Ακατάλληλο κλάσμα

Κατάλυμα

1. Τάξη. έναΚαι σιυπάρχει ένας κανόνας που επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει μοναδικά μία και μόνο μία από τις τρεις σχέσεις μεταξύ τους:< », « >"ή " = ". Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας παραγγελίαςκαι διατυπώνεται ως εξής: δύο μη αρνητικοί αριθμοί και σχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο ακέραιους και ; δύο μη θετικοί αριθμοί έναΚαι σισχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο μη αρνητικούς αριθμούς και ; αν ξαφνικά έναμη αρνητικό, αλλά σι- αρνητικό, λοιπόν ένα > σι. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Προσθήκη κλασμάτων

2. Λειτουργία προσθήκης.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας άθροισης ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται ποσόαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού ονομάζεται άθροιση. Ο κανόνας άθροισης έχει επόμενη προβολή: .
3. Λειτουργία πολλαπλασιασμού.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας πολλαπλασιασμού, το οποίο τους εκχωρεί κάποιο λογικό αριθμό ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται δουλειάαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και ονομάζεται επίσης η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού πολλαπλασιασμός. Ο κανόνας πολλαπλασιασμού μοιάζει με αυτό: .
4. Μεταβατικότητα της σχέσης τάξης.Για οποιοδήποτε τριπλό ρητών αριθμών ένα , σιΚαι ντοΑν έναπιο λιγο σιΚαι σιπιο λιγο ντο, Οτι έναπιο λιγο ντο, κι αν έναισοδυναμεί σιΚαι σιισοδυναμεί ντο, Οτι έναισοδυναμεί ντο. 6435">Μεταλλαξιμότητα της πρόσθεσης. Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών όρων δεν αλλάζει το άθροισμα.
5. Συνειρμικότητα προσθήκης.Η σειρά με την οποία προστίθενται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
6. Παρουσία μηδέν.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 0 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν προστίθεται.
7. Η παρουσία αντίθετων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίθετο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν προστεθεί σε δίνει το 0.
8. Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού.Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν.
9. Συσχετισμός πολλαπλασιασμού.Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
10. Διαθεσιμότητα μονάδας.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 1 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν πολλαπλασιάζεται.
11. Παρουσία αντίστροφων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίστροφο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με δίνει 1.
12. Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.Η πράξη πολλαπλασιασμού συντονίζεται με την πράξη πρόσθεσης μέσω του νόμου κατανομής:
13. Σύνδεση της σχέσης παραγγελίας με τη λειτουργία της προσθήκης.Ο ίδιος ρητός αριθμός μπορεί να προστεθεί στην αριστερή και δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Αξίωμα του Αρχιμήδη.Όποιος κι αν είναι ο ρητός αριθμός ένα, μπορείτε να πάρετε τόσες πολλές μονάδες ώστε το άθροισμά τους να υπερβαίνει ένα. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Πρόσθετες ιδιότητες

Όλες οι άλλες ιδιότητες που είναι εγγενείς σε ορθολογικούς αριθμούς δεν διακρίνονται ως βασικές, επειδή, γενικά μιλώντας, δεν βασίζονται πλέον απευθείας στις ιδιότητες των ακεραίων, αλλά μπορούν να αποδειχθούν με βάση τις δεδομένες βασικές ιδιότητες ή απευθείας από τον ορισμό κάποιου μαθηματικού αντικειμένου . Τέτοιος πρόσθετες ιδιότητεςτόσα πολλά. Είναι λογικό να αναφέρουμε μόνο μερικά από αυτά εδώ.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Μετρησιμότητα ενός συνόλου

Αρίθμηση ρητών αριθμών

Για να υπολογίσετε τον αριθμό των ορθολογικών αριθμών, πρέπει να βρείτε την πληθώρα του συνόλου τους. Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι το σύνολο των ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να δώσουμε έναν αλγόριθμο που απαριθμεί ρητούς αριθμούς, δηλαδή καθιερώνει μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων ορθολογικών και φυσικών αριθμών.

Ο απλούστερος από αυτούς τους αλγόριθμους μοιάζει με αυτό. Ένας ατελείωτος πίνακας συνηθισμένων κλασμάτων συντάσσεται, σε καθένα Εγώ-η γραμμή σε κάθε ιη στήλη της οποίας βρίσκεται το κλάσμα. Για λόγους βεβαιότητας, θεωρείται ότι οι σειρές και οι στήλες αυτού του πίνακα αριθμούνται ξεκινώντας από το ένα. Τα κελιά του πίνακα συμβολίζονται με , όπου Εγώ- τον αριθμό της γραμμής του πίνακα στην οποία βρίσκεται το κελί και ι- αριθμός στήλης.

Ο πίνακας που προκύπτει διασχίζεται χρησιμοποιώντας ένα «φίδι» σύμφωνα με τον ακόλουθο επίσημο αλγόριθμο.

Αυτοί οι κανόνες αναζητούνται από πάνω προς τα κάτω και η επόμενη θέση επιλέγεται με βάση την πρώτη αντιστοίχιση.

Στη διαδικασία μιας τέτοιας διέλευσης, κάθε νέος ρητός αριθμός συνδέεται με έναν άλλο φυσικό αριθμό. Δηλαδή, το κλάσμα 1/1 αποδίδεται στον αριθμό 1, το κλάσμα 2/1 στον αριθμό 2 κλπ. Σημειωτέον ότι αριθμούνται μόνο τα μη αναγώγιμα κλάσματα. Ένα τυπικό σημάδι μη αναγώγιμης είναι ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος είναι ίσος με ένα.

Ακολουθώντας αυτόν τον αλγόριθμο, μπορούμε να απαριθμήσουμε όλους τους θετικούς ρητικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των θετικών ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Είναι εύκολο να καθιερωθεί μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων θετικών και αρνητικών ρητών αριθμών, απλώς αναθέτοντας σε κάθε ρητό αριθμό το αντίθετό του. Οτι. Το σύνολο των αρνητικών ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο. Η ένωσή τους είναι επίσης μετρήσιμη από την ιδιότητα των αριθμήσιμων συνόλων. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο ως η ένωση ενός αριθμήσιμου συνόλου με ένα πεπερασμένο.

Η δήλωση σχετικά με τη μετρητότητα του συνόλου των ρητών αριθμών μπορεί να προκαλέσει κάποια σύγχυση, αφού με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι είναι πολύ πιο εκτεταμένο από το σύνολο των φυσικών αριθμών. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι έτσι και υπάρχουν αρκετοί φυσικοί αριθμοί για να απαριθμήσουμε όλους τους ορθολογικούς.

Έλλειψη ορθολογικών αριθμών

Η υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου δεν μπορεί να εκφραστεί με κανένα ρητός αριθμός

Ρητοί αριθμοί της μορφής 1 / nασύλληπτος nμπορούν να μετρηθούν αυθαίρετα μικρές ποσότητες. Αυτό το γεγονός δημιουργεί την παραπλανητική εντύπωση ότι οι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση οποιωνδήποτε γεωμετρικών αποστάσεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα γνωρίζουμε ότι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου εκφράζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των σκελών του. Οτι. μήκος της υποτείνουσας ενός ισοσκελούς ορθογώνιο τρίγωνομε ένα σκέλος μονάδας ισούται με, δηλαδή, έναν αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι 2.

Αν υποθέσουμε ότι ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με κάποιο ρητό αριθμό, τότε υπάρχει ένας τέτοιος ακέραιος αριθμός Μκαι ένας τέτοιος φυσικός αριθμός n, ότι , και το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο, δηλαδή αριθμοί ΜΚαι n- αμοιβαία απλή.

Σωστό κλάσμα

Κατάλυμα

1. Τάξη. έναΚαι σιυπάρχει ένας κανόνας που επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει μοναδικά μία και μόνο μία από τις τρεις σχέσεις μεταξύ τους:< », « >"ή " = ". Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας παραγγελίαςκαι διατυπώνεται ως εξής: δύο μη αρνητικοί αριθμοί και σχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο ακέραιους και ; δύο μη θετικοί αριθμοί έναΚαι σισχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο μη αρνητικούς αριθμούς και ; αν ξαφνικά έναμη αρνητικό, αλλά σι- αρνητικό, λοιπόν ένα > σι. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Προσθήκη κλασμάτων

2. Λειτουργία προσθήκης.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας άθροισης ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται ποσόαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού ονομάζεται άθροιση. Ο κανόνας άθροισης έχει την ακόλουθη μορφή: .
3. Λειτουργία πολλαπλασιασμού.Για τυχόν ρητούς αριθμούς έναΚαι σιυπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας πολλαπλασιασμού, το οποίο τους εκχωρεί κάποιο λογικό αριθμό ντο. Επιπλέον, ο ίδιος ο αριθμός ντοπου ονομάζεται δουλειάαριθμοί έναΚαι σικαι συμβολίζεται με , και ονομάζεται επίσης η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού πολλαπλασιασμός. Ο κανόνας πολλαπλασιασμού μοιάζει με αυτό: .
4. Μεταβατικότητα της σχέσης τάξης.Για οποιοδήποτε τριπλό ρητών αριθμών ένα , σιΚαι ντοΑν έναπιο λιγο σιΚαι σιπιο λιγο ντο, Οτι έναπιο λιγο ντο, κι αν έναισοδυναμεί σιΚαι σιισοδυναμεί ντο, Οτι έναισοδυναμεί ντο. 6435">Μεταλλαξιμότητα της πρόσθεσης. Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών όρων δεν αλλάζει το άθροισμα.
5. Συνειρμικότητα προσθήκης.Η σειρά με την οποία προστίθενται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
6. Παρουσία μηδέν.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 0 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν προστίθεται.
7. Η παρουσία αντίθετων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίθετο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν προστεθεί σε δίνει το 0.
8. Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού.Η αλλαγή των θέσεων των ορθολογικών παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν.
9. Συσχετισμός πολλαπλασιασμού.Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
10. Διαθεσιμότητα μονάδας.Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 1 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν πολλαπλασιάζεται.
11. Παρουσία αντίστροφων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίστροφο ρητό αριθμό, ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με δίνει 1.
12. Κατανομή πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση.Η πράξη πολλαπλασιασμού συντονίζεται με την πράξη πρόσθεσης μέσω του νόμου κατανομής:
13. Σύνδεση της σχέσης παραγγελίας με τη λειτουργία της προσθήκης.Ο ίδιος ρητός αριθμός μπορεί να προστεθεί στην αριστερή και δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Αξίωμα του Αρχιμήδη.Όποιος κι αν είναι ο ρητός αριθμός ένα, μπορείτε να πάρετε τόσες πολλές μονάδες ώστε το άθροισμά τους να υπερβαίνει ένα. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Πρόσθετες ιδιότητες

Όλες οι άλλες ιδιότητες που είναι εγγενείς σε ορθολογικούς αριθμούς δεν διακρίνονται ως βασικές, επειδή, γενικά μιλώντας, δεν βασίζονται πλέον απευθείας στις ιδιότητες των ακεραίων, αλλά μπορούν να αποδειχθούν με βάση τις δεδομένες βασικές ιδιότητες ή απευθείας από τον ορισμό κάποιου μαθηματικού αντικειμένου . Υπάρχουν πολλές τέτοιες πρόσθετες ιδιότητες. Είναι λογικό να αναφέρουμε μόνο μερικά από αυτά εδώ.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Μετρησιμότητα ενός συνόλου

Αρίθμηση ρητών αριθμών

Για να υπολογίσετε τον αριθμό των ορθολογικών αριθμών, πρέπει να βρείτε την πληθώρα του συνόλου τους. Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι το σύνολο των ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να δώσουμε έναν αλγόριθμο που απαριθμεί ρητούς αριθμούς, δηλαδή καθιερώνει μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων ορθολογικών και φυσικών αριθμών.

Ο απλούστερος από αυτούς τους αλγόριθμους μοιάζει με αυτό. Ένας ατελείωτος πίνακας συνηθισμένων κλασμάτων συντάσσεται, σε καθένα Εγώ-η γραμμή σε κάθε ιη στήλη της οποίας βρίσκεται το κλάσμα. Για λόγους βεβαιότητας, θεωρείται ότι οι σειρές και οι στήλες αυτού του πίνακα αριθμούνται ξεκινώντας από το ένα. Τα κελιά του πίνακα συμβολίζονται με , όπου Εγώ- τον αριθμό της γραμμής του πίνακα στην οποία βρίσκεται το κελί και ι- αριθμός στήλης.

Ο πίνακας που προκύπτει διασχίζεται χρησιμοποιώντας ένα «φίδι» σύμφωνα με τον ακόλουθο επίσημο αλγόριθμο.

Αυτοί οι κανόνες αναζητούνται από πάνω προς τα κάτω και η επόμενη θέση επιλέγεται με βάση την πρώτη αντιστοίχιση.

Στη διαδικασία μιας τέτοιας διέλευσης, κάθε νέος ρητός αριθμός συνδέεται με έναν άλλο φυσικό αριθμό. Δηλαδή, το κλάσμα 1/1 αποδίδεται στον αριθμό 1, το κλάσμα 2/1 στον αριθμό 2 κλπ. Σημειωτέον ότι αριθμούνται μόνο τα μη αναγώγιμα κλάσματα. Ένα τυπικό σημάδι μη αναγώγιμης είναι ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος είναι ίσος με ένα.

Ακολουθώντας αυτόν τον αλγόριθμο, μπορούμε να απαριθμήσουμε όλους τους θετικούς ρητικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των θετικών ρητών αριθμών είναι μετρήσιμο. Είναι εύκολο να καθιερωθεί μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων θετικών και αρνητικών ρητών αριθμών, απλώς αναθέτοντας σε κάθε ρητό αριθμό το αντίθετό του. Οτι. Το σύνολο των αρνητικών ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο. Η ένωσή τους είναι επίσης μετρήσιμη από την ιδιότητα των αριθμήσιμων συνόλων. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι επίσης μετρήσιμο ως η ένωση ενός αριθμήσιμου συνόλου με ένα πεπερασμένο.

Η δήλωση σχετικά με τη μετρητότητα του συνόλου των ρητών αριθμών μπορεί να προκαλέσει κάποια σύγχυση, αφού με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι είναι πολύ πιο εκτεταμένο από το σύνολο των φυσικών αριθμών. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι έτσι και υπάρχουν αρκετοί φυσικοί αριθμοί για να απαριθμήσουμε όλους τους ορθολογικούς.

Έλλειψη ορθολογικών αριθμών

Η υποτείνουσα ενός τέτοιου τριγώνου δεν μπορεί να εκφραστεί με κανένα ρητό αριθμό

Ρητοί αριθμοί της μορφής 1 / nασύλληπτος nμπορούν να μετρηθούν αυθαίρετα μικρές ποσότητες. Αυτό το γεγονός δημιουργεί την παραπλανητική εντύπωση ότι οι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μέτρηση οποιωνδήποτε γεωμετρικών αποστάσεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα γνωρίζουμε ότι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου εκφράζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των σκελών του. Οτι. το μήκος της υποτείνουσας ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου με μοναδιαίο σκέλος είναι ίσο με , δηλαδή, τον αριθμό του οποίου το τετράγωνο είναι 2.

Αν υποθέσουμε ότι ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με κάποιο ρητό αριθμό, τότε υπάρχει ένας τέτοιος ακέραιος αριθμός Μκαι ένας τέτοιος φυσικός αριθμός n, ότι , και το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο, δηλαδή αριθμοί ΜΚαι n- αμοιβαία απλή.

Αν τότε , δηλ. Μ 2 = 2n 2. Επομένως, ο αριθμός ΜΤο 2 είναι άρτιο, αλλά το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι περιττό, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός Μεπίσης ακόμη. Άρα υπάρχει ένας φυσικός αριθμός κ, έτσι ώστε ο αριθμός Μμπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή Μ = 2κ. Τετράγωνο αριθμού ΜΜε αυτή την έννοια Μ 2 = 4κ 2, αλλά από την άλλη Μ 2 = 2n 2 σημαίνει 4 κ 2 = 2n 2, ή n 2 = 2κ 2. Όπως φαίνεται νωρίτερα για τον αριθμό Μ, αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός n- ακόμα και ως Μ. Αλλά τότε δεν είναι σχετικά πρώτοι, αφού και οι δύο είναι διχοτομημένοι. Η αντίφαση που προκύπτει αποδεικνύει ότι δεν είναι ρητός αριθμός.

Η λέξη «κλάσματα» προκαλεί σε πολλούς ανθρώπους ταραχές. Γιατί θυμάμαι το σχολείο και τις εργασίες που λύνονταν στα μαθηματικά. Αυτό ήταν ένα καθήκον που έπρεπε να εκπληρωθεί. Τι θα γινόταν αν αντιμετωπίσατε προβλήματα που αφορούν σωστά και ακατάλληλα κλάσματα σαν παζλ; Εξάλλου, πολλοί ενήλικες λύνουν ψηφιακά και ιαπωνικά σταυρόλεξα. Καταλάβαμε τους κανόνες, και αυτό είναι. Το ίδιο είναι και εδώ. Αρκεί κανείς να εμβαθύνει στη θεωρία - και όλα θα μπουν στη θέση τους. Και τα παραδείγματα θα μετατραπούν σε έναν τρόπο εκπαίδευσης του εγκεφάλου σας.

Τι είδη κλασμάτων υπάρχουν;

Ας ξεκινήσουμε με αυτό που είναι. Κλάσμα είναι ένας αριθμός που έχει μέρος του ενός. Μπορεί να γραφτεί σε δύο μορφές. Το πρώτο ονομάζεται συνηθισμένο. Αυτός δηλαδή που έχει οριζόντια ή λοξή γραμμή. Είναι ισοδύναμο με το σύμβολο της διαίρεσης.

Σε αυτόν τον συμβολισμό, ο αριθμός πάνω από τη γραμμή ονομάζεται αριθμητής και ο αριθμός κάτω από αυτόν ονομάζεται παρονομαστής.

Μεταξύ των συνηθισμένων κλασμάτων, διακρίνονται τα σωστά και τα ακατάλληλα κλάσματα. Για τον πρώτο, η απόλυτη τιμή του αριθμητή είναι πάντα μικρότερη από τον παρονομαστή. Οι λάθος λέγονται έτσι γιατί τα έχουν όλα ανάποδα. Η τιμή ενός σωστού κλάσματος είναι πάντα μικρότερη από ένα. Ενώ το λανθασμένο είναι πάντα μεγαλύτερο από αυτόν τον αριθμό.

Υπάρχουν και οι μικτοί αριθμοί, αυτοί δηλαδή που έχουν ακέραιο και κλασματικό μέρος.

Ο δεύτερος τύπος σημειογραφίας είναι ένα δεκαδικό κλάσμα. Υπάρχει μια ξεχωριστή συζήτηση για αυτήν.

Πώς διαφέρουν τα ακατάλληλα κλάσματα από τους μικτούς αριθμούς;

Στην ουσία τίποτα. Αυτές είναι απλώς διαφορετικές ηχογραφήσεις του ίδιου αριθμού. Τα ακατάλληλα κλάσματα γίνονται εύκολα μικτοί μετά από απλά βήματα. Και αντίστροφα.

Όλα εξαρτώνται από τη συγκεκριμένη κατάσταση. Μερικές φορές είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε ένα ακατάλληλο κλάσμα σε εργασίες. Και μερικές φορές είναι απαραίτητο να το μεταφράσουμε μικτός αριθμόςκαι τότε το παράδειγμα θα λυθεί πολύ εύκολα. Επομένως, τι να χρησιμοποιήσετε: ακατάλληλα κλάσματα, μικτοί αριθμοί, εξαρτάται από τις ικανότητες παρατήρησης του ατόμου που λύνει το πρόβλημα.

Ο μεικτός αριθμός συγκρίνεται επίσης με το άθροισμα του ακέραιου και του κλασματικού μέρους. Επιπλέον, το δεύτερο είναι πάντα λιγότερο από ένα.

Πώς να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα;

Εάν χρειάζεται να εκτελέσετε οποιαδήποτε ενέργεια με πολλούς αριθμούς που είναι γραμμένοι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ, τότε πρέπει να τα κάνετε το ίδιο. Μια μέθοδος είναι να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς ως ακατάλληλα κλάσματα.

Για το σκοπό αυτό, θα χρειαστεί να εκτελέσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:

• πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή με ολόκληρο το μέρος.
• προσθέστε την τιμή του αριθμητή στο αποτέλεσμα.
• Γράψε την απάντηση πάνω από τη γραμμή.
• αφήστε τον παρονομαστή ίδιο.

Ακολουθούν παραδείγματα για το πώς να γράφετε ακατάλληλα κλάσματα από μεικτούς αριθμούς:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Πώς να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα ως μικτό αριθμό;

Η επόμενη τεχνική είναι η αντίθετη από αυτή που συζητήθηκε παραπάνω. Δηλαδή, όταν όλοι οι μικτοί αριθμοί αντικαθίστανται από ακατάλληλα κλάσματα. Ο αλγόριθμος των ενεργειών θα είναι ο εξής:

• Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή για να λάβετε το υπόλοιπο.
• γράψτε το πηλίκο στη θέση του ακέραιου μέρους του μικτού.
• το υπόλοιπο πρέπει να τοποθετηθεί πάνω από τη γραμμή.
• ο διαιρέτης θα είναι ο παρονομαστής.

Παραδείγματα τέτοιου μετασχηματισμού:

76/14; 76:14 = 5 με το υπόλοιπο 6; η απάντηση θα είναι 5 ολόκληρες και 6/14. το κλασματικό μέρος σε αυτό το παράδειγμα πρέπει να μειωθεί κατά 2, με αποτέλεσμα τα 3/7. η τελική απάντηση είναι 5 βαθμοί 3/7.

108/54; Μετά τη διαίρεση, το πηλίκο του 2 προκύπτει χωρίς υπόλοιπο. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούν να αναπαρασταθούν όλα τα ακατάλληλα κλάσματα ως μικτός αριθμός. η απάντηση θα είναι ακέραιος - 2.

Πώς να μετατρέψετε έναν ακέραιο αριθμό σε ακατάλληλο κλάσμα;

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου μια τέτοια ενέργεια είναι απαραίτητη. Για να λάβετε ακατάλληλα κλάσματα με γνωστό παρονομαστή, θα χρειαστεί να εκτελέσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:

• πολλαπλασιάστε έναν ακέραιο με τον επιθυμητό παρονομαστή.
• γράψτε αυτήν την τιμή πάνω από τη γραμμή.
• τοποθετήστε τον παρονομαστή κάτω από αυτό.

Η απλούστερη επιλογή είναι όταν ο παρονομαστής είναι ίσος με ένα. Τότε δεν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε τίποτα. Αρκεί απλώς να γράψετε τον ακέραιο που δίνεται στο παράδειγμα και να τοποθετήσετε έναν κάτω από τη γραμμή.

Παράδειγμα: Να γίνει το 5 ακατάλληλο κλάσμα με παρονομαστή το 3. Πολλαπλασιάζοντας το 5 με το 3 προκύπτει 15. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο παρονομαστής. Η απάντηση στην εργασία είναι ένα κλάσμα: 15/3.

Δύο προσεγγίσεις για την επίλυση προβλημάτων με διαφορετικούς αριθμούς

Το παράδειγμα απαιτεί τον υπολογισμό του αθροίσματος και της διαφοράς, καθώς και του γινόμενου και του πηλίκου δύο αριθμών: 2 ακέραιοι 3/5 και 14/11.

Στην πρώτη προσέγγισηο μεικτός αριθμός θα παριστάνεται ως ακατάλληλο κλάσμα.

Αφού εκτελέσετε τα βήματα που περιγράφονται παραπάνω, θα λάβετε την ακόλουθη τιμή: 13/5.

Για να μάθετε το άθροισμα, πρέπει να μειώσετε τα κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή. Το 13/5 μετά τον πολλαπλασιασμό με το 11 γίνεται 143/55. Και η 14/11 μετά τον πολλαπλασιασμό με το 5 θα μοιάζει με: 70/55. Για να υπολογίσετε το άθροισμα, χρειάζεται μόνο να προσθέσετε τους αριθμητές: 143 και 70 και στη συνέχεια να γράψετε την απάντηση με έναν παρονομαστή. 213/55 - αυτό ακατάλληλο κλάσμααπάντηση προβλήματος.

Κατά την εύρεση της διαφοράς, αφαιρούνται οι ίδιοι αριθμοί: 143 - 70 = 73. Η απάντηση θα είναι κλάσμα: 73/55.

Όταν πολλαπλασιάζετε 13/5 και 14/11, δεν χρειάζεται να τα ανάγετε σε κοινό παρονομαστή. Αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές σε ζεύγη. Η απάντηση θα είναι: 182/55.

Το ίδιο ισχύει και για τη διαίρεση. Για η σωστή απόφασηπρέπει να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και να αντιστρέψετε τον διαιρέτη: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Στη δεύτερη προσέγγισηένα ακατάλληλο κλάσμα γίνεται μεικτός αριθμός.

Μετά την εκτέλεση των ενεργειών του αλγορίθμου, το 14/11 θα μετατραπεί σε μεικτό αριθμό με ακέραιο μέρος 1 και κλασματικό μέρος 3/11.

Κατά τον υπολογισμό του αθροίσματος, πρέπει να προσθέσετε το σύνολο και τα κλασματικά μέρη χωριστά. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Η τελική απάντηση είναι 3 βαθμοί 48/55. Στην πρώτη προσέγγιση το κλάσμα ήταν 213/55. Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητά του μετατρέποντάς τον σε μικτό αριθμό. Αφού διαιρέσουμε το 213 με το 55, το πηλίκο είναι 3 και το υπόλοιπο είναι 48. Είναι εύκολο να δούμε ότι η απάντηση είναι σωστή.

Κατά την αφαίρεση, το σύμβολο "+" αντικαθίσταται από "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Για να ελέγξετε, η απάντηση από την προηγούμενη προσέγγιση πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό: το 73 διαιρείται με το 55 και το πηλίκο είναι 1 και το υπόλοιπο είναι 18.

Για να βρείτε το γινόμενο και το πηλίκο, δεν είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε μεικτούς αριθμούς. Συνιστάται πάντα να προχωρήσετε σε ακατάλληλα κλάσματα εδώ.

Συναντάμε κλάσματα στη ζωή πολύ νωρίτερα από ό,τι αρχίζουμε να τα μελετάμε στο σχολείο. Αν κόψουμε ένα ολόκληρο μήλο στη μέση, παίρνουμε το ½ από τα φρούτα. Ας το ξανακόψουμε - θα είναι ¼. Αυτά είναι κλάσματα. Και όλα έμοιαζαν απλά. Για ενήλικα. Για το παιδί (και αυτό το θέμαξεκινήστε να μελετάτε στο τέλος δημοτικό σχολείο) οι αφηρημένες μαθηματικές έννοιες εξακολουθούν να είναι τρομακτικά ακατανόητες και ο δάσκαλος πρέπει να εξηγήσει ξεκάθαρα τι είναι ένα σωστό κλάσμα και ένα ακατάλληλο κλάσμα, ένα συνηθισμένο και ένα δεκαδικό, ποιες πράξεις μπορούν να γίνουν με αυτές και, το πιο σημαντικό, σε τι χρειάζονται όλα αυτά.

Τι είναι τα κλάσματα;

Γνωριμία νέο θέμαστο σχολείο ξεκινά με συνηθισμένα κλάσματα. Αναγνωρίζονται εύκολα από την οριζόντια γραμμή που χωρίζει τους δύο αριθμούς - πάνω και κάτω. Το πάνω ονομάζεται αριθμητής, το κάτω είναι ο παρονομαστής. Υπάρχει επίσης μια επιλογή πεζών για τη γραφή ακατάλληλων και σωστών συνηθισμένων κλασμάτων - μέσω κάθετου, για παράδειγμα: ½, 4/9, 384/183. Αυτή η επιλογή χρησιμοποιείται όταν το ύψος της γραμμής είναι περιορισμένο και δεν είναι δυνατή η χρήση «διώροφης» φόρμας συμμετοχής. Γιατί; Ναι, γιατί είναι πιο βολικό. Θα το δούμε λίγο αργότερα.

Εκτός από τα συνηθισμένα, υπάρχουν και δεκαδικά. Είναι πολύ απλό να τα διακρίνουμε: αν στη μια περίπτωση χρησιμοποιείται οριζόντια ή κάθετο, στην άλλη χρησιμοποιείται κόμμα για να διαχωρίσει ακολουθίες αριθμών. Ας δούμε ένα παράδειγμα: 2.9; 163,34; 1.953. Χρησιμοποιήσαμε σκόπιμα ένα ερωτηματικό ως διαχωριστικό για να οριοθετήσουμε τους αριθμούς. Το πρώτο από αυτά θα έχει ως εξής: «δύο σημεία εννέα».

Νέες έννοιες

Ας επιστρέψουμε στο συνηθισμένα κλάσματα. Κυκλοφορούν σε δύο τύπους.

Ο ορισμός του σωστού κλάσματος είναι ο εξής: είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του. Γιατί είναι σημαντικό? Θα δούμε τώρα!

Έχετε πολλά μήλα, μισά. Σύνολο - 5 μέρη. Πώς θα έλεγες: έχεις «δυόμισι» ή «πεντέμισι» μήλα; Φυσικά, η πρώτη επιλογή ακούγεται πιο φυσική και θα τη χρησιμοποιήσουμε όταν μιλάμε με φίλους. Αλλά αν χρειαστεί να υπολογίσουμε πόσα φρούτα θα πάρει κάθε άτομο, εάν υπάρχουν πέντε άτομα στην εταιρεία, θα γράψουμε τον αριθμό 5/2 και θα τον διαιρέσουμε με το 5 - από μαθηματική άποψη, αυτό θα είναι πιο σαφές .

Έτσι, για την ονομασία σωστών και ακατάλληλων κλασμάτων, ο κανόνας είναι ο εξής: αν ένα ολόκληρο μέρος μπορεί να διακριθεί σε ένα κλάσμα (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), τότε είναι ακανόνιστο. Εάν αυτό δεν μπορεί να γίνει, όπως στην περίπτωση των ½, 13/16, 9/10, θα είναι σωστό.

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν ταυτόχρονα με τον ίδιο αριθμό, η τιμή του δεν αλλάζει. Φανταστείτε: έκοψαν την τούρτα σε 4 ίσα μέρη και σας έδωσαν ένα. Έκοψαν το ίδιο κέικ σε οκτώ κομμάτια και σου έδωσαν δύο. Εχει πραγματικά σημασία? Τελικά, το ¼ και το 2/8 είναι το ίδιο πράγμα!

Μείωση

Οι συγγραφείς προβλημάτων και παραδειγμάτων σε εγχειρίδια μαθηματικών συχνά επιδιώκουν να μπερδέψουν τους μαθητές προσφέροντας κλάσματα που είναι δύσκολο να γραφτούν, αλλά μπορούν στην πραγματικότητα να συντομευθούν. Εδώ είναι ένα παράδειγμα ενός σωστού κλάσματος: 167/334, το οποίο, όπως φαίνεται, φαίνεται πολύ "τρομακτικό". Αλλά μπορούμε στην πραγματικότητα να το γράψουμε ως ½. Ο αριθμός 334 διαιρείται με το 167 χωρίς υπόλοιπο - μετά την εκτέλεση αυτής της λειτουργίας, παίρνουμε 2.

Μικτά νούμερα

Ένα ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μικτός αριθμός. Αυτό συμβαίνει όταν ολόκληρο το τμήμα φέρεται προς τα εμπρός και γράφεται στο επίπεδο της οριζόντιας γραμμής. Στην πραγματικότητα, η έκφραση παίρνει τη μορφή αθροίσματος: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 και ούτω καθεξής.

Για να αφαιρέσετε ολόκληρο το μέρος, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Γράψτε το υπόλοιπο της διαίρεσης στην κορυφή, πάνω από τη γραμμή, και ολόκληρο το μέρος - πριν από την έκφραση. Έτσι, παίρνουμε δύο δομικά μέρη: ολόκληρες μονάδες + σωστό κλάσμα.

Μπορείτε επίσης να εκτελέσετε την αντίστροφη λειτουργία - για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή και να προσθέσετε την τιμή που προκύπτει στον αριθμητή. Τίποτα περίπλοκο.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Παραδόξως, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων είναι ευκολότερος από την πρόσθεση. Το μόνο που απαιτείται είναι να επεκταθεί η οριζόντια γραμμή: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Με τη διαίρεση, όλα είναι επίσης απλά: πρέπει να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα σταυρωτά: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Προσθήκη κλασμάτων

Τι πρέπει να κάνετε εάν πρέπει να κάνετε πρόσθεση ή ο παρονομαστής τους είναι διαφορετικούς αριθμούς? Δεν θα λειτουργήσει να κάνετε το ίδιο όπως με τον πολλαπλασιασμό - εδώ θα πρέπει να κατανοήσετε τον ορισμό ενός σωστού κλάσματος και την ουσία του. Είναι απαραίτητο να φέρουμε τους όρους σε έναν κοινό παρονομαστή, δηλαδή, το κάτω μέρος και των δύο κλασμάτων να έχει τους ίδιους αριθμούς.

Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος: πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη με τον ίδιο αριθμό. Για παράδειγμα, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Πώς να επιλέξετε σε ποιον παρονομαστή να μειώσετε τους όρους; Αυτός πρέπει να είναι ο ελάχιστος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο και των δύο αριθμών στους παρονομαστές των κλασμάτων: για το 1/3 και το 1/9 θα είναι 9. για ½ και 1/7 - 14, επειδή δεν υπάρχει μικρότερη τιμή διαιρούμενη με το 2 και το 7 χωρίς υπόλοιπο.

Χρήση

Σε τι χρησιμεύουν τα ακατάλληλα κλάσματα; Μετά από όλα, είναι πολύ πιο βολικό να επιλέξετε αμέσως ολόκληρο το μέρος, να πάρετε έναν μικτό αριθμό - και να τελειώσετε με αυτό! Αποδεικνύεται ότι εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ή να διαιρέσετε δύο κλάσματα, είναι πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε ακανόνιστα.

Ας πάρουμε το ακόλουθο παράδειγμα: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Φαίνεται ότι δεν υπάρχει τίποτα να κοπεί καθόλου. Τι γίνεται όμως αν γράψουμε το αποτέλεσμα πρόσθεσης στην πρώτη παρένθεση ως ακατάλληλο κλάσμα; Δείτε: (37/17) / (37/68)

Τώρα όλα μπαίνουν στη θέση τους! Ας γράψουμε το παράδειγμα με τέτοιο τρόπο ώστε όλα να γίνονται προφανή: (37*68) / (17*37).

Ας ακυρώσουμε το 37 στον αριθμητή και τον παρονομαστή και τελικά να διαιρέσουμε το πάνω και το κάτω μέρος με το 17. Θυμάστε τον βασικό κανόνα για σωστά και ακατάλληλα κλάσματα; Μπορούμε να τα πολλαπλασιάσουμε και να τα διαιρέσουμε με οποιονδήποτε αριθμό αρκεί να το κάνουμε για αριθμητή και παρονομαστή ταυτόχρονα.

Έτσι, παίρνουμε την απάντηση: 4. Το παράδειγμα φαινόταν περίπλοκο, αλλά η απάντηση περιέχει μόνο έναν αριθμό. Αυτό συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά. Το κύριο πράγμα είναι να μην φοβάστε και να ακολουθήσετε απλούς κανόνες.

Κοινά λάθη

Κατά την εφαρμογή, ένας μαθητής μπορεί εύκολα να κάνει ένα από τα κοινά λάθη. Συνήθως συμβαίνουν λόγω απροσεξίας, και μερικές φορές λόγω του γεγονότος ότι το υλικό που μελετήθηκε δεν έχει ακόμη αποθηκευτεί σωστά στο κεφάλι.

Συχνά το άθροισμα των αριθμών στον αριθμητή σας κάνει να θέλετε να μειώσετε τα επιμέρους στοιχεία του. Ας πούμε στο παράδειγμα: (13 + 2) / 13, γραμμένο χωρίς παρένθεση (με οριζόντια γραμμή), πολλοί μαθητές, λόγω απειρίας, διαγράφουν 13 πάνω και κάτω. Αυτό όμως δεν πρέπει να γίνει σε καμία περίπτωση, γιατί πρόκειται για χονδροειδές λάθος! Αν αντί για πρόσθεση υπήρχε ένα πρόσημο πολλαπλασιασμού, θα παίρναμε τον αριθμό 2 στην απάντηση. Αλλά κατά την εκτέλεση της πρόσθεσης, δεν επιτρέπονται πράξεις με έναν από τους όρους, μόνο με ολόκληρο το άθροισμα.

Τα παιδιά κάνουν επίσης συχνά λάθη όταν διαιρούν κλάσματα. Ας πάρουμε δύο σωστά μη αναγώγιμα κλάσματα και ας διαιρέσουμε το ένα με το άλλο: (5/6) / (25/33). Ο μαθητής μπορεί να το ανακατέψει και να γράψει την έκφραση που προκύπτει ως (5*25) / (6*33). Αλλά αυτό θα συνέβαινε με τον πολλαπλασιασμό, αλλά στην περίπτωσή μας όλα θα είναι κάπως διαφορετικά: (5*33) / (6*25). Μειώνουμε ό,τι είναι δυνατό και η απάντηση θα είναι 11/10. Γράφουμε το προκύπτον ακατάλληλο κλάσμα ως δεκαδικό - 1.1.

Στηρίγματα

Να θυμάστε ότι σε οποιαδήποτε μαθηματική έκφραση η σειρά των πράξεων καθορίζεται από την προτεραιότητα των πρόσημάτων της πράξης και την παρουσία παρενθέσεων. Όλα τα άλλα πράγματα είναι ίσα, η σειρά των ενεργειών μετράται από αριστερά προς τα δεξιά. Αυτό ισχύει επίσης για τα κλάσματα - η έκφραση στον αριθμητή ή στον παρονομαστή υπολογίζεται αυστηρά σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα.

Εξάλλου, αυτό είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός αριθμού με έναν άλλο. Εάν δεν χωριστούν ομοιόμορφα, γίνεται κλάσμα - αυτό είναι όλο.

Πώς να γράψετε ένα κλάσμα στον υπολογιστή

Δεδομένου ότι τα τυπικά εργαλεία δεν επιτρέπουν πάντα τη δημιουργία ενός κλάσματος που αποτελείται από δύο «βαθμίδες», οι μαθητές καταφεύγουν μερικές φορές σε διάφορα κόλπα. Για παράδειγμα, αντιγράφουν τους αριθμητές και τους παρονομαστές στο πρόγραμμα επεξεργασίας γραφικών Paint και τους κολλούν μεταξύ τους, τραβώντας μια οριζόντια γραμμή μεταξύ τους. Φυσικά, υπάρχει μια απλούστερη επιλογή, η οποία, παρεμπιπτόντως, παρέχει πολλές πρόσθετες λειτουργίες που θα σας φανούν χρήσιμες στο μέλλον.

Ανοίξτε το Microsoft Word. Ένα από τα πάνελ στο επάνω μέρος της οθόνης ονομάζεται "Εισαγωγή" - κάντε κλικ σε αυτό. Στα δεξιά, στην πλευρά όπου βρίσκονται τα εικονίδια κλεισίματος και ελαχιστοποίησης παραθύρου, υπάρχει το κουμπί «Τύπος». Αυτό ακριβώς χρειαζόμαστε!

Εάν χρησιμοποιήσετε αυτήν τη λειτουργία, θα εμφανιστεί μια ορθογώνια περιοχή στην οθόνη στην οποία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τυχόν μαθηματικά σημάδια που δεν υπάρχουν στο πληκτρολόγιο, καθώς και να γράψετε κλάσματα στην κλασική μορφή. Διαιρώντας δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή με μια οριζόντια γραμμή. Μπορεί ακόμη και να εκπλαγείτε που ένα τέτοιο σωστό κλάσμα είναι τόσο εύκολο να γραφτεί.

Μάθετε μαθηματικά

Εάν είστε στις τάξεις 5-6, τότε σύντομα θα απαιτούνται γνώσεις μαθηματικών (συμπεριλαμβανομένης της ικανότητας εργασίας με κλάσματα!) σε πολλά σχολικά μαθήματα. Σε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα στη φυσική, όταν μετράτε τη μάζα των ουσιών στη χημεία, στη γεωμετρία και στην τριγωνομετρία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς κλάσματα. Σύντομα θα μάθετε να υπολογίζετε τα πάντα στο κεφάλι σας, χωρίς καν να γράφετε τις εκφράσεις στο χαρτί, αλλά θα εμφανίζονται όλο και πιο περίπλοκα παραδείγματα. Επομένως, μάθετε τι είναι το σωστό κλάσμα και πώς να το δουλέψετε, συμβαδίστε με διδακτέα ύλη, κάνε την εργασία σου στην ώρα σου και θα τα καταφέρεις.

326. Συμπλήρωσε τα κενά.

1) Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι ίσος με τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι ίσο με 1.
2) Κλάσμα a/b (a και b - ακέραιοι αριθμοί) λέγεται σωστό αν α< b
3) Το κλάσμα a/b (a και b είναι φυσικοί αριθμοί) λέγεται ακατάλληλο αν a >b ή a =b.
4) Το 9/14 είναι σωστό κλάσμα, αφού το 9< 14.
5) Το 7/5 είναι ακατάλληλο κλάσμα, αφού 7 > 5.
6) Το 16/16 είναι ακατάλληλο κλάσμα, αφού 16=16.

327. Να γράψετε από τα κλάσματα 1/20, 16/9, 7/2, 14/28,10/10, 5/32,11/2: 1) σωστά κλάσματα. 2) ακατάλληλα κλάσματα.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Καταλήξτε και γράψτε: 1) 5 σωστά κλάσματα. 2) ακατάλληλα κλάσματα.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2 Yu 6/2, 7/2

329. Να γράψετε όλα τα σωστά κλάσματα με παρονομαστή 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Γράψτε όλα τα ακατάλληλα κλάσματα με αριθμητή 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Δύο ίδιες λωρίδες χωρίστηκαν σε 7 ίσα μέρη. Βάψτε τα 4/7 της μιας λωρίδας και τα 6/7 της άλλης.

Συγκρίνετε τα κλάσματα που προκύπτουν: 4/7< 6/7.

Διατυπώστε έναν κανόνα σύγκρισης κλασμάτων με ίδιοι παρονομαστές: Από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο.

332. Δύο ίδιες λωρίδες χωρίστηκαν σε μέρη. Η μία λωρίδα χωρίστηκε σε 7 ίσα μέρη και η άλλη σε 5 ίσα μέρη. Βάψτε τα 3/7 της πρώτης λωρίδας και τα 3/5 της δεύτερης.

Συγκρίνετε τα κλάσματα που προκύπτουν: 3/7< /5.

Διατυπώστε έναν κανόνα για τη σύγκριση κλασμάτων με τους ίδιους αριθμητές: από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο.

333. Συμπλήρωσε τα κενά.

1) Όλα τα σωστά κλάσματα είναι μικρότερα από 1 και τα ακατάλληλα κλάσματα είναι μεγαλύτερα από 1 ή ίσα με 1.

2) Κάθε ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από κάθε σωστό κλάσμα και κάθε σωστό κλάσμα είναι μικρότερο από κάθε ακατάλληλο κλάσμα.

3) Σε μια ακτίνα συντεταγμένων δύο κλασμάτων, το μεγαλύτερο κλάσμα βρίσκεται στα δεξιά του μικρότερου.

334. Να κυκλώσετε τις σωστές προτάσεις.

335. Συγκρίνετε τους αριθμούς.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Ποια από τα κλάσματα 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 είναι μεγαλύτερα του 1;

Απάντηση: 16/4, 18/17, 310/303

337. Να τακτοποιήσετε τα κλάσματα 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Απάντηση: 29/29, 17/29, 29/13, 29/7, 29/5, 29/4.

338. Να σημειώσετε στην ακτίνα συντεταγμένων όλους τους αριθμούς που είναι κλάσματα με παρονομαστή το 5, που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 0 και 3. Ποιοι από τους σημειωμένους αριθμούς είναι σωστοί και ποιοι λανθασμένοι;

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Απάντηση: 1) σωστά κλάσματα: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) ακατάλληλα κλάσματα: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Βρείτε όλες τις φυσικές τιμές του x για τις οποίες είναι σωστό το κλάσμα x/8.

Απάντηση: 1,2,3,4,5,6,7

340. Να βρείτε φυσικές παραστάσεις για το x στις οποίες το κλάσμα 11/x θα είναι ακατάλληλο.

Απάντηση: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) Γράψε τους αριθμούς στα κενά κελιά ώστε να σχηματιστεί ένα σωστό κλάσμα.

2) Γράψτε τους αριθμούς στα κενά κελιά για να σχηματίσετε ένα ακατάλληλο κλάσμα.

342. Κατασκευάστε και επισημάνετε ένα τμήμα του οποίου το μήκος είναι: 1) 9/8 του μήκους του τμήματος ΑΒ. 2) 10/8 του μήκους του τμήματος ΑΒ. 3) 7/4 του μήκους του τμήματος ΑΒ. 4) το μήκος του τμήματος ΑΒ.

Η Σάσα διάβασε 42:6*7= 49 σελίδες

Απάντηση: 49 σελίδες

344. Βρείτε όλες τις φυσικές τιμές του x για τις οποίες ισχύει η ανισότητα:

1) x/15<7/15;

2)10/x >10/9.

Απάντηση: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1,4,5,7 και την κλασματική γραμμή, γράψτε όλα τα πιθανά σωστά κλάσματα.

Απάντηση: ¼, 1/5.1/7.4/5.4/7.5/7.

346. Βρείτε όλες τις φυσικές τιμές του m για τις οποίες είναι σωστό το 4m+5/17.

4μ+5<17; 4m<12; m<3.

Απάντηση: m =1; 2.

347. Βρείτε όλες τις φυσικές τιμές του a για τις οποίες το κλάσμα 10/a θα είναι ακατάλληλο και το κλάσμα 7/a θα είναι σωστό.

a≤10 και a>7, δηλ. 7

Απάντηση: α = 8,9,10

348. Φυσικοί αριθμοί a, b, c και d τέτοιοι ώστε α