Ας δούμε πώς να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A(-3; 9) και B(2;-1).

Μέθοδος 1 - δημιουργήστε μια εξίσωση ευθείας γραμμής με συντελεστή γωνίας.

Η εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή έχει τη μορφή . Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β στην εξίσωση της ευθείας (x= -3 και y=9 - στην πρώτη περίπτωση, x=2 και y= -1 - στη δεύτερη), παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων από το οποίο βρίσκουμε τις τιμές των k και b:

Προσθέτοντας την 1η και τη 2η εξίσωση όρο προς όρο, παίρνουμε: -10=5k, από όπου k= -2. Αντικαθιστώντας k= -2 στη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε το b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Έτσι, y= -2x+3 είναι η απαιτούμενη εξίσωση.

Μέθοδος 2 - ας συνθέσουμε γενική εξίσωσηευθεία.

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή . Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β στην εξίσωση, παίρνουμε το σύστημα:

Δεδομένου ότι ο αριθμός των αγνώστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων, το σύστημα δεν είναι επιλύσιμο. Αλλά όλες οι μεταβλητές μπορούν να εκφραστούν μέσω μιας. Για παράδειγμα, μέσω του β.

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση του συστήματος με -1 και προσθέτοντας όρο προς όρο με τη δεύτερη:

παίρνουμε: 5a-10b=0. Άρα a=2b.

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Αντικαταστήστε τα a=2b, c= -3b στην εξίσωση ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Απομένει να διαιρεθούν και οι δύο πλευρές με το b:

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί εύκολα να μειωθεί στην εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή:

Μέθοδος 3 - δημιουργήστε μια εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από 2 σημεία.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία είναι:

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες των σημείων A(-3; 9) και B(2;-1) σε αυτήν την εξίσωση

(δηλαδή, x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

και απλοποιήστε:

από όπου 2x+y-3=0.

Στα σχολικά μαθήματα χρησιμοποιείται συχνότερα η εξίσωση ευθείας με συντελεστή γωνίας. Αλλά ο ευκολότερος τρόπος είναι να εξαγάγετε και να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Σχόλιο.

Αν, κατά την αντικατάσταση των συντεταγμένων των δεδομένων σημείων, ένας από τους παρονομαστές της εξίσωσης

αποδεικνύεται ίση με μηδέν, τότε η απαιτούμενη εξίσωση προκύπτει εξισώνοντας τον αντίστοιχο αριθμητή με μηδέν.

Παράδειγμα 2.

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία C(5; -2) και D(7;-2).

Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες των σημείων Γ και Δ στην εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από 2 σημεία.

Αφήστε την ευθεία να διέλθει από τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2). Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 1 έχει τη μορφή y-y 1 = κ (x - x 1), (10,6)

Οπου κ - άγνωστος ακόμη συντελεστής.

Εφόσον η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 2 (x 2 y 2), οι συντεταγμένες αυτού του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (10.6): y 2 -y 1 = κ (x 2 - x 1).

Από εδώ βρίσκουμε Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε κ στην εξίσωση (10.6), λαμβάνουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 και M 2:

Υποτίθεται ότι σε αυτή την εξίσωση x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Αν x 1 = x 2, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία M 1 (x 1,y I) και M 2 (x 2,y 2) είναι παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων. Η εξίσωσή του είναι x = x 1 .

Αν y 2 = y I, τότε η εξίσωση της ευθείας μπορεί να γραφτεί ως y = y 1, η ευθεία M 1 M 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης.

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα

Έστω η ευθεία γραμμή τέμνει τον άξονα Ox στο σημείο M 1 (a;0) και τον άξονα Oy στο σημείο M 2 (0;b). Η εξίσωση θα έχει τη μορφή:
εκείνοι.
. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση ευθείας σε τμήματα, γιατί Οι αριθμοί a και b υποδεικνύουν ποια τμήματα αποκόπτει η γραμμή στους άξονες συντεταγμένων.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα

Ας βρούμε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται αυτό το σημείοΤο Mo (x O; y o) είναι κάθετο στο δεδομένο μη μηδενικό διάνυσμα n = (A; B).

Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο M(x; y) στη γραμμή και ας θεωρήσουμε το διάνυσμα M 0 M (x - x 0; y - y o) (βλ. Εικ. 1). Εφόσον τα διανύσματα n και M o M είναι κάθετα, το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν: δηλαδή

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Καλείται η εξίσωση (10.8). εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα .

Το διάνυσμα n= (A; B), κάθετο στην ευθεία, ονομάζεται κανονικό κανονικό διάνυσμα αυτής της γραμμής .

Η εξίσωση (10.8) μπορεί να ξαναγραφτεί ως Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

όπου Α και Β είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, C = -Ax o - Vu o είναι ο ελεύθερος όρος. Εξίσωση (10.9) είναι η γενική εξίσωση της ευθείας(βλ. Εικ. 2).

Εικ.1 Εικ.2

Κανονικές εξισώσεις ευθείας

,

Οπου
- συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία, και
- διάνυσμα κατεύθυνσης.

Καμπύλες δεύτερης τάξης Κύκλος

Κύκλος είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο.

Κανονική εξίσωση κύκλου ακτίνας R με κέντρο σε ένα σημείο
:

Συγκεκριμένα, εάν το κέντρο του πονταρίσματος συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων, τότε η εξίσωση θα μοιάζει με:

Ελλειψη

Μια έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από καθένα από τα οποία σε δύο δεδομένα σημεία Και , που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή ποσότητα
, μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών
.

Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης της οποίας οι εστίες βρίσκονται στον άξονα Ox και η αρχή των συντεταγμένων στη μέση μεταξύ των εστιών έχει τη μορφή
σολ deένα μήκος ημι-κυρίως άξονα.σι – μήκος του ημιμικρού άξονα (Εικ. 2).

Εξάρτηση μεταξύ παραμέτρων έλλειψης
Και εκφράζεται με την αναλογία:

(4)

Έκλειψη εκκεντρικότηταονομάζεται λόγος διαεστιακής απόστασης2sπρος τον κύριο άξονα2α:

Διευθυντές Η έλλειψη είναι ευθείες παράλληλες προς τον άξονα Oy, οι οποίες βρίσκονται σε απόσταση από αυτόν τον άξονα. Εξισώσεις Directrix:
.

Αν στην εξίσωση της έλλειψης
, τότε οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα Oy.

Ετσι,

Ας δοθούν δύο βαθμοί M 1 (x 1, y 1)Και M 2 (x 2, y 2). Ας γράψουμε την εξίσωση της γραμμής στη μορφή (5), όπου κάγνωστος ακόμη συντελεστής:

Από το σημείο Μ 2ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, τότε οι συντεταγμένες της ικανοποιούν την εξίσωση (5): . Εκφράζοντας από εδώ και αντικαθιστώντας την στην εξίσωση (5), παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση:

Αν αυτή η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί σε μια μορφή που είναι πιο βολική για απομνημόνευση:

(6)

Παράδειγμα.Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 (1,2) και M 2 (-2,3)

Λύση. . Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αναλογίας και πραγματοποιώντας τους απαραίτητους μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας:

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Εξετάστε δύο ευθείες γραμμές l 1Και l 2:

l 1: , , Και

l 2: , ,

φ είναι η γωνία μεταξύ τους (). Από το Σχ. 4 είναι σαφές: .

Από εδώ , ή

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (7) μπορείτε να προσδιορίσετε μία από τις γωνίες μεταξύ ευθειών. Η δεύτερη γωνία είναι ίση με .

Παράδειγμα. Δύο ευθείες δίδονται από τις εξισώσεις y=2x+3 και y=-3x+2. βρείτε τη γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών.

Λύση. Από τις εξισώσεις είναι σαφές ότι k 1 =2, και k 2 =-3. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο (7), βρίσκουμε

. Έτσι, η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών είναι ίση με .

Προϋποθέσεις για παραλληλισμό και καθετότητα δύο ευθειών

Αν ευθεία l 1Και l 2είναι παράλληλες λοιπόν φ=0 Και tgφ=0. από τον τύπο (7) προκύπτει ότι , από όπου k 2 = k 1. Άρα, προϋπόθεση για τον παραλληλισμό δύο ευθειών είναι η ισότητα των γωνιακών συντελεστών τους.

Αν ευθεία l 1Και l 2είναι κάθετες, λοιπόν φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Έτσι, η προϋπόθεση για την καθετότητα δύο ευθειών είναι οι γωνιακοί συντελεστές τους να είναι αντίστροφοι σε μέγεθος και αντίθετοι σε πρόσημο.

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα. Εάν δοθεί ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Bу + C = 0 προσδιορίζεται ως

Απόδειξη. Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Παράδειγμα.Δείξτε ότι οι ευθείες 3x – 5y + 7 = 0 και 10x + 6y – 3 = 0 είναι κάθετες.

Βρίσκουμε: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, επομένως, οι ευθείες είναι κάθετες.

Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντλείται από την κορυφή Γ.

Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η απαιτούμενη εξίσωση ύψους έχει τη μορφή: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b.

k= . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο Γ, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτή την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3x + 2y – 34 = 0.

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία καθορίζεται από το μήκος της καθέτου που σύρεται από το σημείο προς τη γραμμή.

Αν η ευθεία είναι παράλληλη στο επίπεδο προβολής (η | | P 1), τότε προκειμένου να προσδιοριστεί η απόσταση από το σημείο ΕΝΑσε ευθεία γραμμή ηείναι απαραίτητο να χαμηλώσετε την κάθετο από το σημείο ΕΝΑπρος την οριζόντια η.

Ας εξετάσουμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα, όταν η ευθεία καταλαμβάνει μια γενική θέση. Ας είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόσταση από ένα σημείο Μσε ευθεία γραμμή ΕΝΑγενική θέση.

Καθορισμός εργασίας αποστάσεις μεταξύ παράλληλων γραμμώνλύνεται παρόμοια με την προηγούμενη. Ένα σημείο λαμβάνεται σε μια ευθεία και μια κάθετη πέφτει από αυτήν σε μια άλλη ευθεία. Το μήκος μιας κάθετης είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ των παράλληλων ευθειών.

Καμπύλη δεύτερης τάξηςείναι μια γραμμή που ορίζεται από μια εξίσωση δεύτερου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες καρτεσιανές συντεταγμένες. Στη γενική περίπτωση, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

όπου A, B, C, D, E, F είναι πραγματικοί αριθμοί και τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Κύκλος

Κύκλος κέντρο– αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στο επίπεδο που ισαπέχει από ένα σημείο του επιπέδου C(a,b).

Ο κύκλος δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση:

Όπου x,y είναι οι συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου στον κύκλο, R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Σημάδι της εξίσωσης ενός κύκλου

1. Λείπει ο όρος με x, y

2. Οι συντελεστές για x 2 και y 2 είναι ίσοι

Ελλειψη

Ελλειψηονομάζεται γεωμετρικός τόπος σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων καθενός από τα οποία από δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου ονομάζεται εστίες (σταθερή τιμή).

Η κανονική εξίσωση της έλλειψης:

Το X και το y ανήκουν στην έλλειψη.

α – ημικύριος άξονας της έλλειψης

β – ημιμικρός άξονας της έλλειψης

Η έλλειψη έχει 2 άξονες συμμετρίας OX και OU. Οι άξονες συμμετρίας μιας έλλειψης είναι οι άξονές της, το σημείο τομής τους είναι το κέντρο της έλλειψης. Ο άξονας στον οποίο βρίσκονται οι εστίες ονομάζεται εστιακός άξονας. Το σημείο τομής της έλλειψης με τους άξονες είναι η κορυφή της έλλειψης.

Λόγος συμπίεσης (τάσης): ε = s/a– εκκεντρικότητα (χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης), όσο μικρότερη είναι, τόσο λιγότερο εκτείνεται η έλλειψη κατά μήκος του εστιακού άξονα.

Εάν τα κέντρα της έλλειψης δεν βρίσκονται στο κέντρο C(α, β)

Υπερβολή

Υπερβολήονομάζεται γεωμετρικός τόπος σημείων σε ένα επίπεδο, απόλυτη τιμήοι διαφορές στις αποστάσεις, καθεμία από τις οποίες από δύο δεδομένα σημεία αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή διαφορετική από το μηδέν.

Κανονική εξίσωση υπερβολής

Μια υπερβολή έχει 2 άξονες συμμετρίας:

α – πραγματικός ημιάξονας συμμετρίας

β – νοητός ημιάξονας συμμετρίας

Ασύμπτωτες υπερβολής:

Παραβολή

Παραβολήείναι ο τόπος των σημείων στο επίπεδο που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο F, που ονομάζεται εστία, και μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται άμεσος άξονας.

Η κανονική εξίσωση μιας παραβολής:

У 2 =2рх, όπου р είναι η απόσταση από την εστία στην κατεύθυνση (παράμετρος παραβολής)

Αν η κορυφή της παραβολής είναι C (α, β), τότε η εξίσωση της παραβολής (y-β) 2 = 2р(x-α)

Αν ο εστιακός άξονας ληφθεί ως άξονας τεταγμένων, τότε η εξίσωση της παραβολής θα έχει τη μορφή: x 2 =2qу

Ας δοθούν δύο βαθμοί Μ(Χ 1 ,U 1) και Ν(Χ 2,y 2). Ας βρούμε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Αφού αυτή η γραμμή διέρχεται από το σημείο Μ, τότε σύμφωνα με τον τύπο (1.13) η εξίσωσή του έχει τη μορφή

U – Υ 1 = κ(X–x 1),

Οπου κ– άγνωστος γωνιακός συντελεστής.

Η τιμή αυτού του συντελεστή καθορίζεται από την προϋπόθεση ότι η επιθυμητή ευθεία διέρχεται από το σημείο Ν, που σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση (1.13)

Υ 2 – Υ 1 = κ(Χ 2 – Χ 1),

Από εδώ μπορείτε να βρείτε την κλίση αυτής της γραμμής:

,

Ή μετά τη μετατροπή

(1.14)

Ο τύπος (1.14) καθορίζει Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Μ(Χ 1, Υ 1) και Ν(Χ 2, Υ 2).

Στην ειδική περίπτωση όταν σημεία Μ(ΕΝΑ, 0), Ν(0, σι), ΕΝΑ ¹ 0, σι¹ 0, βρίσκεται στους άξονες συντεταγμένων, η εξίσωση (1.14) θα έχει απλούστερη μορφή

Εξίσωση (1.15)που ονομάζεται Εξίσωση ευθείας σε τμήματα, Εδώ ΕΝΑΚαι σισυμβολίστε τα τμήματα που κόβονται από μια ευθεία γραμμή στους άξονες (Εικόνα 1.6).

Εικόνα 1.6

Παράδειγμα 1.10. Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Μ(1, 2) και σι(3, –1).

. Σύμφωνα με το (1.14), η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής έχει τη μορφή

2(Υ – 2) = -3(Χ – 1).

Μεταφορά όλων των μελών σε αριστερή πλευρά, τελικά παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση

3Χ + 2Υ – 7 = 0.

Παράδειγμα 1.11. Να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο Μ(2, 1) και το σημείο τομής των γραμμών Χ+ Υ - 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Θα βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί

Αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις ανά όρο, παίρνουμε 2 Χ+ 1 = 0, εξ ου και . Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε σε οποιαδήποτε εξίσωση, βρίσκουμε την τιμή της τεταγμένης U:

Ας γράψουμε τώρα την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (2, 1) και:

ή .

Ως εκ τούτου ή -5( Υ – 1) = Χ – 2.

Τελικά παίρνουμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής στη φόρμα Χ + 5Υ – 7 = 0.

Παράδειγμα 1.12. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Μ(2.1) και Ν(2,3).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.14), παίρνουμε την εξίσωση

Δεν έχει νόημα αφού ο δεύτερος παρονομαστής είναι μηδέν. Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι τα τετμημένα και των δύο σημείων έχουν την ίδια αξία. Αυτό σημαίνει ότι η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα OYκαι η εξίσωσή του είναι: Χ = 2.

Σχόλιο . Εάν, όταν γράφετε την εξίσωση μιας γραμμής χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.14), ένας από τους παρονομαστές αποδειχθεί ίσος με μηδέν, τότε η επιθυμητή εξίσωση μπορεί να ληφθεί εξισώνοντας τον αντίστοιχο αριθμητή με μηδέν.

Ας εξετάσουμε άλλους τρόπους για να ορίσουμε μια γραμμή σε ένα επίπεδο.

1. Έστω ένα μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στη δεδομένη ευθεία μεγάλο, και σημείο Μ 0(Χ 0, Υ 0) βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή (Εικόνα 1.7).

Εικόνα 1.7

Ας υποδηλώσουμε Μ(Χ, Υ) οποιοδήποτε σημείο σε μια γραμμή μεγάλο. Διανύσματα και Ορθογώνιο. Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορθογωνικότητας αυτών των διανυσμάτων, λαμβάνουμε ή ΕΝΑ(Χ – Χ 0) + σι(Υ – Υ 0) = 0.

Έχουμε λάβει την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ΜΤο 0 είναι κάθετο στο διάνυσμα. Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται Κανονικό διάνυσμα σε ευθεία γραμμή μεγάλο. Η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να ξαναγραφτεί ως

Ω + Wu + ΜΕ= 0, όπου ΜΕ = –(ΕΝΑΧ 0 + Με 0), (1.16),

Οπου ΕΝΑΚαι ΣΕ– συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος.

Λαμβάνουμε τη γενική εξίσωση της γραμμής σε παραμετρική μορφή.

2. Μια ευθεία σε ένα επίπεδο μπορεί να οριστεί ως εξής: έστω ένα μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο στη δεδομένη ευθεία μεγάλοκαι περίοδος Μ 0(Χ 0, Υ 0) βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή. Ας ξαναπάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο Μ(Χ, y) σε ευθεία γραμμή (Εικόνα 1.8).

Εικόνα 1.8

Διανύσματα και συγγραμμική.

Ας γράψουμε την συνθήκη για τη συγγραμμικότητα αυτών των διανυσμάτων: , όπου Τ– ένας αυθαίρετος αριθμός που ονομάζεται παράμετρος. Ας γράψουμε αυτή την ισότητα σε συντεταγμένες:

Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται Παραμετρικές εξισώσεις Ευθεία. Ας εξαιρέσουμε την παράμετρο από αυτές τις εξισώσεις Τ:

Αυτές οι εξισώσεις μπορούν διαφορετικά να γραφτούν ως

. (1.18)

Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται Κανονική εξίσωσηευθεία. Το διάνυσμα ονομάζεται Το σκηνοθετικό διάνυσμα είναι ευθύ .

Σχόλιο . Είναι εύκολο να δούμε ότι το if είναι το κανονικό διάνυσμα στη γραμμή μεγάλο, τότε το διάνυσμα κατεύθυνσής του μπορεί να είναι το διάνυσμα αφού , δηλ.

Παράδειγμα 1.13. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0(1, 1) παράλληλα με τη γραμμή 3 Χ + 2U– 8 = 0.

Λύση . Το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα για τις δεδομένες και επιθυμητές γραμμές. Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0 με δεδομένο κανονικό διάνυσμα 3( Χ –1) + 2(U– 1) = 0 ή 3 Χ + 2υ– 5 = 0. Λάβαμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής.