1. Συστήματα γραμμικές εξισώσειςμε παράμετρο

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων με μια παράμετρο επιλύονται με τις ίδιες βασικές μεθόδους με τα συνηθισμένα συστήματα εξισώσεων: τη μέθοδο αντικατάστασης, τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων και τη γραφική μέθοδο. Γνώση γραφικής ερμηνείας γραμμικά συστήματακαθιστά εύκολη την απάντηση στην ερώτηση σχετικά με τον αριθμό των ριζών και την ύπαρξή τους.

Παράδειγμα 1.

Βρείτε όλες τις τιμές για την παράμετρο α για την οποία το σύστημα εξισώσεων δεν έχει λύσεις.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Λύση.

Ας δούμε διάφορους τρόπους επίλυσης αυτής της εργασίας.

1 τρόπος.Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: το σύστημα δεν έχει λύσεις εάν η αναλογία των συντελεστών μπροστά από το x είναι ίση με την αναλογία των συντελεστών μπροστά από το y, αλλά όχι ίση με την αναλογία των ελεύθερων όρων (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Τότε έχουμε:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 ή σύστημα

(και 2 – 3 = 1,
(α ≠ 2.

Από την πρώτη εξίσωση a 2 = 4, λοιπόν, λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη ότι a ≠ 2, παίρνουμε την απάντηση.

Απάντηση: a = -2.

Μέθοδος 2.Λύνουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Αφού αφαιρέσουμε τον κοινό παράγοντα y από αγκύλες στην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Το σύστημα δεν έχει λύσεις αν η πρώτη εξίσωση δεν έχει λύσεις, δηλαδή

(και 2 – 4 = 0,
(α – 2 ≠ 0.

Προφανώς, a = ±2, αλλά λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη συνθήκη, η απάντηση έρχεται μόνο με αρνητική απάντηση.

Απάντηση: a = -2.

Παράδειγμα 2.

Βρείτε όλες τις τιμές για την παράμετρο a για την οποία έχει το σύστημα εξισώσεων άπειρο σύνολοαποφάσεις.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Λύση.

Σύμφωνα με την ιδιότητα, αν ο λόγος των συντελεστών των x και y είναι ο ίδιος και είναι ίσος με τον λόγο των ελεύθερων μελών του συστήματος, τότε έχει άπειρο αριθμό λύσεων (δηλ. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Επομένως 8/a = a/2 = 2/1. Λύνοντας καθεμία από τις εξισώσεις που προκύπτουν, βρίσκουμε ότι a = 4 είναι η απάντηση σε αυτό το παράδειγμα.

Απάντηση:α = 4.

2. Συστήματα ορθολογικών εξισώσεων με παράμετρο

Παράδειγμα 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = α.

Λύση.

Ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος επί 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = α.

Αφαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη, παίρνουμε 5|x| = 4 – α. Αυτή η εξίσωση θα έχει μια μοναδική λύση για a = 4. Σε άλλες περιπτώσεις, αυτή η εξίσωση θα έχει δύο λύσεις (για ένα< 4) или ни одного (при а > 4).

Απάντηση: α = 4.

Παράδειγμα 4.

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a για τις οποίες το σύστημα εξισώσεων έχει μοναδική λύση.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Λύση.

Θα λύσουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο. Έτσι, η γραφική παράσταση της δεύτερης εξίσωσης του συστήματος είναι μια παραβολή υψωμένη κατά μήκος του άξονα Oy προς τα πάνω κατά μία μονάδα τμήματος. Η πρώτη εξίσωση καθορίζει ένα σύνολο γραμμών παράλληλων στην ευθεία y = -x (εικόνα 1). Από το σχήμα φαίνεται καθαρά ότι το σύστημα έχει λύση αν η ευθεία y = -x + a εφάπτεται στην παραβολή σε σημείο με συντεταγμένες (-0,5, 1,25). Αντικαθιστώντας αυτές τις συντεταγμένες στην ευθεία εξίσωση αντί των x και y, βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου a:

1,25 = 0,5 + a;

Απάντηση: α = 0,75.

Παράδειγμα 5.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης, μάθετε σε ποια τιμή της παραμέτρου a, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Λύση.

Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε το y και το αντικαθιστούμε στη δεύτερη:

(y = τσεκούρι – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

Ας ανάγουμε τη δεύτερη εξίσωση στη μορφή kx = b, η οποία θα έχει μοναδική λύση για k ≠ 0. Έχουμε:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Αντιπροσωπεύουμε το τετράγωνο τριώνυμο a 2 + 3a + 2 ως γινόμενο αγκύλων

(a + 2)(a + 1), και στα αριστερά βγάζουμε x από αγκύλες:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Προφανώς, ένα 2 + 3a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, επομένως,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, που σημαίνει a ≠ 0 και ≠ -3.

Απάντηση: a ≠ 0; ≠ -3.

Παράδειγμα 6.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραφικής λύσης, προσδιορίστε σε ποια τιμή της παραμέτρου a το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = α.

Λύση.

Με βάση την συνθήκη, κατασκευάζουμε έναν κύκλο με κέντρο στην αρχή και ακτίνα 3 μονάδων τμημάτων, αυτό ορίζεται από την πρώτη εξίσωση του συστήματος

x 2 + y 2 = 9. Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος (y = |x| + a) είναι μια διακεκομμένη γραμμή. Με τη χρήση Σχήμα 2Εξετάζουμε όλες τις πιθανές περιπτώσεις θέσης του σε σχέση με τον κύκλο. Είναι εύκολο να δούμε ότι a = 3.

Απάντηση: α = 3.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε συστήματα εξισώσεων;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ εργασίες με παράμετρομπορεί να περιλαμβάνει, για παράδειγμα, την αναζήτηση λύσεων σε γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις γενική εικόνα, μελέτη της εξίσωσης για τον αριθμό των διαθέσιμων ριζών ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου.

Χωρίς να φέρει λεπτομερείς ορισμούς, ως παραδείγματα, λάβετε υπόψη τις ακόλουθες εξισώσεις:

y = kx, όπου x, y είναι μεταβλητές, k είναι μια παράμετρος.

y = kx + b, όπου x, y είναι μεταβλητές, k και b είναι παράμετροι.

ax 2 + bx + c = 0, όπου x είναι μεταβλητές, a, b και c είναι μια παράμετρος.

Η επίλυση μιας εξίσωσης (ανισότητα, σύστημα) με μια παράμετρο σημαίνει, κατά κανόνα, επίλυση ενός άπειρου συνόλου εξισώσεων (ανισώσεις, συστήματα).

Οι εργασίες με μια παράμετρο μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους:

ΕΝΑ)η συνθήκη λέει: λύστε την εξίσωση (ανισότητα, σύστημα) - αυτό σημαίνει, για όλες τις τιμές της παραμέτρου, βρείτε όλες τις λύσεις. Εάν τουλάχιστον μία υπόθεση παραμένει ανεξερεύνητη, μια τέτοια λύση δεν μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική.

σι)απαιτείται να διευκρινιστεί πιθανές τιμέςπαραμέτρους κάτω από τις οποίες η εξίσωση (ανισότητα, σύστημα) έχει ορισμένες ιδιότητες. Για παράδειγμα, έχει μία λύση, δεν έχει λύσεις, έχει λύσεις, που ανήκουν στο διάστημακ.λπ. Σε τέτοιες εργασίες, είναι απαραίτητο να υποδεικνύεται σαφώς σε ποια τιμή παραμέτρου πληρούται η απαιτούμενη συνθήκη.

Η παράμετρος, όντας ένας άγνωστος σταθερός αριθμός, έχει ένα είδος ειδικής δυαδικότητας. Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι η υποτιθέμενη δημοτικότητα δείχνει ότι η παράμετρος πρέπει να εκληφθεί ως αριθμός. Δεύτερον, η ελευθερία χειρισμού της παραμέτρου περιορίζεται από την ασάφειά της. Για παράδειγμα, οι πράξεις διαίρεσης με μια παράσταση που περιέχει μια παράμετρο ή η εξαγωγή της ρίζας ενός ζυγού βαθμού από μια τέτοια έκφραση απαιτούν προκαταρκτική έρευνα. Επομένως, απαιτείται προσοχή κατά το χειρισμό της παραμέτρου.

Για παράδειγμα, για να συγκρίνετε δύο αριθμούς -6a και 3a, πρέπει να εξετάσετε τρεις περιπτώσεις:

1) Το -6a θα είναι μεγαλύτερο από 3a εάν το a είναι αρνητικός αριθμός.

2) -6a = 3a στην περίπτωση που a = 0;

3) Το -6a θα είναι μικρότερο από 3a εάν το a είναι θετικός αριθμός 0.

Η λύση θα είναι η απάντηση.

Έστω η εξίσωση kx = b. Αυτή η εξίσωση είναι σύντομη σημείωσηάπειρος αριθμός εξισώσεων με μία μεταβλητή.

Κατά την επίλυση τέτοιων εξισώσεων μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις:

1. Έστω k οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μη ίσος με μηδέν και b οποιοσδήποτε αριθμός από το R, τότε x = b/k.

2. Έστω k = 0 και b ≠ 0, η αρχική εξίσωση θα πάρει τη μορφή 0 x = b. Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

3. Έστω k και b αριθμοί ίσοι με μηδέν, τότε έχουμε την ισότητα 0 x = 0. Η λύση του είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Ένας αλγόριθμος για την επίλυση αυτού του τύπου εξίσωσης:

1. Προσδιορίστε τις τιμές "ελέγχου" της παραμέτρου.

2. Λύστε την αρχική εξίσωση για το x για τις τιμές παραμέτρων που καθορίστηκαν στην πρώτη παράγραφο.

3. Λύστε την αρχική εξίσωση για το x για τιμές παραμέτρων διαφορετικές από αυτές που επιλέχθηκαν στην πρώτη παράγραφο.

4. Μπορείτε να γράψετε την απάντηση στην παρακάτω φόρμα:

1) για ... (τιμές παραμέτρων), η εξίσωση έχει ρίζες ....

2) για ... (τιμές παραμέτρων), δεν υπάρχουν ρίζες στην εξίσωση.

Παράδειγμα 1.

Λύστε την εξίσωση με την παράμετρο |6 – x| = α.

Λύση.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ένα ≥ 0 εδώ.

Σύμφωνα με τον κανόνα της ενότητας 6 – x = ±a, εκφράζουμε το x:

Απάντηση: x = 6 ± a, όπου a ≥ 0.

Παράδειγμα 2.

Να λύσετε την εξίσωση a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 ως προς τη μεταβλητή x.

Λύση.

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες: aх – а + 2х – 2 = 0

Ας γράψουμε την εξίσωση σε τυπική μορφή: x(a + 2) = a + 2.

Εάν η παράσταση a + 2 δεν είναι μηδέν, δηλαδή εάν a ≠ -2, έχουμε τη λύση x = (a + 2) / (a ​​· + 2), δηλ. x = 1.

Αν το a + 2 ισούται με μηδέν, δηλ. a = -2, τότε έχουμε τη σωστή ισότητα 0 x = 0, άρα x είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Απάντηση: x = 1 για a ≠ -2 και x € R για a = -2.

Παράδειγμα 3.

Να λύσετε την εξίσωση x/a + 1 = a + x ως προς τη μεταβλητή x.

Λύση.

Αν a = 0, τότε μετατρέπουμε την εξίσωση στη μορφή a + x = a 2 + ax ή (a – 1)x = -a(a – 1). Η τελευταία εξίσωση για το a = 1 έχει τη μορφή 0 x = 0, επομένως το x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Αν a ≠ 1, τότε η τελευταία εξίσωση θα πάρει τη μορφή x = -a.

Αυτή η λύση μπορεί να απεικονιστεί στη γραμμή συντεταγμένων (Εικ. 1)

Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις για a = 0. x – οποιοσδήποτε αριθμός με a = 1; x = -a για ένα ≠ 0 και a ≠ 1.

Γραφική μέθοδος

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο επίλυσης εξισώσεων με μια παράμετρο - γραφικά. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται αρκετά συχνά.

Παράδειγμα 4.

Ανάλογα με την παράμετρο a, πόσες ρίζες έχει η εξίσωση ||x| – 2| = α;

Λύση.

Για να λύσουμε χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο, κατασκευάζουμε γραφήματα των συναρτήσεων y = ||x| – 2| και y = α (Εικ. 2).

Το σχέδιο δείχνει καθαρά πιθανές περιπτώσεις της θέσης της ευθείας y = a και τον αριθμό των ριζών σε καθεμία από αυτές.

Απάντηση: η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες αν α< 0; два корня будет в случае, если a >2 και a = 0; η εξίσωση θα έχει τρεις ρίζες στην περίπτωση a = 2. τέσσερις ρίζες - στο 0< a < 2.

Παράδειγμα 5.

Σε τι α η εξίσωση 2|x| + |x – 1| = το α έχει μία ρίζα;

Λύση.

Ας απεικονίσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2|x| + |x – 1| και y = α. Για y = 2|x| + |x – 1|, επεκτείνοντας τις ενότητες χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, λαμβάνουμε:

(-3x + 1, στο x< 0,

y = (x + 1, για 0 ​​≤ x ≤ 1,

(3x – 1, για x > 1.

Επί Εικόνα 3Φαίνεται ξεκάθαρα ότι η εξίσωση θα έχει μία μόνο ρίζα μόνο όταν a = 1.

Απάντηση: α = 1.

Παράδειγμα 6.

Να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης |x + 1| + |x + 2| = a ανάλογα με την παράμετρο a;

Λύση.

Γράφημα της συνάρτησης y = |x + 1| + |x + 2| θα είναι μια σπασμένη γραμμή. Οι κορυφές του θα βρίσκονται στα σημεία (-2; 1) και (-1; 1) (Εικόνα 4).

Απάντηση: αν η παράμετρος a είναι μικρότερη από μία, τότε η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες. αν a = 1, τότε η λύση της εξίσωσης είναι ένα άπειρο σύνολο αριθμών από το διάστημα [-2; -1]; αν οι τιμές της παραμέτρου α είναι μεγαλύτερες από μία, τότε η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε εξισώσεις με μια παράμετρο;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Στα μαθηματικά, υπάρχουν προβλήματα στα οποία είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε λύσεις σε γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις σε γενική μορφή ή να αναζητήσουμε τον αριθμό των ριζών που έχει μια εξίσωση ανάλογα με την τιμή μιας παραμέτρου. Όλες αυτές οι εργασίες έχουν παραμέτρους.

Εξετάστε τις ακόλουθες εξισώσεις ως ενδεικτικό παράδειγμα:

\[y = kx,\] όπου \ είναι μεταβλητές, \ είναι μια παράμετρος.

\[y = kx + b,\] όπου \ είναι μεταβλητές, \ είναι μια παράμετρος.

\[аx^2 + bх + с = 0,\] όπου \ είναι μια μεταβλητή, \[а, b, с\] είναι μια παράμετρος.

Η επίλυση μιας εξίσωσης με μια παράμετρο σημαίνει, κατά κανόνα, την επίλυση ενός άπειρου συνόλου εξισώσεων.

Ωστόσο, ακολουθώντας έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο, μπορείτε εύκολα να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις:

1. Προσδιορίστε τις τιμές "ελέγχου" της παραμέτρου.

2. Λύστε την αρχική εξίσωση για το [\x\] με τις τιμές παραμέτρων που ορίζονται στην πρώτη παράγραφο.

3. Λύστε την αρχική εξίσωση για το [\x\] για τιμές παραμέτρων διαφορετικές από αυτές που επιλέχθηκαν στην πρώτη παράγραφο.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η ακόλουθη εξίσωση:

\[\μέσα 6 - x \μέση = α.\]

Έχοντας αναλύσει τα αρχικά δεδομένα, είναι σαφές ότι ένα \[\ge 0.\]

Σύμφωνα με τον κανόνα του συντελεστή \ εκφράζουμε \

Απάντηση: \που\

Πού μπορώ να λύσω μια εξίσωση με μια παράμετρο online;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.

Για ποιες τιμές της παραμέτρου $a$ η ανισότητα $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ έχει τουλάχιστον μία λύση;

Λύση

Ας μειώσουμε αυτήν την ανισότητα σε έναν θετικό συντελεστή για $x^2$:

$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$

Ας υπολογίσουμε τη διάκριση: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Για να έχει λύση αυτή η ανισότητα, είναι απαραίτητο τουλάχιστον ένα σημείο της παραβολής να βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x$. Εφόσον οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, αυτό απαιτεί το τετράγωνο τριώνυμο στην αριστερή πλευρά της ανισότητας να έχει δύο ρίζες, δηλαδή η διάκρισή του να είναι θετική. Φτάνουμε στην ανάγκη να αποφασίσουμε τετραγωνική ανισότητα$a^2 - 28a > 0$. Το τετράγωνο τριώνυμο $a^2 - 28a$ έχει δύο ρίζες: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Επομένως, η ανισότητα $a^2 - 28a > 0$ ικανοποιείται από τα διαστήματα $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.

Απάντηση.$a \in (-\infty; 0) \κύπελλο (28; + \infty)$.

Για ποιες τιμές της παραμέτρου $a$ η εξίσωση $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα και όλες οι ρίζες είναι θετικές;

Λύση

Έστω $a=2$. Τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή $() - 4x +5 = 0$, από την οποία προκύπτει ότι η $x=\dfrac(5)(4)$ είναι θετική ρίζα.

Έστω τώρα $a\ne 2$. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια τετραγωνική εξίσωση. Ας προσδιορίσουμε πρώτα σε ποιες τιμές της παραμέτρου $a$ δεδομένη εξίσωσηέχει ρίζες. Η διάκρισή του πρέπει να είναι μη αρνητική. Αυτό είναι:

$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\αριστερό δεξί βέλος a\leqslant 6.$

Οι ρίζες κατά συνθήκη πρέπει να είναι θετικές, επομένως, από το θεώρημα του Vieta παίρνουμε το σύστημα:

$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (περιπτώσεις) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $

Συνδυάζουμε τις απαντήσεις και παίρνουμε το απαιτούμενο σύνολο: $a\in(-\infty;-3)\cup$.

Απάντηση.$a\in(-\infty;-3)\cup$.

Για ποιες τιμές της παραμέτρου $a$ δεν έχει λύσεις η ανισότητα $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$;

Λύση

1. Αν $a = 0$, τότε αυτή η ανισότητα εκφυλίζεται στην ανισότητα $5 \leqslant 0$ , η οποία δεν έχει λύσεις. Επομένως, η τιμή $a = 0$ ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.
2. Αν $a > 0$, τότε η γραφική παράσταση του τετραγωνικού τριωνύμου στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης είναι μια παραβολή με κλάδους στραμμένους προς τα πάνω. Ας υπολογίσουμε $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Η ανισότητα δεν έχει λύσεις αν η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα x, δηλαδή όταν το τετράγωνο τριώνυμο δεν έχει ρίζες ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из θετικές αξίες$a$ κατάλληλοι αριθμοί $a \in \left(0; \dfrac(5)(4)\right)$.
3. Αν $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.

Απάντηση.Το $a \in \left$ βρίσκεται ανάμεσα στις ρίζες, επομένως πρέπει να υπάρχουν δύο ρίζες (που σημαίνει $a\ne 0$). Εάν οι κλάδοι της παραβολής $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ κατευθύνονται προς τα πάνω, τότε $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ και $y(1) > 0$.

Περίπτωση Ι.Έστω $a > 0$. Επειτα

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(πίνακας) \δεξιά. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $

Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση αποδεικνύεται ότι όλα τα $a > 3$ είναι κατάλληλα.

Περίπτωση II.Αφήστε $a< 0$. Тогда

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$

Δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση αποδεικνύεται ότι όλα τα $a είναι κατάλληλα< -1$.

Απάντηση.$a\in (-\infty ;-1)\κύπελλο (3;+\infty)$

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για καθεμία από τις οποίες το σύστημα εξισώσεων

$ \begin(περιπτώσεις) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(περιπτώσεις) $

έχει ακριβώς δύο λύσεις.

Λύση

Αφαιρέστε το δεύτερο από το πρώτο: $(x-y)^2 = 1$. Επειτα

$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Αριστερό βέλος \τετράγωνο \αριστερά[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(πίνακας)\δεξιά. $

Αντικαθιστώντας τις παραστάσεις που προκύπτουν στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, λαμβάνουμε δύο τετραγωνικές εξισώσεις: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ και $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Το διαχωριστικό καθενός από αυτά είναι $D = 16a-4$.

Σημειώστε ότι δεν μπορεί να συμβεί το ζεύγος των ριζών της πρώτης τετραγωνικής εξίσωσης να συμπίπτει με το ζεύγος των ριζών της δεύτερης τετραγωνικής εξίσωσης, αφού το άθροισμα των ριζών της πρώτης είναι $-1$ και το άθροισμα της δεύτερης είναι 1 .

Αυτό σημαίνει ότι κάθε μία από αυτές τις εξισώσεις πρέπει να έχει μία ρίζα, τότε το αρχικό σύστημα θα έχει δύο λύσεις. Δηλαδή, $D = 16a - 4 = 0$.

Απάντηση.$a=\dfrac(1)(4)$

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$ για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ έχει δύο ρίζες.

Λύση

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση ως εξής:

$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0,$

Θεωρήστε τη συνάρτηση $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.

Όταν $x\geqslant 3$, η πρώτη ενότητα επεκτείνεται με ένα σύμβολο συν και η συνάρτηση παίρνει τη μορφή: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Είναι προφανές ότι με οποιαδήποτε επέκταση των ενοτήτων το αποτέλεσμα θα είναι γραμμική συνάρτησημε τον συντελεστή $k\geqslant 5-3-1=1>0$, δηλαδή αυτή η συνάρτηση αυξάνεται απεριόριστα σε ένα δεδομένο διάστημα.

Ας εξετάσουμε τώρα το διάστημα $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.

Έτσι, καταλάβαμε ότι το $x=3$ είναι το ελάχιστο σημείο αυτής της συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι για να έχει δύο λύσεις η αρχική εξίσωση, η τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο πρέπει να είναι μικρότερη από το μηδέν. Δηλαδή, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: $f(3)<0$.

$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$

$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24

Απάντηση.$a \in (-24; 18)$

Για ποιες τιμές της παραμέτρου $a$ έχει μοναδική ρίζα η εξίσωση $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$;

Λύση

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση: $t = 5^x > 0$. Τότε η αρχική εξίσωση παίρνει τη μορφή τετραγωνικής εξίσωσης: $t^2-3t+a-1 =0$. Η αρχική εξίσωση θα έχει μία μόνο ρίζα εάν αυτή η εξίσωση έχει μία θετική ρίζα ή δύο ρίζες, εκ των οποίων η μία είναι θετική και η άλλη αρνητική.

Η διάκριση της εξίσωσης είναι: $D = 13-4a$. Αυτή η εξίσωση θα έχει μία ρίζα εάν η προκύπτουσα διάκριση αποδειχθεί ίση με μηδέν, δηλαδή για $a = \dfrac(13)(4)$. Σε αυτήν την περίπτωση, η ρίζα $t=\dfrac(3)(2) > 0$, επομένως αυτή η τιμή του $a$ είναι κατάλληλη.

Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, εκ των οποίων η μία είναι θετική, η άλλη είναι μη θετική, τότε $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ και $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ .

Δηλαδή, $a\in(-\infty;1]$

Απάντηση.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$ για τις οποίες το σύστημα

$ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end (περιπτώσεις) $

έχει ακριβώς δύο λύσεις.

Λύση

Ας μετατρέψουμε το σύστημα στην ακόλουθη μορφή:

$ \begin(περιπτώσεις) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(περιπτώσεις)$

Εφόσον η παράμετρος $a$ βρίσκεται στη βάση του λογαρίθμου, επιβάλλονται σε αυτήν οι ακόλουθοι περιορισμοί: $a>0$, $a \ne 1$. Εφόσον η μεταβλητή $y$ είναι το όρισμα του λογαρίθμου, τότε $y > 0$.

Έχοντας συνδυάσει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος, προχωράμε στην εξίσωση: $\log_a y = y^2$. Ανάλογα με τις τιμές που παίρνει η παράμετρος $a$, είναι δυνατές δύο περιπτώσεις:

1. Αφήστε $0< a < 1$. В этом случае функция $f(y) = \log_a y$ убывает на области определения, а функция $g(y)=y^2$ возрастает в той же области $y >$0. Από τη συμπεριφορά των γραφημάτων είναι προφανές ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι μία και είναι μικρότερη από 1. Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος και ολόκληρου του συστήματος ως σύνολο έχουν, επομένως, δύο λύσεις, λόγω του ότι ο διαχωριστής της εξίσωσης $ x^2-2x+y = 0$ στο $0
2. Έστω τώρα $a > 1$. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση $f(y)=\log_a y \leqslant 0$ για $y< 1$, а функция $g(y) = y^2 >0$ για το ίδιο $y$. Αυτό σημαίνει ότι αν υπάρχουν λύσεις, τότε μόνο για $y > 1$, αλλά η δεύτερη εξίσωση του συστήματος δεν θα έχει λύσεις, αφού ο διαχωριστής της εξίσωσης $x^2 - 2x + y = 0$ για $y > Το 1$ είναι αρνητικό.

Απάντηση.$a\in(0;1)$

Ας εξετάσουμε την περίπτωση όταν $a > 1$. Εφόσον για μεγάλες απόλυτες τιμές $t$ το γράφημα της συνάρτησης $f(t) = a^t$ βρίσκεται πάνω από την ευθεία $g(t) = t$, τότε το μόνο κοινό σημείο μπορεί να είναι μόνο ένα σημείο της εφαπτομένης.

Έστω $t_0$ το σημείο εφαπτομένης. Σε αυτό το σημείο, η παράγωγος σε $f(t) = a^t$ ισούται με τη μονάδα (εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας), επιπλέον, οι τιμές και των δύο συναρτήσεων συμπίπτουν, δηλαδή, το σύστημα λαμβάνει χώρα:

$ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(περιπτώσεις) $

Όπου $t_0 = \dfrac(1)(\n a)$.

$ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $

Την ίδια στιγμή, άλλοι κοινά σημείαστην ευθεία και εκθετικη συναρτησηπροφανώς όχι.

Απάντηση.$a \in (0;1] \κύπελλο \αριστερά\(e^(e^(-1))\δεξιά\)$