Ένα γράφημα συνάρτησης είναι μια οπτική αναπαράσταση της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης σε ένα επίπεδο συντεταγμένων. Τα γραφήματα σας βοηθούν να καταλάβετε διάφορες πτυχέςσυναρτήσεις που δεν μπορούν να προσδιοριστούν από την ίδια τη συνάρτηση. Μπορείτε να δημιουργήσετε γραφήματα πολλών συναρτήσεων και σε καθεμία από αυτές θα δοθεί ένας συγκεκριμένος τύπος. Το γράφημα οποιασδήποτε συνάρτησης κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο (αν έχετε ξεχάσει την ακριβή διαδικασία δημιουργίας γραφικών μιας συγκεκριμένης συνάρτησης).

Βήματα

Γραφική παράσταση γραμμικής συνάρτησης

Προσδιορίστε εάν η συνάρτηση είναι γραμμική.Η γραμμική συνάρτηση δίνεται από έναν τύπο της μορφής F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)ή y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(για παράδειγμα, ), και η γραφική παράσταση του είναι μια ευθεία γραμμή. Έτσι, ο τύπος περιλαμβάνει μία μεταβλητή και μία σταθερά (σταθερά) χωρίς εκθέτες, σημάδια ρίζας ή παρόμοια. Εάν δοθεί μια συνάρτηση παρόμοιου τύπου, είναι πολύ απλό να σχεδιάσουμε ένα γράφημα μιας τέτοιας συνάρτησης. Εδώ είναι άλλα παραδείγματα γραμμικές συναρτήσεις:

Χρησιμοποιήστε μια σταθερά για να σημειώσετε ένα σημείο στον άξονα Y.Η σταθερά (b) είναι η συντεταγμένη «y» του σημείου όπου η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα Υ. Είναι δηλαδή ένα σημείο του οποίου η συντεταγμένη «x» είναι ίση με 0. Έτσι, αν x = 0 αντικατασταθεί στον τύπο , τότε y = b (σταθερά). Στο παράδειγμά μας y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)η σταθερά είναι ίση με 5, δηλαδή το σημείο τομής με τον άξονα Υ έχει συντεταγμένες (0,5). Σχεδιάστε αυτό το σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Βρείτε την κλίση της γραμμής.Είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή της μεταβλητής. Στο παράδειγμά μας y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)με τη μεταβλητή "x" υπάρχει συντελεστής 2. Έτσι, ο συντελεστής κλίσης είναι ίσος με 2. Ο συντελεστής κλίσης καθορίζει τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Χ, δηλαδή όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής κλίσης, τόσο πιο γρήγορα αυξάνεται ή μειώνεται η συνάρτηση.

Γράψτε την κλίση ως κλάσμα.Ο γωνιακός συντελεστής είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης, δηλαδή τον λόγο της κατακόρυφης απόστασης (μεταξύ δύο σημείων σε ευθεία γραμμή) προς την οριζόντια απόσταση (μεταξύ των ίδιων σημείων). Στο παράδειγμά μας, η κλίση είναι 2, οπότε μπορούμε να δηλώσουμε ότι η κατακόρυφη απόσταση είναι 2 και η οριζόντια απόσταση είναι 1. Γράψτε αυτό ως κλάσμα: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Εάν η κλίση είναι αρνητική, η συνάρτηση μειώνεται.

1. Από το σημείο όπου η ευθεία τέμνει τον άξονα Υ, σχεδιάστε ένα δεύτερο σημείο χρησιμοποιώντας κάθετες και οριζόντιες αποστάσεις. Μια γραμμική συνάρτηση μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας δύο σημεία. Στο παράδειγμά μας, το σημείο τομής με τον άξονα Y έχει συντεταγμένες (0,5). Από αυτό το σημείο, μετακινήστε 2 κενά προς τα πάνω και μετά 1 κενό προς τα δεξιά. Σημειώστε ένα σημείο. θα έχει συντεταγμένες (1,7). Τώρα μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή.

   Χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, τραβήξτε μια ευθεία γραμμή σε δύο σημεία.Για να αποφύγετε λάθη, βρείτε το τρίτο σημείο, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις το γράφημα μπορεί να σχεδιαστεί χρησιμοποιώντας δύο σημεία. Έτσι, έχετε σχεδιάσει μια γραμμική συνάρτηση.

Γραφική παράσταση μιας σύνθετης συνάρτησης

Να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης.Τα μηδενικά μιας συνάρτησης είναι οι τιμές της μεταβλητής x όπου y = 0, δηλαδή αυτά είναι τα σημεία όπου το γράφημα τέμνει τον άξονα Χ. Λάβετε υπόψη ότι δεν έχουν όλες οι συναρτήσεις μηδενικά, αλλά είναι οι πρώτες βήμα στη διαδικασία δημιουργίας γραφημάτων οποιασδήποτε συνάρτησης. Για να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης, εξισώστε την με μηδέν. Για παράδειγμα:

Βρείτε και σημειώστε τις οριζόντιες ασύμπτωτες.Ασύμπτωτη είναι μια γραμμή που πλησιάζει το γράφημα μιας συνάρτησης αλλά δεν τέμνει ποτέ (δηλαδή, σε αυτήν την περιοχή η συνάρτηση δεν ορίζεται, για παράδειγμα, όταν διαιρείται με το 0). Σημειώστε την ασύμπτωτη με μια διακεκομμένη γραμμή. Εάν η μεταβλητή "x" είναι στον παρονομαστή ενός κλάσματος (για παράδειγμα, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), ορίστε τον παρονομαστή στο μηδέν και βρείτε το "x". Στις λαμβανόμενες τιμές της μεταβλητής "x" η συνάρτηση δεν ορίζεται (στο παράδειγμά μας, σχεδιάστε διακεκομμένες γραμμές μέσω x = 2 και x = -2), επειδή δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0. Αλλά ασύμπτωτα δεν υπάρχουν μόνο σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση περιέχει μια κλασματική έκφραση. Ως εκ τούτου, συνιστάται η χρήση ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ:

1. Βρείτε τις συντεταγμένες πολλών σημείων και σχεδιάστε τις στο επίπεδο συντεταγμένων.Απλώς επιλέξτε πολλές τιμές x και συνδέστε τις στη συνάρτηση για να βρείτε τις αντίστοιχες τιμές y. Στη συνέχεια σχεδιάστε τα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Πως πιο σύνθετη λειτουργία, τόσο περισσότερα σημεία πρέπει να βρείτε και να σχεδιάσετε. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αντικαταστήστε το x = -1; x = 0; x = 1, αλλά αν η συνάρτηση είναι σύνθετη, βρείτε τρία σημεία σε κάθε πλευρά της αρχής.

   • Σε περίπτωση λειτουργίας y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6)συνδέστε τις ακόλουθες τιμές x: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Θα λάβετε επαρκή αριθμό πόντων.
   • Επιλέξτε τις τιμές x σας με σύνεση. Στο παράδειγμά μας, είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι το αρνητικό πρόσημο δεν έχει σημασία: η τιμή του "y" στο x = 10 και στο x = -10 θα είναι η ίδια.
3. Εάν δεν ξέρετε τι να κάνετε, ξεκινήστε με την αντικατάσταση συνάρτησης διαφορετικές έννοιες"x" για να βρείτε τις τιμές "y" (και επομένως τις συντεταγμένες των σημείων). Θεωρητικά, ένα γράφημα μιας συνάρτησης μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μόνο αυτή τη μέθοδο (αν, φυσικά, αντικαταστήσει κανείς μια άπειρη ποικιλία τιμών "x").

1. Κλασματική γραμμική συνάρτηση και η γραφική παράσταση της

Μια συνάρτηση της μορφής y = P(x) / Q(x), όπου τα P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα, ονομάζεται κλασματική ορθολογική συνάρτηση.

Με την έννοια ρητοί αριθμοίμάλλον γνωρίζετε ήδη ο ένας τον άλλον. Επίσης ορθολογικές συναρτήσειςείναι συναρτήσεις που μπορούν να παρασταθούν ως το πηλίκο δύο πολυωνύμων.

Αν μια κλασματική ρητή συνάρτηση είναι το πηλίκο δύο γραμμικών συναρτήσεων - πολυωνύμων πρώτου βαθμού, δηλ. λειτουργία της φόρμας

y = (ax + b) / (cx + d), τότε ονομάζεται κλασματική γραμμική.

Σημειώστε ότι στη συνάρτηση y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (διαφορετικά η συνάρτηση γίνεται γραμμική y = ax/d + b/d) και ότι a/c ≠ b/d (διαφορετικά η η συνάρτηση είναι σταθερή). Η γραμμική κλασματική συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός από x = -d/c. Οι γραφικές παραστάσεις των κλασματικών γραμμικών συναρτήσεων δεν διαφέρουν σε σχήμα από το γράφημα y = 1/x που γνωρίζετε. Καλείται καμπύλη που είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x υπερβολή. Με απεριόριστη αύξηση του x σε απόλυτη τιμή, η συνάρτηση y = 1/x μειώνεται απεριόριστα σε απόλυτη τιμή και οι δύο κλάδοι του γραφήματος πλησιάζουν την τετμημένη: ο δεξιός πλησιάζει από πάνω και ο αριστερός από κάτω. Οι γραμμές στις οποίες προσεγγίζουν οι κλάδοι μιας υπερβολής ονομάζονται της ασύμπτωτοι.

Παράδειγμα 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Λύση.

Ας επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Τώρα είναι εύκολο να δούμε ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης λαμβάνεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x με τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: μετατόπιση κατά 3 μονάδες μονάδας προς τα δεξιά, τέντωμα κατά μήκος του άξονα Oy 7 φορές και μετατόπιση κατά 2 τμήματα της μονάδας προς τα πάνω.

Οποιοδήποτε κλάσμα y = (ax + b) / (cx + d) μπορεί να γραφτεί με παρόμοιο τρόπο, επισημαίνοντας το «ακέραιο μέρος». Κατά συνέπεια, οι γραφικές παραστάσεις όλων των κλασματικών γραμμικών συναρτήσεων είναι υπερβολές, μετατοπισμένες με διάφορους τρόπους κατά μήκος άξονες συντεταγμένωνκαι εκτεινόταν κατά μήκος του άξονα Oy.

Για να κατασκευαστεί ένα γράφημα οποιασδήποτε αυθαίρετης κλασματικής-γραμμικής συνάρτησης, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να μετασχηματιστεί το κλάσμα που ορίζει αυτή τη συνάρτηση. Εφόσον γνωρίζουμε ότι το γράφημα είναι υπερβολή, θα αρκεί να βρούμε τις ευθείες γραμμές στις οποίες πλησιάζουν οι κλάδοι του - οι ασύμπτωτες της υπερβολής x = -d/c και y = a/c.

Παράδειγμα 2.

Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = (3x + 5)/(2x + 2).

Λύση.

Η συνάρτηση δεν ορίζεται, στο x = -1. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία x = -1 χρησιμεύει ως κατακόρυφη ασύμπτωτη. Για να βρούμε την οριζόντια ασύμπτωτη, ας μάθουμε ποιες προσεγγίζουν οι τιμές της συνάρτησης y(x) όταν το όρισμα x αυξάνεται σε απόλυτη τιμή.

Για να γίνει αυτό, διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ως x → ∞ το κλάσμα θα τείνει στα 3/2. Αυτό σημαίνει ότι η οριζόντια ασύμπτωτη είναι η ευθεία y = 3/2.

Παράδειγμα 3.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (2x + 1)/(x + 1).

Λύση.

Ας επιλέξουμε το «ολόκληρο μέρος» του κλάσματος:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Τώρα είναι εύκολο να δούμε ότι η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x με τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: μια μετατόπιση κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά, μια συμμετρική απεικόνιση ως προς το Ox και μια μετατόπιση κατά 2 τμήματα τμήματα προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα Oy.

Τομέας D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Εύρος τιμών E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Σημεία τομής με άξονες: c Oy: (0; 1); γ Βόδι: (-1/2; 0). Η συνάρτηση αυξάνεται σε κάθε διάστημα του τομέα ορισμού.

Απάντηση: Εικόνα 1.

2. Κλασματική ορθολογική συνάρτηση

Θεωρήστε μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση της μορφής y = P(x) / Q(x), όπου τα P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα βαθμού υψηλότερου από το πρώτο.

Παραδείγματα τέτοιων ορθολογικών συναρτήσεων:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ή y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Εάν η συνάρτηση y = P(x) / Q(x) αντιπροσωπεύει το πηλίκο δύο πολυωνύμων βαθμών υψηλότερο από το πρώτο, τότε η γραφική παράσταση της θα είναι, κατά κανόνα, πιο περίπλοκη και μερικές φορές μπορεί να είναι δύσκολο να κατασκευαστεί με ακρίβεια , με όλες τις λεπτομέρειες. Ωστόσο, συχνά αρκεί να χρησιμοποιούμε τεχνικές παρόμοιες με αυτές που έχουμε ήδη εισαγάγει παραπάνω.

Έστω το κλάσμα σωστό κλάσμα (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Προφανώς, η γραφική παράσταση μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης μπορεί να ληφθεί ως το άθροισμα των γραφημάτων στοιχειωδών κλασμάτων.

Σχεδίαση γραφημάτων κλασματικών ορθολογικών συναρτήσεων

Ας εξετάσουμε αρκετούς τρόπους κατασκευής γραφημάτων μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 4.

Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1/x 2 .

Λύση.

Χρησιμοποιούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 για να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση y = 1/x 2 και χρησιμοποιούμε την τεχνική της «διαίρεσης» των γραφημάτων.

Τομέας D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Εύρος τιμών E(y) = (0; +∞).

Δεν υπάρχουν σημεία τομής με τους άξονες. Η λειτουργία είναι ομοιόμορφη. Αυξάνεται για όλα τα x από το διάστημα (-∞; 0), μειώνεται για x από 0 σε +∞.

Απάντηση: Εικόνα 2.

Παράδειγμα 5.

Γράφημα τη συνάρτηση y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Λύση.

Τομέας D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε την τεχνική της παραγοντοποίησης, της αναγωγής και της αναγωγής σε γραμμική συνάρτηση.

Απάντηση: Εικόνα 3.

Παράδειγμα 6.

Γράφημα τη συνάρτηση y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Λύση.

Το πεδίο ορισμού είναι D(y) = R. Εφόσον η συνάρτηση είναι άρτια, η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη. Πριν δημιουργήσουμε ένα γράφημα, ας μεταμορφώσουμε ξανά την έκφραση, επισημαίνοντας ολόκληρο το μέρος:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Σημειώστε ότι η απομόνωση του ακέραιου μέρους στον τύπο μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης είναι ένα από τα κύρια κατά την κατασκευή γραφημάτων.

Αν x → ±∞, τότε y → 1, δηλ. η ευθεία y = 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη.

Απάντηση: Εικόνα 4.

Παράδειγμα 7.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση y = x/(x 2 + 1) και ας προσπαθήσουμε να βρούμε με ακρίβεια τη μεγαλύτερη τιμή της, δηλ. το περισσότερο υψηλό σημείοτο δεξί μισό του γραφήματος. Για την ακριβή κατασκευή αυτού του γραφήματος, η σημερινή γνώση δεν αρκεί. Προφανώς, η καμπύλη μας δεν μπορεί να «ανέβει» πολύ ψηλά, γιατί ο παρονομαστής αρχίζει γρήγορα να «προσπερνάει» τον αριθμητή. Ας δούμε αν η τιμή της συνάρτησης μπορεί να είναι ίση με 1. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Αυτή η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεσή μας είναι εσφαλμένη. Για να βρείτε τα περισσότερα μεγάλης σημασίαςσυνάρτηση, πρέπει να μάθετε σε ποιο μεγαλύτερο A θα έχει λύση η εξίσωση A = x/(x 2 + 1). Ας αντικαταστήσουμε την αρχική εξίσωση με μια τετραγωνική: Αx 2 – x + А = 0. Αυτή η εξίσωση έχει λύση όταν 1 – 4А 2 ≥ 0. Από εδώ βρίσκουμε υψηλότερη τιμήΑ = 1/2.

Απάντηση: Εικόνα 5, max y(x) = ½.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να γράφετε συναρτήσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Ας επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ας σχεδιάσουμε τις τιμές του ορίσματος στον άξονα της τετμημένης Χ, και στην τεταγμένη - οι τιμές της συνάρτησης y = f(x).

Γράφημα συνάρτησης y = f(x)είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι τετμημένες ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και οι τεταγμένες είναι ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης.

Με άλλα λόγια, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, συντεταγμένες Χ, στοπου ικανοποιούν τη σχέση y = f(x).

Στο Σχ. Τα 45 και 46 δείχνουν γραφήματα συναρτήσεων y = 2x + 1Και y = x 2 - 2x.

Αυστηρά μιλώντας, θα πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ ενός γραφήματος μιας συνάρτησης (ο ακριβής μαθηματικός ορισμός της οποίας δόθηκε παραπάνω) και μιας σχεδιασμένης καμπύλης, η οποία δίνει πάντα μόνο ένα περισσότερο ή λιγότερο ακριβές σκίτσο του γραφήματος (και ακόμη και τότε, κατά κανόνα, όχι ολόκληρο το γράφημα, αλλά μόνο το τμήμα του που βρίσκεται στα τελικά μέρη του επιπέδου). Σε αυτό που ακολουθεί, ωστόσο, θα λέμε γενικά "γραφική παράσταση" αντί "σκίτσο γραφήματος".

Χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, μπορείτε να βρείτε την τιμή μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Δηλαδή, αν το σημείο x = αανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = f(x), στη συνέχεια για να βρείτε τον αριθμό φά)(δηλαδή οι τιμές συνάρτησης στο σημείο x = α) θα πρέπει να το κάνετε αυτό. Είναι απαραίτητο μέσω του σημείου της τετμημένης x = ασχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων. αυτή η γραμμή θα τέμνει το γράφημα της συνάρτησης y = f(x)σε ένα σημείο; η τεταγμένη αυτού του σημείου, δυνάμει του ορισμού του γραφήματος, θα είναι ίση με φά)(Εικ. 47).

Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση f(x) = x 2 - 2xχρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 46) βρίσκουμε f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 κ.λπ.

Ένα γράφημα συνάρτησης απεικονίζει ξεκάθαρα τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, από την εξέταση του Σχ. 46 είναι σαφές ότι η συνάρτηση y = x 2 - 2xδέχεται θετικές αξίεςστο Χ< 0 και στο x > 2, αρνητικό - στο 0< x < 2; μικρότερη τιμήλειτουργία y = x 2 - 2xδέχεται στο x = 1.

Να γραφεί μια συνάρτηση f(x)πρέπει να βρείτε όλα τα σημεία του επιπέδου, συντεταγμένες Χ,στοπου ικανοποιούν την εξίσωση y = f(x). Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό είναι αδύνατο να γίνει, αφού υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων σημείων. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται κατά προσέγγιση - με μεγαλύτερη ή μικρότερη ακρίβεια. Η απλούστερη είναι η μέθοδος δημιουργίας γραφήματος χρησιμοποιώντας πολλά σημεία. Συνίσταται στο γεγονός ότι το επιχείρημα Χδώστε έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών - ας πούμε, x 1, x 2, x 3,..., x k και δημιουργήστε έναν πίνακα που περιλαμβάνει τις επιλεγμένες τιμές συνάρτησης.

Ο πίνακας μοιάζει με αυτό:

Έχοντας συντάξει έναν τέτοιο πίνακα, μπορούμε να περιγράψουμε αρκετά σημεία στο γράφημα της συνάρτησης y = f(x). Στη συνέχεια, συνδέοντας αυτά τα σημεία με μια ομαλή γραμμή, παίρνουμε μια κατά προσέγγιση άποψη του γραφήματος της συνάρτησης y = f(x).

Πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι η μέθοδος γραφικής παράστασης πολλαπλών σημείων είναι πολύ αναξιόπιστη. Στην πραγματικότητα, η συμπεριφορά του γραφήματος μεταξύ των προβλεπόμενων σημείων και η συμπεριφορά του έξω από το τμήμα μεταξύ των ακραίων σημείων που λαμβάνονται παραμένει άγνωστη.

Παράδειγμα 1. Να γραφεί μια συνάρτηση y = f(x)κάποιος συνέταξε έναν πίνακα με τιμές ορίσματος και συναρτήσεων:

Τα αντίστοιχα πέντε σημεία φαίνονται στο Σχ. 48.

Με βάση τη θέση αυτών των σημείων, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή (που φαίνεται στο Σχ. 48 με τη διακεκομμένη γραμμή). Μπορεί αυτό το συμπέρασμα να θεωρηθεί αξιόπιστο; Αν δεν υπάρχουν πρόσθετες σκέψεις που να υποστηρίζουν αυτό το συμπέρασμα, δύσκολα μπορεί να θεωρηθεί αξιόπιστο. αξιόπιστος.

Για να τεκμηριώσετε τη δήλωσή μας, εξετάστε τη συνάρτηση

.

Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι οι τιμές αυτής της συνάρτησης στα σημεία -2, -1, 0, 1, 2 περιγράφονται ακριβώς στον παραπάνω πίνακα. Ωστόσο, το γράφημα αυτής της συνάρτησης δεν είναι καθόλου ευθεία γραμμή (φαίνεται στο Σχ. 49). Ένα άλλο παράδειγμα θα ήταν η συνάρτηση y = x + l + sinπx;Οι έννοιές του περιγράφονται επίσης στον παραπάνω πίνακα.

Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι στην «καθαρή» της μορφή η μέθοδος δημιουργίας γραφήματος χρησιμοποιώντας πολλά σημεία είναι αναξιόπιστη. Επομένως, για να σχεδιάσουμε ένα γράφημα μιας δεδομένης συνάρτησης, συνήθως προχωράμε ως εξής. Αρχικά, μελετάμε τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να φτιάξουμε ένα σκίτσο του γραφήματος. Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις τιμές της συνάρτησης σε πολλά σημεία (η επιλογή των οποίων εξαρτάται από τις καθιερωμένες ιδιότητες της συνάρτησης), βρίσκονται τα αντίστοιχα σημεία του γραφήματος. Και τέλος, μια καμπύλη σχεδιάζεται μέσα από τα κατασκευασμένα σημεία χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.

Θα εξετάσουμε μερικές (τις απλούστερες και πιο συχνά χρησιμοποιούμενες) ιδιότητες των συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για την εύρεση ενός σκίτσου γραφήματος αργότερα, αλλά τώρα θα δούμε μερικές κοινώς χρησιμοποιούμενες μεθόδους για την κατασκευή γραφημάτων.

Γράφημα της συνάρτησης y = |f(x)|.

Συχνά είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια συνάρτηση y = |f(x)|, όπου f(x) -δεδομένη λειτουργία. Ας σας υπενθυμίσουμε πώς γίνεται αυτό. Α-πριό απόλυτη τιμήμπορούν να γραφτούν αριθμοί

Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα της συνάρτησης y =|f(x)|μπορεί να ληφθεί από το γράφημα, συνάρτηση y = f(x)ως εξής: όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), των οποίων οι τεταγμένες είναι μη αρνητικές, θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες. περαιτέρω, αντί για τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x)έχοντας αρνητικές συντεταγμένες, θα πρέπει να κατασκευάσετε τα αντίστοιχα σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = -f(x)(δηλαδή μέρος του γραφήματος της συνάρτησης
y = f(x), που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ,πρέπει να αντανακλάται συμμετρικά γύρω από τον άξονα Χ).

Παράδειγμα 2.Γράφημα τη συνάρτηση y = |x|.

Ας πάρουμε το γράφημα της συνάρτησης y = x(Εικ. 50, α) και μέρος αυτού του γραφήματος στο Χ< 0 (που βρίσκεται κάτω από τον άξονα Χ) ανακλάται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα Χ. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα γράφημα της συνάρτησης y = |x|(Εικ. 50, β).

Παράδειγμα 3. Γράφημα τη συνάρτηση y = |x 2 - 2x|.

Αρχικά, ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = x 2 - 2x.Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω, η κορυφή της παραβολής έχει συντεταγμένες (1; -1), η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα x στα σημεία 0 και 2. Στο διάστημα (0; 2) η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, επομένως αυτό το τμήμα του γραφήματος ανακλάται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα της τετμημένης. Το σχήμα 51 δείχνει το γράφημα της συνάρτησης y = |x 2 -2x|, με βάση το γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 2x

Γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)

Εξετάστε το πρόβλημα της κατασκευής γραφήματος μιας συνάρτησης y = f(x) + g(x).αν δίνονται γραφήματα συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x).

Σημειώστε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = |f(x) + g(x)| είναι το σύνολο όλων εκείνων των τιμών του x για τις οποίες ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x), δηλαδή αυτό το πεδίο ορισμού είναι η τομή των τομέων ορισμού, συναρτήσεις f(x) και g(x).

Αφήστε τα σημεία (x 0 , y 1) Και (x 0, y 2) ανήκουν αντίστοιχα στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x), δηλαδή y 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0).Τότε το σημείο (x0;. y1 + y2) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) + g(x)(Για f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. και οποιοδήποτε σημείο στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορούν να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο. Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης y = f(x) + g(x)μπορεί να ληφθεί από γραφήματα συναρτήσεων y = f(x). Και y = g(x)αντικαθιστώντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γραφικά λειτουργιών y = f(x)τελεία (x n, y 1 + y 2),Οπου y 2 = g(x n), δηλαδή μετατοπίζοντας κάθε σημείο ( x n, y 1) γράφημα συνάρτησης y = f(x)κατά μήκος του άξονα στοκατά το ποσό y 1 = g(x n). Στην περίπτωση αυτή λαμβάνονται υπόψη μόνο τέτοια σημεία Χ n για το οποίο ορίζονται και οι δύο συναρτήσεις y = f(x)Και y = g(x).

Αυτή η μέθοδος σχεδίασης μιας συνάρτησης y = f(x) + g(x) ονομάζεται πρόσθεση γραφημάτων συναρτήσεων y = f(x)Και y = g(x)

Παράδειγμα 4. Στο σχήμα κατασκευάστηκε ένα γράφημα της συνάρτησης με τη μέθοδο της προσθήκης γραφημάτων
y = x + sinx.

Όταν σχεδιάζετε μια συνάρτηση y = x + sinxτο σκεφτήκαμε f(x) = x,ΕΝΑ g(x) = sinx.Για να σχεδιάσουμε το γράφημα συνάρτησης, επιλέγουμε σημεία με τετμημένα -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Τιμές f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxΑς υπολογίσουμε στα επιλεγμένα σημεία και ας τοποθετήσουμε τα αποτελέσματα στον πίνακα.

Συνάρτηση $f(x)=|x|$

$|x|$ - ενότητα. Ορίζεται ως εξής: Αν πραγματικός αριθμόςθα είναι μη αρνητικό, τότε η τιμή του συντελεστή συμπίπτει με τον ίδιο τον αριθμό. Εάν είναι αρνητικό, τότε η τιμή του συντελεστή συμπίπτει με την απόλυτη τιμή του δεδομένου αριθμού.

Μαθηματικά, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Παράδειγμα 1

Συνάρτηση $f(x)=[x]$

Η συνάρτηση $f\left(x\right)=[x]$ είναι συνάρτηση του ακέραιου μέρους ενός αριθμού. Βρίσκεται στρογγυλοποιώντας τον αριθμό (αν δεν είναι ακέραιος ο ίδιος) «προς τα κάτω».

Παράδειγμα: $=2,$

Παράδειγμα 2

Ας εξερευνήσουμε και ας φτιάξουμε το γράφημά του.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Προφανώς, αυτή η συνάρτηση δέχεται μόνο ακέραιες τιμές, δηλαδή $\E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Επομένως, αυτή η συνάρτηση θα έχει γενική μορφή.
4. Το $(0,0)$ είναι το μόνο σημείο τομής με τους άξονες συντεταγμένων.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Η συνάρτηση έχει σημεία ασυνέχειας (άλματα συνάρτησης) για όλα τα $x\σε Z$.

Σχήμα 2.

Συνάρτηση $f\left(x\right)=\(x\)$

Η συνάρτηση $f\left(x\right)=\(x\)$ είναι συνάρτηση του κλασματικού μέρους ενός αριθμού. Βρίσκεται «απορρίπτοντας» το ακέραιο μέρος αυτού του αριθμού.

Παράδειγμα 3

Ας εξερευνήσουμε και σχεδιάζουμε τη συνάρτηση

Συνάρτηση $f(x)=sign(x)$

Η συνάρτηση $f\left(x\right)=sign(x)$ είναι μια συνάρτηση signum. Αυτή η συνάρτηση δείχνει ποιο πρόσημο έχει ένας πραγματικός αριθμός. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, τότε η συνάρτηση έχει την τιμή $-1$. Εάν ο αριθμός είναι θετικός, τότε η συνάρτηση ισούται με ένα. Εάν ο αριθμός είναι μηδέν, η τιμή της συνάρτησης θα λάβει επίσης μηδενική τιμή.