Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Παραγοντοποιήστε μεγάλος αριθμός- δεν είναι εύκολη υπόθεση.Οι περισσότεροι άνθρωποι δυσκολεύονται να βρουν τετραψήφιους ή πενταψήφιους αριθμούς. Για να διευκολύνετε τη διαδικασία, γράψτε τον αριθμό πάνω από τις δύο στήλες.

• Ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 6552.

Διαιρέστε τον δεδομένο αριθμό με τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη (εκτός του 1) που διαιρεί τον δεδομένο αριθμό χωρίς να αφήσει υπόλοιπο.Γράψτε αυτόν τον διαιρέτη στην αριστερή στήλη και γράψτε το αποτέλεσμα της διαίρεσης στη δεξιά στήλη. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, μονοί αριθμοίεύκολο να συντελεστεί, καθώς ο μικρότερος πρώτος παράγοντας τους θα είναι πάντα ο αριθμός 2 (οι περιττοί αριθμοί έχουν διαφορετικούς μικρότερους πρώτους συντελεστές).

• Στο παράδειγμά μας, το 6552 είναι ένας ζυγός αριθμός, επομένως το 2 είναι ο μικρότερος πρώτος παράγοντας του. 6552 ÷ 2 = 3276. Γράψτε 2 στην αριστερή στήλη και 3276 στη δεξιά στήλη.

Στη συνέχεια, διαιρέστε τον αριθμό στη δεξιά στήλη με τον μικρότερο πρώτο παράγοντα (εκτός του 1) που διαιρεί τον αριθμό χωρίς υπόλοιπο. Γράψτε αυτόν τον διαιρέτη στην αριστερή στήλη και στη δεξιά στήλη γράψτε το αποτέλεσμα της διαίρεσης (συνεχίστε αυτή τη διαδικασία μέχρι να μην μείνει 1 στη δεξιά στήλη).

• Στο παράδειγμά μας: 3276 ÷ 2 = 1638. Γράψτε 2 στην αριστερή στήλη και 1638 στη δεξιά στήλη. Στη συνέχεια: 1638 ÷ 2 = 819. Γράψτε 2 στην αριστερή στήλη και 819 στη δεξιά στήλη.

Έχετε έναν περιττό αριθμό. Για τέτοιους αριθμούς, η εύρεση του μικρότερου πρώτου διαιρέτη είναι πιο δύσκολη.Εάν λάβετε έναν περιττό αριθμό, δοκιμάστε να τον διαιρέσετε με τους μικρότερους πρώτους περιττούς αριθμούς: 3, 5, 7, 11.

• Στο παράδειγμά μας, λάβατε έναν περιττό αριθμό 819. Διαιρέστε τον με το 3: 819 ÷ 3 = 273. Γράψτε 3 στην αριστερή στήλη και 273 στη δεξιά στήλη.
• Όταν επιλέγετε διαιρέτες, δοκιμάστε όλους τους πρώτους αριθμούς μέχρι τετραγωνική ρίζααπό μεγαλύτερος διαιρέτης, που βρήκατε. Εάν κανένας διαιρέτης δεν διαιρεί τον αριθμό με ένα σύνολο, τότε πιθανότατα έχετε έναν πρώτο αριθμό και μπορείτε να σταματήσετε να υπολογίζετε.

Συνεχίστε τη διαδικασία διαίρεσης των αριθμών με τους πρώτους παράγοντες μέχρι να μείνετε με το 1 στη δεξιά στήλη (αν έχετε έναν πρώτο αριθμό στη δεξιά στήλη, διαιρέστε τον μόνος του για να πάρετε το 1).

• Ας συνεχίσουμε τους υπολογισμούς στο παράδειγμά μας:
  • Διαιρέστε με το 3: 273 ÷ 3 = 91. Δεν υπάρχει υπόλοιπο. Σημειώστε 3 στην αριστερή στήλη και 91 στη δεξιά στήλη.
  • Διαιρέστε με το 3. Το 91 διαιρείται με το 3 με ένα υπόλοιπο, άρα διαιρείται με το 5. Το 91 διαιρείται με το 5 με ένα υπόλοιπο, οπότε διαιρείται με το 7: 91 ÷ 7 = 13. Δεν υπάρχει υπόλοιπο. Σημειώστε 7 στην αριστερή στήλη και 13 στη δεξιά στήλη.
  • Διαιρέστε με το 7. Το 13 διαιρείται με το 7 με ένα υπόλοιπο, άρα διαιρείται με το 11. Το 13 διαιρείται με το 11 με ένα υπόλοιπο, οπότε διαιρείται με το 13: 13 ÷ 13 = 1. Δεν υπάρχει υπόλοιπο. Γράψτε 13 στην αριστερή στήλη και 1 στη δεξιά στήλη. Οι υπολογισμοί σας έχουν ολοκληρωθεί.

Η αριστερή στήλη δείχνει τους πρώτους παράγοντες του αρχικού αριθμού.Με άλλα λόγια, όταν πολλαπλασιάσετε όλους τους αριθμούς στην αριστερή στήλη, θα πάρετε τον αριθμό που είναι γραμμένος πάνω από τις στήλες. Εάν ο ίδιος παράγοντας εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές στη λίστα παραγόντων, χρησιμοποιήστε εκθέτες για να τον υποδείξετε. Στο παράδειγμά μας, το 2 εμφανίζεται 4 φορές στη λίστα πολλαπλασιαστών. γράψτε αυτούς τους παράγοντες ως 2 4 αντί για 2*2*2*2.

• Στο παράδειγμά μας, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Συνυπολογίσατε το 6552 σε πρώτους παράγοντες (η σειρά των παραγόντων σε αυτόν τον συμβολισμό δεν έχει σημασία).

Εισαγάγετε τον αριθμό:

Ολα ακέραιοι αριθμοίχωρίζονται σε απλόςΚαι σύνθετος. Τα πρώτα διαφέρουν στο ότι μπορούν να χωριστούν μόνο στον εαυτό τους και ένα. Υπάρχουν πολλοί πρώτοι αριθμοί. Σας παρουσιάζουμε μόνο το πρώτο από αυτά: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, κ.λπ.

Αλλά ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως πολλοί πρώτοι αριθμοί πολλαπλασιασμένοι μαζί.

Το θεώρημα δηλώνει ότι αν ορίσουμε έναν ορισμένο σύνθετο αριθμό ως n, και ο δυνητικός πρώτος διαιρέτης του είναι ως R, τότε το τελευταίο (τουλάχιστον ένα από το σετ) μπορεί να έχει το εξής χαρακτηριστικό: р 2 ≤ n.

Επιπλέον, το 1 δεν θεωρείται πρώτος ή σύνθετος αριθμός. Φαίνεται να είναι μόνη της.

Η διαδικασία παραγοντοποίησης ενός σύνθετου αριθμού ονομάζεται παραγοντοποίηση.

Πώς μπορείτε να συνυπολογίσετε έναν σύνθετο αριθμό; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι:

1. Για αποσύνθεση όχι μεγάλοι αριθμοίΜπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού.
2. Για να συνυπολογίσετε μεγάλους αριθμούς, χρησιμοποιήστε έναν πίνακα πρώτων αριθμών.

   Λειτουργεί ως εξής: ας υποθέσουμε ότι έχετε έναν τετραψήφιο αριθμό. Βρείτε τον μικρότερο διαιρέτη του στον πίνακα. Διαιρέστε τον αριθμό σας με αυτόν τον διαιρέτη - παίρνετε έναν συγκεκριμένο τριψήφιο αριθμό. Τώρα διαβάστε τους αριθμούς στον πίνακα και βρείτε τον διαιρέτη αυτού του τριψήφιου αριθμού. Και ούτω καθεξής μέχρι στο τέλος να μείνεις με έναν πρώτο αριθμό, ο οποίος, εξ ορισμού, δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί. Το γινόμενο όλων των αριθμών που βρίσκετε είναι οι πρώτοι παράγοντες του αρχικού αριθμού.

   Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

3. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή μας για να συνυπολογίσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες στο διαδίκτυο

Δώστε στο πρόγραμμα έναν σύνθετο αριθμό οποιασδήποτε πολυπλοκότητας - θα τον συνυπολογίσει εύκολα και γρήγορα σε απλούς παράγοντες και θα σας παρουσιάσει το αποτέλεσμα. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα για να δοκιμάσετε τον εαυτό σας. Ή για να επιταχύνουμε τις εργασίες για το σπίτι.

Αυτό είναι πολύ γρηγορότερο από τη διερεύνηση αριθμών σε έναν πίνακα πρώτων αριθμών. Και είναι πιο βολικό από το να υπολογίζεις στο μυαλό σου.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Σε αυτό το άρθρο θα βρείτε όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για να απαντήσετε στην ερώτηση, πώς να συνυπολογίσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες. Δόθηκε πρώτα γενική ιδέασχετικά με την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, δίνονται παραδείγματα αποσυνθέσεων. Το παρακάτω δείχνει την κανονική μορφή της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, δίνεται ένας αλγόριθμος για την αποσύνθεση αυθαίρετων αριθμών σε πρώτους παράγοντες και δίνονται παραδείγματα αποσύνθεσης αριθμών χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο. Εξετάζονται επίσης εναλλακτικές μέθοδοι που σας επιτρέπουν να συνυπολογίζετε γρήγορα μικρούς ακέραιους σε πρώτους παράγοντες χρησιμοποιώντας τεστ διαιρετότητας και πίνακες πολλαπλασιασμού.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Αρχικά, ας δούμε ποιοι είναι οι κύριοι παράγοντες.

Είναι σαφές ότι εφόσον η λέξη «παράγοντες» υπάρχει σε αυτή τη φράση, τότε υπάρχει γινόμενο ορισμένων αριθμών και η χαρακτηριστική λέξη «απλός» σημαίνει ότι κάθε παράγοντας είναι πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα, σε ένα γινόμενο της μορφής 2·7·7·23 υπάρχουν τέσσερις πρώτοι παράγοντες: 2, 7, 7 και 23.

Τι σημαίνει να συνυπολογίζουμε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες;

Αυτό σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός πρέπει να παριστάνεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων και η τιμή αυτού του γινόμενου πρέπει να είναι ίση με τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, θεωρήστε το γινόμενο τριών πρώτων αριθμών 2, 3 και 5, είναι ίσο με 30, επομένως η αποσύνθεση του αριθμού 30 σε πρώτους παράγοντες είναι 2·3·5. Συνήθως η αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες γράφεται ως ισότητα· στο παράδειγμά μας θα είναι έτσι: 30=2·3·5. Τονίζουμε χωριστά ότι οι κύριοι παράγοντες στην επέκταση μπορούν να επαναληφθούν. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα από το ακόλουθο παράδειγμα: 144=2·2·2·2·3·3. Όμως μια αναπαράσταση της μορφής 45=3·15 δεν είναι αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες, αφού ο αριθμός 15 είναι σύνθετος αριθμός.

Τίθεται το εξής ερώτημα: «Ποιοι αριθμοί μπορούν να αναλυθούν σε πρώτους παράγοντες;»

Αναζητώντας μια απάντηση σε αυτό, παρουσιάζουμε το ακόλουθο σκεπτικό. Οι πρώτοι αριθμοί, εξ ορισμού, είναι μεταξύ αυτών που είναι μεγαλύτεροι του ενός. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός και , μπορεί να υποστηριχθεί ότι το γινόμενο πολλών πρώτων παραγόντων είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από ένα. Επομένως, η παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες συμβαίνει μόνο για θετικούς ακέραιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από 1.

Μπορούν όμως όλοι οι ακέραιοι αριθμοί μεγαλύτεροι του ενός να συνυπολογιστούν σε πρώτους παράγοντες;

Είναι σαφές ότι δεν είναι δυνατόν να παραγοντοποιήσουμε απλούς ακέραιους σε πρώτους παράγοντες. Αυτό συμβαίνει επειδή οι πρώτοι αριθμοί έχουν μόνο δύο θετικούς παράγοντες - έναν και τον εαυτό τους, επομένως δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως το γινόμενο δύο ή περισσότερων πρώτων αριθμών. Εάν ο ακέραιος z μπορούσε να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο των πρώτων αριθμών a και b, τότε η έννοια της διαιρετότητας θα μας επέτρεπε να συμπεράνουμε ότι το z διαιρείται τόσο με το a όσο και με το b, κάτι που είναι αδύνατο λόγω της απλότητας του αριθμού z. Ωστόσο, πιστεύουν ότι οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός είναι από μόνος του μια αποσύνθεση.

Τι γίνεται με τους σύνθετους αριθμούς; Οι σύνθετοι αριθμοί διασπώνται σε πρώτους παράγοντες και όλοι οι σύνθετοι αριθμοί υπόκεινται σε τέτοια αποσύνθεση; Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής δίνει μια καταφατική απάντηση σε μια σειρά από αυτά τα ερωτήματα. Το βασικό θεώρημα της αριθμητικής δηλώνει ότι κάθε ακέραιος αριθμός a που είναι μεγαλύτερος από 1 μπορεί να αποσυντεθεί στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων p 1, p 2, ..., p n, και η αποσύνθεση έχει τη μορφή a = p 1 · p 2 · … · p n, και αυτή η επέκταση είναι μοναδική, αν δεν λάβετε υπόψη τη σειρά των παραγόντων

Κανονική παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Στην επέκταση ενός αριθμού, μπορούν να επαναληφθούν πρώτοι παράγοντες. Οι επαναλαμβανόμενοι πρώτοι παράγοντες μπορούν να γραφτούν πιο συμπαγή χρησιμοποιώντας . Έστω στην αποσύνθεση ενός αριθμού ο πρώτος παράγοντας p 1 εμφανίζεται s 1 φορές, ο πρώτος παράγοντας p 2 – s 2 φορές, και ούτω καθεξής, p n – s n φορές. Τότε η παραγοντοποίηση του πρώτου αριθμού a μπορεί να γραφτεί ως a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Αυτή η μορφή εγγραφής είναι η λεγόμενη κανονική παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα της κανονικής αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ενημερώστε μας την αποσύνθεση 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, η κανονική του σημειογραφία έχει τη μορφή 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Η κανονική παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες σας επιτρέπει να βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού και τον αριθμό των διαιρετών του αριθμού.

Αλγόριθμος για την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Για να αντιμετωπίσετε με επιτυχία το έργο της αποσύνθεσης ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, πρέπει να έχετε πολύ καλή γνώση των πληροφοριών στο άρθρο πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί.

Η ουσία της διαδικασίας αποσύνθεσης ενός θετικού ακέραιου αριθμού α που υπερβαίνει το ένα είναι ξεκάθαρη από την απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής. Το θέμα είναι να βρούμε διαδοχικά τους μικρότερους πρώτους διαιρέτες p 1, p 2, ..., p n των αριθμών a, a 1, a 2, ..., a n-1, που μας επιτρέπει να λάβουμε μια σειρά από ισότητες a=p 1 ·a 1, όπου a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, όπου a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , όπου a n =a n-1:p n . Όταν αποδειχθεί a n =1, τότε η ισότητα a=p 1 ·p 2 ·…·p n θα μας δώσει την επιθυμητή αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες. Πρέπει επίσης να σημειωθεί εδώ ότι p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Απομένει να καταλάβουμε πώς να βρούμε τους μικρότερους πρώτους παράγοντες σε κάθε βήμα και θα έχουμε έναν αλγόριθμο για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ένας πίνακας πρώτων αριθμών θα μας βοηθήσει να βρούμε πρώτους παράγοντες. Ας δείξουμε πώς να το χρησιμοποιήσουμε για να λάβουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού z.

Παίρνουμε διαδοχικά πρώτους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών (2, 3, 5, 7, 11 κ.ο.κ.) και διαιρούμε τον αριθμό z με αυτούς. Ο πρώτος πρώτος αριθμός με τον οποίο διαιρείται ομοιόμορφα το z θα είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του. Εάν ο αριθμός z είναι πρώτος, τότε ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του θα είναι ο ίδιος ο αριθμός z. Θα πρέπει επίσης να υπενθυμίσουμε εδώ ότι εάν το z δεν είναι πρώτος αριθμός, τότε ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του δεν υπερβαίνει τον αριθμό , όπου είναι από το z. Έτσι, εάν μεταξύ των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το , δεν υπήρχε ούτε ένας διαιρέτης του αριθμού z, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο z είναι πρώτος αριθμός (περισσότερα σχετικά με αυτό γράφονται στο τμήμα θεωρίας κάτω από την επικεφαλίδα Αυτός ο αριθμός είναι πρώτος ή σύνθετος ).

Για παράδειγμα, θα δείξουμε πώς να βρείτε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού 87. Ας πάρουμε τον αριθμό 2. Διαιρέστε το 87 με το 2, παίρνουμε 87:2=43 (υπόλοιπο 1) (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο). Δηλαδή, όταν διαιρούμε το 87 με το 2, το υπόλοιπο είναι 1, άρα το 2 δεν είναι διαιρέτης του αριθμού 87. Παίρνουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, αυτός είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 87 με το 3, παίρνουμε 87:3=29. Έτσι, το 87 διαιρείται με το 3, επομένως, ο αριθμός 3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 87.

Σημειώστε ότι σε γενική περίπτωσηΓια να συνυπολογίσουμε τον αριθμό a σε πρώτους παράγοντες, χρειαζόμαστε έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι έναν αριθμό όχι μικρότερο από . Θα πρέπει να αναφερόμαστε σε αυτόν τον πίνακα σε κάθε βήμα, επομένως πρέπει να τον έχουμε στη διάθεσή μας. Για παράδειγμα, για να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 95 σε πρώτους παράγοντες, θα χρειαστούμε μόνο έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 10 (καθώς το 10 είναι μεγαλύτερο από ). Και για να αποσυνθέσετε τον αριθμό 846.653, θα χρειαστείτε ήδη έναν πίνακα με πρώτους αριθμούς μέχρι το 1.000 (καθώς το 1.000 είναι μεγαλύτερο από ).

Τώρα έχουμε αρκετές πληροφορίες για να γράψουμε αλγόριθμος για την παραγοντοποίηση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Ο αλγόριθμος για την αποσύνθεση του αριθμού α είναι ο εξής:

• Ταξινομώντας διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 1 του αριθμού a, μετά τον οποίο υπολογίζουμε το 1 =a:p 1. Αν a 1 =1, τότε ο αριθμός a είναι πρώτος και είναι από μόνος του η αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες. Αν το a 1 δεν είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·a 1 και προχωράμε στο επόμενο βήμα.
• Βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 2 του αριθμού a 1 , για να γίνει αυτό ταξινομούμε διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας από το p 1 , και μετά υπολογίζουμε το 2 =a 1:p 2 . Αν a 2 =1, τότε η απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή a=p 1 ·p 2. Αν το a 2 δεν είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·p 2 ·a 2 και προχωράμε στο επόμενο βήμα.
• Περνώντας τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας από το p 2, βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 3 του αριθμού a 2, μετά τον οποίο υπολογίζουμε το 3 =a 2:p 3. Αν a 3 =1, τότε η απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή a=p 1 ·p 2 ·p 3. Αν το a 3 δεν είναι ίσο με 1, τότε έχουμε a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 και προχωράμε στο επόμενο βήμα.
• Βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p n του αριθμού a n-1 ταξινομώντας τους πρώτους αριθμούς, ξεκινώντας από p n-1, καθώς και a n =a n-1:p n, και a n είναι ίσο με 1. Αυτό το βήμα είναι το τελευταίο βήμα του αλγορίθμου· εδώ λαμβάνουμε την απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού a σε πρώτους παράγοντες: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Για λόγους σαφήνειας, όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε κάθε βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες παρουσιάζονται με τη μορφή του παρακάτω πίνακα, στον οποίο οι αριθμοί a, a 1, a 2, ..., a n γράφονται διαδοχικά σε μια στήλη στα αριστερά της κάθετης γραμμής και στα δεξιά της γραμμής - οι αντίστοιχοι μικρότεροι πρώτοι διαιρέτες p 1, p 2, ..., p n.

Το μόνο που μένει είναι να εξετάσουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής του προκύπτοντος αλγορίθμου για την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Παραδείγματα παραγοντοποίησης πρώτων

Τώρα θα δούμε αναλυτικά παραδείγματα παραγοντοποίησης αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Κατά την αποσύνθεση θα χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο από προηγούμενη παράγραφο. Ας ξεκινήσουμε με απλές περιπτώσεις, και σταδιακά θα τα περιπλέκουμε για να συναντήσουμε όλες τις πιθανές αποχρώσεις που προκύπτουν κατά την αποσύνθεση των αριθμών σε απλούς παράγοντες.

Παράδειγμα.

Συνυπολογίστε τον αριθμό 78 στους πρώτους παράγοντες του.

Λύση.

Ξεκινάμε την αναζήτηση του πρώτου μικρότερου πρώτου διαιρέτη p 1 του αριθμού a=78. Για να γίνει αυτό, αρχίζουμε να ταξινομούμε διαδοχικά τους πρώτους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών. Παίρνουμε τον αριθμό 2 και διαιρούμε το 78 με αυτόν, παίρνουμε 78:2=39. Ο αριθμός 78 διαιρείται με το 2 χωρίς υπόλοιπο, οπότε το p 1 = 2 είναι ο πρώτος που βρέθηκε πρώτος διαιρέτης του αριθμού 78. Σε αυτήν την περίπτωση, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Φτάνουμε λοιπόν στην ισότητα a=p 1 ·a 1 που έχει τη μορφή 78=2·39. Προφανώς, ένα 1 =39 είναι διαφορετικό από το 1, οπότε προχωράμε στο δεύτερο βήμα του αλγορίθμου.

Τώρα αναζητούμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 2 του αριθμού a 1 =39. Ξεκινάμε την απαρίθμηση αριθμών από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας με p 1 =2. Διαιρούμε το 39 με το 2, παίρνουμε 39:2=19 (υπόλοιπο 1). Εφόσον το 39 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 2, τότε το 2 δεν είναι ο διαιρέτης του. Στη συνέχεια παίρνουμε τον επόμενο αριθμό από τον πίνακα των πρώτων αριθμών (αριθμός 3) και διαιρούμε το 39 με αυτόν, παίρνουμε 39:3=13. Επομένως, ο p 2 =3 είναι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού 39, ενώ ο a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Έχουμε την ισότητα a=p 1 ·p 2 ·a 2 με τη μορφή 78=2·3·13. Εφόσον το 2 =13 είναι διαφορετικό από το 1, προχωράμε στο επόμενο βήμα του αλγορίθμου.

Εδώ πρέπει να βρούμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 2 =13. Αναζητώντας τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη p 3 του αριθμού 13, θα ταξινομήσουμε διαδοχικά τους αριθμούς από τον πίνακα των πρώτων αριθμών, ξεκινώντας από p 2 =3. Ο αριθμός 13 δεν διαιρείται με το 3, αφού 13:3=4 (υπόλοιπο 1), επίσης το 13 δεν διαιρείται με το 5, το 7 και το 11, αφού 13:5=2 (υπόλοιπο 3), 13:7=1 (ανάπαυση 6) και 13:11=1 (ανάπαυση 2). Ο επόμενος πρώτος αριθμός είναι το 13 και το 13 διαιρείται με αυτόν χωρίς υπόλοιπο, επομένως, ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης p 3 του 13 είναι ο ίδιος ο αριθμός 13 και a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Εφόσον είναι 3 =1, αυτό το βήμα του αλγορίθμου είναι το τελευταίο και η απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού 78 σε πρώτους παράγοντες έχει τη μορφή 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Απάντηση:

78=2·3·13.

Παράδειγμα.

Να εκφράσετε τον αριθμό 83.006 ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Λύση.

Στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες, βρίσκουμε p 1 =2 και a 1 =a:p 1 =83.006:2=41.503, από τα οποία 83.006=2·41.503.

Στο δεύτερο βήμα, διαπιστώνουμε ότι το 2, το 3 και το 5 δεν είναι πρώτοι διαιρέτες του αριθμού a 1 =41.503, αλλά ο αριθμός 7 είναι, αφού 41.503:7=5.929. Έχουμε p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41.503:7 = 5.929. Έτσι, 83.006=2 7 5 929.

Ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 2 =5 929 είναι ο αριθμός 7, αφού 5 929:7 = 847. Έτσι, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, από τα οποία 83 006 = 2·7·7·847.

Στη συνέχεια βρίσκουμε ότι ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης p 4 του αριθμού a 3 =847 είναι ίσος με 7. Τότε a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, άρα 83 006=2·7·7·7·121.

Τώρα βρίσκουμε τον μικρότερο πρώτο διαιρέτη του αριθμού a 4 =121, είναι ο αριθμός p 5 =11 (αφού το 121 διαιρείται με το 11 και δεν διαιρείται με το 7). Τότε a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, και 83 006=2·7·7·7·11·11.

Τέλος, ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του αριθμού a 5 =11 είναι ο αριθμός p 6 =11. Τότε a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Εφόσον το 6 =1, αυτό το βήμα του αλγορίθμου για την αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες είναι το τελευταίο και η επιθυμητή αποσύνθεση έχει τη μορφή 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως η κανονική αποσύνθεση του αριθμού σε πρώτους παράγοντες 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Απάντηση:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2Το 991 είναι πρώτος αριθμός. Πράγματι, δεν έχει έναν πρώτο διαιρέτη που να μην υπερβαίνει το ( μπορεί να υπολογιστεί χονδρικά ως , αφού είναι προφανές ότι το 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Απάντηση:

897 924 289 = 937 967 991 .

Χρησιμοποιώντας τεστ διαιρετότητας για παραγοντοποίηση πρώτων

Σε απλές περιπτώσεις, μπορείτε να αποσυνθέσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες χωρίς να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο αποσύνθεσης από την πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου. Εάν οι αριθμοί δεν είναι μεγάλοι, τότε για να τους αποσυνθέσουμε σε πρώτους παράγοντες αρκεί συχνά να γνωρίζουμε τα σημάδια της διαιρετότητας. Ας δώσουμε παραδείγματα για διευκρίνιση.

Για παράδειγμα, πρέπει να συνυπολογίσουμε τον αριθμό 10 σε πρώτους παράγοντες. Από τον πίνακα πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι 2·5=10 και οι αριθμοί 2 και 5 είναι προφανώς πρώτοι, οπότε η παραγοντοποίηση του πρώτου αριθμού 10 μοιάζει με 10=2·5.

Ενα άλλο παράδειγμα. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού, θα συνυπολογίσουμε τον αριθμό 48 σε πρώτους παράγοντες. Γνωρίζουμε ότι το έξι είναι οκτώ - σαράντα οκτώ, δηλαδή 48 = 6,8. Ωστόσο, ούτε το 6 ούτε το 8 είναι πρώτοι αριθμοί. Ξέρουμε όμως ότι δύο φορές τρία είναι έξι, και δύο φορές τέσσερα είναι οκτώ, δηλαδή 6=2·3 και 8=2·4. Τότε 48=6·8=2·3·2·4. Μένει να θυμόμαστε ότι δύο φορές το δύο είναι τέσσερα, τότε παίρνουμε την επιθυμητή αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες 48 = 2·3·2·2·2. Ας γράψουμε αυτήν την επέκταση σε κανονική μορφή: 48=2 4 ·3.

Αλλά όταν συνυπολογίζετε τον αριθμό 3.400 σε πρώτους παράγοντες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. Τα πρόσημα της διαιρετότητας με το 10, 100 μας επιτρέπουν να δηλώσουμε ότι το 3.400 διαιρείται με το 100, με 3.400=34·100, και το 100 διαιρείται με το 10, με 100=10·10, επομένως, 3.400=34·10·10. Και με βάση το τεστ της διαιρετότητας με το 2, μπορούμε να πούμε ότι καθένας από τους παράγοντες 34, 10 και 10 διαιρείται με το 2, παίρνουμε 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Όλοι οι παράγοντες στην επέκταση που προκύπτει είναι απλοί, επομένως αυτή η επέκταση είναι η επιθυμητή. Το μόνο που μένει είναι να αναδιατάξουμε τους συντελεστές έτσι ώστε να πηγαίνουν με αύξουσα σειρά: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Ας γράψουμε επίσης την κανονική αποσύνθεση αυτού του αριθμού σε πρώτους παράγοντες: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Κατά την αποσύνθεση ενός δεδομένου αριθμού σε πρώτους παράγοντες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε με τη σειρά και τα πρόσημα της διαιρετότητας και τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Ας φανταστούμε τον αριθμό 75 ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Το τεστ διαιρετότητας με το 5 μας επιτρέπει να δηλώσουμε ότι το 75 διαιρείται με το 5 και λαμβάνουμε ότι το 75 = 5·15. Και από τον πίνακα πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι 15=3·5, άρα, 75=5·3·5. Αυτή είναι η απαιτούμενη αποσύνθεση του αριθμού 75 σε πρώτους παράγοντες.

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N.Ya. και άλλα.Μαθηματικά. Στ΄ τάξη: εγχειρίδιο για τα ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης.
• Vinogradov I.M. Βασικές αρχές της θεωρίας αριθμών.
• Mikhelovich Sh.H. Θεωρία αριθμών.
• Kulikov L.Ya. και άλλα Συλλογή προβλημάτων άλγεβρας και θεωρίας αριθμών: Σχολικό εγχειρίδιο για μαθητές φυσικής και μαθηματικών. ειδικοτήτων παιδαγωγικών ιδρυμάτων.

Τι σημαίνει Factoring; Αυτό σημαίνει την εύρεση αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον αρχικό αριθμό.

Για να καταλάβουμε τι σημαίνει παράγοντας, ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ένα παράδειγμα παραγοντοποίησης ενός αριθμού

Υπολογίστε τον αριθμό 8.

Ο αριθμός 8 μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο 2 επί 4:

Η αναπαράσταση του 8 ως γινόμενο 2 * 4 σημαίνει παραγοντοποίηση.

Σημειώστε ότι αυτή δεν είναι η μόνη παραγοντοποίηση του 8.

Τελικά, το 4 παραγοντοποιείται ως εξής:

Από εδώ μπορούν να αντιπροσωπευτούν 8:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Ας ελέγξουμε την απάντησή μας. Ας βρούμε με τι ισούται η παραγοντοποίηση:

Δηλαδή πήραμε τον αρχικό αριθμό, η απάντηση είναι σωστή.

Παράγοντας τον αριθμό 24 σε πρώτους παράγοντες

Πώς να συνυπολογίσετε τον αριθμό 24 σε πρώτους παράγοντες;

Ένας αριθμός ονομάζεται πρώτος αν διαιρείται μόνο με τον ένα και τον εαυτό του.

Ο αριθμός 8 μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του 3 με το 8:

Εδώ παραγοντοποιείται ο αριθμός 24. Αλλά η ανάθεση λέει "παράγοντα τον αριθμό 24 σε πρώτους παράγοντες", δηλ. Είναι οι πρωταρχικοί παράγοντες που χρειάζονται. Και στην επέκτασή μας, το 3 είναι πρώτος παράγοντας και το 8 δεν είναι πρώτος παράγοντας.