσκει ιδιαίτερα ευρεία εφαρμογή.

1. Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις

δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Θεωρήστε την εξίσωση

στην οποία οι συντελεστές είναι σταθεροί. Υποθέτοντας ότι διαιρώντας όλους τους όρους της εξίσωσης με και δηλώνοντας

ας γράψουμε δεδομένη εξίσωσηόπως και

Όπως είναι γνωστό, για να βρεθεί μια γενική λύση σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης, αρκεί να γνωρίζουμε το θεμελιώδες σύστημα μερικών λύσεών της. Ας σας δείξουμε πώς είναι θεμελιώδες σύστημαεπιμέρους λύσεις για ομοιογενή γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση αυτής της εξίσωσης στη μορφή

Διαφοροποιώντας αυτή τη συνάρτηση δύο φορές και αντικαθιστώντας τις εκφράσεις στην εξίσωση (59), λαμβάνουμε

Αφού, λοιπόν, μειώνοντας κατά παίρνουμε την εξίσωση

Από αυτή την εξίσωση, προσδιορίζονται εκείνες οι τιμές του k για τις οποίες η συνάρτηση θα είναι λύση στην εξίσωση (59).

Η αλγεβρική εξίσωση (61) για τον προσδιορισμό του συντελεστή k ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση αυτής της διαφορικής εξίσωσης (59).

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι εξίσωση δεύτερου βαθμού και επομένως έχει δύο ρίζες. Αυτές οι ρίζες μπορεί να είναι είτε πραγματικές διακριτές, πραγματικές και ίσες, είτε σύνθετες συζυγείς.

Ας εξετάσουμε ποια μορφή έχει το θεμελιώδες σύστημα συγκεκριμένων λύσεων σε καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις.

1. Ρίζες χαρακτηριστική εξίσωσηπραγματικό και διακριτό: . Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιώντας τον τύπο (60) βρίσκουμε δύο επιμέρους λύσεις:

Αυτές οι δύο συγκεκριμένες λύσεις σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, αφού η ορίζουσα Wronski δεν εξαφανίζεται πουθενά:

Κατά συνέπεια, η γενική λύση της εξίσωσης σύμφωνα με τον τύπο (48) έχει τη μορφή

2. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ίσες: . Σε αυτή την περίπτωση, και οι δύο ρίζες θα είναι πραγματικές. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (60), λαμβάνουμε μόνο μία συγκεκριμένη λύση

Ας δείξουμε ότι η δεύτερη συγκεκριμένη λύση, η οποία μαζί με την πρώτη σχηματίζει ένα θεμελιώδες σύστημα, έχει τη μορφή

Πρώτα απ 'όλα, ας ελέγξουμε ότι η συνάρτηση είναι λύση της εξίσωσης (59). Πραγματικά,

Όμως, αφού υπάρχει ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (61). Επιπλέον, σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta, Επομένως . Κατά συνέπεια, δηλ. η συνάρτηση είναι πράγματι λύση στην εξίσωση (59).

Ας δείξουμε τώρα ότι οι επιμέρους λύσεις που βρέθηκαν αποτελούν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Πραγματικά,

Έτσι, στην περίπτωση αυτή η γενική λύση της ομογενούς γραμμικής εξίσωσης έχει τη μορφή

3. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές. Όπως είναι γνωστό, οι μιγαδικές ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, δηλαδή μοιάζουν με: . Στην περίπτωση αυτή, μερικές λύσεις της εξίσωσης (59), σύμφωνα με τον τύπο (60), θα έχουν τη μορφή:

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Euler (βλ. Κεφάλαιο XI, § 5, παράγραφος 3), οι εκφράσεις για μπορούν να γραφτούν ως:

Αυτές οι λύσεις είναι ολοκληρωμένες. Για να λάβετε έγκυρες λύσεις, εξετάστε τις νέες λειτουργίες

Είναι γραμμικοί συνδυασμοί λύσεων και, επομένως, είναι οι ίδιες λύσεις της εξίσωσης (59) (βλ. § 3, στοιχείο 2, Θεώρημα 1).

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η ορίζουσα Wronski για αυτές τις λύσεις είναι μη μηδενική και, επομένως, οι λύσεις αποτελούν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων.

Έτσι, η γενική λύση μιας ομοιογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης στην περίπτωση μιγαδικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης έχει τη μορφή

Συμπερασματικά, παρουσιάζουμε έναν πίνακα τύπων για τη γενική λύση της εξίσωσης (59) ανάλογα με το είδος των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Εδώ θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο μεταβολής των σταθερών Lagrange για την επίλυση γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Λεπτομερής περιγραφήαυτή η μέθοδος για την επίλυση εξισώσεων αυθαίρετης σειράς περιγράφεται στη σελίδα
Επίλυση γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων υψηλότερων τάξεων με τη μέθοδο Lagrange >>>.

Παράδειγμα 1

Λύστε μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταβολής των σταθερών Lagrange:
(1)

Λύση

Αρχικά λύνουμε την ομοιογενή διαφορική εξίσωση:
(2)

Αυτή είναι μια εξίσωση δεύτερης τάξης.

Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
.
Πολλαπλές ρίζες: . Το θεμελιώδες σύστημα λύσεων της εξίσωσης (2) έχει τη μορφή:
(3) .
Από εδώ παίρνουμε μια γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης (2):
(4) .

Μεταβολή των σταθερών C 1 και Γ 2 . Δηλαδή, αντικαθιστούμε τις σταθερές στο (4) με συναρτήσεις:
.
Αναζητούμε μια λύση στην αρχική εξίσωση (1) με τη μορφή:
(5) .

Εύρεση της παραγώγου:
.
Ας συνδέσουμε τις συναρτήσεις και την εξίσωση:
(6) .
Επειτα
.

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο:
.
Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση (1):
(1) ;



.
Εφόσον και ικανοποιείται η ομοιογενής εξίσωση (2), το άθροισμα των όρων σε κάθε στήλη των τριών τελευταίων σειρών δίνει μηδέν και η προηγούμενη εξίσωση παίρνει τη μορφή:
(7) .
Εδώ .

Μαζί με την εξίσωση (6) παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συναρτήσεων και:
(6) :
(7) .

Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (6-7). Ας γράψουμε εκφράσεις για τις συναρτήσεις και:
.
Βρίσκουμε τα παράγωγά τους:
;
.

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (6-7) με τη μέθοδο Cramer. Υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα συστήματος:

.
Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:
;
.

Βρήκαμε λοιπόν τις παραγώγους των συναρτήσεων:
;
.
Ας ενσωματώσουμε (δείτε Μέθοδοι ενσωμάτωσης ριζών). Πραγματοποίηση αντικατάστασης
; ; ; .

.
.

;
.

Απάντηση

Παράδειγμα 2

Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση με τη μέθοδο της μεταβολής των σταθερών Lagrange:
(8)

Λύση

Βήμα 1. Επίλυση της ομοιογενούς εξίσωσης

Λύνουμε την ομοιογενή διαφορική εξίσωση:

(9)
Αναζητούμε λύση με τη μορφή . Συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

Αυτή η εξίσωση έχει σύνθετες ρίζες:
.
Το θεμελιώδες σύστημα λύσεων που αντιστοιχεί σε αυτές τις ρίζες έχει τη μορφή:
(10) .
Γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης (9):
(11) .

Βήμα 2. Μεταβολή σταθερών - αντικατάσταση σταθερών με συναρτήσεις

Τώρα μεταβάλλουμε τις σταθερές C 1 και Γ 2 . Δηλαδή, αντικαθιστούμε τις σταθερές στην (11) με συναρτήσεις:
.
Αναζητούμε μια λύση στην αρχική εξίσωση (8) με τη μορφή:
(12) .

Επιπλέον, η πρόοδος της λύσης είναι η ίδια όπως στο παράδειγμα 1. Φτάνουμε στο ακόλουθο σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συναρτήσεων και:
(13) :
(14) .
Εδώ .

Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα. Ας γράψουμε τις εκφράσεις για τις συναρτήσεις και :
.
Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
;
.

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (13-14) με τη μέθοδο Cramer. Καθοριστής του πίνακα συστήματος:

.
Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:
;
.

.
Εφόσον , το πρόσημο συντελεστή κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου μπορεί να παραλειφθεί. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με:
.
Επειτα
.

Γενική λύση της αρχικής εξίσωσης:


.

Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης ονομάζεται εξίσωση της μορφής

y"" + Π(Χ)y" + q(Χ)y = φά(Χ) ,

Οπου yείναι η συνάρτηση που πρέπει να βρεθεί, και Π(Χ) , q(Χ) Και φά(Χ) - συνεχείς συναρτήσεις σε ένα ορισμένο διάστημα ( α, β) .

Αν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι μηδέν ( φά(Χ) = 0), τότε καλείται η εξίσωση γραμμική ομοιογενής εξίσωση . Το πρακτικό μέρος αυτού του μαθήματος θα αφιερωθεί κυρίως σε τέτοιες εξισώσεις. Αν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεν είναι ίση με μηδέν ( φά(Χ) ≠ 0), τότε η εξίσωση ονομάζεται .

Στα προβλήματα καλούμαστε να λύσουμε την εξίσωση για y"" :

y"" = −Π(Χ)y" − q(Χ)y + φά(Χ) .

Γραμμικός διαφορικές εξισώσειςδεύτερη παραγγελία έχουν μια μοναδική λύση Cauchy προβλήματα .

Γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης και η επίλυσή της

Θεωρήστε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης:

y"" + Π(Χ)y" + q(Χ)y = 0 .

Αν y1 (Χ) Και y2 (Χ) είναι συγκεκριμένες λύσεις αυτής της εξίσωσης, τότε ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:

1) y1 (Χ) + y 2 (Χ) - είναι επίσης μια λύση σε αυτήν την εξίσωση.

2) Cy1 (Χ) , Οπου ντο- μια αυθαίρετη σταθερά (σταθερά), είναι επίσης μια λύση σε αυτήν την εξίσωση.

Από αυτές τις δύο προτάσεις προκύπτει ότι η συνάρτηση

ντο1 y 1 (Χ) + ντο 2 y 2 (Χ)

είναι επίσης μια λύση σε αυτή την εξίσωση.

Τίθεται ένα δίκαιο ερώτημα: είναι αυτή η λύση γενική λύση γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης , δηλαδή μια τέτοια λύση στην οποία, για διαφορετικές τιμές ντο1 Και ντο2 Είναι δυνατόν να βρούμε όλες τις πιθανές λύσεις στην εξίσωση;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι: ίσως, αλλά υπό προϋποθέσεις. Αυτό προϋπόθεση για το ποιες ιδιότητες πρέπει να έχουν συγκεκριμένες λύσεις y1 (Χ) Και y2 (Χ) .

Και αυτή η συνθήκη ονομάζεται συνθήκη γραμμικής ανεξαρτησίας μερικών λύσεων.

Θεώρημα. Λειτουργία ντο1 y 1 (Χ) + ντο 2 y 2 (Χ) είναι μια γενική λύση σε μια γραμμική ομοιογενή δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση εάν οι συναρτήσεις y1 (Χ) Και y2 (Χ) γραμμικά ανεξάρτητη.

Ορισμός. Λειτουργίες y1 (Χ) Και y2 (Χ) ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητοι αν ο λόγος τους είναι σταθερός μη μηδενικός:

y1 (Χ)/y 2 (Χ) = κ ; κ = συνθ ; κ ≠ 0 .

Ωστόσο, ο καθορισμός εξ ορισμού εάν αυτές οι συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες είναι συχνά πολύ επίπονος. Υπάρχει τρόπος να δημιουργηθεί γραμμική ανεξαρτησία χρησιμοποιώντας την ορίζουσα Wronski W(Χ) :

Αν η ορίζουσα Wronski δεν είναι ίση με μηδέν, τότε οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες . Εάν η ορίζουσα Wronski είναι μηδέν, τότε οι λύσεις εξαρτώνται γραμμικά.

Παράδειγμα 1.Να βρείτε τη γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης.

Λύση. Ολοκληρώνουμε δύο φορές και, όπως είναι εύκολο να δούμε, για να είναι η διαφορά μεταξύ της δεύτερης παραγώγου μιας συνάρτησης και της ίδιας της συνάρτησης ίση με μηδέν, οι λύσεις πρέπει να συσχετιστούν με μια εκθετική της οποίας η παράγωγος είναι ίση με την ίδια. Δηλαδή οι επιμέρους λύσεις είναι και .

Από την ορίζουσα Wronski

δεν ισούται με μηδέν, τότε αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Επομένως, η γενική λύση αυτής της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως

.

Γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές: θεωρία και πράξη

Γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές ονομάζεται εξίσωση της μορφής

y"" + py" + qy = 0 ,

Οπου ΠΚαι q- σταθερές τιμές.

Το γεγονός ότι πρόκειται για εξίσωση δεύτερης τάξης υποδεικνύεται από την παρουσία της δεύτερης παραγώγου της επιθυμητής συνάρτησης και η ομοιογένειά της υποδεικνύεται με μηδέν στη δεξιά πλευρά. Οι τιμές που ήδη αναφέρθηκαν παραπάνω ονομάζονται σταθεροί συντελεστές.

Προς την να λύσετε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές , πρέπει πρώτα να λύσετε τη λεγόμενη χαρακτηριστική εξίσωση της φόρμας

κ² + pq + q = 0 ,

η οποία, όπως φαίνεται, είναι μια συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση.

Ανάλογα με τη λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης, είναι δυνατές τρεις διαφορετικές επιλογές λύσεις γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές , το οποίο θα αναλύσουμε τώρα. Για πλήρη βεβαιότητα, θα υποθέσουμε ότι όλες οι συγκεκριμένες λύσεις έχουν δοκιμαστεί από την ορίζουσα Wronski και δεν είναι ίση με το μηδέν σε όλες τις περιπτώσεις. Οι αμφίβολοι, ωστόσο, μπορούν να το ελέγξουν οι ίδιοι.

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και διακριτές

Με άλλα λόγια, . Στην περίπτωση αυτή, η λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή

.

Παράδειγμα 2. Λύστε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση

.

Παράδειγμα 3. Λύστε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση

.

Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τη μορφή, τις ρίζες της και είναι πραγματικές και ευδιάκριτες. Οι αντίστοιχες επιμέρους λύσεις της εξίσωσης είναι: και . Η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή

.

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και ίσες

Αυτό είναι, . Στην περίπτωση αυτή, η λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή

.

Παράδειγμα 4. Λύστε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση

.

Λύση. Χαρακτηριστική εξίσωση έχει ίσες ρίζες. Οι αντίστοιχες επιμέρους λύσεις της εξίσωσης είναι: και . Η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή

Παράδειγμα 5. Λύστε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση

.

Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει ίσες ρίζες. Οι αντίστοιχες επιμέρους λύσεις της εξίσωσης είναι: και . Η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή

Θεωρήστε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές:
(1) .
Η λύση του μπορεί να ληφθεί ακολουθώντας γενική μέθοδοςμείωση της παραγγελίας.

Ωστόσο, είναι ευκολότερο να αποκτήσετε αμέσως το θεμελιώδες σύστημα nγραμμικά ανεξάρτητες λύσεις και με βάση αυτό δημιουργούν μια γενική λύση. Σε αυτήν την περίπτωση, ολόκληρη η διαδικασία λύσης περιορίζεται στα ακόλουθα βήματα.

Αναζητούμε λύση της εξίσωσης (1) με τη μορφή . Παίρνουμε χαρακτηριστική εξίσωση:
(2) .
Έχει n ρίζες. Λύνουμε την εξίσωση (2) και βρίσκουμε τις ρίζες της. Τότε η χαρακτηριστική εξίσωση (2) μπορεί να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή:
(3) .
Κάθε ρίζα αντιστοιχεί σε μία από τις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις του θεμελιώδους συστήματος λύσεων της εξίσωσης (1). Τότε η γενική λύση της αρχικής εξίσωσης (1) έχει τη μορφή:
(4) .

Πραγματικές ρίζες

Ας εξετάσουμε τις πραγματικές ρίζες. Ας είναι η ρίζα ενιαία. Δηλαδή, ο παράγοντας μπαίνει στη χαρακτηριστική εξίσωση (3) μόνο μία φορά. Τότε αυτή η ρίζα αντιστοιχεί στο διάλυμα
.

Έστω πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας p. Αυτό είναι
. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πολλαπλασιαστής είναι p φορές:
.
Αυτές οι πολλαπλές (ίσες) ρίζες αντιστοιχούν σε p γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της αρχικής εξίσωσης (1):
; ; ; ...; .

Σύνθετες ρίζες

Εξετάστε σύνθετες ρίζες. Ας εκφράσουμε τη σύνθετη ρίζα ως προς το πραγματικό και το φανταστικό μέρος:
.
Δεδομένου ότι οι συντελεστές του πρωτοτύπου είναι πραγματικοί, τότε εκτός από τη ρίζα υπάρχει μια σύνθετη συζυγή ρίζα
.

Ας είναι πολλαπλή η σύνθετη ρίζα. Τότε ένα ζεύγος ριζών αντιστοιχεί σε δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
; .

Έστω μια πολλαπλή σύνθετη ρίζα πολλαπλότητας p. Τότε η μιγαδική συζευγμένη τιμή είναι επίσης η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της πολλαπλότητας p και ο πολλαπλασιαστής εισάγει p φορές:
.
Αυτό 2παντιστοιχούν οι ρίζες 2πγραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Αφού βρεθεί το θεμελιώδες σύστημα των γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων, παίρνουμε τη γενική λύση.

Παραδείγματα λύσεων προβλημάτων

Παράδειγμα 1

Λύστε την εξίσωση:
.

Λύση

.
Ας το μεταμορφώσουμε:
;
;
.

Ας δούμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης. Έχουμε τέσσερις σύνθετες ρίζες της πολλαπλότητας 2:
; .
Αντιστοιχούν σε τέσσερις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της αρχικής εξίσωσης:
; ; ; .

Έχουμε επίσης τρεις πραγματικές ρίζες πολλαπλών 3:
.
Αντιστοιχούν σε τρεις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
; ; .

Η γενική λύση της αρχικής εξίσωσης έχει τη μορφή:
.

Απάντηση

Παράδειγμα 2

Λύστε την εξίσωση

Λύση

Αναζητούμε λύση με τη μορφή . Συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:
.
Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
.

Έχουμε δύο πολύπλοκες ρίζες:
.
Αντιστοιχούν σε δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
.
Γενική λύση της εξίσωσης:
.

Βασικές αρχές επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (LNDE-2) με σταθερούς συντελεστές (PC)

Ένα LDDE 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές $p$ και $q$ έχει τη μορφή $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, όπου $f\left(x \right)$ είναι μια συνεχής συνάρτηση.

Όσον αφορά το LNDU 2 με υπολογιστή, οι ακόλουθες δύο δηλώσεις είναι αληθείς.

Ας υποθέσουμε ότι κάποια συνάρτηση $U$ είναι μια αυθαίρετη μερική λύση μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υποθέσουμε επίσης ότι κάποια συνάρτηση $Y$ είναι η γενική λύση (GS) της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Τότε το GR του Το LHDE-2 είναι ίσο με το άθροισμα των υποδεικνυόμενων ιδιωτικών και γενικές λύσεις, δηλαδή, $y=U+Y$.

Αν η δεξιά πλευρά ενός LMDE 2ης τάξης είναι ένα άθροισμα συναρτήσεων, δηλαδή $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, τότε πρώτα μπορούμε να βρούμε τα PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ που αντιστοιχούν σε καθεμία από τις συναρτήσεις $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, και μετά γράψτε το CR LNDU-2 με τη μορφή $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Λύση LPDE 2ης τάξης με Η/Υ

Είναι προφανές ότι ο τύπος του ενός ή του άλλου PD $U$ ενός δεδομένου LNDU-2 εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μορφή της δεξιάς πλευράς του $f\left(x\right)$. Οι απλούστερες περιπτώσεις αναζήτησης για PD LNDU-2 διατυπώνονται με τη μορφή των παρακάτω τεσσάρων κανόνων.

Κανόνας #1.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, δηλαδή ονομάζεται α πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, όπου το $Q_(n) \left(x\right)$ είναι άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$, και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2 που είναι ίσοι με μηδέν. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών (UK).

Κανόνας Νο. 2.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) Το \left( x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, όπου $Q_(n ) \ left(x\right)$ είναι ένα άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$ και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης LODE-2 ίσο με $\alpha $. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.

Κανόνας Νο. 3.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, όπου οι $a$, $b$ και $\beta$ είναι γνωστοί αριθμοί. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, όπου $A$ και $B$ είναι άγνωστοι συντελεστές, και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίσος με $i\cdot \beta $. Οι συντελεστές $A$ και $B$ βρίσκονται χρησιμοποιώντας τη μη καταστροφική μέθοδο.

Κανόνας Νο. 4.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, όπου $P_(n) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $ n$ και το $P_(m) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $m$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, όπου $Q_(s) \left(x\right)$ και $ R_(s) \left(x\right)$ είναι πολυώνυμα βαθμού $s$, ο αριθμός $s$ είναι ο μέγιστος αριθμός δύο αριθμών $n$ και $m$ και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίση με $\alpha +i\cdot \beta $. Οι συντελεστές των πολυωνύμων $Q_(s) \left(x\right)$ και $R_(s) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.

Η μέθοδος NDT αποτελείται από τη χρήση επόμενος κανόνας. Για να βρεθούν οι άγνωστοι συντελεστές του πολυωνύμου που αποτελούν μέρος της μερικής λύσης της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης LNDU-2, είναι απαραίτητο:

• αντικαταστήστε το PD $U$ γραμμένο γενική εικόνα, V αριστερή πλευρά LNDU-2;
• στην αριστερή πλευρά του LNDU-2, εκτελέστε απλοποιήσεις και ομαδοποιήστε όρους με τις ίδιες δυνάμεις $x$.
• Στην ταυτότητα που προκύπτει, εξισώστε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις $x$ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς.
• να λύσει το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων για άγνωστους συντελεστές.

Παράδειγμα 1

Εργασία: find OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Βρείτε επίσης PD , ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$.

Καταγράφουμε το αντίστοιχο LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Χαρακτηριστική εξίσωση: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Αυτές οι ρίζες είναι έγκυρες και διακριτές. Έτσι, το OR του αντίστοιχου LODE-2 έχει τη μορφή: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Η δεξιά πλευρά αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο συντελεστής του εκθέτη $\alpha =3$. Αυτός ο συντελεστής δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επομένως, το PD αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές $A$, $B$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο NC.

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις $U""$, $U"$ και $U$ αντί των $y""$, $y"$ και $y$ στο δεδομένο NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Επιπλέον, δεδομένου ότι ο εκθέτης $e^(3\cdot x)$ περιλαμβάνεται ως παράγοντας σε όλα τα στοιχεία, τότε μπορεί να παραλειφθεί. Παίρνουμε:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Εκτελούμε τις ενέργειες στην αριστερή πλευρά της ισότητας που προκύπτει:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο NDT. Λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) Το $ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Το OR $y=Y+U$ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ αριστερά(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Για να αναζητήσουμε ένα PD που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε την παράγωγο $y"$ του ΕΠ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικαθιστούμε σε $y$ και $y"$ τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Λάβαμε ένα σύστημα εξισώσεων:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Ας το λύσουμε. Βρίσκουμε $C_(1) $ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cramer και $C_(2) $ προσδιορίζουμε από την πρώτη εξίσωση:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Έτσι, το PD αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.