6.1. CONCEPTE ȘI DEFINIȚII DE BAZĂ

La rezolvarea diferitelor probleme din matematică și fizică, biologie și medicină, destul de des nu este posibil să se stabilească imediat o relație funcțională sub forma unei formule de conectare variabile, care descriu procesul studiat. De obicei trebuie să utilizați ecuații care conțin, pe lângă variabila independentă și funcția necunoscută, și derivatele acesteia.

Definiție. Se numește o ecuație care conectează o variabilă independentă, o funcție necunoscută și derivatele acesteia de diferite ordine diferenţial.

O funcție necunoscută este de obicei indicată y(x) sau pur și simplu y,și derivatele sale - y", y" etc.

Sunt posibile și alte denumiri, de exemplu: dacă y= x(t), atunci x"(t), x""(t)- derivatele sale, și t- variabila independenta.

Definiție. Dacă o funcție depinde de o variabilă, atunci ecuația diferențială se numește obișnuită. Forma generală comun ecuație diferențială:

sau

Funcții FȘi f poate să nu conțină unele argumente, dar pentru ca ecuațiile să fie diferențiale, prezența unei derivate este esențială.

Definiție.Ordinea ecuației diferențiale se numește ordinea celei mai mari derivate incluse în ea.

De exemplu, x 2 y"- y= 0, y" + sin X= 0 sunt ecuații de ordinul întâi și y"+ 2 y"+ 5 y= X- ecuație de ordinul doi.

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale se folosește operația de integrare, care este asociată cu apariția unei constante arbitrare. Dacă se aplică acţiunea de integrare n ori, atunci, evident, soluția va conține n constante arbitrare.

6.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I

Forma generală ecuație diferențială de ordinul întâi este determinată de expresie

Ecuația poate să nu conțină în mod explicit XȘi y, dar conține în mod necesar y”.

Dacă ecuația poate fi scrisă ca

atunci obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

Definiție. Soluția generală a ecuației diferențiale de ordinul întâi (6.3) (sau (6.4)) este mulțimea soluțiilor , Unde CU- constantă arbitrară.

Graficul soluției unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.

Oferind o constantă arbitrară CUsensuri diferite, se pot obține soluții private. La suprafață xOydecizie comună reprezintă o familie de curbe integrale corespunzătoare fiecărei soluții particulare.

Dacă ai stabilit un punct A (x 0 , y 0), prin care curba integrală trebuie să treacă, apoi, de regulă, dintr-un set de funcții Se poate evidenția una - o soluție privată.

Definiție.Decizie privată a unei ecuații diferențiale este soluția acesteia care nu conține constante arbitrare.

Dacă este o soluție generală, apoi din condiție

poți găsi o constantă CU. Se numește condiția condiția inițială.

Problema găsirii unei anumite soluții la ecuația diferențială (6.3) sau (6.4) care satisface condiția inițială la numit Problema Cauchy. Această problemă are întotdeauna o soluție? Răspunsul este conținut în următoarea teoremă.

teorema lui Cauchy(teorema existenței și unicității unei soluții). Lăsați ecuația diferențială y"= f(x,y) funcţie f(x,y) si ea

derivat parțial definită şi continuă în unele

regiune D, conţinând un punct Apoi în zonă D există

singura soluție a ecuației care satisface condiția inițială la

Teorema lui Cauchy afirmă că în anumite condiții există o curbă integrală unică y= f(x), trecând printr-un punct Puncte în care nu sunt îndeplinite condițiile teoremei

Cauchies se numesc special.În aceste puncte se rupe f(x, y) sau.

Fie mai multe curbe integrale, fie nici una nu trece printr-un punct singular.

Definiție. Dacă soluția (6.3), (6.4) se găsește sub forma f(X y, C)= 0, nu este permis în raport cu y, atunci se numește integrală generală ecuație diferențială.

Teorema lui Cauchy garantează doar că există o soluție. Deoarece nu există o metodă unică pentru găsirea unei soluții, vom lua în considerare doar câteva tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi care pot fi integrate în cuadraturi

Definiție. Ecuația diferențială se numește integrabil în cuadraturi, dacă găsirea soluției sale se reduce la integrarea funcțiilor.

6.2.1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Definiție. O ecuație diferențială de ordinul întâi se numește ecuație cu variabile separabile,

Partea dreaptă a ecuației (6.5) este produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde de o singură variabilă.

De exemplu, ecuația este o ecuație cu separare

cu variabile
și ecuația

nu poate fi reprezentat sub forma (6.5).

Având în vedere că , rescriem (6.5) sub forma

Din această ecuație obținem o ecuație diferențială cu variabile separate, în care diferențialele sunt funcții care depind doar de variabila corespunzătoare:

Integrarea termen cu termen, avem

unde C = C 2 - C 1 - constantă arbitrară. Expresia (6.6) este integrala generală a ecuației (6.5).

Împărțind ambele părți ale ecuației (6.5) la, putem pierde acele soluții pentru care, Într-adevăr, dacă la

Acea în mod evident, este o soluție a ecuației (6.5).

Exemplul 1. Găsiți o soluție a ecuației care satisface

condiție: y= 6 at X= 2 (y(2) = 6).

Soluţie. Vom înlocui y" apoi . Înmulțiți ambele părți cu

dx,întrucât în ​​timpul integrării ulterioare este imposibil să pleci dx la numitor:

iar apoi împărțind ambele părți la obținem ecuația,

care poate fi integrat. Să integrăm:

Apoi ; potențarea, obținem y = C. (x + 1) - ob-

solutie generala.

Folosind datele inițiale, determinăm o constantă arbitrară, înlocuindu-le în soluția generală

În sfârșit, obținem y= 2(x + 1) este o soluție particulară. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a ecuațiilor cu variabile separabile.

Exemplul 2. Găsiți soluția ecuației

Soluţie. Având în vedere că , primim .

Integrând ambele părți ale ecuației, avem

Unde

Exemplul 3. Găsiți soluția ecuației Soluţie.Împărțim ambele părți ale ecuației în acei factori care depind de o variabilă care nu coincide cu variabila sub semnul diferențial, i.e. și să integreze. Apoi primim

și, în sfârșit

Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.Știind ce vom obține. Secțiune

variabile lim. Apoi

Integrarea, obținem

Cometariu.În exemplele 1 și 2, funcția necesară este y exprimată în mod explicit (soluție generală). În exemplele 3 și 4 - implicit (integrală generală). Pe viitor, forma deciziei nu va fi specificată.

Exemplul 5. Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Exemplul 6. Găsiți soluția ecuației , satisfacator

condiție voi)= 1.

Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu dxși mai departe, primim

Integrând ambele părți ale ecuației (integrala din partea dreaptă este luată pe părți), obținem

Dar după condiție y= 1 la X= e. Apoi

Să înlocuim valorile găsite CU la solutia generala:

Expresia rezultată se numește soluție parțială a ecuației diferențiale.

6.2.2. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Definiție. Se numește ecuația diferențială de ordinul întâi omogen, dacă poate fi reprezentat sub formă

Să prezentăm un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații omogene.

1.În schimb y să introducem o nouă funcție Apoi prin urmare

2.În ceea ce privește funcția u ecuația (6.7) ia forma

adică înlocuirea reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

3. Rezolvând ecuația (6.8), găsim mai întâi u și apoi y= ux.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația Soluţie. Să scriem ecuația sub forma

Facem înlocuirea:
Apoi

Vom înlocui

Înmulțiți cu dx: Împarte la Xși pe Apoi

După ce am integrat ambele părți ale ecuației peste variabilele corespunzătoare, avem

sau, revenind la vechile variabile, ajungem în sfârșit

Exemplul 2.Rezolvați ecuația Soluţie.Lăsa Apoi

Să împărțim ambele părți ale ecuației cu x2: Să deschidem parantezele și să rearanjam termenii:

Trecând la vechile variabile, ajungem la rezultatul final:

Exemplul 3.Găsiți soluția ecuației dat fiind

Soluţie.Efectuarea unei înlocuiri standard primim

sau

sau

Aceasta înseamnă că soluția particulară are forma Exemplul 4. Găsiți soluția ecuației

Soluţie.

Exemplul 5.Găsiți soluția ecuației Soluţie.

Muncă independentă

Găsiți soluții la ecuații diferențiale cu variabile separabile (1-9).

Găsiți o soluție pentru ecuații diferențiale omogene (9-18).

6.2.3. Câteva aplicații ale ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi

Problema dezintegrarii radioactive

Rata de descompunere a Ra (radiului) în fiecare moment de timp este proporțională cu masa sa disponibilă. Aflați legea dezintegrarii radioactive a lui Ra dacă se știe că la momentul inițial a existat Ra și timpul de înjumătățire al lui Ra este de 1590 de ani.

Soluţie. Fie în momentul de față masa Ra X= x(t) g, și Atunci rata de dezintegrare Ra este egală cu

În funcție de condițiile problemei

Unde k

Separând variabilele din ultima ecuație și integrând, obținem

Unde

Pentru determinare C folosim condiția inițială: când .

Apoi prin urmare,

Factorul de proporționalitate k determinată din condiția suplimentară:

Avem

De aici și formula necesară

Problema ratei de reproducere a bacteriilor

Rata de reproducere a bacteriilor este proporțională cu numărul lor. La început erau 100 de bacterii. În 3 ore numărul lor s-a dublat. Găsiți dependența de timp a numărului de bacterii. De câte ori va crește numărul bacteriilor în decurs de 9 ore?

Soluţie. Lăsa X- numărul de bacterii la un moment dat t. Apoi, conform condiției,

Unde k- coeficientul de proporţionalitate.

De aici Din condiţie se ştie că . Mijloace,

Din condiția suplimentară . Apoi

Funcția pe care o cauți:

Deci când t= 9 X= 800, adică în 9 ore numărul bacteriilor a crescut de 8 ori.

Problema creșterii cantității de enzime

Într-o cultură de drojdie de bere, rata de creștere a enzimei active este proporțională cu cantitatea sa inițială X. Cantitatea inițială de enzimă A dublat într-o oră. Găsiți dependența

x(t).

Soluţie. După condiție, ecuația diferențială a procesului are forma

de aici

Dar . Mijloace, C= Ași apoi

Se mai stie ca

Prin urmare,

6.3. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL AL DOILEA

6.3.1. Noțiuni de bază

Definiție.Ecuație diferențială de ordinul doi se numește relație care leagă variabila independentă, funcția dorită și derivatele sale prima și a doua.

În cazuri speciale, x poate lipsi din ecuație, la sau y". Cu toate acestea, o ecuaţie de ordinul doi trebuie să conţină în mod necesar y." ÎN caz general ecuația diferențială de ordinul doi se scrie astfel:

sau, dacă este posibil, în forma rezolvată cu privire la derivata a doua:

Ca și în cazul unei ecuații de ordinul întâi, pentru o ecuație de ordinul doi pot exista soluții generale și particulare. Solutia generala este:

Găsirea unei anumite soluții

în condiţii iniţiale – dat

numere) se numește Problema Cauchy. Geometric, aceasta înseamnă că trebuie să găsim curba integrală la= y(x), trecând printr-un punct dat şi având o tangentă în acest punct care este

se aliniază cu direcția pozitivă a axei Bou unghiul specificat. e. (Fig. 6.1). Problema Cauchy are o soluție unică dacă partea dreaptă a ecuației (6.10), neîncetat

este discontinuă și are derivate parțiale continue în raport cu uh, uh"într-o vecinătate a punctului de plecare

Pentru a găsi constante incluse într-o soluție privată, sistemul trebuie rezolvat

Orez. 6.1. Curba integrală

Astăzi, una dintre cele mai importante abilități pentru orice specialist este capacitatea de a rezolva ecuații diferențiale. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale - nici o singură sarcină aplicată nu poate face fără acest lucru, fie că este vorba de calcularea oricărui parametru fizic sau de modelarea modificărilor ca urmare a politicilor macroeconomice adoptate. Aceste ecuații sunt, de asemenea, importante pentru o serie de alte științe, cum ar fi chimia, biologia, medicina etc. Mai jos vom da un exemplu de utilizare a ecuațiilor diferențiale în economie, dar înainte de asta vom vorbi pe scurt despre principalele tipuri de ecuații.

Ecuații diferențiale - cele mai simple tipuri

Înțelepții spuneau că legile universului nostru sunt scrise în limbaj matematic. Desigur, în algebră există multe exemple de diverse ecuații, dar acestea sunt, în cea mai mare parte, exemple educaționale care nu sunt aplicabile în practică. Adevărat matematică interesantăîncepe atunci când dorim să descriem procesele care au loc în viata reala. Dar cum putem reflecta factorul timp care guvernează procesele reale – inflația, producția sau indicatorii demografici?

Să ne amintim o definiție importantă dintr-un curs de matematică referitoare la derivata unei funcții. Derivata este rata de schimbare a unei funcții, prin urmare ne poate ajuta să reflectăm factorul timp în ecuație.

Adică, creăm o ecuație cu o funcție care descrie indicatorul care ne interesează și adăugăm derivata acestei funcții la ecuație. Aceasta este o ecuație diferențială. Acum să trecem la cele mai simple tipuri de ecuații diferențiale pentru manechine.

Cea mai simplă ecuație diferențială are forma $y'(x)=f(x)$, unde $f(x)$ este o anumită funcție, iar $y'(x)$ este derivata sau rata de modificare a dorită. funcţie. Poate fi rezolvată prin integrare obișnuită: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Al doilea cel mai simplu tip se numește ecuație diferențială cu variabile separabile. O astfel de ecuație arată astfel: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Se poate observa că variabila dependentă $y$ este, de asemenea, parte a funcției construite. Ecuația poate fi rezolvată foarte simplu - trebuie să „separați variabilele”, adică să o aduceți la forma $y'(x)/g(y)=f(x)$ sau $dy/g(y) =f(x)dx$. Rămâne să integrăm ambele părți $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - aceasta este soluția ecuației diferențiale de tip separabil.

Ultimul tip simplu este o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi. Are forma $y’+p(x)y=q(x)$. Aici $p(x)$ și $q(x)$ sunt câteva funcții, iar $y=y(x)$ este funcția necesară. Pentru a rezolva o astfel de ecuație se folosesc metode speciale (metoda lui Lagrange de variație a unei constante arbitrare, metoda substituției lui Bernoulli).

Există tipuri mai complexe de ecuații - ecuații de ordin al doilea, al treilea și în general arbitrar, ecuații omogene și neomogene, precum și sisteme de ecuații diferențiale. Rezolvarea lor necesită pregătire preliminară și experiență în rezolvarea unor probleme mai simple.

Așa-numitele ecuații cu diferențe parțiale sunt de mare importanță pentru fizică și, în mod neașteptat, pentru finanțe. Aceasta înseamnă că funcția dorită depinde de mai multe variabile în același timp. De exemplu, ecuația Black-Scholes din domeniul ingineriei financiare descrie valoarea unei opțiuni (tip de titlu) în funcție de rentabilitatea acesteia, de mărimea plăților și de datele de început și de sfârșit ale plăților. Rezolvarea unei ecuații diferențiale parțiale este destul de complexă, de obicei trebuie să o utilizați programe speciale, cum ar fi Matlab sau Maple.

Un exemplu de aplicare a unei ecuații diferențiale în economie

Să dăm, așa cum am promis, un exemplu simplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale. Mai întâi, să stabilim sarcina.

Pentru unele companii, funcția venitului marginal din vânzarea produselor sale are forma $MR=10-0,2q$. Aici $MR$ este venitul marginal al firmei și $q$ este volumul producției. Trebuie să găsim veniturile totale.

După cum puteți vedea din problemă, acesta este un exemplu aplicat din microeconomie. Multe firme și întreprinderi se confruntă în mod constant cu astfel de calcule în cursul activităților lor.

Să începem cu soluția. După cum se știe din microeconomie, venitul marginal este un derivat al venitului total, iar venitul este zero la vânzări zero.

Din punct de vedere matematic, problema s-a redus la rezolvarea ecuației diferențiale $R’=10-0,2q$ în condiția $R(0)=0$.

Integram ecuația, luând funcția antiderivată a ambelor părți și obținem soluția generală: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Pentru a găsi constanta $C$, amintiți-vă condiția $R(0)=0$. Să înlocuim: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Deci C=0 și funcția noastră de venit total ia forma $R(q)=10q-0,1q^2$. Problema este rezolvată.

Alte exemple de tipuri diferite Telecomenzile sunt colectate pe pagina:

Adesea doar o mențiune ecuatii diferentialeîi face pe elevi să se simtă inconfortabil. De ce se întâmplă asta? Cel mai adesea, pentru că atunci când se studiază elementele de bază ale materialului, apare o lacună în cunoștințe, din cauza căreia studiul suplimentar al difursului devine pur și simplu tortură. Nu este clar ce să faci, cum să decizi, de unde să începi?

Cu toate acestea, vom încerca să vă arătăm că difururile nu sunt atât de dificile pe cât pare.

Concepte de bază ale teoriei ecuațiilor diferențiale

Din școală știm cele mai simple ecuații în care trebuie să găsim necunoscutul x. De fapt ecuatii diferentiale doar puțin diferit de ele - în loc de o variabilă X trebuie să găsiți o funcție în ele y(x) , care va transforma ecuația într-o identitate.

D ecuatii diferentiale sunt de mare importanță practică. Aceasta nu este o matematică abstractă care nu are nicio legătură cu lumea din jurul nostru. Ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a descrie multe reale procese naturale. De exemplu, vibrațiile unei coarde, mișcarea unui oscilator armonic, folosind ecuații diferențiale în probleme de mecanică, găsesc viteza și accelerația unui corp. De asemenea DU sunt utilizate pe scară largă în biologie, chimie, economie și multe alte științe.

Ecuație diferențială (DU) este o ecuație care conține derivate ale funcției y(x), funcția în sine, variabile independente și alți parametri în diverse combinații.

Există multe tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale obișnuite, liniare și neliniare, omogene și neomogene, ecuații diferențiale de ordinul întâi și superior, ecuații diferențiale parțiale și așa mai departe.

Soluția unei ecuații diferențiale este o funcție care o transformă într-o identitate. Există soluții generale și particulare ale telecomenzii.

O soluție generală a unei ecuații diferențiale este un set general de soluții care transformă ecuația într-o identitate. O soluție parțială a unei ecuații diferențiale este o soluție care îndeplinește condiții suplimentare specificate inițial.

Ordinea unei ecuații diferențiale este determinată de ordinul cel mai înalt al derivatelor sale.

Ecuații diferențiale obișnuite

Ecuații diferențiale obișnuite sunt ecuații care conțin o variabilă independentă.

Să considerăm cea mai simplă ecuație diferențială ordinară de ordinul întâi. Arată ca:

O astfel de ecuație poate fi rezolvată prin simpla integrare a părții sale din dreapta.

Exemple de astfel de ecuații:

Ecuații separabile

În general, acest tip de ecuație arată astfel:

Iată un exemplu:

Când rezolvați o astfel de ecuație, trebuie să separați variabilele, aducând-o la forma:

După aceasta, rămâne să integrăm ambele părți și să obținem o soluție.

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Astfel de ecuații arată astfel:

Aici p(x) și q(x) sunt câteva funcții ale variabilei independente, iar y=y(x) este funcția dorită. Iată un exemplu de astfel de ecuație:

Atunci când rezolvă o astfel de ecuație, cel mai adesea ei folosesc metoda varierii unei constante arbitrare sau reprezintă funcția dorită ca produs al altor două funcții y(x)=u(x)v(x).

Pentru a rezolva astfel de ecuații, este necesară o anumită pregătire și va fi destul de dificil să le luați „dintr-o privire”.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații diferențiale cu variabile separabile

Așa că ne-am uitat la cele mai simple tipuri de telecomandă. Acum să ne uităm la soluția pentru una dintre ele. Fie aceasta o ecuație cu variabile separabile.

Mai întâi, să rescriem derivata într-o formă mai familiară:

Apoi împărțim variabilele, adică într-o parte a ecuației colectăm toate „I-urile”, iar în cealaltă - „X-urile”:

Acum rămâne să integrăm ambele părți:

Integram si obtinem o solutie generala a acestei ecuatii:

Desigur, rezolvarea ecuațiilor diferențiale este un fel de artă. Trebuie să poți înțelege ce tip de ecuație este și, de asemenea, să înveți să vezi ce transformări trebuie făcute cu ea pentru a duce la o formă sau alta, ca să nu mai vorbim doar de capacitatea de diferențiere și integrare. Și pentru a reuși să rezolvi DE, ai nevoie de practică (ca în toate). Și dacă ai acest moment nu ai timp să-ți dai seama cum se rezolvă ecuațiile diferențiale sau problema Cauchy ti-a rămas ca un os în gât, sau nu știi, contactați autorii noștri. În scurt timp vă vom oferi un gata făcut și solutie detaliata, ale căror detalii le puteți înțelege în orice moment convenabil pentru dvs. Între timp, vă sugerăm să vizionați un videoclip cu tema „Cum se rezolvă ecuații diferențiale”:

Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții.
Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Ecuații diferențiale (DE). Aceste două cuvinte îl îngrozesc de obicei pe omul obișnuit. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva prohibitiv și greu de stăpânit pentru mulți studenți. Uuuuuu... ecuații diferențiale, cum pot supraviețui tuturor astea?!

Această părere și această atitudine este fundamental greșită, pentru că de fapt ECUATII DIFERENTIALE – ESTE SIMPLU SI CHIAR DISTRACT. Ce trebuie să știți și să puteți face pentru a învăța cum să rezolvați ecuații diferențiale? Pentru a studia cu succes difuzele, trebuie să fii bun la integrare și diferențiere. Cu cât subiectele sunt mai bine studiate Derivată a unei funcții a unei variabileȘi Integrală nedefinită, cu atât va fi mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale. Voi spune mai multe, dacă ai abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul a fost aproape stăpânit! Cu cât poți rezolva mai multe integrale de diferite tipuri, cu atât mai bine. De ce? Va trebui să te integrezi mult. Și diferențiați. De asemenea recomand cu caldura invata sa gasesti.

În 95% din cazuri, lucrările de testare conțin 3 tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi: ecuații separabile pe care ne vom uita în această lecție; ecuații omogeneȘi ecuații liniare neomogene. Pentru cei care încep să studieze difuzoarele, vă sfătuiesc să citiți lecțiile exact în această ordine, iar după ce ați studiat primele două articole, nu va strica să vă consolidați abilitățile într-un atelier suplimentar - ecuaţii reducându-se la omogene.

Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale totale, ecuații Bernoulli și altele. Cele mai importante dintre ultimele două tipuri sunt ecuațiile în diferențiale totale, deoarece pe lângă această ecuație diferențială consider material nou – integrare parțială.

Dacă mai ai doar o zi sau două, Acea pentru preparare ultra-rapidă Există curs blitzîn format pdf.

Deci, reperele sunt setate - să mergem:

Mai întâi, să ne amintim ecuațiile algebrice obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu: . Ce înseamnă să rezolvi o ecuație obișnuită? Aceasta înseamnă găsirea set de numere, care satisfac această ecuație. Este ușor de observat că ecuația copiilor are o singură rădăcină: . Doar pentru distracție, să verificăm și să înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

– se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția a fost găsită corect.

Difuzoarele sunt proiectate aproape în același mod!

Ecuație diferențială prima comandaîn general conţine:
1) variabilă independentă;
2) variabilă dependentă (funcție);
3) derivata întâi a funcției: .

În unele ecuații de ordinul 1, este posibil să nu existe „x” și/sau „y”, dar acest lucru nu este semnificativ - important pentru a merge în camera de control a fost prima derivată și nu a avut derivate de ordin superior – , etc.

Ce înseamnă ? Rezolvarea unei ecuații diferențiale înseamnă a găsi set de toate funcțiile, care satisfac această ecuație. Un astfel de set de funcții are adesea forma (– o constantă arbitrară), care este numită soluție generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială

Muniție completă. Unde sa încep soluţie?

În primul rând, trebuie să rescrieți derivatul într-o formă ușor diferită. Ne amintim denumirea greoaie, pe care mulți dintre voi probabil părea ridicolă și inutilă. Așa se regăsește în difuzoare!

În al doilea pas, să vedem dacă se poate variabile separate? Ce înseamnă separarea variabilelor? Aproximativ vorbind, pe partea stângă a trebuie să plecăm doar "greci", A pe drumul cel bun organiza doar "X". Împărțirea variabilelor se realizează folosind manipulări „școlare”: scoaterea lor din paranteze, transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, transferarea factorilor de la o parte la alta conform regulii proporției etc.

Diferențiale și sunt multiplicatori completi și participanți activi la ostilități. În exemplul luat în considerare, variabilele sunt ușor separate prin aruncarea factorilor conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate. În partea stângă sunt doar „Y”, în partea dreaptă – doar „X”.

Etapa urmatoare - integrarea ecuației diferențiale. Este simplu, punem integrale pe ambele părți:

Desigur, trebuie să luăm integrale. În acest caz, acestea sunt tabelare:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărei antiderivate. Există două integrale aici, dar este suficient să scrieți constanta o dată (deoarece constanta + constantă este încă egală cu o altă constantă). În cele mai multe cazuri, este plasat pe partea dreaptă.

Strict vorbind, după ce sunt luate integralele, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru este că „y”-ul nostru nu este exprimat prin „x”, adică soluția este prezentată într-un mod implicit formă. Soluția unei ecuații diferențiale în formă implicită se numește integrala generala a ecuatiei diferentiale. Adică, aceasta este o integrală generală.

Răspunsul în această formă este destul de acceptabil, dar există o opțiune mai bună? Să încercăm să obținem decizie comună.

Vă rog, amintiți-vă prima tehnică, este foarte comun și este adesea folosit în sarcini practice: dacă un logaritm apare în partea dreaptă după integrare, atunci în multe cazuri (dar nu întotdeauna!) este de asemenea recomandabil să scrieți constanta sub logaritm.

Acesta este, ÎN LOC DE intrările sunt de obicei scrise .

De ce este necesar acest lucru? Și pentru a facilita exprimarea „jocului”. Folosind proprietatea logaritmilor . În acest caz:

Acum logaritmii și modulele pot fi eliminate:

Funcția este prezentată explicit. Aceasta este soluția generală.

Răspuns: decizie comună: .

Răspunsurile la multe ecuații diferențiale sunt destul de ușor de verificat. În cazul nostru, acest lucru se face destul de simplu, luăm soluția găsită și o diferențiem:

Apoi înlocuim derivata în ecuația originală:

– se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția generală satisface ecuația, ceea ce trebuia verificat.

Dând o constantă diferite valori, puteți obține un număr infinit de solutii private ecuație diferențială. Este clar că oricare dintre funcțiile , etc. satisface ecuația diferențială.

Uneori se numește soluția generală familie de funcții. ÎN în acest exemplu decizie comună - aceasta este o familie funcții liniare, sau mai bine zis, o familie de proporționalitate directă.

După o revizuire amănunțită a primului exemplu, este oportun să răspundem la câteva întrebări naive despre ecuațiile diferențiale:

1)În acest exemplu, am putut separa variabilele. Se poate face asta mereu? Nu, nu întotdeauna. Și chiar mai des, variabilele nu pot fi separate. De exemplu, în ecuații omogene de ordinul întâi, trebuie mai întâi să-l înlocuiți. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație neomogenă liniară de ordinul întâi, trebuie să utilizați diverse tehnici și metode pentru a găsi o soluție generală. Ecuațiile cu variabile separabile, pe care le considerăm în prima lecție, sunt cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibil să se integreze o ecuație diferențială? Nu, nu întotdeauna. Este foarte ușor să veniți cu o ecuație „fantezică” care nu poate fi integrată; în plus, există integrale care nu pot fi luate. Dar astfel de DE pot fi rezolvate aproximativ folosind metode speciale. D’Alembert și Cauchy garantează... ...ugh, lurkmore.pentru a citi mult acum, aproape că am adăugat „din cealaltă lume”.

3) În acest exemplu, am obținut o soluție sub forma unei integrale generale . Este întotdeauna posibil să se găsească o soluție generală dintr-o integrală generală, adică să se exprime „y” în mod explicit? Nu, nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum poți exprima „greacă” aici?! În astfel de cazuri, răspunsul trebuie scris ca o integrală generală. În plus, uneori este posibil să găsiți o soluție generală, dar este scris atât de greoi și stângaci încât este mai bine să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale.

4) ...poate că este suficient deocamdată. În primul exemplu pe care l-am întâlnit Încă unul punct important , dar pentru a nu acoperi „manențele” cu o avalanșă informație nouă, o las pana la urmatoarea lectie.

Nu ne vom grăbi. O altă telecomandă simplă și o altă soluție tipică:

Exemplul 2

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială

Soluţie: în funcție de condiție, trebuie să găsiți soluție privată DE care satisface o condiție inițială dată. Această formulare a întrebării se mai numește Problema Cauchy.

Mai întâi găsim o soluție generală. Nu există o variabilă „x” în ecuație, dar acest lucru nu trebuie să confunde, principalul lucru este că are prima derivată.

Rescriem derivata în în forma potrivită:

Evident, variabilele pot fi separate, băieții la stânga, fetele la dreapta:

Să integrăm ecuația:

Se obține integrala generală. Aici am desenat o constantă cu un asterisc, fapt este că foarte curând se va transforma într-o altă constantă.

Acum încercăm să transformăm integrala generală într-o soluție generală (exprimăm „y” în mod explicit). Să ne amintim vechile lucruri bune de la școală: . În acest caz:

Constanta din indicator pare oarecum nekosher, deci este de obicei adusă la pământ. În detaliu, așa se întâmplă. Folosind proprietatea gradelor, rescriem funcția după cum urmează:

Dacă este o constantă, atunci este și o constantă, să o redesemnăm cu litera:

Amintiți-vă că „demolarea” este o constantă a doua tehnică, care este adesea folosit la rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Deci, soluția generală este: . Aceasta este o familie frumoasă de funcții exponențiale.

În etapa finală, trebuie să găsiți o anumită soluție care să satisfacă condiția inițială dată. Acest lucru este, de asemenea, simplu.

Care este sarcina? Trebuie să ridic astfel de valoarea constantei astfel încât condiția să fie îndeplinită.

Poate fi formatat în diferite moduri, dar acesta va fi probabil cel mai clar mod. În soluția generală, în loc de „X” înlocuim un zero, iar în loc de „Y” înlocuim un doi:



Acesta este,

Versiune de design standard:

Acum înlocuim valoarea găsită a constantei în soluția generală:
– aceasta este soluția specială de care avem nevoie.

Răspuns: solutie privata:

Sa verificam. Verificarea unei soluții private include două etape:

Mai întâi trebuie să verificați dacă soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială? În loc de „X”, înlocuim un zero și vedem ce se întâmplă:
- da, intr-adevar, s-a primit un doi, ceea ce inseamna ca este indeplinita conditia initiala.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția particulară rezultată și găsim derivata:

Inlocuim in ecuatia initiala:

– se obţine egalitatea corectă.

Concluzie: soluția particulară a fost găsită corect.

Să trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluăm dacă este posibilă separarea variabilelor? Poate sa. Mutăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și transferăm multiplicatorii conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să te avertizez, ziua judecății se apropie. Dacă nu ai studiat bine integrale nedefinite, ai rezolvat câteva exemple, atunci nu ai unde să mergi - va trebui să le stăpânești acum.

Integrala părții stângi este ușor de găsit; ne ocupăm de integrala cotangentei folosind tehnica standard pe care am analizat-o în lecție Integrarea funcțiilor trigonometrice anul trecut:

În partea dreaptă avem un logaritm, și conform primului meu sfat tehnic, constanta ar trebui scrisă și sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem doar logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. Prin utilizarea proprietăți cunoscute„Ambalăm” logaritmii cât mai mult posibil. O voi scrie în detaliu:

Ambalajul este finisat pentru a fi zdrențuit barbar:

Este posibil să exprimăm „joc”? Poate sa. Este necesar să pătrați ambele părți.

Dar nu trebuie să faci asta.

Al treilea sfat tehnic: dacă pentru a obține o soluție generală este necesar să se ridice la o putere sau să se înrădăcineze, atunci În cele mai multe cazuri ar trebui să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale. Faptul este că soluția generală va arăta pur și simplu îngrozitoare - cu rădăcini mari, semne și alte gunoi.

Prin urmare, scriem răspunsul sub forma unei integrale generale. Este considerată o bună practică să o prezentați sub forma , adică în partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faceți acest lucru, dar este întotdeauna benefic să-i faceți pe plac profesorului ;-)

Răspuns: integrala generala:

! Notă: integrala generală a oricărei ecuații se poate scrie nu singura cale. Astfel, dacă rezultatul tău nu coincide cu răspunsul cunoscut anterior, asta nu înseamnă că ai rezolvat incorect ecuația.

Integrala generală este, de asemenea, destul de ușor de verificat, principalul lucru este să poți găsi derivata unei functii specificata implicit. Să diferențiem răspunsul:

Înmulțim ambii termeni cu:

Și împărțiți la:

Ecuația diferențială inițială a fost obținută exact, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Permiteți-mi să vă reamintesc că algoritmul constă din două etape:
1) găsirea unei soluții generale;
2) găsirea soluției particulare necesare.

Verificarea este, de asemenea, efectuată în doi pași (vezi exemplul din Exemplul nr. 2), trebuie să:
1) asigurați-vă că soluția particulară găsită satisface condiția inițială;
2) verificați dacă o anumită soluție satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale , îndeplinind condiția inițială. Efectuați verificarea.

Soluţie: Mai întâi, să găsim o soluție generală. Această ecuație conține deja diferențe gata făcute și, prin urmare, soluția este simplificată. Separăm variabilele:

Să integrăm ecuația:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată metoda de subsumare a unei functii sub semnul diferential:

Integrala generală a fost obținută; este posibilă exprimarea cu succes a soluției generale? Poate sa. Atârnăm logaritmi pe ambele părți. Deoarece sunt pozitive, semnele modulului nu sunt necesare:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci, soluția generală este:

Să găsim o anumită soluție corespunzătoare condiției inițiale date.
În soluția generală, în loc de „X” înlocuim zero, iar în loc de „Y” înlocuim logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificați: În primul rând, să verificăm dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface ecuația diferențială. Găsirea derivatei:

Să ne uităm la ecuația inițială: – se prezintă în diferențiale. Există două moduri de a verifica. Este posibil să se exprime diferența față de derivata găsită:

Să înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară a fost găsită corect.

A doua metodă de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație Să exprimăm derivata, pentru a face acest lucru împărțim toate piesele la:

Iar în DE transformat înlocuim soluția parțială obținută și derivata găsită. Ca urmare a simplificărilor, ar trebui să se obțină și egalitatea corectă.

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială. Prezentați răspunsul sub forma unei integrale generale.

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, să completezi soluția și să răspunzi la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți se așteaptă la rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un „ceainic”) că variabilele pot fi separate. Să luăm în considerare un exemplu condiționat: . Aici trebuie să scoateți factorii din paranteze: și să separați rădăcinile: . Este clar ce trebuie făcut în continuare.

2) Dificultăți cu integrarea în sine. Integralele nu sunt adesea cele mai simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, atunci va fi dificil cu multe difuzoare. În plus, logica „din moment ce ecuația diferențială este simplă, atunci măcar să fie integralele mai complicate” este populară printre compilatorii de colecții și manuale de instruire.

3) Transformări cu o constantă. După cum toată lumea a observat, constanta din ecuațiile diferențiale poate fi gestionată destul de liber, iar unele transformări nu sunt întotdeauna clare pentru un începător. Să ne uităm la un alt exemplu condiționat: . Este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: . Da, și deoarece există un logaritm în partea dreaptă, atunci este recomandabil să rescrieți constanta sub forma unei alte constante: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea vedere:

Ce fel de erezie? Există greșeli chiar acolo! Strict vorbind, da. Totuși, din punct de vedere de fond, nu există erori, deoarece în urma transformării unei constante variabile se obține în continuare o constantă variabilă.

Sau alt exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnul fiecărui termen: . Formal, există o altă greșeală aici - ar trebui să fie scrisă în dreapta. Dar în mod informal se sugerează că „minus ce” este încă o constantă ( care poate la fel de ușor să ia orice înțeles!), deci punerea unui „minus” nu are sens și puteți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și, totuși, voi atribui diferiți indici constantelor atunci când le convertesc.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați verificarea.

Soluţie: Această ecuație permite separarea variabilelor. Separăm variabilele:

Să integrăm:

Nu este necesar să definiți constanta aici ca un logaritm, deoarece nu va rezulta nimic util din asta.

Răspuns: integrala generala:

Verificați: diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții înmulțind ambii termeni cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o soluție specială a DE.
,

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Singurul indiciu este că aici veți obține o integrală generală și, mai corect vorbind, trebuie să încercați să găsiți nu o soluție anume, ci integrală parțială. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Mulțumiri noastre serviciu online Puteți rezolva ecuații diferențiale de orice tip și complexitate: neomogene, omogene, neliniare, liniare, de ordinul întâi, al doilea, cu variabile separabile sau neseparabile etc. Obțineți o soluție a ecuațiilor diferențiale în formă analitică cu descriere detaliata. Mulți oameni sunt interesați: de ce este necesar să rezolvați ecuații diferențiale online? Acest tip de ecuație este foarte comun în matematică și fizică, unde va fi imposibil să rezolvi multe probleme fără a calcula ecuația diferențială. Ecuațiile diferențiale sunt, de asemenea, comune în economie, medicină, biologie, chimie și alte științe. Rezolvarea online a unei astfel de ecuații vă simplifică foarte mult sarcinile, vă oferă posibilitatea de a înțelege mai bine materialul și de a vă testa. Avantajele rezolvării ecuațiilor diferențiale online. Un site modern de servicii matematice vă permite să rezolvați ecuații diferențiale online orice dificultăți. După cum știți, există un numar mare de tipuri de ecuații diferențiale și fiecare dintre ele are propriile metode de rezolvare. Pe serviciul nostru puteți găsi online soluții pentru ecuații diferențiale de orice ordine și tip. Pentru a obține o soluție, vă sugerăm să completați datele inițiale și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Sunt excluse erorile în funcționarea serviciului, astfel încât puteți fi 100% sigur că ați primit răspunsul corect. Rezolvați ecuații diferențiale cu serviciul nostru. Rezolvați ecuații diferențiale online. În mod implicit, într-o astfel de ecuație, funcția y este o funcție a variabilei x. Dar puteți specifica și propria dvs. desemnare variabilă. De exemplu, dacă specificați y(t) într-o ecuație diferențială, atunci serviciul nostru va determina automat că y este o funcție a variabilei t. Ordinea întregii ecuații diferențiale va depinde de ordinea maximă a derivatei funcției prezente în ecuație. Rezolvarea unei astfel de ecuații înseamnă găsirea funcției dorite. Serviciul nostru vă va ajuta să rezolvați ecuații diferențiale online. Nu este nevoie de mult efort din partea ta pentru a rezolva ecuația. Trebuie doar să introduceți părțile din stânga și din dreapta ale ecuației în câmpurile necesare și să faceți clic pe butonul „Soluție”. La introducere, derivata unei funcții trebuie notă cu un apostrof. În câteva secunde veți primi o soluție detaliată gata făcută a ecuației diferențiale. Serviciul nostru este absolut gratuit. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Dacă într-o ecuație diferențială există o expresie în partea stângă care depinde de y, iar în partea dreaptă există o expresie care depinde de x, atunci o astfel de ecuație diferențială se numește cu variabile separabile. Partea stângă poate conține o derivată a lui y; soluția ecuațiilor diferențiale de acest tip va fi sub forma unei funcții a lui y, exprimată prin integrala părții drepte a ecuației. Dacă în partea stângă există o diferență a funcției lui y, atunci în acest caz ambele părți ale ecuației sunt integrate. Când variabilele dintr-o ecuație diferențială nu sunt separate, ele vor trebui separate pentru a obține o ecuație diferențială separată. Ecuație diferențială liniară. O ecuație diferențială a cărei funcție și toate derivatele ei sunt de gradul I se numește liniară. Forma generală a ecuației: y’+a1(x)y=f(x). f(x) și a1(x) sunt funcții continue din x. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de acest tip se reduce la integrarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate. Ordinea ecuației diferențiale. O ecuație diferențială poate fi de ordinul întâi, al doilea, al n-lea. Ordinea unei ecuații diferențiale determină ordinea celei mai mari derivate pe care o conține. În serviciul nostru puteți rezolva ecuații diferențiale online pentru prima, a doua, a treia etc. Ordin. Soluția ecuației va fi orice funcție y=f(x), înlocuind-o în ecuație, veți obține o identitate. Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește integrare. Problema Cauchy. Dacă, pe lângă ecuația diferențială în sine, este dată și condiția inițială y(x0)=y0, atunci aceasta se numește problema Cauchy. La soluția ecuației se adaugă indicatorii y0 și x0 și se determină valoarea unei constante arbitrare C, iar apoi se determină o soluție particulară a ecuației la această valoare a lui C. Aceasta este soluția problemei Cauchy. Problema Cauchy se mai numește și o problemă cu condiții la limită, care este foarte comună în fizică și mecanică. De asemenea, aveți ocazia să setați problema Cauchy, adică din toate soluțiile posibile ale ecuației, selectați un coeficient care îndeplinește condițiile inițiale date.