Интегрирование по частям - метод, применяемый для решения определенных и неопределенных интегралов, когда одна из подынтегральных функций легко интегрируема, а другая дифференцируема. Достаточно распространенный метод нахождения интегралов как неопределенных, так и определенных. Главный признак, когда нужно использовать его - это состоящая из произведения двух функций некоторая функция, которую нельзя проинтегрировать в упор.
Формула
Для того, чтобы успешно использовать данный метод необходимо разобрать и выучить формулы.
Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
$$ \int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu $$
Примеры решений
Рассмотрим на практике примеры решений интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.
| Пример 1 |
| Найти интеграл $ \int xe^xdx $ |
| Решение |
|
Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим, $ u = x \rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$ |
| Пример 4 |
| Вычислить интеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Решение |
|
По аналогии с предыдущими решенными примерами разберемся какую функцию без проблем интегрировать, какую дифференцировать. Обращаем внимание, что если продифференцировать $ (x+5) $, то произойдет автоматическое преобразования этого выражения в единицу, что нам будет "на руку". Поэтом поступаем так: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac{3^x}{ln3} $$ Теперь все неизвестные функции стали найдены и могут быть поставлены во вторую формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac{3^x}{\ln 3} \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac{3^x dx}{\ln 3} = $$ $$ = \frac{18}{\ln 3} - \frac{5}{\ln 3} - \frac{3^x}{\ln^2 3}\bigg| _0 ^1 = \frac{13}{\ln 3} - \frac{3}{\ln^2 3}+\frac{1}{\ln^2 3} = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$ |
| Ответ |
| $$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac{13}{\ln 3}-\frac{4}{\ln^2 3} $$ |
Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:
Она
дает возможность свести вычисление
заданного интеграла
к вычислению интеграла
,
который оказывается более простым, чем
данный.
Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:
1.
Интегралы вида
,
,
,
где
– многочлен,
– число, не равное нулю
В
этом случае через
обозначают многочлен
.
2.
Интегралы вида
,
,
,
,
,
где
– многочлен.
В
этом случае через
обозначают
,
а всю остальную часть подынтегрального
выражения через
:
3.
Интегралы вида
,
,
где
– числа.
В
этом случае через
обозначают
и применяют формулу интегрирования по
частям дважды, возвращаясь в результате
к исходному интегралу, после чего
исходный интеграл выражается из
равенства.
Замечание : В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.
Пример 26.
Найти
интегралы методом по частям: а)
;
б)
.
Решение.
б)
3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Дробно-рациональной
функцией
(рациональной
дробью) называется функция, равная
отношению двух многочленов:
,
где
– многочлен степени
,
– многочлен степени
.
Рациональная
дробь называется
правильной
,
если степень многочлена в числителе
меньше степени многочлена в знаменателе,
т.е.
,
в противном случае (если
)
рациональная дробь называется
неправильной
.
Любую
неправильную рациональную дробь можно
представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби, разделив
числитель на знаменатель по правилу
деления многочленов:
,
где
– целая часть от деления,
– правильная рациональная дробь,
– остаток от деления.
Правильные рациональные дроби вида:
I.
;
II.
;
III.
;
IV.
,
где
,
,
,
,
,
,
– действительные
числа и
(т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV
дробей не имеет корней – дискриминант
отрицательный) называются
простейшими
рациональными дробями
I, II, III и IV типов
.
Интегрирование простейших дробей
Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.
I)
.
II)
,
.
III)
Для интегрирования простейшей дроби
III типа в знаменателе выделяют полный
квадрат, производят замену
.
Интеграл после подстановки разбивают
на два интеграла. Первый интеграл
вычисляют выделением в числителе
производной знаменателя, что дает
табличный интеграл, а второй интеграл
преобразовывают к виду
,
так как
,
что также дает табличный интеграл.
;
IV)
Для
интегрирования простейшей дроби IV типа
в знаменателе выделяют полный квадрат,
производят замену
.
Интеграл после подстановки разбивают
на два интеграла. Первый интеграл
вычисляют подстановкой
,
а второй с помощью рекуррентных
соотношений.
Пример 27.
Найти интегралы от простейших дробей:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
.
Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:
соответствует одна дробь вида
;
–
каждому
множителю знаменателя
соответствует сумма
дробей
вида
соответствует дробь вида
;
– каждому
квадратному множителю знаменателя
соответствует сумма
дробей вида
где – неопределенные коэффициенты.
Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.
Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.
Метод неопределенных коэффициентов.
Т.к.
многочлены тождественно равны, то равны
коэффициенты при одинаковых степенях
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
в многочленах левой и правой частей,
получим систему линейных уравнений.
Решая систему, определяем неопределенные
коэффициенты.
Метод частных значений.
Т.к.
многочлены тождественно равны, то,
подставляя вместо
в левую и правую части любое число,
получим верное равенство, линейное
относительно неизвестных коэффициентов.
Подставляя столько значений
,
сколько неизвестных коэффициентов,
получим систему линейных уравнений.
Вместо
в левую и правую части можно подставлять
любые числа, однако более удобно
подставлять корни знаменателей дробей.
После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.
Схема интегрирования рациональных дробей:
1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.
2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.
3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.
4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.
Пример 28.
Найти интегралы от рациональных дробей:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
.
Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.
Исходный
интеграл примет вид:
.
Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:
,
получаем:
Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.
Тогда
искомое разложение имеет вид:
.
=
.
б)
.
.
Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
,
получаем систему:
Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:
.
Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:
.
в)
.
Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:
.
Приведя к общему знаменателю, получим:
Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:
Для
нахождения неопределенных коэффициентов
применим метод частных значений. Придадим
частные
значения
,
при которых множители обращаются в
нуль, т. е. подставим эти значения в
последнее выражение и получим три
уравнения:
; 
;
; 
;
; 
.
Тогда искомое разложение имеет вид:
Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:
Что такое интегрирование по частям? Чтобы освоить этот вид интегрирования, давайте для начала вспомним производную произведения:
${{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}={f}"\cdot g+f\cdot {g}"$
Спрашивается: ну и при чем тут интегралы? А давайте теперь проинтегрируем обе стороны этого уравнения. Так и запишем:
$\int{{{\left(f\cdot g \right)}^{\prime }}\text{d}x=}\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$
Но что такое первообразная от штриха? Это просто сама функция, которая стоит внутри штриха. Так и запишем:
$f\cdot g=\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x+\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$
В данном уравнении предлагаю выразить слагаемое. Имеем:
$\int{{f}"\cdot g\,\text{d}x=f\cdot g-\int{f\cdot {g}"\,\text{d}x}}$
Это и есть формула интегрирования по частям . Таким образом, мы, по сути, меняем местами производную и функцию. Если изначально у нас был интеграл от штриха, умноженной на что-либо, то затем получается интеграл от нового чего-либо, умноженной на штрих. Вот и все правило. На первый взгляд данная формула может показаться сложной и бессмысленной, но, на самом деле, она может значительно упрощать вычисления. Сейчас посмотрим.
Примеры вычисления интегралов
Задача 1. Вычислите:
\[\int{\ln x\,\text{d}x}\]\[\]
Перепишем выражение, добавив перед логарифмом 1:
\[\int{\ln x\,\text{d}x}=\int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}\]
Мы имеем право сделать это, потому что ни число, ни функция не изменятся. Теперь сравним это выражение с тем, что у нас написано в формуле. В роли ${f}"$ выступает 1, так и запишем:
$\begin{align}& {f}"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow {g}"=\frac{1}{x} \\\end{align}$
Все эти функции есть в таблицах. Теперь, когда мы расписали все элементы, которые входят в наше выражение, перепишем данный интеграл по формуле интегрирования по частям:
\[\begin{align}& \int{1\cdot \ln x\,\text{d}x}=x\ln x-\int{x\cdot \frac{1}{x}\text{d}x}=x\ln x-\int{\text{d}x}= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\end{align}\]
Все, интеграл найден.
Задача 2. Вычислите:
$\int{x{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x=\int{x\cdot {{e}^{-x}}\,\text{d}x}}$
Если в роли производной, от которой нам нужно будет сейчас найти первообразную, мы возьмем $x$, то получим${{x}^{2}}$, и итоговое выражение будет содержать ${{x}^{2}}{{\text{e}}^{-x}}$.
Очевидно, задача не упрощается, поэтому мы поменяем местами множители под знаком интеграла:
$\int{x\cdot {{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=\int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}$
А вот теперь вводим обозначения:
${f}"={{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow f=\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}$
Дифференцируем ${{\text{e}}^{-x}}$:
${{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}={{\text{e}}^{-x}}\cdot {{\left(-x \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}$
Другими словами, сначала добавляется «минус», а затем обе стороны интегрируются:
\[\begin{align}& {{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}=-{{\text{e}}^{-x}}\Rightarrow {{\text{e}}^{-x}}=-{{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }} \\& \int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-\int{{{\left({{\text{e}}^{-x}} \right)}^{\prime }}\text{d}x}=-{{\text{e}}^{-x}}+C \\\end{align}\]
Теперь разберёмся с функцией$g$:
$g=x\Rightarrow {g}"=1$
Считаем интеграл:
$\begin{align}& \int{{{\text{e}}^{-x}}\cdot x\,\text{d}x}=x\cdot \left(-{{\text{e}}^{-x}} \right)-\int{\left(-{{\text{e}}^{-x}} \right)\cdot 1\cdot \text{d}x}= \\& =-x{{\text{e}}^{-x}}+\int{{{\text{e}}^{-x}}\,\text{d}x}=-x{{\text{e}}^{-x}}-{{\text{e}}^{-x}}+C=-{{\text{e}}^{-x}}\left(x+1 \right)+C \\\end{align}$
Итак, мы выполнили второе интегрирование по частям.
Задача 3. Вычислите:
$\int{x\cos 3x\,\text{d}x}$
Что в этом случае брать за${f}"$ , а что за$g$? Если в роли производной будет выступать$x$ , то при интегрировании возникнет$\frac{{{x}^{2}}}{2}$, и никуда у нас первый множитель не пропадет — будет $\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \cos 3x$. Поэтому опять поменяем множители местами:
$\begin{align}& \int{x\cos 3x\,\text{d}x}=\int{\cos 3x\cdot x\,\text{d}x} \\& {f}"=\cos 3x\Rightarrow f=\int{\cos 3x\,\text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3} \\& g=x\Rightarrow {g}"=1 \\\end{align}$
Переписываем наше исходное выражение и раскладываем его по формуле интегрирования по частям:
\[\begin{align}& \int{\cos 3x\cdot x\ \text{d}x}=\frac{\sin 3x}{3}\cdot x-\int{\frac{\sin 3x}{3}\text{d}x}= \\& =\frac{x\sin 3x}{3}-\frac{1}{3}\int{\sin 3x\,\text{d}x}=\frac{x\sin 3x}{3}+\frac{\cos 3x}{9}+C \\\end{align}\]
Все, третья задача решена.
В заключение еще раз взглянем на формулу интегрирования по частям . Как мы выбираем, какой из множителей будет производной, а какой будет настоящей функцией? Критерий здесь всего один: элемент, который мы будем дифференцировать, должен давать либо «красивое» выражение, которое потом сократится, либо при дифференцировании вообще исчезать. На этом урок закончен.
Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.
Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.
Пример 1.
По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти
закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию
s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.
Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)
На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство
(x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство
(x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство
(sin(x))" = cos(x)
При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.
Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).
Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)
Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.
Методы интегрирования
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом
заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора
подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где
\(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла
получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u
и v
являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x
(символ после знака дифференциала d
в конце записи интеграла) . Тогда u
и v
являются функциями от x
:
u(x)
и v(x)
.
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.
То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u
,
а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx
.
В некоторых случаях f(x) = 1
.
То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v
.
Резюме
Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.
Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u , оставшуюся часть - через dv .
Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x
По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x)
– многочлен от x
.
При интегрировании, многочлен P(x)
обозначают через u
,
а e ax dx
,
cos
ax dx
или sin
ax dx
- через dv
.
Вот примеры таких интегралов:
, , .
Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Пример
Вычислить интеграл:
Подробное решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln
x
,
dv = x 2
dx
.
Тогда
,
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C
,
поскольку неопределенный интеграл - это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.
Более короткое решение
Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v , а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.
.Ответ
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Пример
Вычислить интеграл:
.
Решение
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)
.
Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем.