Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα και δίνονται σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο. Ας αναβάλουμε από αυθαίρετο σημείο Οφορείς και . Τότε ισχύει ο παρακάτω ορισμός.

Ορισμός.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτωνκαι η γωνία μεταξύ των ακτίνων ονομάζεται Ο.Α.Και Ο.Β..

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και θα συμβολίζεται ως .

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να πάρει τιμές από 0 προς ή, που είναι το ίδιο πράγμα, από έως.

Όταν τα διανύσματα είναι και τα δύο συνκατευθυνόμενα, όταν τα διανύσματα είναι και αντίθετα κατευθυνόμενα.

Ορισμός.

Τα διανύσματα ονομάζονται κάθετος, αν η μεταξύ τους γωνία είναι ίση με (ακτίνια).

Εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα είναι μηδέν, τότε η γωνία δεν ορίζεται.

Εύρεση της γωνίας μεταξύ διανυσμάτων, παραδειγμάτων και λύσεων.

Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και , και επομένως η ίδια η γωνία, in γενική περίπτωσημπορεί να βρεθεί είτε χρησιμοποιώντας το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων είτε χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου για ένα τρίγωνο που κατασκευάζεται από τα διανύσματα και .

Ας δούμε αυτές τις περιπτώσεις.

Α-πριό κλιμακωτό προϊόνυπάρχουν φορείς. Εάν τα διανύσματα και είναι μη μηδενικά, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ισότητας με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και , και παίρνουμε τύπος για την εύρεση του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ μη μηδενικών διανυσμάτων: . Αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν είναι γνωστά τα μήκη των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και , και επίσης βρείτε την ίδια τη γωνία εάν τα μήκη των διανυσμάτων και είναι ίσα 3 Και 6 αντίστοιχα, και το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με -9 .

Λύση.

Η δήλωση προβλήματος περιέχει όλες τις ποσότητες που είναι απαραίτητες για την εφαρμογή του τύπου. Υπολογίζουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και: .

Τώρα βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων: .

Απάντηση:

Υπάρχουν προβλήματα όπου τα διανύσματα καθορίζονται με συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, για να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο, αλλά σε μορφή συντεταγμένων. Ας το πάρουμε.

Το μήκος ενός διανύσματος είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων. Ως εκ τούτου, τύπος για τον υπολογισμό του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτωνστο επίπεδο έχει τη μορφή , και για διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο - .

Παράδειγμα.

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων που δίνονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Λύση.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αμέσως τον τύπο:

Ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, έχοντας προηγουμένως υπολογίσει τα μήκη των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο στις συντεταγμένες:

Απάντηση:

Το πρόβλημα ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση όταν δίνονται οι συντεταγμένες τριών σημείων (π.χ ΕΝΑ, ΣΕΚαι ΜΕ) σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και πρέπει να βρείτε κάποια γωνία (για παράδειγμα, ).

Πράγματι, η γωνία είναι ίση με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και . Οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων υπολογίζονται ως τη διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων τέλους και αρχής του διανύσματος.

Παράδειγμα.

Σε ένα επίπεδο, οι συντεταγμένες τριών σημείων δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και .

Λύση.

Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και τις συντεταγμένες των δοσμένων σημείων:

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων σε ένα επίπεδο σε συντεταγμένες:

Απάντηση:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και μπορεί επίσης να υπολογιστεί με θεώρημα συνημιτόνου. Αν αναβάλουμε από το σημείο Οδιανύσματα και , στη συνέχεια από το θεώρημα συνημιτόνου σε ένα τρίγωνο OAVμπορούμε να γράψουμε, που ισοδυναμεί με την ισότητα, από την οποία βρίσκουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων. Για να εφαρμόσουμε τον τύπο που προκύπτει, χρειαζόμαστε μόνο τα μήκη των διανυσμάτων και , τα οποία μπορούν εύκολα να βρεθούν από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και . Ωστόσο, αυτή η μέθοδος πρακτικά δεν χρησιμοποιείται, καθώς το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι ευκολότερο να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Υπολογισμός ορθογωνικής προβολής (ιδία προβολή):

Η προβολή του διανύσματος στον άξονα l είναι ίση με το γινόμενο του διανυσματικού συντελεστή και του συνημιτόνου της γωνίας φ μεταξύ του διανύσματος και του άξονα, δηλ. pr cosφ.

Έγγραφο: Αν φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

Αν φ> (φ≤ ), τότε pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (βλ. Εικ.10)

Αν φ= , τότε pr l = 0 = cos φ.

Συνέπεια: Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι θετική (αρνητική) αν το διάνυσμα σχηματίζει οξεία (αμβλεία) γωνία με τον άξονα και ισούται με μηδέν αν αυτή η γωνία είναι ορθή.

Συνέπεια: Οι προβολές ίσων διανυσμάτων στον ίδιο άξονα είναι ίσες μεταξύ τους.

Υπολογισμός της ορθογώνιας προβολής του αθροίσματος των διανυσμάτων (ιδιότητα προβολής):

Η προβολή του αθροίσματος πολλών διανυσμάτων στον ίδιο άξονα είναι ίση με το άθροισμα των προβολών τους σε αυτόν τον άξονα.

Έγγραφο: Έστω, για παράδειγμα, = + + . Έχουμε pr l =+ =+ + - , δηλ. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (βλ. Εικ.11)

ΡΥΖΙ. έντεκα

Υπολογισμός του γινομένου ενός διανύσματος και ενός αριθμού:

Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό λ, η προβολή του στον άξονα πολλαπλασιάζεται επίσης με αυτόν τον αριθμό, δηλ. pr l (λ* )= λ* pr l .

Απόδειξη: Για λ > 0 έχουμε pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

Όταν λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .

Το ακίνητο ισχύει επίσης όταν

Έτσι, οι γραμμικές πράξεις στα διανύσματα οδηγούν σε αντίστοιχες γραμμικές πράξεις στις προβολές αυτών των διανυσμάτων.

Ορισμός

Ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που περικλείονται μεταξύ δύο ακτίνων που εκπέμπονται από ένα σημείο ονομάζεται επίπεδη γωνία.

Ορισμός

Η γωνία μεταξύ δύοτέμνονται ευθείαείναι η τιμή της μικρότερης επίπεδης γωνίας στη τομή αυτών των γραμμών. Εάν δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε η γωνία μεταξύ τους λαμβάνεται ως μηδέν.

Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών (αν οι επίπεδες γωνίες μετρώνται σε ακτίνια) μπορεί να πάρει τιμές από μηδέν έως $\dfrac(\pi)(2)$.

Ορισμός

Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμώνείναι ένα μέγεθος ίσο με τη γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων ευθειών παράλληλων προς τις τεμνόμενες. Η γωνία μεταξύ των γραμμών $a$ και $b$ συμβολίζεται με $\γωνία (a, b)$.

Η ορθότητα του εισαγόμενου ορισμού προκύπτει από το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα επί επίπεδων γωνιών με παράλληλες πλευρές

Τα μεγέθη δύο κυρτών επίπεδων γωνιών με αντίστοιχα παράλληλες και πανομοιότυπα κατευθυνόμενες πλευρές είναι ίσα.

Απόδειξη

Αν οι γωνίες είναι ευθείες, τότε και οι δύο είναι ίσες με $\pi$. Εάν δεν είναι ξεδιπλωμένα, τότε σχεδιάζουμε ίσα τμήματα $ON=O_1ON_1$ και $OM=O_1M_1$ στις αντίστοιχες πλευρές των γωνιών $\γωνία AOB$ και $\γωνία A_1O_1B_1$.

Το τετράπλευρο $O_1N_1NO$ είναι παραλληλόγραμμο επειδή οι απέναντι πλευρές του $ON$ και $O_1N_1$ είναι ίσες και παράλληλες. Ομοίως, το τετράπλευρο $O_1M_1MO$ ​​είναι ένα παραλληλόγραμμο. Επομένως, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ και $NN_1 \παράλληλο OO_1 \παράλληλο MM_1$, επομένως, $NN_1=MM_1$ και $NN_1 \παράλληλο MM_1$ κατά μεταβατικότητα. Το τετράπλευρο $N_1M_1MN$ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι τα τμήματα $NM$ και $N_1M_1$ είναι ίσα. Τα τρίγωνα $ONM$ και $O_1N_1M_1$ είναι ίσα σύμφωνα με το τρίτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων, που σημαίνει ότι οι αντίστοιχες γωνίες $\γωνία NOM$ και $\γωνία N_1O_1M_1$ είναι ίσες.

Αυτό το υλικό είναι αφιερωμένο σε μια έννοια όπως η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών. Στην πρώτη παράγραφο θα εξηγήσουμε τι είναι και θα το δείξουμε σε εικονογραφήσεις. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε τους τρόπους με τους οποίους μπορείτε να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο αυτής της γωνίας και την ίδια τη γωνία (θα εξετάσουμε χωριστά περιπτώσεις με επίπεδο και τρισδιάστατο χώρο), θα δώσουμε τους απαραίτητους τύπους και θα δείξουμε με παραδείγματα ακριβώς πώς χρησιμοποιούνται στην πράξη.

Για να καταλάβουμε ποια είναι η γωνία που σχηματίζεται όταν τέμνονται δύο ευθείες, πρέπει να θυμόμαστε τον ίδιο τον ορισμό της γωνίας, της καθετότητας και του σημείου τομής.

Ορισμός 1

Καλούμε δύο ευθείες που τέμνονται αν έχουν μία κοινό σημέιο. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο τομής δύο ευθειών.

Κάθε ευθεία διαιρείται από ένα σημείο τομής σε ακτίνες. Και οι δύο ευθείες σχηματίζουν 4 γωνίες, δύο από τις οποίες είναι κάθετες και δύο γειτονικές. Αν γνωρίζουμε το μέτρο ενός από αυτά, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε και τα υπόλοιπα.

Ας πούμε ότι γνωρίζουμε ότι μία από τις γωνίες είναι ίση με α. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία που είναι κατακόρυφη ως προς αυτήν θα είναι επίσης ίση με α. Για να βρούμε τις υπόλοιπες γωνίες, πρέπει να υπολογίσουμε τη διαφορά 180 ° - α. Αν το α είναι ίσο με 90 μοίρες, τότε όλες οι γωνίες θα είναι ορθές. Οι ευθείες που τέμνονται σε ορθή γωνία ονομάζονται κάθετες (ένα ξεχωριστό άρθρο είναι αφιερωμένο στην έννοια της καθετότητας).

Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:

Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του κύριου ορισμού.

Ορισμός 2

Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι το μέτρο της μικρότερης από τις 4 γωνίες που σχηματίζουν αυτές τις δύο ευθείες.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα πρέπει να εξαχθεί από τον ορισμό: το μέγεθος της γωνίας σε αυτή την περίπτωση θα εκφραστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό στο διάστημα (0, 90]. Εάν οι γραμμές είναι κάθετες, τότε η γωνία μεταξύ τους θα είναι σε κάθε περίπτωση ίσο με 90 μοίρες.

Η ικανότητα εύρεσης του μέτρου της γωνίας μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών είναι χρήσιμη για την επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Η μέθοδος λύσης μπορεί να επιλεγεί από διάφορες επιλογές.

Αρχικά, μπορούμε να πάρουμε γεωμετρικές μεθόδους. Αν γνωρίζουμε κάτι για τις συμπληρωματικές γωνίες, τότε μπορούμε να τις συσχετίσουμε με τη γωνία που χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ίσων ή παρόμοιων σχημάτων. Για παράδειγμα, αν γνωρίζουμε τις πλευρές ενός τριγώνου και πρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών στις οποίες βρίσκονται αυτές οι πλευρές, τότε το θεώρημα συνημιτόνου είναι κατάλληλο για τη λύση μας. Αν έχουμε την προϋπόθεση ορθογώνιο τρίγωνο, τότε για τους υπολογισμούς θα χρειαστούμε και γνώσεις ημιτόνου, συνημίτονος και εφαπτομένης γωνίας.

Η μέθοδος συντεταγμένων είναι επίσης πολύ βολική για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου. Ας εξηγήσουμε πώς να το χρησιμοποιήσετε σωστά.

Έχουμε ένα ορθογώνιο (καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων O x y, στο οποίο δίνονται δύο ευθείες γραμμές. Ας τα συμβολίσουμε με τα γράμματα α και β. Οι ευθείες γραμμές μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας κάποιες εξισώσεις. Οι αρχικές γραμμές έχουν σημείο τομής Μ. Πώς να προσδιορίσετε την απαιτούμενη γωνία (ας τη συμβολίσουμε α) μεταξύ αυτών των ευθειών;

Ας ξεκινήσουμε διατυπώνοντας τη βασική αρχή της εύρεσης γωνίας υπό δεδομένες συνθήκες.

Γνωρίζουμε ότι η έννοια της ευθείας γραμμής συνδέεται στενά με έννοιες όπως ένα διάνυσμα κατεύθυνσης και ένα κανονικό διάνυσμα. Αν έχουμε μια εξίσωση μιας συγκεκριμένης ευθείας, μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων από αυτήν. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό για δύο τεμνόμενες ευθείες ταυτόχρονα.

Η γωνία που υποτείνεται από δύο τεμνόμενες ευθείες μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας:

• γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.
• γωνία μεταξύ κανονικών διανυσμάτων.
• τη γωνία μεταξύ του κανονικού διανύσματος της μιας ευθείας και του διανύσματος κατεύθυνσης της άλλης.

Τώρα ας δούμε κάθε μέθοδο ξεχωριστά.

1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ευθεία a με διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x, a y) και μια ευθεία b με διάνυσμα κατεύθυνσης b → (b x, b y). Τώρα ας σχεδιάσουμε δύο διανύσματα a → και b → από το σημείο τομής. Μετά από αυτό θα δούμε ότι το καθένα θα βρίσκεται στη δική του ευθεία. Τότε έχουμε τέσσερις επιλογές για τη σχετική τους διάταξη. Δείτε την εικόνα:

Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων δεν είναι αμβλεία, τότε θα είναι η γωνία που χρειαζόμαστε μεταξύ των τεμνόμενων ευθειών a και b. Εάν είναι αμβλεία, τότε η επιθυμητή γωνία θα είναι ίση με τη γωνία δίπλα στη γωνία a →, b → ^. Έτσι, α = a → , b → ^ εάν a → , b → ^ ≤ 90 ° , και α = 180 ° - a → , b → ^ εάν a → , b → ^ > 90 ° .

Με βάση το γεγονός ότι τα συνημίτονα ίσων γωνιών είναι ίσα, μπορούμε να ξαναγράψουμε τις ισότητες που προκύπτουν ως εξής: cos α = cos a →, b → ^, εάν a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, εάν a →, b → ^ > 90 °.

Στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιήθηκαν τύποι αναγωγής. Ετσι,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Ας γράψουμε τον τελευταίο τύπο με λέξεις:

Ορισμός 3

Το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται από δύο τεμνόμενες ευθείες θα είναι ίσο με το μέτρο συνημίτονος της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής του.

Η γενική μορφή του τύπου για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) μοιάζει με αυτό:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Από αυτό μπορούμε να εξαγάγουμε τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο δεδομένων ευθειών:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Στη συνέχεια, η ίδια η γωνία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Εδώ a → = (a x , a y) και b → = (b x , b y) είναι τα διανύσματα κατεύθυνσης των δεδομένων γραμμών.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος.

Παράδειγμα 1

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, δίδονται δύο τεμνόμενες ευθείες a και b. Μπορούν να περιγραφούν με τις παραμετρικές εξισώσεις x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R και x 5 = y - 6 - 3. Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών.

Λύση

Έχουμε μια παραμετρική εξίσωση στην συνθήκη μας, που σημαίνει ότι για αυτή τη γραμμή μπορούμε να γράψουμε αμέσως τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσής της. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρουμε τις τιμές των συντελεστών για την παράμετρο, δηλ. η ευθεία x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R θα έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (4, 1).

Η δεύτερη ευθεία περιγράφεται χρησιμοποιώντας κανονική εξίσωση x 5 = y - 6 - 3 . Εδώ μπορούμε να πάρουμε τις συντεταγμένες από τους παρονομαστές. Έτσι, αυτή η ευθεία έχει διάνυσμα κατεύθυνσης b → = (5 , - 3) .

Στη συνέχεια, προχωράμε απευθείας στην εύρεση της γωνίας. Για να γίνει αυτό, απλώς αντικαταστήστε τις υπάρχουσες συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων στον παραπάνω τύπο α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Παίρνουμε τα εξής:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Απάντηση: Αυτές οι ευθείες σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.

Μπορούμε να λύσουμε ένα παρόμοιο πρόβλημα βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων. Αν έχουμε μια ευθεία a με κανονικό διάνυσμα n a → = (n a x , n a y) και μια ευθεία b με κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y), τότε η μεταξύ τους γωνία θα είναι ίση με τη γωνία μεταξύ n a → και n b → ή τη γωνία που θα είναι δίπλα στο n a →, n b → ^. Αυτή η μέθοδος φαίνεται στην εικόνα:

Οι τύποι για τον υπολογισμό του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών και αυτής της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των κανονικών διανυσμάτων μοιάζουν με αυτό:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n y + n b y n a x 2 + n y 2 n b x 2 + n b y 2

Εδώ τα n a → και n b → δηλώνουν τα κανονικά διανύσματα δύο δεδομένων γραμμών.

Παράδειγμα 2

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, δίδονται δύο ευθείες γραμμές χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις 3 x + 5 y - 30 = 0 και x + 4 y - 17 = 0. Βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας και το μέγεθος αυτής της ίδιας της γωνίας.

Λύση

Οι αρχικές γραμμές καθορίζονται χρησιμοποιώντας εξισώσεις κανονικών γραμμών της μορφής A x + B y + C = 0. Συμβολίζουμε το κανονικό διάνυσμα ως n → = (A, B). Ας βρούμε τις συντεταγμένες του πρώτου κανονικού διανύσματος για μια ευθεία και ας τις γράψουμε: n a → = (3, 5) . Για τη δεύτερη ευθεία x + 4 y - 17 = 0, το κανονικό διάνυσμα θα έχει συντεταγμένες n b → = (1, 4). Τώρα ας προσθέσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο και ας υπολογίσουμε το σύνολο:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Αν γνωρίζουμε το συνημίτονο μιας γωνίας, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Εφόσον η γωνία α που σχηματίζεται από ευθείες γραμμές δεν είναι αμβλεία, τότε sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Σε αυτή την περίπτωση, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Απάντηση: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Ας αναλύσουμε την τελευταία περίπτωση - βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ ευθειών, αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας και του κανονικού διανύσματος της άλλης.

Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία a έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x , a y) , και η ευθεία b έχει ένα κανονικό διάνυσμα n b → = (n b x , n b y) . Πρέπει να παραμερίσουμε αυτά τα διανύσματα από το σημείο τομής και να εξετάσουμε όλες τις επιλογές για τις σχετικές θέσεις τους. Δείτε στην εικόνα:

Εάν η γωνία μεταξύ των δεδομένων διανυσμάτων δεν είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες, αποδεικνύεται ότι θα συμπληρώσει τη γωνία μεταξύ a και b σε ορθή γωνία.

a → , n b → ^ = 90 ° - α εάν a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Αν είναι μικρότερη από 90 μοίρες, τότε παίρνουμε τα εξής:

a → , n b → ^ > 90 ° , μετά a → , n b → ^ = 90 ° + α

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της ισότητας των συνημιτόνων ίσων γωνιών, γράφουμε:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = αμαρτία α για a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α για a → , n b → ^ > 90 ° .

Ετσι,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^, a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Ας διατυπώσουμε ένα συμπέρασμα.

Ορισμός 4

Για να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών που τέμνονται σε ένα επίπεδο, πρέπει να υπολογίσετε το συντελεστή συνημιτόνων της γωνίας μεταξύ του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και του κανονικού διανύσματος της δεύτερης.

Ας γράψουμε τους απαραίτητους τύπους. Εύρεση του ημιτόνου μιας γωνίας:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εύρεση της ίδιας της γωνίας:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Εδώ a → είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της πρώτης γραμμής και n b → είναι το κανονικό διάνυσμα της δεύτερης.

Παράδειγμα 3

Δύο τεμνόμενες ευθείες δίνονται από τις εξισώσεις x - 5 = y - 6 3 και x + 4 y - 17 = 0. Βρείτε τη γωνία τομής.

Λύση

Παίρνουμε τις συντεταγμένες του οδηγού και του κανονικού διανύσματος από τις δεδομένες εξισώσεις. Αποδεικνύεται a → = (- 5, 3) και n → b = (1, 4). Παίρνουμε τον τύπο α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 και υπολογίζουμε:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Σημειώστε ότι πήραμε τις εξισώσεις από το προηγούμενο πρόβλημα και λάβαμε ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά με διαφορετικό τρόπο.

Απάντηση:α = a r c sin 7 2 34

Ας παρουσιάσουμε έναν άλλο τρόπο για να βρούμε την επιθυμητή γωνία χρησιμοποιώντας τους γωνιακούς συντελεστές δεδομένων ευθειών.

Έχουμε μια ευθεία a, η οποία ορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιώντας την εξίσωση y = k 1 x + b 1, και μια ευθεία b, που ορίζεται ως y = k 2 x + b 2. Αυτές είναι εξισώσεις γραμμών με κλίσεις. Για να βρούμε τη γωνία τομής, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, όπου k 1 και k 2 είναι οι κλίσεις των δεδομένων γραμμών. Για να ληφθεί αυτή η εγγραφή, χρησιμοποιήθηκαν τύποι για τον προσδιορισμό της γωνίας μέσω των συντεταγμένων των κανονικών διανυσμάτων.

Παράδειγμα 4

Υπάρχουν δύο ευθείες που τέμνονται σε ένα επίπεδο, δίνονται με εξισώσεις y = - 3 5 x + 6 και y = - 1 4 x + 17 4 . Υπολογίστε την τιμή της γωνίας τομής.

Λύση

Οι γωνιακοί συντελεστές των ευθειών μας είναι ίσοι με k 1 = - 3 5 και k 2 = - 1 4. Ας τα προσθέσουμε στον τύπο α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 και υπολογίσουμε:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Απάντηση:α = a r c cos 23 2 34

Στα συμπεράσματα αυτής της παραγράφου, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι τύποι για την εύρεση της γωνίας που δίνονται εδώ δεν χρειάζεται να μάθουν από πάνω. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των οδηγών και/ή τα κανονικά διανύσματα δεδομένων γραμμών και να μπορούμε να τις προσδιορίσουμε με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙεξισώσεις. Αλλά είναι καλύτερα να θυμάστε ή να γράψετε τους τύπους για τον υπολογισμό του συνημίτονος μιας γωνίας.

Πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών στο χώρο

Ο υπολογισμός μιας τέτοιας γωνίας μπορεί να περιοριστεί στον υπολογισμό των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσης και στον προσδιορισμό του μεγέθους της γωνίας που σχηματίζεται από αυτά τα διανύσματα. Για τέτοια παραδείγματα, χρησιμοποιείται ο ίδιος συλλογισμός που δώσαμε προηγουμένως.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται σε τρισδιάστατο χώρο. Περιέχει δύο ευθείες α και β με σημείο τομής Μ. Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης, πρέπει να γνωρίζουμε τις εξισώσεις αυτών των γραμμών. Ας συμβολίσουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης a → = (a x , a y , a z) και b → = (b x , b y , b z) . Για να υπολογίσουμε το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Για να βρούμε την ίδια τη γωνία, χρειαζόμαστε αυτόν τον τύπο:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Παράδειγμα 5

Έχουμε μια γραμμή που ορίζεται σε τρισδιάστατο χώρο χρησιμοποιώντας την εξίσωση x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Είναι γνωστό ότι τέμνεται με τον άξονα O z. Υπολογίστε τη γωνία τομής και το συνημίτονο αυτής της γωνίας.

Λύση

Ας υποδηλώσουμε τη γωνία που πρέπει να υπολογιστεί με το γράμμα α. Ας γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης για την πρώτη ευθεία – a → = (1, - 3, - 2) . Για τον άξονα εφαρμογής, μπορούμε να πάρουμε ως οδηγό το διάνυσμα συντεταγμένων k → = (0, 0, 1). Έχουμε λάβει τα απαραίτητα δεδομένα και μπορούμε να τα προσθέσουμε στον επιθυμητό τύπο:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ως αποτέλεσμα, βρήκαμε ότι η γωνία που χρειαζόμαστε θα είναι ίση με a r c cos 1 2 = 45 °.

Απάντηση: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Σε αυτό το μάθημα θα δώσουμε τον ορισμό των συμκατευθυντικών ακτίνων και θα αποδείξουμε το θεώρημα για την ισότητα των γωνιών με τις συμκατευθυντικές πλευρές. Στη συνέχεια, θα δώσουμε τον ορισμό της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων και λοξών γραμμών. Ας εξετάσουμε ποια μπορεί να είναι η γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Στο τέλος του μαθήματος θα λύσουμε αρκετά προβλήματα σχετικά με την εύρεση γωνιών μεταξύ τεμνόμενων ευθειών.

Θέμα: Παραλληλισμός ευθειών και επιπέδων

Μάθημα: Γωνίες με ευθυγραμμισμένες πλευρές. Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή, για παράδειγμα OO 1(Εικ. 1.), κόβει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Αν οι ακτίνες ΟΑΚαι Ο 1 Α 1είναι παράλληλοι και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο, τότε ονομάζονται συν-σκηνοθεσία.

Ακτίνες Ο 2 Α 2Και ΟΑδεν είναι συνκατευθυντικά (Εικ. 1.). Είναι παράλληλα, αλλά δεν βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο.

Εάν οι πλευρές δύο γωνιών είναι ευθυγραμμισμένες, τότε οι γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη

Ας μας δοθούν παράλληλες ακτίνες ΟΑΚαι Ο 1 Α 1και παράλληλες ακτίνες OBΚαι Περίπου 1 σε 1(Εικ. 2.). Δηλαδή έχουμε δύο γωνίες AOBΚαι Α 1 Ο 1 Β 1, του οποίου οι πλευρές βρίσκονται σε ακτίνες συμκατεύθυνσης. Ας αποδείξουμε ότι αυτές οι γωνίες είναι ίσες.

Στην πλευρά της δοκού ΟΑΚαι Ο 1 Α 1επιλέξτε σημεία ΕΝΑΚαι Α'1ώστε τα τμήματα ΟΑΚαι Ο 1 Α 1ήταν ίσοι. Ομοίως, πόντοι ΣΕΚαι ΣΕ 1επιλέξτε έτσι ώστε τα τμήματα OBΚαι Περίπου 1 σε 1ήταν ίσοι.

Θεωρήστε ένα τετράπλευρο Α 1 Ο 1 ΟΑ(Εικ. 3.) ΟΑΚαι Ο 1 Α 1 Α 1 Ο 1 ΟΑ Α 1 Ο 1 ΟΑ OO 1Και ΑΑ 1παράλληλες και ίσες.

Θεωρήστε ένα τετράπλευρο B 1 O 1 OV. Αυτή η τετράπλευρη πλευρά OBΚαι Περίπου 1 σε 1παράλληλες και ίσες. Με βάση παραλληλόγραμμο, τετράπλευρο B 1 O 1 OVείναι παραλληλόγραμμο. Επειδή B 1 O 1 OV- παραλληλόγραμμο, μετά οι πλευρές OO 1Και ΒΒ 1παράλληλες και ίσες.

Και ευθεία ΑΑ 1παράλληλα με τη γραμμή OO 1, και ευθεία ΒΒ 1παράλληλα με τη γραμμή OO 1, σημαίνει ευθεία ΑΑ 1Και ΒΒ 1παράλληλο.

Θεωρήστε ένα τετράπλευρο Β 1 Α 1 ΑΒ. Αυτή η τετράπλευρη πλευρά ΑΑ 1Και ΒΒ 1παράλληλες και ίσες. Με βάση παραλληλόγραμμο, τετράπλευρο Β 1 Α 1 ΑΒείναι παραλληλόγραμμο. Επειδή Β 1 Α 1 ΑΒ- παραλληλόγραμμο, μετά οι πλευρές ΑΒΚαι Α 1 Β 1παράλληλες και ίσες.

Εξετάστε τα τρίγωνα AOBΚαι Α 1 Ο 1 Β 1.Κόμματα ΟΑΚαι Ο 1 Α 1ισάξια στην κατασκευή. Κόμματα OBΚαι Περίπου 1 σε 1είναι επίσης ισάξια στην κατασκευή. Και όπως έχουμε αποδείξει, και οι δύο πλευρές ΑΒΚαι Α 1 Β 1είναι επίσης ίσοι. Τρίγωνα λοιπόν AOBΚαι Α 1 Ο 1 Β 1ίσο σε τρεις πλευρές. Σε ίσα τρίγωνα, ίσες γωνίες βρίσκονται απέναντι από ίσες πλευρές. Οι γωνίες λοιπόν AOBΚαι Α 1 Ο 1 Β 1είναι ίσα, όπως απαιτείται για να αποδειχθεί.

1) Διασταυρούμενες γραμμές.

Αν οι ευθείες τέμνονται, τότε έχουμε τέσσερις διαφορετικές γωνίες. Γωνία μεταξύ δύο ευθειών, ονομάζεται η μικρότερη γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών ΕΝΑΚαι σιας συμβολίσουμε α (Εικ. 4.). Η γωνία α είναι τέτοια ώστε .

Ρύζι. 4. Γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών

2) Διέλευση γραμμών

Αφήστε ίσια ΕΝΑΚαι σιδιασταύρωση. Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ. Μέσα από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕας κάνουμε ένα άμεσο Α'1, παράλληλα με τη γραμμή ΕΝΑ, και ευθεία β 1, παράλληλα με τη γραμμή σι(Εικ. 5.). Απευθείας Α'1Και β 1τέμνονται σε ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ. Γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών Α'1Και β 1, γωνία φ, και ονομάζεται γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Ρύζι. 5. Γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών

Το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το επιλεγμένο σημείο O;Ας διαλέξουμε ένα σημείο Ο 1. Μέσα από το σημείο Ο 1ας κάνουμε ένα άμεσο Α2, παράλληλα με τη γραμμή ΕΝΑ, και ευθεία β 2, παράλληλα με τη γραμμή σι(Εικ. 6.). Γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών Α2Και β 2ας υποδηλώσουμε φ 1. Μετά οι γωνίες φ Και φ 1 -γωνίες με ευθυγραμμισμένες πλευρές. Όπως έχουμε αποδείξει, τέτοιες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι το μέγεθος της γωνίας μεταξύ τεμνόμενων γραμμών δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.

Απευθείας OBΚαι CDπαράλληλο, ΟΑΚαι CDδιασταυρώ γένη. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών ΟΑΚαι CD, Αν:

1) ∠AOB= 40°.

Ας διαλέξουμε ένα σημείο ΜΕ. Περάστε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό CD. Ας πραγματοποιήσουμε CA 1παράλληλο ΟΑ(Εικ. 7.). Μετά η γωνία Ένα 1 CD- γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών ΟΑΚαι CD. Σύμφωνα με το θεώρημα για τις γωνίες με ταυτόχρονες πλευρές, η γωνία Ένα 1 CDίσο με γωνία AOB, δηλαδή 40°.

Ρύζι. 7. Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών

2) ∠AOB= 135°.

Ας κάνουμε την ίδια κατασκευή (Εικ. 8.). Στη συνέχεια, η γωνία μεταξύ των γραμμών διέλευσης ΟΑΚαι CDισούται με 45°, αφού είναι η μικρότερη από τις γωνίες που λαμβάνονται όταν τέμνονται ευθείες CDΚαι CA 1.

3) ∠AOB= 90°.

Ας κάνουμε την ίδια κατασκευή (Εικ. 9.). Τότε όλες οι γωνίες που προκύπτουν όταν τέμνονται οι ευθείες CDΚαι CA 1ίσο με 90°. Η απαιτούμενη γωνία είναι 90°.

1) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός χωρικού τετράπλευρου είναι οι κορυφές ενός παραλληλογράμμου.

Απόδειξη

Ας μας δοθεί ένα χωρικό τετράπλευρο Α Β Γ Δ. Μ,Ν,Κ,μεγάλο- μέση πλευρά B.D.ΕΝΑ Δ.ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ,ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.ανάλογα (Εικ. 10.). Είναι απαραίτητο να το αποδείξουμε MNKL- παραλληλόγραμμο.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο ABD. MN MNπαράλληλο ΑΒκαι ισούται με το μισό.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο αλφάβητο. LК- ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑ. Σύμφωνα με την ιδιότητα της μέσης γραμμής, LКπαράλληλο ΑΒκαι ισούται με το μισό.

ΚΑΙ MN, Και LКπαράλληλο ΑΒ. Που σημαίνει, MNπαράλληλο LКμε το θεώρημα τριών παράλληλων ευθειών.

Το βρίσκουμε σε τετράπλευρο MNKL- πλευρές MNΚαι LКπαράλληλος και ίσος, αφού MNΚαι LКίσο με το μισό ΑΒ. Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο του παραλληλογράμμου, ένα τετράπλευρο MNKL- ένα παραλληλόγραμμο, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

2) Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών ΑΒΚαι CD, εάν η γωνία ΜΝΚ= 135°.

Όπως έχουμε ήδη αποδείξει, MNπαράλληλα με τη γραμμή ΑΒ. ΝΚ- μεσαία γραμμή του τριγώνου ACDκατά ιδιοκτησία, ΝΚπαράλληλο DC. Έτσι, μέσα από το σημείο Νυπάρχουν δύο ευθείες γραμμές MNΚαι ΝΚ, οι οποίες είναι παράλληλες με λοξές γραμμές ΑΒΚαι DCαντίστοιχα. Έτσι, η γωνία μεταξύ των γραμμών MNΚαι ΝΚείναι η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών ΑΒΚαι DC. Μας δίνεται μια αμβλεία γωνία ΜΝΚ= 135°. Γωνία μεταξύ ευθειών MNΚαι ΝΚ- η μικρότερη από τις γωνίες που λαμβάνεται με τομή αυτών των ευθειών, δηλαδή 45°.

Έτσι, κοιτάξαμε γωνίες με πλευρές συμκατευθυντικές και αποδείξαμε την ισότητά τους. Εξετάσαμε τις γωνίες μεταξύ τεμνόμενων και λοξών γραμμών και λύσαμε αρκετά προβλήματα σχετικά με την εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο γραμμών. Στο επόμενο μάθημα θα συνεχίσουμε να λύνουμε προβλήματα και να εξετάζουμε τη θεωρία.

1. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδοση, διορθώθηκε και επεκτάθηκε - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ. : Εγώ θα.

2. Γεωμετρία. 10-11 τάξη: Εγχειρίδιο γενικής παιδείας Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 σελ.: ill.

3. Γεωμετρία. 10η τάξη: Σχολικό εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης με εμβάθυνση και εξειδικευμένη μελέτη των μαθηματικών /Ε. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6η έκδοση, στερεότυπο. - M.: Bustard, 008. - 233 p. :il.

ΣΕ) ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.Και ρε 1 ΣΕ 1.

Ρύζι. 11. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

4. Γεωμετρία. Βαθμοί 10-11: εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (βασικό και εξειδικευμένο επίπεδο) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5η έκδοση, διορθωμένη και επέκταση - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: ill.

Εργασίες 13, 14, 15 σελ. 54