ΣΕ Καθημερινή ζωήΈχουμε συνηθίσει να χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αριθμών, γνωστό από το σχολείο. Ωστόσο, εκτός από αυτό, υπάρχουν πολλά άλλα συστήματα. Πώς να γράψετε αριθμούς όχι σε δεκαδικό, αλλά, για παράδειγμα, σε ;

Πώς να μετατρέψετε οποιονδήποτε αριθμό από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό

Χρειάζεται μετάφραση δεκαδικός αριθμόςσε δυαδική μορφή φαίνεται τρομακτικό μόνο με την πρώτη ματιά. Στην πραγματικότητα, είναι αρκετά απλό - δεν χρειάζεται καν να αναζητήσετε διαδικτυακές υπηρεσίες για να ολοκληρώσετε τη συναλλαγή.

• Για παράδειγμα, ας πάρουμε τον αριθμό 156, γραμμένο με τη δεκαδική μορφή που γνωρίζουμε, και ας προσπαθήσουμε να τον μετατρέψουμε σε δυαδική μορφή.
• Ο αλγόριθμος θα μοιάζει με αυτό - ο αρχικός αριθμός θα πρέπει να διαιρεθεί με δύο, μετά πάλι με 2 και ξανά με 2 έως ότου η απάντηση παραμείνει μία.
• Κατά την εκτέλεση της διαίρεσης, δεν είναι οι ακέραιοι που έχουν σημασία για τη μετατροπή σε δυαδικό, αλλά τα υπόλοιπα. Εάν, κατά τη διαίρεση, η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι Ζυγός αριθμός, τότε το υπόλοιπο γράφεται ως αριθμός 0, αν είναι περιττός, τότε ως αριθμός 1.
• Στην πράξη, μπορείτε εύκολα να επαληθεύσετε ότι η αρχική δυαδική σειρά υπολοίπων για τον αριθμό 156 θα μοιάζει με αυτό - 00111001. Για να μετατραπεί σε έναν πλήρη δυαδικό κώδικα, αυτή η σειρά θα πρέπει να γραφτεί σε αντίστροφη σειρά- δηλαδή 10011100.

Ο δυαδικός αριθμός 10011100, που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα μιας απλής πράξης, θα είναι η δυαδική έκφραση του αριθμού 156.

Άλλο παράδειγμα, αλλά στην εικόνα

Μετατροπή δυαδικού αριθμού σε δεκαδικό σύστημα

Η αντίστροφη μετατροπή - από δυαδικό σε δεκαδικό - μπορεί να φαίνεται λίγο πιο περίπλοκη. Αλλά αν χρησιμοποιείτε μια απλή μέθοδο διπλασιασμού, τότε μπορείτε να χειριστείτε αυτήν την εργασία σε λίγα λεπτά. Για παράδειγμα, ας πάρουμε τον ίδιο αριθμό, 156, αλλά σε δυαδική μορφή - 10011100.

• Η μέθοδος διπλασιασμού βασίζεται στο γεγονός ότι σε κάθε βήμα του υπολογισμού λαμβάνεται το λεγόμενο προηγούμενο σύνολο και προστίθεται σε αυτό το επόμενο ψηφίο.
• Δεδομένου ότι στο πρώτο βήμα το προηγούμενο σύνολο δεν υπάρχει ακόμη, εδώ παίρνουμε πάντα το 0, το διπλασιάζουμε και προσθέτουμε το πρώτο ψηφίο της παράστασης σε αυτό. Στο παράδειγμά μας θα είναι 0 * 2 + 1 = 1.
• Στο δεύτερο βήμα, έχουμε ήδη το προηγούμενο σύνολο - είναι ίσο με 1. Αυτός ο αριθμός πρέπει να διπλασιαστεί και στη συνέχεια να προστεθεί ο επόμενος με τη σειρά, δηλαδή - 1 * 2 + 0 = 2.
• Στο τρίτο, το τέταρτο και τα επόμενα βήματα, τα προηγούμενα σύνολα εξακολουθούν να λαμβάνονται και να προστίθενται στον επόμενο αριθμό στην παράσταση.

Όταν παραμένει μόνο το τελευταίο ψηφίο στη δυαδική σημείωση και δεν υπάρχει τίποτα άλλο για προσθήκη, η λειτουργία ολοκληρώνεται. Με έναν απλό έλεγχο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι η απάντηση περιέχει τον επιθυμητό δεκαδικό αριθμό 156.

Σημείωση 1

Εάν θέλετε να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο, τότε είναι πιο βολικό να τον μετατρέψετε πρώτα στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και μόνο στη συνέχεια να τον μετατρέψετε από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό

Στην υπολογιστική τεχνολογία που χρησιμοποιεί αριθμητική μηχανή, η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο παίζει σημαντικό ρόλο. Παρακάτω δίνουμε τους βασικούς κανόνες για τέτοιους μετασχηματισμούς (μεταφράσεις).

Όταν μετατρέπετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό, πρέπει να αναπαραστήσετε τον δυαδικό αριθμό ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $2$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο χρησιμοποιώντας τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Εικόνα 1. Πίνακας 1

Παράδειγμα 1

Μετατρέψτε τον αριθμό $11110101_2$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $1$ της βάσης $2$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 616 + 128 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αναπαρίσταται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτό περίπτωση $8$ και, στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Εικόνα 2. Πίνακας 2

Παράδειγμα 2

Μετατρέψτε τον αριθμό $75013_8$ στο σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $2$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

75013_8 $ = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό, πρέπει να τον αναπαραστήσετε ως πολυώνυμο, κάθε στοιχείο του οποίου αντιπροσωπεύεται ως το γινόμενο ενός ψηφίου του αριθμού και της αντίστοιχης ισχύος του βασικού αριθμού, σε αυτήν την περίπτωση $16$, και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε το πολυώνυμο σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Εικόνα 3. Πίνακας 3

Παράδειγμα 3

Μετατρέψτε τον αριθμό $FFA2_(16)$ στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον δεδομένο πίνακα με τις δυνάμεις $3$ της βάσης $8$, αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό ως πολυώνυμο:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Κανόνες μετατροπής αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $2$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $1$. Ένας αριθμός στο δυαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως ακολουθία του τελευταίου αποτελέσματος της διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 4

Μετατρέψτε τον αριθμό $22_(10)$ στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα δεκαδικών αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $8$ μέχρι να υπάρξει υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $7$. Ένας αριθμός στο οκταδικό σύστημα αριθμών αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και των υπολοίπων από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 5

Μετατρέψτε τον αριθμό $571_(10)$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο δεκαεξαδικό σύστημα, πρέπει να διαιρεθεί διαδοχικά με $16$ έως ότου υπάρξει ένα υπόλοιπο μικρότερο ή ίσο με $15$. Ένας αριθμός στο δεκαεξαδικό σύστημα αναπαρίσταται ως μια ακολουθία ψηφίων του αποτελέσματος της τελευταίας διαίρεσης και του υπόλοιπου της διαίρεσης με αντίστροφη σειρά.

Παράδειγμα 6

Μετατρέψτε τον αριθμό $7467_(10)$ σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση:

Εικόνα 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Προκειμένου να μετατραπεί ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα δεκαδικών αριθμών σε ένα μη δεκαδικό σύστημα αριθμών, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί διαδοχικά το κλασματικό μέρος του αριθμού που μετατρέπεται με τη βάση του συστήματος στο οποίο πρέπει να μετατραπεί. Κλάσμα σε νέο σύστημαθα παρουσιαστεί με τη μορφή ολόκληρων τμημάτων έργων, ξεκινώντας από το πρώτο.

Για παράδειγμα: $0,3125_((10))$ στο σύστημα οκταδικών αριθμών θα μοιάζει με $0,24_((8))$.

Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να αντιμετωπίσετε πρόβλημα κατά τον τελικό δεκαδικόςμπορεί να αντιστοιχεί σε άπειρο (περιοδικό) κλάσμα στο μη δεκαδικό σύστημα αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των ψηφίων στο κλάσμα που αντιπροσωπεύεται στο νέο σύστημα θα εξαρτηθεί από την απαιτούμενη ακρίβεια. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι οι ακέραιοι παραμένουν ακέραιοι και τα σωστά κλάσματα παραμένουν κλάσματα σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών.

Κανόνες μετατροπής αριθμών από δυαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό, πρέπει να διαιρεθεί σε τριάδες (τριπλάσια ψηφία), ξεκινώντας από το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν χρειάζεται, προσθέτοντας μηδενικά στην πρώτη τριάδα και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Εικόνα 7. Πίνακας 4

Παράδειγμα 7

Μετατρέψτε τον αριθμό $1001011_2$ στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 4, μετατρέπουμε τον αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε οκταδικό:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δυαδικό σύστημα αριθμών σε δεκαεξαδικό, θα πρέπει να διαιρεθεί σε τετράδια (τέσσερα ψηφία), ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο, εάν είναι απαραίτητο, προσθέτοντας μηδενικά στο πιο σημαντικό τετράδιο και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε κάθε τετράδιο με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο σύμφωνα με τον Πίνακα 4.

Μέθοδοι μετατροπής αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε άλλο: μετατροπή ακεραίων.

Για να μετατρέψετε έναν ακέραιο από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε άλλο με βάση d2, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά αυτόν τον αριθμό και τα πηλίκα που προκύπτουν με τη βάση d2 του νέου συστήματος μέχρι να λάβετε ένα πηλίκο μικρότερο από τη βάση d2. Το τελευταίο πηλίκο είναι το πιο σημαντικό ψηφίο ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 και τα ψηφία που ακολουθούν είναι υπολείμματα από τη διαίρεση, γραμμένα με την αντίστροφη σειρά της λήψης τους. Εκτελέστε αριθμητικές πράξεις στο σύστημα αριθμών στο οποίο είναι γραμμένος ο αριθμός που μεταφράζεται.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 11(10) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 11(10)=1011(2).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 122(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 122(10)=172(8).

Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 500(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 500(10)=1F4(16).

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών θέσης σε ένα άλλο: μετάφραση κατάλληλα κλάσματα.

Για να μετατρέψετε ένα σωστό κλάσμα από ένα σύστημα αριθμών με βάση d1 σε σύστημα με βάση d2, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά το αρχικό κλάσμα και τα κλασματικά μέρη των προϊόντων που προκύπτουν με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών d2. Το σωστό κλάσμα ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών με βάση d2 σχηματίζεται με τη μορφή ακέραιων μερών των γινομένων που προκύπτουν, ξεκινώντας από το πρώτο.
Εάν η μετάφραση έχει ως αποτέλεσμα ένα κλάσμα με τη μορφή άπειρης ή αποκλίνουσας σειράς, η διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί όταν επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια.

Κατά τη μετάφραση μικτών αριθμών, είναι απαραίτητο να μεταφράσετε ξεχωριστά τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη στο νέο σύστημα σύμφωνα με τους κανόνες για τη μετάφραση ακεραίων και κατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να συνδυάσετε και τα δύο αποτελέσματα σε ένα μικτός αριθμόςστο νέο αριθμητικό σύστημα.

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,625(10) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 0,625(10)=0,101(2).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,6(10) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 0,6(10)=0,463(8).

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,7(10) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 0,7(10)=0,B333(16).

Μετατρέψτε δυαδικούς, οκταδικούς και δεκαεξαδικούς αριθμούς σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το σύστημα P-ary σε δεκαδικό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο επέκτασης:
άναν-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 101.11(2) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 101.11(2)= 5.75(10) .

Παράδειγμα 2. Μετατρέψτε τον αριθμό 57.24(8) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Παράδειγμα 3. Μετατρέψτε τον αριθμό 7A,84(16) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 7A.84(16)= 122.515625(10) .

Μετατροπή οκταδικών και δεκαεξαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών και αντίστροφα.

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το οκταδικό σύστημα αριθμών σε δυαδικό, κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού πρέπει να γραφτεί ως τριψήφιος δυαδικός αριθμός (τριάδα).

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 16.24(8) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 16.24(8)= 1110.0101(2) .

Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό ξανά στο οκταδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τριάδες αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο σύστημα οκταδικών αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1110.0101(2) στο οκταδικό σύστημα αριθμών.

Απάντηση: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών στο δυαδικό σύστημα, πρέπει να γράψετε κάθε ψηφίο αυτού του αριθμού ως τετραψήφιο δυαδικό αριθμό (τετράδα).

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 7A,7E(16) στο δυαδικό σύστημα αριθμών.


Απάντηση: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Σημείωση: τα μηδενικά που αρχίζουν στα αριστερά για ακέραιους αριθμούς και στα δεξιά για τα κλάσματα δεν γράφονται.

Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό ξανά στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να διαιρέσετε τον αρχικό αριθμό σε τετράδια αριστερά και δεξιά της υποδιαστολής και να αναπαραστήσετε κάθε ομάδα με ένα ψηφίο στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Οι ακραίες ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.

Παράδειγμα: γράψτε τον αριθμό 1111010.0111111(2) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Το δυαδικό σύστημα αριθμών το συναντάμε όταν μελετάμε κλάδους υπολογιστών. Εξάλλου, με βάση αυτό το σύστημα δημιουργείται ο επεξεργαστής και ορισμένοι τύποι κρυπτογράφησης. Υπάρχουν ειδικοί αλγόριθμοι για την εγγραφή δεκαδικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα και αντίστροφα. Εάν γνωρίζετε την αρχή της κατασκευής ενός συστήματος, δεν θα είναι δύσκολο να λειτουργήσετε σε αυτό.

Η αρχή της κατασκευής ενός συστήματος μηδενικών και μονάδων

Το δυαδικό σύστημα αριθμών δημιουργείται χρησιμοποιώντας δύο ψηφία: μηδέν και ένα. Γιατί αυτοί οι συγκεκριμένοι αριθμοί; Αυτό οφείλεται στην αρχή της κατασκευής των σημάτων που χρησιμοποιούνται στον επεξεργαστή. Στο χαμηλότερο επίπεδο του, το σήμα παίρνει μόνο δύο τιμές: false και true. Ως εκ τούτου, ήταν συνηθισμένο να υποδηλώνεται η απουσία ενός σήματος, "ψευδής", με μηδέν και η παρουσία του, "αληθής", με ένα. Αυτός ο συνδυασμός είναι εύκολο να εφαρμοστεί τεχνικά. Οι αριθμοί στο δυαδικό σύστημα σχηματίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως στο δεκαδικό σύστημα. Όταν ένα ψηφίο φτάσει στο ανώτερο όριο του, μηδενίζεται και προστίθεται ένα νέο ψηφίο. Αυτή η αρχή χρησιμοποιείται για τη μετάβαση στο δεκαδικό σύστημα. Έτσι, οι αριθμοί αποτελούνται από συνδυασμούς μηδενικών και μονάδων, και αυτός ο συνδυασμός ονομάζεται «δυαδικό σύστημα αριθμών».

Πώς να γράψετε έναν δυαδικό αριθμό ως δεκαδικό αριθμό;

Υπάρχουν διαδικτυακές υπηρεσίες που μετατρέπουν αριθμούς σε δυαδικούς και αντίστροφα, αλλά είναι καλύτερο να μπορείτε να το κάνετε μόνοι σας. Όταν μεταφράζεται, το δυαδικό σύστημα συμβολίζεται με τον δείκτη 2, για παράδειγμα, 101 2. Κάθε αριθμός σε οποιοδήποτε σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα αριθμών, για παράδειγμα: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - στο δεκαδικό σύστημα. Ο αριθμός αναπαρίσταται επίσης σε δυαδικό. Ας πάρουμε έναν αυθαίρετο αριθμό 101 και ας τον εξετάσουμε. Έχει 3 ψηφία, οπότε τακτοποιούμε τον αριθμό με τη σειρά: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, όπου ο δείκτης 10 υποδηλώνει το δεκαδικό σύστημα.

Πώς να γράψετε έναν πρώτο αριθμό σε δυαδικό σύστημα;

Είναι πολύ εύκολο να μετατραπεί στο δυαδικό σύστημα αριθμών διαιρώντας τον αριθμό με δύο. Είναι απαραίτητο να διαιρεθεί μέχρι να καταστεί δυνατή η πλήρης ολοκλήρωσή του. Για παράδειγμα, πάρτε τον αριθμό 871. Αρχίζουμε να διαιρούμε, φροντίζοντας να σημειώσουμε το υπόλοιπο:

871:2=435 (υπόλοιπο 1)

435:2=217 (υπόλοιπο 1)

217:2=108 (υπόλοιπο 1)

Η απάντηση γράφεται σύμφωνα με τα υπόλοιπα που προκύπτουν στην κατεύθυνση από το τέλος προς την αρχή: 871 10 =101100111 2. Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα των υπολογισμών χρησιμοποιώντας την αντίστροφη μετάφραση που περιγράφηκε προηγουμένως.

Γιατί πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες μετάφρασης;

Το σύστημα δυαδικών αριθμών χρησιμοποιείται στους περισσότερους κλάδους που σχετίζονται με τα ηλεκτρονικά μικροεπεξεργαστών, την κωδικοποίηση, τη μετάδοση δεδομένων και την κρυπτογράφηση, καθώς και σε διάφορους τομείς προγραμματισμού. Η γνώση των βασικών στοιχείων της μετάφρασης από οποιοδήποτε σύστημα σε δυαδικό θα βοηθήσει τον προγραμματιστή να αναπτύξει διάφορα μικροκυκλώματα και να ελέγξει τη λειτουργία του επεξεργαστή και άλλων παρόμοιων συστημάτων μέσω προγραμματισμού. Το σύστημα δυαδικών αριθμών είναι επίσης απαραίτητο για την εφαρμογή μεθόδων για τη μετάδοση πακέτων δεδομένων μέσω κρυπτογραφημένων καναλιών και τη δημιουργία έργων λογισμικού πελάτη-διακομιστή που βασίζονται σε αυτά. Σε ένα σχολικό μάθημα πληροφορικής, τα βασικά στοιχεία της μετατροπής στο δυαδικό σύστημα και αντίστροφα είναι το βασικό υλικό για τη μελέτη προγραμματισμού στο μέλλον και τη δημιουργία απλών προγραμμάτων.

Οδηγίες

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Στο σύστημα μέτρησης που χρησιμοποιούμε καθημερινά, υπάρχουν δέκα ψηφία - από μηδέν έως εννέα. Γι' αυτό λέγεται δεκαδικός. Ωστόσο, σε τεχνικούς υπολογισμούς, ειδικά αυτούς που σχετίζονται με υπολογιστές, άλλα συστήματα, συγκεκριμένα δυαδικό και δεκαεξαδικό. Επομένως, πρέπει να είστε σε θέση να μεταφράσετε αριθμοίΑπό τη μία συστήματαμετρώντας στον άλλο.

Θα χρειαστείτε

• - ένα κομμάτι χαρτί;
• - μολύβι ή στυλό
• - αριθμομηχανή.

Οδηγίες

Το δυαδικό σύστημα είναι το απλούστερο. Έχει μόνο δύο ψηφία - μηδέν και ένα. Κάθε ψηφίο του δυαδικού αριθμοί, ξεκινώντας από το τέλος, αντιστοιχεί σε δύναμη δύο. Δύο σε ίσον ένα, στο πρώτο - δύο, στο δεύτερο - τέσσερα, στο τρίτο - οκτώ, και ούτω καθεξής.

Ας υποθέσουμε ότι σας δίνεται ο δυαδικός αριθμός 1010110. Οι μονάδες σε αυτόν βρίσκονται στη δεύτερη, τρίτη, πέμπτη και έβδομη θέση. Επομένως, στο δεκαδικό σύστημα αυτός ο αριθμός είναι 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Αντίστροφο πρόβλημα - δεκαδικό αριθμοίΣύστημα. Ας υποθέσουμε ότι έχετε τον αριθμό 57. Για να τον πάρετε, πρέπει να διαιρέσετε διαδοχικά τον αριθμό με το 2 και να γράψετε το υπόλοιπο. Ο δυαδικός αριθμός θα κατασκευαστεί από το τέλος προς την αρχή.
Το πρώτο βήμα θα σας δώσει το τελευταίο ψηφίο: 57/2 = 28 (υπόλοιπο 1).
Μετά παίρνετε το δεύτερο από το τέλος: 28/2 = 14 (υπόλοιπο 0).
Περαιτέρω βήματα: 14/2 = 7 (υπόλοιπο 0);
7/2 = 3 (υπόλοιπο 1);
3/2 = 1 (υπόλοιπο 1);
1/2 = 0 (υπόλοιπο 1).
Αυτό είναι το τελευταίο βήμα γιατί το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι μηδέν. Ως αποτέλεσμα, λάβατε τον δυαδικό αριθμό 111001.
Ελέγξτε την απάντησή σας: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Το δεύτερο, που χρησιμοποιείται σε θέματα υπολογιστών, είναι δεκαεξαδικό. Δεν έχει δέκα, αλλά δεκαέξι ψηφία. Για να αποφύγετε νέες συμβάσεις, τα πρώτα δέκα ψηφία του δεκαεξαδικού συστήματαπροσδιορίζονται με συνηθισμένους αριθμούς και τα υπόλοιπα έξι - με λατινικά γράμματα: A, B, C, D, E, F. Αντιστοιχούν σε δεκαδικό συμβολισμό αριθμοί m από 10 έως 15. Για αποφυγή σύγχυσης, πριν από τον αριθμό που είναι γραμμένος σε δεκαεξαδικό, το σύμβολο # ή τα σύμβολα 0x.

Αντίστροφη μετατροπή από δεκαδικό συστήματασε δεκαεξαδικό γίνεται χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο υπολειμμάτων όπως και στο δυαδικό. Για παράδειγμα, πάρτε τον αριθμό 10000. Διαιρώντας τον σταθερά με το 16 και γράφοντας τα υπόλοιπα, παίρνετε:
10000/16 = 625 (υπόλοιπο 0).
625/16 = 39 (υπόλοιπο 1).
39/16 = 2 (υπόλοιπο 7).
2/16 = 0 (υπόλοιπο 2).
Το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα είναι ο δεκαεξαδικός αριθμός #2710.
Ελέγξτε την απάντησή σας: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

ΜΕΤΑΦΟΡΑ αριθμοίαπό δεκαεξαδικό συστήματαΕίναι πολύ πιο εύκολο να μετατραπεί σε δυαδικό. Ο αριθμός 16 είναι δύο: 16 = 2^4. Επομένως, κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο μπορεί να γραφτεί ως τετραψήφιος δυαδικός αριθμός. Εάν έχετε λιγότερα από τέσσερα ψηφία σε έναν δυαδικό αριθμό, προσθέστε μηδενικά.
Για παράδειγμα, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Ελέγξτε την απάντηση: και τα δύο αριθμοίσε δεκαδικό συμβολισμό ισούνται με 8062.

Για να μεταφράσετε, πρέπει να χωρίσετε τον δυαδικό αριθμό σε ομάδες των τεσσάρων ψηφίων, ξεκινώντας από το τέλος, και να αντικαταστήσετε κάθε τέτοια ομάδα με ένα δεκαεξαδικό ψηφίο.
Για παράδειγμα, το 11000110101001 γίνεται (0011)(0001)(1010)(1001), το οποίο σε δεκαεξαδικό συμβολισμό ισούται με #31A9. Η ορθότητα της απάντησης επιβεβαιώνεται με μετατροπή σε δεκαδικό συμβολισμό: και τα δύο αριθμοίισούνται με 12713.

Συμβουλή 5: Πώς να μετατρέψετε έναν αριθμό σε δυαδικό

Λόγω της περιορισμένης χρήσης συμβόλων, το δυαδικό σύστημα είναι πιο βολικό για χρήση σε υπολογιστές και άλλες ψηφιακές συσκευές. Υπάρχουν μόνο δύο σύμβολα: 1 και 0, άρα αυτό Σύστημαχρησιμοποιείται στη λειτουργία μητρώων.

Οδηγίες

Το δυαδικό είναι θέσιο, δηλ. Η θέση κάθε ψηφίου σε έναν αριθμό αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο ψηφίο, το οποίο είναι ίσο με δύο στην κατάλληλη ισχύ. Ο βαθμός ξεκινά από το μηδέν και αυξάνεται καθώς μετακινείστε από τα δεξιά προς τα αριστερά. Για παράδειγμα, αριθμός 101 ισούται με 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Θεωρήστε έναν δεκαδικό αριθμό έως δυαδικό Σύστημαμε διαδοχική διαίρεση με 2. Για μετατροπή δεκαδικού αριθμός 25 στον κωδικό, πρέπει να τον διαιρέσετε με το 2 μέχρι να παραμείνει το 0. Τα υπόλοιπα που λαμβάνονται σε κάθε βήμα διαίρεσης γράφονται σε μια γραμμή από δεξιά προς τα αριστερά, αφού γράψετε το ψηφίο του τελευταίου υπολοίπου αυτό θα είναι το τελικό