Όταν εργάζεστε με πίνακες, μερικές φορές χρειάζεται να τις μεταφέρετε, δηλαδή λέγοντας με απλά λόγια, αναποδογυρίστε. Φυσικά, μπορείτε να εισαγάγετε τα δεδομένα με μη αυτόματο τρόπο, αλλά το Excel προσφέρει αρκετούς τρόπους για να το κάνετε αυτό πιο εύκολα και πιο γρήγορα. Ας τα δούμε αναλυτικά.

Η μεταφορά πίνακα είναι η διαδικασία εναλλαγής στηλών και γραμμών. Το Excel έχει δύο επιλογές για μεταφορά: χρήση της συνάρτησης TRANSSPκαι χρησιμοποιώντας το ειδικό εργαλείο εισαγωγής. Ας δούμε κάθε μία από αυτές τις επιλογές με περισσότερες λεπτομέρειες.

Μέθοδος 1: τελεστής TRANSPOSE

Λειτουργία TRANSSPανήκει στην κατηγορία των χειριστών "Σύνδεσμοι και πίνακες". Η ιδιαιτερότητα είναι ότι, όπως και άλλες συναρτήσεις που λειτουργούν με πίνακες, το αποτέλεσμα εξόδου δεν είναι τα περιεχόμενα του κελιού, αλλά ένας ολόκληρος πίνακας δεδομένων. Η σύνταξη της συνάρτησης είναι αρκετά απλή και μοιάζει με αυτό:

TRANSP(πίνακας)

Δηλαδή το μόνο επιχείρημα αυτού του χειριστήείναι μια αναφορά σε έναν πίνακα, στην περίπτωσή μας έναν πίνακα, που πρέπει να μετασχηματιστεί.

Ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η συνάρτηση χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα με πραγματικό πίνακα.

1. Επιλέγουμε ένα κενό κελί στο φύλλο, το οποίο σκοπεύουμε να δημιουργήσουμε το επάνω αριστερό κελί του μετασχηματισμένου πίνακα. Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο εικονίδιο "Εισαγωγή συνάρτησης", το οποίο βρίσκεται κοντά στη γραμμή τύπων.



2. Εκκίνηση σε εξέλιξη Οδηγοί λειτουργιών. Ανοίξτε την κατηγορία σε αυτό "Σύνδεσμοι και πίνακες"ή "Πλήρης αλφαβητική λίστα". Μετά την εύρεση του ονόματος "TRANSP", επιλέξτε το και κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



3. Ανοίγει το παράθυρο ορισμάτων συνάρτησης TRANSSP. Το μόνο όρισμα αυτού του τελεστή αντιστοιχεί στο πεδίο "Πίνακας". Πρέπει να εισαγάγετε τις συντεταγμένες του πίνακα που πρέπει να ανατραπεί. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο και, κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού, επιλέξτε ολόκληρη την περιοχή του πίνακα στο φύλλο. Αφού εμφανιστεί η διεύθυνση της περιοχής στο παράθυρο ορισμάτων, κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



4. Αλλά, όπως βλέπουμε, στο κελί που προορίζεται να εμφανίσει το αποτέλεσμα, εμφανίζεται μια εσφαλμένη τιμή με τη μορφή σφάλματος "#ΑΞΙΑ!". Αυτό οφείλεται στον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν οι τελεστές συστοιχιών. Για να διορθώσετε αυτό το σφάλμα, επιλέξτε μια περιοχή κελιών στα οποία ο αριθμός των σειρών πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών του αρχικού πίνακα και ο αριθμός των στηλών πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών. Μια τέτοια αντιστοιχία είναι πολύ σημαντική για να εμφανίζεται σωστά το αποτέλεσμα. Σε αυτήν την περίπτωση, το κελί που περιέχει την έκφραση "#ΑΞΙΑ!"πρέπει να είναι το επάνω αριστερό κελί του επιλεγμένου πίνακα και από αυτό το κελί θα πρέπει να ξεκινήσει η διαδικασία επιλογής κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Αφού κάνετε την επιλογή, τοποθετήστε τον κέρσορα στη γραμμή τύπων αμέσως μετά την έκφραση τελεστή TRANSSP, το οποίο θα πρέπει να εμφανίζεται σε αυτό. Μετά από αυτό, για να εκτελέσετε τον υπολογισμό, πρέπει να πατήσετε το κουμπί Εισαγω, όπως συνηθίζεται στους συμβατικούς τύπους, και καλέστε τον συνδυασμό Ctrl+Shift+Enter.



5. Μετά από αυτές τις ενέργειες, ο πίνακας εμφανίστηκε όπως χρειαζόμασταν, δηλαδή σε μετατιθέμενη μορφή. Αλλά υπάρχει ένα άλλο πρόβλημα. Το γεγονός είναι ότι τώρα ο νέος πίνακας είναι ένας πίνακας που συνδέεται με έναν τύπο που δεν μπορεί να αλλάξει. Όταν προσπαθείτε να κάνετε οποιαδήποτε αλλαγή στα περιεχόμενα του πίνακα, θα εμφανιστεί ένα σφάλμα. Ορισμένοι χρήστες είναι αρκετά ικανοποιημένοι με αυτήν την κατάσταση, καθώς δεν σκοπεύουν να κάνουν αλλαγές στη συστοιχία, αλλά άλλοι χρειάζονται μια μήτρα με την οποία μπορούν να εργαστούν πλήρως.

   Για να λύσω αυτό το πρόβλημα, επιλέξτε ολόκληρο το μεταφερόμενο εύρος. Μετακίνηση στην καρτέλα "Σπίτι"κάντε κλικ στο εικονίδιο "Αντίγραφο", το οποίο βρίσκεται στην κορδέλα στην ομάδα "Πρόχειρο". Αντί για την καθορισμένη ενέργεια, αφού την επιλέξετε, μπορείτε να ορίσετε μια τυπική συντόμευση πληκτρολογίου για αντιγραφή Ctrl+C.



6. Στη συνέχεια, χωρίς να αφαιρέσετε την επιλογή από το μεταφερόμενο εύρος, κάντε δεξί κλικ πάνω της. Στο μενού περιβάλλοντος στην ομάδα "Εισαγωγή επιλογών"κάντε κλικ στο εικονίδιο "Αξίες", που μοιάζει με εικονόγραμμα που απεικονίζει αριθμούς.

   

   Μετά από αυτό, ο τύπος πίνακα TRANSSPθα διαγραφεί και μόνο μία τιμή θα παραμείνει στα κελιά, με τις οποίες μπορείτε να εργαστείτε με τον ίδιο τρόπο όπως με τον αρχικό πίνακα.

Μέθοδος 2: Μεταφορά μήτρας με χρήση ειδικής επικόλλησης

Επιπλέον, η μήτρα μπορεί να μεταφερθεί χρησιμοποιώντας ένα στοιχείο μενού περιβάλλοντος που ονομάζεται "Εισαγωγή ειδικού".

Μετά από αυτά τα βήματα, μόνο ο μετασχηματισμένος πίνακας θα παραμείνει στο φύλλο.

Με τις ίδιες δύο μεθόδους που συζητήθηκαν παραπάνω, μπορείτε να μεταφέρετε όχι μόνο πίνακες, αλλά και πλήρεις πίνακες στο Excel. Η διαδικασία θα είναι σχεδόν ίδια.

Έτσι, ανακαλύψαμε ότι στο Excel η μήτρα μπορεί να μεταφερθεί, δηλαδή να ανατραπεί με εναλλαγή στηλών και σειρών, με δύο τρόπους. Η πρώτη επιλογή περιλαμβάνει τη χρήση της συνάρτησης TRANSSP, και το δεύτερο είναι το Paste Special Tools. Σε γενικές γραμμές, το τελικό αποτέλεσμα που προκύπτει όταν χρησιμοποιείτε και τις δύο αυτές μεθόδους δεν διαφέρει. Και οι δύο μέθοδοι λειτουργούν σχεδόν σε κάθε περίπτωση. Έτσι, όταν επιλέγετε μια επιλογή μετατροπής, οι προσωπικές προτιμήσεις ενός συγκεκριμένου χρήστη έρχονται στο προσκήνιο. Δηλαδή, ποια από αυτές τις μεθόδους είναι πιο βολική για εσάς προσωπικά, χρησιμοποιήστε αυτήν.

Μεταφορά πινάκων

Μεταφορά μήτραςονομάζεται αντικατάσταση των γραμμών ενός πίνακα με τις στήλες του, διατηρώντας τη σειρά τους (ή, που είναι το ίδιο, αντικαθιστώντας τις στήλες ενός πίνακα με τις σειρές του).

Αφήστε τον αρχικό πίνακα να δοθεί ΕΝΑ:

Στη συνέχεια, εξ ορισμού, ο μεταφερόμενος πίνακας ΕΝΑ"έχει τη μορφή:

Μια συντομευμένη μορφή σημειογραφίας για τη λειτουργία της μεταφοράς μιας μήτρας: Ένας μετατιθέμενος πίνακας συχνά υποδηλώνεται

Παράδειγμα 3. Έστω να δίνονται πίνακες Α και Β:

Τότε οι αντίστοιχοι μετατιθέμενοι πίνακες έχουν τη μορφή:

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε δύο κανονικότητες της λειτουργίας μεταφοράς μήτρας.

1. Ένας διπλός μεταφερόμενος πίνακας είναι ίσος με τον αρχικό πίνακα:

2. Κατά τη μεταφορά τετραγωνικών πινάκων, τα στοιχεία που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο δεν αλλάζουν τις θέσεις τους, δηλ. Η κύρια διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα δεν αλλάζει όταν μετατίθεται.

Πολλαπλασιασμός πίνακα

Ο πολλαπλασιασμός πίνακα είναι μια συγκεκριμένη πράξη που αποτελεί τη βάση της άλγεβρας πινάκων. Οι σειρές και οι στήλες των πινάκων μπορούν να θεωρηθούν ως διανύσματα γραμμών και στηλών κατάλληλων διαστάσεων. Με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να ερμηνευτεί ως μια συλλογή διανυσμάτων σειρών ή διανυσμάτων στηλών.

Ας δοθούν δύο πίνακες: ΕΝΑ- Μέγεθος ΤΧ ΠΚαι ΣΕ- Μέγεθος p x k.Θα εξετάσουμε τη μήτρα ΕΝΑως σύνολο Τδιανύσματα σειρών ΕΝΑ)διαστάσεις Πτο καθένα και η μήτρα ΣΕ -ως σύνολο Προς τηνδιανύσματα στήλης b Jtπου περιέχει το καθένα Πσυντονίζει το καθένα:

Διανύσματα σειρών μήτρας ΕΝΑκαι διανύσματα στηλών μήτρας ΣΕφαίνονται στη σημείωση αυτών των πινάκων (2.7). Μήκος σειράς μήτρας ΕΝΑίσο με το ύψος της στήλης του πίνακα ΣΕ, και επομένως το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων έχει νόημα.

Ορισμός 3. Προϊόν των πινάκων ΕΝΑΚαι ΣΕονομάζεται πίνακας C του οποίου τα στοιχεία Suείναι ίσα με τα βαθμωτά γινόμενα των διανυσμάτων σειρών ΕΝΑ (μήτρες ΕΝΑσε διανύσματα στηλών bjμήτρες ΣΕ:

Προϊόν μητρών ΕΝΑΚαι ΣΕ- μήτρα C - έχει το μέγεθος ΤΧ Προς την, αφού το μήκος l των διανυσμάτων σειρών και των διανυσμάτων στηλών εξαφανίζεται όταν αθροίζονται τα γινόμενα των συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων στα προϊόντα με κουκκίδες, όπως φαίνεται στους τύπους (2.8). Έτσι, για τον υπολογισμό των στοιχείων της πρώτης σειράς του πίνακα C, είναι απαραίτητο να ληφθούν διαδοχικά τα κλιμακωτά γινόμενα της πρώτης σειράς του πίνακα ΕΝΑσε όλες τις στήλες μήτρας ΣΕη δεύτερη σειρά του πίνακα C λαμβάνεται ως το βαθμωτό γινόμενο του διανύσματος της δεύτερης σειράς του πίνακα ΕΝΑσε όλα τα διανύσματα στηλών του πίνακα ΣΕ, και ούτω καθεξής. Για ευκολία να θυμάστε το μέγεθος του γινομένου των πινάκων, πρέπει να διαιρέσετε τα γινόμενα των μεγεθών των πινάκων παραγόντων: - , τότε οι υπόλοιποι αριθμοί σε σχέση δίνουν το μέγεθος του γινομένου Προς την

dsnia, τ.σ. το μέγεθος του πίνακα C είναι ίσο με ΤΧ Προς την.

Στην πράξη πολλαπλασιασμού μήτρας υπάρχει χαρακτηριστικό στοιχείο: γινόμενο πινάκων ΕΝΑΚαι ΣΕέχει νόημα εάν ο αριθμός των στηλών μέσα ΕΝΑίσο με τον αριθμό των γραμμών μέσα ΣΕ.Τότε αν Α και Β -ορθογώνιες μήτρες και μετά το γινόμενο ΣΕΚαι ΕΝΑδεν θα έχει πλέον νόημα, αφού τα κλιμακωτά γινόμενα που σχηματίζουν τα στοιχεία του αντίστοιχου πίνακα πρέπει να περιλαμβάνουν διανύσματα με τον ίδιο αριθμό συντεταγμένων.

Αν πίνακες ΕΝΑΚαι ΣΕτετράγωνο, μέγεθος l x l, έχει νόημα ως γινόμενο πινάκων AB,και το γινόμενο των πινάκων VA,και το μέγεθος αυτών των πινάκων είναι το ίδιο με αυτό των αρχικών παραγόντων. Ταυτόχρονα, στο γενική περίπτωσηΚατά τον πολλαπλασιασμό πινάκων δεν τηρείται ο κανόνας της μετάθεσης (ανταλλαγής), δηλ. AB * VA.

Ας δούμε παραδείγματα πολλαπλασιασμού πινάκων.

Δεδομένου ότι ο αριθμός των στηλών του πίνακα ΕΝΑίσο με τον αριθμό των σειρών του πίνακα ΣΕ,γινόμενο των πινάκων ΑΒέχει το νόημα. Χρησιμοποιώντας τους τύπους (2.8), λαμβάνουμε μια μήτρα μεγέθους 3x2 στο γινόμενο:

Δουλειά VAδεν έχει νόημα, δεδομένου ότι ο αριθμός των στηλών του πίνακα ΣΕδεν ταιριάζει με τον αριθμό των σειρών του πίνακα ΕΝΑ.

Εδώ βρίσκουμε τα προϊόντα μήτρας ΑΒΚαι VA:

Όπως φαίνεται από τα αποτελέσματα, η μήτρα προϊόντος εξαρτάται από τη σειρά των πινάκων στο γινόμενο. Και στις δύο περιπτώσεις, τα προϊόντα μήτρας έχουν το ίδιο μέγεθος με τους αρχικούς παράγοντες: 2x2.

Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας ΣΕείναι διάνυσμα στήλης, δηλ. έναν πίνακα με τρεις σειρές και μία στήλη. Γενικά, τα διανύσματα είναι ειδικές περιπτώσεις πινάκων: ένα διάνυσμα σειράς μήκους Πείναι ένας πίνακας με μία σειρά και Πστήλες και το διάνυσμα στήλης ύψους Π- μήτρα με Πσειρές και μία στήλη. Τα μεγέθη των δεδομένων πινάκων είναι αντίστοιχα 2 x 3 και 3 x I, οπότε ορίζεται το γινόμενο αυτών των πινάκων. Εχουμε

Το προϊόν παράγει μια μήτρα μεγέθους 2 x 1 ή ένα διάνυσμα στήλης ύψους 2.

Πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά πίνακες βρίσκουμε:

Ιδιότητες του γινομένου των πινάκων. Αφήνω Α, Βκαι C είναι πίνακες κατάλληλων μεγεθών (έτσι ώστε να μπορούν να προσδιοριστούν τα προϊόντα μήτρας) και το a είναι ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες του γινομένου των πινάκων:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) Γ A + B)C = AC + BC
• 3) Α (Β+ Γ) = AB + AC;
• 4) α (AB) = (aA)B = A(aB).

Η έννοια της μήτρας ταυτότητας μιεισήχθη στην ενότητα 2.1.1. Είναι εύκολο να δούμε ότι στην άλγεβρα μήτρας παίζει το ρόλο της μονάδας, δηλ. Μπορούμε να σημειώσουμε δύο ακόμη ιδιότητες που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό με αυτόν τον πίνακα στα αριστερά και στα δεξιά:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = ΕΝΑ.

Με άλλα λόγια, το γινόμενο οποιουδήποτε πίνακα από τον πίνακα ταυτότητας, εάν έχει νόημα, δεν αλλάζει τον αρχικό πίνακα.

Για να μεταφέρετε έναν πίνακα, πρέπει να γράψετε τις σειρές του πίνακα σε στήλες.

Αν , τότε ο μεταφερόμενος πίνακας

Αν τότε

Ασκηση 1.Εύρημα

1. Ορίζουσες τετραγωνικών πινάκων.

Για τετράγωνους πίνακες, εισάγεται ένας αριθμός που ονομάζεται ορίζουσα.

Για πίνακες δεύτερης τάξης (διάσταση ) η ορίζουσα δίνεται από τον τύπο:

Για παράδειγμα, για έναν πίνακα ο προσδιοριστής του είναι

Παράδειγμα . Υπολογίστε ορίζουσες των πινάκων.

Για τετράγωνους πίνακες τρίτης τάξης (διάσταση ) υπάρχει ένας κανόνας «τριγώνου»: στο σχήμα, η διακεκομμένη γραμμή σημαίνει πολλαπλασιάστε τους αριθμούς από τους οποίους διέρχεται η διακεκομμένη γραμμή. Οι τρεις πρώτοι αριθμοί πρέπει να προστεθούν, οι επόμενοι τρεις αριθμοί πρέπει να αφαιρεθούν.

Παράδειγμα. Υπολογίστε την ορίζουσα.

Το να δίνεις γενικός ορισμόςορίζουσα, πρέπει να εισαγάγουμε την έννοια του δευτερεύοντος και του αλγεβρικού συμπληρώματος.

ΑνήλικοςΤο στοιχείο του πίνακα ονομάζεται ορίζουσα που προκύπτει με τη διαγραφή - αυτής της γραμμής και - αυτής της στήλης.

Παράδειγμα.Ας βρούμε μερικά δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα Α.

Αλγεβρικό συμπλήρωματο στοιχείο ονομάζεται αριθμός.

Αυτό σημαίνει ότι αν το άθροισμα των δεικτών είναι άρτιο, τότε δεν διαφέρουν. Αν το άθροισμα των δεικτών είναι περιττό, τότε διαφέρουν μόνο ως προς το πρόσημο.

Για το προηγούμενο παράδειγμα.

Καθοριστική μήτραείναι το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων μιας ορισμένης συμβολοσειράς

(στήλη) πάνω τους αλγεβρικές προσθήκες. Ας εξετάσουμε αυτόν τον ορισμό σε έναν πίνακα τρίτης τάξης.

Η πρώτη καταχώρηση ονομάζεται επέκταση της ορίζουσας στην πρώτη σειρά, η δεύτερη είναι η επέκταση στη δεύτερη στήλη και η τελευταία είναι η επέκταση στην τρίτη σειρά. Συνολικά, τέτοιες επεκτάσεις μπορούν να γραφτούν έξι φορές.

Παράδειγμα. Υπολογίστε την ορίζουσα χρησιμοποιώντας τον κανόνα «τρίγωνο» και επεκτείνοντάς την κατά μήκος της πρώτης σειράς, μετά κατά μήκος της τρίτης στήλης και μετά κατά μήκος της δεύτερης σειράς.

Ας επεκτείνουμε την ορίζουσα κατά μήκος της πρώτης γραμμής:

Ας επεκτείνουμε την ορίζουσα στην τρίτη στήλη:

Ας επεκτείνουμε την ορίζουσα κατά μήκος της δεύτερης γραμμής:

Σημειώστε ότι όσο περισσότερα μηδενικά, τόσο πιο απλοί είναι οι υπολογισμοί. Για παράδειγμα, επεκτείνοντας κατά την πρώτη στήλη, παίρνουμε

Μεταξύ των ιδιοτήτων των οριζόντων υπάρχει μια ιδιότητα που σας επιτρέπει να λαμβάνετε μηδενικά, και συγκεκριμένα:

Εάν προσθέσετε στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) στα στοιχεία μιας συγκεκριμένης σειράς (στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με έναν μη μηδενικό αριθμό, τότε η ορίζουσα δεν θα αλλάξει.

Ας πάρουμε την ίδια ορίζουσα και ας πάρουμε μηδενικά, για παράδειγμα, στην πρώτη γραμμή.

Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται οι ορίζοντες υψηλότερων τάξεων.

Εργασία 2.Υπολογίστε την ορίζουσα τέταρτης τάξης:

1) απλώνεται σε οποιαδήποτε σειρά ή στήλη

2) έχοντας προηγουμένως λάβει μηδενικά

Παίρνουμε ένα επιπλέον μηδέν, για παράδειγμα, στη δεύτερη στήλη. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής με -1 και προσθέστε τα στην τέταρτη γραμμή:

1. Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Θα δείξουμε τη λύση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Εργασία 2.Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

Πρέπει να υπολογίσουμε τέσσερις ορίζοντες. Το πρώτο ονομάζεται κύριο και αποτελείται από συντελεστές για τους αγνώστους:

Σημειώστε ότι εάν , το σύστημα δεν μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο του Cramer.

Οι τρεις εναπομείναντες ορίζοντες συμβολίζονται με , και λαμβάνονται αντικαθιστώντας την αντίστοιχη στήλη με μια στήλη δεξιών πλευρών.

Βρίσκουμε. Για να το κάνετε αυτό, αλλάξτε την πρώτη στήλη στην κύρια ορίζουσα σε μια στήλη με τις δεξιές πλευρές:

Βρίσκουμε. Για να το κάνετε αυτό, αλλάξτε τη δεύτερη στήλη στην κύρια ορίζουσα σε μια στήλη με τις δεξιές πλευρές:

Βρίσκουμε. Για να το κάνετε αυτό, αλλάξτε την τρίτη στήλη στην κύρια ορίζουσα σε μια στήλη με τις δεξιές πλευρές:

Βρίσκουμε τη λύση στο σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer: , ,

Έτσι, η λύση στο σύστημα είναι,

Ας κάνουμε έναν έλεγχο· για να γίνει αυτό, θα αντικαταστήσουμε τη λύση που βρέθηκε σε όλες τις εξισώσεις του συστήματος.

1. Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα.

Εάν ένας τετραγωνικός πίνακας έχει μια μη μηδενική ορίζουσα, υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας τέτοιος ώστε . Ο πίνακας ονομάζεται μήτρα ταυτότητας και έχει τη μορφή

αντίστροφη μήτραβρίσκεται με τον τύπο:

Παράδειγμα. Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Αρχικά υπολογίζουμε την ορίζουσα.

Εύρεση αλγεβρικών συμπληρωμάτων:

Γράφουμε τον αντίστροφο πίνακα:

Για να ελέγξετε τους υπολογισμούς, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι .

Ας δοθεί το σύστημα γραμμικές εξισώσεις:

Ας υποδηλώσουμε

Τότε το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα ως , και ως εκ τούτου . Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται μέθοδος μήτραςλύσεις συστήματος.

Εργασία 3.Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix.

Είναι απαραίτητο να γράψετε τον πίνακα του συστήματος, να βρείτε το αντίστροφό του και στη συνέχεια να τον πολλαπλασιάσετε με τη στήλη των δεξιών πλευρών.

Έχουμε ήδη βρει τον αντίστροφο πίνακα στο προηγούμενο παράδειγμα, που σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε μια λύση:

1. Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.

η μέθοδος του Cramer και μέθοδος μήτραςισχύει μόνο για τετράγωνα συστήματα(ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) και η ορίζουσα δεν πρέπει να είναι ίση με το μηδέν. Εάν ο αριθμός των εξισώσεων δεν είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων ή η ορίζουσα του συστήματος είναι μηδέν, χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian. Η μέθοδος Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιουδήποτε συστήματος.

Και ας το αντικαταστήσουμε στην πρώτη εξίσωση:

Εργασία 5.Να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Χρησιμοποιώντας τον προκύπτοντα πίνακα, επαναφέρουμε το σύστημα:

Βρίσκουμε λύση:

Αυτές οι πράξεις σε πίνακες δεν είναι γραμμικές.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Μεταφέρθηκεμήτρα για μήτρα Μέγεθος
ονομάζεται πίνακας μεγέθους
, που λαμβάνεται από αντικαθιστώντας όλες τις σειρές του με στήλες με τους ίδιους σειριακούς αριθμούς.

Αν δηλαδή =
, Οτι
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν =, μετά η μήτρα ΕΝΑπου ονομάζεται συμμετρικός.

Όλοι οι διαγώνιοι πίνακες είναι συμμετρικοί, αφού τα στοιχεία τους είναι ίσα, συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο.

Προφανώς, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες της πράξης μεταφοράς:

ΟΡΙΣΜΟΣ. Αφήνω =
– πίνακας μεγέθους
,=
– πίνακας μεγέθους
. Προϊόν αυτών των πινάκων
- μήτρα =
Μέγεθος
, τα στοιχεία του οποίου υπολογίζονται με τον τύπο:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

δηλαδή το στοιχείο η γραμμή και η στήλη μήτρας ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων στοιχείων η σειρά του πίνακα Και η στήλη μήτρας .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

Δουλειά
- δεν υπάρχει.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΜΗΤΡΩΝ

1.
, ακόμα κι αν ορίζονται και τα δύο προϊόντα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.
,

, Αν και

ΟΡΙΣΜΟΣ. Πίνακες Και λέγονται μεταβλητό, Αν
, σε διαφορετική περίπτωση Και λέγονται μη μεταβλητό.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι μόνο τετράγωνες μήτρεςένα μέγεθος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

μήτρες Και μεταβλητό.

Αυτό είναι
,

Που σημαίνει, Και – πίνακες μετάθεσης.

Γενικά, ο πίνακας ταυτότητας μετακινείται με οποιονδήποτε τετραγωνικό πίνακα της ίδιας σειράς και για οποιονδήποτε πίνακα
. Αυτή είναι μια ιδιότητα μήτρας εξηγεί γιατί ονομάζεται μονάδα: κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών, ο αριθμός 1 έχει αυτή την ιδιότητα.

Εάν ορίζονται τα αντίστοιχα προϊόντα, τότε:

5.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

ΣΧΟΛΙΟ. Τα στοιχεία του πίνακα μπορεί να είναι όχι μόνο αριθμοί, αλλά και συναρτήσεις. Μια τέτοια μήτρα ονομάζεται λειτουργικός.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

Ορίζοντες και οι ιδιότητές τους

Κάθε τετράγωνος πίνακας μπορεί, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο αριθμό, ο οποίος ονομάζεται ορίζουσα του.

Εξετάστε έναν τετραγωνικό πίνακα δεύτερης τάξης:

Ορίζουσα του είναι ένας αριθμός που γράφεται και υπολογίζεται ως εξής:

(1.1)

Μια τέτοια ορίζουσα ονομάζεται ορίζουσα δεύτερης τάξηςκαι ίσως

να οριστεί διαφορετικά:
ή
.

Ορίζουσα τρίτης τάξηςείναι ο αριθμός που αντιστοιχεί σε τετράγωνο πίνακα
, ο οποίος υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα:

Αυτός ο κανόνας για τον υπολογισμό της ορίζουσας τρίτης τάξης ονομάζεται κανόνας του τριγώνου και μπορεί να αναπαρασταθεί σχηματικά ως εξής:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.
;

Αν αντιστοιχίσουμε την πρώτη και μετά τη δεύτερη στήλη στα δεξιά της ορίζουσας, τότε ο κανόνας του τριγώνου μπορεί να τροποποιηθεί:

Αρχικά πολλαπλασιάζονται οι αριθμοί της κύριας διαγώνιου και οι δύο παράλληλες προς αυτήν, μετά πολλαπλασιάζονται οι αριθμοί στην άλλη (πλευρική) διαγώνιο και οι παράλληλοι σε αυτήν. Το άθροισμα των υπόλοιπων γινομένων αφαιρείται από το άθροισμα των τριών πρώτων γινομένων.

Ομαδοποιώντας τους όρους στην (1.2) και χρησιμοποιώντας (1.1), σημειώνουμε ότι

(1.3)

Δηλαδή, κατά τον υπολογισμό της ορίζουσας τρίτης τάξης, χρησιμοποιούνται ορίζοντες δεύτερης τάξης και
είναι η ορίζουσα μήτρας που λαμβάνεται από διαγράφοντας ένα στοιχείο (ακριβέστερα, η πρώτη σειρά και η πρώτη στήλη, στη διασταύρωση της οποίας υπάρχει ),
– διαγράφοντας ένα στοιχείο ,
- στοιχείο .

ΟΡΙΣΜΟΣ. Επιπλέον ανήλικο
στοιχείο τετράγωνη μήτρα είναι η ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται από διαγράφοντας -η γραμμή και η στήλη.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Αλγεβρικό συμπλήρωμαστοιχείο τετράγωνη μήτρα καλούμενος αριθμός
.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

Για μήτρα :

Για μήτρα :
και ούτω καθεξής.

Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη τους διατυπωμένους ορισμούς, η (1.3) μπορεί να ξαναγραφτεί ως: .

Ας περάσουμε τώρα στη γενική περίπτωση.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Καθοριστικόςτετράγωνη μήτρα Σειρά είναι ένας αριθμός που γράφεται και υπολογίζεται ως εξής:

(1.4)

Η ισότητα (1.4) ονομάζεται επέκταση της ορίζουσας στα στοιχεία της πρώτης γραμμές. Σε αυτόν τον τύπο, τα αλγεβρικά συμπληρώματα υπολογίζονται ως ορίζοντες
-η σειρά. Έτσι, κατά τον υπολογισμό της ορίζουσας 4ης τάξης χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.4), είναι απαραίτητο, σε γενικές γραμμές, να υπολογιστούν 4 ορίζοντες 3ης τάξης. κατά τον υπολογισμό μιας ορίζουσας 5ης τάξης - 5 ορίζουσες 4ης τάξης κ.λπ. Ωστόσο, εάν, για παράδειγμα, στην ορίζουσα 4ης τάξης η πρώτη γραμμή περιέχει 3 μηδενικά στοιχεία, τότε στον τύπο (1.4) θα παραμείνει μόνο ένας μη μηδενικός όρος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

Ας εξετάσουμε (χωρίς απόδειξη) ιδιότητες των καθοριστικών παραγόντων:

Η ορίζουσα μπορεί να επεκταθεί στα στοιχεία της πρώτης στήλης:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

ΣΧΟΛΙΟ. Τα παραδείγματα που εξετάστηκαν μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε: η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου.

Από αυτό προκύπτει ότι οι σειρές και οι στήλες της ορίζουσας είναι ίσες.

Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι κοινός παράγοντας οποιασδήποτε συμβολοσειράς (στήλη) μπορεί να αφαιρεθεί πέρα ​​από το πρόσημο της ορίζουσας. Επίσης, μια ορίζουσα που έχει μηδενική γραμμή ή μηδενική στήλη ισούται με μηδέν.

Η ισότητα (1.6) ονομάζεται η γραμμή.

Η ισότητα (1,7) ονομάζεται επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία η στήλη.

Το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων μιας συγκεκριμένης γραμμής (στήλης) κατά

αλγεβρικά συμπληρώματα αντίστοιχων στοιχείων μιας άλλης σειράς

(στήλη) ισούται με μηδέν, δηλαδή όταν
Και
στο
.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.
, αφού τα στοιχεία της πρώτης και της δεύτερης σειράς αυτής της ορίζουσας είναι αντίστοιχα ανάλογα (ιδιότητα 6).

Η ιδιότητα 9 χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά κατά τον υπολογισμό οριζόντων, καθώς επιτρέπει σε κάθε ορίζοντα να αποκτήσει μια γραμμή ή στήλη όπου όλα τα στοιχεία εκτός από ένα είναι ίσα με μηδέν.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ.

Στα ανώτερα μαθηματικά, μελετάται μια τέτοια έννοια όπως ένας μετατιθέμενος πίνακας. Θα πρέπει να σημειωθεί: πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι αυτό είναι ένα αρκετά περίπλοκο θέμα που είναι αδύνατο να κυριαρχήσει. Ωστόσο, δεν είναι. Για να καταλάβετε πώς ακριβώς πραγματοποιείται μια τόσο εύκολη λειτουργία, χρειάζεται μόνο να εξοικειωθείτε λίγο με τη βασική ιδέα - τη μήτρα. Κάθε μαθητής μπορεί να κατανοήσει το θέμα εάν αφιερώσει χρόνο για να το μελετήσει.

Τι είναι μια μήτρα;

Οι πίνακες είναι αρκετά διαδεδομένοι στα μαθηματικά. Σημειωτέον ότι συναντώνται και στην πληροφορική. Χάρη σε αυτούς και με τη βοήθειά τους, είναι εύκολο να προγραμματίσετε και να δημιουργήσετε λογισμικό.

Τι είναι μια μήτρα; Αυτός είναι ένας πίνακας στον οποίο τοποθετούνται τα στοιχεία. Πρέπει να έχει ορθογώνια εμφάνιση. Με απλούστερους όρους, ένας πίνακας είναι ένας πίνακας αριθμών. Χαρακτηρίζεται χρησιμοποιώντας μερικά κεφαλαία λατινικά γράμματα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο. Υπάρχουν επίσης ξεχωριστές γραμμές και στήλες, οι οποίες ονομάζονται διανύσματα. Τέτοιοι πίνακες λαμβάνουν μόνο μία γραμμή αριθμών. Για να καταλάβετε πόσο μεγάλος είναι ένας πίνακας, πρέπει να δώσετε προσοχή στον αριθμό των γραμμών και των στηλών. Το πρώτο συμβολίζεται με το γράμμα m και το δεύτερο με n.

Πρέπει οπωσδήποτε να καταλάβετε τι είναι η διαγώνιος μήτρας. Υπάρχει μια πλευρά και μια κύρια. Το δεύτερο είναι αυτή η λωρίδα αριθμών που πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά από το πρώτο έως το τελευταίο στοιχείο. Σε αυτή την περίπτωση, η πλευρική γραμμή θα είναι από δεξιά προς τα αριστερά.

Με τους πίνακες μπορείτε να κάνετε σχεδόν όλες τις απλούστερες αριθμητικές πράξεις, δηλαδή να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε μεταξύ τους και χωριστά με αριθμό. Μπορούν επίσης να μεταφερθούν.

Διαδικασία μεταφοράς

Ένας μετατιθέμενος πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο ανταλλάσσονται οι γραμμές και οι στήλες. Αυτό γίνεται όσο πιο εύκολα γίνεται. Συμβολίζεται ως Α με εκθέτη Τ (Α Τ). Κατ' αρχήν, πρέπει να ειπωθεί ότι στα ανώτερα μαθηματικά αυτή είναι μια από τις απλούστερες πράξεις σε πίνακες. Το μέγεθος του τραπεζιού διατηρείται. Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται μεταφερόμενος.

Ιδιότητες μετατιθέμενων πινάκων

Για να εκτελεστεί σωστά η διαδικασία μεταφοράς, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ποιες ιδιότητες αυτής της λειτουργίας υπάρχουν.

• Πρέπει να υπάρχει ένας αρχικός πίνακας για οποιονδήποτε μεταφερόμενο πίνακα. Οι ορίζοντες τους πρέπει να είναι ίσοι μεταξύ τους.
• Εάν υπάρχει βαθμωτή μονάδα, τότε κατά την εκτέλεση αυτής της λειτουργίας μπορεί να αφαιρεθεί.
• Όταν ένας πίνακας μεταφέρεται διπλά, θα είναι ίσος με τον αρχικό.
• Εάν συγκρίνετε δύο διπλωμένους πίνακες με εναλλασσόμενες στήλες και γραμμές με το άθροισμα των στοιχείων στα οποία εκτελέστηκε αυτή η λειτουργία, θα είναι τα ίδια.
• Η τελευταία ιδιότητα είναι ότι εάν μεταφέρετε πίνακες πολλαπλασιασμένους μεταξύ τους, τότε η τιμή πρέπει να είναι ίση με τα αποτελέσματα που λαμβάνονται πολλαπλασιάζοντας τους μετατιθέμενους πίνακες μαζί με αντίστροφη σειρά.

Γιατί να μεταφέρω;

Ένας πίνακας στα μαθηματικά είναι απαραίτητος για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων με αυτόν. Ορισμένα από αυτά απαιτούν να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε έναν καθοριστικό παράγοντα. Στη συνέχεια, υπολογίζονται τα στοιχεία μελλοντικός πίνακας, στη συνέχεια μεταφέρονται. Το μόνο που μένει είναι να βρούμε τον άμεσα αντίστροφο πίνακα. Μπορούμε να πούμε ότι σε τέτοια προβλήματα πρέπει να βρείτε το X, και αυτό είναι πολύ εύκολο να το κάνετε με τη βοήθεια βασικών γνώσεων της θεωρίας των εξισώσεων.

Αποτελέσματα

Αυτό το άρθρο εξέτασε τι είναι ένας μεταφερόμενος πίνακας. Αυτό το θέμα θα είναι χρήσιμο σε μελλοντικούς μηχανικούς που πρέπει να είναι σε θέση να υπολογίζουν σωστά πολύπλοκες κατασκευές. Μερικές φορές το matrix δεν είναι τόσο εύκολο να λυθεί, πρέπει να βάλεις το μυαλό σου. Ωστόσο, στο μάθημα των μαθηματικών των μαθητών, η πράξη αυτή πραγματοποιείται όσο πιο εύκολα γίνεται και χωρίς καμία προσπάθεια.