Время нельзя увидеть или пощупать. Но если знать некоторые хитрости и практические приемы, можно легко научить ребенка понимать время и определять его по часам. Теория и практические задания, игры и упражнения, с которых можно начать - читайте и пробуйте.

Случается так, что уже в приличном возрасте люди признаются, что пользуются только электронными часами. И у всех одна причина - либо родители не объяснили им в детстве, как использовать часы со стрелками, либо объяснили ошибочно. Чтобы такого не произошло, важно не оставлять проблему без внимания. С чего же начать учить ребенка понимать время по часам?

Что должен знать ребенок, чтобы определять время по часам?

Прежде чем приступить к изучению времени, проверьте, насколько ваш ребенок понимает основы. Умеет ли он считать? Ориентируется ли в ключевых понятиях, связанных со временем? Нередко родители сталкиваются с трудностями в обучении и упорно не замечают корень проблемы (ребенок путает “лево” и “право”, недостаточно хорошо считает и т.д.) Поэтому будет полезно пробежаться по основным умениям и удостовериться, что пробелов, которые могут помешать ребенку продвинуться далее, нет.

Считать до 60

Как минимум. А лучше вообще до 100. Закрепляем навык счета упражнениями:

• - называем двойные числа, которые видим (это могут быть ценники в магазине, номера домов и др.);
• - тренируем обратный счет (от 100 к 1);
• - учимся называть «соседей» круглых чисел (50 - соседи 49 и 51, 90 - соседи 89 и 91 и т.д.).

Считать числами, которые кратны 5

Наверняка вы уже объяснили ребенку, что такие числа всегда оканчиваются на 5 либо на 0. Осталось научиться без запинок их перечислять и использовать.

• - считаем числами, кратными 5, в прямом и обратном порядке;
• - моделируем задачи, где требуется считать пятерками (Влад решил отжиматься каждый день по пять раз. Сколько раз он будет отжиматься за неделю, две недели, месяц? Как изменятся эти числа, если со второго месяца Влад будет отжиматься не 5, а 10 раз в день?)

Попробуйте онлайн-занятия на ЛогикЛайк

• Пройдите 3 стартовые главы курса – и откройте доступ к разным категориям. Обязательно порешайте «Умный счёт» и «Логические задачи».
• Попробуйте задания разного уровня сложности: «Новичок», «Опытный», «Эксперт».

Различать «лево» и «право»

Для учебы в целом и чтобы не путать понятия «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» в том числе.

Иметь общее представление о времени

Объясняем ребенку понятия «вчера», «сегодня», «завтра»; «прошлое», «настоящее», «будущее»; «утро», «день», «вечер», «ночь», «сутки». Часто дети сами связывают время с конкретным событием: «утром я делал зарядку», «в обед я ел суп», «перед сном я чистил зубы» и т.п. Поэтому объясняя вышеперечисленные понятия, родителю лучше всего привязывать к ним конкретные события.

Аккуратно исправляйте ребенка, если он где-то допускает ошибки. Важно, чтобы у него не сложилось ложное понимание времени.

Успешно прошли подготовительный этап? Теперь можем учить ребенка понимать время по часам со стрелками.

Учим ребенка понимать время по часам со стрелками

Ох уж эти взрослые! И почему они разрешают смотреть мультики всего каких-то 15 или 20 минут? Для детей время - непонятная цифра. Чтобы разобраться, откуда она берется, понадобятся часы со стрелками. Если дома таковых нет, а есть только электронные, ребенку будет и вовсе сложно понять, что же такое время. Поэтому первый шаг для родителя - обзавестись настенными или специальными детскими часами, на которых будут четко видны цифры и стрелки.

Знакомим ребенка с устройством часов

Сперва объясните ребенку понятия «циферблат», «сутки», «часы», «минуты», «секунды»; «ровно час», «полчаса», «четверть часа», расскажите про часовую, минутную, секундную стрелки. Обратите его внимание, что все стрелки имеют разную длину. Пусть ребенок понаблюдает, какая из стрелок самая быстрая, а какая практически стоит на месте. И сколько времени требуется каждой, чтобы пройти целый круг.

Все основные понятия обязательно свяжите в одну логическую цепочку: в сутках 24 часа, 1 час - это 60 минут, а 1 минута - 60 секунд. Не проходите мимо понятий «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Дайте ребенку понять, что время всегда движется только вперед.

Учим ребенка «читать» часовую и минутную стрелки одновременно

Первым делом научите ребенка отсчитывать минуты интервалами, кратными 5. Минуты не указаны на обычных стрелочных часах, поэтому этот навык нужно отработать. Можно придумать легенду о том, что у каждого числа на циферблате есть своя «тень». 1 - это 5 минут, 2 - 10 минут, 3 - 15 минут и т.д. «Тень» можно увидеть только тогда, когда на число указывает минутная стрелка. Когда ребенок будет легко ориентироваться в пятиминутных интервалах, расскажите ему про более мелкие промежутки.

Часовая стрелка тоже имеет два значения. В первой половине дня мы видим цифры такими, какими они предстают на циферблате, но после плотного полдника в 12:00 они начинают «толстеть»: 1 превращается в 12, 2 - в 14 и т.д. Забавная аналогия поможет ребенку быстрее уловить смысл.

Умение определять время по часам со стрелками необходимо закрепить на конкретных примерах. Чаще обращайте внимание ребенка на часы. Исправляйте его, если он будет неправильно называть время.

Лучший подарок для ребенка, который учится определять время по часам, это наручные часы. С ними он станет охотнее отвечать на вопрос «Который час?» и обязательно будет спрашивать об этом вас, чтобы свериться со своими «ходиками».

В идеале у ребенка должны быть «черновые» часики, которые он сможет «эксплуатировать», как ему угодно: выставлять на них время, дописывать «тени» каждой из цифр, подписывать названия стрелок. Для обучения можно использовать старые неработающие часы (настенные или настольные). В них нужно снять стекло, чтобы стрелки можно было вертеть. Если вы не нашли таких дома, мы предлагаем вам смастерить свои.

Мастерим самодельные часы

Самодельные часы помогут сделать время более осязаемым. При наличии нужных материалов, на их создание уйдет не более 15 минут.

Как смастерить часы самостоятельно

Основой для циферблата может стать одноразовая тарелка или круг из картона. Расчерчиваем круг пополам, потом еще раз пополам и наносим первые цифры. Далее каждую четвертинку аккуратно делим на три части и дописываем оставшиеся цифры. Циферблат готов, а значит, пора прикрепить стрелки. Вырезаем их из картона разных цветов и крепим на круг с помощью кнопки. Получившийся макет часов ставим рядом с настоящими часами.

Создавая свои часы, будет полезно пробежаться по уже изученным понятиям. Расчертили круг на четыре части - вспомнили про «четверть часа», прикрепили часовую стрелку - вспомнили её функцию и т.д.

Самодельные часы могут выглядеть необычно. К примеру, вот так:

Игры и задания с часами

Закрепить умение определять время по часам помогут игры и задания.

«Который час»

Покажите ребенку, как двигаются стрелки. Меняйте их положение и называйте время. Затем пусть ребенок выполнит это же упражнение. Изменяйте время по часовой и против часовой стрелки.

Усложняем игру. Показываем время на часах и ассоциируем его с событиями («вот 7:00», в это время мы просыпаемся», «вот 18:00, в это время мы ужинаем» и т.п.). Теперь предлагаем ребенку понарошку прожить весь день.

«Рисуем пиццу»

Самодельный циферблат хорош тем, что на нем можно делать свои пометки. Попросите ребенка провести линии от центра циферблата к числам и заштриховать каждый сектор своим цветом. Получится «цветной пирог» или «цветная пицца» (так будет проще понимать 5-минутные интервалы). Обозначьте вторые значения каждого из чисел (2 - 10, 3 - 15) и минуты (от 1 до 60).

«Режим дня»

Возьмите лист бумаги, распишите режим дня, и вместе с ребенком проиллюстрируйте его изображениями часов, в которых обозначен промежуток времени (8:00 - пора в школу, 15:00 - пора делать уроки и т.п.). Повесьте над кроватью или рабочим столом ребенка. Так ребенок научится не только делать все вовремя, но и ориентироваться во времени.

Обращайте внимание ребенка, сколько времени он тратит на то или иное действие. Так вы сможете еще с малых лет приучить его к пунктуальности.

«Два варианта назвать время»

Расскажите ребенку, что время можно называть по-разному (к примеру, 1 час 18 минут - это восемнадцать минут второго и т.д.). Запишите на листке второй, более сложный вариант, и укажите цифры-подсказки, чтобы ребенку было проще справиться (пример: «без пяти восемь», числа подсказки - 9, 5, 5, 1). Постепенно откажитесь от подсказок.

«Кубики»

Для игры понадобится 4 игральных кубика и наши самодельные часы. Бросаем кубики попарно. Первая пара кубиков определит часы, вторая пара - минуты. Время, которое выпало, нужно установить на игрушечных часах.

Интерактивные игры с часами есть и на платформе ЛогикЛайк. У нас более 3500 увлекательных заданий для детей дошкольного и младшего школьного возраста, которые помогают развивать логику, мышление, память.

Знакомим ребенка с электронными, солнечными, песочными часами

Когда ребенок научился определять время по часам со стрелками, пора познакомить его и с другими часами. Вам есть, куда двигаться дальше! Знакомство с электронными, солнечными, песочными часами поможет ребенку углубить свое понимание времени. Тем более, с ними будет не менее интересно разобраться.

Электронные часы более условны, чем часы со стрелками, по ним не отследить ход времени наглядно. Но если ребенок разобрался с тем, как считаются часы и минуты, то проблем возникнуть не должно. Обзаведитесь электронными часами и поручайте ребенку следить за временем и на них. В той же программе телепередач всегда указано время в электронном формате, поэтому первым делом можно запомнить, во сколько начинаются мультики и детские передачи.

Солнечные часы больше похожи на часы со стрелками, поэтому с ними будет проще разобраться. Осталось дождаться солнечного дня, начертить на песке круг, установить в центре деревянную палочку, сверить время с механическими часами и дорисовать циферблат. И можно завороженно наблюдать, как тень от палочки постепенно ползет по часовой стрелке.

Песочные часы также будет удобнее всего сопоставить со стрелочными. Они отмеряют совсем небольшие промежутки времени. Предложите ребенку одновременно наблюдать за секундной стрелкой на механических часах и ходом времени в песочных часах. Кстати, с ними намного веселее выполнять задания на время: застелить постель, сложить все игрушки в коробку и т.д., пока песок не перестанет сыпаться.

Научить ребенка понимать время не так сложно, как кажется. Решив эту проблему в детстве, вы поможете ребенку стать человеком пунктуальным, для которого ощущение времени не будет слабым местом.

В 5-7 лет у большинства детей - пик познавательной активности. И это во многом лучшее время, чтобы вместе интересно и разнообразно развиваться. Пока ребёнка не затянуло в школьные будни.

Родителям в помощь - занимательные логические задания, упражнения на развитие мышления, внимания, памяти и речи.

Эта задача - вариант классического вопроса, задававшегося на собеседованиях в Microsoft, когда претендентов спрашивали, сколько раз в день часовая и минутная стрелки встречаются друг с другом. Посколько этот вопрос сейчас стал широко известен, интервьюверы начали использовать его разновидность.

Рассмотрим сначала вариант наиболее ожидаемого решения, математического. Во-первых, представьте ситуацию, когда часовая и минутная стрелки наложились. Все знают, что это происходит в полночь, затем приблизительно в 1:05, 2:10, 3:15 и так далее. Другими словами, они накладываются друг на друга каждый час, за исключением периода от 11:00 до 12:00. В 11:00 более быстрая минутная стрелка находится на 12, а более медленная часовая - на 11:00. До 12:00 дня они друг с другом не встретятся, и поэтому их наложения в районе 11 часов не будет.

Таким образом, за каждый 12-часовой период происходит 11 наложений. Они равномерно распределены во времени, поскольку обе стрелки двигаются с постоянной скоростью. Это означает, что интервалы между наложениями составляют 12/11 часа. Это эквивалентно 1 часу 5 минутам 27 и 3/11 секундам. Поэтому за каждый 12-часовой цикл наложения происходят в периоды, указанные на картинке.

Вернёмся к секундной стрелке. Её наложение на минутную возможно тогда, когда число минут совпадает с числом секунд. Точное наложение происходит в 00:00:00. В целом минутные и секундные стрелки накладыватся лишь на долю секунды. Например, в 12:37:37 секундная стрелка будет показывать на 37, отставая от минутной, которая в это время будет между 37 и 38 и отставать от часовой. Через мгновение минутная и секундная наложатся, но часовой возле них не будет. Т.е. наложения всех трёх стрелок не произойдет.

Секундная стрелка не наложится ни в одном из вариантов на картинке, за исключением полуночи и полудня. Это означает, что финальный ответ на вопрос: дважды в сутки.

А вот ответ, приветствуемый в Google. Секундная стрелка предназначена для показа коротких временных интервалов, а не для сообщения времени с точностью до секунды. Если она не синхронизирована с двумя другими стрелками, это вполне нормально. Под «синхронизацией» здесь понимается, что в полночь и полдень все три стрелки указывают точно на 12. Большинство аналоговых часов всех видов не позволяют вам точно установить секундную стрелку. Нужно было бы извлечь батарейку или подождать, если говорить о механических часах, когда закончится завод пружины, а затем, когда секундная стрелка остановлена, синхронизировать минутную и часовую стрелки друг с другом, после чего дождаться, когда наступит время, показанное на часах, чтобы вернуть батарейку или завести часы.

Чтобы все это проделать, нужно быть маньяком или фанатеть от пунктуальности. Но если вы всего этого не проделаете, секундная стрелка не будет показывать «реального» времени. Она будет отличаться от точных секунд на какую-то величину в случайном интервале, доходящем до 60 секунд. Учитывая случайные расходждения, шансов на то, что все три стрелки когда-либо встретятся, не существует. Этого не случается никогда.

Попробуйте решить самостоятельно!
Если что-то не получается, не отчаивайтесь, ответ и решение расположены ниже.

1. Сколько раз в сутки показания часов обладают тем свойством, что, меняя местами минутную и часовую стрелки, мы придем к имеющему смысл показанию часов?

2. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

3. Через сколько минут стрелки часов (нормальных) после совмещения наложатся снова?

4. Во сколько раз число, показывающее, во сколько раз скорость секундной стрелки больше скорости минутной, больше числа, показывающего, во сколько раз скорость минутной стрелки больше скорости часовой стрелки?

5. Сколько раз часовые стрелки будут находится одна над другой в течение 12 часов?

6. Некоторая работа была начата в пятом часу, а закончена в восьмом часу, причем показания часов в начале и в конце работы переводятся друг в друга, если поменять местами часовую и минутную стрелки. Определить продолжительность работы и показать, что в начале и в конце работы стрелки были одинаково отклонены от вертикального направления.

7. Сколько раз в сутки минутная стрелка обгоняет часовую? А секундная?

8. Часы пробили полночь. Сколько раз и в какие моменты времени до следующей полуночи часовая и минутная стрелки будут совмещены?

9. Между какими цифрами находится секундная стрелка в момент первого совмещения часовой стрелки с минутной после полудня?

10. Почему на часах стрелки ходят слева направо (по часовой стрелке), а не наоборот?

11. На часах с тремя стрелками - часовой, минутной и секундной - в 12 часов все три стрелки совпадают. Существуют ли еще другие моменты времени, когда все три стрелки совпадают?

12. Задача, предложенная Льюисом Кэрроллом : какие часы точнее показывают время: те, которые отстают на минуту в сутки, или те, которые вовсе не идут?

13. На сколько градусов поворачивается за минуту минутная стрелка? Часовая стрелка?

14. Определите величину угла между часовой и минутной стрелками часов, показывающими 1 час 10 минут при условии, что обе стрелки движутся с постоянными скоростями.

15.

16. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз. Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?

17. Когда же произойдет следующая встреча?

18. В 6 часов, наоборот, обе стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает или же есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

19. Я взглянул на часы и заметил, что обе стрелки отстоят от цифры 6, по обе ее стороны, одинаково. В котором часу это было?

20. В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько же, на сколько часовая находится впереди числа 12 на циферблате? А может быть, таких моментов бывает в день несколько или же вовсе не бывает?

21. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

22. Найдите угол между часовой и минутной стрелками а) в 9 часов 15 минут; б) в 14 часов 12 минут?

23. Когда угол между часовой и минутной стрелками часов больше а) в 13:45 или в 22:15; б) в 13:43 или в 22:17; в) через t минут после полудня или за t минут до полуночи?

24. Стрелки часов только что сошлись. Через сколько минут они будут "смотреть" в противоположные стороны?

25. Как можно объяснить, что в исправных часах за одну секунду минутная стрелка прошла 6 минут.

26. По точному хронометру было установлено, что часовая и минутная стрелки равномерно идущих (но с неправильной скоростью!) часов совпадают через каждые 66 минут. На сколько минут в час спешат или отстают эти часы?

27. В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная – 24 оборота, причём, как обычно, минутная стрелка длиннее часовой (в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная – 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления, которые встречаются и на итальянских часах, и на обычных. Сколько существует таких положений? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах).

28. Вася измерил транспортиром и записал в тетрадку углы между часовой и минутной стрелками сначала в 8:20, а потом в 9:25. После этого Петя забрал свой транспортир. Помогите Васе найти углы между стрелками в 10:30 и 11:35.

29. Сколько раз с 12:00 до 23:59 совпадают минутная и часовая стрелки часов?

30. На часах полдень. Когда часовая и минутная стрелки совпадут в следующий раз?

31. Укажите хотя бы один момент времени, отличный от 6:00 и 18:00, когда часовая и минутная стрелки правильно идущих часов направлены в противоположные стороны.

32. Когда Петя начал решать эту задачу, он заметил, что часовая и минутная стрелки его часов образуют прямой угол. Пока он решал ее, угол все время был тупым, а в тот момент, когда Петя закончил решение, угол снова стал прямым. Сколько времени Петя решал эту задачу?

33. Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, показывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть будильник?

34. Коля отправился за грибами между восемью и девятью часами утра в момент, когда часовая и минутная стрелки его часов были совмещены. Домой он вернулся между двумя и тремя часами дня, при этом стрелки его часов были направлены в противоположные стороны. Сколько продолжалась Колина прогулка?

35. Ученик начал решать задачу между 9 и 10 часами и закончил между 12 и 13 часами. Сколько времени он решал задачу, если за это время часовая и минутная стрелки часов поменялись местами?

36. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки правильно идущих часов образуют угол в 30 градусов?

37. Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая минутная? (Считается, что положение каждой из стрелок можно определить точно, но следить за тем, как стрелки двигаются, нельзя.)

38. В мире антиподов минутная стрелка часов идет с нормальной скоростью, но в противоположную сторону. Сколько раз за сутки стрелки антиподных часов а) совпадают; б) противоположны?

39. Сколько раз в сутки антиподные часы невозможно отличить от нормальных (если не знать, который час на самом деле)?

40. Муха в полдень села на секундную стрелку часов и поехала, придерживаясь следующих правил: если она обгоняет какую-то стрелку или ее обгоняет какая-то стрелка (кроме секундной у часов есть часовая и минутная стрелки), то муха переползает на эту стрелку. Сколько кругов проедет муха в течение часа?

Закономерность времени

Выяснить закономерность в изменении времени на часах и определить, что должны показывать часы под номером пять.

Задания с ОГЭ

1. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 4 ч?
2. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 6 минут?

Задания ЕГЭ

1. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Эта задача ничуть не сложнее, чем задача на движение по кругу. У нас по кругу движутся часовая и минутная стрелки. Минутная стрелка за час проходит полный круг, то есть 360°. Значит, ее скорость равна 360° в час . Часовая стрелка за час проходит угол 30° (это угол между двумя соседними числами на циферблате). Значит, ее скорость 30° в час.

В 8 часов 00 минут расстояние между стрелками составляет 240°:

Пусть минутная стрелка в первый раз встретится с часовой через t часов. За это время минутная стрелка пройдет 360°t, а часовая 30°t, причем минутная пройдет на 240° больше, чем часовая. Получим уравнение:

360°t-30°t=240°

t=240°/330°=8/11

То есть через 8/11 часа стрелки первый раз встретятся.

Теперь до следующей встречи минутная стрелка пройдет на 360° больше, чем часовая. Пусть это произойдет через х часов.

Получим уравнение:

360°х-30°х=360°. Отсюда х=12/11. И так еще два раза.

Получаем, что минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой через 8/11+12/11+12/11+12/11= 4 часа= 240 мин.

Ответ: 240 мин.

2. Часы со стрелками показывают 1 час 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

В этой задаче скорость движения стрелок будем выражать в градусах/минуту.

Скорость минутной стрелки равна 360˚/60=6˚ в минуту.

Скорость часовой стрелки равна 30˚/60=0,5˚ в минуту.

В 0 часов положение часовой и минутной стрелок совпадало. 1 час 35 минут - это 95 минут. За это время минутная стрелка прошла 95х6=570˚=360˚+210˚, а часовая прошла 95x0,5˚=47,5˚. И у нас такая картинка:

Первый раз стрелки встретятся через время , когда часовая стрелка повернется на , а минутная на 150˚+47,5˚ больше. Получаем уравнение для :

Следующий раз стрелки встретятся, когда минутная пройдет на круг больше часовой:

И так 9 раз.

Минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой через минут

Ответы:

1. за 12 часов 132, за 24 часа 264 момента плюс 22 наложения, итого 286

2. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная - 24 . Отсюда минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз с часовой стрелкой образуется по два прямых угла, т.е. ответ - 44 .

3. Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 2 часа 10 10/11минуты. Следующая — спустя еще 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 3 часа 16 4/11 минуты, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; 11-я наступит через 1 1/11 —12 часов после первой, то есть в 12 часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты.

Вот все моменты встреч:

1-я встреча — в 1 час 5 5/11 минуты

2-я « — «2 часа 10 10/11 «

3-я « — «3 часа 16 4/11 «

4-я « — «4 часа 21 9/11 «

5-я « — «5 часов 27 3/11 «

6-я « — «6 часов 32 8/11 «

2 часа 46, 153 мин.

7. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная - 24 . Отсюда минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза.

9 . 4 и 5

10. Именно так движется тень в самых первых часах - солнечных. А затем уже механические часы скопировали направление движения стрелок. Кстати, в Южном полушарии все наоборот - тень в солнечных часах движется против часовой стрелки. За час минутная стрелка делает полный оборот. Значит, за минуту она поворачивается на 1 / 60 часть угла в 360°, то есть на 6°. Часовая стрелка за час проходит 1 / 12 часть круга, то есть движется в 12 раз медленнее минутной. За минуту она поворачивается на 0,5°.

14 . В 1:00 минутная стрелка "отставала" от часовой на 30°. За 10 минут, прошедших после этого момента, часовая стрелка "пройдёт" 5°, а минутная – 60°, поэтому угол между ними равен 60° – 30° – 5° = 25°.

15 . Пусть х − промежуток времени в минутах, который должен пройти, прежде чем стрелки разместятся на одной прямой и будут направлены в разные стороны. Минутная стрелка успеет пройти за это время х минутных делений циферблата, а часовая - х/12 минутных делений. Когда стрелки разместятся на одной прямой и будут направлены в разные стороны, их будут разделять 30 минутных делений циферблата. А значит, в это время x – x/12 = 30, откуда х = 32 (8/11). Через 32 (8/11) минут стрелки будут "смотреть" в противоположные стороны.

16 . Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент обе стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, чем минутная (она описывает полный круг в 12 часов, а минутная в 1 час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав 1/12 долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у 12 — на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая 1/12 круга, то есть минутная сделала бы на 11/12 круга больше. Но, чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько раз 1/12 меньше 11/12, то есть в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11 часа, то есть через 60/11 = 5 5/11 минуты. Итак, встреча стрелок случится спустя 5 5/11 минуты после того, как пройдет 1 час, то есть в 5 5/11 минуты второго.

21. Ответ: Нетрудно сообразить, что это случится спустя 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 2 часа 10 10/11минуты. Следующая — спустя еще 1 час 5 5/11 минуты, то есть в 3 часа 16 4/11 минуты, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; 11-я наступит через 1 1/11 —12 часов после первой, то есть в 12 часов; другими словами, она совпадает с первой встречей, и дальнейшие встречи повторятся снова в прежние моменты.Вот все моменты встреч:

24. Пусть обе стрелки стояли у 12, и затем часовая отошла от 12 на некоторую часть полного оборота, которую мы обозначим буквой х. Минутная стрелка за то же время успела повернуться на 12х. Если времени прошло не больше одного часа, то для удовлетворения требования нашей задачи необходимо, чтобы минутная стрелка отстояла от конца целого круга на столько же, на сколько часовая стрелка успела отойти от начала; другими словами: 1 — 12 х = х Отсюда 1 = 13 х. Следовательно, х = 1/13 доле целого оборота. Такую долю оборота часовая стрелка проходит в 12/13 часа, то есть показывает 55 5/13 минуты первого. Минутная стрелка в то же время прошла в 12 раз больше, то есть 12/13 полного оборота; обе стрелки, как видите, отстоят от 12 одинаково, а следовательно, одинаково отодвинуты и от 6 по разные стороны. Мы нашли одно положение стрелок — именно то, которое наступает в течение первого часа. В течение второго часа подобное положение наступит еще раз; мы найдем его, рассуждая по предыдущему, из равенства 1— (12х — 1) = х, или 2— 12х = х, откуда 2 = 13х, и, следовательно, х = 2/13 полного оборота. В таком положении стрелки будут в 1 11/13 часа, то есть в 50 10/13 минуты второго. В третий раз стрелки займут требуемое положение, когда часовая стрелка отойдет от 12 на 3/13 полного круга, то есть 2 10/13 часа, и т. д. Всех положений 11, причем после 6 часов стрелки меняются местами: часовая стрелка занимает те места, в которых была раньше минутная, а минутная становится на места часовой.Если вы внимательно наблюдаете за часами, то, быть может, вам случалось наблюдать и как раз обратное расположение стрелок, чем сейчас описано: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа 12. Когда же это бывает? Ответ: В первый раз требуемое расположение стрелок будет в тот момент, который определяется равенством:12х — 1 = х/2, откуда 1 = 11 ½ х, или х = 2/23 целого оборота, то есть через 1 1/23 часа после 12. Значит, в 1 час 21 4/23 минуты стрелки будут расположены требуемым образом. Действительно, минутная стрелка должна стоять посередине между 12 и 1 1/23 часами, то есть на 12/23 часа, что как раз и составляет 1/23 полного оборота (часовая стрелка пройдет 2/23 целого оборота). Второй раз стрелки расположатся требуемым образом в момент, который определится из равенства: 12х — 2= х/2, откуда 2 = 11 1/2 х и х = 4/23; искомый момент — 2 часа 5 5/23 минуты.Третий искомый момент — 3 часа 7 19/23 минуты, и т. д.