Προετοιμασία για το εξειδικευμένο επίπεδο ενός single κρατική εξέτασημαθηματικά. Χρήσιμα υλικά για την τριγωνομετρία, μεγάλες θεωρητικές βιντεοδιαλέξεις, βίντεο ανάλυση προβλημάτων και επιλογή εργασιών προηγούμενων ετών.

Χρήσιμα υλικά

Συλλογές βίντεο και διαδικτυακά μαθήματα

Τριγωνομετρικοί τύποι

Γεωμετρική απεικόνιση τριγωνομετρικών τύπων

Λειτουργίες τόξου. Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

1. Απαραίτητη θεωρία για την επίλυση προβλημάτων.
2. α) Λύστε την εξίσωση $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, που ανήκουν στο διάστημα$\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2) \right]$.
3. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
4. Λύστε την εξίσωση $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
5. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
6. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
   
7. Λύστε την εξίσωση $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
8. Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
9. 
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \δεξιά)$.
10. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
11. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$.

Ανάλυση εργασιών βίντεο

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \δεξιά]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \δεξιά)$.

α) Λύστε την εξίσωση $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi \δεξιά]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi \δεξιά]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.

Επιλογή εργασιών προηγούμενων ετών

1. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \δεξιά]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2018. Πρώιμο κύμα)
2. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2018. Πρώιμο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
3. α) Λύστε την εξίσωση $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
4. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
5. α) Λύστε την εξίσωση $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
6. α) Λύστε την εξίσωση $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
7. α) Λύστε την εξίσωση $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
   
8. α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
9. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
   β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
10. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
11. α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
12. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
13. 
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
14. 
    
15. α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
16. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
17. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
18. α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
19. α) Λύστε την εξίσωση $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$.
    β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
20. α) Λύστε την εξίσωση $2x\cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
21. α) Λύστε την εξίσωση $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
22. α) Λύστε την εξίσωση $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
23. α) Λύστε την εξίσωση $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
24. α) Λύστε την εξίσωση $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
25. α) Λύστε την εξίσωση $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
26. α) Λύστε την εξίσωση $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
27. α) Λύστε την εξίσωση $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
28. α) Λύστε την εξίσωση $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2017, πρώιμο κύμα)
29. α) Λύστε την εξίσωση $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2016, κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
30. α) Λύστε την εξίσωση $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2016, κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
31. α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ 2016, κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
32. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
33. α) Λύστε την εξίσωση $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
34. α) Λύστε την εξίσωση $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2016, πρώιμο κύμα)
35. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2016, πρώιμο κύμα)
36. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2016, πρώιμο κύμα)
37. α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
38. α) Λύστε την εξίσωση $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
39. α) Λύστε την εξίσωση $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
40. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
41. α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2015, πρώιμο κύμα)
42. α) Λύστε την εξίσωση $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2015, πρώιμο κύμα)
43. α) Λύστε την εξίσωση $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
44. α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
45. α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
46. α) Λύστε την εξίσωση $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (Ενιαία Κρατική Εξέταση 2014, πρώιμο κύμα)
47. α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2013, κύριο κύμα)
48. α) Λύστε την εξίσωση $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
    β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2012, δεύτερο κύμα)

Σκοπός του μαθήματος:

ΕΝΑ) ενισχύουν την ικανότητα επίλυσης απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων;

σι) διδάξτε πώς να επιλέγετε ρίζες τριγωνομετρικών εξισώσεων από ένα δεδομένο διάστημα

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

1. Επικαιροποίηση γνώσεων.

α) Έλεγχος εργασιών για το σπίτι: η τάξη δίνεται για προχωρημένους εργασία για το σπίτι– λύστε την εξίσωση και βρείτε τρόπο να επιλέξετε ρίζες από ένα δεδομένο διάστημα.

1) συν Χ= -0,5, όπου xI [- ]. Απάντηση:.

2) αμαρτία Χ= , όπου xI . Απάντηση: ; .

3) συν 2 Χ= -, όπου xI. Απάντηση:

Οι μαθητές καταγράφουν τη λύση στον πίνακα, άλλοι χρησιμοποιώντας γράφημα, άλλοι χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής.

Αυτή την ώρα μάθημα λειτουργεί προφορικά.

Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

α) tg – αμαρτία + συν + αμαρτία. Απάντηση: 1.

β) 2 τόξο 0 + 3 τόξο 1. Απάντηση: ?

γ) arcsin + arcsin. Απάντηση:.

δ) 5 arctg (-) – arccos (-). Απάντηση:-.

– Ας ελέγξουμε την εργασία σας, ανοίξτε τα τετράδιά σας με τις εργασίες για το σπίτι.

Κάποιοι από εσάς βρήκαν τη λύση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής και άλλοι χρησιμοποιώντας το γράφημα.

2. Συμπέρασμα σχετικά με τρόπους επίλυσης αυτών των εργασιών και δήλωση του προβλήματος, δηλ. επικοινωνία του θέματος και του σκοπού του μαθήματος.

– α) Είναι δύσκολο να λυθεί με τη χρήση επιλογής εάν δοθεί μεγάλο διάστημα.

– β) Γραφική μέθοδοςδεν δίνει ακριβή αποτελέσματα, απαιτεί επαλήθευση και απαιτεί πολύ χρόνο.

– Επομένως, πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον μια ακόμη μέθοδος, η πιο καθολική - ας προσπαθήσουμε να τη βρούμε. Λοιπόν, τι θα κάνουμε σήμερα στην τάξη; (Μάθετε να επιλέγετε τις ρίζες μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης σε ένα δεδομένο διάστημα.)

– Παράδειγμα 1. (Ο μαθητής πηγαίνει στον πίνακα)

cos Χ= -0,5, όπου xI [- ].

Ερώτηση: Τι καθορίζει την απάντηση σε αυτήν την εργασία; (Από γενική λύσηεξισώσεις Ας γράψουμε τη λύση γενική εικόνα). Η λύση είναι γραμμένη στον πίνακα

x = + 2?k, όπου k R.

– Ας γράψουμε αυτή τη λύση με τη μορφή συνόλου:

– Κατά τη γνώμη σας, σε ποια σημειογραφία της λύσης είναι βολικό να επιλέξετε ρίζες στο διάστημα; (από το δεύτερο λήμμα). Αλλά αυτή είναι και πάλι μια μέθοδος επιλογής. Τι πρέπει να γνωρίζουμε για να λάβουμε τη σωστή απάντηση; (Πρέπει να γνωρίζετε τις τιμές του k).

(Ας φτιάξουμε μαθηματικό μοντέλονα βρω κ).

αφού kI Z, τότε k = 0, επομένως Χ= =	Από αυτή την ανισότητα είναι σαφές ότι δεν υπάρχουν ακέραιες τιμές του k.

Συμπέρασμα:Για να επιλέξετε ρίζες από ένα δεδομένο διάστημα κατά την επίλυση μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης, πρέπει:

1. να λύσει μια εξίσωση της μορφής αμαρτία x = α, cos x = αΕίναι πιο βολικό να γράψουμε τις ρίζες της εξίσωσης ως δύο σειρές ριζών.
2. να λύσει εξισώσεις της φόρμας ταν x = α, ctg x = ασημειωσε γενικός τύποςρίζες.
3. δημιουργήστε ένα μαθηματικό μοντέλο για κάθε λύση στη φόρμα διπλή ανισότητακαι βρείτε την ακέραια τιμή της παραμέτρου k ή n.
4. αντικαταστήστε αυτές τις τιμές στον ριζικό τύπο και υπολογίστε τις.

3. Ενοποίηση.

Λύστε τα παραδείγματα Νο. 2 και Νο. 3 από την εργασία στο σπίτι χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που προκύπτει. Δύο μαθητές εργάζονται στον πίνακα ταυτόχρονα και ακολουθεί έλεγχος της εργασίας.

ΕΝΑ)Λύστε την εξίσωση 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

σι) \αριστερά[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \δεξιά].

Δείξε λύση

Λύση

ΕΝΑ)Ανοίγοντας τις αγκύλες και μετακινώντας όλους τους όρους μέσα αριστερή πλευρά, παίρνουμε την εξίσωση 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Λαμβάνοντας υπόψη ότι \cos x \neq 0, ο όρος 2 \sin x μπορεί να αντικατασταθεί από 2 tan x \cos x, λαμβάνουμε την εξίσωση 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,που ομαδοποιώντας μπορεί να αναχθεί στη μορφή (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, μαύρισμα x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

σι)Χρησιμοποιώντας τον κύκλο αριθμών, επιλέξτε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \αριστερά[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \δεξιά].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Απάντηση

ΕΝΑ) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

σι) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Κατάσταση

ΕΝΑ)Λύστε την εξίσωση (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

σι)Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Δείξε λύση

Λύση

ΕΝΑ) ODZ: \begin(περιπτώσεις) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(περιπτώσεις)

Η αρχική εξίσωση στο ODZ είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(πίνακας)\δεξιά.

Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση. Για να γίνει αυτό θα κάνουμε μια αντικατάσταση \cos 4x=t, t \σε [-1; 1].Τότε \sin^24x=1-t^2. Παίρνουμε:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, βρίσκουμε λύσεις που ικανοποιούν το ODZ.

Το σύμβολο «+» σηματοδοτεί το 1ο και 3ο τέταρτο, στα οποία tg x>0.

Παίρνουμε: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

σι)Ας βρούμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \αριστερά(0;\,\frac(3\pi )2\δεξιά].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Απάντηση

ΕΝΑ) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

σι) \πι; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ΕΝΑ)Λύστε την εξίσωση: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

σι)Καταγράψτε όλες τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Δείξε λύση

Λύση

ΕΝΑ)Επειδή \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,Οτι \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Που σημαίνει, δεδομένη εξίσωσηείναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x=\cos ^22x, η οποία, με τη σειρά της, είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Αλλά \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)Και

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, οπότε η εξίσωση γίνεται

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Τότε είτε 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, είτε 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Επίλυση της πρώτης εξίσωσης ως τετραγωνική εξίσωσησε σχέση με το \cos x, παίρνουμε:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Επομένως είτε \cos x=1 είτε \cos x=-\frac12.Αν \cos x=1, τότε x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Αν \cos x=-\frac12,Οτι x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi, s \in \mathbb Z.

Ομοίως, λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε είτε \cos x=-1 είτε \cos x=\frac12.Αν \cos x=-1, τότε οι ρίζες x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Αν \cos x=\frac12,Οτι x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Ας συνδυάσουμε τις λύσεις που προέκυψαν:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

σι)Ας επιλέξουμε τις ρίζες που εμπίπτουν σε ένα δεδομένο διάστημα χρησιμοποιώντας έναν κύκλο αριθμών.

Παίρνουμε: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi )3.

Απάντηση

ΕΝΑ) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

σι) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ΕΝΑ)Λύστε την εξίσωση 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

σι)Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\δεξιά).

Δείξε λύση

Λύση

ΕΝΑ) 1. Σύμφωνα με τον τύπο μείωσης, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης θα είναι τέτοιες τιμές του x τέτοιες ώστε \cos x \neq 0 και tan x \neq -1. Ας μετατρέψουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Παίρνουμε την εξίσωση: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

σημειώσε ότι \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),οπότε η εξίσωση γίνεται: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Από εδώ \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Μετασχηματίστε το \sin x+\cos x χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής και τον τύπο του αθροίσματος των συνημιτόνων: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Από εδώ \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.Που σημαίνει, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

ή x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Να γιατί x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

ή x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Οι τιμές του x που βρέθηκαν ανήκουν στον τομέα ορισμού.

σι)Ας μάθουμε πρώτα πού πέφτουν οι ρίζες της εξίσωσης σε k=0 και t=0. Αυτοί θα είναι αριθμοί ανάλογα a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5Και b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Ας αποδείξουμε τη βοηθητική ανισότητα:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Πραγματικά, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Σημειώστε επίσης ότι \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Που σημαίνει \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Από τις ανισότητες (1) Με την ιδιότητα συνημιτόνου τόξου παίρνουμε:

τόξο 1

0

Από εδώ \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

Επίσης, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

Για k=-1 και t=-1 λαμβάνουμε τις ρίζες της εξίσωσης a-2\pi και b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).Εν -2\pi

2\pi Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι ρίζες ανήκουν στο δεδομένο διάστημα \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Για άλλες τιμές των k και t, οι ρίζες της εξίσωσης δεν ανήκουν στο δεδομένο διάστημα.

Πράγματι, αν k\geqslant 1 και t\geqslant 1, τότε οι ρίζες είναι μεγαλύτερες από 2\pi. Αν k\leqslant -2 και t\leqslant -2, τότε οι ρίζες είναι μικρότερες -\frac(7\pi )2.

Απάντηση

ΕΝΑ) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

σι) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ΕΝΑ)Λύστε την εξίσωση \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

σι)Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα ;

Δείξε λύση

Λύση

ΕΝΑ)Ας μετατρέψουμε την εξίσωση:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

σι)Βρίσκουμε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο.

Το υποδεικνυόμενο διάστημα περιέχει έναν μόνο αριθμό \frac\pi 2.

Απάντηση

ΕΝΑ) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

σι) \frac\pi 2.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση 2017. Επίπεδο προφίλ." Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

δεν περιλαμβάνεται στο DZ.

Που σημαίνει, \sin x \neq 1.

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν παράγοντα (\sin x-1),διαφορετικό από το μηδέν. Παίρνουμε την εξίσωση \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),ή εξίσωση 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Εφαρμόζοντας τον τύπο αναγωγής στην αριστερή πλευρά και τον τύπο αναγωγής στη δεξιά πλευρά, λαμβάνουμε την εξίσωση 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Αυτή η εξίσωση είναι με αντικατάσταση \cos x=t,Οπου -1 \leqslant t \leqslant 1μειώστε το στο τετράγωνο: 2t^2+t-1=0,των οποίων οι ρίζες t_1=-1Και t_2=\frac12.Επιστρέφοντας στη μεταβλητή x, παίρνουμε \cos x = \frac12ή \cos x=-1,που x=\frac \pi 3+2\pi m, m\in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

σι)Ας λύσουμε τις ανισότητες

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, Μ, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\αριστερά [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί στην περιοχή \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Αυτή η ανισότητα ικανοποιείται από k=-1 και μετά x=-\pi.

Απάντηση

ΕΝΑ) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, Μ, n, k \in \mathbb Z;

σι) -\πι .

Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσω να εξηγήσω 2 τρόπους επιλέγοντας ρίζες σε μια τριγωνομετρική εξίσωση: χρησιμοποιώντας ανισώσεις και χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Ας προχωρήσουμε κατευθείαν σε ένα ενδεικτικό παράδειγμα και θα καταλάβουμε πώς λειτουργούν τα πράγματα.

Α) Λύστε την εξίσωση sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα [-7Pi/2; -2 Pi]

Ας λύσουμε το σημείο α.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αναγωγής για sine sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cosx - 1 = 0

Cosx = 1/sqrt(2)

Cosx = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Ας λύσουμε το σημείο β.

1) Επιλογή ριζών με χρήση ανισοτήτων

Εδώ όλα γίνονται απλά, αντικαθιστούμε τις ρίζες που προκύπτουν στο διάστημα που μας δίνεται [-7Pi/2; -2Pi], βρείτε ακέραιες τιμές για n.

7Pi/2 μικρότερο ή ίσο με Pi/2 + Pin μικρότερο ή ίσο με -2Pi

Αμέσως χωρίζουμε τα πάντα με το Pi

7/2 μικρότερο ή ίσο με 1/2 + n μικρότερο ή ίσο με -2

7/2 - 1/2 μικρότερο ή ίσο με n μικρότερο ή ίσο με -2 - 1/2

4 μικρότερο ή ίσο με n μικρότερο ή ίσο με -5/2

Οι ακέραιοι n σε αυτό το διάστημα είναι -4 και -3. Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες που ανήκουν σε αυτό το διάστημα θα είναι Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Ομοίως κάνουμε δύο ακόμη ανισότητες

7Pi/2 μικρότερο ή ίσο με Pi/4 + 2Pin μικρότερο ή ίσο με -2Pi
-15/8 μικρότερο ή ίσο με n μικρότερο ή ίσο με -9/8

Δεν υπάρχουν ολόκληρα n σε αυτό το διάστημα

7Pi/2 μικρότερο ή ίσο με -Pi/4 + 2Pin μικρότερο ή ίσο με -2Pi
-13/8 μικρότερο ή ίσο με n μικρότερο ή ίσο με -7/8

Ένας ακέραιος n σε αυτό το διάστημα είναι -1. Αυτό σημαίνει ότι η επιλεγμένη ρίζα σε αυτό το διάστημα είναι -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Άρα η απάντηση στο σημείο β: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Επιλογή ριζών με χρήση τριγωνομετρικού κύκλου

Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, πρέπει να κατανοήσετε πώς λειτουργεί αυτός ο κύκλος. Θα προσπαθήσω να εξηγήσω με απλή γλώσσα πώς το καταλαβαίνω αυτό. Νομίζω ότι στα σχολεία, κατά τη διάρκεια των μαθημάτων της άλγεβρας, το θέμα αυτό εξηγούνταν πολλές φορές με έξυπνα λόγια του δασκάλου, στα σχολικά βιβλία υπήρχαν πολύπλοκες διατυπώσεις. Προσωπικά, το καταλαβαίνω ως έναν κύκλο που μπορεί να περιηγηθεί άπειρες φορές, αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι οι συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτόνου είναι περιοδικές.

Ας γυρίσουμε αριστερόστροφα

Ας πάμε γύρω 2 φορές αριστερόστροφα

Ας πάμε γύρω 1 φορά δεξιόστροφα (οι τιμές θα είναι αρνητικές)

Ας επιστρέψουμε στην ερώτησή μας, πρέπει να επιλέξουμε ρίζες στο διάστημα [-7Pi/2; -2 Pi]

Για να φτάσετε στους αριθμούς -7Pi/2 και -2Pi πρέπει να περιηγηθείτε στον κύκλο αριστερόστροφα δύο φορές. Για να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης σε αυτό το διάστημα, πρέπει να υπολογίσετε και να αντικαταστήσετε.

Θεωρήστε x = Pi/2 + Pin. Τι θα πρέπει να είναι περίπου το n για το x να είναι κάπου σε αυτό το εύρος; Αντικαθιστούμε, ας πούμε -2, παίρνουμε Pi/2 - 2Pi = -3Pi/2, προφανώς αυτό δεν περιλαμβάνεται στο μεσοδιάστημά μας, οπότε παίρνουμε λιγότερο από -3, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, αυτό είναι κατάλληλο, ας προσπαθήσουμε ξανά -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, επίσης κατάλληλο.

Συλλογιζόμενοι ομοίως για τα Pi/4 + 2Pin και -Pi/4 + 2Pin, βρίσκουμε μια άλλη ρίζα -9Pi/4.

Σύγκριση δύο μεθόδων.

Η πρώτη μέθοδος (χρησιμοποιώντας ανισότητες) είναι πολύ πιο αξιόπιστη και πολύ πιο εύκολα κατανοητή, αλλά αν ασχολείστε πραγματικά με τον τριγωνομετρικό κύκλο και τη δεύτερη μέθοδο επιλογής, τότε η επιλογή των ριζών θα είναι πολύ πιο γρήγορη, μπορείτε να εξοικονομήσετε περίπου 15 λεπτά στην εξέταση .

Εργασία Νο. 1

Η λογική είναι απλή: θα κάνουμε όπως κάναμε πριν, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι πλέον οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν πιο σύνθετο όρισμα!

Αν λύναμε μια εξίσωση της μορφής:

Στη συνέχεια θα γράψουμε την εξής απάντηση:

Ή (από)

Αλλά τώρα ο ρόλος μας παίζεται από αυτή την έκφραση:

Τότε μπορούμε να γράψουμε:

Στόχος μας μαζί σας είναι να βεβαιωθούμε ότι η αριστερή πλευρά στέκεται απλά, χωρίς «ακαθαρσίες»!

Ας τα ξεφορτωθούμε σταδιακά!

Αρχικά, ας αφαιρέσουμε τον παρονομαστή στο: για να το κάνουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε την ισότητά μας με:

Τώρα ας το ξεφορτωθούμε διαιρώντας και τα δύο μέρη:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τα οκτώ:

Η παράσταση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί ως 2 σειρές λύσεων (κατ' αναλογία με μια τετραγωνική εξίσωση, όπου είτε προσθέτουμε είτε αφαιρούμε τη διάκριση)

Πρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα! Είναι σαφές ότι πρέπει να τακτοποιήσουμε.

Ας δούμε πρώτα το πρώτο επεισόδιο:

Είναι σαφές ότι αν πάρουμε, τότε ως αποτέλεσμα θα λάβουμε θετικούς αριθμούς, αλλά δεν μας ενδιαφέρουν.

Άρα πρέπει να το πάρεις αρνητικό. Ας είναι.

Όταν η ρίζα θα είναι στενότερη:

Και πρέπει να βρούμε το μεγαλύτερο αρνητικό!! Αυτό σημαίνει ότι το να πηγαίνεις προς την αρνητική κατεύθυνση δεν έχει πλέον νόημα εδώ. Και η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα για αυτή τη σειρά θα είναι ίση με.

Ας δούμε τώρα τη δεύτερη σειρά:

Και πάλι αντικαθιστούμε: , τότε:

Δεν ενδιαφέρομαι!

Τότε δεν έχει νόημα να αυξηθεί άλλο! Ας το μειώσουμε! Αφήστε τότε:

Ταιριάζει!

Ας είναι. Επειτα

Τότε - η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα!

Απάντηση:

Εργασία Νο. 2

Επιλύουμε ξανά, ανεξάρτητα από το μιγαδικό συνημίτονο:

Τώρα εκφράζουμε ξανά στα αριστερά:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές

Χωρίστε και τις δύο πλευρές

Το μόνο που μένει είναι να το μετακινήσετε προς τα δεξιά, αλλάζοντας το πρόσημά του από μείον σε συν.

Παίρνουμε πάλι 2 σειρές ρίζες, η μία με και η άλλη με.

Πρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη αρνητική ρίζα. Ας δούμε το πρώτο επεισόδιο:

Είναι σαφές ότι θα πάρουμε την πρώτη αρνητική ρίζα στο, θα είναι ίση και θα είναι η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα σε 1 σειρά.

Για τη δεύτερη σειρά

Η πρώτη αρνητική ρίζα θα ληφθεί επίσης στο και θα είναι ίση με. Αφού, τότε είναι η μεγαλύτερη αρνητική ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση: .

Εργασία Νο. 3

Λύνουμε, ανεξάρτητα από το όρισμα μιγαδικής εφαπτομένης.

Τώρα, δεν φαίνεται περίπλοκο, σωστά;

Όπως και πριν, εκφράζουμε στην αριστερή πλευρά:

Λοιπόν, αυτό είναι υπέροχο, υπάρχει μόνο μία σειρά ριζών εδώ! Ας ξαναβρούμε το μεγαλύτερο αρνητικό.

Είναι ξεκάθαρο ότι βγαίνει αν το βάλεις κάτω. Και αυτή η ρίζα είναι ίση.

Απάντηση:

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας τα παρακάτω προβλήματα.

Εργασίες για το σπίτι ή 3 εργασίες που πρέπει να λυθούν ανεξάρτητα.

1. Λύστε την εξίσωση.
   
2. Λύστε την εξίσωση.
   Στην απάντηση στην πι-σι-θ-η-μικρότερη-δυνατή ρίζα.
3. Λύστε την εξίσωση.
   Στην απάντηση στην πι-σι-θ-η-μικρότερη-δυνατή ρίζα.

Ετοιμος? Ας ελέγξουμε. Δεν θα περιγράψω λεπτομερώς ολόκληρο τον αλγόριθμο λύσης· μου φαίνεται ότι έχει ήδη λάβει αρκετή προσοχή παραπάνω.

Λοιπόν, είναι όλα σωστά; Ω, αυτά τα άσχημα ιγμόρεια, υπάρχει πάντα κάποιο πρόβλημα μαζί τους!

Λοιπόν, τώρα μπορείτε να λύσετε απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις!

Δείτε τις λύσεις και τις απαντήσεις:

Εργασία Νο. 1

Ας εκφραστούμε

Η μικρότερη θετική ρίζα προκύπτει αν βάλουμε, από τότε

Απάντηση:

Εργασία Νο. 2

Η μικρότερη θετική ρίζα λαμβάνεται στο.

Θα είναι ίσο.

Απάντηση: .

Εργασία Νο. 3

Πότε πάρουμε, πότε έχουμε.

Απάντηση: .

Αυτή η γνώση θα σας βοηθήσει να λύσετε πολλά προβλήματα που θα συναντήσετε στις εξετάσεις.

Εάν κάνετε αίτηση για βαθμολογία "5", τότε απλά πρέπει να προχωρήσετε στην ανάγνωση του άρθρου για μεσαίο επίπεδοπου θα αφιερωθεί στην επίλυση πιο σύνθετων τριγωνομετρικών εξισώσεων (εργασία Γ1).

ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Σε αυτό το άρθρο θα περιγράψω επίλυση πιο σύνθετων τριγωνομετρικών εξισώσεωνκαι πώς να επιλέξετε τις ρίζες τους. Εδώ θα βασιστώ στα ακόλουθα θέματα:

1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις για αρχάριο επίπεδο (βλ. παραπάνω).

Πιο πολύπλοκες τριγωνομετρικές εξισώσεις αποτελούν τη βάση για προχωρημένα προβλήματα. Απαιτούν τόσο την επίλυση της ίδιας της εξίσωσης σε γενική μορφή όσο και την εύρεση των ριζών αυτής της εξίσωσης που ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο δεδομένο διάστημα.

Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων καταλήγει σε δύο δευτερεύουσες εργασίες:

1. Επίλυση της εξίσωσης
2. Επιλογή ρίζας

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το δεύτερο δεν απαιτείται πάντα, αλλά στα περισσότερα παραδείγματα εξακολουθεί να απαιτείται η επιλογή. Αλλά αν δεν απαιτείται, τότε μπορούμε να σας συμπονέσουμε - αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αρκετά περίπλοκη από μόνη της.

Η εμπειρία μου στην ανάλυση προβλημάτων C1 δείχνει ότι συνήθως χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες.

Τέσσερις κατηγορίες εργασιών αυξημένης πολυπλοκότητας (πρώην C1)

1. Εξισώσεις που ανάγονται σε παραγοντοποίηση.
2. Οι εξισώσεις μειώνονται σε μορφή.
3. Εξισώσεις που λύνονται αλλάζοντας μια μεταβλητή.
4. Εξισώσεις που απαιτούν πρόσθετη επιλογή ριζών λόγω παραλογισμού ή παρονομαστή.

Για να το πω απλά: αν σε πιάσουν μία από τις εξισώσεις των τριών πρώτων τύπων, τότε θεωρήστε τον εαυτό σας τυχερό. Για αυτούς, κατά κανόνα, πρέπει επιπλέον να επιλέξετε ρίζες που ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.

Εάν συναντήσετε μια εξίσωση τύπου 4, τότε είστε λιγότερο τυχεροί: πρέπει να την ταλαιπωρήσετε περισσότερο και πιο προσεκτικά, αλλά πολύ συχνά δεν απαιτεί πρόσθετη επιλογή ριζών. Ωστόσο, θα αναλύσω αυτό το είδος εξισώσεων στο επόμενο άρθρο, και αυτό θα αφιερώσω στην επίλυση εξισώσεων των τριών πρώτων τύπων.

Εξισώσεις που ανάγονται σε παραγοντοποίηση

Το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να θυμάστε για να λύσετε αυτό το είδος εξίσωσης είναι

Όπως δείχνει η πρακτική, κατά κανόνα, αυτή η γνώση είναι επαρκής. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1. Η εξίσωση ανάγεται σε παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τους τύπους αναγωγής και ημιτονίου διπλής γωνίας

• Λύστε την εξίσωση
• Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή

Εδώ, όπως υποσχέθηκα, οι τύποι μείωσης λειτουργούν:

Τότε η εξίσωσή μου θα μοιάζει με αυτό:

Τότε η εξίσωσή μου θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Ένας κοντόφθαλμος μαθητής μπορεί να πει: τώρα θα μειώσω και τις δύο πλευρές, θα βρω την πιο απλή εξίσωση και θα απολαύσω τη ζωή! Και θα κάνει οικτρά λάθος!

ΘΥΜΑΣΤΕ: ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΠΟΤΕ ΝΑ ΜΕΙΩΣΕΤΕ ΚΑΙ ΤΙΣ ΔΥΟ ΠΛΕΥΡΕΣ ΜΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΜΙΑ ΑΓΝΩΣΤΗ! ΕΤΣΙ ΧΑΝΕΙΣ ΤΙΣ ΡΙΖΕΣ ΣΟΥ!

Τι να κάνουμε λοιπόν; Ναι, είναι απλό, μετακινήστε τα πάντα στη μία πλευρά και αφαιρέστε τον κοινό παράγοντα:

Λοιπόν, το συνυπολογίσαμε σε παράγοντες, γρήγορα! Τώρα ας αποφασίσουμε:

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες:

Και το δεύτερο:

Αυτό ολοκληρώνει το πρώτο μέρος του προβλήματος. Τώρα πρέπει να επιλέξετε τις ρίζες:

Το κενό έχει ως εξής:

Ή μπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής:

Λοιπόν, ας πάρουμε τις ρίζες:

Αρχικά, ας δουλέψουμε με το πρώτο επεισόδιο (και είναι πιο απλό, το λιγότερο!)

Δεδομένου ότι το μεσοδιάστημά μας είναι εντελώς αρνητικό, δεν χρειάζεται να παίρνουμε μη αρνητικές, θα εξακολουθούν να δίνουν μη αρνητικές ρίζες.

Ας το πάρουμε, λοιπόν - είναι πολύ, δεν χτυπάει.

Ας είναι, λοιπόν - δεν το ξαναχτύπησα.

Μια ακόμη προσπάθεια - τότε - ναι, το κατάλαβα! Η πρώτη ρίζα βρέθηκε!

Ξαναπυροβολώ: μετά ξαναχτυπώ!

Λοιπόν, άλλη μια φορά: : - αυτή είναι ήδη μια πτήση.

Άρα από την πρώτη σειρά υπάρχουν 2 ρίζες που ανήκουν στο διάστημα: .

Δουλεύουμε με τη δεύτερη σειρά (χτίζουμε στην εξουσία σύμφωνα με τον κανόνα):

Υπερβολές!

Μου λείπει πάλι!

Μου λείπει πάλι!

Το έπιασα!

Πτήση!

Έτσι, το μεσοδιάστημά μου έχει τις ακόλουθες ρίζες:

Αυτός είναι ο αλγόριθμος που θα χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε όλα τα άλλα παραδείγματα. Ας εξασκηθούμε μαζί με ένα ακόμη παράδειγμα.

Παράδειγμα 2. Η εξίσωση ανάγεται σε παραγοντοποίηση χρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής

• Λύστε την εξίσωση

Λύση:

Και πάλι οι περιβόητες φόρμουλες μείωσης:

Μην προσπαθήσετε να μειώσετε ξανά!

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες:

Και το δεύτερο:

Τώρα πάλι η αναζήτηση για ρίζες.

Θα ξεκινήσω με το δεύτερο επεισόδιο, ξέρω ήδη τα πάντα για αυτό από το προηγούμενο παράδειγμα! Κοιτάξτε και βεβαιωθείτε ότι οι ρίζες που ανήκουν στο διάστημα είναι οι εξής:

Τώρα το πρώτο επεισόδιο και είναι πιο απλό:

Εάν - κατάλληλο

Αν είναι και αυτό καλά

Αν είναι ήδη πτήση.

Τότε οι ρίζες θα είναι οι εξής:

Ανεξάρτητη εργασία. 3 εξισώσεις.

Λοιπόν, σας είναι ξεκάθαρη η τεχνική; Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν φαίνεται πλέον τόσο δύσκολη; Στη συνέχεια, λύστε γρήγορα μόνοι σας τα ακόλουθα προβλήματα και, στη συνέχεια, θα λύσουμε άλλα παραδείγματα:

1. Λύστε την εξίσωση
   Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από το διάστημα.
2. Λύστε την εξίσωση
   Υποδείξτε τις ρίζες της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή
3. Λύστε την εξίσωση
   Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται ανάμεσά τους.

Εξίσωση 1.

Και πάλι ο τύπος μείωσης:

Πρώτη σειρά ριζών:

Δεύτερη σειρά ριζών:

Ξεκινάμε την επιλογή για το κενό

Απάντηση: , .

Εξίσωση 2. Έλεγχος ανεξάρτητης εργασίας.

Αρκετά δύσκολη ομαδοποίηση σε παράγοντες (θα χρησιμοποιήσω τον τύπο ημιτόνου διπλής γωνίας):

τότε ή

Αυτή είναι μια γενική λύση. Τώρα πρέπει να επιλέξουμε τις ρίζες. Το πρόβλημα είναι ότι δεν μπορούμε να πούμε την ακριβή τιμή μιας γωνίας της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με ένα τέταρτο. Επομένως, δεν μπορώ απλώς να απαλλαγώ από το συνημίτονο τόξου - κρίμα!

Αυτό που μπορώ να κάνω είναι να καταλάβω ότι έτσι, έτσι, τότε.

Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα: interval:

Λοιπόν, μέσα από επίπονες αναζητήσεις καταλήξαμε στο απογοητευτικό συμπέρασμα ότι η εξίσωσή μας έχει μία ρίζα στο υποδεικνυόμενο διάστημα: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Εξίσωση 3: Δοκιμή ανεξάρτητης εργασίας.

Μια τρομακτική εξίσωση. Ωστόσο, μπορεί να λυθεί πολύ απλά εφαρμόζοντας τον τύπο διπλής γωνίας ημιτόνου:

Ας το μειώσουμε κατά 2:

Ας ομαδοποιήσουμε τον πρώτο όρο με τον δεύτερο και τον τρίτο με τον τέταρτο και ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες:

Είναι σαφές ότι η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες, και τώρα ας εξετάσουμε τη δεύτερη:

Γενικά, επρόκειτο να σταθώ λίγο αργότερα στην επίλυση τέτοιων εξισώσεων, αλλά αφού προέκυψε, δεν υπάρχει τίποτα να κάνω, πρέπει να το λύσω...

Εξισώσεις της μορφής:

Αυτή η εξίσωση λύνεται διαιρώντας και τις δύο πλευρές με:

Έτσι, η εξίσωσή μας έχει μια μοναδική σειρά ριζών:

Πρέπει να βρούμε αυτά που ανήκουν στο διάστημα: .

Ας φτιάξουμε ένα τραπέζι ξανά, όπως έκανα νωρίτερα:

Απάντηση: .

Οι εξισώσεις μειώνονται στη μορφή:

Λοιπόν, τώρα ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο δεύτερο μέρος των εξισώσεων, ειδικά επειδή έχω ήδη χάσει τα φασόλια για το τι αποτελείται η λύση των τριγωνομετρικών εξισώσεων ενός νέου τύπου. Αξίζει όμως να επαναλάβουμε ότι η εξίσωση είναι της μορφής

Λύθηκε με διαίρεση και των δύο πλευρών με συνημίτονο:

1. Λύστε την εξίσωση
   Υποδείξτε τις ρίζες της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή.
2. Λύστε την εξίσωση
   Να αναφέρετε τις ρίζες της εξίσωσης που βρίσκονται ανάμεσά τους.

Παράδειγμα 1.

Το πρώτο είναι αρκετά απλό. Μετακινηθείτε προς τα δεξιά και εφαρμόστε τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας:

Ναι! Εξίσωση της μορφής: . Χωρίζω και τα δύο μέρη κατά

Κάνουμε root screening:

Χάσμα:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2.

Όλα είναι επίσης αρκετά ασήμαντα: ας ανοίξουμε τις αγκύλες στα δεξιά:

Βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:

Ημίτονο διπλής γωνίας:

Τελικά παίρνουμε:

Έλεγχος ρίζας: μεσοδιάστημα.

Απάντηση: .

Λοιπόν, πώς σας αρέσει η τεχνική, δεν είναι πολύ περίπλοκη; Ελπίζω όχι. Μπορούμε να κάνουμε αμέσως μια επιφύλαξη: στην καθαρή τους μορφή, οι εξισώσεις που μειώνονται αμέσως σε εξίσωση για την εφαπτομένη είναι αρκετά σπάνιες. Τυπικά, αυτή η μετάβαση (διαίρεση με συνημίτονο) είναι μόνο μέρος ενός πιο περίπλοκου προβλήματος. Εδώ είναι ένα παράδειγμα για να εξασκηθείτε:

• Λύστε την εξίσωση
• Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή.

Ας ελέγξουμε:

Η εξίσωση μπορεί να λυθεί αμέσως, αρκεί να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με:

Έλεγχος ρίζας:

Απάντηση: .

Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, δεν έχουμε ακόμη συναντήσει εξισώσεις του τύπου που μόλις εξετάσαμε. Ωστόσο, είναι πολύ νωρίς για να το ονομάσουμε μέρα: υπάρχει ακόμη ένα «στρώμα» εξισώσεων που δεν έχουμε αναλύσει. Ετσι:

Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με αλλαγή μεταβλητών

Όλα είναι διαφανή εδώ: κοιτάμε προσεκτικά την εξίσωση, την απλοποιούμε όσο το δυνατόν περισσότερο, κάνουμε μια αντικατάσταση, τη λύνουμε, κάνουμε μια αντίστροφη αντικατάσταση! Στα λόγια όλα είναι πολύ εύκολα. Ας δούμε στην πράξη:

Παράδειγμα.

• Λύστε την εξίσωση: .
• Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή.

Λοιπόν, εδώ μας προτείνεται η ίδια η αντικατάσταση!

Τότε η εξίσωσή μας θα μετατραπεί σε αυτό:

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες:

Και το δεύτερο έχει ως εξής:

Τώρα ας βρούμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα

Απάντηση: .

Ας δούμε μαζί ένα ελαφρώς πιο περίπλοκο παράδειγμα:

• Λύστε την εξίσωση
• Να υποδείξετε τις ρίζες της εξίσωσης, που βρίσκονται από πάνω μεταξύ τους.

Εδώ η αντικατάσταση δεν είναι άμεσα ορατή, επιπλέον, δεν είναι πολύ εμφανής. Ας σκεφτούμε πρώτα: τι μπορούμε να κάνουμε;

Μπορούμε, για παράδειγμα, να φανταστούμε

Και ταυτόχρονα

Τότε η εξίσωσή μου θα πάρει τη μορφή:

Και τώρα προσοχή, εστίαση:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:

Ξαφνικά εσύ και εγώ έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση συγγενή! Ας κάνουμε μια αντικατάσταση και μετά παίρνουμε:

Η εξίσωση έχει τις εξής ρίζες:

Δυσάρεστη δεύτερη σειρά ριζών, αλλά τίποτα δεν μπορεί να γίνει! Επιλέγουμε ρίζες στο διάστημα.

Πρέπει επίσης να το σκεφτούμε

Από τότε και μετά

Απάντηση:

Για να το ενισχύσετε αυτό πριν λύσετε μόνοι σας τα προβλήματα, ακολουθεί μια άλλη άσκηση για εσάς:

• Λύστε την εξίσωση
• Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται ανάμεσά τους.

Εδώ πρέπει να έχετε τα μάτια σας ανοιχτά: τώρα έχουμε παρονομαστές που μπορεί να είναι μηδέν! Επομένως, πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί στις ρίζες!

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να αναδιατάξω την εξίσωση ώστε να μπορώ να κάνω μια κατάλληλη αντικατάσταση. Δεν μπορώ να σκεφτώ τίποτα καλύτερο τώρα από το να ξαναγράψω την εφαπτομένη ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο:

Τώρα θα μετακινηθώ από συνημίτονο σε ημίτονο χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα:

Και τέλος, θα φέρω τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή:

Τώρα μπορώ να προχωρήσω στην εξίσωση:

Αλλά στο (δηλαδή στο).

Τώρα όλα είναι έτοιμα για αντικατάσταση:

Τότε ή

Ωστόσο, σημειώστε ότι εάν, τότε ταυτόχρονα!

Ποιος υποφέρει από αυτό; Το πρόβλημα με την εφαπτομένη είναι ότι δεν ορίζεται όταν το συνημίτονο είναι ίσο με μηδέν (συμβαίνει διαίρεση με το μηδέν).

Έτσι, οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

Τώρα κοσκινίζουμε τις ρίζες στο διάστημα:

	- ταιριάζει
	- υπερβολή

Έτσι, η εξίσωσή μας έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα, και είναι ίση.

Βλέπετε: η εμφάνιση ενός παρονομαστή (ακριβώς όπως η εφαπτομένη, οδηγεί σε ορισμένες δυσκολίες με τις ρίζες! Εδώ πρέπει να είστε πιο προσεκτικοί!).

Λοιπόν, εσείς και εγώ έχουμε σχεδόν τελειώσει την ανάλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων· απομένουν πολύ λίγα - να λύσετε μόνοι σας δύο προβλήματα. Εδώ είναι.

1. Λύστε την εξίσωση
   Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που βρίσκονται πάνω από την τομή.
2. Λύστε την εξίσωση
   Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης, που βρίσκονται πάνω από την τομή.

Αποφασισμένος? Δεν είναι πολύ δύσκολο; Ας ελέγξουμε:

1. Εργαζόμαστε σύμφωνα με τους τύπους μείωσης:

   Αντικαταστήστε στην εξίσωση:

   Ας ξαναγράψουμε τα πάντα μέσω συνημίτονων για να κάνουμε ευκολότερη την αντικατάσταση:

   Τώρα είναι εύκολο να κάνετε μια αντικατάσταση:

   Είναι σαφές ότι είναι μια ξένη ρίζα, αφού η εξίσωση δεν έχει λύσεις. Επειτα:

   Ψάχνουμε τις ρίζες που χρειαζόμαστε στο μεσοδιάστημα

   Απάντηση: .

2. 
   Εδώ η αντικατάσταση είναι άμεσα ορατή:

   Τότε ή

   	- ταιριάζει!	- ταιριάζει!
   	- ταιριάζει!	- ταιριάζει!
   	- πολλά απο!	- επίσης πολύ!

   Απάντηση:

Λοιπόν, αυτό είναι τώρα! Αλλά η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων δεν τελειώνει εκεί· μένουμε πίσω στις πιο δύσκολες περιπτώσεις: όταν οι εξισώσεις περιέχουν παραλογισμό ή διάφορα είδη «σύνθετων παρονομαστών». Θα εξετάσουμε πώς να επιλύσουμε τέτοιες εργασίες σε ένα άρθρο για προχωρημένο επίπεδο.

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Εκτός από τις τριγωνομετρικές εξισώσεις που συζητήθηκαν στα δύο προηγούμενα άρθρα, θα εξετάσουμε μια άλλη κατηγορία εξισώσεων που απαιτούν ακόμη πιο προσεκτική ανάλυση. Αυτά τα τριγωνομετρικά παραδείγματα περιέχουν είτε παραλογισμό είτε παρονομαστή, γεγονός που καθιστά την ανάλυσή τους πιο δύσκολη. Ωστόσο, μπορεί κάλλιστα να συναντήσετε αυτές τις εξισώσεις στο Μέρος Γ του εξεταστικού χαρτιού. Ωστόσο, κάθε σύννεφο έχει μια ασημένια επένδυση: για τέτοιες εξισώσεις, κατά κανόνα, δεν τίθεται πλέον το ερώτημα ποια από τις ρίζες του ανήκει σε ένα δεδομένο διάστημα. Ας μην χτυπάμε γύρω από το θάμνο, αλλά ας πάμε κατευθείαν σε τριγωνομετρικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.

Λύστε την εξίσωση και βρείτε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα.

Λύση:

Έχουμε έναν παρονομαστή που δεν πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν! Τότε η επίλυση αυτής της εξίσωσης είναι ίδια με την επίλυση του συστήματος

Ας λύσουμε καθεμία από τις εξισώσεις:

Και τώρα το δεύτερο:

Ας δούμε τώρα τη σειρά:

Είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή δεν μας ταιριάζει, αφού σε αυτήν την περίπτωση ο παρονομαστής μας μηδενίζεται (δείτε τον τύπο για τις ρίζες της δεύτερης εξίσωσης)

Αν, τότε όλα είναι εντάξει, και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν! Τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι εξής: , .

Τώρα επιλέγουμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα.

	- δεν είναι κατάλληλο	- ταιριάζει
	- ταιριάζει	- ταιριάζει
	υπερβολή	υπερβολή

Τότε οι ρίζες είναι οι εξής:

Βλέπετε, ακόμη και η εμφάνιση μιας μικρής διαταραχής στη μορφή του παρονομαστή επηρέασε σημαντικά τη λύση της εξίσωσης: απορρίψαμε μια σειρά από ρίζες που ακύρωναν τον παρονομαστή. Τα πράγματα μπορεί να γίνουν ακόμα πιο περίπλοκα αν συναντήσετε τριγωνομετρικά παραδείγματα που είναι παράλογα.

Παράδειγμα 2.

Λύστε την εξίσωση:

Λύση:

Λοιπόν, τουλάχιστον δεν χρειάζεται να αφαιρέσετε τις ρίζες, και αυτό είναι καλό! Ας λύσουμε πρώτα την εξίσωση, ανεξάρτητα από τον παραλογισμό:

Λοιπόν, αυτό είναι όλο; Όχι, δυστυχώς, θα ήταν πολύ εύκολο! Πρέπει να θυμόμαστε ότι μόνο μη αρνητικοί αριθμοί μπορούν να εμφανίζονται κάτω από τη ρίζα. Επειτα:

Η λύση αυτής της ανισότητας είναι:

Τώρα μένει να μάθουμε αν μέρος των ριζών της πρώτης εξίσωσης κατέληξε ακούσια εκεί που δεν ισχύει η ανισότητα.

Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ξανά τον πίνακα:

	: , Αλλά	Οχι!
		Ναί!
		Ναί!

Έτσι, μια από τις ρίζες μου «έπεσε έξω»! Αποδεικνύεται αν το βάλεις κάτω. Τότε η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Βλέπετε, η ρίζα θέλει ακόμα περισσότερη προσοχή! Ας το κάνουμε πιο περίπλοκο: ας έχω τώρα μια τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα μου.

Παράδειγμα 3.

Όπως και πριν: πρώτα θα λύσουμε το καθένα ξεχωριστά, και μετά θα σκεφτούμε τι κάναμε.

Τώρα η δεύτερη εξίσωση:

Τώρα το πιο δύσκολο πράγμα είναι να μάθουμε εάν οι αρνητικές τιμές λαμβάνονται κάτω από την αριθμητική ρίζα αν αντικαταστήσουμε εκεί τις ρίζες από την πρώτη εξίσωση:

Ο αριθμός πρέπει να γίνει κατανοητός ως ακτίνια. Εφόσον ένα ακτίνιο είναι περίπου μοίρες, τότε τα ακτίνια είναι της τάξης των μοιρών. Αυτή είναι η γωνία του δεύτερου δεκαλέπτου. Ποιο είναι το πρόσημο του συνημιτόνου του δεύτερου τετάρτου; Μείον. Τι γίνεται με το sine; Συν. Τι μπορούμε να πούμε λοιπόν για την έκφραση:

Είναι λιγότερο από το μηδέν!

Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Τώρα ήρθε η ώρα.

Ας συγκρίνουμε αυτόν τον αριθμό με το μηδέν.

Η συνεφαπτομένη είναι μια συνάρτηση που μειώνεται σε 1 τέταρτο (όσο μικρότερο είναι το όρισμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η συνεφαπτομένη). ακτίνια είναι περίπου μοίρες. Ταυτοχρονα

αφού, τότε, και επομένως
,

Απάντηση: .

Θα μπορούσε να γίνει πιο περίπλοκο; Σας παρακαλούμε! Θα είναι πιο δύσκολο εάν η ρίζα εξακολουθεί να είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση και το δεύτερο μέρος της εξίσωσης είναι και πάλι μια τριγωνομετρική συνάρτηση.

Όσο περισσότερα τριγωνομετρικά παραδείγματα τόσο το καλύτερο, δείτε παρακάτω:

Παράδειγμα 4.

Η ρίζα δεν είναι κατάλληλη λόγω του περιορισμένου συνημιτόνου

Τώρα το δεύτερο:

Ταυτόχρονα, εξ ορισμού ρίζας:

Πρέπει να θυμόμαστε τον μοναδιαίο κύκλο: δηλαδή, εκείνα τα τέταρτα όπου το ημίτονο είναι μικρότερο από το μηδέν. Τι είναι αυτά τα τρίμηνα; Τρίτη και τέταρτη. Τότε θα μας ενδιαφέρουν εκείνες οι λύσεις της πρώτης εξίσωσης που βρίσκονται στο τρίτο ή τέταρτο τρίμηνο.

Η πρώτη σειρά δίνει ρίζες που βρίσκονται στη διασταύρωση του τρίτου και του τέταρτου τετάρτου. Η δεύτερη σειρά - διαμετρικά αντίθετη από αυτήν - δημιουργεί ρίζες που βρίσκονται στο όριο του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου. Επομένως, αυτή η σειρά δεν είναι κατάλληλη για εμάς.

Απάντηση:,

Και ξανα τριγωνομετρικά παραδείγματα με "δύσκολο παραλογισμό". Όχι μόνο έχουμε ξανά την τριγωνομετρική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα, αλλά τώρα είναι και στον παρονομαστή!

Παράδειγμα 5.

Λοιπόν, τίποτα δεν μπορεί να γίνει - κάνουμε όπως πριν.

Τώρα εργαζόμαστε με τον παρονομαστή:

Δεν θέλω να λύσω την τριγωνομετρική ανισότητα, οπότε θα κάνω κάτι πονηρό: θα πάρω και θα αντικαταστήσω τη σειρά των ριζών μου στην ανισότητα:

Αν - είναι ζυγό, τότε έχουμε:

αφού όλες οι γωνίες θέασης βρίσκονται στο τέταρτο τέταρτο. Και πάλι το ιερό ερώτημα: ποιο είναι το σημάδι του ημιτονοειδούς στο τέταρτο τέταρτο; Αρνητικός. Μετά η ανισότητα

Αν -περίεργο, τότε:

Σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία; Αυτή είναι η γωνία του δεύτερου δεκαλέπτου. Τότε όλες οι γωνίες είναι και πάλι οι γωνίες του δεύτερου δεκαλέπτου. Το ημίτονο εκεί είναι θετικό. Ακριβώς αυτό που χρειάζεστε! Η σειρά λοιπόν:

Ταιριάζει!

Αντιμετωπίζουμε τη δεύτερη σειρά ριζών με τον ίδιο τρόπο:

Αντικαθιστούμε στην ανισότητα μας:

Αν - ακόμη, τότε

Κόρνερ πρώτου δεκαλέπτου. Το ημίτονο εκεί είναι θετικό, που σημαίνει ότι η σειρά είναι κατάλληλη. Τώρα αν - περίεργο, τότε:

ταιριάζει επίσης!

Λοιπόν, τώρα γράφουμε την απάντηση!

Απάντηση:

Λοιπόν, αυτή ήταν ίσως η πιο εντατική περίπτωση εργασίας. Τώρα σας προτείνω προβλήματα να λύσετε μόνοι σας.

Εκπαίδευση

1. Λύστε και βρείτε όλες τις ρίζες της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα.

Λύσεις:

1. 
   Πρώτη εξίσωση:
   ή
   ODZ της ρίζας:

   Δεύτερη εξίσωση:

   Επιλογή ριζών που ανήκουν στο διάστημα

   Απάντηση:

Ή
ή
Αλλά

Ας σκεφτούμε: . Αν - ακόμη, τότε
- δεν χωράει!
Εάν - περίεργο, : - κατάλληλο!
Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας έχει την ακόλουθη σειρά ριζών:
ή
Επιλογή ριζών στο διάστημα:

	- δεν είναι κατάλληλο	- ταιριάζει
	- ταιριάζει	- πολλά απο
	- ταιριάζει	πολλά απο

Απάντηση: , .

Ή
Αφού, τότε η εφαπτομένη δεν ορίζεται. Αυτή τη σειρά ριζών την απορρίπτουμε αμέσως!

Δεύτερο μέρος:

Παράλληλα, σύμφωνα με τον DZ απαιτείται ότι

Ελέγχουμε τις ρίζες που βρέθηκαν στην πρώτη εξίσωση:

Εάν το σημάδι:

Γωνίες πρώτου τετάρτου όπου η εφαπτομένη είναι θετική. Δεν χωράει!
Εάν το σημάδι:

Κόρνερ τέταρτου δεκαλέπτου. Εκεί η εφαπτομένη είναι αρνητική. Ταιριάζει. Γράφουμε την απάντηση:

Απάντηση: , .

Εξετάσαμε μαζί σύνθετα τριγωνομετρικά παραδείγματα σε αυτό το άρθρο, αλλά θα πρέπει να λύσετε μόνοι σας τις εξισώσεις.

ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΥΠΟΛΟΙ

Τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο βρίσκεται αυστηρά κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων:

Ο πρώτος τρόπος είναι η χρήση τύπων.

Ο δεύτερος τρόπος είναι μέσω του τριγωνομετρικού κύκλου.

Σας επιτρέπει να μετράτε γωνίες, να βρίσκετε τα ημιτόνια, τα συνημίτονά τους κ.λπ.