Аксиома о условии эквивалентности пар сил в пространстве. Заместо вектора момента каждой пары сил, перпендикулярного плоскости чертежа, указывают лишь направление, в каком пара сил стремится вращать эту плоскость.
Пары сил в пространстве эквивалентны, ежели их моменты геометрически равны. Не изменяя деяния пары сил на жесткое тело, пару сил можно переносить в всякую плоскость, параллельную плоскости деяния пары, также изменять ее силы и плечо, сохраняя постоянным модуль и направление ее момента. Таковым образом, вектор момента пары сил можно переносить в всякую точку, т. е. момент пары сил является вольным вектором. Вектор момента пары сил описывает все три ее элемента: положение плоскости деяния пары, направление вращения и числовое значение момента. Разглядим сложение 2-ух пар сил, расположенных в пересекающихся плоскостях, и докажем последующую аксиому: геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары. Пусть требуется сложить две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях I и II имеющие моменты 
Рис. 34 Выбрав силы этих пар равными по модулю
определим плечи этих пар:
Расположим эти пары сил таковым образом, чтоб силы были ориентированы по полосы пересечения плоскостей KL в противоположные стороны и уравновешивались. Оставшиеся силы образуют пару сил, эквивалентную данным двум парам сил. Эта пара сил имеет плечо ВС = d и момент, перпендикулярный плоскости деяния пары сил, равный по модулю М= Pd.
Геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной пары. Потому что момент пары сил является вольным вектором, перенесем моменты составляющих пар сил в точку В и сложим их, построив на этих моментах параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма
представляет собой момент эквивалентной пары Отсюда следует, что вектор т. е. геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары сил:
Таковой метод сложения моментов пар сил именуется правилом параллелограмма моментов. Построение параллелограмма моментов можно заменить построением треугольника моментов.
Применяя построение параллелограмма либо треугольника моментов, можно решить и обратную задачку, т. е. разложить всякую пару сил на две составляющие. Пусть требуется сложить несколько пар сил, расположенных произвольно в пространстве (рис. 35). Определив моменты этих пар, их можно перенести в всякую точку О места. Складывая поочередно моменты этих пар сил, можно выстроить многоугольник моментов пар, замыкающая сторона которого определит момент эквивалентной им пары сил. На (рис. 35) показано построение многоугольника моментов при сложении 3-х пар.
Момент пары сил, сил, эквивалентной данной системе пар сил в пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих пар сил:
или
Плоскость I деяния данной пары сил перпендикулярна направлению ее момента
Ежели момент эквивалентной пары сил равен нулю, то пары сил взаимно уравновешиваются:
Таковым образом, условие равновесия пар сил, произвольно расположенных в пространстве, можно сконструировать так: пары сил, произвольно расположенные в пространстве, взаимно уравновешиваются в этом случае, ежели геометрическая сумма их моментов равна нулю. Ежели пары сил размещены в одной плоскости (рис. 36), то моменты этих пар сил, направленные по одной прямой, складываются алгебраически. 
Свойства пар сил определяются рядом теорем, которые приводятся без доказательств:
· Две пары эквивалентны, если их векторные моменты равны по величине и одинаково направлены.
· Действие пары на тело не изменится, если ее перенести в плоскости действия на любое место.
· Действие пары на тело не изменится, если ее перенести из плоскости действия в параллельную ей плоскость.
· Действие пары на тело не изменится, если увеличить (уменьшить) величину силы пары, одновременно уменьшая (увеличивая) во столько же раз плечо пары.
Вывод: векторный момент пары сил, действующей на твердое тело, есть свободный вектор, т. е. его можно приложить в любой точке твердого тела.
Рассмотрим сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Докажем теорему:
Система пар, произвольно расположенных в пространстве, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.
Возьмем две пары () и (), расположенные на пересекающихся под произвольным углом плоскостях. Плечи пар примем равными соответственно и . На линии пересечения плоскостей отметим произвольный отрезок АВ и приведем каждую из слагаемых пар к плечу АВ. Произведя сложение соответствующих сил (см. рис.) с и с , получим новую пару (), момент которой будет равен
Рис.2.18 Равнодействующая пар сил
Систему пар сил, действующих на тело, можно, в соответствии с только что доказанной теоремой, заменить одной парой, равной сумме векторов моментов слагаемых пар. Следовательно, равновесие системы пар возможно только при выполнении условия
Проецируя приведенное векторное условие равновесия пар на любые три оси, не лежащие в одной плоскости и не параллельные друг другу, получим скалярные уравнения равновесия системы пар
Момент силы. Пара сил.
1. Основные понятия и определения статики.
Материальные объекты в статике:
материальная точка,
система материальных точек,
абсолютно твердое тело.
Системой материальных точек, или механической системой, называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения других точек этой системы.
Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого не изменяется.
Твердое тело может находиться в состоянии покоя или движения определенного характера. Каждое их этих состояний будем называть кинематическим состоянием тела .
|
Сила - мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила может быть приложена в точке, тогда эта сила – сосредоточенная . Сила может действовать на все точки данного объема или поверхности тела, тогда эта сила – распределенная . |
|
|
Система сил - с овокупность сил, действующих на данное тело. |
|
|
Равнодействующей называется сила, эквивалентная некоторой системе сил. |
|
|
Уравновешивающей силой называется сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону. |
|
|
Системой взаимно уравновешивающихся сил называется система сил, которая будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния. |
Внутренние силы – это силы, которые действуют между точками или телами данной системы.
Внешние силы – это силы, которые действуют со стороны точек или тел, не входящих в данную систему.
Задачи статики:
- преобразование систем сил, действующих на твердое тело в эквивалентные им системы;
- исследование условий равновесия тел под действием приложенных к ним сил.
1. Аксиомы статики.
|
|
3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил . Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно-уравновешивающихся сил. Следствие . Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменным ее модуль и направление. С ила - скользящий вектор. |
|
|
|
4. Аксиома параллелограмма сил . Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах. |
|
5. Аксиома равенства действия и противодействия . Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
2. Связи и их реакции
Твердое тело называется свободным , если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.
Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью .
Твердое тело, свобода движения которого ограничено связями, называется несвободным .
Все силы, действующие на несвободное твердое тело, можно разделить на:
- задаваемые (активные)
- реакции связей
Задаваемая сила выражает действие на данное тело других тел, способных вызвать изменение его кинематического состояния.
Реакция связи – это сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям.
Принцип освобождаемости твердых тел от связей - несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.
|
|
|
|
|
|
Как определить направление реакции?
Если существует два взаимно перпендикулярных направления на плоскости, в одном из которых связь препятствует перемещению тела, а в другом нет, то направление ее реакции противоположно первому направлению.
В общем случае направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
 |
|
|
|
Неподвижный шарнир Подвижный |
|
|
3. Момент силы относительно центра
Моментом силы F относительно некоторого неподвижного центра О называется вектор, расположенный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор силы и центр О, направленный в ту сторону, чтобы смотря с его конца можно было видеть поворот силы F относительно центра О против часовой стрелки.
Свойства момента силы относительно центра:
|
|
1) Модуль момента силы относительно центра может быть выражен удвоенной площадью треугольника ОАВ
2) Момент силы относительно центра равен нулю в том случае, если линия действия силы проходит через эту точку, то есть h = 0 . |
|
|
3) Если из точки О в точку приложения силы А провести радиус вектор, то вектор момента силы можно выразить векторным произведением
|
|
|
4) При переносе силы по линии ее действия вектор ее момента относительно данной точки не изменяется. |
(1.1)
(1.2)
Если к твердому телу приложено несколько сил, лежащих в одной плоскости, можно вычислить алгебраическую сумму моментов этих сил относительно любой точки этой плоскости
Момент М О , равный алгебраической сумме моментов данной системы относительно какой-либо точки в той же плоскости, называют главным моментом системы сил относительно этой точки.
3. Момент силы относительно оси
Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо:
1) провести плоскость, перпендикулярную к оси Z;
2) определить точку О пересечения оси с плоскостью;
3) спроецировать ортогонально силу F на эту плоскость;
4) найти момент проекции силы F относительно точки О пересечения оси с плоскостью.
Правило знаков:
Момент силы относительно оси считается положительным , если, смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию , стремящейся вращать плоскость I вокруг оси Z в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.
|
|
Свойства момента силы относительно оси 1) Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным по оси Zот точки О в положительном направлении, если > 0 и в отрицательном направлении, если < 0. 2) Значение момента силы относительно оси может быть выражено удвоенной площадью Δ
3) Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:
|
4. Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил
Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил и , называется парой сил.
Плоскость, в которой находятся линии действия сил и , называется плоскостью действия пары сил.
Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил .
Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на плечо.
|
|
Правило знаков
Вектор момента М пары и направляют перпендикулярно к плоскости действия пары сил в такую сторону, что бы смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки.
- 4. Свойства пар сил на плоскости
Свойство 1 . Вектор-момент M пары по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса вектора АВ на ту из сил этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор АВ , то есть
(1.7)
Свойство 2 . Главный момент сил, составляющих пару относительно произвольной точки на плоскости действия пары, не зависит от положения этой точки и равняется моменту этой пары сил.
|
|
5. Условия эквивалентности пар сил
Теорема об условии эквивалентности пар сил,
лежащих в одной плоскости.
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Теорема о сложении пар сил . Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил в плоскости характеризуется моментом, а пара сил в плоскости характеризуется моментом.Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, . Получаем пару сил.
Условия равновесия пар сил.
Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
20.динамические дифференциальные уравнения относительно движения материальной точки. Динамическая теорема Кориолиса
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.
Для вывода уравнений воспользуемся второй и четвертой аксиомами динамики. Согласно второй аксиоме ma = F (1)
где, по четвертой аксиоме, F является равнодействующей всех сил, приложенных к точке.
С учетом последнего замечания выражение (1) часто называют основным уравнением динамики. По форме записи оно представляет собой второй закон Ньютона, где одна сила, согласно аксиоме независимости действия сил, заменена равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке. Вспомнив, что a = dV / dt = d2r / dt = r"", получаем из (1) дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме: mr"" = F (2)
дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки .
Согласно аксиоме связей, заменив связи их реакциями, можно рассматривать несвободную материальную точку, как свободную, находящуюся под действием активных сил и реакций связей.согласно четвертой аксиоме динамики, F будет равнодействующей активных сил и реакций связей.
Поэтому дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки можно использовать для описания движения несвободной точки, помня о том, что проекции сил на прямоугольные оси Fx, Fy, Fz в уравнениях (4) и проекции сил на естественные оси Fτ, Fn, Fb в уравнениях (6) включают в себя не только проекции активных сил, но и проекции реакций связей.
Наличие реакций связей в уравнениях движения точки естественно усложняет решение задач динамики, так как в них появляются дополнительные неизвестные. Для решения задач нужно знать свойства связей и иметь уравнения связей, которых должно быть столько, сколько реакций связей.
Сила Кориолиса равна:
где m - точечная масса, w - вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, v- вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.
Величина называется кориолисовым ускорением.
Си́лаКориоли́са - одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения
Теорема: система пар сил, действующих на абсолютно твёрдое тело в одной плоскости, эквивалентно паре сил с моментом, равным алгебраической сумме моментов пар системы.
Равнодействующая пара - это пара сил, заменяющая действие данных пар сил приложенных к твёрдому телу в одной плоскости.
Условие равновесия системы пар сил: для равновесия плоской системы пар сил необходимо и достаточно, чтобы сумма их моментов была равна 0.
Момент силы относительно точки.
Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком "плюс" или "минус" произведение модуля силы на ее плечо относительно данной точки. Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на линию действия силы. Принято следующее правило знаков: момент силы относительно данной точки положителен, если сила стремится вращать тело вокруг этой точки против часовой стрелки, и отрицателен в противоположном случае. Если линия действия силы проходит через некоторую точку, то относительно этой точки плечо силы и ее момент равны нулю. Момент силы относительно точки определяется по формуле.
Св-ва момента силы относительно точки :
1.Момент силы относительно данной точки не меняется при переносе силы вдоль её линии действия, т.к. при этом не изменяется ни модуль силы, ни её плечо.
2.Момент силы относительно данной точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, т.к. в этом случае плечо силы равно нулю: а=0
Теорема Пуансо о приведении силы к точке.
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.
Операция параллельного переноса силы называется приведением силы к точке, а появляющаяся при этом пара - называется присоединённой парой.
Возможно и обратное действие: силу и пару сил, лежащие в одной плоскости, всегда можно заменить одной силой, равной данной силе, перенесённой параллельно своему начальному направлению в некоторую другую точку.
Дано: сила в точке А (рис. 5.1).
Добавим в точке В уравновешенную систему сил (F"; F"). Образуется пара сил (F; F"). Получим силу в точке В и момент пары m.
Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к одному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку - точку приведения (т.О). Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.
Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами.
Полученную в т.О ССС складывают по способу силового многоугольника и получаем одну силу в т.О – это главный вектор.
Полученную систему присоединённых пар сил также можно сложить и получить одну пару сил, момент которой называется главным моментом.
Главный вектор равен геометрической сумме сил. Главный момент равен алгебраической сумме моментов присоединённых пар сил или моментов исходных сил относительно точке приведения.
Определение и свойства главного вектора и главного момента плоской системы сил.
Свойства главного вектора и главного момента
1 Модуль и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения, т.к. при центре приведения силовой многоугольник, построенный из данных сил, будет один и тот же)
2.Величина и знак главного момента зависят от выбора центра приведения, т.к. при перемене центра приведения меняются плечи сил, а модули их остаются неизменными.
3. Главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны, т.к. ещё имеется момент
4. Главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю, а это при случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей
Рассмотрим плоскую систему сил (F 1 ,F 2 , ...,F n),действующих на твердое тело в координатной плоскости Oxy.
Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:
R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .
Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.
Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:
L O = M O (F 1) +M O (F 2) + ... +M O (F n) = M O (F i).
Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.
Для плоской системы сил вместо векторного главного момента используют понятие алгебраического главного момента. Алгебраическим главным моментом L O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов э тих сил относительно центра О.
Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.