Ακέραιοι– Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση αντικειμένων. Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών ονομάζεται μερικές φορές φυσικές σειρές: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, κ.λπ. .

Για να γράψετε φυσικούς αριθμούς, χρησιμοποιούνται δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Χρησιμοποιώντας τους, μπορείτε να γράψετε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό. Αυτή η σημείωση αριθμών ονομάζεται δεκαδικός.

Η φυσική σειρά αριθμών μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός που θα ήταν ο τελευταίος, γιατί μπορείτε πάντα να προσθέσετε έναν στον τελευταίο αριθμό και θα λάβετε έναν αριθμό που είναι ήδη μεγαλύτερος από αυτόν που αναζητάτε. Σε αυτή την περίπτωση, λένε ότι δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός στη φυσική σειρά.

Τόποι φυσικών αριθμών

Όταν γράφετε οποιονδήποτε αριθμό χρησιμοποιώντας ψηφία, η θέση στην οποία εμφανίζεται το ψηφίο στον αριθμό είναι κρίσιμη. Για παράδειγμα, ο αριθμός 3 σημαίνει: 3 μονάδες, εάν εμφανίζεται στην τελευταία θέση του αριθμού. 3 δεκάδες, αν βρίσκεται στην προτελευταία θέση στον αριθμό. 4 εκατό αν είναι στην τρίτη θέση από το τέλος.

Το τελευταίο ψηφίο σημαίνει το μέρος των μονάδων, το προτελευταίο ψηφίο σημαίνει το μέρος των δεκάδων και το 3 από το τέλος σημαίνει το μέρος των εκατοντάδων.

Μονοψήφιοι και πολυψήφιοι αριθμοί

Εάν οποιοδήποτε ψηφίο ενός αριθμού περιέχει το ψηφίο 0, αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μονάδες σε αυτό το ψηφίο.

Ο αριθμός 0 χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμό μηδέν. Το μηδέν είναι «δεν είναι ένα».

Το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός. Αν και ορισμένοι μαθηματικοί σκέφτονται διαφορετικά.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ψηφίο λέγεται μονοψήφιος, αν αποτελείται από δύο λέγεται διψήφιος, αν αποτελείται από τρία λέγεται τριψήφιος κ.λπ.

Οι αριθμοί που δεν είναι μονοψήφιοι ονομάζονται και πολυψήφιοι.

Ψηφιακές τάξεις για την ανάγνωση μεγάλων φυσικών αριθμών

Για την ανάγνωση μεγάλων φυσικών αριθμών, ο αριθμός χωρίζεται σε ομάδες των τριών ψηφίων, ξεκινώντας από τη δεξιά άκρη. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις.

Τα τρία πρώτα ψηφία στη δεξιά άκρη αποτελούν την κατηγορία μονάδων, τα επόμενα τρία είναι η κλάση χιλιάδων και τα επόμενα τρία είναι η κατηγορία εκατομμυρίων.

Εκατομμύριο – χίλιες χιλιάδες· η συντομογραφία εκατομμύρια χρησιμοποιείται για ηχογράφηση 1 εκατομμύριο = 1.000.000.

Ένα δισεκατομμύριο = χίλια εκατομμύρια. Για την εγγραφή χρησιμοποιήστε τη συντομογραφία δισεκατομμύριο 1 δισεκατομμύριο = 1.000.000.000.

Παράδειγμα γραφής και ανάγνωσης

Αυτός ο αριθμός έχει 15 μονάδες στην κατηγορία των δισεκατομμυρίων, 389 μονάδες στην κατηγορία των εκατομμυρίων, μηδέν μονάδες στην κατηγορία των χιλιάδων και 286 μονάδες στην κατηγορία των μονάδων.

Αυτός ο αριθμός έχει ως εξής: 15 δισεκατομμύρια 389 εκατομμύρια 286.

Διαβάστε τους αριθμούς από αριστερά προς τα δεξιά. Καλέστε εκ περιτροπής τον αριθμό των μονάδων κάθε τάξης και μετά προσθέστε το όνομα της τάξης.

Τι είναι οι φυσικοί και οι μη φυσικοί αριθμοί; Πώς να εξηγήσετε σε ένα παιδί, ή ίσως όχι σε ένα παιδί, ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ τους; Ας το καταλάβουμε. Απ' όσο γνωρίζουμε, στην Ε' τάξη μελετώνται οι μη φυσικοί και φυσικοί αριθμοί και στόχος μας είναι να εξηγήσουμε στους μαθητές ώστε να καταλάβουν πραγματικά και να μάθουν τι και πώς.

Ιστορία

Οι φυσικοί αριθμοί είναι μια από τις παλιές έννοιες. Πριν από πολύ καιρό, όταν οι άνθρωποι δεν ήξεραν ακόμη πώς να μετρούν και δεν είχαν ιδέα για τους αριθμούς, όταν έπρεπε να μετρήσουν κάτι, για παράδειγμα, ψάρια, ζώα, χτυπούσαν έξω διάφορα θέματατελείες ή παύλες, όπως ανακάλυψαν αργότερα οι αρχαιολόγοι. Η ζωή ήταν πολύ δύσκολη για αυτούς εκείνη την εποχή, αλλά ο πολιτισμός αναπτύχθηκε πρώτα στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών και μετά στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Σήμερα σχεδόν όλοι χρησιμοποιούν αραβικούς αριθμούς

Τα πάντα για τους φυσικούς αριθμούς

Οι φυσικοί αριθμοί είναι πρώτοι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή για να μετράμε αντικείμενα προκειμένου να προσδιορίσουμε την ποσότητα και τη σειρά. Επί του παρόντος, για να γράψουμε αριθμούς χρησιμοποιούμε μετρικό σύστημαΥπολογισμός. Για να γράψουμε οποιονδήποτε αριθμό, χρησιμοποιούμε δέκα ψηφία - από μηδέν έως εννέα.

Οι φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε αντικείμενα ή υποδεικνύουμε τον αύξοντα αριθμό κάποιου πράγματος. Παράδειγμα: 5, 368, 99, 3684.

Μια σειρά αριθμών αναφέρεται σε φυσικούς αριθμούς που είναι διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά, δηλ. από το ένα στο άπειρο. Αυτή η σειρά ξεκινά με μικρότερος αριθμός- 1, και δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός, αφού η σειρά των αριθμών είναι απλά άπειρη.

Σε γενικές γραμμές, μηδέν - φυσικός αριθμόςδεν μετριέται, αφού σημαίνει απουσία κάτι, και επίσης δεν υπάρχει καταμέτρηση αντικειμένων

Το αραβικό σύστημα αριθμών είναι ένα σύγχρονο σύστημα που χρησιμοποιούμε καθημερινά. Είναι μια παραλλαγή του ινδικού (δεκαδικός).

Αυτό το σύστημα αριθμών έγινε σύγχρονο λόγω του αριθμού 0, που εφευρέθηκε από τους Άραβες. Πριν από αυτό, δεν ήταν διαθέσιμο στο ινδικό σύστημα.

Αφύσικοι αριθμοί. Τι είναι αυτό?

Οι φυσικοί αριθμοί δεν περιλαμβάνουν αρνητικούς ή μη ακέραιους αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι είναι - αφύσικοι αριθμοί

Παρακάτω είναι παραδείγματα.

Οι μη φυσικοί αριθμοί είναι:

• Αρνητικοί αριθμοί, για παράδειγμα: -1, -5, -36.. και ούτω καθεξής.
• Ρητοί αριθμοί, τα οποία εκφράζονται σε δεκαδικά κλάσματα: 4,5, -67, 44,6.
• Με τη μορφή απλού κλάσματος: 1 / 2, 40 2 /7, κ.λπ.

Παράλογοι αριθμοί όπως e = 2,71828, √2 = 1,41421 και παρόμοια.

Ελπίζουμε ότι σας βοηθήσαμε πολύ να κατανοήσετε τους μη φυσικούς και φυσικούς αριθμούς. Τώρα θα είναι πιο εύκολο για εσάς να το εξηγήσετε στο μωρό σας αυτό το θέμα, και θα το κατακτήσει όπως και οι μεγάλοι μαθηματικοί!

Τα μαθηματικά προέκυψαν από τη γενική φιλοσοφία γύρω στον έκτο αιώνα π.Χ. ε., και από εκείνη τη στιγμή ξεκίνησε η νικηφόρα πορεία της σε όλο τον κόσμο. Κάθε στάδιο ανάπτυξης εισήγαγε κάτι νέο - η στοιχειώδης μέτρηση εξελίχθηκε, μετατράπηκε σε διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, πέρασαν αιώνες, οι τύποι έγιναν όλο και πιο συγκεχυμένοι και ήρθε η στιγμή που "άρχισαν τα πιο περίπλοκα μαθηματικά - όλοι οι αριθμοί εξαφανίστηκαν από αυτό". Ποια ήταν όμως η βάση;

Η αρχή του χρόνου

Οι φυσικοί αριθμοί εμφανίστηκαν μαζί με τους πρώτους μαθηματικές πράξεις. Μία ράχη, δύο ράχη, τρεις ράχες... Εμφανίστηκαν χάρη σε Ινδούς επιστήμονες που ανέπτυξαν την πρώτη θέση

Η λέξη «θέση» σημαίνει ότι η θέση κάθε ψηφίου σε έναν αριθμό είναι αυστηρά καθορισμένη και αντιστοιχεί στην κατάταξή του. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 784 και 487 είναι οι ίδιοι αριθμοί, αλλά οι αριθμοί δεν είναι ισοδύναμοι, αφού ο πρώτος περιλαμβάνει 7 εκατοντάδες, ενώ ο δεύτερος μόνο 4. Την ινδική καινοτομία πήραν οι Άραβες, οι οποίοι έφεραν τους αριθμούς στη φόρμα που ξέρουμε τώρα.

Στην αρχαιότητα, στους αριθμούς δόθηκε ένα μυστικιστικό νόημα· ο Πυθαγόρας πίστευε ότι ο αριθμός αποτελεί τη βάση της δημιουργίας του κόσμου μαζί με τα βασικά στοιχεία - φωτιά, νερό, γη, αέρας. Αν εξετάσουμε τα πάντα μόνο από τη μαθηματική πλευρά, τότε τι είναι ένας φυσικός αριθμός; Το πεδίο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με Ν και είναι μια άπειρη σειρά αριθμών που είναι ακέραιοι και θετικοί: 1, 2, 3, … + ∞. Το μηδέν εξαιρείται. Χρησιμοποιείται κυρίως για την καταμέτρηση αντικειμένων και την ένδειξη της σειράς.

Τι είναι στα μαθηματικά; Τα αξιώματα του Peano

Το πεδίο Ν είναι το βασικό στο οποίο βασίζονται τα στοιχειώδη μαθηματικά. Με την πάροδο του χρόνου, πεδία ακεραίων, ορθολογικών,

Το έργο του Ιταλού μαθηματικού Giuseppe Peano κατέστησε δυνατή την περαιτέρω δόμηση της αριθμητικής, πέτυχε την τυπικότητά της και προετοίμασε τον δρόμο για περαιτέρω συμπεράσματα που ξεπέρασαν την περιοχή πεδίου Ν.

Τι είναι φυσικός αριθμός διευκρινίστηκε νωρίτερα σε απλή γλώσσα, παρακάτω θα εξετάσουμε έναν μαθηματικό ορισμό που βασίζεται στα αξιώματα του Peano.

• Το ένα θεωρείται φυσικός αριθμός.
• Ο αριθμός που ακολουθεί έναν φυσικό αριθμό είναι ένας φυσικός αριθμός.
• Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός πριν από το ένα.
• Αν ο αριθμός b ακολουθεί και τον αριθμό c και τον αριθμό d, τότε c=d.
• Ένα αξίωμα επαγωγής, το οποίο με τη σειρά του δείχνει τι είναι ένας φυσικός αριθμός: αν κάποια πρόταση που εξαρτάται από μια παράμετρο ισχύει για τον αριθμό 1, τότε υποθέτουμε ότι λειτουργεί και για τον αριθμό n από το πεδίο των φυσικών αριθμών N. Τότε η πρόταση ισχύει επίσης για n =1 από το πεδίο των φυσικών αριθμών N.

Βασικές πράξεις για το πεδίο των φυσικών αριθμών

Δεδομένου ότι το πεδίο N ήταν το πρώτο για μαθηματικούς υπολογισμούς, τόσο οι τομείς ορισμού όσο και τα εύρη τιμών ενός αριθμού πράξεων παρακάτω ανήκουν σε αυτό. Είναι κλειστά και όχι. Η κύρια διαφορά είναι ότι οι κλειστές πράξεις είναι εγγυημένα ότι αφήνουν το αποτέλεσμα εντός του συνόλου N, ανεξάρτητα από τους αριθμούς που αφορούν. Φτάνει να είναι φυσικά. Το αποτέλεσμα άλλων αριθμητικών αλληλεπιδράσεων δεν είναι πλέον τόσο σαφές και εξαρτάται άμεσα από το είδος των αριθμών που εμπλέκονται στην έκφραση, καθώς μπορεί να έρχεται σε αντίθεση με τον κύριο ορισμό. Λοιπόν, κλειστές λειτουργίες:

• πρόσθεση - x + y = z, όπου x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• πολλαπλασιασμός - x * y = z, όπου x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• εκθετικότητα - x y, όπου τα x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N.

Οι υπόλοιπες πράξεις, το αποτέλεσμα των οποίων μπορεί να μην υπάρχει στο πλαίσιο του ορισμού του «τι είναι φυσικός αριθμός», είναι οι εξής:

Ιδιότητες αριθμών που ανήκουν στο πεδίο N

Κάθε περαιτέρω μαθηματικός συλλογισμός θα βασίζεται στις ακόλουθες ιδιότητες, τις πιο ασήμαντες, αλλά όχι λιγότερο σημαντικές.

• Η μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης είναι x + y = y + x, όπου οι αριθμοί x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N. Ή το γνωστό «το άθροισμα δεν αλλάζει αλλάζοντας τις θέσεις των όρων».
• Η ανταλλακτική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού είναι x * y = y * x, όπου οι αριθμοί x, y περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Η συνδυαστική ιδιότητα της πρόσθεσης είναι (x + y) + z = x + (y + z), όπου τα x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• Η αντιστοιχισμένη ιδιότητα του πολλαπλασιασμού είναι (x * y) * z = x * (y * z), όπου οι αριθμοί x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.
• διανεμητική ιδιότητα - x (y + z) = x * y + x * z, όπου οι αριθμοί x, y, z περιλαμβάνονται στο πεδίο N.

Πυθαγόρειο τραπέζι

Ένα από τα πρώτα βήματα στη γνώση των μαθητών για ολόκληρη τη δομή των στοιχειωδών μαθηματικών αφού καταλάβουν μόνοι τους ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί αριθμοί είναι ο Πυθαγόρειος πίνακας. Μπορεί να θεωρηθεί όχι μόνο από την άποψη της επιστήμης, αλλά και ως ένα πολυτιμότερο επιστημονικό μνημείο.

Αυτός ο πίνακας πολλαπλασιασμού έχει υποστεί πολλές αλλαγές με την πάροδο του χρόνου: το μηδέν έχει αφαιρεθεί από αυτόν και οι αριθμοί από το 1 έως το 10 αντιπροσωπεύουν τον εαυτό τους, χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι εντολές (εκατοντάδες, χιλιάδες...). Είναι ένας πίνακας στον οποίο οι επικεφαλίδες σειρών και στηλών είναι αριθμοί και τα περιεχόμενα των κελιών όπου τέμνονται είναι ίσα με το γινόμενο τους.

Στη διδακτική πράξη τις τελευταίες δεκαετίεςυπήρχε ανάγκη να απομνημονεύσουμε τον πυθαγόρειο πίνακα «με τη σειρά», δηλαδή, η απομνημόνευση ήρθε πρώτη. Ο πολλαπλασιασμός με το 1 εξαιρέθηκε επειδή το αποτέλεσμα ήταν πολλαπλασιαστής 1 ή μεγαλύτερος. Εν τω μεταξύ, στον πίνακα με γυμνό μάτι μπορείτε να παρατηρήσετε ένα μοτίβο: το γινόμενο των αριθμών αυξάνεται κατά ένα βήμα, το οποίο είναι ίσο με τον τίτλο της γραμμής. Έτσι, ο δεύτερος παράγοντας μας δείχνει πόσες φορές πρέπει να πάρουμε το πρώτο για να αποκτήσουμε το επιθυμητό προϊόν. Αυτό το σύστημα είναι πολύ πιο βολικό από αυτό που εφαρμοζόταν στον Μεσαίωνα: ακόμη και κατανοώντας τι είναι ένας φυσικός αριθμός και πόσο ασήμαντο είναι, οι άνθρωποι κατάφεραν να περιπλέξουν την καθημερινή τους μέτρηση χρησιμοποιώντας ένα σύστημα που βασιζόταν στις δυνάμεις του δύο.

Υποσύνολο ως το λίκνο των μαθηματικών

Επί αυτή τη στιγμήτο πεδίο των φυσικών αριθμών Ν θεωρείται μόνο ως ένα από τα υποσύνολα μιγαδικοί αριθμοί, αλλά αυτό δεν τους κάνει λιγότερο πολύτιμους στην επιστήμη. Ο φυσικός αριθμός είναι το πρώτο πράγμα που μαθαίνει ένα παιδί όταν μελετά τον εαυτό του και ο κόσμος. Ένα δάχτυλο, δύο δάχτυλα... Χάρη σε αυτόν αναπτύσσεται ο άνθρωπος λογική σκέψη, καθώς και την ικανότητα προσδιορισμού της αιτίας και του αποτελέσματος, ανοίγοντας το δρόμο για μεγάλες ανακαλύψεις.

Από πού ξεκινά η εκμάθηση των μαθηματικών; Ναι, έτσι είναι, από τη μελέτη φυσικών αριθμών και πράξεων με αυτούς.Ακέραιοι (απόλατ. naturalis- φυσικό; φυσικοί αριθμοί) -αριθμοί που εμφανίζονται φυσικά κατά τη μέτρηση (για παράδειγμα, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Η ακολουθία όλων των φυσικών αριθμών που είναι διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά ονομάζεται φυσική σειρά.

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για τον ορισμό των φυσικών αριθμών:

1. μέτρηση (αρίθμηση) αντικείμενα ( πρώτα, δεύτερος, τρίτος, τέταρτος, πέμπτος"…);
2. Οι φυσικοί αριθμοί είναι αριθμοί που προκύπτουν όταν προσδιορισμός ποσότητας αντικείμενα ( 0 είδη, 1 στοιχείο, 2 αντικείμενα, 3 είδη, 4 αντικείμενα, 5 είδη ).

Στην πρώτη περίπτωση, η σειρά των φυσικών αριθμών ξεκινά με ένα, στη δεύτερη - με μηδέν. Δεν υπάρχει συναίνεση μεταξύ των περισσότερων μαθηματικών για το εάν η πρώτη ή η δεύτερη προσέγγιση είναι προτιμότερη (δηλαδή αν το μηδέν πρέπει να θεωρείται φυσικός αριθμός ή όχι). Η συντριπτική πλειοψηφία των ρωσικών πηγών υιοθετεί παραδοσιακά την πρώτη προσέγγιση. Η δεύτερη προσέγγιση, για παράδειγμα, χρησιμοποιείται στα έργαΝικόλα Μπουρμπάκη , όπου οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται ωςεξουσία πεπερασμένα σύνολα .

Αρνητικός και ακέραιος (λογικός , πραγματικός ,...) οι αριθμοί δεν θεωρούνται φυσικοί αριθμοί.

Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυνήθως συμβολίζεται με το σύμβολο N (απόλατ. naturalis- φυσικό). Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο, αφού για κάθε φυσικό αριθμό n υπάρχει φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από n.

Η παρουσία του μηδενός διευκολύνει τη διατύπωση και την απόδειξη πολλών θεωρημάτων στην αριθμητική των φυσικών αριθμών, έτσι η πρώτη προσέγγιση εισάγει χρήσιμη ιδέα εκτεταμένη φυσική εμβέλεια , συμπεριλαμβανομένου του μηδενός. Η εκτεταμένη σειρά ονομάζεται N 0 ή Ζ 0 .

ΠΡΟΣ ΤΗΝκλειστές λειτουργίες (πράξεις που δεν προκύπτουν αποτέλεσμα από το σύνολο των φυσικών αριθμών) στους φυσικούς αριθμούς περιλαμβάνουν τις ακόλουθες αριθμητικές πράξεις:

• πρόσθεση:όρος + όρος = άθροισμα;
• πολλαπλασιασμός:παράγοντας × παράγοντας = προϊόν;
• εκφορά:ένασι , όπου a είναι η βάση του βαθμού, b είναι ο εκθέτης. Αν οι a και b είναι φυσικοί αριθμοί, τότε το αποτέλεσμα θα είναι φυσικός αριθμός.

Επιπλέον, εξετάζονται δύο ακόμη πράξεις (από τυπική άποψη, δεν είναι πράξεις σε φυσικούς αριθμούς, αφού δεν ορίζονται για όλουςζεύγη αριθμών (άλλες φορές υπάρχουν, μερικές φορές όχι)):

• αφαίρεση: minuend - subtrahend = διαφορά. Σε αυτήν την περίπτωση, το minuend πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το subtrahend (ή ίσο με αυτό, αν θεωρήσουμε ότι το μηδέν είναι φυσικός αριθμός)
• διαίρεση με υπόλοιπο:μέρισμα / διαιρέτης = (πηλίκο, υπόλοιπο). Το πηλίκο p και το υπόλοιπο r από τη διαίρεση του a με το b ορίζονται ως εξής: a=p*r+b, με 0<=r

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού είναι θεμελιώδεις. Συγκεκριμένα,