Для человека, не являющегося экспертом в политике, Брюс Буэно де Мескита из Университета Нью-Йорка делает удивительно точные событий. Ему удалось с точностью до нескольких месяцев предсказать уход со своих постов и Переверза Мушарафа. Он точно назвал приемника Аятоллы Хомейни на посту лидера Ирана за 5 лет до его смерти. На вопрос о том, в чем секрет, он отвечает, что ответа не знает - его знает игра. Под игрой здесь имеется в виду математический метод, который изначально был создан для формирования и анализа стратегий различных игр, а именно - теория игр. В экономике она используется наиболее часто. Хотя изначально она была разроботана для построения и анализа стратегий в играх, использующихся для развлечений.

Теория игры - это численный аппарат, позволяющий рассчитать сценарий, или, точнее, вероятность различных сценариев поведения системы или "игры", контролируемой различными факторами. Эти факторы, в свою очередь, определяются некоторым числом "игроков".

Таким образом, теория игр, в экономике получившая главный толчок к развитию, может применятся в самых разных областях человеческой деятельности. Пока рано говорить о том, чтобы эти программы применялись для разрешения военных конфлмктов, но в будущем это вполне реально.

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА …

Теория игр и ее применение в экономике

Курсовой проект

студента 2 курса

отделения «Менеджмент»

Научный руководитель

Минск, 2010

1. Введение. стр.3

2. Основые понятия теории игры стр.4

3. Представление игр стр. 7

4. Типы игр стр.9

5. Применение теории игр в экономике стр.14

6. Проблемы практического применения в управлении стр.21

7. Заключение стр.23

Список использованной литературы стр.24

1. ВВЕДЕНИЕ

На практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении договоров с иностранными партнерами на любых уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий городского транспорта, задачу планирования порядка организации эксплуатации месторождений полезных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез.

Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Теория игр - это раздел прикладной математики, точнее - исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Нематематический вариант теории игр представлен в работах Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005г.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр стали: Роберт Ауманн, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Томас Шеллинг.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулём, выигрыш – единицей, а ничью - ½.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а – выигрыш одного из игроков, b – выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр – естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические.

3. Представление игр

Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму.

Экстенсивная форма

Игра «Ультиматум» в экстенсивной форме

Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.

На рисунке слева - игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает - выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй - A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.

Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.

Нормальная форма

	Игрок 2 стратегия 1	Игрок 2 стратегия 2
Игрок 1 стратегия 1	4 , 3	–1 , –1
Игрок 1 стратегия 2	0 , 0	3 , 4
Нормальная форма для игры с 2 игроками, у каждого из которых по 2 стратегии.

В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы - это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы - второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере, справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок - вторую стратегию, то на пересечении мы видим (−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.

Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.

Характеристическая формула

В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.

Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N \ C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N - количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой) представляется парой (N, v), где N - множество всех игроков, а v: 2N → R - это характеристическая функция.

Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.

4. Типы игр

Кооперативные и некооперативные.

Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Забавный пример применения теории игр есть в фэнтезийной книжке Энтони Пирса «Бравый голем»

Много текста

– Смысл того, что я сейчас вам всем продемонстрирую, – начал Гранди, – заключается в наборе необходимого количества баллов. Баллы могут быть самыми различными – все зависит от комбинации решений, которые принимаются участниками игры. К примеру, предположим, что каждый участник свидетельствует против своего товарища по игре. В этом случае каждому участнику можно присудить по одному очку!
– Одно очко! – сказала Морская Ведьма, проявляя к игре неожиданный интерес. Очевидно, колдунья хотела удостовериться в том, что у голема нет никаких шансов, чтобы демон Ксант остался им доволен.
– А теперь давайте предположим, что каждый из участников игры не свидетельствует против своего товарища! – продолжал Гранди. – В этом случае каждому можно присудить по три балла. Я хочу особенно отметить, что покуда все участники действуют одинаково, то им присуждается одинаковое количество баллов. Ни у кого нет никаких преимуществ перед другим.
– Три очка! – сказала вторая ведьма.
– Но вот теперь мы вправе предложить, что один из игроков начал давать показания против второго, а второй все равно молчит! – сказал Гранди. – В таком случае тот, кто эти показания дает, получает сразу пять очков, а тот, который молчит, не получает ни одного очка!
– Ага! – в один голос воскликнули обе ведьмы, хищно облизывая губы. Было видно, что обе они явно собирались получить по пять очков.
– Я все время терял очки! – воскликнул демон. – Но ведь ты пока только обрисовал ситуацию, а способа ее разрешения еще не представил! Так в чем заключается твоя стратегия? Не надо тянуть время!
– Погоди, сейчас я все объясню! – воскликнул Гранди. – Каждый из нас четверых – нас тут двое големов и две ведьмы – будет сражаться против своих противников. Конечно же, ведьмы постараются никому ни в чем не уступить…
– Конечно! – воскликнули снова обе ведьмы в унисон. Они отлично понимали голема с полуслова!
– А второй голем будет следовать моей тактике, – продолжал Гранди невозмутимо. Он посмотрел на своего двойника. – Ты, конечно, в курсе?
– Да, конечно! Я ведь твоя копия! Я прекрасно все понимаю, что ты думаешь!
– Вот и отлично! В таком случае, давайте-ка сделаем первый ход, чтобы демон смог сам все увидеть. В каждом поединке будет несколько раундов, чтобы вся стратегия смогла проявиться до конца и произвела впечатление целостной системы. Пожалуй, мне следует начать.

– Теперь каждый из нас должен наносить отметки на своих листках бумаги! – обратился голем к ведьме. – Сначала следует нарисовать улыбающееся лицо. Это будет означать, что мы не будем давать показания на товарища по заключению. Можно также нарисовать насупленное лицо, которое означает, что мы думаем только о себе и нужные показания на своего товарища даем. Мы оба сознаем, что лучше было бы, если бы никто не оказался тем самым насупленным лицом, но ведь, с другой стороны, насупленное лицо получает определенные преимущества перед улыбающимся! Но суть заключается в том, что каждый из нас не знает, что выберет другой! Не будем знать до тех пор, покуда партнер по игре не откроет своего рисунка!
– Начинай ты, сволочь! – выругалась ведьма. Она, как всегда, не могла обойтись без бранных эпитетов!
– Готово! – воскликнул Гранди, нарисовав большое улыбающееся лицо на своем листочке бумаги таким образом, чтобы ведьма не смогла увидеть, что он изобразил там. Ведьма сделала свой ход, тоже изобразив лицо. Надо думать, она непременно изобразила недобрую физиономию!
– Ну, а теперь нам остается только показать друг другу наши рисунки, – объявил Гранди. Обернувшись назад, он открыл рисунок публике и показал его во все стороны, чтобы рисунок смогли увидеть все. Что-то недовольно ворча, то же самое сделала и Морская Ведьма.
Как Гранди и рассчитывал, с рисунка колдуньи смотрело злое, недовольное лицо.
– Теперь вы, уважаемые зрители, – сказал Гранди торжественно, – видите, что ведьма предпочла давать на меня показания. Я не собираюсь этого делать. Таким образом, Морская Ведьма набирает пять очков. А я, соответственно, не получаю ни одного балла. И тут…
По рядам зрителей снова прокатился легкий шумок. Все явно сочувствовали голему и страстно желали, чтобы Морская Ведьма проиграла.
Но ведь игра только-только началась! Если только его стратегия была верной…
– Теперь мы можем перейти ко второму раунду! – объявил Гранди торжественно. – Мы снова должны повторить ходы. Каждый рисует лицо, которое ему ближе!
Так и сделали. Гранди изображал теперь хмурое, недовольное лицо.
Как только игроки показали свои рисунки, публика увидела, что теперь оба они изобразили злые лица.
– По два очка каждому! – сказал Гранди.
– Семь два в мою пользу! – заорала ведьма радостно. – Ты никуда отсюда не выберешься, мерзавец!
– Начинаем снова! – воскликнул Гранди. Они сделали по очередному рисунку и показали их публике. Снова те же самые злые лица.
– Каждый из нас повторил предыдущий ход, повел себя эгоистично, а потому, как мне кажется, лучше никому не присуждать очков! – заявил голем.
– Но я все равно веду в игре! – сказала ведьма, радостно потирая руки.
– Ладно, не шуми! – сказал Гранди. – Игра ведь не закончилась. Посмотрим, что будет! Итак, уважаемая публика, мы начинаем четвертый по счету раунд!
Игроки снова сделали рисунки, показав публике то, что они изобразили на своих листках. Оба листка снова явили зрителям те же злые физиономии.
– Восемь – три! – закричала ведьма, заливаясь злобным смехом. – Своей дурацкой стратегией ты выкопал себе могилу, голем!
– Пятый раунд! – закричал Гранди. Повторилось то же самое, что и в прежние раунды, – снова злые лица, только счет изменился – он стал девять – четыре в пользу колдуньи.
– Теперь последний, шестой раунд! – возвестил Гранди. Его предварительные расчеты показывали, что именно этот раунд должен стать судьбоносным. Теперь теория должна была подтвердиться либо быть опровергнута практикой.
Несколько быстрых и нервных движений карандаша по бумаге – и оба рисунка предстали перед глазами публики. Снова два лица, теперь даже с оскаленными зубами!
– Десять – пять в мою пользу! Моя игра! Я победила! – загоготала Морская Ведьма.

– Ты действительно выиграла, – согласился Гранди мрачно. Аудитория зловеще молчала.
Демон шевельнул было губами, чтобы что-то сказать.

– Но наше состязание еще не закончено! – крикнул звонко Гранди. – Это ведь была только первая часть игры.
– Да вам целую вечность подавай! – заворчал демон Ксант недовольно.
– Это верно! – сказал Гранди спокойно. – Но ведь один тур ничего не решает, только методичность указывает на лучший результат.
Теперь голем подошел к другой ведьме.
– Я хотел бы сыграть этот тур с другим противником! – объявил он. – Каждый из нас будет изображать лица, как это было в предыдущий раз, потом будет демонстрировать нарисованное публике!
Так они и сделали. Результат был таким же, как и в прошлый раз – Гранди нарисовал улыбающуюся рожицу, а ведьма – так вообще череп. Она сразу набрала преимущество в целых пять баллов, оставив Гранди позади.
Оставшиеся пять раундов окончились с теми результатами, которых и можно было ожидать. Снова счет стал десять – пять в пользу Морской Ведьмы.
– Голем, мне очень нравится твоя стратегия! – хохотала колдунья.
– Итак, вы просмотрели два тура игры, уважаемые зрители! – воскликнул Гранди. – Я, таким образом, набрал десять очков, а мои соперницы – двадцать!
Публика, которая тоже вела подсчет очков, скорбно закивала головами. Их подсчет совпал с подсчетами голема. Только облако по имени Фракто казалось весьма довольным, хотя, конечно, ведьме оно тоже не симпатизировало.
Но Рапунцелия одобряюще улыбнулась голему – она продолжала верить в него. Она, возможно, осталась единственной, кто верил ему теперь. Гранди надеялся, что он оправдает это безграничное доверие.
Теперь Гранди подошел к своему третьему сопернику – своему двойнику. Он должен был стать его последним противником. Быстро чиркнув карандашами по бумаге, големы показали листочки публике. Все увидели две смеющихся рожицы.
– Заметьте, дорогие зрители, каждый из нас предпочел быть добрым сокамерником! – воскликнул Гранди. – А посему никто из нас не получил в этой игре необходимого преимущества перед соперником. Таким образом, мы оба получаем по три балла и приступаем к следующему раунду!
Второй раунд начался. Результат был тот же, что и в предыдущий раз. Затем оставшиеся раунды. И в каждый раунд оба противника набирали опять по три балла! Это было просто невероятно, но публика была готова подтвердить все происходящее.

Наконец и этот тур подошел к концу, и Гранди, быстро водя своим карандашиком по бумаге, стал подсчитывать результат. Наконец он объявил торжественно:
– Восемнадцать на восемнадцать! В общей сложности я набрал двадцать восемь очков, а мои соперники набрали тридцать восемь!
– Значит, ты проиграл, – возвестила Морская Ведьма радостно. – Победителем станет, таким образом, кто-то из нас!
– Возможно! – спокойно отозвался Гранди. Теперь наступал еще один важный момент. Если все пройдет так, как им и было задумано…
– Нужно довести дело до конца! – воскликнул второй голем. – Мне ведь тоже еще нужно сразиться с двумя Морскими Ведьмами! Игра еще не закончена!
– Да, конечно, давай! – сказал Гранди. – Но только руководствуйся стратегией!
– Да, конечно! – заверил его двойник.
Этот голем подошел к одной из ведьм, и тур начался. Завершился он с тем же результатом, с которым из подобного раунда вышел сам Гранди – счет был десять-пять в пользу колдуньи. Ведьма прямо-таки сияла от невыразимой радости, а публика угрюмо замолчала. Демон Ксант выглядел несколько уставшим, что было не слишком добрым предзнаменованием.
Теперь пришло время заключительного раунда – одна ведьма должна была сражаться против второй. Каждая имела в активе по двадцать очков, которые она смогла получить, сражаясь с големами.
– А теперь, если ты позволишь набрать мне хотя бы несколько лишних очков… – заговорщицки прошептала Морская Ведьма своему двойнику.
Гранди старался сохранить спокойствие хотя бы внешне, хотя в душе его бушевал ураган противоречивых чувств. Его удача сейчас зависела от того, насколько верно он предугадал возможное поведение обеих ведьм – ведь характер их был, в сущности, одним и тем же!
Сейчас наступал самый, пожалуй, критический момент. Но если он ошибся!
– С какой это стати я должна тебе уступать! – прокаркала вторая ведьма первой. – Я сама хочу набрать больше очков и выбраться отсюда!
– Ну, если ты так нахально ведешь себя, – завопила претендентка, – то я тебя сейчас отделаю так, что ты больше не будешь похожа на меня!
Ведьмы, одарив друг друга ненавидящими взглядами, начертили свои рисунки и показали их публике. Конечно же, ничего другого, кроме двух черепов, там оказаться просто не могло! Каждая набрала по одному очку.
Ведьмы, осыпая друг друга проклятьями, приступили ко второму раунду. Результат опять тот же самый – снова два коряво нарисованных черепа. Ведьмы, таким образом, набрали еще по одному очку. Публика старательно все фиксировала.
Так продолжалось и в дальнейшем. Когда тур закончился, усталые ведьмы обнаружили, что каждая из них набрала по шесть очков. Снова ничья!
– Теперь давайте подсчитаем получившиеся результаты и все сравним! – торжествующе сказал Гранди. – Каждая из ведьм набрала по двадцать шесть очков, а големы набрали по двадцать восемь баллов. Итак, что мы имеем? А имеем мы тот результат, что големы имеют большее количество очков!
По рядам зрителей прокатился вздох удивления. Взволнованные зрители стали писать на своих листочках столбики цифр, проверяя правильность подсчета. Многие за это время просто не считали количество набранных баллов, считая, что результат игры им уже известен. Обе ведьмы стали рычать от негодования, непонятно, кого именно обвиняя в происшедшем. Глаза демона Ксанта вновь загорелись настороженным огнем. Его доверие оправдалось!
– Я прошу вас, уважаемая публика, обратить внимание на тот факт, – поднял руку Гранди, требуя от зрителей успокоиться, – что ни один из големов не выиграл ни единого раунда. Но окончательная победа все-таки будет за одним из нас, из големов. Результаты будут более красноречивыми, если состязание продолжится и дальше! Я хочу сказать, дорогие мои зрители, что в вечном поединке моя стратегия будет неизменно оказываться выигрышной!
Демон Ксант с интересом прислушивался к тому, что говорил Гранди. Наконец он, испуская клубы пара, открыл рот:
– А в чем конкретно заключается твоя стратегия?
– Я называю ее «Быть твердым, но честным»! – пояснил Гранди. – Я начинаю игру честно, но затем начинаю проигрывать, потому что мне попадаются очень специфические партнеры. Поэтому в первом раунде, когда оказывается, что Морская Ведьма начинает давать против меня показания, я автоматически остаюсь проигравшим и во втором раунде – и так продолжается до конца. Результат может быть другим, ежели ведьма переменит свою тактику ведения игры. Но поскольку ей такое даже в голову прийти не может, мы продолжали играть по предыдущему шаблону. Когда я начал играть со своим двойником, то он хорошо отнесся ко мне, а я хорошо относился к нему в следующем раунде игры. Поэтому игра у нас пошла тоже по-другому и несколько однообразно, поскольку мы не хотели изменять тактику…
– Но ведь вы не выиграли ни единого тура! – удивленно возразил демон.
– Да, а эти ведьмы не проиграли ни одного тура! – подтвердил Гранди. – Но ведь победа не автоматически достается тому, за кем остались туры. Победа достается тому, кто набрал большее количество баллов, а это совсем другое дело! Мне удалось набрать больше очков, когда мы играли вместе с моим двойником, чем когда я играл с ведьмами. Их эгоистическое отношение принесло им сиюминутную победу, но в плане более долгосрочном оказалось, что именно из-за этого обе они проиграли игру целиком. Часто случается и такое!

Раздел Теория игр представлен тремя онлайн-калькуляторами :

1. Решение матричной игры . В таких задачах задана платежная матрица. Требуется найти чистые или смешанные стратегии игроков и, цену игры . Для решения необходимо указать размерность матрицы и метод решения.
2. Биматричная игра . Обычно в такой игре задают две матрицы одинакового размера выигрышей первого и второго игроков. Строки этих матриц соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы матриц – стратегиям второго игрока. При этом в первой матрице представлены выигрыши первого игрока, а во второй матрице – выигрыши второго.
3. Игры с природой . Используется, когда необходимо выбрать управленческое решение по критериям Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда , Сэвиджа , Гурвица .

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две стороны преследуют различные цели и результаты действия каждой из сторон зависят от мероприятий противника (или партнера).

Ситуация, в которой эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называется конфликтной . Конфликт всегда связан с определенного рода разногласиями (это не обязательно антагонистическое противоречие).

Конфликтная ситуация называется антагонистической , если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. Например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Каждый из них имеет свои интересы и стремится принимать оптимальные решения, помогающие достигнуть поставленных целей в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера и учитывать решения, которые эти партнеры будут принимать (они заранее могут быть неизвестны). Чтобы в конфликтных ситуациях принимать оптимальные решения, создана математическая теория конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр . Возникновение этой теории относится к 1944 г., когда была издана монография Дж. фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение»

Игра – это математическая модель реальной конфликтной ситуации . Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход конфликта называется выигрышем. Правила игры – это система условий, определяющая варианты действий игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнеров; выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. Игроки обозначаются A и B .

Игра называется антагонистической (с нулевой суммой ), если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.

Выбор и осуществление одного из вариантов действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.
Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из вариантов действий (например, в шахматах).
Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости). Мы будем рассматривать только личные ходы.

Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих поведение игрока при каждом личном ходе. Обычно в процессе игры на каждом этапе игрок выбирает ход в зависимости от конкретной ситуации. Возможно также, что все решения приняты игроком заранее (т.е. игрок выбрал определенную стратегию).

Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Цель теории игр – разработать методы для определения оптимальной стратегии каждого игрока.

Стратегия игрока называется оптимальной , если она обеспечивает этому игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш независимо от поведения противника).

Пример 1. Каждый из игроков, A или B , может записать, независимо от другого, цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то A выигрывает количество очков, равное разности между цифрами. Если разность меньше 0, выигрывает B . Если разность равна 0 – ничья.
У игрока A три стратегии (варианта действия): A 1 = 1 (записать 1), A 2 = 2, A 3 = 3, у игрока тоже три стратегии: B 1 , B 2 , B 3 .

B A	B 1 =1	B 2 = 2	B 3 =3
A 1 = 1	0	-1	-2
A 2 = 2	1	0	-1
A 3 = 3	2	1	0

Задача игрока A – максимизировать свой выигрыш. Задача игрока B – минимизировать свой проигрыш, т.е. минимизировать выигрыш A . Это парная игра с нулевой суммой .

Из популярного американского блога Cracked.

Теория игр занимается тем, что изучает способы сделать лучший ход и в результате получить как можно больший кусок выигрышного пирога, оттяпав часть его у других игроков. Она учит подвергать анализу множество факторов и делать логически взвешенные выводы. Я считаю, её нужно изучать после цифр и до алфавита. Просто потому что слишком многие люди принимают важные решения, основываясь на интуиции, тайных пророчествах, расположении звёзд и других подобных. Я тщательно изучил теорию игр, и теперь хочу рассказать вам о её основах. Возможно, это добавит здравого смысла в вашу жизнь.

1. Дилемма заключенного

Берто и Роберт были арестованы за ограбление банка, не сумев правильно использовать для побега угнанный автомобиль. Полиция не может доказать, что именно они ограбили банк, но поймала их с поличным в украденном автомобиле. Их развели по разным комнатам и каждому предложили сделку: сдать сообщника и отправить его за решетку на 10 лет, а самому выйти на свободу. Но если они оба сдадут друг друга, то каждый получит по 7 лет. Если же никто ничего не скажет, то оба сядут на 2 года только за угон автомобиля.

Получается, что, если Берто молчит, но Роберт сдает его, Берто садится в тюрьму на 10 лет, а Роберт выходит на свободу.

Каждый заключенный - игрок, и выгода каждого может быть представлена в виде «формулы» (что получат они оба, что получит другой). Например, если я ударю тебя, моя выигрышная схема будет выглядеть так (я получаю грубую победу, ты страдаешь от сильной боли). Поскольку у каждого заключенного есть два варианта, мы можем представить результаты в таблице.

Практическое применение: Выявление социопатов

Здесь мы видим основное применение теории игр: выявление социопатов, думающих лишь о себе. Настоящая теория игр - это мощный аналитический инструмент, а дилетантство часто служит красным флагом, с головой выдающим человека, лишенного понятия чести. Люди, делающие расчеты интуитивно, считают, что лучше поступить некрасиво, потому что это приведет к более короткому тюремному сроку независимо от того, как поступит другой игрок. Технически это правильно, но только если вы недальновидный человек, ставящий цифры выше человеческих жизней. Именно поэтому теория игра так популярна в сфере финансов.

Настоящая проблема дилеммы заключенного в том, что она игнорирует данные. Например, в ней не рассматривается возможность вашей встречи с друзьями, родственниками, или даже кредиторами человека, которого вы посадили в тюрьму на 10 лет.

Хуже всего то, что все участники дилеммы заключенного действуют так, как будто никогда не слышали ней.

А лучший ход - хранить молчание, и через два года вместе с хорошим другом пользоваться общими деньгами.

2. Доминирующая стратегия

Это ситуация, при которой ваши действия дают наибольший выигрыш, независимо от действий оппонента. Что бы ни происходило - вы всё сделали правильно. Вот почему многие люди при «дилемме заключенного» считают: предательство приводит к «наилучшему» результату независимо от того, что делает другой человек, а игнорирование действительности, свойственное этому методу, заставляет всё выглядеть супер-просто.

Большинство игр, в которые мы играем, не имеет строго доминирующих стратегий, потому что иначе они были бы просто ужасны. Представьте, что вы всегда делали бы одно и то же. В игре «камень-ножницы-бумага» нет никакой доминирующей стратегии. Но если бы вы играли с человеком, у которого на руках надеты прихватки, и он мог показать только камень или бумагу, у вас была бы доминирующая стратегия: бумага. Ваша бумага обернет его камень или приведет к ничьей, и вы не сможете проиграть, потому что соперник не может показать ножницы. Теперь, когда у вас есть доминирующая стратегия, нужно быть дураком, чтобы попробовать что-нибудь другое.

3. Битва полов

Игры интереснее, когда у них нет строго доминирующей стратегии. Например, битва полов. Анджали и Борислав идут на свидание, но не могут выбрать между балетом и боксом. Анджали любит бокс, потому что ей нравится, когда льется кровь на радость орущей толпе зрителей, считающих себя цивилизованными только потому, что они заплатили за чьи-то разбитые головы.

Борислав хочет смотреть балет, потому что он понимает, что балерины проходят через огромное количество травм и сложнейших тренировок, зная, что одна травма может положить конец всему. Артисты балета - величайшие спортсмены на Земле. Балерина может ударить вас ногой в голову, но никогда этого не сделает, потому что ее нога стоит гораздо дороже вашего лица.

Каждый из них хочет пойти на своё любимое мероприятие, но они не хотят наслаждаться им в одиночестве, таким образом, получаем схему их выигрыша: наибольшее значение - делать то, что им нравится, наименьшее значение - просто быть с другим человеком, и ноль - быть в одиночестве.

Некоторые люди предлагают упрямо балансировать на грани войны: если вы, несмотря ни на что, делаете то, что хотите, другой человек должен подстроиться под ваш выбор или потерять все. Как я уже говорил, упрощённая теория игр отлично выявляет глупцов.

Практическое применение: Избегайте острых углов

Конечно, и у этой стратегии есть свои значительные недостатки. Прежде всего, если вы относитесь к вашим свиданиям как к «битве полов», она не сработает. Расстаньтесь, чтобы каждый из вас мог найти человека, который ему понравится. А вторая проблема заключается в том, что в этой ситуации участники настолько не уверены в себе, что не могут этого сделать.

По-настоящему выигрышная стратегия для каждого - делать то, что они хотят, а после, или на следующий день, когда они будут свободны, пойти вместе в кафе. Или же чередовать бокс и балет, пока в мире развлечений не произойдет революция и не будет изобретен боксерский балет.

4. Равновесие Нэша

Равновесие Нэша - это набор ходов, где никто не хочет сделать что-то по-другому после свершившегося факта. И если мы сможем заставить это работать, теория игр заменит всю философскую, религиозную, и финансовую систему на планете, потому что «желание не прогореть» стало для человечества более мощной движущей силой, чем огонь.

Давайте быстро поделим 100$. Вы и я решаем, сколько из сотни мы требуем и одновременно озвучиваем суммы. Если наша общая сумма меньше ста, каждый получает то, что хотел. Если общее количество больше ста, тот, кто попросил наименьшее количество, получает желаемую сумму, а более жадный человек получает то, что осталось. Если мы просим одинаковую сумму, каждый получает 50 $. Сколько вы попросите? Как вы разделите деньги? Существует единственный выигрышный ход.

Требование 51 $ даст вам максимальную сумму независимо от того, что выберет ваш противник. Если он попросит больше, вы получите 51 $. Если он попросит 50 $ или 51 $, вы получите 50 $. И если он попросит меньше 50 $, вы получите 51 $. В любом случае нет никакого другого варианта, который принесет вам больше денег, чем этот. Равновесие Нэша - ситуация, в которой мы оба выбираем 51 $.

Практическое применение: сначала думайте

В этом вся суть теории игр. Не обязательно выиграть и тем более навредить другим игрокам, но обязательно сделать лучший для себя ход, независимо от того, что подготовят для вас окружающие. И даже лучше, если этот ход будет выгоден и для других игроков. Это своего рода математика, которая могла бы изменить общество.

Интересный вариант этой идеи - распитие спиртного, которое можно назвать Равновесием Нэша с временной зависимостью. Когда вы достаточно много пьете, то не заботитесь о поступках других людей независимо от того, что они делают, но на следующий день вы очень жалеете, что не поступили иначе.

5. Игра в орлянку

В орлянке участвуют Игрок 1 и Игрок 2. Каждый игрок одновременно выбирает орла или решку. Если они угадывают, Игрок 1 получает пенс Игрока 2. Если же нет - Игрок 2 получает монету Игрока 1.

Выигрышная матрица проста…

…оптимальная стратегия: играйте полностью наугад. Это сложнее, чем вы думаете, потому что выбор должен быть абсолютно случайным. Если у вас есть предпочтения орла или решки, противник может использовать его, чтобы забрать ваши деньги.

Конечно, настоящая проблема здесь заключается в том, что было бы намного лучше, если бы они просто бросали один пенс друг в друга. В результате их прибыль была бы такой же, а полученная травма могла бы помочь этим несчастным людям почувствовать что-то, кроме ужасной скуки. Ведь это худшая игра из существующих когда-либо. И это идеальная модель для серии пенальти.

Практическое применение: Пенальти

В футболе, хоккее и многих других играх, дополнительное время - это серия пенальти. И они были бы интереснее, если бы строились на том, сколько раз игроки в полной форме смогут сделать «колесо», потому что это, по крайней мере, было бы показателем их физических способностей и на это было бы забавно посмотреть. Вратари не могут чётко определить движение мяча или шайбы в самом начале их движения, потому что, к огромному сожалению, в наших спортивных состязаниях роботы все еще не участвуют. Вратарь должен выбрать левое или правое направление и надеяться, что его выбор совпадет с выбором противника, бьющего по воротам. В этом есть что-то общее с игрой в монетку.

Однако обратите внимание, что это не идеальный пример сходства с игрой в орла и решку, потому что даже при правильном выборе направления вратарь может не поймать мяч, а нападающий может не попасть по воротам.

Итак, каково же наше заключение согласно теории игр? Игры с мячом должны заканчиваться способом «мультимяча», где каждую минуту игрокам один на один выводится дополнительный мяч/шайба, до получения одной из сторон определенного результата, который был показателем настоящего мастерства игроков, а не эффектным случайным совпадением.

В конце концов, теория игр должна использоваться для того, чтобы сделать игру умнее. А значит лучше.