1) Τομέας συνάρτησης και εύρος συναρτήσεων.

Ο τομέας μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των έγκυρων έγκυρων τιμών ορίσματος Χ(μεταβλητός Χ), για την οποία η συνάρτηση y = f(x)προσδιορίζεται. Το εύρος μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών y, το οποίο αποδέχεται η συνάρτηση.

Στα στοιχειώδη μαθηματικά, οι συναρτήσεις μελετώνται μόνο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

2) Συνάρτηση μηδενικά.

Η συνάρτηση μηδέν είναι η τιμή του ορίσματος στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.

3) Διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης.

Τα διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης είναι σύνολα τιμών ορισμάτων στα οποία οι τιμές της συνάρτησης είναι μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές.

4) Μονοτονία της συνάρτησης.

Αύξουσα συνάρτηση (σε ορισμένο διάστημα) είναι μια συνάρτηση για την οποία υψηλότερη τιμήτο όρισμα από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Μια φθίνουσα συνάρτηση (σε ένα ορισμένο διάστημα) είναι μια συνάρτηση στην οποία μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

5) Ζυγή (περιττή) συνάρτηση.

Μια άρτια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χαπό το πεδίο ορισμού την ισότητα f(-x) = f(x). Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη.

Μια περιττή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την αρχή και για οποιαδήποτε Χαπό τον τομέα του ορισμού η ισότητα είναι αληθής f(-x) = - f(x). Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.

6) Περιορισμένες και απεριόριστες λειτουργίες.

Μια συνάρτηση ονομάζεται δεσμευμένη αν υπάρχει θετικός αριθμός M τέτοιος ώστε |f(x)| ≤ M για όλες τις τιμές του x. Εάν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός, τότε η συνάρτηση είναι απεριόριστη.

7) Περιοδικότητα της συνάρτησης.

Μια συνάρτηση f(x) είναι περιοδική εάν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύει το εξής: f(x+T) = f(x). Αυτός ο μικρότερος αριθμός ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης. Ολα τριγωνομετρικές συναρτήσειςείναι περιοδικές. (Τριγωνομετρικοί τύποι).

19. Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις τους. Εφαρμογή συναρτήσεων στα οικονομικά.

Βασικές στοιχειώδεις λειτουργίες. Οι ιδιότητες και τα γραφήματα τους

1. Γραμμική συνάρτηση.

Γραμμική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση της μορφής , όπου x είναι μεταβλητή, a και b είναι πραγματικοί αριθμοί.

Αριθμός ΕΝΑπου ονομάζεται κλίση της ευθείας, είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας στη θετική κατεύθυνση του άξονα x. Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή. Ορίζεται από δύο σημεία.

Ιδιότητες μιας Γραμμικής συνάρτησης

1. Τομέας ορισμού - το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών: D(y)=R

2. Το σύνολο των τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών: E(y)=R

3. Η συνάρτηση παίρνει μηδενική τιμή όταν ή.

4. Η συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται) σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

5. Γραμμική συνάρτησησυνεχής σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, διαφοροποιήσιμο και .

2. Τετραγωνική συνάρτηση.

Μια συνάρτηση της μορφής, όπου x είναι μια μεταβλητή, οι συντελεστές a, b, c είναι πραγματικοί αριθμοί, ονομάζεται τετραγωνικός.

ο μεθοδολογικό υλικόείναι μόνο για αναφορά και ισχύει για ένα ευρύ φάσμα θεμάτων. Το άρθρο παρέχει μια επισκόπηση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και εξετάζει το πιο σημαντικό ζήτημα - πώς να φτιάξετε ένα γράφημα σωστά και ΓΡΗΓΟΡΑ. Στο μάθημα σπουδών ανώτερων μαθηματικών χωρίς γνώση βασικών γραφημάτων στοιχειώδεις λειτουργίεςΘα είναι δύσκολο, επομένως είναι πολύ σημαντικό να θυμάστε πώς μοιάζουν τα γραφήματα μιας παραβολής, υπερβολής, ημιτόνου, συνημιτόνου κ.λπ. και να θυμάστε μερικές από τις τιμές της συνάρτησης. Θα μιλήσουμε επίσης για ορισμένες ιδιότητες των κύριων συναρτήσεων.

Δεν διεκδικώ την πληρότητα και την επιστημονική πληρότητα των υλικών η έμφαση θα δοθεί, πρώτα απ 'όλα, στην πράξη - εκείνα τα πράγματα με τα οποία συναντά κανείς κυριολεκτικά σε κάθε βήμα, σε οποιοδήποτε θέμα ανώτερων μαθηματικών. Διαγράμματα για ανδρείκελα; Θα μπορούσε να πει κανείς.

Λόγω πολλών αιτημάτων αναγνωστών πίνακα περιεχομένων με δυνατότητα κλικ:

Επιπλέον, υπάρχει μια εξαιρετικά σύντομη περίληψη για το θέμα
– κατακτήστε 16 τύπους γραφημάτων μελετώντας ΕΞΙ σελίδες!

Σοβαρά, έξι, ακόμα κι εγώ εξεπλάγην. Αυτή η περίληψη περιέχει βελτιωμένα γραφικά και είναι διαθέσιμη με ονομαστική χρέωση. Είναι βολικό να εκτυπώσετε το αρχείο έτσι ώστε τα γραφήματα να είναι πάντα διαθέσιμα. Ευχαριστούμε για την υποστήριξη του έργου!

Και ας ξεκινήσουμε αμέσως:

Πώς να κατασκευάσετε σωστά τους άξονες συντεταγμένων;

Στην πράξη, τα τεστ ολοκληρώνονται σχεδόν πάντα από τους μαθητές σε ξεχωριστά τετράδια, γραμμωμένα σε τετράγωνο. Γιατί χρειάζεστε καρό σημάδια; Μετά από όλα, η εργασία, κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει σε φύλλα Α4. Και το κλουβί είναι απαραίτητο μόνο για υψηλής ποιότητας και ακριβή σχεδιασμό σχεδίων.

Οποιοδήποτε σχέδιο ενός γραφήματος συνάρτησης ξεκινά με άξονες συντεταγμένων.

Τα σχέδια μπορεί να είναι δισδιάστατα ή τρισδιάστατα.

Ας εξετάσουμε πρώτα τη δισδιάστατη περίπτωση Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

1) Κλήρωση άξονες συντεταγμένων. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x , και ο άξονας είναι άξονας y . Προσπαθούμε πάντα να τα σχεδιάζουμε τακτοποιημένο και όχι στραβό. Τα βέλη δεν πρέπει επίσης να μοιάζουν με τα γένια του Papa Carlo.

2) Σημειώστε τα τσεκούρια με κεφαλαία γράμματα"Χ" και "Υ". Μην ξεχάσετε να επισημάνετε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων: σχεδιάστε ένα μηδέν και δύο ένα. Όταν κάνετε ένα σχέδιο, η πιο βολική και συχνά χρησιμοποιούμενη κλίμακα είναι: 1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά) - αν είναι δυνατόν, τηρήστε την. Ωστόσο, κατά καιρούς συμβαίνει ότι το σχέδιο δεν ταιριάζει στο φύλλο του σημειωματάριου - τότε μειώνουμε την κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί (σχέδιο στα δεξιά). Είναι σπάνιο, αλλά συμβαίνει ότι η κλίμακα του σχεδίου πρέπει να μειωθεί (ή να αυξηθεί) ακόμη περισσότερο

ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ για «πολυβόλο» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Γιατί το επίπεδο συντεταγμένων δεν είναι μνημείο του Ντεκάρτ και ο μαθητής δεν είναι περιστέρι. Βάζουμε μηδένΚαι δύο μονάδες κατά μήκος των αξόνων. Ωρες ωρες αντίμονάδες, είναι βολικό να "μαρκάρετε" άλλες τιμές, για παράδειγμα, "δύο" στον άξονα της τετμημένης και "τρία" στον άξονα τεταγμένων - και αυτό το σύστημα (0, 2 και 3) θα ορίζει επίσης μοναδικά το πλέγμα συντεταγμένων.

Είναι καλύτερο να εκτιμήσετε τις εκτιμώμενες διαστάσεις του σχεδίου ΠΡΙΝ την κατασκευή του σχεδίου. Έτσι, για παράδειγμα, εάν η εργασία απαιτεί τη σχεδίαση ενός τριγώνου με κορυφές , , , τότε είναι απολύτως σαφές ότι η δημοφιλής κλίμακα 1 μονάδα = 2 κελιά δεν θα λειτουργήσει. Γιατί; Ας δούμε το σημείο - εδώ θα πρέπει να μετρήσετε δεκαπέντε εκατοστά κάτω και, προφανώς, το σχέδιο δεν θα χωρέσει (ή μόλις χωράει) σε ένα φύλλο σημειωματάριου. Επομένως, επιλέγουμε αμέσως μια μικρότερη κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί.

Παρεμπιπτόντως, περίπου εκατοστά και κελιά σημειωματάριου. Είναι αλήθεια ότι 30 κελιά σημειωματάριων περιέχουν 15 εκατοστά; Για διασκέδαση, μετρήστε 15 εκατοστά στο σημειωματάριό σας με ένα χάρακα. Στην ΕΣΣΔ, αυτό μπορεί να ίσχυε... Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν μετρήσετε αυτά τα ίδια εκατοστά οριζόντια και κάθετα, τα αποτελέσματα (στα κελιά) θα είναι διαφορετικά! Αυστηρά μιλώντας, τα μοντέρνα σημειωματάρια δεν είναι καρό, αλλά ορθογώνια. Αυτό μπορεί να φαίνεται ανοησία, αλλά το να σχεδιάζετε, για παράδειγμα, έναν κύκλο με πυξίδα σε τέτοιες καταστάσεις είναι πολύ άβολο. Για να είμαι ειλικρινής, σε τέτοιες στιγμές αρχίζεις να σκέφτεσαι την ορθότητα του συντρόφου Στάλιν, ο οποίος στάλθηκε σε στρατόπεδα για χάκερ στην παραγωγή, για να μην αναφέρουμε την εγχώρια αυτοκινητοβιομηχανία, την πτώση αεροπλάνων ή την έκρηξη σταθμών παραγωγής ενέργειας.

Μιλώντας για ποιότητα, ή μια σύντομη σύσταση για χαρτικά. Σήμερα, τα περισσότερα σημειωματάρια που πωλούνται είναι, τουλάχιστον, σκουπίδια. Γιατί βρέχονται, όχι μόνο από στυλό gel, αλλά και από στυλό! Εξοικονομούν χρήματα στα χαρτιά. Για την ολοκλήρωση των δοκιμών, συνιστώ να χρησιμοποιήσετε σημειωματάρια από το Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 φύλλα, τετράγωνο) ή το "Pyaterochka", αν και είναι πιο ακριβό. Συνιστάται να επιλέξετε ένα στυλό τζελ ακόμα και το φθηνότερο κινέζικο ξαναγέμισμα είναι πολύ καλύτερο από ένα στυλό, το οποίο είτε μουτζουρώνει είτε σκίζει το χαρτί. Το μόνο «ανταγωνιστικό» στυλό που θυμάμαι είναι το Erich Krause. Γράφει καθαρά, όμορφα και με συνέπεια – είτε με γεμάτο πυρήνα είτε με σχεδόν άδειο.

Επιπροσθέτως: Το όραμα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων μέσα από τα μάτια της αναλυτικής γεωμετρίας καλύπτεται στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων, λεπτομερείς πληροφορίεςσχετικά με τα τέταρτα συντεταγμένων μπορείτε να βρείτε στη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Γραμμικές ανισότητες.

τρισδιάστατη θήκη

Είναι σχεδόν το ίδιο εδώ.

1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Πρότυπο: άξονας εφαρμογή – κατευθυνόμενος προς τα πάνω, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα δεξιά, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα κάτω προς τα αριστερά αυστηράσε γωνία 45 μοιρών.

2) Σημειώστε τα τσεκούρια.

3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Η κλίμακα κατά μήκος του άξονα είναι δύο φορές μικρότερη από την κλίμακα κατά μήκος των άλλων αξόνων. Σημειώστε επίσης ότι στο σωστό σχέδιο χρησιμοποίησα μια μη τυπική "εγκοπή" κατά μήκος του άξονα (αυτή η δυνατότητα έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω). Από την άποψή μου, αυτό είναι πιο ακριβές, πιο γρήγορο και πιο ευχάριστο αισθητικά - δεν χρειάζεται να ψάξετε για το μέσο του κυττάρου κάτω από ένα μικροσκόπιο και να "γλύψετε" μια μονάδα κοντά στην αρχή των συντεταγμένων.

Όταν κάνετε ένα τρισδιάστατο σχέδιο, πάλι, δώστε προτεραιότητα στην κλίμακα
1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά).

Σε τι χρησιμεύουν όλοι αυτοί οι κανόνες; Οι κανόνες είναι φτιαγμένοι για να παραβιάζονται. Αυτό θα κάνω τώρα. Το γεγονός είναι ότι τα επόμενα σχέδια του άρθρου θα γίνουν από εμένα στο Excel και οι άξονες συντεταγμένων θα φαίνονται λανθασμένοι από την άποψη του σωστού σχεδιασμού. Θα μπορούσα να σχεδιάσω όλα τα γραφήματα με το χέρι, αλλά είναι πραγματικά τρομακτικό να τα σχεδιάζω, καθώς το Excel είναι απρόθυμο να τα σχεδιάσει με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Γραφήματα και βασικές ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων

Μια γραμμική συνάρτηση δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση των γραμμικών συναρτήσεων είναι απευθείας. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζουμε δύο σημεία.

Παράδειγμα 1

Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης. Ας βρούμε δύο σημεία. Συμφέρει να επιλέξετε το μηδέν ως ένα από τα σημεία.

Αν τότε

Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο, για παράδειγμα, 1.

Αν τότε

Κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, οι συντεταγμένες των σημείων συνήθως συνοψίζονται σε έναν πίνακα:

Και οι ίδιες οι τιμές υπολογίζονται προφορικά ή σε προσχέδιο, αριθμομηχανή.

Βρέθηκαν δύο σημεία, ας κάνουμε το σχέδιο:

Όταν ετοιμάζουμε ένα σχέδιο, υπογράφουμε πάντα τα γραφικά.

Θα ήταν χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ειδικές περιπτώσεις μιας γραμμικής συνάρτησης:

Προσέξτε πώς έβαλα τις υπογραφές, οι υπογραφές δεν πρέπει να επιτρέπουν αποκλίσεις κατά τη μελέτη του σχεδίου. Σε αυτήν την περίπτωση, ήταν εξαιρετικά ανεπιθύμητο να βάλετε μια υπογραφή δίπλα στο σημείο τομής των γραμμών ή κάτω δεξιά μεταξύ των γραφημάτων.

1) Μια γραμμική συνάρτηση της μορφής () ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα. Για παράδειγμα, . Ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας διέρχεται πάντα από την αρχή. Έτσι, η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής απλοποιείται - αρκεί να βρείτε μόνο ένα σημείο.

2) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης σχεδιάζεται αμέσως, χωρίς να βρεθούν σημεία. Δηλαδή, η καταχώρηση θα πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το y είναι πάντα ίσο με –4, για οποιαδήποτε τιμή του x».

3) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται επίσης αμέσως. Η καταχώριση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το x είναι πάντα, για οποιαδήποτε τιμή του y, ίση με 1».

Κάποιοι θα ρωτήσουν, γιατί να θυμάστε την 6η δημοτικού;! Έτσι είναι, ίσως να είναι έτσι, αλλά με τα χρόνια της εξάσκησης έχω συναντήσει μια ντουζίνα σπουδαστών που μπερδεύτηκαν από το έργο της κατασκευής ενός γραφήματος όπως ή.

Η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής είναι η πιο κοινή ενέργεια κατά τη δημιουργία σχεδίων.

Η ευθεία γραμμή συζητείται αναλυτικά στο μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας και οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να ανατρέξουν στο άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Γράφημα τετραγωνικής, κυβική συνάρτηση, γράφημα πολυωνύμου

Παραβολή. Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης () αντιπροσωπεύει μια παραβολή. Σκεφτείτε την περίφημη περίπτωση:

Ας θυμηθούμε μερικές ιδιότητες της συνάρτησης.

Άρα, η λύση της εξίσωσής μας: – σε αυτό το σημείο βρίσκεται η κορυφή της παραβολής. Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να βρούμε στο θεωρητικό άρθρο για την παράγωγο και το μάθημα για τα άκρα της συνάρτησης. Στο μεταξύ, ας υπολογίσουμε την αντίστοιχη τιμή "Y":

Έτσι, η κορυφή βρίσκεται στο σημείο

Τώρα βρίσκουμε άλλα σημεία, ενώ χρησιμοποιούμε ευθαρσώς τη συμμετρία της παραβολής. Πρέπει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση – δεν είναι καν, αλλά, παρόλα αυτά, κανείς δεν ακύρωσε τη συμμετρία της παραβολής.

Με ποια σειρά θα βρεθούν οι υπόλοιποι βαθμοί, νομίζω ότι θα φανεί από τον τελικό πίνακα:

Αυτός ο αλγόριθμος κατασκευής μπορεί μεταφορικά να ονομαστεί "σαΐτα" ή η αρχή "μπρος-πίσω" με την Anfisa Chekhova.

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Από τα γραφήματα που εξετάστηκαν, ένα άλλο χρήσιμο χαρακτηριστικό έρχεται στο μυαλό:

Για μια τετραγωνική συνάρτηση () ισχύει το εξής:

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

Σε βάθος γνώση για την καμπύλη μπορείτε να αποκτήσετε στο μάθημα Υπερβολική και παραβολή.

Μια κυβική παραβολή δίνεται από τη συνάρτηση. Εδώ είναι ένα οικείο σχέδιο από το σχολείο:

Ας απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης

Γράφημα μιας συνάρτησης

Αντιπροσωπεύει έναν από τους κλάδους μιας παραβολής. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Σε αυτή την περίπτωση, ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας υπερβολής στο .

Θα ήταν ΧΑΔΡΟ λάθος εάν, κατά την κατάρτιση ενός σχεδίου, αφήσετε απρόσεκτα το γράφημα να τέμνεται με μια ασύμπτωτη.

Επίσης τα μονόπλευρα όρια μας λένε ότι η υπερβολή δεν περιορίζεται από πάνωΚαι δεν περιορίζεται από κάτω.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση στο άπειρο: , δηλαδή, αν αρχίσουμε να κινούμαστε κατά μήκος του άξονα προς τα αριστερά (ή δεξιά) προς το άπειρο, τότε τα «παιχνίδια» θα είναι σε τάξη απείρως κοντάπλησιάζει το μηδέν και, κατά συνέπεια, τους κλάδους της υπερβολής απείρως κοντάπλησιάζει τον άξονα.

Άρα ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, αν το "x" τείνει στο συν ή πλην άπειρο.

Η συνάρτηση είναι Περιττός, και, επομένως, η υπερβολή είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Αυτό το γεγονός είναι προφανές από το σχέδιο, επιπλέον, επαληθεύεται εύκολα αναλυτικά: .

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής () αναπαριστά δύο κλάδους μιας υπερβολής.

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο πρώτο και το τρίτο τέταρτο συντεταγμένων(βλ. εικόνα παραπάνω).

Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο δεύτερο και τέταρτο τέταρτο συντεταγμένων.

Το υποδεικνυόμενο μοτίβο της παραμονής της υπερβολής είναι εύκολο να αναλυθεί από την άποψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών των γραφημάτων.

Παράδειγμα 3

Κατασκευάστε τον δεξιό κλάδο της υπερβολής

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο κατασκευής κατά σημείο και είναι πλεονεκτικό να επιλέγουμε τις τιμές έτσι ώστε να διαιρούνται με ένα σύνολο:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Δεν θα είναι δύσκολο να κατασκευάσουμε τον αριστερό κλάδο της υπερβολής. Χοντρικά στον πίνακα σημειακής κατασκευής προσθέτουμε νοερά ένα μείον σε κάθε αριθμό, βάζουμε τους αντίστοιχους πόντους και σχεδιάζουμε τον δεύτερο κλάδο.

Λεπτομερείς γεωμετρικές πληροφορίες σχετικά με τη γραμμή που εξετάζεται μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Υπερβολή και παραβολή.

Γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσω αμέσως την εκθετική συνάρτηση, αφού σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών στο 95% των περιπτώσεων εμφανίζεται η εκθετική.

Να σας υπενθυμίσω ότι αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός: , αυτό θα απαιτηθεί κατά την κατασκευή ενός γραφήματος, το οποίο, στην πραγματικότητα, θα κατασκευάσω χωρίς τελετή. Μάλλον αρκούν τρία σημεία:

Ας αφήσουμε μόνο το γράφημα της συνάρτησης προς το παρόν, περισσότερα για αυτό αργότερα.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τα γραφήματα συναρτήσεων, κ.λπ., φαίνονται ουσιαστικά ίδια.

Πρέπει να πω ότι η δεύτερη περίπτωση εμφανίζεται λιγότερο συχνά στην πράξη, αλλά συμβαίνει, γι' αυτό θεώρησα απαραίτητο να το συμπεριλάβω σε αυτό το άρθρο.

Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης

Εξετάστε τη συνάρτηση με φυσικός λογάριθμος.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Αν έχετε ξεχάσει τι είναι ο λογάριθμος, ανατρέξτε στα σχολικά σας εγχειρίδια.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Τομέα:

Εύρος τιμών: .

Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω: , αν και αργά, αλλά ο κλάδος του λογαρίθμου ανεβαίνει στο άπειρο.
Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο μηδέν στα δεξιά: . Άρα ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθώς το "x" τείνει προς το μηδέν από τα δεξιά.

Είναι επιτακτική ανάγκη να γνωρίζουμε και να θυμόμαστε την τυπική τιμή του λογαρίθμου: .

Κατ' αρχήν, η γραφική παράσταση του λογάριθμου προς τη βάση φαίνεται ίδια: , , (δεκαδικός λογάριθμος στη βάση 10) κ.λπ. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η βάση, τόσο πιο επίπεδο θα είναι το γράφημα.

Δεν θα εξετάσουμε την υπόθεση, δεν θυμάμαι πότε τελευταία φοράΈφτιαξα ένα γράφημα σε αυτή τη βάση. Και ο λογάριθμος φαίνεται να είναι ένας πολύ σπάνιος επισκέπτης σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.

Στο τέλος αυτής της παραγράφου θα πω ένα ακόμη γεγονός: Εκθετική συνάρτηση και λογαριθμική συνάρτηση – πρόκειται για δύο αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Αν κοιτάξετε προσεκτικά το γράφημα του λογάριθμου, μπορείτε να δείτε ότι αυτός είναι ο ίδιος εκθέτης, απλώς βρίσκεται λίγο διαφορετικά.

Γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Από πού αρχίζει το τριγωνομετρικό μαρτύριο στο σχολείο; Σωστά. Από ημίτονο

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση

Αυτή η γραμμή ονομάζεται ημιτονοειδής.

Να σας υπενθυμίσω ότι το "πι" είναι ένας παράλογος αριθμός: , και στην τριγωνομετρία κάνει τα μάτια σας να θαμπώνουν.

Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:

Αυτή η λειτουργία είναι περιοδικόςμε περίοδο. Τι σημαίνει; Ας δούμε το τμήμα. Αριστερά και δεξιά του, το ίδιο ακριβώς κομμάτι του γραφήματος επαναλαμβάνεται ατελείωτα.

Τομέα: , δηλαδή, για οποιαδήποτε τιμή του “x” υπάρχει ημιτονική τιμή.

Εύρος τιμών: . Η συνάρτηση είναι περιορισμένος: , δηλαδή, όλα τα «παιχνίδια» βρίσκονται αυστηρά στο τμήμα .
Αυτό δεν συμβαίνει: ή, πιο συγκεκριμένα, συμβαίνει, αλλά αυτές οι εξισώσεις δεν έχουν λύση.

Η συνάρτηση y=x^2 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή. Γενική μορφήΗ παραβολή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Τετραγωνική λειτουργία

Εικ. 1. Γενική άποψη της παραβολής

Όπως φαίνεται από το γράφημα, είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy. Ο άξονας Oy ονομάζεται άξονας συμμετρίας της παραβολής. Αυτό σημαίνει ότι αν σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή στο γράφημα παράλληλη προς τον άξονα Ox πάνω από αυτόν τον άξονα. Τότε θα τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. Η απόσταση από αυτά τα σημεία μέχρι τον άξονα Oy θα είναι η ίδια.

Ο άξονας συμμετρίας χωρίζει τη γραφική παράσταση μιας παραβολής σε δύο μέρη. Αυτά τα μέρη ονομάζονται κλάδοι της παραβολής. Και το σημείο μιας παραβολής που βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Δηλαδή ο άξονας συμμετρίας διέρχεται από την κορυφή της παραβολής. Οι συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι (0;0).

Βασικές ιδιότητες μιας τετραγωνικής συνάρτησης

1. Στο x =0, y=0 και y>0 στο x0

2. Η τετραγωνική συνάρτηση φτάνει στην ελάχιστη τιμή της στην κορυφή της. Ymin στο x=0; Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η συνάρτηση δεν έχει μέγιστη τιμή.

3. Η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα (-∞;0] και αυξάνεται στο διάστημα)