Ως γνωστόν, τυχαία μεταβλητή που ονομάζεται μεταβλητή ποσότητα, η οποία μπορεί να πάρει τη μία ή την άλλη τιμή ανάλογα με την περίπτωση. Οι τυχαίες μεταβλητές υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (X, Y, Z) και οι τιμές τους υποδηλώνονται με αντίστοιχα πεζά γράμματα (x, y, z). Οι τυχαίες μεταβλητές χωρίζονται σε ασυνεχείς (διακριτές) και συνεχείς.

Διακριτή τυχαία μεταβλητή που ονομάζεται τυχαία τιμή, λαμβάνοντας μόνο ένα πεπερασμένο ή άπειρο (μετρήσιμο) σύνολο τιμών με ορισμένες μη μηδενικές πιθανότητες.

Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι μια συνάρτηση που συνδέει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους.

1 . Ο νόμος διανομής μπορεί να δοθεί από τον πίνακα:

όπου λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)με τη χρήση συναρτήσεις κατανομής F(x) , που καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να πάρει τιμή μικρότερη από x, δηλ. F(x) = P(X< x).

Ιδιότητες της συνάρτησης F(x)

3 . Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί γραφικά – πολύγωνο κατανομής (πολύγωνο) (βλ. πρόβλημα 3).

Σημειώστε ότι για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τον νόμο διανομής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αρκεί να γνωρίζουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς που αντικατοπτρίζουν περισσότερο σημαντικά χαρακτηριστικάνόμος της διανομής. Αυτός μπορεί να είναι ένας αριθμός που έχει την έννοια της «μέσης τιμής» μιας τυχαίας μεταβλητής ή ένας αριθμός που δείχνει το μέσο μέγεθος της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της. Οι αριθμοί αυτού του είδους ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Βασικός αριθμητικά χαρακτηριστικάδιακριτή τυχαία μεταβλητή :

• Μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής M(X)=Σ x i p i.
  Για διωνυμική κατανομή M(X)=np, για κατανομή Poisson M(X)=λ
• Διασπορά διακριτή τυχαία μεταβλητή D(X)=M2ή D(X) = M(X 2)− 2. Η διαφορά X–M(X) ονομάζεται απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.
  Για διωνυμική κατανομή D(X)=npq, για κατανομή Poisson D(X)=λ
• Τυπική απόκλιση (τυπική απόκλιση) σ(X)=√D(X).

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής»

Εργασία 1.

Εκδόθηκαν 1000 λαχεία: 5 από αυτά θα κερδίσουν 500 ρούβλια, 10 θα κερδίσουν 100 ρούβλια, 20 θα κερδίσουν 50 ρούβλια, 50 θα κερδίσουν 10 ρούβλια. Προσδιορίστε τον νόμο της κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ - κέρδη ανά δελτίο.

Λύση. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι δυνατές οι ακόλουθες τιμές της τυχαίας μεταβλητής X: 0, 10, 50, 100 και 500.

Ο αριθμός των εισιτηρίων χωρίς νίκη είναι 1000 – (5+10+20+50) = 915, μετά P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Ομοίως, βρίσκουμε όλες τις άλλες πιθανότητες: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ας παρουσιάσουμε τον νόμο που προκύπτει με τη μορφή πίνακα:

Θα βρούμε αναμενόμενη αξίατιμές X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Εργασία 3.

Η συσκευή αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία. Η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου σε ένα πείραμα είναι 0,1. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα, κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. 1. Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X=(ο αριθμός των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα) έχει τα εξής πιθανές τιμές: x 1 =0 (κανένα από τα στοιχεία της συσκευής δεν απέτυχε), x 2 =1 (ένα στοιχείο απέτυχε), x 3 =2 (δύο στοιχεία απέτυχαν) και x 4 =3 (απέτυχαν τρία στοιχεία).

Οι αστοχίες στοιχείων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οι πιθανότητες αστοχίας κάθε στοιχείου είναι ίσες, επομένως ισχύει Φόρμουλα Bernoulli . Λαμβάνοντας υπόψη ότι, σύμφωνα με τη συνθήκη, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, προσδιορίζουμε τις πιθανότητες των τιμών:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Έλεγχος: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Έτσι, ο επιθυμητός νόμος διωνυμικής κατανομής του X έχει τη μορφή:

Σχεδιάζουμε τις πιθανές τιμές του x i κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και τις αντίστοιχες πιθανότητες p i κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Ας κατασκευάσουμε τα σημεία M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, παίρνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής.

3. Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής F(x) = Р(Х

Για x ≤ 0 έχουμε F(x) = Р(Х<0) = 0;
για 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
για 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
για 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
για x > 3 θα υπάρχει F(x) = 1, γιατί η εκδήλωση είναι αξιόπιστη.

Γράφημα της συνάρτησης F(x)

4. Για διωνυμική κατανομή X:
- μαθηματική προσδοκία M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- διακύμανση D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- τυπική απόκλιση σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Αριθμητικά χαρακτηριστικά συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Έστω μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X να καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής f(x)

Αφήστε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή X να καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής f(x). Ας υποθέσουμε ότι όλες οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής ανήκουν στο τμήμα [ α, β].

Ορισμός.Μαθηματική προσδοκίαμια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ, οι πιθανές τιμές της οποίας ανήκουν στο τμήμα, ονομάζεται καθορισμένο ολοκλήρωμα

Εάν ληφθούν υπόψη πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, τότε η μαθηματική προσδοκία βρίσκεται από τον τύπο:

Σε αυτή την περίπτωση, βέβαια, υποτίθεται ότι το ακατάλληλο ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Ορισμός.Διαφοράμιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της.

Κατ' αναλογία με τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής, για τον πρακτικό υπολογισμό της διακύμανσης, χρησιμοποιείται ο τύπος:

Ορισμός.Τυπική απόκλισηονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Ορισμός.ΜόδαΤο M 0 μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται η πιο πιθανή τιμή της. Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η λειτουργία είναι η τιμή της τυχαίας μεταβλητής στην οποία η πυκνότητα κατανομής έχει ένα μέγιστο.

Εάν το πολύγωνο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ή η καμπύλη κατανομής για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή έχει δύο ή περισσότερα μέγιστα, τότε μια τέτοια κατανομή ονομάζεται διτροπικόςή πολυτροπικό. Αν μια κατανομή έχει ελάχιστο αλλά όχι μέγιστο, τότε καλείται αντιτροπικός.

Ορισμός.Διάμεσος M D μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι η τιμή της σε σχέση με την οποία είναι εξίσου πιθανό ότι θα ληφθεί μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή της τυχαίας μεταβλητής.

Γεωμετρικά, η διάμεσος είναι η τετμημένη του σημείου στο οποίο η περιοχή που περιορίζεται από την καμπύλη κατανομής διαιρείται στο μισό. Σημειώστε ότι εάν η κατανομή είναι μονοτροπική, τότε ο τρόπος και η διάμεσος συμπίπτουν με τη μαθηματική προσδοκία.

Ορισμός.Η αρχική στιγμήΣειρά κΗ τυχαία μεταβλητή X είναι η μαθηματική προσδοκία της τιμής X κ.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή: .

.

Η αρχική στιγμή της πρώτης τάξης είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία.

Ορισμός.Κεντρική στιγμήΣειρά κΗ τυχαία μεταβλητή X είναι η μαθηματική προσδοκία της τιμής

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή: .

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή: .

Η κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα μηδέν και η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης είναι ίση με τη διασπορά. Η κεντρική ροπή τρίτης τάξης χαρακτηρίζει την ασυμμετρία της κατανομής.

Ορισμός. Ο λόγος της κεντρικής ροπής της τρίτης τάξης προς την τυπική απόκλιση προς την τρίτη δύναμη ονομάζεται συντελεστής ασυμμετρίας.

Ορισμός. Για να χαρακτηριστεί η αιχμή και η επιπεδότητα της κατανομής, μια ποσότητα που ονομάζεται υπέρβαση.

Εκτός από τις εξεταζόμενες ποσότητες, χρησιμοποιούνται επίσης οι λεγόμενες απόλυτες ροπές:

Απόλυτη στιγμή εκκίνησης: . Απόλυτο κεντρικό σημείο: . Η απόλυτη κεντρική στιγμή της πρώτης τάξης ονομάζεται αριθμητική μέση απόκλιση.

Παράδειγμα.Για το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω, προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X.

Παράδειγμα.Υπάρχουν 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες σε μια τεφροδόχο. Μια μπάλα αφαιρείται από αυτήν πέντε φορές στη σειρά και κάθε φορά η μπάλα που αφαιρέθηκε επιστρέφεται πίσω και οι μπάλες αναμειγνύονται. Λαμβάνοντας τον αριθμό των εξαγόμενων λευκών σφαιρών ως τυχαία μεταβλητή Χ, συντάξτε έναν νόμο κατανομής για αυτήν την τιμή, προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά της.

Επειδή οι μπάλες σε κάθε πείραμα επιστρέφονται και αναμειγνύονται, τότε τα τεστ μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα (το αποτέλεσμα του προηγούμενου πειράματος δεν επηρεάζει την πιθανότητα εμφάνισης ή μη εμφάνισης ενός γεγονότος σε άλλο πείραμα).

Έτσι, η πιθανότητα να εμφανιστεί μια λευκή μπάλα σε κάθε πείραμα είναι σταθερή και ίση με

Έτσι, ως αποτέλεσμα πέντε διαδοχικών δοκιμών, η άσπρη μπάλα μπορεί να μην εμφανιστεί καθόλου ή να εμφανιστεί μία, δύο, τρεις, τέσσερις ή πέντε φορές. Για να συντάξετε έναν νόμο διανομής, πρέπει να βρείτε τις πιθανότητες καθενός από αυτά τα γεγονότα.

1) Η άσπρη μπάλα δεν εμφανίστηκε καθόλου:

2) Η λευκή μπάλα εμφανίστηκε μια φορά:

3) Η λευκή μπάλα θα εμφανιστεί δύο φορές: .

Σε αντίθεση με μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές δεν μπορούν να καθοριστούν με τη μορφή πίνακα του νόμου κατανομής της, καθώς είναι αδύνατο να παραθέσουμε και να γράψουμε όλες τις τιμές της σε μια συγκεκριμένη σειρά. Ένας πιθανός τρόπος για να ορίσετε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή είναι να χρησιμοποιήσετε μια συνάρτηση κατανομής.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η συνάρτηση κατανομής είναι μια συνάρτηση που καθορίζει την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να λάβει την τιμή που αναπαρίσταται στον αριθμητικό άξονα από ένα σημείο που βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x, δηλ.

Μερικές φορές αντί του όρου «συνάρτηση διανομής» χρησιμοποιείται ο όρος «Ολοκληρωμένη συνάρτηση».

Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:

1. Οι τιμές της συνάρτησης κατανομής ανήκουν στο τμήμα: 0F(x)1
2. Η F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση, δηλ. F(x 2)F(x 1), εάν x 2 >x 1

Συμπέρασμα 1. Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή θα λάβει μια τιμή που περιέχεται στο διάστημα (a,b) είναι ίση με την αύξηση της συνάρτησης κατανομής σε αυτό το διάστημα:

Μικρός σταυρός

Παράδειγμα 9. Η τυχαία μεταβλητή X δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής:

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (0;2): P(0

Λύση: Αφού στο διάστημα (0;2) κατά συνθήκη, F(x)=x/4+1/4, τότε F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Άρα P(0

Συμπέρασμα 2. Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ θα λάβει μια συγκεκριμένη τιμή είναι μηδέν.

Συμπέρασμα 3. Εάν είναι δυνατές οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής ανήκουν στο διάστημα (a;b), τότε: 1) F(x)=0 για xa; 2) F(x)=1 στο xb.
Ισχύουν οι ακόλουθες οριακές σχέσεις:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής βρίσκεται στη ζώνη που περιορίζεται από τις ευθείες y=0, y=1 (πρώτη ιδιότητα). Καθώς το x αυξάνεται στο διάστημα (a;b), το οποίο περιέχει όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής, το γράφημα "ανεβαίνει". Στο xa, οι τεταγμένες του γραφήματος είναι ίσες με μηδέν. Στο xb οι τεταγμένες του γραφήματος είναι ίσες με ένα:

Εικόνα 1

Παράδειγμα 10. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από έναν πίνακα κατανομής:

Χ	1	4	8
Π	0.3	0.1	0.6

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής και σχεδιάστε την.
Λύση: Η συνάρτηση κατανομής μπορεί να γραφτεί αναλυτικά ως εξής:

Σχήμα 2

ΟΡΙΣΜΟΣ: Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η συνάρτηση f(x) - η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κατανομής F(x): f(x)=F"(x)

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής είναι ένα αντιπαράγωγο της πυκνότητας κατανομής.

Θεώρημα. Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X θα λάβει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (a;b) είναι ίση με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής, που λαμβάνεται στην περιοχή από a έως b:

(8)

Ιδιότητες κατανομής πυκνότητας πιθανότητας:

1. Η πυκνότητα πιθανότητας είναι μη αρνητική συνάρτηση: f(x)0.
2. Το οριστικό ολοκλήρωμα από -∞ έως +∞ της πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με 1: f(x)dx=1.
3. Το οριστικό ολοκλήρωμα από -∞ έως x της πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με τη συνάρτηση κατανομής αυτής της μεταβλητής: f(x)dx=F(x)

Παράδειγμα 11. Δίνεται η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα λάβει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (0,5;1).

Λύση: Απαιτούμενη πιθανότητα:

Ας επεκτείνουμε τον ορισμό των αριθμητικών χαρακτηριστικών των διακριτών μεγεθών σε συνεχείς ποσότητες. Έστω μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X να καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής f(x).

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, οι πιθανές τιμές της οποίας ανήκουν στο τμήμα, ονομάζεται καθορισμένο ολοκλήρωμα:

M(x)=xf(x)dx (9)

Εάν είναι δυνατές οι τιμές ανήκουν σε ολόκληρο τον άξονα Ox, τότε:

M(x)=xf(x)dx (10)

Ο τρόπος M 0 (X) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η πιθανή τιμή της στην οποία αντιστοιχεί το τοπικό μέγιστο της πυκνότητας κατανομής.

Η διάμεσος M e (X) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η πιθανή τιμή της, η οποία καθορίζεται από την ισότητα:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η διακύμανση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της. Εάν είναι δυνατές οι τιμές του X ανήκουν στο τμήμα, τότε:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
ή
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Εάν οι πιθανές τιμές ανήκουν σε ολόκληρο τον άξονα x, τότε.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Τυχαίες μεταβλητές».

Εργο 1 . Έχουν εκδοθεί 100 εισιτήρια για την κλήρωση. Κληρώθηκε ένα κέρδος των 50 USD. και δέκα νίκες των 10 USD η καθεμία. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τιμής X - το κόστος των πιθανών κερδών.

Λύση. Πιθανές τιμές για X: x 1 = 0; Χ 2 = 10 και x 3 = 50. Αφού υπάρχουν 89 «κενά» εισιτήρια, τότε σελ 1 = 0,89, πιθανότητα να κερδίσετε 10 $. (10 εισιτήρια) – σελ 2 = 0,10 και να κερδίσετε 50 USD -Π 3 = 0,01. Ετσι:

	0,89	0,10	0,01

Εύκολο στον έλεγχο: .

Εργο 2. Η πιθανότητα ο αγοραστής να έχει διαβάσει εκ των προτέρων τη διαφήμιση του προϊόντος είναι 0,6 (p = 0,6). Ο επιλεκτικός έλεγχος της ποιότητας της διαφήμισης πραγματοποιείται από την έρευνα των αγοραστών πριν από τον πρώτο που έχει μελετήσει εκ των προτέρων τη διαφήμιση. Σχεδιάστε μια σειρά διανομής για τον αριθμό των αγοραστών που ερωτήθηκαν.

Λύση. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, p = 0,6. Από: q=1 -p = 0,4. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε:και κατασκευάστε μια σειρά διανομής:

πι		0,24

Εργο 3. Ένας υπολογιστής αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία: τη μονάδα συστήματος, την οθόνη και το πληκτρολόγιο. Με μία μόνο απότομη αύξηση της τάσης, η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου είναι 0,1. Με βάση την κατανομή Bernoulli, συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των στοιχείων που αποτυγχάνουν κατά τη διάρκεια ενός κύματος ισχύος στο δίκτυο.

Λύση. Ας σκεφτούμε Κατανομή Bernoulli(ή διωνυμικό): η πιθανότητα ότι n δοκιμές, το συμβάν Α θα εμφανιστεί ακριβώςκ μια φορά: , ή:

	q n					Π n

ΣΕ Ας επιστρέψουμε στο έργο.

Πιθανές τιμές για το X (αριθμός αποτυχιών):

x 0 =0 – κανένα από τα στοιχεία δεν απέτυχε.

x 1 =1 – αστοχία ενός στοιχείου.

x 2 =2 – αστοχία δύο στοιχείων.

x 3 =3 – αστοχία όλων των στοιχείων.

Αφού, κατά συνθήκη, p = 0,1, τότε q = 1 – p = 0,9. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli, παίρνουμε

, ,

, .

Ελεγχος: .

Επομένως, ο απαιτούμενος νόμος διανομής:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Πρόβλημα 4. Παρήχθησαν 5.000 φυσίγγια. Πιθανότητα ότι ένα φυσίγγιο είναι ελαττωματικό . Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 3 ελαττωματικά φυσίγγια σε ολόκληρη την παρτίδα;

Λύση. Εφαρμόσιμος Κατανομή Poisson: Αυτή η κατανομή χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της πιθανότητας ότι, για πολύ μεγάλη

αριθμός δοκιμών (δοκιμές μάζας), σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα του γεγονότος Α είναι πολύ μικρή, το γεγονός Α θα συμβεί k φορές: , Οπου .

Εδώ n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Βρίσκουμε , τότε την επιθυμητή πιθανότητα: .

Πρόβλημα 5. Κατά την πυροδότηση μέχρι το πρώτο χτύπημα με πιθανότητα χτυπήματος p = 0,6 όταν πυροβολείτε, πρέπει να βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα χτύπημα στην τρίτη βολή.

Λύση. Ας εφαρμόσουμε μια γεωμετρική κατανομή: ας γίνουν ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθένα από τα οποία το γεγονός Α έχει πιθανότητα εμφάνισης p (και μη εμφάνιση q = 1 – p). Η δοκιμή τελειώνει μόλις συμβεί το συμβάν Α.

Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α στην kth δοκιμή καθορίζεται από τον τύπο: . Εδώ p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Επομένως, .

Πρόβλημα 6. Έστω ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία.

Λύση. .

Σημειώστε ότι η πιθανολογική σημασία της μαθηματικής προσδοκίας είναι η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής.

Πρόβλημα 7. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X με τον ακόλουθο νόμο κατανομής:

Λύση. Εδώ .

Νόμος κατανομής για την τετραγωνική τιμή του Χ 2 :

Χ 2

Απαιτούμενη διακύμανση: .

Η διασπορά χαρακτηρίζει το μέτρο της απόκλισης (διασποράς) μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία.

Πρόβλημα 8. Έστω μια τυχαία μεταβλητή που δίνεται από την κατανομή:

			10μ

Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά του.

Λύση: m, m 2 ,

Μ 2 , Μ.

Για την τυχαία μεταβλητή X μπορούμε να πούμε είτε: η μαθηματική της προσδοκία είναι 6,4 m με διακύμανση 13,04 m 2 , ή – η μαθηματική προσδοκία του είναι 6,4 m με απόκλιση m Η δεύτερη διατύπωση είναι προφανώς πιο σαφής.

Εργο 9. Τυχαία τιμήΧ δίνεται από τη συνάρτηση διανομής:
.

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής η τιμή X θα λάβει την τιμή που περιέχεται στο διάστημα .

Λύση. Η πιθανότητα ότι το X θα πάρει μια τιμή από ένα δεδομένο διάστημα είναι ίση με την αύξηση της ολοκληρωτικής συνάρτησης σε αυτό το διάστημα, δηλ. . Στην περίπτωσή μας και άρα

.

Εργο 10. Διακριτή τυχαία μεταβλητήΧ δίνεται από τον νόμο διανομής:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x ) και σχεδιάστε το.

Λύση. Από τη συνάρτηση διανομής,

Για , Οτι

στο ;

στο ;

στο ;

στο ;

Σχετικό γράφημα:

Πρόβλημα 11.Συνεχής τυχαία μεταβλητήΧ δίνεται από τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής: .

Βρείτε την πιθανότητα επιτυχίας X ανά διάστημα

Λύση. Σημειώστε ότι αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του νόμου της εκθετικής κατανομής.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: .

Εργο 12. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X που καθορίζεται από τον νόμο κατανομής:

	–5
	X2: Χ 2 . , Οπου – Συνάρτηση Laplace. Οι τιμές αυτής της συνάρτησης βρίσκονται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα. Στην περίπτωσή μας: . Από τον πίνακα βρίσκουμε: άρα:

Τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που μπορεί να λάβει ορισμένες τιμές ανάλογα με τις διάφορες συνθήκες και Η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται συνεχής , εάν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από οποιοδήποτε περιορισμένο ή απεριόριστο διάστημα. Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, είναι αδύνατο να υποδειχθούν όλες οι πιθανές τιμές, επομένως ορίζουμε διαστήματα αυτών των τιμών που σχετίζονται με ορισμένες πιθανότητες.

Παραδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών περιλαμβάνουν: τη διάμετρο ενός τμήματος που αλέθεται σε ένα δεδομένο μέγεθος, το ύψος ενός ατόμου, το εύρος πτήσης ενός βλήματος κ.λπ.

Αφού για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές η συνάρτηση φά(Χ), Σε αντίθεση με διακριτές τυχαίες μεταβλητές, δεν έχει άλματα πουθενά, τότε η πιθανότητα οποιασδήποτε μεμονωμένης τιμής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι μηδέν.

Αυτό σημαίνει ότι για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή δεν έχει νόημα να μιλάμε για την κατανομή πιθανοτήτων μεταξύ των τιμών της: καθεμία από αυτές έχει μηδενική πιθανότητα. Ωστόσο, κατά μία έννοια, μεταξύ των τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής υπάρχουν «περισσότερο και λιγότερο πιθανές». Για παράδειγμα, σχεδόν κανείς δεν θα αμφισβητούσε ότι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής - το ύψος ενός ατόμου που συναντάται τυχαία - 170 cm - είναι πιο πιθανή από 220 cm, αν και και οι δύο τιμές μπορούν να προκύψουν στην πράξη.

Συνάρτηση κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής και πυκνότητα πιθανότητας

Ως νόμος κατανομής που έχει νόημα μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, εισάγεται η έννοια της πυκνότητας κατανομής ή της πυκνότητας πιθανότητας. Ας το προσεγγίσουμε συγκρίνοντας την έννοια της συνάρτησης κατανομής για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή και για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή.

Άρα, η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής (τόσο διακριτής όσο και συνεχής) ή αναπόσπαστη λειτουργίαονομάζεται συνάρτηση που καθορίζει την πιθανότητα ότι η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής Χμικρότερη ή ίση με την οριακή τιμή Χ.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή στα σημεία των τιμών της Χ1 , Χ 2 , ..., ΧΕγώ,...μάζες πιθανοτήτων συγκεντρώνονται Π1 , Π 2 , ..., ΠΕγώ,..., και το άθροισμα όλων των μαζών είναι ίσο με 1. Ας μεταφέρουμε αυτή την ερμηνεία στην περίπτωση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Ας φανταστούμε ότι μια μάζα ίση με 1 δεν συγκεντρώνεται σε μεμονωμένα σημεία, αλλά «αλείφεται» συνεχώς κατά μήκος του άξονα της τετμημένης Ωμε κάποια ανομοιόμορφη πυκνότητα. Πιθανότητα τυχαίας μεταβλητής να πέσει σε οποιαδήποτε περιοχή Δ Χθα ερμηνευθεί ως η μάζα ανά τμήμα και η μέση πυκνότητα σε αυτό το τμήμα ως ο λόγος της μάζας προς το μήκος. Μόλις εισαγάγαμε μια σημαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων: την πυκνότητα κατανομής.

Πυκνότητα πιθανότητας φά(Χ) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής της:

.

Γνωρίζοντας τη συνάρτηση πυκνότητας, μπορείτε να βρείτε την πιθανότητα ότι η τιμή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ανήκει στο κλειστό διάστημα [ ένα; σι]:

την πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα [ ένα; σι], ισούται με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανοτήτων που κυμαίνεται από έναπριν σι:

.

Σε αυτή την περίπτωση, ο γενικός τύπος της συνάρτησης φά(Χ) κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν είναι γνωστή η συνάρτηση πυκνότητας φά(Χ) :

.

Το γράφημα πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται καμπύλη κατανομής της (σχήμα παρακάτω).

Το εμβαδόν ενός σχήματος (σκιασμένο στο σχήμα) που οριοθετείται από μια καμπύλη, ευθείες γραμμές που σχεδιάζονται από σημεία έναΚαι σικάθετη στον άξονα x, και τον άξονα Ω, εμφανίζει γραφικά την πιθανότητα ότι η τιμή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χβρίσκεται εντός του εύρους των έναπριν σι.

Ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

1. Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή θα λάβει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα (και το εμβαδόν του σχήματος που περιορίζεται από το γράφημα της συνάρτησης φά(Χ) και άξονα Ω) ισούται με ένα:

2. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές:

και έξω από την ύπαρξη της κατανομής η τιμή της είναι μηδέν

Πυκνότητα κατανομής φά(Χ), καθώς και τη συνάρτηση διανομής φά(Χ), είναι μία από τις μορφές του νόμου κατανομής, αλλά σε αντίθεση με τη συνάρτηση κατανομής, δεν είναι καθολική: η πυκνότητα κατανομής υπάρχει μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Ας αναφέρουμε τους δύο πιο σημαντικούς τύπους κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής στην πράξη.

Αν η συνάρτηση πυκνότητας κατανομής φά(Χ) συνεχής τυχαία μεταβλητή σε κάποιο πεπερασμένο διάστημα [ ένα; σι] παίρνει σταθερή τιμή ντο, και έξω από το διάστημα παίρνει μια τιμή ίση με μηδέν, τότε αυτό η κατανομή ονομάζεται ομοιόμορφη .

Εάν το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής είναι συμμετρικό σε σχέση με το κέντρο, οι μέσες τιμές συγκεντρώνονται κοντά στο κέντρο και όταν απομακρύνεστε από το κέντρο, συλλέγονται αυτές που είναι πιο διαφορετικές από το μέσο όρο (το γράφημα της συνάρτησης μοιάζει με τμήμα ενός κουδουνιού), τότε αυτό η κατανομή ονομάζεται κανονική .

Παράδειγμα 1.Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστή:

Εύρεση συνάρτησης φά(Χ) πυκνότητα πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Κατασκευάστε γραφήματα και των δύο συναρτήσεων. Βρείτε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα από 4 έως 8: .

Λύση. Λαμβάνουμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας βρίσκοντας την παράγωγο της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας:

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) - παραβολή:

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) - ευθεία:

Ας βρούμε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στην περιοχή από 4 έως 8:

Παράδειγμα 2.Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής δίνεται ως εξής:

Υπολογίστε τον συντελεστή ντο. Εύρεση συνάρτησης φά(Χ) κατανομές πιθανοτήτων μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Κατασκευάστε γραφήματα και των δύο συναρτήσεων. Βρείτε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στην περιοχή από 0 έως 5: .

Λύση. Συντελεστής ντοβρίσκουμε, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 1 της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας:

Έτσι, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι:

Με την ενσωμάτωση, βρίσκουμε τη συνάρτηση φά(Χ) κατανομές πιθανοτήτων. Αν Χ < 0 , то φά(Χ) = 0. Αν 0< Χ < 10 , то

.

Χ> 10, λοιπόν φά(Χ) = 1 .

Έτσι, η πλήρης εγγραφή της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας είναι:

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) :

Γράφημα μιας συνάρτησης φά(Χ) :

Ας βρούμε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει οποιαδήποτε τιμή στην περιοχή από 0 έως 5:

Παράδειγμα 3.Πυκνότητα πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χδίνεται από την ισότητα , και . Βρείτε συντελεστή ΕΝΑ, η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χθα λάβει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα ]0, 5[, τη συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ.

Λύση. Με όρους φτάνουμε στην ισότητα

Επομένως, , από πού . Ετσι,

.

Τώρα βρίσκουμε την πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει οποιαδήποτε τιμή από το διάστημα ]0, 5[:

Τώρα παίρνουμε τη συνάρτηση κατανομής αυτής της τυχαίας μεταβλητής:

Παράδειγμα 4.Βρείτε την πυκνότητα πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, το οποίο λαμβάνει μόνο μη αρνητικές τιμές και τη συνάρτηση κατανομής του .