Ορισμός. Κατάταξη μήτραςείναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών που θεωρούνται διανύσματα.

Θεώρημα 1 για την κατάταξη του πίνακα. Κατάταξη μήτραςονομάζεται μέγιστη τάξη ενός μη μηδενικού ελάσσονος πίνακα.

Έχουμε ήδη συζητήσει την έννοια του ανηλίκου στο μάθημα για τις ορίζουσες και τώρα θα τη γενικεύσουμε. Ας πάρουμε έναν ορισμένο αριθμό σειρών και έναν συγκεκριμένο αριθμό στηλών στον πίνακα, και αυτό το "πόσες" θα πρέπει να είναι μικρότερος αριθμόςγραμμές και στήλες του πίνακα και για γραμμές και στήλες αυτό το "πόσο" πρέπει να είναι ο ίδιος αριθμός. Στη συνέχεια, στη διασταύρωση του πόσες σειρές και πόσες στήλες θα υπάρχει ένας πίνακας χαμηλότερης τάξης από τον αρχικό μας πίνακα. Η ορίζουσα είναι ένας πίνακας και θα είναι ελάσσονας της kth τάξης εάν το αναφερόμενο «some» (ο αριθμός των σειρών και των στηλών) συμβολίζεται με k.

Ορισμός.Μικρή ( r+1)η σειρά, εντός της οποίας βρίσκεται ο επιλεγμένος ανήλικος r-η τάξη ονομάζεται περίγραμμα για ένα δεδομένο δευτερεύον.

Οι δύο πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι βρίσκοντας την κατάταξη του πίνακα. Αυτό τρόπο οριοθέτησης ανηλίκωνΚαι μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών(μέθοδος Gauss).

Κατά τη χρήση της μεθόδου οριοθέτησης δευτερευόντων, χρησιμοποιείται το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 2 για την κατάταξη του πίνακα.Εάν ένα δευτερεύον μπορεί να αποτελείται από στοιχεία μήτρας rη τάξη, όχι ίση με το μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με r.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος στοιχειώδους μετασχηματισμού, χρησιμοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα:

Εάν, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών, ληφθεί τραπεζοειδής πίνακας ισοδύναμος με τον αρχικό, τότε κατάταξη αυτού του πίνακαείναι ο αριθμός των γραμμών σε αυτό εκτός από τις γραμμές που αποτελούνται εξ ολοκλήρου από μηδενικά.

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων

Ένα εσώκλειστο ελάσσονα είναι ένα ελάσσονα υψηλότερης τάξης σε σχέση με το δεδομένο εάν αυτό το ελάσσονα ανώτερης τάξης περιέχει το δεδομένο ελάσσονα.

Για παράδειγμα, δεδομένου του πίνακα

Ας πάρουμε ένα ανήλικο

Οι παραμεθόριοι ανήλικοι θα είναι:

Αλγόριθμος για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακαΕπόμενο.

1. Βρείτε δευτερεύοντα δευτερεύουσας τάξης που δεν είναι ίσα με μηδέν. Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα θα είναι ίση με ένα ( r =1 ).

2. Αν υπάρχει τουλάχιστον ένα ελάσσονα δεύτερης τάξης που δεν ισούται με μηδέν, τότε συνθέτουμε τα οριακά ελάσσονα τρίτης τάξης. Εάν όλα τα συνοριακά ανήλικα της τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με δύο ( r =2 ).

3. Αν τουλάχιστον ένα από τα συνοριακά ανήλικα τρίτης τάξης δεν ισούται με μηδέν, τότε συνθέτουμε τα συνοριακά ανήλικα. Εάν όλα τα συνοριακά ανήλικα της τέταρτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με τρία ( r =2 ).

4. Συνεχίστε με αυτόν τον τρόπο όσο το επιτρέπει το μέγεθος του πίνακα.

Παράδειγμα 1.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

.

Λύση. Ανήλικο δεύτερης τάξης .

Ας το οριοθετήσουμε. Θα υπάρχουν τέσσερις παραμεθόριες ανήλικες:

,

,

Έτσι, όλα τα συνοριακά ανήλικα της τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, επομένως, η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι ίση με δύο ( r =2 ).

Παράδειγμα 2.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Λύση. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι ίση με 1, αφού όλα τα δευτερεύοντα ανήλικα άτομα αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν (σε αυτό, όπως και στις περιπτώσεις των ανηλίκων που συνορεύουν στα δύο παρακάτω παραδείγματα, αγαπητοί μαθητές καλούνται να επαληθεύσουν για οι ίδιοι, ίσως χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τον υπολογισμό οριζόντων), και μεταξύ των δευτερευόντων δευτερευόντων πρώτης τάξης , δηλαδή μεταξύ των στοιχείων του πίνακα, υπάρχουν μη μηδενικά.

Παράδειγμα 3.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Λύση. Το δευτερεύον δευτερεύον δεύτερου πίνακα αυτού του πίνακα είναι και όλα τα ελάσσονα τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι δύο.

Παράδειγμα 4.Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Λύση. Η κατάταξη αυτού του πίνακα είναι 3, αφού το μόνο δευτερεύον τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι το 3.

Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών (μέθοδος Gauss)

Ήδη στο παράδειγμα 1 είναι σαφές ότι η εργασία για τον προσδιορισμό της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων απαιτεί υπολογισμό μεγάλος αριθμόςκαθοριστικές. Υπάρχει, ωστόσο, ένας τρόπος να μειωθεί ο όγκος του υπολογισμού στο ελάχιστο. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη χρήση μετασχηματισμών στοιχειώδους πίνακα και ονομάζεται επίσης μέθοδος Gauss.

Οι ακόλουθες πράξεις νοούνται ως στοιχειώδεις μετασχηματισμοί πίνακα:

1) πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης ενός πίνακα με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

2) προσθέτοντας στα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης του πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης, πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό.

3) εναλλαγή δύο σειρών ή στηλών του πίνακα.

4) αφαίρεση σειρών "μηδενικών", δηλαδή εκείνων των οποίων τα στοιχεία είναι όλα ίσα με μηδέν.

5) διαγραφή όλων των αναλογικών γραμμών εκτός από μία.

Θεώρημα.Κατά τη διάρκεια ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει. Με άλλα λόγια, αν χρησιμοποιήσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς από τον πίνακα ΕΝΑπήγε στο matrix σι, Οτι .

Έστω A ένας πίνακας μεγεθών m\ φορές n και k φυσικός αριθμός, που δεν υπερβαίνει τα m και n: k\leqslant\min\(m;n\). Μικρή kth σειράΟ πίνακας A είναι ο προσδιοριστής ενός πίνακα k-ης τάξης που σχηματίζεται από τα στοιχεία στη τομή αυθαίρετα επιλεγμένων k σειρών και k στηλών του πίνακα A. Όταν δηλώνουμε δευτερεύοντες δείκτες, θα υποδεικνύουμε τους αριθμούς των επιλεγμένων σειρών ως ανώτερους δείκτες και τους αριθμούς των επιλεγμένων στηλών ως κατώτερους δείκτες, ταξινομώντας τους σε αύξουσα σειρά.

Παράδειγμα 3.4.Γράψτε ανηλίκους διαφορετικών τάξεων του πίνακα

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Λύση.Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις 3\times4. Έχει: 12 ανηλίκους 1ης τάξης, για παράδειγμα, ανήλικα M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 ανήλικοι 2ης τάξης, για παράδειγμα, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 ανήλικοι τρίτης τάξης, για παράδειγμα,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Σε έναν πίνακα Α με διαστάσεις m\ φορές n, καλείται η ελάσσονα r-ης τάξης βασικός, αν είναι μη μηδενικό και όλα τα δευτερεύοντα της τάξης (r+1)-ro είναι ίσα με μηδέν ή δεν υπάρχουν καθόλου.

Κατάταξη μήτραςονομάζεται η τάξη του βασικού ελάσσονος. Δεν υπάρχει ελάσσονος βάσης σε έναν μηδενικό πίνακα. Επομένως, η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα είναι, εξ ορισμού, ίση με μηδέν. Η κατάταξη του πίνακα Α συμβολίζεται με \όνομα χειριστή(rg)A.

Παράδειγμα 3.5.Βρείτε όλα τα βασικά ανήλικα και την κατάταξη μήτρας

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Λύση.Όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, καθώς αυτοί οι ορίζοντες έχουν μηδενική τρίτη σειρά. Επομένως, μόνο ένα δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο που βρίσκεται στις δύο πρώτες σειρές του πίνακα μπορεί να είναι βασικό. Περνώντας από 6 πιθανά ανήλικα, επιλέγουμε μη μηδενικά

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Καθένα από αυτά τα πέντε ανήλικα είναι ένα βασικό. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι 2.

Σημειώσεις 3.2

1. Αν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα kth τάξης σε έναν πίνακα είναι ίσα με μηδέν, τότε τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα υψηλότερης τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Πράγματι, επεκτείνοντας την ελάσσονα της τάξης (k+1)-ro σε οποιαδήποτε σειρά, λαμβάνουμε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων αυτής της σειράς κατά δευτερεύοντα της kth τάξης και είναι ίσα με μηδέν.

2. Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με την υψηλότερη τάξη του μη μηδενικού δευτερεύοντος αυτού του πίνακα.

3. Εάν ένας τετράγωνος πίνακας είναι μη ενικός, τότε η κατάταξή του είναι ίση με τη σειρά του. Εάν ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ενικός, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από τη σειρά του.

4. Οι ονομασίες χρησιμοποιούνται και για την κατάταξη \όνομα χειριστή(Rg)A,~ \όνομα χειριστή(rang)A,~ \όνομα χειριστή(κατάταξη)A.

5. Κατάταξη μήτρας μπλοκορίζεται ως η κατάταξη ενός κανονικού (αριθμητικού) πίνακα, δηλ. ανεξάρτητα από τη δομή του μπλοκ του. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατάταξη ενός πίνακα μπλοκ δεν είναι μικρότερη από τις τάξεις των μπλοκ του: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)AΚαι \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)B, αφού όλα τα δευτερεύοντα του πίνακα A (ή B ) είναι επίσης ελάσσονα του πίνακα μπλοκ (A\mid B) .

Θεωρήματα με βάση το ελάσσονα και την κατάταξη του πίνακα

Ας εξετάσουμε τα κύρια θεωρήματα που εκφράζουν τις ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα.

Θεώρημα 3.1 με βάση το δευτερεύον.Σε έναν αυθαίρετο πίνακα Α, κάθε στήλη (σειρά) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών (γραμμών) στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα.

Πράγματι, χωρίς απώλεια γενικότητας, υποθέτουμε ότι σε έναν πίνακα Α μεγέθους m\ φορές n το βασικό ελάσσονα βρίσκεται στις πρώτες r σειρές και στις πρώτες r στήλες. Εξετάστε την ορίζουσα

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

που προκύπτει με την ανάθεση στο βασικό μινόρε του πίνακα Α το αντίστοιχο τα στοιχείασειρές και k-η στήλη. Σημειώστε ότι για οποιαδήποτε 1\leqslant s\leqslant mκαι αυτή η ορίζουσα ισούται με μηδέν. Αν s\leqslant r ή k\leqslant r , τότε η ορίζουσα D περιέχει δύο ίδιες γραμμές ή δύο ίδιες στήλες. Αν s>r και k>r, τότε η ορίζουσα D είναι ίση με μηδέν, αφού είναι δευτερεύουσα τάξης (r+l)-ro. Επεκτείνοντας την ορίζουσα κατά μήκος της τελευταίας γραμμής, παίρνουμε

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

όπου D_(r+1\,j) είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων της τελευταίας σειράς. Σημειώστε ότι D_(r+1\,r+1)\ne0 αφού πρόκειται για δευτερεύουσα βάση. Να γιατί

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Οπου \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Γράφοντας την τελευταία ισότητα για s=1,2,\ldots,m, παίρνουμε

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

εκείνοι. kth στήλη (για οποιαδήποτε 1\leqslant k\leqslant n) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του βασικού δευτερεύοντος, το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.

Το θεώρημα ελάσσονος βάσης χρησιμεύει για να αποδείξει τα ακόλουθα σημαντικά θεωρήματα.

Προϋπόθεση για την ορίζουσα να είναι μηδέν

Θεώρημα 3.2 (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι η ορίζουσα μηδέν).Για να είναι μια ορίζουσα ίση με το μηδέν, είναι απαραίτητο και αρκετό μια από τις στήλες της (μία από τις σειρές της) να είναι γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών (γραμμών).

Πράγματι, η αναγκαιότητα προκύπτει από το θεώρημα ελάσσονος βάσης. Αν η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης n είναι ίση με μηδέν, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από n, δηλ. τουλάχιστον μία στήλη δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα. Τότε αυτή η επιλεγμένη στήλη, από το Θεώρημα 3.1, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα. Προσθέτοντας, εάν χρειάζεται, σε αυτόν τον συνδυασμό και άλλες στήλες με μηδενικούς συντελεστές, προκύπτει ότι η επιλεγμένη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών του πίνακα. Η επάρκεια προκύπτει από τις ιδιότητες της ορίζουσας. Αν, για παράδειγμα, η τελευταία στήλη A_n της ορίζουσας \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)εκφράζεται γραμμικά μέσα από τα υπόλοιπα

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

στη συνέχεια προσθέτοντας στη στήλη A_n A_1 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_1), στη συνέχεια στη στήλη A_2 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_2) κ.λπ. στήλη A_(n-1) πολλαπλασιαζόμενη επί (-\λάμδα_(n-1)) παίρνουμε την ορίζουσα \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)με μηδενική στήλη ίση με μηδέν (ιδιότητα 2 της ορίζουσας).

Αμετάβλητη κατάταξη πίνακα κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

Θεώρημα 3.3 (για την αναλλοίωτη κατάταξη κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς). Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα, η κατάταξή του δεν αλλάζει.

Πράγματι, ας είναι. Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού των στηλών του πίνακα Α λάβαμε τον πίνακα Α". Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου Ι (μετάθεση δύο στηλών), τότε οποιοδήποτε δευτερεύον (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίσο με το αντίστοιχο δευτερεύον (r+l )-ro της τάξης του πίνακα Α, είτε διαφέρει από αυτόν ως προς το πρόσημο (ιδιότητα 3 της ορίζουσας). Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου II (πολλαπλασιάζοντας τη στήλη με τον αριθμό \λάμδα\ne0 ), τότε οποιαδήποτε δευτερεύουσα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη ελάσσονα (r+l) -ro της τάξης του πίνακα A ή διαφορετικός από αυτόν παράγοντας \λάμδα\ne0 (ιδιότητα 6 της ορίζουσας). ελάσσονα της (r+1) ης τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη δευτερεύουσα (r+1)-η τάξη του πίνακα Α (ιδιότητα 9 της ορίζουσας), είτε ισούται με το άθροισμα δύο ελάσσονες (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α (ιδιότητα 8 της ορίζουσας). Επομένως, κάτω από έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό οποιουδήποτε τύπου, όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι ίσα με μηδέν, αφού όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A είναι ίση με μηδέν. Έτσι, έχει αποδειχθεί ότι κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στηλών ο πίνακας κατάταξης δεν μπορεί να αυξηθεί. Εφόσον οι μετασχηματισμοί αντίστροφοι προς τους στοιχειώδεις είναι στοιχειώδεις, η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών, δηλ. δεν αλλάζει. Ομοίως, αποδεικνύεται ότι η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει υπό στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών.

Συμπέρασμα 1. Εάν μια σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων σειρών του (στήλες), τότε αυτή η σειρά (στήλη) μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα χωρίς να αλλάξει η κατάταξή του.

Πράγματι, μια τέτοια συμβολοσειρά μπορεί να μηδενιστεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς και μια μηδενική συμβολοσειρά δεν μπορεί να συμπεριληφθεί στη βασική ελάσσονα.

Συμπέρασμα 2. Εάν ο πίνακας μειωθεί στην απλούστερη μορφή (1.7), τότε

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=r\,.

Πράγματι, ο πίνακας της απλούστερης μορφής (1.7) έχει ελάσσονα βάσης της τάξης r.

Συμπέρασμα 3. Κάθε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι στοιχειώδης, με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Πράγματι, αν το Α είναι ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακας νης τάξης, τότε \όνομα χειριστή(rg)A=n(βλ. παράγραφο 3 των σχολίων 3.2). Επομένως, φέρνοντας τον πίνακα A στην απλούστερη μορφή (1.7) με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε τον πίνακα ταυτότητας \Lambda=E_n , αφού \όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=n(βλ. Συμπέρασμα 2). Επομένως, ο πίνακας Α είναι ισοδύναμος με τον πίνακα ταυτότητας E_n και μπορεί να ληφθεί από αυτόν ως αποτέλεσμα ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών. Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας Α είναι στοιχειώδης.

Θεώρημα 3.4 (σχετικά με την κατάταξη του πίνακα). Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων σειρών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας \όνομα χειριστή(rg)A=r. Τότε ο πίνακας Α έχει r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές. Αυτές είναι οι γραμμές στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα. Εάν ήταν γραμμικά εξαρτώμενα, τότε αυτό το δευτερεύον θα ήταν ίσο με μηδέν από το Θεώρημα 3.2, και η κατάταξη του πίνακα A δεν θα ήταν ίση με r. Ας δείξουμε ότι r είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών, δηλ. οποιεσδήποτε σειρές p εξαρτώνται γραμμικά για p>r. Πράγματι, σχηματίζουμε τον πίνακα B από αυτές τις σειρές p. Εφόσον ο πίνακας Β είναι μέρος του πίνακα Α, τότε \όνομα χειριστή(rg)B\leqslant \όνομα χειριστή(rg)A=r

Αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον μία σειρά του πίνακα Β δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα αυτού του πίνακα. Τότε, με το θεώρημα ελάσσονος βάσης, ισούται με έναν γραμμικό συνδυασμό των σειρών στις οποίες βρίσκεται το ελάσσονα βάσης. Επομένως, οι σειρές του πίνακα Β εξαρτώνται γραμμικά. Έτσι, ο πίνακας Α έχει το πολύ r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές.

Συμπέρασμα 1. Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στηλών:

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)A^T.

Αυτή η δήλωση προκύπτει από το Θεώρημα 3.4 εάν την εφαρμόσουμε στις σειρές ενός μετατιθέμενου πίνακα και λάβουμε υπόψη ότι οι δευτερεύουσες δεν αλλάζουν κατά τη μεταφορά (ιδιότητα 1 της ορίζουσας).

Συμπέρασμα 2. Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών ενός πίνακα, διατηρείται η γραμμική εξάρτηση (ή γραμμική ανεξαρτησία) οποιουδήποτε συστήματος στηλών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε οποιεσδήποτε k στήλες ενός δεδομένου πίνακα A και ας συνθέσουμε τον πίνακα B από αυτές. Ας ληφθεί ο πίνακας Α" ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Α και ο πίνακας Β" ως αποτέλεσμα των ίδιων μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Β. Με το Θεώρημα 3.3 \όνομα χειριστή(rg)B"=\όνομα χειριστή(rg)B. Επομένως, εάν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά ανεξάρτητες, δηλ. k=\όνομα χειριστή(rg)B(βλ. Συμπέρασμα 1), τότε οι στήλες του πίνακα Β" είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες, αφού k=\όνομα χειριστή(rg)B". Αν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά εξαρτώμενες (k>\όνομα χειριστή(rg)B), τότε οι στήλες του πίνακα Β" εξαρτώνται επίσης γραμμικά (k>\όνομα χειριστή(rg)B"). Συνεπώς, για οποιεσδήποτε στήλες του πίνακα Α, η γραμμική εξάρτηση ή η γραμμική ανεξαρτησία διατηρείται κάτω από μετασχηματισμούς στοιχειωδών σειρών.

Σημειώσεις 3.3

1. Σύμφωνα με το Συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 3.4, η ιδιότητα των στηλών που υποδεικνύεται στο Συμπέρασμα 2 ισχύει επίσης για οποιοδήποτε σύστημα σειρών πινάκων εάν εκτελούνται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μόνο στις στήλες του.

2. Το συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3 μπορεί να βελτιωθεί ως εξής: οποιαδήποτε μη εκφυλισμένη τετράγωνη μήτρα, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς μόνο των γραμμών του (ή μόνο των στηλών του), μπορεί να αναχθεί σε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών, οποιοσδήποτε πίνακας Α μπορεί να αναχθεί στην απλοποιημένη μορφή \Λάμδα (Εικ. 1.5) (βλ. Θεώρημα 1.1). Δεδομένου ότι ο πίνακας A είναι μη ενικός (\det(A)\ne0), οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αυτό σημαίνει ότι οι στήλες του πίνακα \Λάμδα είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες (Συνέπεια 2 του Θεωρήματος 3.4). Επομένως, η απλοποιημένη μορφή \Λάμδα ενός μη ενικού πίνακα Α συμπίπτει με την απλούστερη μορφή του (Εικ. 1.6) και είναι ο πίνακας ταυτότητας \Λάμδα=Ε (βλ. Συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3). Έτσι, μετασχηματίζοντας μόνο τις σειρές ενός μη μοναδικού πίνακα, μπορεί να αναχθεί στον πίνακα ταυτότητας. Παρόμοιος συλλογισμός ισχύει για στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών ενός μη ενικού πίνακα.

Κατάταξη προϊόντος και άθροισμα πινάκων

Θεώρημα 3.5 (για την κατάταξη του γινομένου των πινάκων). Η κατάταξη του γινομένου των πινάκων δεν υπερβαίνει την κατάταξη των παραγόντων:

\όνομα χειριστή(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\όνομα χειριστή(rg)A,\όνομα χειριστή(rg)B\).

Πράγματι, έστω ότι οι πίνακες Α και Β έχουν μεγέθη m\ φορές p και p\ φορές n . Ας αντιστοιχίσουμε στον πίνακα Α τον πίνακα C=AB\πάχος\,(A\μέσα C). Φυσικά αυτό \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C), αφού το C είναι μέρος του πίνακα (A\mid C) (βλ. παράγραφο 5 των παρατηρήσεων 3.2). Σημειώστε ότι κάθε στήλη C_j, σύμφωνα με την πράξη πολλαπλασιασμού του πίνακα, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών A_1,A_2,\ldots,A_pμήτρες A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Μια τέτοια στήλη μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα (A\mid C) χωρίς να αλλάξει η κατάταξή της (Συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 3.3). Διασχίζοντας όλες τις στήλες του πίνακα C, παίρνουμε: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Από εδώ, \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η προϋπόθεση ικανοποιείται ταυτόχρονα \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)B, και βγάλτε ένα συμπέρασμα σχετικά με την εγκυρότητα του θεωρήματος.

Συνέπεια. Αν Ο Α είναι λοιπόν ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακας \όνομα χειριστή(rg)(AB)= \όνομα χειριστή(rg)BΚαι \όνομα χειριστή(rg)(CA)=\όνομα χειριστή(rg)C, δηλ. η κατάταξη ενός πίνακα δεν αλλάζει όταν πολλαπλασιάζεται από αριστερά ή δεξιά με έναν μη ενικό τετράγωνο πίνακα.

Θεώρημα 3.6 για την κατάταξη των αθροισμάτων πινάκων. Η κατάταξη του αθροίσματος των πινάκων δεν υπερβαίνει το άθροισμα των βαθμών των όρων:

\όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B.

Πράγματι, ας δημιουργήσουμε μια μήτρα (A+B\mid A\mid B). Σημειώστε ότι κάθε στήλη του πίνακα A+B είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών των πινάκων Α και Β. Να γιατί \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)= \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B). Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών στον πίνακα (A\mid B) δεν υπερβαίνει \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B,ένα \όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)(βλ. ενότητα 5 των Παρατηρήσεων 3.2), λαμβάνουμε την ανισότητα που αποδεικνύεται.

Για να δουλέψουμε με την έννοια της κατάταξης μήτρας, θα χρειαστούμε πληροφορίες από το θέμα "Αλγεβρικά συμπληρώματα και δευτερεύοντα. Τύποι δευτερευόντων και αλγεβρικά συμπληρώματα". Πρώτα απ 'όλα, αυτό αφορά τον όρο "matrix minor", αφού θα καθορίσουμε την κατάταξη του matrix ακριβώς μέσω των ανηλίκων.

Κατάταξη μήτραςείναι η μέγιστη τάξη των ανηλίκων του, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν ισούται με το μηδέν.

Ισοδύναμοι πίνακες- πίνακες των οποίων οι τάξεις είναι ίσες μεταξύ τους.

Ας εξηγήσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες. Ας υποθέσουμε ότι μεταξύ των ανηλίκων δεύτερης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που είναι διαφορετικό από το μηδέν. Και όλοι οι ανήλικοι των οποίων η σειρά είναι μεγαλύτερη από δύο ισούνται με μηδέν. Συμπέρασμα: η κατάταξη του πίνακα είναι 2. Ή, για παράδειγμα, μεταξύ των ανηλίκων της δέκατης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν. Και όλοι οι ανήλικοι των οποίων η σειρά είναι μεγαλύτερη από 10 ισούνται με μηδέν. Συμπέρασμα: η κατάταξη του πίνακα είναι 10.

Η κατάταξη του πίνακα $A$ συμβολίζεται ως εξής: $\rang A$ ή $r(A)$. Η κατάταξη του μηδενικού πίνακα $O$ θεωρείται ότι είναι μηδέν, $\rang O=0$. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να σχηματίσετε έναν ελάσσονα πίνακα πρέπει να διαγράψετε γραμμές και στήλες, αλλά είναι αδύνατο να διαγράψετε περισσότερες σειρές και στήλες από αυτές που περιέχει ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα, εάν ο πίνακας $F$ έχει μέγεθος $5\ φορές 4$ (δηλαδή περιέχει 5 σειρές και 4 στήλες), τότε η μέγιστη σειρά των δευτερευόντων του είναι τέσσερις. Δεν θα είναι πλέον δυνατός ο σχηματισμός ανηλίκων πέμπτης τάξης, αφού θα απαιτούν 5 στήλες (και έχουμε μόνο 4). Αυτό σημαίνει ότι η κατάταξη του πίνακα $F$ δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τέσσερα, δηλ. $\rang F≤4$.

Σε γενικότερη μορφή, τα παραπάνω σημαίνουν ότι εάν ένας πίνακας περιέχει σειρές $m$ και στήλες $n$, τότε η κατάταξή του δεν μπορεί να υπερβαίνει τη μικρότερη των $m$ και $n$, δηλ. $\rang A≤\min(m,n)$.

Κατ' αρχήν, από τον ίδιο τον ορισμό της κατάταξης ακολουθεί η μέθοδος εύρεσης της. Η διαδικασία εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα, εξ ορισμού, μπορεί να αναπαρασταθεί σχηματικά ως εξής:

Επιτρέψτε μου να εξηγήσω αυτό το διάγραμμα με περισσότερες λεπτομέρειες. Ας αρχίσουμε να συλλογιζόμαστε από την αρχή, δηλ. από την πρώτη τάξη δευτερεύοντα στοιχεία κάποιου πίνακα $A$.

1. Εάν όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία πρώτης τάξης (δηλαδή τα στοιχεία του πίνακα $A$) είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=0$. Εάν μεταξύ των δευτερευόντων πρώτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 1$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων δεύτερης τάξης.
2. Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=1$. Αν ανάμεσα στα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 2$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων τρίτης τάξης.
3. Εάν όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=2$. Εάν μεταξύ των δευτερευόντων δευτερευόντων τρίτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 3$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων τέταρτης τάξης.
4. Αν όλα τα δευτερεύοντα τέταρτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\rang A=3$. Εάν μεταξύ των δευτερευόντων τετάρτων τάξεων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε $\rang A≥ 4$. Προχωράμε στον έλεγχο ανηλίκων πέμπτης τάξης και ούτω καθεξής.

Τι μας περιμένει στο τέλος αυτής της διαδικασίας; Είναι πιθανό ότι μεταξύ των δευτερευόντων δευτερολέπτων kth τάξης θα υπάρχει τουλάχιστον ένα διαφορετικό από το μηδέν, και όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία (k+1) θα είναι ίσα με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι k είναι η μέγιστη τάξη των δευτερευόντων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, δηλ. ο βαθμός θα είναι ίσος με k. Ενδέχεται να υπάρχει διαφορετική κατάσταση: μεταξύ των ανηλίκων τάξης k-ης θα υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με το μηδέν, αλλά δεν θα είναι πλέον δυνατό να σχηματιστούν ανήλικα άτομα τάξης (k+1). Σε αυτήν την περίπτωση, η κατάταξη του πίνακα είναι επίσης ίση με k. Εν συντομία, Η σειρά του τελευταίου σύνθετου μη μηδενικού δευτερεύοντος θα είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα.

Ας προχωρήσουμε σε παραδείγματα στα οποία η διαδικασία εύρεσης της κατάταξης μιας μήτρας, εξ ορισμού, θα επεξηγηθεί με σαφήνεια. Επιτρέψτε μου να τονίσω για άλλη μια φορά ότι στα παραδείγματα αυτού του θέματος θα αρχίσουμε να βρίσκουμε την κατάταξη των πινάκων χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό της κατάταξης. Άλλες μέθοδοι (υπολογισμός της κατάταξης μιας μήτρας με χρήση της μεθόδου οριοθέτησης ανηλίκων, υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών) συζητούνται στα ακόλουθα θέματα.

Παρεμπιπτόντως, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να ξεκινήσει η διαδικασία εύρεσης του βαθμού με ανηλίκους της μικρότερης τάξης, όπως έγινε στα παραδείγματα Νο. 1 και Νο. 2. Μπορείτε να προχωρήσετε αμέσως σε ανηλίκους υψηλότερων τάξεων (βλ. παράδειγμα Νο. 3).

Παράδειγμα Νο. 1

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα $A=\left(\begin(array)(cccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Αυτός ο πίνακας έχει μέγεθος $3\ φορές 5$, δηλ. περιέχει τρεις σειρές και πέντε στήλες. Από τους αριθμούς 3 και 5, το ελάχιστο είναι 3, επομένως η κατάταξη του πίνακα $A$ δεν είναι μεγαλύτερη από 3, δηλ. $\rang A≤ 3$. Και αυτή η ανισότητα είναι προφανής, αφού δεν θα μπορούμε πλέον να σχηματίζουμε δευτερεύοντα τέταρτης τάξης - απαιτούν 4 σειρές και έχουμε μόνο 3. Ας προχωρήσουμε απευθείας στη διαδικασία εύρεσης της κατάταξης ενός δεδομένου πίνακα.

Μεταξύ των δευτερευόντων πρώτης τάξης (δηλαδή μεταξύ των στοιχείων του πίνακα $A$) υπάρχουν μη μηδενικά. Για παράδειγμα, 5, -3, 2, 7. Γενικά, δεν μας ενδιαφέρει σύνολομη μηδενικά στοιχεία. Υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο - και αυτό είναι αρκετό. Δεδομένου ότι μεταξύ των ανηλίκων πρώτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, συμπεραίνουμε ότι το $\raned A≥ 1$ και προχωράμε στον έλεγχο των δευτερευόντων δευτερευόντων.

Ας ξεκινήσουμε την εξερεύνηση ανηλίκων δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα, στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 1, Νο. 2 και στηλών Νο. 1, Νο. 4 υπάρχουν στοιχεία του παρακάτω δευτερεύοντος: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. Για αυτήν την ορίζουσα, όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης είναι ίσα με μηδέν, επομένως η ίδια η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, δηλ. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (δείτε την ιδιότητα No. 3 στο θέμα των ιδιοτήτων των οριζόντων). Ή μπορείτε απλώς να υπολογίσετε αυτόν τον ορίζοντα χρησιμοποιώντας τον τύπο Νο. 1 από την ενότητα για τον υπολογισμό οριζόντων δεύτερης και τρίτης τάξης:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Το πρώτο δευτερεύον δευτερεύον που δοκιμάσαμε αποδείχθηκε ίσο με μηδέν. Τι σημαίνει αυτό? Σχετικά με την ανάγκη περαιτέρω ελέγχου των ανηλίκων δεύτερης τάξης. Είτε θα αποδειχθούν όλα μηδέν (και τότε η κατάταξη θα είναι ίση με 1), είτε μεταξύ τους θα υπάρχει τουλάχιστον ένα μικρότερο που είναι διαφορετικό από το μηδέν. Ας προσπαθήσουμε να κάνουμε μια καλύτερη επιλογή γράφοντας ένα δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 1, Νο. 2 και στηλών Νο. 1 και Νο. 5: $\left|\begin( πίνακας)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. Ας βρούμε την τιμή αυτού του δευτερεύοντος δευτερεύοντος:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Αυτό το δευτερεύον δεν είναι ίσο με μηδέν. Συμπέρασμα: μεταξύ των ανηλίκων δεύτερης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό. Επομένως $\rang A≥ 2$. Πρέπει να προχωρήσουμε στη μελέτη ανηλίκων τρίτης τάξης.

Αν επιλέξουμε τη στήλη Νο. 2 ή τη στήλη Νο. 4 για να σχηματίσουμε δευτερεύοντα δευτερεύοντα τρίτης τάξης, τότε τέτοια δευτερεύοντα θα είναι ίσα με μηδέν (αφού θα περιέχουν μηδενική στήλη). Απομένει να ελέγξουμε μόνο ένα δευτερεύον τρίτης τάξης, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των στηλών Νο. 1, Νο. 3, Νο. 5 και σειρών Νο. 1, Νο. 2, Νο. 3. Ας γράψουμε αυτό το δευτερεύον και ας βρούμε την αξία του:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Άρα, όλα τα δευτερεύοντα τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν. Το τελευταίο μη μηδενικό δευτερεύον που συντάξαμε ήταν δεύτερης τάξης. Συμπέρασμα: η μέγιστη τάξη των ανηλίκων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, είναι 2. Επομένως, $\rang A=2$.

Απάντηση: $\rang A=2$.

Παράδειγμα Νο. 2

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Έχουμε έναν τετραγωνικό πίνακα τέταρτης τάξης. Ας σημειώσουμε αμέσως ότι η κατάταξη αυτού του πίνακα δεν υπερβαίνει το 4, δηλ. $\rang A≤ 4$. Ας αρχίσουμε να βρίσκουμε την κατάταξη του πίνακα.

Μεταξύ των δευτερευόντων δευτερευόντων πρώτης τάξης (δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων του πίνακα $A$) υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, επομένως $\rang A≥ 1$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα, στη διασταύρωση των γραμμών Νο. 2, Νο. 3 και των στηλών Νο. 1 και Νο. 2, λαμβάνουμε το ακόλουθο δευτερεύον δευτερεύον: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Ας το υπολογίσουμε:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Μεταξύ των δευτερευουσών δευτερευόντων βαθμών υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, επομένως $\rang A≥ 2$.

Ας περάσουμε στα ανήλικα τρίτης τάξης. Ας βρούμε, για παράδειγμα, ένα ανήλικο του οποίου τα στοιχεία βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 1, Νο. 3, Νο. 4 και στηλών Νο. 1, Νο. 2, Νο. 4:

$$\ αριστερά | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Δεδομένου ότι αυτό το δευτερεύον τρίτης τάξης αποδείχθηκε ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο να διερευνηθεί ένα άλλο δευτερεύον τρίτης τάξης. Είτε όλοι θα είναι ίσοι με μηδέν (τότε η κατάταξη θα είναι ίση με 2), είτε μεταξύ τους θα υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν (τότε θα αρχίσουμε να μελετάμε ανηλίκους τέταρτης τάξης). Ας εξετάσουμε ένα δευτερεύον τρίτης τάξης, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4 και στηλών Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Μεταξύ των δευτερευόντων ανηλίκων τρίτης τάξης υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, επομένως $\rang A≥ 3$. Ας προχωρήσουμε στον έλεγχο των ανηλίκων τέταρτης τάξης.

Οποιοδήποτε δευτερεύον τέταρτης τάξης βρίσκεται στη διασταύρωση τεσσάρων σειρών και τεσσάρων στηλών του πίνακα $A$. Με άλλα λόγια, η δευτερεύουσα τέταρτης τάξης είναι η ορίζουσα του πίνακα $A$, αφού δεδομένης μήτραςπεριέχει απλώς 4 σειρές και 4 στήλες. Η ορίζουσα αυτού του πίνακα υπολογίστηκε στο παράδειγμα Νο. 2 του θέματος "Μείωση της σειράς της ορίζουσας. Αποσύνθεση της ορίζουσας σε μια σειρά (στήλη)", οπότε ας πάρουμε απλώς το τελικό αποτέλεσμα:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (πίνακας)\right|=86. $$

Άρα το δευτερεύον τέταρτης τάξης δεν είναι ίσο με μηδέν. Δεν μπορούμε πλέον να σχηματίσουμε ανηλίκους πέμπτης τάξης. Συμπέρασμα: η υψηλότερη τάξη ανηλίκων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό, είναι 4. Αποτέλεσμα: $\rang A=4$.

Απάντηση: $\rang A=4$.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε την κατάταξη του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( πίνακας) \δεξιά)$.

Ας σημειώσουμε αμέσως ότι αυτός ο πίνακας περιέχει 3 σειρές και 4 στήλες, επομένως $\rang A≤ 3$. Στα προηγούμενα παραδείγματα, ξεκινήσαμε τη διαδικασία εύρεσης της κατάταξης λαμβάνοντας υπόψη ανηλίκους της μικρότερης (πρώτης) τάξης. Εδώ θα προσπαθήσουμε να ελέγξουμε αμέσως τους ανηλίκους της υψηλότερης δυνατής τάξης. Για τον πίνακα $A$ αυτά είναι τα ανήλικα τρίτης τάξης. Ας εξετάσουμε ένα δευτερεύον τρίτης τάξης, τα στοιχεία του οποίου βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών Νο. 1, Νο. 2, Νο. 3 και στηλών Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4:

$$\ αριστερά| \begin(array) (cccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Έτσι, η υψηλότερη τάξη των ανηλίκων, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν, είναι 3. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι 3, δηλ. $\rang A=3$.

Απάντηση: $\rang A=3$.

Γενικά, η εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα εξ ορισμού είναι μέσα γενική περίπτωσηη εργασία είναι αρκετά εντατική. Για παράδειγμα, ο πίνακας έχει σχετικά μικρό μέγεθος$5\ επί 4 $ υπάρχουν 60 ανήλικοι δεύτερης τάξης. Και ακόμη κι αν τα 59 από αυτά είναι ίσα με μηδέν, τότε το 60ο δευτερεύον μπορεί να αποδειχθεί μη μηδενικό. Στη συνέχεια, θα πρέπει να μελετήσετε ανηλίκους τρίτης τάξης, από τους οποίους αυτή η μήτρα έχει 40 κομμάτια. Συνήθως προσπαθούν να χρησιμοποιήσουν λιγότερο περίπλοκες μεθόδους, όπως η μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων ή η μέθοδος ισοδύναμων μετασχηματισμών.

ΣτοιχειώδηςΟι ακόλουθοι μετασχηματισμοί πίνακα ονομάζονται:

1) μετάθεση οποιωνδήποτε δύο σειρών (ή στηλών),

2) πολλαπλασιάζοντας μια γραμμή (ή στήλη) με έναν μη μηδενικό αριθμό,

3) προσθέτοντας σε μια σειρά (ή στήλη) μια άλλη σειρά (ή στήλη), πολλαπλασιασμένη με έναν ορισμένο αριθμό.

Οι δύο πίνακες ονομάζονται ισοδύναμος, εάν ένα από αυτά λαμβάνεται από το άλλο χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Οι ισοδύναμοι πίνακες δεν είναι, γενικά, ίσοι, αλλά οι τάξεις τους είναι ίσες. Αν οι πίνακες Α και Β είναι ισοδύναμοι, τότε γράφεται ως εξής: A ~ B.

ΚανονικόςΈνας πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο στην αρχή της κύριας διαγωνίου υπάρχουν πολλά στη σειρά (ο αριθμός των οποίων μπορεί να είναι μηδέν) και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, για παράδειγμα,

Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών και στηλών, οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να αναχθεί σε κανονικό. Η κατάταξη ενός κανονικού πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μονάδων στην κύρια διαγώνιο του.

Παράδειγμα 2Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Α=

και να το φέρει σε κανονική μορφή.

Λύση.Από τη δεύτερη γραμμή, αφαιρέστε την πρώτη και αναδιατάξτε αυτές τις γραμμές:

.

Τώρα από τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή αφαιρούμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί 2 και 5, αντίστοιχα:

;

αφαιρέστε την πρώτη από την τρίτη γραμμή. παίρνουμε μια μήτρα

Β = ,

ο οποίος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα Α, αφού λαμβάνεται από αυτόν χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχειωδών μετασχηματισμών. Προφανώς, η κατάταξη του πίνακα Β είναι 2, και επομένως r(A)=2. Ο πίνακας Β μπορεί εύκολα να αναχθεί σε κανονικό. Αφαιρώντας την πρώτη στήλη, πολλαπλασιαζόμενη με κατάλληλους αριθμούς, από όλες τις επόμενες, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς, εκτός από την πρώτη, και τα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών δεν αλλάζουν. Στη συνέχεια, αφαιρώντας τη δεύτερη στήλη, πολλαπλασιαζόμενη με κατάλληλους αριθμούς, από όλους τους επόμενους, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της δεύτερης σειράς, εκτός από τη δεύτερη, και λαμβάνουμε τον κανονικό πίνακα:

.

Θεώρημα Kronecker - Capelli- κριτήριο συμβατότητας για ένα σύστημα γραμμικής αλγεβρικές εξισώσεις:

Ωστε να γραμμικό σύστημαήταν συμβατό, είναι απαραίτητο και επαρκές η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα αυτού του συστήματος να είναι ίση με την κατάταξη του κύριου πίνακα του.

Απόδειξη (συνθήκες συμβατότητας συστήματος)

Ανάγκη

Αφήνω Σύστημαάρθρωση Μετά υπάρχουν τα νούμερα είναι έτσι, Τι . Επομένως, η στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα. Από το γεγονός ότι η κατάταξη ενός πίνακα δεν θα αλλάξει εάν μια γραμμή (στήλη) διαγραφεί ή προστεθεί από το σύστημα των γραμμών (στήλων) του, που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων σειρών (στήλων), προκύπτει ότι .

Επάρκεια

Αφήστε . Ας πάρουμε μερικά βασικά ελάσσονα στον πίνακα. Αφού, τότε θα είναι επίσης το βασικό ελάσσονα του πίνακα. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα της βάσης ανήλικος, η τελευταία στήλη του πίνακα θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών βάσης, δηλαδή των στηλών του πίνακα. Επομένως, η στήλη των ελεύθερων όρων του συστήματος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα.

Συνέπειες

Αριθμός κύριων μεταβλητών συστήματαίσο με τη βαθμίδα του συστήματος.

Αρθρωση Σύστημαθα οριστεί (η λύση του είναι μοναδική) εάν η κατάταξη του συστήματος είναι ίση με τον αριθμό όλων των μεταβλητών του.

Ομοιογενές σύστημα εξισώσεων

Προσφορά15 . 2 Ομοιογενές σύστημα εξισώσεων

είναι πάντα κοινή.

Απόδειξη. Για αυτό το σύστημα, το σύνολο των αριθμών , , , είναι μια λύση.

Σε αυτή την ενότητα θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό μήτρας του συστήματος: .

Προσφορά15 . 3 Το άθροισμα των λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι μια λύση σε αυτό το σύστημα. Μια λύση πολλαπλασιαζόμενη με έναν αριθμό είναι επίσης μια λύση.

Απόδειξη. Αφήστε τα να λειτουργήσουν ως λύσεις στο σύστημα. Στη συνέχεια και. Αφήστε . Επειτα

Από τότε - η λύση.

Έστω ένας αυθαίρετος αριθμός, . Επειτα

Από τότε - η λύση.

Συνέπεια15 . 1 Αν ομοιογενές σύστημα γραμμικές εξισώσειςέχει μια μη μηδενική λύση, τότε έχει άπειρες διαφορετικές λύσεις.

Πράγματι, πολλαπλασιάζοντας μια μη μηδενική λύση με διάφορους αριθμούς, θα λάβουμε διαφορετικές λύσεις.

Ορισμός15 . 5 Θα πούμε ότι οι λύσεις μορφή συστημάτων θεμελιώδες σύστημα λύσεων, εάν στήλες σχηματίζουν ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα και οποιαδήποτε λύση στο σύστημα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των στηλών.

Για να υπολογίσετε την κατάταξη ενός πίνακα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων ή τη μέθοδο Gaussian. Ας εξετάσουμε τη μέθοδο Gauss ή τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Η κατάταξη ενός πίνακα είναι η μέγιστη τάξη των ανηλίκων του, μεταξύ των οποίων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν είναι ίσο με μηδέν.

Η κατάταξη ενός συστήματος γραμμών (στήλων) ονομάζεται μέγιστο ποσόγραμμικά ανεξάρτητες σειρές (στήλες) αυτού του συστήματος.

Αλγόριθμος για την εύρεση της κατάταξης μιας μήτρας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Boring Minors:

1. Ανήλικος Μ κ-αυτόη σειρά δεν είναι μηδέν.
2. Εάν συνορεύουν ανήλικοι για ανηλίκους M (k+1)thσειρά, είναι αδύνατο να συντεθεί (δηλ. ο πίνακας περιέχει κγραμμές ή κστήλες), τότε η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με κ. Εάν υπάρχουν σύνορα ανήλικα και είναι όλα μηδέν, τότε η κατάταξη είναι k. Εάν μεταξύ των συνοριακών ανηλίκων υπάρχει τουλάχιστον ένα που δεν ισούται με μηδέν, τότε προσπαθούμε να συνθέσουμε ένα νέο δευτερεύον k+2και τα λοιπά.

Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο με περισσότερες λεπτομέρειες. Αρχικά, λάβετε υπόψη τα δευτερεύοντα στοιχεία της πρώτης σειράς (στοιχεία μήτρας) του πίνακα ΕΝΑ. Αν είναι όλα ίσα με μηδέν, τότε κατάταξη Α = 0. Αν υπάρχουν δευτερεύοντα στοιχεία πρώτης τάξης (στοιχεία μήτρας) που δεν είναι ίσα με μηδέν M 1 ≠ 0, μετά η κατάταξη κατάταξη A ≥ 1.

Μ 1. Αν υπάρχουν τέτοιοι ανήλικοι, τότε θα είναι ανήλικοι δεύτερης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι συνορεύουν με έναν ανήλικο Μ 1είναι ίσα με μηδέν, λοιπόν κατάταξη Α = 1. Αν υπάρχει τουλάχιστον ένα δευτερεύον της δεύτερης τάξης μη ίσο με μηδέν M2 ≠ 0, μετά η κατάταξη κατάταξη Α ≥ 2.

Ας ελέγξουμε αν υπάρχουν συνοριακά ανήλικα για τον ανήλικο Μ 2. Εάν υπάρχουν τέτοιοι ανήλικοι, τότε θα είναι ανήλικοι τρίτης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι συνορεύουν με έναν ανήλικο Μ 2είναι ίσα με μηδέν, λοιπόν κατάταξη Α = 2. Αν υπάρχει τουλάχιστον ένα ελάσσονα τρίτης τάξης που δεν ισούται με μηδέν M 3 ≠ 0, μετά η κατάταξη κατάταξη A ≥ 3.

Ας ελέγξουμε αν υπάρχουν συνοριακά ανήλικα για τον ανήλικο Μ 3. Εάν υπάρχουν τέτοιοι ανήλικοι, τότε θα είναι ανήλικοι τέταρτης τάξης. Εάν όλοι οι ανήλικοι συνορεύουν με έναν ανήλικο Μ 3είναι ίσα με μηδέν, λοιπόν κατάταξη Α = 3. Αν υπάρχει τουλάχιστον ένα μινόρε τέταρτης τάξης που δεν ισούται με μηδέν M4 ≠ 0, μετά η κατάταξη κατάταξη Α ≥ 4.

Έλεγχος αν υπάρχει οριοθέτηση για τον ανήλικο Μ 4, και ούτω καθεξής. Ο αλγόριθμος σταματά εάν σε κάποιο στάδιο οι δευτερεύουσες συνοριακές τιμές είναι ίσες με μηδέν ή δεν μπορεί να ληφθεί το οριακό δευτερεύον (ο πίνακας "εξαντλείται" από γραμμές ή στήλες). Η σειρά του μη μηδενικού δευτερεύοντος που δημιουργήθηκε θα είναι η κατάταξη του πίνακα.

Παράδειγμα

Ας σκεφτούμε αυτή τη μέθοδοΓια παράδειγμα. Δίνεται ένας πίνακας 4x5:

Αυτός ο πίνακας δεν μπορεί να έχει κατάταξη μεγαλύτερη από 4. Επίσης, αυτός ο πίνακας έχει μη μηδενικά στοιχεία (ελάσσονα πρώτης τάξης), που σημαίνει ότι η κατάταξη του πίνακα είναι ≥ 1.

Ας συνθέσουμε ένα μικρό 2οΣειρά. Ας ξεκινήσουμε από τη γωνία.

Άρα η ορίζουσα ισούται με μηδέν, ας δημιουργήσουμε ένα άλλο δευτερεύον.

Ας βρούμε την ορίζουσα αυτού του δευτερεύοντος.

Ορίστε μια δεδομένη ελάσσονα ίση με -2 . Άρα η κατάταξη του πίνακα ≥ 2 .

Αν αυτό το δευτερεύον ήταν ίσο με 0, τότε θα σχηματίζονταν άλλα δευτερεύοντα. Μέχρι το τέλος θα είχαν συνθέσει όλα τα ελάσσονα στην 1η και 2η γραμμή. Στη συνέχεια, γραμμές 1 και 3, γραμμές 2 και 3, γραμμές 2 και 4, μέχρι να βρείτε ένα δευτερεύον μη ίσο με το 0, για παράδειγμα:

Εάν όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία ήταν 0, τότε η κατάταξη του πίνακα θα ήταν 1. Η λύση θα μπορούσε να σταματήσει.

3ηΣειρά.

Ο ανήλικος αποδείχθηκε ότι δεν ήταν μηδενικός. σημαίνει την κατάταξη του πίνακα ≥ 3 .

Εάν αυτό το δευτερεύον ήταν μηδέν, τότε θα έπρεπε να συντεθούν και άλλα δευτερεύοντα. Για παράδειγμα:

Εάν όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης ήταν 0, τότε η κατάταξη του πίνακα θα ήταν 2. Η λύση θα μπορούσε να σταματήσει.

Ας συνεχίσουμε την αναζήτηση για την κατάταξη του πίνακα. Ας συνθέσουμε ένα μικρό 4ηΣειρά.

Ας βρούμε την ορίζουσα αυτού του δευτερεύοντος.

Η ορίζουσα του ανηλίκου αποδείχθηκε ίση με 0 . Ας κατασκευάσουμε ένα άλλο μικρό.

Ας βρούμε την ορίζουσα αυτού του δευτερεύοντος.

Ο ανήλικος αποδείχθηκε ισάξιος 0 .

Κατασκευή δευτερεύουσας σημασίας 5ηΗ παραγγελία δεν θα λειτουργήσει, δεν υπάρχει γραμμή για αυτό σε αυτόν τον πίνακα. Το τελευταίο δευτερεύον δεν ήταν ίσο με μηδέν 3ησειρά, που σημαίνει ότι η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με 3 .