Παρέχει δεδομένα αναφοράς για εκθετικη συναρτηση- βασικές ιδιότητες, γραφήματα και τύπους. Εξετάζονται τα ακόλουθα ζητήματα: τομέας ορισμού, σύνολο τιμών, μονοτονία, αντίστροφη συνάρτηση, παράγωγος, ολοκλήρωμα, επέκταση σε σειρά ισχύοςκαι αναπαράσταση με χρήση μιγαδικών αριθμών.
Ορισμός
Εκθετικη συναρτησηείναι μια γενίκευση του γινομένου n αριθμών ίσου με a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
στο σύνολο των πραγματικών αριθμών x:
y (x) = a x.
Εδώ το a είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός, ο οποίος καλείται βάση της εκθετικής συνάρτησης.
Μια εκθετική συνάρτηση με βάση a ονομάζεται επίσης εκθέτης στη βάση α.
Η γενίκευση γίνεται ως εξής.
Για φυσικό x = 1, 2, 3,...
, η εκθετική συνάρτηση είναι το γινόμενο x παραγόντων:
.
Επιπλέον, έχει ιδιότητες (1,5-8) (), οι οποίες προκύπτουν από τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των αριθμών. Για μηδενικές και αρνητικές τιμές ακεραίων, η εκθετική συνάρτηση προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τύπους (1.9-10). Για κλασματικές τιμές x = m/n ρητοί αριθμοί, , προσδιορίζεται από τον τύπο (1.11). Για τα πραγματικά, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται ως όριο ακολουθίας:
,
όπου είναι μια αυθαίρετη ακολουθία ρητών αριθμών που συγκλίνει στο x: .
Με αυτόν τον ορισμό, η εκθετική συνάρτηση ορίζεται για όλα τα , και ικανοποιεί τις ιδιότητες (1,5-8), όπως για το φυσικό x.
Μια αυστηρή μαθηματική διατύπωση του ορισμού μιας εκθετικής συνάρτησης και της απόδειξης των ιδιοτήτων της δίνεται στη σελίδα «Ορισμός και απόδειξη των ιδιοτήτων μιας εκθετικής συνάρτησης».
Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης
Η εκθετική συνάρτηση y = a x έχει τις ακόλουθες ιδιότητες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ():
(1.1)
καθορισμένο και συνεχές, για , για όλους ;
(1.2)
για ένα ≠ 1
έχει πολλές έννοιες.
(1.3)
αυστηρά αυξάνει σε, μειώνεται αυστηρά σε,
είναι σταθερή στο ?
(1.4)
στο ;
στο ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Άλλες χρήσιμες φόρμουλες.
.
Τύπος μετατροπής σε εκθετική συνάρτηση με διαφορετική βάση εκθετών:
Όταν b = e, λαμβάνουμε την έκφραση της εκθετικής συνάρτησης μέσω της εκθετικής:
Ιδιωτικές αξίες
, , , , .
Το σχήμα δείχνει γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης
y (x) = a x
για τέσσερις τιμές βάσεις πτυχίων: α = 2
, α = 8
, α = 1/2
και α = 1/8
. Μπορεί να φανεί ότι για ένα > 1
η εκθετική συνάρτηση αυξάνεται μονότονα. Όσο μεγαλύτερη είναι η βάση του βαθμού α, τόσο ισχυρότερη είναι η ανάπτυξη. Στο 0
< a < 1
η εκθετική συνάρτηση μειώνεται μονότονα. Όσο μικρότερος είναι ο εκθέτης α, τόσο μεγαλύτερη είναι η μείωση.
Ανεβαίνοντας, κατεβαίνοντας
Η εκθετική συνάρτηση για είναι αυστηρά μονότονη και επομένως δεν έχει ακρότατα. Οι κύριες ιδιότητές του παρουσιάζονται στον πίνακα.
| y = a x , a > 1 | y = τσεκούρι, 0 < a < 1 | |
| Τομέα | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Εύρος τιμών | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Μονότονη ομιλία | αυξάνεται μονοτονικά | μειώνεται μονοτονικά |
| Μηδενικά, y = 0 | Οχι | Οχι |
| Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Αντίστροφη συνάρτηση
Το αντίστροφο μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση α είναι ο λογάριθμος προς τη βάση α.
Αν τότε
.
Αν τότε
.
Διαφοροποίηση εκθετικής συνάρτησης
Για να διαφοροποιήσετε μια εκθετική συνάρτηση, η βάση της πρέπει να μειωθεί στον αριθμό e, να εφαρμόσετε τον πίνακα των παραγώγων και τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία.
Για να γίνει αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα των λογαρίθμων
και ο τύπος από τον πίνακα παραγώγων:
.
Ας δοθεί μια εκθετική συνάρτηση:
.
Το φέρνουμε στη βάση e:
Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων. Για να το κάνετε αυτό, εισάγετε τη μεταβλητή
Επειτα
Από τον πίνακα των παραγώγων έχουμε (αντικαταστήστε τη μεταβλητή x με z):
.
Εφόσον είναι σταθερά, η παράγωγος του z ως προς το x είναι ίση με
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
.
Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
.
Παράγωγο νης τάξης:
.
Εξαγωγή τύπων > > >
Ένα παράδειγμα διαφοροποίησης μιας εκθετικής συνάρτησης
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
y = 3 5 x
Λύση
Ας εκφράσουμε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης μέσω του αριθμού e.
3 = e ln 3
Επειτα
.
Εισαγάγετε μια μεταβλητή
.
Επειτα
Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
.
Επειδή η 5ln 3είναι σταθερά, τότε η παράγωγος του z ως προς το x είναι ίση με:
.
Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, έχουμε:
.
Απάντηση
Αναπόσπαστο
Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών
Εξετάστε τη συνάρτηση μιγαδικός αριθμός z:
φά (z) = a z
όπου z = x + iy; Εγώ 2 = - 1
.
Ας εκφράσουμε τη μιγαδική σταθερά a με βάση το μέτρο r και το όρισμα φ:
a = r e i φ
Επειτα
.
Το όρισμα φ δεν ορίζεται μοναδικά. Γενικά
φ = φ 0 + 2 πn,
όπου n είναι ακέραιος αριθμός. Επομένως η συνάρτηση f (z)επίσης δεν είναι σαφές. Συχνά εξετάζεται η κύρια σημασία του
.
Επέκταση σειράς
.
Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.
Λειτουργίες και οι ιδιότητές τους
Η συνάρτηση είναι μια από τις πιο σημαντικές μαθηματικές έννοιες.Λειτουργία Ονομάζουν μια τέτοια εξάρτηση της μεταβλητής y από τη μεταβλητή x στην οποία κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y.
Μεταβλητός Χπου ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ή διαφωνία.Μεταβλητός στοπου ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το λένε και αυτόη μεταβλητή y είναι συνάρτηση της μεταβλητής x. Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής καλούνταιτιμές συνάρτησης.
Αν η εξάρτηση της μεταβλητήςστο από μεταβλητήΧ είναι μια συνάρτηση, τότε μπορεί να γραφτεί εν συντομία ως εξής:y= φά( Χ ). (Ανάγνωση:στο ισοδυναμείφά απόΧ .) Σύμβολοφά( Χ) συμβολίζει την τιμή της συνάρτησης που αντιστοιχεί στην τιμή του ορίσματος ίση μεΧ .
Όλες οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής μορφήςτομέας μιας συνάρτησης . Όλες οι τιμές που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή σχηματίζονταιεύρος λειτουργίας .
Εάν μια συνάρτηση καθορίζεται από έναν τύπο και το πεδίο ορισμού της δεν προσδιορίζεται, τότε ο τομέας ορισμού της συνάρτησης θεωρείται ότι αποτελείται από όλες τις τιμές του ορίσματος για το οποίο ο τύπος έχει νόημα.
Μέθοδοι για τον καθορισμό μιας συνάρτησης:
1.αναλυτική μέθοδος (η συνάρτηση καθορίζεται με χρήση μαθηματικού τύπου.
2.πίνακας μέθοδος (η συνάρτηση καθορίζεται με χρήση πίνακα)
3.περιγραφική μέθοδος (η συνάρτηση καθορίζεται με λεκτική περιγραφή)
4. γραφική μέθοδος (η συνάρτηση καθορίζεται με τη χρήση γραφήματος).
Γράφημα συνάρτησης ονομάστε το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου συντεταγμένων, των οποίων τα τετμημένα είναι ίσα με τις τιμές του ορίσματος και τις τεταγμένες - αντίστοιχες τιμές συνάρτησης.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
1. Συναρτήσεις μηδενικά
Μηδέν μιας συνάρτησης είναι η τιμή του ορίσματος στο οποίο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν.
2. Διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης
Τα διαστήματα σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης είναι σύνολα τιμών ορισμάτων στα οποία οι τιμές της συνάρτησης είναι μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές.
3. Λειτουργία αύξησης (μείωσης).
Αυξάνεται σε κάποιο διάστημα συνάρτηση είναι μια συνάρτηση για την οποία υψηλότερη τιμήτο όρισμα από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
Λειτουργία y = φά ( Χ ) που ονομάζεται αυξανόμενη στο διάστημα (ΕΝΑ; σι ), αν για κανένα Χ 1 Και Χ 2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστεΧ 1 < Χ 2 , η ανισότητα είναι αλήθειαφά ( Χ 1 )< φά ( Χ 2 ).
Φθίνων σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, μια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση για την οποία μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Λειτουργία στο = φά ( Χ ) που ονομάζεται μειώνεταιστο διάστημα (ΕΝΑ; σι ) , εάν υπάρχει Χ 1 Και Χ 2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστε Χ 1 < Χ 2 , η ανισότητα είναι αλήθειαφά ( Χ 1 )> φά ( Χ 2 ).
4. Ζυγή (περιττή) συνάρτηση
Ομοιόμορφη λειτουργία - μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την προέλευση και για οποιαδήποτεΧ από το πεδίο ορισμού την ισότηταφά (- Χ ) = φά ( Χ ) . Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την τεταγμένη.
Για παράδειγμα, y = x 2 - ομοιόμορφη λειτουργία.
Περιττή συνάρτηση- μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς την προέλευση και για οποιαδήποτε Χαπό τον τομέα του ορισμού η ισότητα είναι αληθής φά (- Χ ) = - φά (Χ ). Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την προέλευση.
Για παράδειγμα: y = x 3 - περιττή συνάρτηση .
Λειτουργία γενική εικόναδεν είναι ζυγός ή περιττός (y = x 2 +x ).
Ιδιότητες ορισμένων συναρτήσεων και τα γραφικά τους
1. Γραμμική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση της μορφής , Οπου κ Και σι – αριθμοί.
Το πεδίο ορισμού μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ένα σύνολοR πραγματικούς αριθμούς.
Γράφημα γραμμικής συνάρτησηςστο = kx + σι ( κ ≠ 0) είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0;σι ) και παράλληλα με τη γραμμήστο = kx .
Ευθεία, όχι παράλληλα με τον άξοναOU, είναι η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης.
Ιδιότητες γραμμικής συνάρτησης.
1. Πότε κ > 0 λειτουργία στο = kx + σι
2. Πότε κ < 0 λειτουργία y = kx + σι μειώνεται στον τομέα του ορισμού.
y = kx + σι ( κ ≠ 0 ) είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλ. ένα μάτσοR πραγματικούς αριθμούς.
Στο κ = 0 σύνολο τιμών συνάρτησηςy = kx + σι αποτελείται από έναν αριθμόσι .
3. Πότε σι = 0 και κ = 0 η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Στο κ = 0 γραμμική συνάρτηση έχει τη μορφήy = σι και στο σι ≠ 0 είναι άρτιο.
Στο κ = 0 και σι = 0 γραμμική συνάρτηση έχει τη μορφήy = 0 και είναι και ζυγός και περιττός.
Γράφημα γραμμικής συνάρτησηςy = σι είναι μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0; σι ) και παράλληλα με τον άξοναΩ.Σημειώστε ότι όταν σι = 0 γράφημα συνάρτησηςy = σι συμπίπτουν με τον άξονα Ω .
5. Πότε κ > 0 έχουμε αυτό στο> 0, εάν και στο< 0 αν . Στο κ < 0 έχουμε ότι y > 0 ανκαι στο< 0, если .
2. Λειτουργία y = Χ 2
Rπραγματικούς αριθμούς.
Δίνοντας μια μεταβλητήΧ πολλές τιμές από τον τομέα της συνάρτησης και τον υπολογισμό των αντίστοιχων τιμώνστοσύμφωνα με τον τύπο y = Χ 2 , απεικονίζουμε το γράφημα της συνάρτησης.
Γράφημα μιας συνάρτησης y = Χ 2 που ονομάζεται παραβολή.
Ιδιότητες της συνάρτησης y = x 2 .
1. Αν Χ= 0, λοιπόν y = 0, δηλ. μια παραβολή έχει άξονες συντεταγμένων κοινό σημέιο(0; 0) - προέλευση.
2. Αν x ≠ 0 , Οτι στο > 0, δηλ. όλα τα σημεία της παραβολής, εκτός από την αρχή, βρίσκονται πάνω από τον άξονα x.
3. Σύνολο τιμών συνάρτησηςστο = Χ 2 είναι η συνάρτηση spanστο = Χ 2 μειώνεται.
Χ
3.Λειτουργία
Ο τομέας αυτής της συνάρτησης είναι η συνάρτηση spany = | Χ | μειώνεται.
7. Χαμηλότερη τιμήη λειτουργία παίρνει στο σημείοΧ,το ισούται με 0. Η μεγαλύτερη αξίαδεν υπάρχει.
6. Λειτουργία
Πεδίο λειτουργίας: 
.
Εύρος λειτουργιών: 
.
Το γράφημα είναι υπερβολή.
1. Συναρτήσεις μηδενικά.
y ≠ 0, χωρίς μηδενικά.
2. Διαστήματα σταθερότητας σημείων,
Αν κ > 0, λοιπόν στο> 0 στο Χ > 0; στο < 0 при Χ < О.
Αν κ < 0, то στο < 0 при Χ > 0; στο> 0 στο Χ < 0.
3. Διαστήματα αύξησης και μείωσης.
Αν κ
> 0, τότε η συνάρτηση μειώνεται ως .
Αν κ
< 0, то функция возрастает при
.
4. Ζυγή (περιττή) συνάρτηση.
Η συνάρτηση είναι περίεργη.
Τετράγωνο τριώνυμο
Εξίσωση της φόρμας τσεκούρι 2 + bx + ντο = 0, όπου ένα , σιΚαι Με - μερικοί αριθμοί, καια≠ 0, κλήθηκε τετράγωνο.
Σε μια τετραγωνική εξίσωσητσεκούρι 2 + bx + ντο = 0 συντελεστής ΕΝΑπου ονομάζεται ο πρώτος συντελεστής σι - δεύτεροι συντελεστές, με - ελεύθερο μέλος.
Φόρμουλα ρίζας τετραγωνική εξίσωσηέχει τη μορφή:
.
Η έκφραση ονομάζεται διακριτική τετραγωνική εξίσωση και συμβολίζεται μερε .
Αν ρε = 0, τότε υπάρχει μόνο ένας αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση τσεκούρι 2 + bx + ντο = 0. Ωστόσο, συμφωνήσαμε να πούμε ότι σε αυτή την περίπτωση η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες, και ο ίδιος ο αριθμός που ονομάζεται διπλή ρίζα.
Αν ρε < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Αν ρε > 0, τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
Έστω μια τετραγωνική εξίσωσητσεκούρι
2
+
bx
+
ντο
= 0. Αφού α≠
0, μετά διαιρώντας και τα δύο μέρη δεδομένη εξίσωσηεπίΕΝΑ,
παίρνουμε την εξίσωση 
. πιστεύοντας
Και ,
φτάνουμε στην εξίσωση 
, στην οποία ο πρώτος συντελεστής είναι ίσος με 1. Μια τέτοια εξίσωση ονομάζεταιδεδομένος.
Ο τύπος για τις ρίζες της παραπάνω τετραγωνικής εξίσωσης είναι:
.
Εξισώσεις της φόρμας
ΕΝΑ Χ 2 + bx = 0, τσεκούρι 2 + s = 0, ΕΝΑ Χ 2 = 0
λέγονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις λύνονται με παραγοντοποίηση της αριστερής πλευράς της εξίσωσης.
Το θεώρημα του Βιέτα .
Το άθροισμα των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με το λόγο του δεύτερου συντελεστή προς τον πρώτο, λαμβανόμενο με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ο λόγος του ελεύθερου όρου προς τον πρώτο συντελεστή, δηλ.
Θεώρημα αντιστροφής.
Αν το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε αριθμώνΧ 1 Και Χ 2 ίσο με , και το γινόμενο τους είναι ίσο, τότε αυτοί οι αριθμοί είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσηςΩ 2 + σι x + c = 0.
Λειτουργία της φόρμας Ω 2 + σι x + cπου ονομάζεται τετράγωνο τριώνυμο. Οι ρίζες αυτής της συνάρτησης είναι οι ρίζες της αντίστοιχης τετραγωνικής εξίσωσηςΩ 2 + σι x + c = 0.
Εάν η διάκριση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε αυτό το τριώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
Ω 2 + σι x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )
Οπου Χ 1 Και Χ 2 - ρίζες του τριωνύμου
Εάν η διάκριση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι μηδέν, τότε αυτό το τριώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
Ω 2 + σι x + c = a(x-x 1 ) 2
Οπου Χ 1 - η ρίζα του τριωνύμου.
Για παράδειγμα, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .
Εξίσωση της φόρμας Ω 4 + σι Χ 2 + s= 0 καλείται διτετραγωνικό. Χρήση αντικατάστασης μεταβλητής χρησιμοποιώντας τον τύποΧ 2 = y ανάγεται σε τετραγωνική εξίσωσηΕΝΑ y 2 + με + γ = 0.
Τετραγωνική λειτουργία
Τετραγωνική λειτουργία είναι μια συνάρτηση που μπορεί να γραφτεί από έναν τύπο της φόρμαςy = τσεκούρι 2 + bx + ντο , Οπου Χ - ανεξάρτητη μεταβλητή,ένα , σι Και ντο – κάποιοι αριθμοί καιένα ≠ 0.
Οι ιδιότητες της συνάρτησης και ο τύπος του γραφήματος της καθορίζονται κυρίως από τις τιμές του συντελεστήένα και διάκριση.
Ιδιότητες τετραγωνικής συνάρτησης
Τομέα:R;
Εύρος τιμών:
στο ΕΝΑ > 0 [- ρε/(4 ένα); ∞)
στο ΕΝΑ < 0 (-∞; - ρε/(4 ένα)];
Ζυγά μονά:
στο σι = 0 άρτια συνάρτηση
στο σι ≠ Η συνάρτηση 0 δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή
στο ρε> 0 δύο μηδενικά: ,
στο ρε= 0 ένα μηδέν:
στο ρε < 0 нулей нет
Σημάδι διαστήματα σταθερότητας:
αν a > 0, ρε> 0, λοιπόν 
αν a > 0, ρε= 0, λοιπόν
μιαν a > 0, ρε < 0, то
αν ένα< 0,
ρε> 0, λοιπόν 
αν ένα< 0, ρε= 0, λοιπόν
αν ένα< 0,
ρε < 0, то
- Διαστήματα μονοτονίας
για > 0 
σε ένα< 0
Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναιπαραβολή – μια καμπύλη συμμετρική ως προς μια ευθεία γραμμή , που διέρχεται από την κορυφή της παραβολής (η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα συμμετρίας).
Για να γράψετε μια τετραγωνική συνάρτηση, χρειάζεστε:
1) βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής και σημειώστε την στο επίπεδο συντεταγμένων.
2) Κατασκευάστε πολλά ακόμη σημεία που ανήκουν στην παραβολή.
3) συνδέστε τα σημειωμένα σημεία με μια ομαλή γραμμή.
Οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής καθορίζονται από τους τύπους:
;
.
Μετατροπή γραφημάτων συναρτήσεων
1. Διατάσεις ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣy = x 2 κατά μήκος του άξοναστο V|α| φορές (στις|α| < 1 είναι συμπίεση 1/|α| μια φορά).
Εάν, και< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси Χ (οι κλάδοι της παραβολής θα κατευθύνονται προς τα κάτω).
Αποτέλεσμα:
γράφημα μιας συνάρτησηςy = αχ
2
.
2. Παράλληλη μεταφορά γραφικά λειτουργίαςy = αχ 2 κατά μήκος του άξοναΧ επί| Μ | (στα δεξιά όταν
Μ > 0 και προς τα αριστερά ότανΤ< 0).
Αποτέλεσμα: γράφημα συνάρτησηςy = a(x - t) 2 .
3. Παράλληλη μεταφορά γραφικά λειτουργίας κατά μήκος του άξοναστο επί| n | (ξύπνιος στιςp> 0 και κάτω στοΠ< 0).
Αποτέλεσμα: γράφημα συνάρτησηςy = a(x - t) 2 + σελ.
Τετραγωνικές ανισότητες
Ανισότητες της μορφήςΩ 2 + σι x + c > 0 καιΩ 2 + βχ + γ< 0, όπουΧ - μεταβλητή,ένα , σι ΚαιΜε - μερικοί αριθμοί, καια≠ 0 ονομάζονται ανισώσεις δεύτερου βαθμού με μία μεταβλητή.
Η επίλυση μιας ανισότητας δεύτερου βαθμού σε μια μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί ως η εύρεση των διαστημάτων στα οποία η αντίστοιχη τετραγωνική συνάρτηση παίρνει θετικές ή αρνητικές τιμές.
Για την επίλυση ανισώσεων της μορφήςΩ 2 + bx + c > 0 καιΩ 2 + βχ + γ< 0 προχωρήστε ως εξής:
1) Βρείτε τη διάκριση του τετραγωνικού τριωνύμου και βρείτε αν το τριώνυμο έχει ρίζες.
2) αν το τριώνυμο έχει ρίζες, τότε σημειώστε τις στον άξοναΧ και μέσα από τα σημειωμένα σημεία σχεδιάζεται σχηματικά μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω στοΕΝΑ > 0 ή κάτω ότανΕΝΑ< 0; εάν το τριώνυμο δεν έχει ρίζες, τότε απεικονίστε σχηματικά μια παραβολή που βρίσκεται στο άνω μισό επίπεδο στοΕΝΑ > 0 ή χαμηλότερα στοΕΝΑ < 0;
3) βρέθηκε στον άξοναΧ διαστήματα για τα οποία τα σημεία της παραβολής βρίσκονται πάνω από τον άξοναΧ (αν λυθεί η ανισότηταΩ 2 + bx + c > 0) ή κάτω από τον άξοναΧ (αν λυθεί η ανισότηταΩ 2 + βχ + γ < 0).
Παράδειγμα:
Ας λύσουμε την ανισότητα 
.
Εξετάστε τη συνάρτηση
Η γραφική παράσταση του είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα κάτω (αφού ).
Ας μάθουμε πώς βρίσκεται το γράφημα σε σχέση με τον άξοναΧ.
Ας λύσουμε την εξίσωση για αυτό 
. Το καταλαβαίνουμεx =
4. Η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα. Αυτό σημαίνει ότι η παραβολή αγγίζει τον άξοναΧ.
Απεικονίζοντας σχηματικά μια παραβολή, διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές για οποιαδήποτεΧ, εκτός από 4.
Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:Χ - οποιοσδήποτε αριθμός δεν είναι ίσος με 4.
Επίλυση ανισώσεων με τη μέθοδο του διαστήματος
διάγραμμα λύσης
1. Βρείτε μηδενικά συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της ανισότητας.
2. Σημειώστε τη θέση των μηδενικών στον αριθμητικό άξονα και προσδιορίστε την πολλαπλότητα τους (Ανκ Εγώ είναι άρτιος, τότε το μηδέν είναι άρτια πολλαπλότητα ανκ Εγώ το περίεργο είναι περίεργο).
3. Βρείτε τα σημάδια της συνάρτησης στα διαστήματα μεταξύ των μηδενικών του, ξεκινώντας από το δεξιότερο διάστημα: σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι πάντα θετική για τη δεδομένη μορφή ανισοτήτων. Κατά τη διέλευση από τα δεξιά προς τα αριστερά μέσα από το μηδέν μιας συνάρτησης από ένα διάστημα σε ένα διπλανό, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη:
αν το μηδέν είναι περιττό πολλαπλότητα, το πρόσημο της συνάρτησης αλλάζει,
αν το μηδέν είναι άρτιο πολλαπλότητα, διατηρείται το πρόσημο της συνάρτησης.
4. Γράψτε την απάντηση.
Παράδειγμα:
(x + 6) (x + 1) (Χ - 4) < 0.
Βρέθηκαν μηδενικά συνάρτησης. Είναι ίσοι:Χ 1 = -6; Χ 2 = -1; Χ 3 = 4.
Ας σημειώσουμε τα μηδενικά της συνάρτησης στη γραμμή συντεταγμένωνφά ( Χ ) = (x + 6) (x + 1) (Χ - 4).
Ας βρούμε τα πρόσημα αυτής της συνάρτησης σε καθένα από τα διαστήματα (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) και
Είναι σαφές από το σχήμα ότι το σύνολο των λύσεων της ανισότητας είναι η ένωση των διαστημάτων (-∞; -6) και (-1; 4).
Απάντηση: (-∞ ; -6) και (-1, 4).
Η εξεταζόμενη μέθοδος για την επίλυση ανισώσεων ονομάζεταιμέθοδος διαστήματος.
Για να κατανοήσουμε αυτό το θέμα, ας εξετάσουμε μια συνάρτηση που απεικονίζεται σε ένα γράφημα // Ας δείξουμε πώς ένα γράφημα μιας συνάρτησης σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τις ιδιότητές της.
Ας δούμε τις ιδιότητες μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι span [ 3,5; 5.5].
Το εύρος τιμών της συνάρτησης είναι span [ 1; 3].
1. Στα x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν.
Η τιμή ορίσματος στην οποία η τιμή της συνάρτησης είναι μηδέν ονομάζεται συνάρτηση μηδέν.
//εκείνοι. για αυτή τη συνάρτηση οι αριθμοί είναι -3;-1;1,5; Το 4,5 είναι μηδενικά.
2. Κατά διαστήματα [ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5; 5.5] η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα της τετμημένης και στα διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) κάτω από τον άξονα τετμημένη, εξηγείται έτσι -κατά διαστήματα[ 4.5; 3) και (1; 1.5) και (4.5;5.5] παίρνει η συνάρτηση θετικές αξίες, και στα διαστήματα (-3; -1) και (1.5; 4.5) είναι αρνητικά.
Κάθε ένα από τα υποδεικνυόμενα διαστήματα (όπου η συνάρτηση παίρνει τιμές του ίδιου πρόσημου) ονομάζεται διάστημα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης f.//δηλ. για παράδειγμα, αν πάρουμε το διάστημα (0; 3), τότε δεν είναι διάστημα σταθερού πρόσημου αυτής της συνάρτησης.
Στα μαθηματικά, κατά την αναζήτηση διαστημάτων σταθερού πρόσημου μιας συνάρτησης, συνηθίζεται να υποδεικνύονται τα διαστήματα μέγιστο μήκος. //Εκείνοι. το διάστημα (2; 3) είναι διάστημα σταθερότητας του πρόσημουσυνάρτηση f, αλλά η απάντηση πρέπει να περιλαμβάνει το διάστημα [ 4,5; 3) που περιέχει το διάστημα (2; 3).
3. Εάν μετακινηθείτε κατά μήκος του άξονα x από το 4,5 στο 2, θα παρατηρήσετε ότι το γράφημα της συνάρτησης μειώνεται, δηλαδή οι τιμές των συναρτήσεων μειώνονται. //Στα μαθηματικά συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 4.5; 2] η συνάρτηση μειώνεται.
Καθώς το x αυξάνεται από 2 σε 0, η γραφική παράσταση της συνάρτησης ανεβαίνει, δηλ. οι τιμές των συναρτήσεων αυξάνονται. //Στα μαθηματικά συνηθίζεται να λέμε ότι στο διάστημα [ 2; 0] η συνάρτηση αυξάνεται.
Μια συνάρτηση f καλείται εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα, έτσι ώστε x2 > x1, ισχύει η ανισότητα f (x2) > f (x1). // ή καλείται η συνάρτηση αυξάνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα, μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.//δηλ. όσο περισσότερο x, τόσο περισσότερο y.
Καλείται η συνάρτηση f μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε δύο τιμές του ορίσματος x1 και x2 από αυτό το διάστημα έτσι ώστε x2 > x1, η ανισότητα f(x2) μειώνεται σε κάποιο διάστημα, εάν για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος από αυτό το διάστημα η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης. //εκείνοι. όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y.
Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται αυξανόμενη.
Εάν μια συνάρτηση μειωθεί σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, τότε καλείται μειώνεται.
Παράδειγμα 1.γραφική παράσταση αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης αντίστοιχα.
Παράδειγμα 2.
Προσδιορίστε το φαινόμενο. Η γραμμική συνάρτηση f(x) = 3x + 5 είναι αύξουσα ή φθίνουσα;
Απόδειξη. Ας χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς. Έστω x1 και x2 αυθαίρετες τιμές του ορίσματος και x1< x2., например х1=1, х2=7
Η ενότητα περιέχει υλικό αναφοράς για τις κύριες στοιχειώδεις συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους. Δίνεται μια ταξινόμηση των στοιχειωδών συναρτήσεων. Παρακάτω υπάρχουν σύνδεσμοι προς υποενότητες που συζητούν τις ιδιότητες συγκεκριμένων συναρτήσεων - γραφήματα, τύπους, παράγωγα, αντιπαράγωγα (ολοκληρώματα), επεκτάσεις σειρών, εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών.
Σελίδες αναφοράς για βασικές λειτουργίες
Ταξινόμηση στοιχειωδών συναρτήσεων
Αλγεβρική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση:
,
όπου είναι ένα πολυώνυμο στην εξαρτημένη μεταβλητή y και στην ανεξάρτητη μεταβλητή x. Μπορεί να γραφτεί ως:
,
όπου είναι τα πολυώνυμα.
Οι αλγεβρικές συναρτήσεις χωρίζονται σε πολυώνυμα (ολόκληρες ορθολογικές συναρτήσεις), ορθολογικές και ανορθολογικές συναρτήσεις.
Ολόκληρη ορθολογική λειτουργία, που λέγεται και πολυώνυμοςή πολυώνυμος, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης) και του πολλαπλασιασμού. Μετά το άνοιγμα των παρενθέσεων, το πολυώνυμο ανάγεται σε κανονική μορφή:
.
Κλασματική ορθολογική συνάρτηση, ή απλά λογική λειτουργία, προκύπτει από τη μεταβλητή x και πεπερασμένος αριθμός αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης), του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Η ορθολογική συνάρτηση μπορεί να αναχθεί στη μορφή
,
όπου και είναι πολυώνυμα.
Παράλογη λειτουργίαείναι μια αλγεβρική συνάρτηση που δεν είναι ορθολογική. Κατά κανόνα, μια παράλογη συνάρτηση νοείται ως ρίζες και οι συνθέσεις τους με ορθολογικές συναρτήσεις. Μια ρίζα βαθμού n ορίζεται ως η λύση της εξίσωσης
.
Ορίζεται ως εξής:
.
Υπερβατικές λειτουργίεςονομάζονται μη αλγεβρικές συναρτήσεις. Αυτές είναι οι εκθετικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές και οι αντίστροφες συναρτήσεις τους.
Επισκόπηση βασικών στοιχειωδών λειτουργιών
Όλες οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένας πεπερασμένος αριθμός πράξεων πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης που εκτελούνται σε μια έκφραση της μορφής:
z t .
Οι αντίστροφες συναρτήσεις μπορούν επίσης να εκφραστούν με όρους λογαρίθμων. Οι βασικές στοιχειώδεις λειτουργίες παρατίθενται παρακάτω.
Λειτουργία ισχύος:
y(x) = x p,
όπου p είναι ο εκθέτης. Εξαρτάται από τη βάση του βαθμού x.
Το αντίστροφο της συνάρτησης ισχύος είναι επίσης η συνάρτηση ισχύος:
.
Για μια ακέραια μη αρνητική τιμή του εκθέτη p, είναι πολυώνυμο. Για μια ακέραια τιμή p - μια ορθολογική συνάρτηση. Με μια λογική έννοια - μια παράλογη λειτουργία.
Υπερβατικές λειτουργίες
Εκθετικη συναρτηση :
y(x) = a x,
όπου α είναι η βάση του βαθμού. Εξαρτάται από τον εκθέτη x.
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο λογάριθμος που βασίζεται σε:
x = log a y.
Εκθέτης, e στη δύναμη x:
y(x) = e x,
Αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση:
.
Η βάση του εκθέτη είναι ο αριθμός e:
≈ 2,718281828459045...
.
Η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο φυσικός λογάριθμος - ο λογάριθμος στη βάση του αριθμού e:
x = ln y ≡ log e y.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Sine: ;
Συνημίτονο: ;
Εφαπτομένη: ;
Συμεφαπτομένη: ;
Εδώ το i είναι η φανταστική μονάδα, i 2 = -1.
Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
Αρξίνη: x = arcsin y,
;
Συνημίτονο τόξου: x = arccos y,
;
Arctagent: x = arctan y,
;
Εφαπτομένη τόξου: x = arcctg y,
.
ο μεθοδολογικό υλικόείναι μόνο για αναφορά και ισχύει για ένα ευρύ φάσμα θεμάτων. Το άρθρο παρέχει μια επισκόπηση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και εξετάζει το πιο σημαντικό ζήτημα - πώς να φτιάξετε ένα γράφημα σωστά και ΓΡΗΓΟΡΑ. Κατά τη διάρκεια της μελέτης ανώτερων μαθηματικών χωρίς γνώση των γραφημάτων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, θα είναι δύσκολο, επομένως είναι πολύ σημαντικό να θυμάστε πώς μοιάζουν τα γραφήματα μιας παραβολής, υπερβολής, ημιτόνου, συνημίτονο κ.λπ., και να θυμάστε μερικά των σημασιών των συναρτήσεων. Θα μιλήσουμε επίσης για ορισμένες ιδιότητες των κύριων συναρτήσεων.
Δεν διεκδικώ την πληρότητα και την επιστημονική πληρότητα των υλικών· η έμφαση θα δοθεί, πρώτα απ 'όλα, στην πράξη - εκείνα τα πράγματα με τα οποία συναντά κανείς κυριολεκτικά σε κάθε βήμα, σε οποιοδήποτε θέμα ανώτερων μαθηματικών. Διαγράμματα για ανδρείκελα; Θα μπορούσε να πει κανείς.
Λόγω πολλών αιτημάτων αναγνωστών πίνακα περιεχομένων με δυνατότητα κλικ:
Επιπλέον, υπάρχει μια εξαιρετικά σύντομη περίληψη για το θέμα
– κατακτήστε 16 τύπους γραφημάτων μελετώντας ΕΞΙ σελίδες!
Σοβαρά, έξι, ακόμα κι εγώ εξεπλάγην. Αυτή η περίληψη περιέχει βελτιωμένα γραφικά και είναι διαθέσιμη με ονομαστική χρέωση· μπορείτε να δείτε μια δοκιμαστική έκδοση. Είναι βολικό να εκτυπώσετε το αρχείο έτσι ώστε τα γραφήματα να είναι πάντα διαθέσιμα. Ευχαριστούμε για την υποστήριξη του έργου!
Και ας ξεκινήσουμε αμέσως:
Πώς να κατασκευάσετε σωστά τους άξονες συντεταγμένων;
Στην πράξη, τα τεστ ολοκληρώνονται σχεδόν πάντα από τους μαθητές σε ξεχωριστά τετράδια, γραμμωμένα σε τετράγωνο. Γιατί χρειάζεστε καρό σημάδια; Μετά από όλα, η εργασία, κατ 'αρχήν, μπορεί να γίνει σε φύλλα Α4. Και το κλουβί είναι απαραίτητο μόνο για υψηλής ποιότητας και ακριβή σχεδιασμό σχεδίων.
Οποιοδήποτε σχέδιο ενός γραφήματος συνάρτησης ξεκινά με άξονες συντεταγμένων.
Τα σχέδια μπορεί να είναι δισδιάστατα ή τρισδιάστατα.
Ας εξετάσουμε πρώτα τη δισδιάστατη περίπτωση Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:
1) Κλήρωση άξονες συντεταγμένων. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x , και ο άξονας είναι άξονας y . Προσπαθούμε πάντα να τα σχεδιάζουμε τακτοποιημένο και όχι στραβό. Τα βέλη δεν πρέπει επίσης να μοιάζουν με τα γένια του Papa Carlo.
2) Σημειώστε τα τσεκούρια με κεφαλαία γράμματα"Χ" και "Υ". Μην ξεχάσετε να επισημάνετε τα τσεκούρια.
3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων: σχεδιάστε ένα μηδέν και δύο ένα. Όταν κάνετε ένα σχέδιο, η πιο βολική και συχνά χρησιμοποιούμενη κλίμακα είναι: 1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά) - αν είναι δυνατόν, τηρήστε την. Ωστόσο, κατά καιρούς συμβαίνει ότι το σχέδιο δεν ταιριάζει στο φύλλο του σημειωματάριου - τότε μειώνουμε την κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί (σχέδιο στα δεξιά). Είναι σπάνιο, αλλά συμβαίνει ότι η κλίμακα του σχεδίου πρέπει να μειωθεί (ή να αυξηθεί) ακόμη περισσότερο
ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ για «πολυβόλο» …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Γιατί το επίπεδο συντεταγμένων δεν είναι μνημείο του Ντεκάρτ και ο μαθητής δεν είναι περιστέρι. Βάζουμε μηδένΚαι δύο μονάδες κατά μήκος των αξόνων. Ωρες ωρες αντίμονάδες, είναι βολικό να "μαρκάρετε" άλλες τιμές, για παράδειγμα, "δύο" στον άξονα της τετμημένης και "τρία" στον άξονα τεταγμένων - και αυτό το σύστημα (0, 2 και 3) θα ορίζει επίσης μοναδικά το πλέγμα συντεταγμένων.
Είναι καλύτερο να εκτιμήσετε τις εκτιμώμενες διαστάσεις του σχεδίου ΠΡΙΝ την κατασκευή του σχεδίου. Έτσι, για παράδειγμα, εάν η εργασία απαιτεί τη σχεδίαση ενός τριγώνου με κορυφές , , , τότε είναι απολύτως σαφές ότι η δημοφιλής κλίμακα 1 μονάδα = 2 κελιά δεν θα λειτουργήσει. Γιατί; Ας δούμε το σημείο - εδώ θα πρέπει να μετρήσετε δεκαπέντε εκατοστά κάτω και, προφανώς, το σχέδιο δεν θα χωρέσει (ή μόλις χωράει) σε ένα φύλλο σημειωματάριου. Επομένως, επιλέγουμε αμέσως μια μικρότερη κλίμακα: 1 μονάδα = 1 κελί.
Παρεμπιπτόντως, περίπου εκατοστά και κελιά σημειωματάριου. Είναι αλήθεια ότι 30 κελιά σημειωματάριων περιέχουν 15 εκατοστά; Για διασκέδαση, μετρήστε 15 εκατοστά στο σημειωματάριό σας με ένα χάρακα. Στην ΕΣΣΔ, αυτό μπορεί να ίσχυε... Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν μετρήσετε αυτά τα ίδια εκατοστά οριζόντια και κάθετα, τα αποτελέσματα (στα κελιά) θα είναι διαφορετικά! Αυστηρά μιλώντας, τα μοντέρνα σημειωματάρια δεν είναι καρό, αλλά ορθογώνια. Αυτό μπορεί να φαίνεται ανοησία, αλλά το να σχεδιάζετε, για παράδειγμα, έναν κύκλο με πυξίδα σε τέτοιες καταστάσεις είναι πολύ άβολο. Για να είμαι ειλικρινής, σε τέτοιες στιγμές αρχίζεις να σκέφτεσαι την ορθότητα του συντρόφου Στάλιν, ο οποίος στάλθηκε σε στρατόπεδα για χάκερ στην παραγωγή, για να μην αναφέρουμε την εγχώρια αυτοκινητοβιομηχανία, την πτώση αεροπλάνων ή την έκρηξη σταθμών παραγωγής ενέργειας.
Μιλώντας για ποιότητα, ή μια σύντομη σύσταση για χαρτικά. Σήμερα, τα περισσότερα από τα σημειωματάρια που πωλούνται είναι, τουλάχιστον, χάλια. Για τον λόγο ότι βρέχονται και όχι μόνο από στυλό gel, αλλά και από στυλό! Εξοικονομούν χρήματα στα χαρτιά. Για την ολοκλήρωση των δοκιμών, συνιστώ να χρησιμοποιήσετε σημειωματάρια από το Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 φύλλα, τετράγωνο) ή το "Pyaterochka", αν και είναι πιο ακριβό. Συνιστάται να επιλέξετε ένα στυλό τζελ· ακόμη και το φθηνότερο κινέζικο ξαναγέμισμα gel είναι πολύ καλύτερο από ένα στυλό, το οποίο είτε μουντζουρώνει είτε σκίζει το χαρτί. Το μόνο «ανταγωνιστικό» στυλό που θυμάμαι είναι το Erich Krause. Γράφει καθαρά, όμορφα και με συνέπεια – είτε με γεμάτο πυρήνα είτε με σχεδόν άδειο.
Επιπροσθέτως: Το όραμα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων μέσα από τα μάτια της αναλυτικής γεωμετρίας καλύπτεται στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων, λεπτομερείς πληροφορίεςσχετικά με τα τέταρτα συντεταγμένων μπορείτε να βρείτε στη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Γραμμικές ανισότητες.
τρισδιάστατη θήκη
Είναι σχεδόν το ίδιο εδώ.
1) Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων. Πρότυπο: άξονας εφαρμογή – κατευθυνόμενος προς τα πάνω, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα δεξιά, άξονας – κατευθυνόμενος προς τα κάτω προς τα αριστερά αυστηράσε γωνία 45 μοιρών.
2) Σημειώστε τα τσεκούρια.
3) Ρυθμίστε την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Η κλίμακα κατά μήκος του άξονα είναι δύο φορές μικρότερη από την κλίμακα κατά μήκος των άλλων αξόνων. Σημειώστε επίσης ότι στο σωστό σχέδιο χρησιμοποίησα μια μη τυπική "εγκοπή" κατά μήκος του άξονα (Αυτή η δυνατότητα έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω). Από την άποψή μου, αυτό είναι πιο ακριβές, πιο γρήγορο και πιο ευχάριστο αισθητικά - δεν χρειάζεται να αναζητήσετε τη μέση του κυττάρου κάτω από ένα μικροσκόπιο και να "γλύψετε" μια μονάδα κοντά στην αρχή των συντεταγμένων.
Όταν κάνετε ένα τρισδιάστατο σχέδιο, πάλι, δώστε προτεραιότητα στην κλίμακα
1 μονάδα = 2 κελιά (σχέδιο στα αριστερά).
Σε τι χρησιμεύουν όλοι αυτοί οι κανόνες; Οι κανόνες είναι φτιαγμένοι για να παραβιάζονται. Αυτό θα κάνω τώρα. Το γεγονός είναι ότι τα επόμενα σχέδια του άρθρου θα γίνουν από εμένα στο Excel και οι άξονες συντεταγμένων θα φαίνονται λανθασμένοι από την άποψη του σωστού σχεδιασμού. Θα μπορούσα να σχεδιάσω όλα τα γραφήματα με το χέρι, αλλά είναι πραγματικά τρομακτικό να τα σχεδιάζω, καθώς το Excel είναι απρόθυμο να τα σχεδιάσει με μεγαλύτερη ακρίβεια.
Γραφήματα και βασικές ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων
Γραμμική συνάρτησηδίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση των γραμμικών συναρτήσεων είναι απευθείας. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζουμε δύο σημεία.
Παράδειγμα 1
Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης. Ας βρούμε δύο σημεία. Συμφέρει να επιλέξετε το μηδέν ως ένα από τα σημεία.
Αν τότε
Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο, για παράδειγμα, 1.
Αν τότε
Κατά την ολοκλήρωση των εργασιών, οι συντεταγμένες των σημείων συνήθως συνοψίζονται σε έναν πίνακα:
Και οι ίδιες οι τιμές υπολογίζονται προφορικά ή σε προσχέδιο, αριθμομηχανή.
Βρέθηκαν δύο σημεία, ας κάνουμε το σχέδιο:
Όταν ετοιμάζουμε ένα σχέδιο, υπογράφουμε πάντα τα γραφικά.
Θα ήταν χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ειδικές περιπτώσεις μιας γραμμικής συνάρτησης:
Προσέξτε πώς έβαλα τις υπογραφές, οι υπογραφές δεν πρέπει να επιτρέπουν αποκλίσεις κατά τη μελέτη του σχεδίου. Σε αυτήν την περίπτωση, ήταν εξαιρετικά ανεπιθύμητο να βάλετε μια υπογραφή δίπλα στο σημείο τομής των γραμμών ή κάτω δεξιά μεταξύ των γραφημάτων.
1) Μια γραμμική συνάρτηση της μορφής () ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα. Για παράδειγμα, . Ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας διέρχεται πάντα από την αρχή. Έτσι, η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής απλοποιείται - αρκεί να βρείτε μόνο ένα σημείο.
2) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης σχεδιάζεται αμέσως, χωρίς να βρεθούν σημεία. Δηλαδή, η καταχώρηση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το y είναι πάντα ίσο με –4, για οποιαδήποτε τιμή του x».
3) Μια εξίσωση της μορφής καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, συγκεκριμένα, ο ίδιος ο άξονας δίνεται από την εξίσωση. Το γράφημα της συνάρτησης απεικονίζεται επίσης αμέσως. Η καταχώριση πρέπει να γίνει κατανοητή ως εξής: «το x είναι πάντα, για οποιαδήποτε τιμή του y, ίση με 1».
Κάποιοι θα ρωτήσουν, γιατί να θυμάστε την 6η δημοτικού;! Έτσι είναι, ίσως να είναι έτσι, αλλά με τα χρόνια της εξάσκησης συνάντησα μια καλή ντουζίνα μαθητές που είχαν μπερδευτεί με το έργο της κατασκευής ενός γραφήματος όπως ή.
Η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής είναι η πιο κοινή ενέργεια κατά τη δημιουργία σχεδίων.
Η ευθεία γραμμή συζητείται αναλυτικά στο μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας και οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να ανατρέξουν στο άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.
Γράφημα τετραγωνικής, κυβική συνάρτηση, γράφημα πολυωνύμου
Παραβολή. Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης 
() αντιπροσωπεύει μια παραβολή. Σκεφτείτε την περίφημη περίπτωση:
Ας θυμηθούμε μερικές ιδιότητες της συνάρτησης.
Άρα, η λύση της εξίσωσής μας: – σε αυτό το σημείο βρίσκεται η κορυφή της παραβολής. Γιατί συμβαίνει αυτό, μπορούμε να μάθουμε από το θεωρητικό άρθρο για την παράγωγο και το μάθημα για τα άκρα της συνάρτησης. Στο μεταξύ, ας υπολογίσουμε την αντίστοιχη τιμή "Y":
Έτσι, η κορυφή βρίσκεται στο σημείο
Τώρα βρίσκουμε άλλα σημεία, ενώ χρησιμοποιούμε ευθαρσώς τη συμμετρία της παραβολής. Πρέπει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση 
– δεν είναι καν, αλλά, παρόλα αυτά, κανείς δεν ακύρωσε τη συμμετρία της παραβολής.
Με ποια σειρά θα βρεθούν οι υπόλοιποι βαθμοί, νομίζω ότι θα φανεί από τον τελικό πίνακα:
Αυτός ο αλγόριθμος κατασκευής μπορεί μεταφορικά να ονομαστεί "σαΐτα" ή η αρχή "μπρος-πίσω" με την Anfisa Chekhova.
Ας κάνουμε το σχέδιο:
Από τα γραφήματα που εξετάστηκαν, ένα άλλο χρήσιμο χαρακτηριστικό έρχεται στο μυαλό:
Για μια τετραγωνική συνάρτηση 
() ισχύει το εξής:
Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.
Αν , τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.
Σε βάθος γνώση για την καμπύλη μπορείτε να αποκτήσετε στο μάθημα Υπερβολή και παραβολή.
Μια κυβική παραβολή δίνεται από τη συνάρτηση. Εδώ είναι ένα οικείο σχέδιο από το σχολείο:
Ας απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες της συνάρτησης
Γράφημα μιας συνάρτησης
Αντιπροσωπεύει έναν από τους κλάδους μιας παραβολής. Ας κάνουμε το σχέδιο:
Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:
Σε αυτή την περίπτωση, ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας υπερβολής στο .
Θα ήταν ΧΑΔΡΟ λάθος εάν, κατά την κατάρτιση ενός σχεδίου, αφήσετε απρόσεκτα το γράφημα να τέμνεται με μια ασύμπτωτη.
Επίσης τα μονόπλευρα όρια μας λένε ότι η υπερβολή δεν περιορίζεται από πάνωΚαι δεν περιορίζεται από κάτω.
Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση στο άπειρο: , δηλαδή, αν αρχίσουμε να κινούμαστε κατά μήκος του άξονα προς τα αριστερά (ή δεξιά) προς το άπειρο, τότε τα «παιχνίδια» θα είναι σε ένα ομαλό βήμα απείρως κοντάπλησιάζει το μηδέν και, κατά συνέπεια, τους κλάδους της υπερβολής απείρως κοντάπλησιάζει τον άξονα.
Άρα ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, αν το "x" τείνει στο συν ή πλην άπειρο.
Η συνάρτηση είναι Περιττός, και, επομένως, η υπερβολή είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Αυτό το γεγονός είναι προφανές από το σχέδιο, επιπλέον, επαληθεύεται εύκολα αναλυτικά: 
.
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής () αναπαριστά δύο κλάδους μιας υπερβολής.
Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο πρώτο και το τρίτο τέταρτο συντεταγμένων(βλ. εικόνα παραπάνω).
Αν , τότε η υπερβολή βρίσκεται στο δεύτερο και τέταρτο τέταρτο συντεταγμένων.
Το υποδεικνυόμενο μοτίβο της παραμονής της υπερβολής είναι εύκολο να αναλυθεί από την άποψη των γεωμετρικών μετασχηματισμών των γραφημάτων.
Παράδειγμα 3
Κατασκευάστε τον δεξιό κλάδο της υπερβολής
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο κατασκευής κατά σημείο και είναι πλεονεκτικό να επιλέγουμε τις τιμές έτσι ώστε να διαιρούνται με ένα σύνολο:
Ας κάνουμε το σχέδιο:
Δεν θα είναι δύσκολο να κατασκευάσουμε τον αριστερό κλάδο της υπερβολής· εδώ θα βοηθήσει η παραδοξότητα της συνάρτησης. Χοντρικά στον πίνακα σημειακής κατασκευής προσθέτουμε νοερά ένα μείον σε κάθε αριθμό, βάζουμε τους αντίστοιχους πόντους και σχεδιάζουμε τον δεύτερο κλάδο.
Λεπτομερείς γεωμετρικές πληροφορίες σχετικά με τη γραμμή που εξετάζεται μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Υπερβολή και παραβολή.
Γράφημα εκθετικής συνάρτησης
Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσω αμέσως την εκθετική συνάρτηση, αφού σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών στο 95% των περιπτώσεων εμφανίζεται η εκθετική.
Να σας υπενθυμίσω ότι αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός: , αυτό θα απαιτηθεί κατά την κατασκευή ενός γραφήματος, το οποίο, στην πραγματικότητα, θα κατασκευάσω χωρίς τελετή. Μάλλον αρκούν τρία σημεία:
Ας αφήσουμε μόνο το γράφημα της συνάρτησης προς το παρόν, περισσότερα για αυτό αργότερα.
Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:
Τα γραφήματα συναρτήσεων, κ.λπ., φαίνονται ουσιαστικά ίδια.
Πρέπει να πω ότι η δεύτερη περίπτωση εμφανίζεται λιγότερο συχνά στην πράξη, αλλά συμβαίνει, γι' αυτό θεώρησα απαραίτητο να το συμπεριλάβω σε αυτό το άρθρο.
Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης
Σκεφτείτε μια συνάρτηση με φυσικός λογάριθμος.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:
Εάν έχετε ξεχάσει τι είναι ο λογάριθμος, ανατρέξτε στα σχολικά σας εγχειρίδια.
Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:
Τομέα: 
Εύρος τιμών: .
Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω: 
, αν και αργά, αλλά ο κλάδος του λογαρίθμου ανεβαίνει στο άπειρο.
Ας εξετάσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο μηδέν στα δεξιά: 
. Άρα ο άξονας είναι κάθετη ασύμπτωτη
για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθώς το "x" τείνει προς το μηδέν από τα δεξιά.
Είναι επιτακτική ανάγκη να γνωρίζουμε και να θυμόμαστε την τυπική τιμή του λογαρίθμου: .
Κατ 'αρχήν, η γραφική παράσταση του λογάριθμου προς τη βάση φαίνεται ίδια: , , (δεκαδικός λογάριθμος στη βάση 10) κ.λπ. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η βάση, τόσο πιο επίπεδο θα είναι το γράφημα.
Δεν θα εξετάσουμε την υπόθεση, δεν θυμάμαι πότε τελευταία φοράΈφτιαξα ένα γράφημα σε αυτή τη βάση. Και ο λογάριθμος φαίνεται να είναι ένας πολύ σπάνιος επισκέπτης σε προβλήματα ανώτερων μαθηματικών.
Στο τέλος αυτής της παραγράφου θα πω ένα ακόμη γεγονός: Εκθετική συνάρτηση και λογαριθμική συνάρτηση – πρόκειται για δύο αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις. Αν κοιτάξετε προσεκτικά το γράφημα του λογάριθμου, μπορείτε να δείτε ότι αυτός είναι ο ίδιος εκθέτης, απλώς βρίσκεται λίγο διαφορετικά.
Γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Από πού αρχίζει το τριγωνομετρικό μαρτύριο στο σχολείο; Σωστά. Από ημίτονο
Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
Αυτή η γραμμή ονομάζεται ημιτονοειδής.
Να σας υπενθυμίσω ότι το «πι» είναι ένας παράλογος αριθμός: , και στην τριγωνομετρία κάνει τα μάτια σας να θαμπώνουν.
Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης:
Αυτή η λειτουργία είναι περιοδικόςμε περίοδο . Τι σημαίνει? Ας δούμε το τμήμα. Αριστερά και δεξιά του, το ίδιο ακριβώς κομμάτι του γραφήματος επαναλαμβάνεται ατελείωτα.
Τομέα: , δηλαδή, για οποιαδήποτε τιμή του «x» υπάρχει ημιτονική τιμή.
Εύρος τιμών: . Η συνάρτηση είναι περιορισμένος: , δηλαδή, όλα τα «παιχνίδια» βρίσκονται αυστηρά στο τμήμα .
Αυτό δεν συμβαίνει: ή, πιο συγκεκριμένα, συμβαίνει, αλλά αυτές οι εξισώσεις δεν έχουν λύση.