Σε εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων πρωταρχικής σημασίας έχουν τα ποσοτικά χαρακτηριστικά του πειράματος. Μια ποσότητα που μπορεί να προσδιοριστεί ποσοτικά και η οποία, ως αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να λάβει, ανάλογα με την περίπτωση διαφορετικές έννοιες, που ονομάζεται τυχαία μεταβλητή.
Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών:
1. Αριθμός ζυγού αριθμού πόντων σε δέκα βολές ζάρια.
2. Ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο από έναν σκοπευτή που εκτοξεύει μια σειρά από βολές.
3. Ο αριθμός των θραυσμάτων μιας οβίδας που εκρήγνυται.
Σε καθένα από τα παραδείγματα που δίνονται τυχαία τιμήμπορεί να λάβει μόνο μεμονωμένες τιμές, δηλαδή τιμές που μπορούν να αριθμηθούν χρησιμοποιώντας μια φυσική σειρά αριθμών.
Μια τέτοια τυχαία μεταβλητή πιθανές τιμέςπου έχει μεμονωμένους μεμονωμένους αριθμούς που παίρνει αυτή η ποσότητα με ορισμένες πιθανότητες ονομάζεται διακεκριμένος.
Ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος (μετρήσιμος).
Νόμος της διανομήςΜια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι μια λίστα με τις πιθανές τιμές της και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα (σειρά κατανομής πιθανότητας), αναλυτικά και γραφικά (πολύγωνο κατανομής πιθανότητας).
Κατά τη διεξαγωγή ενός πειράματος, καθίσταται απαραίτητο να αξιολογηθεί η τιμή που μελετάται «κατά μέσο όρο». Ο ρόλος της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής παίζεται από ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό που ονομάζεται μαθηματική προσδοκία,που καθορίζεται από τον τύπο
Οπου Χ 1 , Χ 2 ,.. , Χ n– τυχαίες τιμές μεταβλητών Χ, ΕΝΑ Π 1 ,Π 2 , ... , Π n– οι πιθανότητες αυτών των τιμών (σημειώστε ότι Π 1 + Π 2 +…+ Π n = 1).
Παράδειγμα. Η βολή εκτελείται στον στόχο (Εικ. 11).
Ένα χτύπημα στο I δίνει τρεις πόντους, στο II - δύο πόντους, στο III - έναν πόντο. Ο αριθμός των πόντων που σημειώνονται σε μία βολή από έναν σκοπευτή έχει έναν νόμο κατανομής της φόρμας
Για να συγκρίνετε την ικανότητα των σουτέρ, αρκεί να συγκρίνετε τις μέσες τιμές των πόντων που σημειώθηκαν, δηλ. μαθηματικές προσδοκίες Μ(Χ) Και Μ(Υ):
Μ(Χ) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
Μ(Υ) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
Ο δεύτερος σουτέρ δίνει κατά μέσο όρο λίγο μεγαλύτερο αριθμό πόντων, δηλ. θα δώσει καλύτερα αποτελέσματα όταν πυροδοτηθεί επανειλημμένα.
Ας σημειώσουμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
1. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με την ίδια τη σταθερά:
Μ(ντο) = Γ.
2. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων:
Μ =(Χ 1 + Χ 2 +…+ Χ n)= Μ(Χ 1)+ Μ(Χ 2)+…+ Μ(Χ n).
3. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών των παραγόντων
Μ(Χ 1 Χ 2 … Χ n) = Μ(Χ 1)Μ(Χ 2)… Μ(Χ n).
4. Η μαθηματική άρνηση της διωνυμικής κατανομής ισούται με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας να συμβεί ένα συμβάν σε μία δοκιμή (εργασία 4.6).
Μ(Χ) = πρ.
Για να αξιολογήσετε πώς μια τυχαία μεταβλητή «κατά μέσο όρο» αποκλίνει από τις μαθηματικές προσδοκίες της, δηλ. Για να χαρακτηριστεί η εξάπλωση των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων, χρησιμοποιείται η έννοια της διασποράς.
Διαφοράτυχαία μεταβλητή Χπου ονομάζεται αναμενόμενη αξίατετραγωνική απόκλιση:
ρε(Χ) = Μ[(Χ - Μ(Χ)) 2 ].
Η διασπορά είναι ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό της διασποράς μιας τυχαίας μεταβλητής. Από τον ορισμό είναι σαφές ότι όσο μικρότερη είναι η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής, τόσο πιο κοντά βρίσκονται οι πιθανές τιμές της γύρω από τη μαθηματική προσδοκία, δηλαδή τόσο περισσότερο καλύτερες αξίεςμια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται από τη μαθηματική της προσδοκία.
Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διακύμανση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
.
Είναι βολικό να υπολογίσετε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας έναν άλλο τύπο:
ρε(Χ) = Μ(Χ 2) - (Μ(Χ)) 2 .
Η διασπορά έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Η διακύμανση της σταθεράς είναι μηδέν:
ρε(ντο) = 0.
2. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:
ρε(CX) = ντο 2 ρε(Χ).
3. Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα της διακύμανσης των όρων:
ρε(Χ 1 + Χ 2 + Χ 3 +…+ Χ n)= ρε(Χ 1)+ ρε(Χ 2)+…+ ρε(Χ n)
4. Η διακύμανση της διωνυμικής κατανομής είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών και της πιθανότητας εμφάνισης και μη εμφάνισης ενός συμβάντος σε μία δοκιμή:
ρε(Χ) = npq.
Στη θεωρία πιθανοτήτων, χρησιμοποιείται συχνά ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό ίσο με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής. Αυτό το αριθμητικό χαρακτηριστικό ονομάζεται μέση τετραγωνική απόκλιση και συμβολίζεται με το σύμβολο
.
Χαρακτηρίζει το κατά προσέγγιση μέγεθος της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της και έχει την ίδια διάσταση με την τυχαία μεταβλητή.
4.1. Ο σκοπευτής εκτοξεύει τρεις βολές στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με κάθε βολή είναι 0,3.
Κατασκευάστε μια σειρά διανομής για τον αριθμό των επισκέψεων.
Λύση. Ο αριθμός των επισκέψεων είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ. Κάθε τιμή Χ n τυχαία μεταβλητή Χαντιστοιχεί σε μια ορισμένη πιθανότητα Π n .
Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να καθοριστεί κοντά σε διανομή.
Σε αυτό το πρόβλημα Χπαίρνει τιμές 0, 1, 2, 3. Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli
,
Ας βρούμε τις πιθανότητες πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής:
R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
R 3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
R 3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
Τακτοποιώντας τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χμε αύξουσα σειρά, λαμβάνουμε τη σειρά διανομής:
|
Χ n | ||||
Σημειώστε ότι το ποσό
σημαίνει την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα λάβει τουλάχιστον μία τιμή από τις πιθανές, και επομένως αυτό το συμβάν είναι αξιόπιστο
.
4.2 .Υπάρχουν τέσσερις μπάλες στη λάρνακα με αριθμούς από το 1 έως το 4. Βγάζονται δύο μπάλες. Τυχαία τιμή Χ– το άθροισμα των αριθμών της μπάλας. Κατασκευάστε μια σειρά διανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.
Λύση.Τυχαίες τιμές μεταβλητών Χείναι 3, 4, 5, 6, 7. Ας βρούμε τις αντίστοιχες πιθανότητες. Τυχαία τιμή μεταβλητής 3 Χμπορεί να γίνει αποδεκτή στη μοναδική περίπτωση που μία από τις επιλεγμένες μπάλες έχει τον αριθμό 1 και η άλλη 2. Ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων του τεστ είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών των τεσσάρων (ο αριθμός των πιθανών ζευγών μπάλες) των δύο.
Χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο πιθανοτήτων παίρνουμε
Επίσης,
R(Χ= 4) =R(Χ= 6) =R(Χ= 7) = 1/6.
Το άθροισμα 5 μπορεί να εμφανιστεί σε δύο περιπτώσεις: 1 + 4 και 2 + 3, άρα
.
Χέχει τη μορφή:
Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ) τυχαία μεταβλητή Χκαι σχεδιάστε το. Υπολογίστε για Χτη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανσή του.
Λύση. Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να καθοριστεί από τη συνάρτηση κατανομής
φά(Χ) = Π(Χ Χ).
Λειτουργία διανομής φά(Χ) είναι μια μη φθίνουσα, αριστερά-συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, ενώ
φά (- )= 0,φά (+ )= 1.
Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, αυτή η συνάρτηση εκφράζεται από τον τύπο
.
Επομένως σε αυτή την περίπτωση
Γράφημα συνάρτησης κατανομής φά(Χ) είναι μια κλιμακωτή γραμμή (Εικ. 12)
|
φά(Χ) | ||||||
Αναμενόμενη αξίαΜ(Χ) είναι ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος των τιμών Χ 1 , Χ 2 ,……Χ nτυχαία μεταβλητή Χμε ζυγαριά ρ 1, ρ 2, …… , ρ n και ονομάζεται μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ. Σύμφωνα με τον τύπο
Μ(Χ)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n
Μ(Χ) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.
Διασποράχαρακτηρίζει το βαθμό διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της και συμβολίζεται ρε(Χ):
ρε(Χ)=Μ[(HM(Χ)) 2 ]= Μ(Χ 2) –[Μ(Χ)] 2 .
Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η διακύμανση έχει τη μορφή
ή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
Αντικαθιστώντας τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος στον τύπο, παίρνουμε:
Μ(Χ 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
ρε(Χ) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. Δύο ζάρια ρίχνονται δύο φορές ταυτόχρονα. Να γράψετε τον διωνυμικό νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ- ο αριθμός των εμφανίσεων ζυγού συνολικού αριθμού πόντων σε δύο ζάρια.
Λύση. Ας παρουσιάσουμε ένα τυχαίο γεγονός
ΕΝΑ= (σε δύο ζάρια με μια ρίψη βγήκε το σύνολο Ζυγός αριθμόςσημεία).
Χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας βρίσκουμε
R(ΕΝΑ)=
,
Οπου n - ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων του τεστ βρίσκεται σύμφωνα με τον κανόνα
πολλαπλασιασμός:
n = 6∙6 =36,
Μ - αριθμός ατόμων που ευνοούν την εκδήλωση ΕΝΑαποτελέσματα - ίσα
Μ= 3∙6=18.
Έτσι, η πιθανότητα επιτυχίας σε μία δοκιμή είναι
ρ = Π(ΕΝΑ)= 1/2.
Το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας ένα σχήμα δοκιμής Bernoulli. Μια πρόκληση εδώ θα είναι η ρίψη δύο ζαριών μία φορά. Αριθμός τέτοιων δοκιμών n = 2. Τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει τιμές 0, 1, 2 με πιθανότητες
R 2 (0)
=
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
Η απαιτούμενη διωνυμική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής Χμπορεί να αναπαρασταθεί ως σειρά διανομής:
|
Χ n | |||
|
ρ n |
4.5 . Σε μια παρτίδα έξι μερών υπάρχουν τέσσερα τυπικά εξαρτήματα. Τρία μέρη επιλέχθηκαν τυχαία. Κατασκευάστε μια κατανομή πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ– ο αριθμός των τυπικών τμημάτων μεταξύ αυτών που επιλέχθηκαν και βρείτε τις μαθηματικές προσδοκίες του.
Λύση.Τυχαίες τιμές μεταβλητών Χείναι οι αριθμοί 0,1,2,3. Είναι ξεκάθαρο ότι R(Χ=0)=0, αφού υπάρχουν μόνο δύο μη τυποποιημένα μέρη.
R(Χ=1) =
=1/5,
R(X= 2) =
= 3/5,
R(Χ=3) =
= 1/5.
Νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής ΧΑς το παρουσιάσουμε με τη μορφή σειράς διανομής:
|
Χ n | ||||
|
ρ n |
Αναμενόμενη αξία
Μ(Χ)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . Να αποδείξετε ότι η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ- αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑ V nανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι ίση με ρ – ίσο με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών με την πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος σε μία δοκιμή, δηλαδή να αποδειχθεί ότι η μαθηματική προσδοκία της διωνυμικής κατανομής
Μ(Χ) =n . ρ ,
και διασπορά
ρε(Χ) =n.p. .
Λύση.Τυχαία τιμή Χμπορεί να πάρει τιμές 0, 1, 2..., n. Πιθανότητα R(Χ= k) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli:
R(Χ=k)= R n(κ)= 
ρ
Προς την
(1-ρ
) n-Προς την
Σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χέχει τη μορφή:
|
Χ n | |||||
|
ρ n |
q n |
|
|
|
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
nΟπου q= 1- ρ .
Για τη μαθηματική προσδοκία έχουμε την έκφραση:
Μ(Χ)=
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
Στην περίπτωση μιας δοκιμής, δηλαδή με n= 1 για τυχαία μεταβλητή Χ 1 – αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΕΝΑ- η σειρά διανομής έχει τη μορφή:
|
Χ n | ||
|
ρ n |
Μ(Χ 1)= 0∙q + 1 ∙ Π = Π
ρε(Χ 1) = Π – Π 2 = Π(1- Π) = pq.
Αν Χ k – αριθμός εμφανίσεων του συμβάντος ΕΝΑσε ποιο τεστ, λοιπόν R(Χ Προς την)= ρ Και
Χ=Χ 1 +Χ 2 +….+Χ n .
Από εδώ παίρνουμε
Μ(Χ)=Μ(Χ 1 )+Μ(Χ 2)+ … +Μ(Χ n)= nρ,
ρε(Χ)=Δ(Χ 1)+Δ(Χ 2)+ ... +Δ(Χ n)=npq.
4.7. Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου ελέγχει τα προϊόντα για τυποποίηση. Η πιθανότητα ότι το προϊόν είναι τυπικό είναι 0,9. Κάθε παρτίδα περιέχει 5 προϊόντα. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ- τον αριθμό των παρτίδων, καθεμία από τις οποίες θα περιέχει 4 τυποποιημένα προϊόντα - εάν 50 παρτίδες υπόκεινται σε έλεγχο.
Λύση. Η πιθανότητα να υπάρχουν 4 τυπικά προϊόντα σε κάθε τυχαία επιλεγμένη παρτίδα είναι σταθερή. ας το χαρακτηρίσουμε με ρ .Στη συνέχεια η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής Χισοδυναμεί Μ(Χ)= 50∙ρ.
Ας βρούμε την πιθανότητα ρ σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli:
ρ=Ρ 5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
Μ(Χ)= 50∙0,32=16.
4.8 . Τρία ζάρια ρίχνονται. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των πόντων που πέφτουν.
Λύση.Μπορείτε να βρείτε την κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής Χ- το άθροισμα των πόντων που πέφτουν και στη συνέχεια η μαθηματική προσδοκία του. Ωστόσο, αυτό το μονοπάτι είναι πολύ δυσκίνητο. Είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη τεχνική, που αντιπροσωπεύει μια τυχαία μεταβλητή Χ, η μαθηματική προσδοκία της οποίας πρέπει να υπολογιστεί, με τη μορφή αθροίσματος πολλών απλούστερων τυχαίων μεταβλητών, η μαθηματική προσδοκία των οποίων είναι ευκολότερο να υπολογιστεί. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ Εγώ- αυτός είναι ο αριθμός των πόντων που χάθηκαν Εγώ– τα οστά ( Εγώ= 1, 2, 3), τότε το άθροισμα των βαθμών Χθα εκφραστεί στη φόρμα
Χ = Χ 1 + Χ 2 + Χ 3 .
Για να υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία της αρχικής τυχαίας μεταβλητής, το μόνο που απομένει είναι να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της μαθηματικής προσδοκίας
Μ(Χ 1 + Χ 2 + Χ 3 )= Μ(Χ 1 )+ Μ(Χ 2)+ Μ(Χ 3 ).
Είναι προφανές ότι
R(Χ Εγώ = Κ)= 1/6, ΠΡΟΣ ΤΗΝ= 1, 2, 3, 4, 5, 6, Εγώ= 1, 2, 3.
Επομένως, η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής Χ Εγώμοιάζει με
Μ(Χ Εγώ) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
Μ(Χ) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. Προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των συσκευών που απέτυχαν κατά τη διάρκεια της δοκιμής εάν:
α) η πιθανότητα αστοχίας για όλες τις συσκευές είναι η ίδια R, και ο αριθμός των υπό δοκιμή συσκευών είναι ίσος με n;
β) πιθανότητα αποτυχίας για Εγώ – της συσκευής ισούται με Π Εγώ , Εγώ= 1, 2, … , n.
Λύση.Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Χείναι ο αριθμός των συσκευών που απέτυχαν, λοιπόν
Χ = Χ 1 + Χ 2 + … + Χ n ,
Χ Εγώ
=
Είναι ξεκάθαρο ότι
R(Χ Εγώ = 1)= R Εγώ , R(Χ Εγώ = 0)= 1– R Εγώ ,i= 1, 2, … ,n.
Μ(Χ Εγώ)= 1∙R Εγώ + 0∙(1-Ρ Εγώ)=Π Εγώ ,
Μ(Χ)=Μ(Χ 1)+Μ(Χ 2)+ … +Μ(Χ n)=Π 1 +Σελ 2 + … + Π n .
Στην περίπτωση «α» η πιθανότητα αστοχίας της συσκευής είναι η ίδια, δηλαδή
R Εγώ =σελ,i= 1, 2, … ,n.
Μ(Χ)= n.p..
Αυτή η απάντηση θα μπορούσε να ληφθεί αμέσως αν παρατηρήσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή Χέχει διωνυμική κατανομή με παραμέτρους ( n, Π).
4.10. Δύο ζάρια ρίχνονται ταυτόχρονα δύο φορές. Να γράψετε τον διωνυμικό νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ -ο αριθμός των ρίψεων ζυγού αριθμού πόντων σε δύο ζάρια.
Λύση. Αφήνω
ΕΝΑ= (κύλιση ζυγού αριθμού στο πρώτο ζάρι),
Β =(ρρίψιμο ζυγού αριθμού στο δεύτερο ζάρι).
Η λήψη ζυγού αριθμού και στα δύο ζάρια σε μία ρίψη εκφράζεται από το γινόμενο ΑΒ.Επειτα
R
(ΑΒ)
= R(ΕΝΑ)∙R(ΣΕ)
=
.
Το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης δύο ζαριών δεν εξαρτάται από το πρώτο, επομένως ο τύπος του Bernoulli ισχύει όταν
n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.
Τυχαία τιμή Χμπορεί να πάρει τιμές 0, 1, 2 , η πιθανότητα του οποίου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli:
R(X= 0)= Π 2 (0) = q 2 = 9/16,
R(X= 1)= Π 2
(1)= Γ 
,R∙q
=
6/16,
R(X= 2)= Π 2
(2)= Γ 
,
R 2
=
1/16.
Σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:
4.11. Η συσκευή αποτελείται από μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων στοιχείων λειτουργίας με την ίδια πολύ μικρή πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου με την πάροδο του χρόνου t. Βρείτε τον μέσο αριθμό αρνήσεων με την πάροδο του χρόνου tστοιχεία, εάν η πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα στοιχείο θα αποτύχει κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου είναι 0,98.
Λύση. Αριθμός ατόμων που αρνήθηκαν με την πάροδο του χρόνου tστοιχεία – τυχαία μεταβλητή Χ, το οποίο κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson, αφού ο αριθμός των στοιχείων είναι μεγάλος, τα στοιχεία λειτουργούν ανεξάρτητα και η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου είναι μικρή. Μέσος αριθμός εμφανίσεων ενός συμβάντος σε nτεστ ίσον
Μ(Χ) = n.p..
Δεδομένου ότι η πιθανότητα αποτυχίας ΠΡΟΣ ΤΗΝστοιχεία από nεκφράζεται με τον τύπο
R n
(ΠΡΟΣ ΤΗΝ)
,
όπου = n.p., τότε η πιθανότητα να μην αποτύχει ούτε ένα στοιχείο κατά τη διάρκεια του χρόνου t φτάνουμε σε Κ = 0:
R n (0)= ε - .
Επομένως, η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος είναι στο χρόνο t τουλάχιστον ένα στοιχείο αποτυγχάνει – ίσο με 1 - ε - . Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, αυτή η πιθανότητα είναι 0,98. Από την εξ.
1 - μι - = 0,98,
μι - = 1 – 0,98 = 0,02,
από εδώ = -ln 0,02 4.
Με τον καιρό λοιπόν tλειτουργία της συσκευής, κατά μέσο όρο 4 στοιχεία θα αποτύχουν.
4.12 . Τα ζάρια ρίχνονται μέχρι να εμφανιστεί ένα "δύο". Βρείτε τον μέσο αριθμό βολών.
Λύση. Ας εισάγουμε μια τυχαία μεταβλητή Χ– τον αριθμό των δοκιμών που πρέπει να γίνουν μέχρι να συμβεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει. Η πιθανότητα ότι Χ= 1 ισούται με την πιθανότητα κατά τη διάρκεια μιας ρίψης των ζαριών να εμφανιστεί ένα «δύο», δηλ.
R(X= 1) = 1/6.
Εκδήλωση Χ= 2 σημαίνει ότι στην πρώτη δοκιμή δεν προέκυψε το "δύο", αλλά στη δεύτερη εμφανίστηκε. Πιθανότητα συμβάντος ΧΤο = 2 βρίσκεται με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:
R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)
Επίσης,
R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
και τα λοιπά. Λαμβάνουμε μια σειρά από κατανομές πιθανοτήτων:
|
(5/6) Προς την ∙1/6 |
Ο μέσος αριθμός βολών (δοκιμών) είναι η μαθηματική προσδοκία
Μ(Χ) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + ΠΡΟΣ ΤΗΝ (5/6) ΠΡΟΣ ΤΗΝ -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + ΠΡΟΣ ΤΗΝ (5/6) ΠΡΟΣ ΤΗΝ -1 + …)
Ας βρούμε το άθροισμα της σειράς:
ΠΡΟΣ ΤΗΝσολ
ΠΡΟΣ ΤΗΝ -1
= (
σολ ΠΡΟΣ ΤΗΝ)
σολ
.
Ως εκ τούτου,
Μ(Χ) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
Έτσι, πρέπει να κάνετε κατά μέσο όρο 6 ρίψεις των ζαριών μέχρι να εμφανιστεί ένα "δύο".
4.13. Πραγματοποιούνται ανεξάρτητες δοκιμές με την ίδια πιθανότητα να συμβεί το συμβάν ΕΝΑσε κάθε δοκιμασία. Βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑ, εάν η διακύμανση του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε τρεις ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,63 .
Λύση.Ο αριθμός των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε τρεις δοκιμές είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ, κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο. Η διακύμανση του αριθμού των περιστατικών ενός συμβάντος σε ανεξάρτητες δοκιμές (με την ίδια πιθανότητα να συμβεί το συμβάν σε κάθε δοκιμή) είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού των δοκιμών με τις πιθανότητες εμφάνισης και μη εμφάνισης του συμβάντος (πρόβλημα 4.6)
ρε(Χ) = npq.
Κατά συνθήκη n = 3, ρε(Χ) = 0,63, έτσι μπορείτε Rβρείτε από την εξίσωση
0,63 = 3∙R(1-Ρ),
που έχει δύο λύσεις R 1 = 0,7 και R 2 = 0,3.
Κεφάλαιο 1. Διακριτή τυχαία μεταβλητή
§ 1. Έννοιες μιας τυχαίας μεταβλητής.
Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Ορισμός : Τυχαία είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα δοκιμής, παίρνει μόνο μία τιμή από ένα πιθανό σύνολο τιμών της, άγνωστη εκ των προτέρων και ανάλογα με τυχαίους λόγους.
Υπάρχουν δύο τύποι τυχαίων μεταβλητών: διακριτές και συνεχείς.
Ορισμός : Καλείται η τυχαία μεταβλητή Χ διακεκριμένος (ασυνεχές) εάν το σύνολο των τιμών του είναι πεπερασμένο ή άπειρο αλλά μετρήσιμο.
Με άλλα λόγια, οι πιθανές τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορούν να επαναριθμηθούν.
Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τον νόμο κατανομής της.
Ορισμός : Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής καλούμε την αντιστοιχία μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων τους.
Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα, στην πρώτη σειρά του οποίου υποδεικνύονται όλες οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής με αύξουσα σειρά και στη δεύτερη σειρά οι αντίστοιχες πιθανότητες αυτών αξίες, δηλ.
όπου р1+ р2+…+ рn=1
Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά διανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Εάν το σύνολο των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρο, τότε η σειρά p1+ p2+…+ pn+… συγκλίνει και το άθροισμά της είναι ίσο με 1.
Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X μπορεί να απεικονιστεί γραφικά, για την οποία κατασκευάζεται μια διακεκομμένη γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, που συνδέει διαδοχικά σημεία με συντεταγμένες (xi; pi), i=1,2,…n. Η γραμμή που προκύπτει ονομάζεται πολύγωνο διανομής (Εικ. 1).
Η οργανική χημεία" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">η οργανική χημεία είναι 0,7 και 0,8, αντίστοιχα. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των εξετάσεων που θα περάσει ο μαθητής.
Λύση. Η θεωρούμενη τυχαία μεταβλητή Χ ως αποτέλεσμα της εξέτασης μπορεί να λάβει μία από τις ακόλουθες τιμές: x1=0, x2=1, x3=2.
Ας βρούμε την πιθανότητα αυτών των τιμών. Ας υποδηλώσουμε τα γεγονότα:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Έτσι, ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τον πίνακα:
Έλεγχος: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Λειτουργία διανομής
Μια πλήρης περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής δίνεται επίσης από τη συνάρτηση κατανομής.
Ορισμός: Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ ονομάζεται συνάρτηση F(x), η οποία καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να λάβει τιμή μικρότερη από x:
F(x)=P(X<х)
Γεωμετρικά, η συνάρτηση κατανομής ερμηνεύεται ως η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει την τιμή που αναπαρίσταται στην αριθμητική γραμμή από ένα σημείο που βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) Η F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση στο (-∞;+∞);
3) F(x) - συνεχής στα αριστερά στα σημεία x= xi (i=1,2,...n) και συνεχής σε όλα τα άλλα σημεία.
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Αν ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται με τη μορφή πίνακα:
τότε η συνάρτηση κατανομής F(x) προσδιορίζεται από τον τύπο:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 για x≤ x1,
р1 στο x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 στο x2< х≤ х3
1 για x>xn.
Το γράφημα του φαίνεται στο Σχ. 2:
§ 3. Αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.
Ένα από τα σημαντικά αριθμητικά χαρακτηριστικά είναι η μαθηματική προσδοκία.
Ορισμός: Μαθηματική προσδοκία M(X) Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Η μαθηματική προσδοκία χρησιμεύει ως χαρακτηριστικό της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας:
1)M(C)=C, όπου C είναι μια σταθερή τιμή.
2)M(C X)=C M(X),
3)Μ(Χ±Υ)=Μ(Χ)±Μ(Υ);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), όπου τα X, Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.
5)M(X±C)=M(X)±C, όπου C είναι μια σταθερή τιμή.
Για να χαρακτηριστεί ο βαθμός διασποράς των πιθανών τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της, χρησιμοποιείται η διασπορά.
Ορισμός: Διαφορά ρε ( Χ ) Η τυχαία μεταβλητή X είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:
Ιδιότητες διασποράς:
1)D(C)=0, όπου C είναι μια σταθερή τιμή.
2)D(X)>0, όπου το X είναι μια τυχαία μεταβλητή.
3)D(C X)=C2 D(X), όπου το C είναι σταθερή τιμή.
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), όπου τα X, Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.
Για τον υπολογισμό της διακύμανσης είναι συχνά βολικό να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
όπου M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Η διακύμανση D(X) έχει τη διάσταση μιας τετραγωνισμένης τυχαίας μεταβλητής, η οποία δεν είναι πάντα βολική. Επομένως, η τιμή √D(X) χρησιμοποιείται επίσης ως δείκτης της διασποράς των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής.
Ορισμός: Τυπική απόκλιση σ(X) Η τυχαία μεταβλητή X ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
Εργασία Νο. 2.Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τον νόμο κατανομής:
Βρείτε το P2, τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της, καθώς και τα M(X), D(X), σ(X).
Λύση: Δεδομένου ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων των πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής X είναι ίσο με 1, τότε
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής F(x)=P(X Γεωμετρικά, αυτή η ισότητα μπορεί να ερμηνευθεί ως εξής: F(x) είναι η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή θα λάβει την τιμή που αναπαρίσταται στον αριθμητικό άξονα από το σημείο που βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x. Αν x≤-1, τότε F(x)=0, αφού δεν υπάρχει ούτε μία τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής στο (-∞;x); Αν -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Αν 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) υπάρχουν δύο τιμές x1=-1 και x2=0. Αν 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Αν 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Αν x>3, τότε F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, γιατί τέσσερις τιμές x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 εμπίπτουν στο διάστημα (-∞;x) και x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 στο x≤-1, 0,1 στο -1<х≤0, 0,2 στο 0<х≤1, F(x)= 0,5 στο 1<х≤2, 0,7 στις 2<х≤3, 1 στο x>3 Ας αναπαραστήσουμε τη συνάρτηση F(x) γραφικά (Εικ. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Διωνυμικός νόμος κατανομής διακριτή τυχαία μεταβλητή, νόμος Poisson. Ορισμός: Διωνυμικός
ονομάζεται νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X - ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n ανεξάρτητες επαναλαμβανόμενες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες το γεγονός Α μπορεί να συμβεί με πιθανότητα p ή να μην συμβεί με πιθανότητα q = 1-p. Τότε P(X=m) - η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος A ακριβώς m φορές σε n δοκιμές υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Η μαθηματική προσδοκία, η διασπορά και η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ που κατανέμεται σύμφωνα με έναν δυαδικό νόμο βρίσκονται, αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας τους τύπους: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Η πιθανότητα του γεγονότος Α - "να βγάζει πέντε" σε κάθε δοκιμή είναι η ίδια και ίση με 1/6 , δηλ. P(A)=p=1/6, μετά P(A)=1-p=q=5/6, όπου - "αποτυχία λήψης Α." Η τυχαία μεταβλητή X μπορεί να πάρει τις ακόλουθες τιμές: 0;1;2;3. Βρίσκουμε την πιθανότητα καθεμιάς από τις πιθανές τιμές του X χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Οτι. ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ έχει τη μορφή: Έλεγχος: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Θα βρούμε αριθμητικά χαρακτηριστικάτυχαία μεταβλητή X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Εργασία Νο. 4.Ένα αυτόματο μηχάνημα σφραγίζει εξαρτήματα. Η πιθανότητα ένα κατασκευασμένο εξάρτημα να είναι ελαττωματικό είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 1000 επιλεγμένων εξαρτημάτων να υπάρχουν: α) 5 ελαττωματικά? β) τουλάχιστον ένα είναι ελαττωματικό. Λύση:
Ο αριθμός n=1000 είναι μεγάλος, η πιθανότητα να δημιουργηθεί ένα ελαττωματικό μέρος p=0,002 είναι μικρή και τα υπό εξέταση γεγονότα (το εξάρτημα αποδεικνύεται ελαττωματικό) είναι ανεξάρτητα, επομένως ο τύπος Poisson ισχύει: Рn(m)= μι-
λ
λμ Ας βρούμε λ=np=1000 0,002=2. α) Να βρείτε την πιθανότητα να υπάρχουν 5 ελαττωματικά μέρη (m=5): Р1000(5)= μι-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 β) Να βρείτε την πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα ελαττωματικό εξάρτημα. Γεγονός A - "τουλάχιστον ένα από τα επιλεγμένα μέρη είναι ελαττωματικό" είναι το αντίθετο από το συμβάν - "όλα τα επιλεγμένα μέρη δεν είναι ελαττωματικά." Επομένως, P(A) = 1-P(). Άρα η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με: P(A)=1-P1000(0)=1- μι-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία.
1.1
1.2.
Η διεσπαρμένη τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τον νόμο κατανομής: Βρείτε το p4, τη συνάρτηση κατανομής F(X) και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της, καθώς και M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Υπάρχουν 9 μαρκαδόροι στο κουτί, 2 από τους οποίους δεν γράφουν πλέον. Πάρτε 3 δείκτες στην τύχη. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των δεικτών γραφής μεταξύ αυτών που λαμβάνονται. Να συντάξετε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. 1.4.
Υπάρχουν 6 σχολικά βιβλία τυχαία τοποθετημένα σε ένα ράφι βιβλιοθήκης, 4 από τα οποία είναι δεμένα. Ο βιβλιοθηκάριος παίρνει τυχαία 4 σχολικά βιβλία. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των δεμένων εγχειριδίων μεταξύ αυτών που λαμβάνονται. Να συντάξετε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. 1.5.
Υπάρχουν δύο εργασίες στο εισιτήριο. Πιθανότητα η σωστή απόφασητο πρώτο πρόβλημα είναι 0,9, το δεύτερο είναι 0,7. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των σωστά λυμένων προβλημάτων στο δελτίο. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής και βρείτε επίσης τη συνάρτηση κατανομής F(x) και δημιουργήστε τη γραφική παράσταση της. 1.6.
Τρεις σκοπευτές πυροβολούν έναν στόχο. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,5 για τον πρώτο σκοπευτή, 0,8 για τον δεύτερο και 0,7 για τον τρίτο. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των χτυπημάτων στον στόχο, εάν οι σκοπευτές πυροβολήσουν μία βολή κάθε φορά. Βρείτε τον νόμο κατανομής, M(X),D(X). 1.7.
Ένας μπασκετμπολίστας ρίχνει τη μπάλα στο καλάθι με πιθανότητα 0,8 να χτυπήσει κάθε σουτ. Για κάθε χτύπημα λαμβάνει 10 πόντους και αν χάσει δεν του δίνονται πόντοι. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των πόντων που έλαβε ένας μπασκετμπολίστας σε 3 βολές. Βρείτε τα Μ(Χ),Δ(Χ), καθώς και την πιθανότητα να πάρει πάνω από 10 βαθμούς. 1.8.
Στις κάρτες γράφονται γράμματα, συνολικά 5 φωνήεντα και 3 σύμφωνα. 3 κάρτες επιλέγονται τυχαία και κάθε φορά που το φύλλο που λαμβάνεται επιστρέφεται πίσω. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των φωνηέντων μεταξύ αυτών που λαμβάνονται. Να συντάξετε νόμο κατανομής και να βρείτε τα Μ(Χ),Δ(Χ),σ(Χ). 1.9.
Κατά μέσο όρο, το 60% των συμβάσεων Ασφαλιστική εταιρείακαταβάλλει ασφαλιστικά ποσά σε σχέση με την επέλευση ενός ασφαλισμένου συμβάντος. Συντάξτε έναν νόμο διανομής για την τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των συμβάσεων για τις οποίες καταβλήθηκε το ασφαλιστικό ποσό μεταξύ τεσσάρων συμβάσεων που επιλέχθηκαν τυχαία. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά αυτής της ποσότητας. 1.10.
Ο ραδιοφωνικός σταθμός στέλνει διακριτικά κλήσης (όχι περισσότερα από τέσσερα) σε συγκεκριμένα διαστήματα έως ότου επιτευχθεί αμφίδρομη επικοινωνία. Η πιθανότητα λήψης απάντησης σε διακριτικό κλήσης είναι 0,3. Η τυχαία μεταβλητή X είναι ο αριθμός των διακριτικών κλήσης που αποστέλλονται. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής και βρείτε το F(x). 1.11.
Υπάρχουν 3 κλειδιά, εκ των οποίων μόνο το ένα ταιριάζει στην κλειδαριά. Σχεδιάστε έναν νόμο για την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ-αριθμός προσπαθειών για άνοιγμα της κλειδαριάς, εάν το δοκιμασμένο κλειδί δεν συμμετέχει σε επόμενες προσπάθειες. Βρείτε M(X),D(X). 1.12.
Πραγματοποιούνται διαδοχικές ανεξάρτητες δοκιμές τριών συσκευών για αξιοπιστία. Κάθε επόμενη συσκευή ελέγχεται μόνο εάν η προηγούμενη αποδειχθεί αξιόπιστη. Η πιθανότητα επιτυχίας του τεστ για κάθε συσκευή είναι 0,9. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για την τυχαία μεταβλητή Χ-αριθμός των δοκιμασμένων συσκευών. 1.13
.Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X έχει τρεις πιθανές τιμές: x1=1, x2, x3 και x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Το μπλοκ ηλεκτρονικών συσκευών περιέχει 100 πανομοιότυπα στοιχεία. Η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου κατά το χρόνο T είναι 0,002. Τα στοιχεία λειτουργούν ανεξάρτητα. Βρείτε την πιθανότητα να μην αποτύχουν περισσότερα από δύο στοιχεία κατά τη διάρκεια του χρόνου T. 1.15.
Το σχολικό βιβλίο εκδόθηκε σε κυκλοφορία 50.000 αντιτύπων. Η πιθανότητα το σχολικό βιβλίο να είναι δεμένο σωστά είναι 0,0002. Βρείτε την πιθανότητα να περιέχει η κυκλοφορία: α) τέσσερα ελαττωματικά βιβλία, β) λιγότερα από δύο ελαττωματικά βιβλία. 1
.16.
Ο αριθμός των κλήσεων που φτάνουν στο PBX κάθε λεπτό κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson με την παράμετρο λ=1,5. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε ένα λεπτό θα έρθουν τα ακόλουθα: α) δύο κλήσεις. β) τουλάχιστον μία κλήση. 1.17.
Βρείτε M(Z),D(Z) αν Z=3X+Y. 1.18.
Δίνονται οι νόμοι κατανομής δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών: Βρείτε M(Z),D(Z) αν Z=X+2Y. Απαντήσεις:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 στα x≤-2, 0,3 στο -2<х≤0, F(x)= 0,5 στο 0<х≤2, 0,9 στις 2<х≤5, 1 στο x>5 0,3 στο -1<х≤0, 0,4 στο 0<х≤1, F(x)= 0,6 στο 1<х≤2, 0,7 στις 2<х≤3, 1 στο x>3 Μ(Χ)=1; D(X)=2,6; σ(Χ) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 σε x≤0, 0,03 στο 0<х≤1, F(x)= 0,37 στο 1<х≤2, 1 για x>2 Μ(Χ)=2; D(X)=0,62 Μ(Χ)=2,4; Δ(Χ)=0,48, Ρ(Χ>10)=0,896 1.
8
.
Μ(Χ)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ Μ(Χ)=2,4; Δ(Χ)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
Μ(Χ)=2; Δ(Χ)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
α) 0,0189; β) 0,00049 1.16.
α) 0,0702; β)0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Κεφάλαιο 2. Συνεχής τυχαία μεταβλητή
Ορισμός: Συνεχής
Ονομάζουν μια ποσότητα όλες οι πιθανές τιμές της οποίας γεμίζουν πλήρως ένα πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα της αριθμογραμμής. Προφανώς, ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση κατανομής. Ορισμός:φά συνάρτηση διανομής
μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X ονομάζεται συνάρτηση F(x), η οποία καθορίζει για κάθε τιμή xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Η συνάρτηση κατανομής μερικές φορές ονομάζεται συνάρτηση αθροιστικής κατανομής. Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η συνάρτηση κατανομής είναι συνεχής σε οποιοδήποτε σημείο και διαφοροποιήσιμη παντού, εκτός ίσως από μεμονωμένα σημεία. 3) Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή X να πέσει σε ένα από τα διαστήματα (a;b), [a;b], [a;b], είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης F(x) στα σημεία α και β, δηλ. R(a)<Х 4) Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ θα λάβει μια ξεχωριστή τιμή είναι 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Ο καθορισμός μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση διανομής δεν είναι ο μόνος τρόπος. Ας εισαγάγουμε την έννοια της πυκνότητας κατανομής πιθανότητας (πυκνότητα κατανομής). Ορισμός
:
Πυκνότητα κατανομής πιθανότητας
φά
(
Χ
)
μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ είναι η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής της, δηλαδή: Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μερικές φορές ονομάζεται συνάρτηση διαφορικής κατανομής ή νόμος διαφορικής κατανομής. Η γραφική παράσταση της κατανομής πυκνότητας πιθανότητας f(x) ονομάζεται καμπύλη κατανομής πιθανοτήτων
.
Ιδιότητες κατανομής πυκνότητας πιθανότητας:
1) f(x) ≥0, στο xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" ύψος ="62 src="> 0 σε x≤2, f(x)= c(x-2) στο 2<х≤6, 0 για x>6. Βρείτε: α) την τιμή του c; β) συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την. γ) Ρ(3≤χ<5) Λύση:
+
∞ α) Βρίσκουμε την τιμή του c από τη συνθήκη κανονικοποίησης: ∫ f(x)dx=1. Επομένως, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x αν 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 σε x≤2, F(x)= (x-2)2/16 στο 2<х≤6, 1 για x>6. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης F(x) φαίνεται στο Σχ. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 σε x≤0, F(x)= (3 αρκτάν x)/π στο 0<х≤√3, 1 για x>√3. Βρείτε τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής f(x) Λύση:
Αφού f(x)= F’(x), τότε https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Όλες οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς, που συζητήθηκαν προηγουμένως για διασκορπισμένες τυχαίες μεταβλητές, ισχύουν επίσης για συνεχείς. Εργασία Νο. 3.Η τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη διαφορική συνάρτηση f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.
2.1.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής: 0 σε x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 για x≤ π/6, F(x)= - cos 3x στο π/6<х≤ π/3, 1 για x> π/3. Βρείτε τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής f(x), και επίσης Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 σε x≤2, f(x)= c x στο 2<х≤4, 0 για x>4. 2.4.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής: 0 σε x≤0, f(x)= c √x στο 0<х≤1, 0 για x>1. Βρείτε: α) τον αριθμό γ; β) Μ(Χ), Δ(Χ). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> στο x, 0 στο x. Βρείτε: α) F(x) και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση του. β) M(X),D(X), σ(X); γ) την πιθανότητα σε τέσσερις ανεξάρτητες δοκιμές η τιμή του Χ να πάρει ακριβώς 2 φορές την τιμή που ανήκει στο διάστημα (1;4). 2.6.
Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται: f(x)= 2(x-2) στο x, 0 στο x. Βρείτε: α) F(x) και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση του. β) M(X),D(X), σ (X); γ) την πιθανότητα σε τρεις ανεξάρτητες δοκιμές η τιμή του X να πάρει ακριβώς 2 φορές την τιμή που ανήκει στο τμήμα . 2.7.
Η συνάρτηση f(x) δίνεται ως εξής: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Η συνάρτηση f(x) δίνεται ως εξής: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Να βρείτε: α) την τιμή της σταθεράς c στην οποία η συνάρτηση θα είναι η πυκνότητα πιθανότητας κάποιας τυχαίας μεταβλητής Χ. β) συνάρτηση κατανομής F(x). 2.9.
Η τυχαία μεταβλητή X, συγκεντρωμένη στο διάστημα (3;7), καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής F(x)= . Βρείτε την πιθανότητα ότι Η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει την τιμή: α) μικρότερη από 5, β) όχι μικρότερη από 7. 2.10.
Τυχαία μεταβλητή X, συγκεντρωμένη στο διάστημα (-1;4), δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής F(x)= . Βρείτε την πιθανότητα ότι Η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει την τιμή: α) μικρότερη από 2, β) όχι μικρότερη από 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Βρείτε: α) τον αριθμό c; β) M(X); γ) πιθανότητα P(X> M(X)). 2.12.
Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Βρείτε: α) M(X); β) πιθανότητα P(X≤M(X)) 2.13.
Η κατανομή Rem δίνεται από την πυκνότητα πιθανότητας: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> για x ≥0. Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι πράγματι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. 2.14.
Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Εικ. 4) 2.16.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο " ορθογώνιο τρίγωνο«στο διάστημα (0;4) (Εικ. 5). Βρείτε μια αναλυτική παράσταση για την πυκνότητα πιθανότητας f(x) σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Απαντήσεις
0 σε x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 για x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x στο π/6<х≤ π/3, 0 για x> π/3. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X έχει έναν νόμο ομοιόμορφης κατανομής σε ένα συγκεκριμένο διάστημα (a;b), ο οποίος περιέχει όλες τις πιθανές τιμές του X, εάν η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας f(x) είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα και ίση με 0 έξω από αυτό , δηλ. 0 για x≤a, f(x)= για α<х 0 για x≥b. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) φαίνεται στο Σχ. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Εργασία Νο. 1.Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Εύρημα: α) πυκνότητα κατανομής πιθανότητας f(x) και σχεδιάστε την. β) τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την. γ) Μ(Χ),Δ(Χ), σ(Χ). Λύση:
Χρησιμοποιώντας τους τύπους που συζητήθηκαν παραπάνω, με a=3, b=7, βρίσκουμε: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> σε 3≤х≤7, 0 για x>7 Ας φτιάξουμε το γράφημά του (Εικ. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 σε x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Εικ. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 στο x<0, f(x)= λε-λχ για x≥0. Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, που κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο, δίνεται από τον τύπο: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Χ)= Έτσι, η μαθηματική προσδοκία και η τυπική απόκλιση της εκθετικής κατανομής είναι ίσες μεταξύ τους. Η πιθανότητα το X να πέσει στο διάστημα (a;b) υπολογίζεται από τον τύπο: P(a<Х Εργασία Νο. 2.Ο μέσος χρόνος λειτουργίας της συσκευής χωρίς αστοχίες είναι 100 ώρες. Υποθέτοντας ότι ο χρόνος λειτουργίας χωρίς αστοχίες της συσκευής έχει νόμο εκθετικής κατανομής, βρείτε: α) πυκνότητα κατανομής πιθανότητας. β) συνάρτηση διανομής. γ) η πιθανότητα ο χρόνος λειτουργίας της συσκευής χωρίς αστοχίες να υπερβεί τις 120 ώρες. Λύση:
Σύμφωνα με την συνθήκη, η μαθηματική κατανομή M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 στο x<0, α) f(x)= 0,01e -0,01x για x≥0. β) F(x)= 0 στο x<0, 1-e -0,01x σε x≥0. γ) Βρίσκουμε την επιθυμητή πιθανότητα χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Νόμος κανονικής διανομής Ορισμός:
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ έχει κανονικός νόμοςκατανομές (νόμος του Gauss),
αν η πυκνότητα κατανομής του έχει τη μορφή: όπου m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Η καμπύλη κανονικής κατανομής ονομάζεται κανονική ή Gaussian καμπύλη
(Εικ.7) Η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής X, που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, εκφράζεται μέσω της συνάρτησης Laplace Ф (x) σύμφωνα με τον τύπο: πού είναι η συνάρτηση Laplace. Σχόλιο:
Η συνάρτηση Ф(x) είναι περιττή (Ф(-х)=-Ф(х)), επιπλέον, για x>5 μπορούμε να υποθέσουμε Ф(х) ≈1/2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής F(x) φαίνεται στο Σχ. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Η πιθανότητα ότι απόλυτη τιμήαποκλίσεις μικρότερες από έναν θετικό αριθμό δ υπολογίζονται με τον τύπο: Ειδικότερα, για m=0 ισχύει η ακόλουθη ισότητα: "Κανόνας Τριών Σίγμα"
Εάν μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει νόμο κανονικής κατανομής με παραμέτρους m και σ, τότε είναι σχεδόν βέβαιο ότι η τιμή της βρίσκεται στο διάστημα (a-3σ, a+3σ), επειδή https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) β) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Από τον πίνακα τιμών συνάρτησης Ф(х) βρίσκουμε Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. Έτσι, η επιθυμητή πιθανότητα: P(28 Εργασίες για ανεξάρτητη εργασία
3.1.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (-3;5). Εύρημα: β) συνάρτηση κατανομής F(x); γ) αριθμητικά χαρακτηριστικά. δ) πιθανότητα P(4<х<6). 3.2.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Εύρημα: α) πυκνότητα κατανομής f(x); β) συνάρτηση κατανομής F(x); γ) αριθμητικά χαρακτηριστικά. δ) πιθανότητα P(3≤х≤6). 3.3.
Υπάρχει ένα αυτόματο φανάρι στον αυτοκινητόδρομο, στον οποίο το πράσινο φως ανάβει για 2 λεπτά, το κίτρινο για 3 δευτερόλεπτα, το κόκκινο για 30 δευτερόλεπτα, κ.λπ. Ένα αυτοκίνητο οδηγεί κατά μήκος της εθνικής οδού σε μια τυχαία στιγμή. Βρείτε την πιθανότητα ένα αυτοκίνητο να περάσει από φανάρι χωρίς να σταματήσει. 3.4.
Τα τρένα του μετρό εκτελούνται τακτικά σε διαστήματα 2 λεπτών. Ένας επιβάτης μπαίνει στην πλατφόρμα σε τυχαία στιγμή. Ποια είναι η πιθανότητα ένας επιβάτης να περιμένει περισσότερα από 50 δευτερόλεπτα για ένα τρένο; Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής X - τον χρόνο αναμονής για το τρένο. 3.5.
Βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της εκθετικής κατανομής που δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής: F(x)= 0 στο x<0, 1η-8x για x≥0. 3.6.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας: f(x)= 0 στο x<0, 0,7 e-0,7x σε x≥0. α) Ονομάστε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής που εξετάζουμε. β) Να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(X) και τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της τυχαίας μεταβλητής Χ. 3.7.
Η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο που καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας: f(x)= 0 στο x<0, 0,4 e-0,4 x σε x≥0. Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή από το διάστημα (2,5;5). 3.8.
Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο που καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής: F(x)= 0 στο x<0, 1η-0,6x σε x≥0 Βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, το X θα πάρει μια τιμή από το τμήμα. 3.9.
Η αναμενόμενη τιμή και η τυπική απόκλιση μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι 8 και 2, αντίστοιχα. Βρείτε: α) πυκνότητα κατανομής f(x); β) την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή από το διάστημα (10;14). 3.10.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με μαθηματική προσδοκία 3,5 και διακύμανση 0,04. Εύρημα: α) πυκνότητα κατανομής f(x); β) την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή από το τμήμα . 3.11.
Η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται κανονικά με M(X)=0 και D(X)=1. Ποιο από τα συμβάντα: |X|≤0,6 ή |X|≥0,6 είναι πιο πιθανό; 3.12.
Η τυχαία μεταβλητή X κατανέμεται κανονικά με M(X)=0 και D(X)=1. Από ποιο διάστημα (-0,5;-0,1) ή (1;2) είναι πιο πιθανό να λάβει μια τιμή κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής; 3.13.
Η τρέχουσα τιμή ανά μετοχή μπορεί να μοντελοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον νόμο της κανονικής διανομής με M(X)=10 den. μονάδες και σ (Χ)=0,3 δεν. μονάδες Εύρημα: α) η πιθανότητα η τρέχουσα τιμή της μετοχής να είναι από 9,8 den. μονάδες έως 10,4 ημέρες μονάδες? β) χρησιμοποιώντας τον «κανόνα των τριών σίγμα», βρείτε τα όρια εντός των οποίων θα βρίσκεται η τρέχουσα τιμή της μετοχής. 3.14.
Η ουσία ζυγίζεται χωρίς συστηματικά σφάλματα. Τα τυχαία σφάλματα ζύγισης υπόκεινται στον κανονικό νόμο με το μέσο τετραγωνικό λόγο σ=5g. Βρείτε την πιθανότητα σε τέσσερα ανεξάρτητα πειράματα να μην συμβεί σφάλμα σε τρεις ζυγίσεις στην απόλυτη τιμή 3r. 3.15.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με Μ(Χ)=12,6. Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πέσει στο διάστημα (11,4;13,8) είναι 0,6826. Βρείτε την τυπική απόκλιση σ. 3.16.
Η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με Μ(Χ)=12 και Δ(Χ)=36. Βρείτε το διάστημα στο οποίο θα πέσει η τυχαία μεταβλητή Χ ως αποτέλεσμα του τεστ με πιθανότητα 0,9973. 3.17.
Ένα εξάρτημα που κατασκευάζεται από αυτόματο μηχάνημα θεωρείται ελαττωματικό εάν η απόκλιση X της ελεγχόμενης παραμέτρου του από την ονομαστική τιμή υπερβαίνει το modulo 2 μονάδες μέτρησης. Υποτίθεται ότι η τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με Μ(Χ)=0 και σ(Χ)=0,7. Τι ποσοστό ελαττωματικών εξαρτημάτων παράγει το μηχάνημα; 3.18.
Η παράμετρος Χ του εξαρτήματος κατανέμεται κανονικά με μαθηματική προσδοκία 2 ίση με την ονομαστική τιμή και τυπική απόκλιση 0,014. Να βρείτε την πιθανότητα η απόκλιση του Χ από την ονομαστική τιμή να μην υπερβαίνει το 1% της ονομαστικής τιμής. Απαντήσεις
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> β) 0 για x≤-3, F(x)= αριστερά"> 3.10.
α)f(x)= , β) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
α) Ρ(9,8≤Χ≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Ως γνωστόν, τυχαία μεταβλητή
ονομάζεται μεταβλητή ποσότητα που μπορεί να λάβει ορισμένες τιμές ανάλογα με την περίπτωση. Οι τυχαίες μεταβλητές υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (X, Y, Z) και οι τιμές τους υποδηλώνονται με αντίστοιχα πεζά γράμματα (x, y, z). Οι τυχαίες μεταβλητές χωρίζονται σε ασυνεχείς (διακριτές) και συνεχείς. Διακριτή τυχαία μεταβλητή
είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο ένα πεπερασμένο ή άπειρο (μετρήσιμο) σύνολο τιμών με ορισμένες μη μηδενικές πιθανότητες. Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
είναι μια συνάρτηση που συνδέει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους. 1
. Ο νόμος διανομής μπορεί να δοθεί από τον πίνακα:
όπου λ>0, k = 0, 1, 2, … . V)με τη χρήση συναρτήσεις κατανομής F(x)
, που καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να πάρει τιμή μικρότερη από x, δηλ. F(x) = P(X< x). Ιδιότητες της συνάρτησης F(x) 3
. Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί γραφικά
– πολύγωνο κατανομής (πολύγωνο) (βλ. πρόβλημα 3). Σημειώστε ότι για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τον νόμο διανομής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αρκεί να γνωρίζουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς που αντικατοπτρίζουν τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του νόμου διανομής. Αυτός μπορεί να είναι ένας αριθμός που έχει την έννοια της «μέσης τιμής» μιας τυχαίας μεταβλητής ή ένας αριθμός που δείχνει το μέσο μέγεθος της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της. Οι αριθμοί αυτού του είδους ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
: Εκδόθηκαν 1000 λαχεία: 5 από αυτά θα κερδίσουν 500 ρούβλια, 10 θα κερδίσουν 100 ρούβλια, 20 θα κερδίσουν 50 ρούβλια, 50 θα κερδίσουν 10 ρούβλια. Προσδιορίστε τον νόμο της κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ - κέρδη ανά δελτίο. Λύση.
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι δυνατές οι ακόλουθες τιμές της τυχαίας μεταβλητής X: 0, 10, 50, 100 και 500. Ο αριθμός των εισιτηρίων χωρίς νίκη είναι 1000 – (5+10+20+50) = 915, μετά P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Ομοίως, βρίσκουμε όλες τις άλλες πιθανότητες: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ας παρουσιάσουμε τον νόμο που προκύπτει με τη μορφή πίνακα: Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία της τιμής Χ: Μ(Χ) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Η συσκευή αποτελείται από τρία ανεξάρτητα λειτουργικά στοιχεία. Η πιθανότητα αστοχίας κάθε στοιχείου σε ένα πείραμα είναι 0,1. Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα, κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Λύση.
1.
Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X = (ο αριθμός των αποτυχημένων στοιχείων σε ένα πείραμα) έχει τις ακόλουθες πιθανές τιμές: x 1 = 0 (κανένα από τα στοιχεία της συσκευής δεν απέτυχε), x 2 = 1 (ένα στοιχείο απέτυχε), x 3 = 2 ( δύο στοιχεία απέτυχαν ) και x 4 =3 (τρία στοιχεία απέτυχαν). Οι αστοχίες στοιχείων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οι πιθανότητες αστοχίας κάθε στοιχείου είναι ίσες, επομένως ισχύει Ο τύπος του Bernoulli
. Λαμβάνοντας υπόψη ότι, σύμφωνα με τη συνθήκη, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, προσδιορίζουμε τις πιθανότητες των τιμών: Έτσι, ο επιθυμητός νόμος διωνυμικής κατανομής του X έχει τη μορφή: Σχεδιάζουμε τις πιθανές τιμές του x i κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και τις αντίστοιχες πιθανότητες p i κατά μήκος του άξονα των τεταγμένων. Ας κατασκευάσουμε τα σημεία M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, παίρνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής. 3.
Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής F(x) = Р(Х Γράφημα της συνάρτησης F(x) 4.
Για διωνυμική κατανομή X: Εκπαιδευτικό ίδρυμα "Κράτος της Λευκορωσίας Γεωργική Ακαδημία" Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών Κατευθυντήριες γραμμές να μελετήσει το θέμα «Τυχαίες Μεταβλητές» από φοιτητές της Σχολής Λογιστικής για την Αλληλογραφία (NISPO) Gorki, 2013 Τυχαίες μεταβλητές Διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Μία από τις κύριες έννοιες στη θεωρία πιθανοτήτων είναι η έννοια τυχαία μεταβλητή
.
Τυχαία μεταβλητή
είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα δοκιμής, παίρνει μόνο μία από τις πολλές πιθανές τιμές της και δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποια. Υπάρχουν τυχαίες μεταβλητές διακριτές και συνεχείς
.
Διακριτή τυχαία μεταβλητή (DRV)
είναι μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να λάβει έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών που απομονώνονται μεταξύ τους, δηλ. εάν οι πιθανές τιμές αυτής της ποσότητας μπορούν να υπολογιστούν εκ νέου. Συνεχής τυχαία μεταβλητή (CNV)
είναι μια τυχαία μεταβλητή, όλες οι πιθανές τιμές της οποίας καλύπτουν πλήρως ένα ορισμένο διάστημα της αριθμητικής γραμμής. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου X, Y, Z κ.λπ. Οι πιθανές τιμές των τυχαίων μεταβλητών υποδεικνύονται με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα. Ρεκόρ Παράδειγμα 1
. Τα ζάρια ρίχνονται μια φορά. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να εμφανιστούν αριθμοί από το 1 έως το 6, υποδεικνύοντας τον αριθμό των πόντων. Ας υποδηλώσουμε την τυχαία μεταβλητή Χ=(αριθμός σημείων που κυλήθηκαν). Αυτή η τυχαία μεταβλητή ως αποτέλεσμα της δοκιμής μπορεί να λάβει μόνο μία από τις έξι τιμές: 1, 2, 3, 4, 5 ή 6. Επομένως, η τυχαία μεταβλητή Χυπάρχει DSV. Παράδειγμα 2
. Όταν πετιέται μια πέτρα, διανύει μια ορισμένη απόσταση. Ας υποδηλώσουμε την τυχαία μεταβλητή Χ=(πέτρα απόσταση πτήσης). Αυτή η τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε, αλλά μόνο μία, τιμή από ένα συγκεκριμένο διάστημα. Επομένως, η τυχαία μεταβλητή Χυπάρχει NSV. Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται από τις τιμές που μπορεί να πάρει και τις πιθανότητες με τις οποίες λαμβάνονται αυτές οι τιμές. Η αντιστοιχία μεταξύ των πιθανών τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους ονομάζεται νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
. Εάν είναι γνωστές όλες οι πιθανές τιμές Ο νόμος κατανομής DSV μπορεί να απεικονιστεί γραφικά εάν τα σημεία απεικονίζονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Παράδειγμα 3
. Τα δημητριακά που προορίζονται για καθαρισμό περιέχουν 10% ζιζάνια. Επιλέχθηκαν τυχαία 4 κόκκοι. Ας υποδηλώσουμε την τυχαία μεταβλητή Χ=(αριθμός ζιζανίων μεταξύ των τεσσάρων επιλεγμένων). Κατασκευάστε τον νόμο διανομής DSV Χκαι πολύγωνο διανομής. Λύση
. Σύμφωνα με τις συνθήκες του παραδείγματος. Επειτα: Ας γράψουμε τον νόμο κατανομής του DSV X με τη μορφή πίνακα και ας κατασκευάσουμε ένα πολύγωνο κατανομής: Προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Οι πιο σημαντικές ιδιότητες μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής περιγράφονται από τα χαρακτηριστικά της. Ένα από αυτά τα χαρακτηριστικά είναι αναμενόμενη αξία
τυχαία μεταβλητή. Ας είναι γνωστός ο νόμος διανομής DSV Χ: Μαθηματική προσδοκία
DSV Χείναι το άθροισμα των γινομένων κάθε τιμής αυτής της ποσότητας με την αντίστοιχη πιθανότητα: Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι περίπου ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των τιμών της. Επομένως, σε πρακτικά προβλήματα, η μέση τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής λαμβάνεται συχνά ως η μαθηματική προσδοκία. Παράδειγμα
8
. Ο σουτέρ σκοράρει 4, 8, 9 και 10 πόντους με πιθανότητες 0,1, 0,45, 0,3 και 0,15. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των πόντων με μία βολή. Λύση
. Ας υποδηλώσουμε την τυχαία μεταβλητή Χ=(αριθμός πόντων που σημειώθηκαν). Επειτα . Έτσι, ο αναμενόμενος μέσος όρος πόντων που σημειώνονται με μία βολή είναι 8,2 και με 10 βολές - 82. Κύρια ακίνητα
οι μαθηματικές προσδοκίες είναι: Διαφορά Διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Για να χαρακτηρίσουμε μια τυχαία μεταβλητή, εκτός από τη μαθηματική προσδοκία, χρησιμοποιούμε και διασπορά
, που καθιστά δυνατή την εκτίμηση της διασποράς (spread) των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της. Κατά τη σύγκριση δύο ομοιογενών τυχαίων μεταβλητών με ίσες μαθηματικές προσδοκίες, η «καλύτερη» τιμή θεωρείται αυτή που έχει μικρότερη διαφορά, δηλ. λιγότερη διασπορά. Διαφορά
τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία: . Σε πρακτικά προβλήματα, χρησιμοποιείται ένας ισοδύναμος τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης. Οι κύριες ιδιότητες της διασποράς είναι: Σε αυτή τη σελίδα έχουμε συλλέξει παραδείγματα εκπαιδευτικών λύσεων προβλήματα σχετικά με διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Αυτή είναι μια αρκετά εκτεταμένη ενότητα: μελετώνται διάφοροι νόμοι κατανομής (διωνυμικοί, γεωμετρικοί, υπεργεωμετρικοί, Poisson και άλλοι), ιδιότητες και αριθμητικά χαρακτηριστικά· για κάθε σειρά διανομής, μπορούν να κατασκευαστούν γραφικές αναπαραστάσεις: πολύγωνο (πολύγωνο) πιθανοτήτων, συνάρτηση κατανομής. Παρακάτω θα βρείτε παραδείγματα αποφάσεων για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε γνώσεις από προηγούμενες ενότητες της θεωρίας πιθανοτήτων για να συντάξετε έναν νόμο κατανομής και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία, τη διασπορά, την τυπική απόκλιση, να κατασκευάσετε μια συνάρτηση κατανομής, να απαντήσετε ερωτήσεις σχετικά με το DSV, κλπ. P. Παραδείγματα δημοφιλών νόμων κατανομής πιθανοτήτων: Εργασία 1.Κατά μήκος της διαδρομής του οχήματος υπάρχουν 4 φανάρια, καθένα από τα οποία απαγορεύει την περαιτέρω κίνηση του οχήματος με πιθανότητα 0,5. Βρείτε τη σειρά διανομής του αριθμού των φαναριών που πέρασε το αυτοκίνητο πριν από την πρώτη στάση. Ποια είναι η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής; Εργασία 2.Ο κυνηγός πυροβολεί στο παιχνίδι μέχρι το πρώτο χτύπημα, αλλά καταφέρνει να πυροβολήσει όχι περισσότερες από τέσσερις βολές. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αστοχιών εάν η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με μία βολή είναι 0,7. Βρείτε τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Εργασία 3.Ο σκοπευτής, έχοντας 3 φυσίγγια, πυροβολεί στον στόχο μέχρι το πρώτο χτύπημα. Οι πιθανότητες χτυπήματος για την πρώτη, δεύτερη και τρίτη βολή είναι 0,6, 0,5, 0,4, αντίστοιχα. S.V. $\xi$ - αριθμός υπολειπόμενων κασετών. Συντάξτε μια σειρά διανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής, κατασκευάστε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής, βρείτε την $P(|\xi-m| \le \sigma$). Εργασία 4.Το κουτί περιέχει 7 τυπικά και 3 ελαττωματικά εξαρτήματα. Βγάζουν τα εξαρτήματα διαδοχικά μέχρι να εμφανιστεί το τυπικό, χωρίς να τα επιστρέφουν πίσω. $\xi$ είναι ο αριθμός των ελαττωματικών εξαρτημάτων που ανακτήθηκαν. Εργασία 5.Στην επανεξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων εμφανίστηκαν 3 μαθητές. Η πιθανότητα ο πρώτος να περάσει την εξέταση είναι 0,8, ο δεύτερος - 0,7 και ο τρίτος - 0,9. Βρείτε τη σειρά κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $\xi$ του αριθμού των μαθητών που πέρασαν την εξέταση, σχεδιάστε τη συνάρτηση κατανομής, βρείτε $M(\xi), D(\xi)$. Εργασία 6.Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8 και μειώνεται με κάθε βολή κατά 0,1. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των χτυπημάτων σε έναν στόχο, εάν εκτοξευθούν τρεις βολές. Βρείτε την αναμενόμενη τιμή, διακύμανση και S.K.O. αυτή η τυχαία μεταβλητή. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής. Εργασία 7.Εκτελούνται 4 βολές στο στόχο. Η πιθανότητα ενός χτυπήματος αυξάνεται ως εξής: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$ - τον αριθμό των επισκέψεων. Βρείτε την πιθανότητα ότι $X \ge 1$. Εργασία 8.Ρίχνονται δύο συμμετρικά νομίσματα και μετράται ο αριθμός των θυρεών και στις δύο επάνω όψεις των νομισμάτων. Θεωρούμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ - τον αριθμό των θυρεών και στα δύο νομίσματα. Γράψτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της. Εργασία 9.Δύο μπασκετμπολίστες κάνουν τρεις βολές στο καλάθι. Η πιθανότητα να χτυπήσει ο πρώτος μπασκετμπολίστας είναι 0,6, για τον δεύτερο – 0,7. Έστω X$ η διαφορά μεταξύ του αριθμού των επιτυχημένων βολών του πρώτου και του δεύτερου μπασκετμπολίστα. Βρείτε τη σειρά διανομής, τον τρόπο και τη συνάρτηση διανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$. Κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής. Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. Βρείτε την πιθανότητα του συμβάντος $(-2 \lt X \le 1)$. Πρόβλημα 10.Ο αριθμός των μη κατοίκων πλοίων που φτάνουν καθημερινά για φόρτωση σε ένα συγκεκριμένο λιμάνι είναι μια τυχαία μεταβλητή $X$, που δίνεται ως εξής: Πρόβλημα 11.Ρίχνονται 4 ζάρια. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των σημείων που θα εμφανιστούν σε όλες τις πλευρές. Πρόβλημα 12.Οι δυο τους ρίχνουν εναλλάξ ένα νόμισμα μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά το εθνόσημο. Ο παίκτης που πήρε το εθνόσημο λαμβάνει 1 ρούβλι από τον άλλο παίκτη. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία νίκης για κάθε παίκτη.
1.2.
p4=0,1; 0 στο x≤-1,
(Εικ.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 για x≤a,
,
Η κανονική καμπύλη είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x=m, έχει μέγιστο στο x=a, ίσο με .
,
Για διωνυμική κατανομή M(X)=np, για κατανομή Poisson M(X)=λ
Για διωνυμική κατανομή D(X)=npq, για κατανομή Poisson D(X)=λΠαραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Ο νόμος της κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής»
Εργασία 1.
Εργασία 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Έλεγχος: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
για 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
για 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
για 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
για x > 3 θα υπάρχει F(x) = 1, γιατί η εκδήλωση είναι αξιόπιστη. 
- μαθηματική προσδοκία M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- διακύμανση D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- τυπική απόκλιση σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
σημαίνει «η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει μια τιμή 5, ίση με 0,28."
τυχαία μεταβλητή Χκαι πιθανότητες 
εμφάνιση αυτών των τιμών, τότε πιστεύεται ότι ο νόμος κατανομής του DSV Χείναι γνωστό και μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα:
,
,
…,
και συνδέστε τα με ευθύγραμμα τμήματα. Το σχήμα που προκύπτει ονομάζεται πολύγωνο κατανομής.
.
.
.
, Οπου 
,
.
.
, Οπου ΧΚαι Υείναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.
που ονομάζεται απόκλιση
τυχαία μεταβλητή Χαπό τη μαθηματική του προσδοκία. Αυτή η διαφορά είναι μια τυχαία μεταβλητή και η μαθηματική της προσδοκία είναι μηδέν, δηλ. 
.
.Αριθμομηχανές για χαρακτηριστικά DSV
Επιλύθηκαν προβλήματα σχετικά με το DSV
Κατανομές κοντά σε γεωμετρικές
Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $\xi$, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση, σχεδιάστε ένα πολύγωνο κατανομής και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής.Εργασίες με ανεξάρτητα γεγονότα
Άλλα προβλήματα και νόμοι διανομής του DSV
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
Α) βεβαιωθείτε ότι έχει καθοριστεί η σειρά διανομής,
Β) βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$,
Γ) εάν φτάσουν περισσότερα από τρία πλοία μια δεδομένη ημέρα, το λιμάνι αναλαμβάνει την ευθύνη για το κόστος λόγω της ανάγκης πρόσληψης επιπλέον οδηγών και φορτωτών. Ποια είναι η πιθανότητα το λιμάνι να επιβαρυνθεί με επιπλέον κόστος;
Δ) βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής $X$.